文档内容
2025年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确
的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
4
1．（4分）（2025•黄浦区二模）单项式- x2y2 的次数是（ ）
3
4 4
A． B．- C．2 D．4
3 3
2．（4分）（2025•黄浦区二模）下列函数图象中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ）
4
A．y＝5x B．y＝﹣x﹣1 C．y= D．y＝﹣3x2
x
3．（4分）（2025•黄浦区二模）已知点P在半径为5的 O内，那么点P到圆心O的距离不可能是（
） ⊙
A．0 B．2 C．4 D．6
4．（4分）（2025•黄浦区二模）木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同．从
木盒中任意摸出1个球，下列事件发生的概率最小的是（ ）
A．摸出一个红球 B．摸出一个黄球
C．摸出一个白球 D．摸出一个黄球或白球
5．（4分）（2025•黄浦区二模）已知a、b、c三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是
（ ）
A．a+b＜b+c B．a﹣c＜b﹣c C．ab＜bc D．ac＜bc
6．（4分）（2025•黄浦区二模）尺规作图：已知∠MON（0°＜∠MON＜180°）．具体步骤如下：①在
1
射线OM、ON上分别截取OA、OB，使OA＝OB；②分别以点A、B为圆心，大于 AB的同一长度为
2
半径作弧，两弧交于∠MON内的一点P，作射线OP；③以点A为圆心，OA为半径作弧，交射线OP
于点C，联结AC、CB．那么所作的四边形AOBC一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（2025•黄浦区二模）﹣8的相反数是 ．
8．（4分）（2025•常州模拟）计算：（x+2y）（x﹣2y）＝ ．
第1页（共31页）1
9．（4分）（2025•黄浦区二模）如果f(t)= ，那么f（﹣1）＝ ．
t2+1
10．（4分）（2025•常州模拟）如果关于 x的方程x2+3x﹣m＝0有实数根，那么 m的取值范围是
．
11．（4分）（2025•黄浦区二模）如果一个正多边形的中心角为 45°，那么这个正多边形的边数是
．
12．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC
→ → → → → → →
于点D、E，如果设 AB=a，AC=b ，那么用 a 、 b 表示 DE= ．
13．（4 分）（2025•黄浦区二模）如图 3，已知扇形 AOB，过点 A 作 AD⊥OB，垂足为点 D，如果
1
AD= OB=3，那么扇形AOB的面积为 .（结果保留 ）
2
π
14．（4分）（2025•黄浦区二模）某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品
首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为x千克（x＞1），
那么快递费y（元）关于物品重量x（千克）的函数解析式为 ．
15．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知AB是 O的直径，C、D是 O上的两点，且AB⊥CD，垂
足为点H，如果AH＝CD＝8，那么AO的长为 ⊙ ． ⊙
第2页（共31页）16．（4 分）（2025•黄浦区二模）如图，已知平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线组成四边形
EFGH，联结HF．如果AB＝6，AD＝9，那么HF的长为 ．
17．（4分）（2025•黄浦区二模）定义：抛物线C 上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到
1
新的抛物线C ，C 叫C 的“k倍衍生抛物线”．例如：求抛物线L ：y=3x2-2的“5倍衍生抛物线
2 2 1 1
x y
L ”．设抛物线L 上一点P′（x，y），则点P′在抛物线L 上的对应点为P( ， )，因为点P在抛物
2 2 1 5 5
y x 2 3 3
线L 上，所以 =3( ) -2，整理得到y= x2-10，即抛物线L 的表达式为y= x2-10.参考上述
1 5 5 5 2 5
方法，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的“k倍衍生抛物线”的表达式为 ．
18．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，点O在边BC上，BO＝
2，以BO为半径作 O．将矩形ABCD翻折，使点D落在 O上，点D的对应点为点D′，折痕与边
AD交于点M，如果⊙直线DD′经过点O，那么DM的长为 ⊙ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
1
1
19．（10分）（2025•黄浦区二模）计算：|1-√2|+272- +(π-3) 0．
2+√3
2 6 1
20．（10分）（2025•黄浦区二模）解方程： + = +1．
x+3 x2-9 x-3
第3页（共31页）21．（10分）（2025•武威一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+3（k≠0）与x轴、
8
y轴交于A、B两点，反比例函数y= (x＞0)的图象经过直线l上的点P（2，n）．
x
（1）求直线l的表达式；
8
（2）已知点C在反比例函数y= (x＞0)的图象上，且∠BOC＝∠ABO，求点C的坐标．
x
22．（10分）（2025•黄浦区二模）’某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如
下几个指标因素：①书籍的数量A；②书籍的总页数B；③书籍的类别C；④网络评分D．根据以
上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式x＝x A+x B+x C+x D，其中
1 2 3 4
x 、x 、x 、x 是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了 4本书，总页数1350页，涉及3个类
1 2 3 4
别，4本书的网络评分的平均分为5.5分，那么小海的得分计为x＝4x +1350x +3x +5.5x .如果各项指标
1 2 3 4
因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定．
评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述
四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为0～10分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标
因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指
标因素的系数．
评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量 A”指标因素的得分情况统计图（如图）及各
指标因素的系数表（如表1）．
指标因素 系数
书籍的数量A m
书籍的总页数B 2.4
书籍的类别C 3.5
网络评分D n
表1
（1）指标因素“书籍的数量A''的系数m的值为 ；
（2）确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为x＝ ；
第4页（共31页）（3）表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值．
A B C D 得分
甲 4 1500 3 7
乙 3 1800 2 4
表2
①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分．
甲得分为 ，乙得分为 ；
②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：
23．（12分）（2025•黄浦区二模）如图，已知四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAC＝90°，点E是四边形
ABCD外一点，AE＝CE，联结ED并延长分别交AC、BC于点M、N．
（1）求证：BN＝CN；
（2）已知BC2＝2AB•NE，求证：∠ACB＝∠NEC．
1
24．（12分）（2025•黄浦区二模）在平面直角坐标系 xOy中（如图），已知抛物线 y=- x2+bx+c
4
（b≠0）与x轴交于A（2，0）、B两点（点A在点B右侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为P．
（1）如果AB＝6，求抛物线的表达式；
（2）用含b的代数式表示点P的坐标；
（3）联结BC、PC，直线PC交x轴于点E，如果BC＝EC，求抛物线的表达式．
第5页（共31页）3
25．（14分）（2025•黄浦区二模）已知，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，cosA= ，D是边AB上一动点，
5
CO 4
联结CD．点O在线段CD上，且 = ，以点O为圆心，CO为半径作 O，交边AC于点E．
OD 5
⊙
（1）当点D与点A重合时，判断 O与边AB的位置关系并说明理由；
⊙ EH
（2）已知点F在 O上，且C^E=C^F，EF与边BC交于点H，当EF经过圆心O时（如图），求
EF
⊙
的值；
（3）过点D作DP∥AC，交边BC于点P，当 O与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围．
⊙
第6页（共31页）2025年上海市黄浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D． B D C C A
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确
的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
4
1．（4分）（2025•黄浦区二模）单项式- x2y2 的次数是（ ）
3
4 4
A． B．- C．2 D．4
3 3
【考点】单项式．
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【专题】整式；符号意识．
【答案】D．
【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
4
【解答】解：根据单项式定义得：- x2y2 的次数为：2+2＝4．
3
故选：D．
【点评】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是
确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略．
2．（4分）（2025•黄浦区二模）下列函数图象中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ）
4
A．y＝5x B．y＝﹣x﹣1 C．y= D．y＝﹣3x2
x
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据函数关系式逐项分析判断即可．
【解答】解：A、是正比例函数，且y随x的增大而增大，不符合题意；
B、是一次函数，k＝﹣1＜0，y随x的增大而减小，符合题意；
C、是反比例函数，k＝4＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、是开口向下的二次函数，增减性分两个区间，不符合题意；
第7页（共31页）故选：B．
【点评】本题考查了一次函数．二次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（4分）（2025•黄浦区二模）已知点P在半径为5的 O内，那么点P到圆心O的距离不可能是（
） ⊙
A．0 B．2 C．4 D．6
【考点】点与圆的位置关系．
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【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系解答即可．
【解答】解：∵点P在半径为5的 O内，
∴OP＜5， ⊙
∴点P到圆心O的距离不可能是6．
故选：D．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，当d＜
r时，点P在圆内是解题的关键． ⊙
4．（4分）（2025•黄浦区二模）木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同．从
木盒中任意摸出1个球，下列事件发生的概率最小的是（ ）
A．摸出一个红球 B．摸出一个黄球
C．摸出一个白球 D．摸出一个黄球或白球
【考点】概率公式；随机事件．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分别根据概率公式求出概率，即可判断出答案．
【解答】解：∵木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同，
4 4
∴摸出一个红球的概率为 = ，
4+3+2 9
3 1
摸出一个黄球的概率为 = ，
4+3+2 3
2 2
摸出一个白球的概率为 = ，
4+3+2 9
3+2 5
摸出一个黄球或白球的概率为 = ，
4+3+2 9
第8页（共31页）2 1 4 5
∵ ＜ ＜ ＜ ，
9 3 9 9
∴发生的概率最小的是摸出一个白球．
故选：C．
【点评】此题考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
m
现m种可能，那么事件A的概率P（A）= ．
n
5．（4分）（2025•黄浦区二模）已知a、b、c三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是
（ ）
A．a+b＜b+c B．a﹣c＜b﹣c C．ab＜bc D．ac＜bc
【考点】实数与数轴．
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【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先观察数轴可知a＜b＜0＜c，然后根据不等式的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：观察数轴可知：a＜b＜0＜c，
A．∵a＜c，a+b＜b+c，∴此选项的结论成立，故此选项不符合题意；
B．∵a＜b，a﹣c＜b﹣c，∴此选项的结论成立，故此选项不符合题意；
C．∵a＜c，b＜0，∴ab＞ac，∴此选项的结论不成立，故此选项符合题意；
D．∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，∴此选项的结论成立，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质．
6．（4分）（2025•黄浦区二模）尺规作图：已知∠MON（0°＜∠MON＜180°）．具体步骤如下：①在
1
射线OM、ON上分别截取OA、OB，使OA＝OB；②分别以点A、B为圆心，大于 AB的同一长度为
2
半径作弧，两弧交于∠MON内的一点P，作射线OP；③以点A为圆心，OA为半径作弧，交射线OP
于点C，联结AC、CB．那么所作的四边形AOBC一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；等腰梯形的
判定．
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【专题】作图题；几何直观．
第9页（共31页）【答案】A
【分析】根据要求作出图形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】解：由作图可知，OC平分∠MON，OA＝OB＝AC，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠ACO，
∴AC∥OB，
∴四边形AOBC是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴四边形AOBC是菱形．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，等腰梯形的判定，解
题的关键是掌握相关知识解决问题．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（2025•黄浦区二模）﹣8的相反数是 8 ．
【考点】相反数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】8．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣8的相反数是8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
8．（4分）（2025•常州模拟）计算：（x+2y）（x﹣2y）＝ x 2 ﹣4 y 2 ．
【考点】平方差公式．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方差公（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2运算即可．
【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，
第10页（共31页）故答案为：x2﹣4y2．
【点评】此题考查平方差公式，解答本题的关键要明确：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两
个数的平方差．
1 1
9．（4分）（2025•黄浦区二模）如果f(t)= ，那么f（﹣1）＝ ． ．
t2+1 2
【考点】函数值．
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【专题】计算题；运算能力．
1
【答案】 ．
2
【分析】将t＝﹣1代入即可．
1
=
【解答】解：原式
(-1) 2+1
1
= ．
2
1
故答案为： ．
2
【点评】本题主要考查函数值，代入法实际解题的关键．
9
10．（4分）（2025•常州模拟）如果关于x的方程x2+3x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是m≥-
4
．
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
9
【答案】m≥- ．
4
【分析】由关于x的方程有实数根，知Δ＝b2﹣4ac≥0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+3x﹣m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣m）＝9+4m≥0，
9
解得m≥- ．
4
9
故答案为：m≥- ．
4
【点评】本题考查了一元二次方程的判别式，解答本题的关键要明确：一元二次方程 ax2+bx+c＝0
（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程
有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
第11页（共31页）11．（4分）（2025•黄浦区二模）如果一个正多边形的中心角为 45°，那么这个正多边形的边数是 8
．
【考点】正多边形和圆．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据正多边形的边数＝周角÷中心角，计算即可得解．
【解答】解：这个多边形的边数是360÷45°＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的
关键．
12．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC
→ → → → → → →
2→ 2→
于点D、E，如果设 AB=a，AC=b ，那么用 a 、 b 表示 DE= b- a ．
3 3
【考点】三角形的重心；*平面向量；平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
2→ 2→
【答案】 b- a．
3 3
AO 2
【分析】连接AO，延长AO交BC于M，由三角形的重心性质推出 = ，由平行线分线段成比例
AM 3
AE AO 2 DE AE
定理推出 = = ，判定△ADE∽△ABC，推出 = ，求出 B → C= → b- → a ，即可得到
AC AM 3 BC AC
→ 2→ 2→
DE= b- a．
3 3
【解答】解：连接AO，延长AO交BC于M，
∵点O是△ABC的重心，
AO 2
∴ = ，
AM 3
∵DE∥BC，
第12页（共31页）AE AO 2
∴ = = ，
AC AM 3
∵△ADE∽△ABC，
DE AE 2
∴ = = ，
BC AC 3
→ → → →
∵ AB=a，AC=b ，
→ → →
∴ BC=b-a ，
∵DE∥BC，
→ 2 → 2→ 2→
∴DE= BC= b- a．
3 3 3
2→ 2→
故答案为： b- a．
3 3
【点评】本题考查平面向量，三角形的重心，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握
重心的性质，平面向量的运算法则．
13．（4 分）（2025•黄浦区二模）如图 3，已知扇形 AOB，过点 A 作 AD⊥OB，垂足为点 D，如果
1
AD= OB=3，那么扇形AOB的面积为 3 ． .（结果保留 ）
2
π π
【考点】扇形面积的计算．
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【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】3 ．
【分析】根π据题意，可以得到∠AOB的度数和OA的长，然后根据扇形面积公式即可计算出扇形AOB
第13页（共31页）的面积．
【解答】解：∵AD⊥OB，
∴∠ADO＝90°，
1
∵AD= OB=3，OA＝OB，
2
1
∴AD= OA＝3，
2
∴∠AOD＝30°，OA＝6，
30π×62
∴扇形AOB的面积为： =3 ，
360
π
故答案为：3 ．
【点评】本题π考查扇形面积的计算、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式．
14．（4分）（2025•黄浦区二模）某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品
首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为x千克（x＞1），
那么快递费y（元）关于物品重量x（千克）的函数解析式为 y ＝ 8 x +2 ．
【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】y＝8x+2．
【分析】依据题意得，y＝10+8（x﹣1），从而可以判断得解．
【解答】解：由题意得，y＝10+8（x﹣1），
∴y＝8x+2．
故答案为：y＝8x+2．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键．
15．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知AB是 O的直径，C、D是 O上的两点，且AB⊥CD，垂
足为点H，如果AH＝CD＝8，那么AO的长为 ⊙ 5 ． ⊙
【考点】垂径定理；勾股定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
第14页（共31页）【答案】5．
1
【分析】连接OC，设AO＝x，由垂径定理求出CH= CD＝4，由勾股定理得到x2＝（8﹣x）2+42，求
2
出x＝5，即可得到AO的长．
【解答】解：连接OC，设AO＝x，
∴OC＝x，OH＝8﹣x，
∵直径AB⊥CD，
1 1
∴CH= CD= ×8＝4，
2 2
∵OC2＝OH2+CH2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴AO＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点得到关于x的方程．
16．（4 分）（2025•黄浦区二模）如图，已知平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线组成四边形
EFGH，联结HF．如果AB＝6，AD＝9，那么HF的长为 3 ．
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
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【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】3．
【分析】延长BH交AD于M，延长AF交BC于N，由平行线的性质、角平分线定义推出∠ABM＝
∠AMB，得到AM＝AB＝6，由等腰三角形的性质推出AF⊥MB，同理：AF⊥DF，推出EM∥DF，由平
行线分线段成比例定理推出EF：AE＝MD：AM＝1：2，同理：EH：BE＝1：2，得到EF：AE＝EH：
第15页（共31页）BE，判定△EHF∽△EBA，推出HF：AB＝EF：AE＝1：2，即可求出HF的长．
【解答】解：延长BH交AD于M，延长AF交BC于N，
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AMB＝∠CBM，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AM＝AB＝6，
∵AF平分∠BAM，
∴AF⊥MB，
同理：AF⊥DF，
∴EM∥DF，
∴EF：AE＝MD：AM，
∵MD＝AD﹣AM＝9﹣6＝3，
∴EF：AE＝3：6＝1：2，
同理：EH：BE＝1：2，
∴EF：AE＝EH：BE，
∵∠FEH＝∠AEB，
∴△EHF∽△EBA，
∴HF：AB＝EF：AE＝1：2，
∴HF＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是判定△EHF∽△EBA，推出
HF：AB＝EF：AE．
17．（4分）（2025•黄浦区二模）定义：抛物线C 上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到
1
新的抛物线C ，C 叫C 的“k倍衍生抛物线”．例如：求抛物线L ：y=3x2-2的“5倍衍生抛物线
2 2 1 1
第16页（共31页）x y
L ”．设抛物线L 上一点P′（x，y），则点P′在抛物线L 上的对应点为P( ， )，因为点P在抛物
2 2 1 5 5
y x 2 3 3
线L 上，所以 =3( ) -2，整理得到y= x2-10，即抛物线L 的表达式为y= x2-10.参考上述
1 5 5 5 2 5
a
方法，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的“k倍衍生抛物线”的表达式为y= x 2 + bx + ck ．
k
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
a
【答案】y= x2+bx+ck．
k
x
【分析】依据题意，设抛物线L 上一点P′（x，y），则点P′在抛物线y＝ax2+bx+c上的对应点为P（
2 k
y y x x
， ），从而 =a（ ）2+b• +c，进而计算可以得解．
k k k k
【解答】解：由题意，设抛物线L 上一点P′（x，y），则点P′在抛物线y＝ax2+bx+c上的对应点为P（
2
x y
， ），
k k
y x x
∴ =a（ ）2+b• +c．
k k k
a
∴y= x2+bx+ck．
k
a
故答案为：y= x2+bx+ck．
k
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟
练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
18．（4分）（2025•黄浦区二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，点O在边BC上，BO＝
2，以BO为半径作 O．将矩形ABCD翻折，使点D落在 O上，点D的对应点为点D′，折痕与边
⊙ ⊙
15±2√5
AD交于点M，如果直线DD′经过点O，那么DM的长为 ．
4
第17页（共31页）【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
15±2√5
【答案】 ．
4
【分析】分类讨论：当D'在线段OD上时，当D'在线段OD延长线上时，求出DO长，即可得到DD'的
长，求出DE的长，最后即可得解．
【解答】解：①设折痕与直线DD'交于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝8，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
∵OB＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝8﹣2＝6，
∴OD=√OC2+CD2=3√5，
∴DD'=OD-OD'=3√5-2，
翻折性质知DD'⊥ME，
1 1 3√5-2
D'E=DE= OD'= ×(3√5-2)= ，
2 2 2
1
∵tan∠COD=tan∠MDE= ，
2
ME 1
即 = ，
DE 2
1 3√5-2
∴ME= DE= ，
2 4
3√5-2 15-2√5
∴DM=√5ME=√5× = ；
4 4
②如图设折痕与直线DD'交于点E，
第18页（共31页）同理可得DD'＝3√5+2，
1 3√5+2
∴DE= DD'= ，
2 2
1
∵tan∠COD=tan∠MDE= ，
2
ME 1
即 = ，
DE 2
1 3√5+2
∴ME= DE=
2 4
3√5+2 15+2√5
∴DM=√5ME=√5× = ；
4 4
15±2√5
综上，DM的长为 ．
4
15±2√5
故答案为： ．
4
【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
1
1
19．（10分）（2025•黄浦区二模）计算：|1-√2|+272- +(π-3) 0．
2+√3
【考点】分数指数幂；零指数幂；实数的运算．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】√2+4√3-2．
【分析】根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式=√2-1+3√3-（2-√3）+1
=√2-1+3√3-2+√3+1
=√2+4√3-2．
【点评】本题主要考查分数指数幂、实数的运算及零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
第19页（共31页）2 6 1
20．（10分）（2025•黄浦区二模）解方程： + = +1．
x+3 x2-9 x-3
【考点】解分式方程；解一元二次方程﹣因式分解法．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣2．
【分析】根据解分式方程的方法，方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得出整式方程，解整式方程求出
x的值，然后检验即可．
2 6 1
【解答】解：
+ = +1，
x+3 x2-9 x-3
方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得2（x﹣3）+6＝x+3+（x+3）（x﹣3），
去括号，得2x﹣6+6＝x+3+x2﹣9，
移项、合并同类项，得x2﹣x﹣6＝0，
∴（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
检验：把x＝3代入（x+3）（x﹣3）＝0，
∴x＝3是原分式方程的增根．
把x＝﹣2代入（x+3）（x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程的方法，解分式方程的方法
是解题的关键．
21．（10分）（2025•武威一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+3（k≠0）与x轴、
8
y轴交于A、B两点，反比例函数y= (x＞0)的图象经过直线l上的点P（2，n）．
x
（1）求直线l的表达式；
8
（2）已知点C在反比例函数y= (x＞0)的图象上，且∠BOC＝∠ABO，求点C的坐标．
x
【考点】反比例函数综合题．
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第20页（共31页）【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
1
【答案】（1）直线l的表达式为y= x+3；
2
（2）C（4，2）．
8 8
【分析】（1）把点P（2，n）代入y= (x＞0)中得n= =4，把P（2，4）代入y＝kx+3得4＝
x 2
1 1
2k+3，求得k= ；于是得到直线l的表达式为y= x+3；
2 2
（2）解方程得到A（﹣6，0），B（0，3），求得OA＝6，OB＝3，如图，过C作CD⊥y轴于D，设C
8 8
（m， ），得到CD＝m，OD= ，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
m m
8 8
【解答】解：（1）把点P（2，n）代入y= (x＞0)中得n= =4，
x 2
∴P（2，4），
把P（2，4）代入y＝kx+3得4＝2k+3，
1
∴k= ；
2
1
∴直线l的表达式为y= x+3；
2
1
（2）在y= x+3中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣6，
2
∴A（﹣6，0），B（0，3），
∴OA＝6，OB＝3，
如图，过C作CD⊥y轴于D，
8
设C（m， ），
m
8
∴CD＝m，OD= ，
m
∴∠CDO＝∠AOB＝90°，
∵∠BOC＝∠ABO，
∴△ABO∽△COD，
OA OB
∴ = ，
CD OD
第21页（共31页）6 3
=
∴m 8 ，
m
解得m＝4（负值舍去），
∴C（4，2）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，
反比例函数图象上点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
22．（10分）（2025•黄浦区二模）’某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如
下几个指标因素：①书籍的数量A；②书籍的总页数B；③书籍的类别C；④网络评分D．根据以
上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式x＝x A+x B+x C+x D，其中
1 2 3 4
x 、x 、x 、x 是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了 4本书，总页数1350页，涉及3个类
1 2 3 4
别，4本书的网络评分的平均分为5.5分，那么小海的得分计为x＝4x +1350x +3x +5.5x .如果各项指标
1 2 3 4
因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定．
评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述
四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为0～10分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标
因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指
标因素的系数．
评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量 A”指标因素的得分情况统计图（如图）及各
指标因素的系数表（如表1）．
指标因素 系数
书籍的数量A m
书籍的总页数B 2.4
书籍的类别C 3.5
网络评分D n
表1
（1）指标因素“书籍的数量A''的系数m的值为 2. 6 ；
第22页（共31页）（2）确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为x＝ 2. 6 x 十 2. 4 x 十 3. 5 x 十 1. 5 x ；
1 2 3 4
（3）表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值．
A B C D 得分
甲 4 1500 3 7
乙 3 1800 2 4
表2
①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分．
甲得分为 3631. 4 ，乙得分为 4340. 8 ；
②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议： 可调整得分公式为： x ＝
1
x A+ x B + x C + x D ．
1 100 2 3 4
【考点】加权平均数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）2.6；
（2）2.6x 十2.4x 十3.5x 十 1.5x ；
1 2 3 4
（3）①3631.4，4340.8；
1
②可调整得分公式为：x＝x A+ x B+x C+x D．
1 100 2 3 4
【分析】（1）算出加权平均数即可；
（2）用总分10分减去其余项目的分数即可得到n的值，代入即可；
（3）①将甲乙各项的得分代入公式即可计算“阅读之星”的得分；
②书籍的总页数B的得分对结果的影响较大，调整书籍的总页数的得分公式即可．
1
【解答】解：（1）m= （1×28+36×2+60×3+20×4+6×5）＝2.6，
150
故答案为：2.6；
第23页（共31页）（2）n＝ 10﹣2.6﹣2.4﹣3.5＝1.5，
∴x＝2.6x 十2.4x 十3.5x 十 1.5x ，
1 2 3 4
故答察为：2.6x 十2.4x 十3.5x 十 1.5x ；
1 2 3 4
（3）①甲的得分为2.6×4+2.4×1500+3.5×3+1.5×7＝10.4+3600+10.5+10.5＝3631.4，
乙的得分为2.6×3+2.4×1800+3.5×2+1.5×4＝8.4+4320+7+6＝4340.8，
故答案为：3631.4，4340.8；
②可适当调整书籍的总页数B的得分公式，因为这项的分值占比太大，
1
可调整得分公式为：x＝x A+ x B+x C+x D，其余要求不变．
1 100 2 3 4
【点评】本题主要考查了加权平均数的应用，能正确计算加权平均数是解题的关键．
23．（12分）（2025•黄浦区二模）如图，已知四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAC＝90°，点E是四边形
ABCD外一点，AE＝CE，联结ED并延长分别交AC、BC于点M、N．
（1）求证：BN＝CN；
（2）已知BC2＝2AB•NE，求证：∠ACB＝∠NEC．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【分析】（1）由题意可得EN垂直平分AC，可得AN＝NC，AM＝MC，即可求解；
（2）通过证明△CMN∽△ECN，可得∠NCM＝∠NEC，即可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接NA，
∵AD＝CD，AE＝CE，
∴EN垂直平分AC，
∴AN＝NC，AM＝MC，∠CMN＝90°，
∴∠NAC＝∠ACN，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠BAN，
第24页（共31页）∴BN＝AN，
∴BN＝NC；
（2）∵BN＝NC，AM＝MC，
∴AB＝2MN，
∵BC2＝2AB•NE，
∴（2CN）2＝2×2MN•NE，
∴CN2＝MN•NE，
CN NE
∴ = ，
MN CN
又∵∠CNM＝∠CNE，
∴△CMN∽△ECN，
∴∠NCM＝∠NEC，
即∠ACB＝∠NEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明三角形相似是解题的关键．
1
24．（12分）（2025•黄浦区二模）在平面直角坐标系 xOy中（如图），已知抛物线 y=- x2+bx+c
4
（b≠0）与x轴交于A（2，0）、B两点（点A在点B右侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为P．
（1）如果AB＝6，求抛物线的表达式；
（2）用含b的代数式表示点P的坐标；
（3）联结BC、PC，直线PC交x轴于点E，如果BC＝EC，求抛物线的表达式．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
第25页（共31页）1 1
【答案】（1）y=- x2- x+2；
4 2
（2）点P（2b，b2﹣2b+1）；
1
（3）y=- x2﹣x+3．
4
1 1 1
【分析】（1）A（2，0）、AB＝6，则点B（﹣4，0），则y=- （x+4）（x﹣2）=- x2- x+2；
4 4 2
1
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=- ×4+2b+c，则c＝﹣2b+1，则抛物线的表达式为：y
4
1
=- x2+bx﹣2b+1，即可求解；
4
（3）BC＝EC，则点B、E关于y轴对称，则x +x ＝0，即可求解．
B E
【解答】解：（1）A（2，0）、AB＝6，则点B（﹣4，0），
1 1 1
则y=- （x+4）（x﹣2）=- x2- x+2；
4 4 2
1
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=- ×4+2b+c，则c＝﹣2b+1，
4
1
则抛物线的表达式为：y=- x2+bx﹣2b+1，
4
1
则抛物线的对称轴为直线x＝2b，此时，y=- x2+bx﹣2b+1＝b2﹣2b+1，
4
即点P（2b，b2﹣2b+1）；
（3）∵BC＝EC，则点B、E关于y轴对称，则x +x ＝0，
B E
1
由点P、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝（- ×2b+b）x+c，
4
4c 2c
则x = =- ，
E 2b-4b b
1
令y=- x2+bx﹣2b+1＝0，则x＝2（舍去）或﹣2c，即x ＝﹣2c，
4 B
第26页（共31页）2c
则﹣2c- =0，则b＝﹣1，则c＝﹣2b+1＝3，
b
1
则抛物线的表达式为：y=- x2﹣x+3．
4
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、等腰三角形的性质等，数形结合
是解题的关键．
3
25．（14分）（2025•黄浦区二模）已知，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，cosA= ，D是边AB上一动点，
5
CO 4
联结CD．点O在线段CD上，且 = ，以点O为圆心，CO为半径作 O，交边AC于点E．
OD 5
⊙
（1）当点D与点A重合时，判断 O与边AB的位置关系并说明理由；
⊙ EH
（2）已知点F在 O上，且C^E=C^F，EF与边BC交于点H，当EF经过圆心O时（如图），求
EF
⊙
的值；
（3）过点D作DP∥AC，交边BC于点P，当 O与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围．
⊙
【考点】圆的综合题．
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【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1） O与边AB相切，理由见解析；
7 ⊙
（2） ；
8
17 7
（3）当BD= 或 ＜BD＜7时， O与线段DP只有一个交点．
6 2
⊙
【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为点G．证明OG＝OC，由切线的判定可得出结论；
EH CE
（2）过点C作CM⊥AB，垂足为点M，证明△CEH∽△CBA．得出 = ，则可得出结论；
AB BC
17
（3）设BD＝x，当 O与线段DP相切时，切点记为点N，联结ON．求出x= ，当点P在 O上时，
6
⊙ ⊙
第27页（共31页）7
分别过点O、D作 OQ⊥CB，DR⊥BC，垂足为点Q、R．求出x= ．则可得出结论．
2
【解答】解：（1） O与边AB相切．
理由：过点O作OG⊙⊥AB，垂足为点G．
CO 4
∵AC＝5， = ，
OD 5
20 25
∴OC= ，OA= ，
9 9
3
∵cosA= ，
5
4
∴sinA= ，
5
20
∴OG=OA⋅sinA= ，
9
∴OG＝OC，
∴ O与边AB相切．
（⊙2）过点C作CM⊥AB，垂足为点M，
3
∵AC＝5，cosA= ，
5
∴AM＝3，CM＝4．
∵AB＝7，
∴BM＝4，
∴∠B＝45°，BC=4√2，
∵C^E=C^F，CD过圆心O，
第28页（共31页）∴CO⊥EF．
∵CO＝EO，
∴∠CEH＝45°，
∴∠CEH＝∠B，
又∠ECH＝∠ECH，
∴△CEH∽△CBA．
EH CE
∴ = ，
AB BC
7CE 7
∴EH= = EO，
4√2 4
∵EF＝2EO，
EH 7
∴ = ；
EF 8
（3）设BD＝x，当 O与线段DP相切时，切点记为点N，联结ON．
⊙
∴ON⊥DP，ON＝CO，
CO 4
∵ = ，
OD 5
ON 4
∴sin∠ODN= = ，
OD 5
∵DP∥AC，
∴∠ACD＝∠ODN，
4
∴sin∠ACD= ，
5
4
又∵sin∠A= ，
5
∴∠ACD＝∠A，
∴CD＝AD．
∵CM⊥AB，CM＝4，
∴CD=√42+(4-x) 2，
第29页（共31页）又AD＝7﹣x，
∴√42+(4-x) 2=7-x，
17
∴x= ，
6
当点P在 O上时，分别过点O、D作 OQ⊥CB，DR⊥BC，垂足为点Q、R．
⊙
∴CQ＝PQ，
∵DP∥AC，
CP AD
∴ = ，
BC AB
4√2(7-x) 2√2
∴CP= ，CQ=2√2- x．
7 7
∵DR⊥BC，∠B＝45°，
√2
∴BR= x，
2
√2
∴CR=4√2- x．
2
CO 4
∵ = ，OQ∥DR，
OD 5
CO CQ 4
∴ = = ，
CD CR 9
2√2
2√2- x
7 4
∴ = ，
√2 9
4√2- x
2
7
∴x= ．
2
7
∴当 ＜BD＜7时，点P在 O内， O与线段DP只有一个交点．
2
⊙ ⊙
17 7
综上所述，当BD= 或 ＜BD＜7时， O与线段DP只有一个交点．
6 2
⊙
第30页（共31页）【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的性
质等知识点．熟练掌握切线的判定是解题的关键．
第31页（共31页）
