文档内容
2025年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的,请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上)
1．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列计算结果比﹣3小的是（ ）
A．﹣2+（﹣4） B．﹣2﹣（﹣4） C．﹣2×（﹣4） D．﹣2÷（﹣4）
2．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列说法正确的是（ ）
A．为调查长江现有鱼的种类，采用普查的方式
B．为了解某校1200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读情况
C．为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图
D．为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生
3．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列长度的两条线段与长度为 12的线段首尾依次相连能组成直角形三
角形的是（ ）
A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18
4．（2分）（2025•鼓楼区二模）小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如表所示．通常情况下，
人体每日摄入膳食纤维的适宜量是25～35克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（
）
营养成分表
项目 每100克 营养量参考值%
能量 2092千焦 25%
蛋白质 8.9克 15%
脂肪 24.0克 40%
碳水化合物 59.1克 20%
膳食纤维 6.0克 24%
钠 250毫克 1.3%
A．1袋 B．2袋 C．3袋 D．4袋
5．（2分）（2025•鼓楼区二模）格点△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．△A B C 和△ABC关
1 1 1
于x轴对称，将△ABC向左平移8个单位，再向下平移2个单位得△A B C ，再将△A B C 绕着点A
2 2 2 2 2 2 2
按逆时针方向旋转90°后得△A B C ．下列说法：①△ABC绕某点旋转一定的角度可得到△A B C ；
3 3 3 3 3 3
②△A B C 绕某点旋转一定的角度可得到△A B C ；③△A B C 与△A B C 关于某条直线对称．其中
1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 3 3
所有正确的序号是（ ）
第1页（共34页）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2分）（2025•鼓楼区二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子
礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡
相应位置上）
7．（2分）（2025•鼓楼区二模）﹣3的相反数是 ，﹣3的绝对值是 ．
8．（2分）（2025•鼓楼区二模）化简（3a2）2的结果是 ．
9．（2分）（2025•鼓楼区二模）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数．
10．（2分）（2025•鼓楼区二模）因式分解：6a2﹣4a＝ ．
11．（2分）（2025•鼓楼区二模）要说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，写一个c的值，它可以是
．
12．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，将一张宽为√3的矩形纸片折叠，若∠1＝60°，则折痕EF的长为
．
第2页（共34页）k
13．（2分）（2025•鼓楼区二模）已知点A（2，y ）与点B（m，y ）在反比例函数y= (k＞0)的图象
1 2 x
上，若y ＜y ，则m的取值范围是 ．
1 2
14．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，在正多边形中，若∠1＝27°，则∠2＝ °．
15．（2分）（2025•淮北校级自主招生）如图，平面直角坐标系中，已知点A（1，3），点B（4，0），
则△AOB的重心坐标为 ．
16．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，l 1∥l
2
，l
1
与l
2
间的距离为2，A、B是l
1
上两个定点，P是l
2
上的
1
一个动点，连接PB并延长至点C，使得BC= PB．若D是l 上方一点，且四边形APCD是平行四边
2 1
形，则PD的最小值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
第3页（共34页）17．（8分）（2025•鼓楼区二模）计算：
√1
（1）√327-4 +√8；
2
（2）（a﹣b）（a+b）+（a+b）2．
2x 1
18．（7分）（2025•鼓楼区二模）（1）解方程： + =3；
x-2 2-x
2x 1
（2）若关于x的方程 + =a无解，则a的值是 ．
x-2 2-x
19．（8分）（2025•鼓楼区二模）为购买一台洗衣机，某市场研究小组收集了甲、乙两种功能类似的洗
衣机近5周的销售量和用户评分情况，统计结果如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 种洗衣机销售量比较稳定， 种洗衣机用户评分中位数较高（填“甲”或
“乙”）；
（2）你推荐选择哪种洗衣机？请说明理由．
20．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中
点．
（1）求证：四边形EFGH为矩形；
（2）菱形ABCD满足 时，四边形EFGH为正方形．
21．（8分）（2025•鼓楼区二模）（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分
成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色
分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率．
第4页（共34页）（2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与
（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案．
22．（8分）（2025•鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到
0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，√2≈1.41）
23．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O交BC交于点D，过
点D作AC的垂线交AC于点E． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若BD＝3，A⊙E＝8，求 O的半径．
⊙
24．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以80km/h
的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以120km/h的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留
0.5h后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为th，货车与南京
的距离y km，轿车与南京的距离y km．
1 2
（1）在图2中，分别画出和补全y 、y 关于t的函数图象；
1 2
（2）分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离；
（3）若镇江距离南京90km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔．
第5页（共34页）25．（9分）（2025•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A
（x ，y ），B（x ，y ）都在该二次函数图象上．
1 1 2 2
（1）用含a的代数式表示b；
（2）当x ＝﹣4，x ＝5时，比较y 与y 的大小，并说明理由；
1 2 1 2
（3）当x ＝t+8，t≤x ≤t+2时，都有c＞y ＞y ，直接写出t的取值范围．
1 2 2 1
26．（8分）（2025•鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与
面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）．
（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理
由．
（2）判断命题的真假，并说明理由．
27．（8分）（2025•鼓楼区二模）【提出问题】
过平面内一点P画直线l平分已知△ABC的面积．
【发现问题】
根据点P与△ABC的位置不同，可以分成点P在△ABC边上、在△ABC内部、在△ABC外部三种情况．
（1）当点P在△ABC边上
①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法；
②若点P在△ABC的边AB上，如图②，小明取BC的中点D，连接PD，…
请根据小明的思路画出直线l，并简述画法．
【分析问题】
（2）当点P在△ABC的内部，
如图③，如何画出直线l呢？
小红的画法：
第一步取BC的中点D；
第二步画△ABH∽△PBD；
第三步过点P画PI∥BC，交BH于点I；
第四步过P、I、H三点的圆交AB于点J；
第6页（共34页）第五步过点P画直线JP，交BC于点K．
则JK就是所求的直线l．
请说明小红画图的正确性．
【解决问题】
（3）当点P在△ABC的外部如图④，画出直线l，并简述画法．
第7页（共34页）2025年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A． C B B C D
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的,请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上)
1．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列计算结果比﹣3小的是（ ）
A．﹣2+（﹣4） B．﹣2﹣（﹣4） C．﹣2×（﹣4） D．﹣2÷（﹣4）
【考点】有理数的混合运算；有理数大小比较．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】A．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数
都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大
小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．∵﹣2+（﹣4）＝﹣6，|﹣6|＝6，|﹣3|＝3，6＞3，∴﹣2+（﹣4）＜﹣3，故符合题意；
B．∵﹣2﹣（﹣4）＝2，∴﹣2﹣（﹣4）＞﹣3，故不符合题意；
C．∵﹣2×（﹣4）＝8，∴﹣2×（﹣4）＞﹣3，故不符合题意；
1
D．∵﹣2÷（﹣4）= ，∴﹣2÷（﹣4）＞﹣3，故不符合题意；
2
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正
数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列说法正确的是（ ）
A．为调查长江现有鱼的种类，采用普查的方式
B．为了解某校1200名学生的课外阅读情况，随机调查了100名女生课外阅读情况
C．为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图
D．为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生
【考点】统计图的选择；全面调查与抽样调查．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
第8页（共34页）【答案】C
【分析】根据调查方法的选择，抽样调查的可靠性，扇形统计图的特点以及样本容量逐一分析判断即
可．
【解答】解：A、为调查长江现有鱼的种类，采取抽样调查的方式，原说法不正确，故选项不符合题
意；
B、具有代表性的调查方式是从全校学生中随机抽取100名学生进行调查，原说法不正确，故选项不符
合题意；
C、为反映某区初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，适合用扇形统计图，说法正确，故选项
符合题意；
D、为了解某校九年级学生睡眠时长，抽取该年级50名学生调查，样本是这50名学生的睡眠时间，原
说法不正确，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了统计图的选择，全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握
这些数学概念是解题的关键．
3．（2分）（2025•鼓楼区二模）下列长度的两条线段与长度为 12的线段首尾依次相连能组成直角形三
角形的是（ ）
A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18
【考点】勾股定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【解答】解：∵92+122＝152，
∴能组成直角三角形，
∴选项B中的数据符合题意，
选项A，C，D中的数据长度与12不能组成直角三角形，不符号题意，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的判定方法是解题的关键．
4．（2分）（2025•鼓楼区二模）小明买了每袋250克的食品若干袋，营养成分如表所示．通常情况下，
人体每日摄入膳食纤维的适宜量是25～35克．若小明今天仅依靠此食品来获取膳食纤维，他需要吃（
）
营养成分表
第9页（共34页）项目 每100克 营养量参考值%
能量 2092千焦 25%
蛋白质 8.9克 15%
脂肪 24.0克 40%
碳水化合物 59.1克 20%
膳食纤维 6.0克 24%
钠 250毫克 1.3%
A．1袋 B．2袋 C．3袋 D．4袋
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据表格中的数据，可以计算出每袋中含有的膳食纤维量，然后根据人体每日摄入膳食纤维
的适宜量是25～35克，即可计算出小明需要吃几袋．
【解答】解：由表可得，
每袋含有膳食纤维的量为250÷100×6＝15（g），
∵人体每日摄入膳食纤维的适宜量是25～35克，25÷15＝1……10，35÷15＝2……5，
∴小明需要吃2袋，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的式子．
5．（2分）（2025•鼓楼区二模）格点△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．△A B C 和△ABC关
1 1 1
于x轴对称，将△ABC向左平移8个单位，再向下平移2个单位得△A B C ，再将△A B C 绕着点A
2 2 2 2 2 2 2
按逆时针方向旋转90°后得△A B C ．下列说法：①△ABC绕某点旋转一定的角度可得到△A B C ；
3 3 3 3 3 3
②△A B C 绕某点旋转一定的角度可得到△A B C ；③△A B C 与△A B C 关于某条直线对称．其中
1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 3 3
所有正确的序号是（ ）
第10页（共34页）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；坐标与
图形变化﹣平移．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】分别作线段AA ，BB ，CC 的垂直平分线，相交于点P，可知△ABC绕点P逆时针旋转90°得
3 3 3
到△A B C ；分别作线段A A ，B B ，C C 的垂直平分线，没有相交于一点，可知△A B C 不能绕某
3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1
点旋转一定的角度可得到△A B C ；结合轴对称的性质可知△A B C 与△A B C 关于直线l对称，即可
2 2 2 1 1 1 3 3 3
得出答案．
【解答】解：分别作线段AA ，BB ，CC 的垂直平分线，相交于点P，
3 3 3
可知△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△A B C ，
3 3 3
故结论①正确，符合题意；
分别作线段A A ，B B ，C C 的垂直平分线，没有相交于一点，
1 2 1 2 1 2
可知△A B C 不能绕某点旋转一定的角度可得到△A B C ，
1 1 1 2 2 2
故结论②不正确，不符合题意；
如图，可知△A B C 与△A B C 关于直线l对称，
1 1 1 3 3 3
故结论③正确，符合题意．
综上所述，所有正确的序号是①③．
故选：C．
第11页（共34页）【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转、关于x轴、y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化﹣对称、
坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2分）（2025•鼓楼区二模）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子
礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．
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【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】D
【分析】根据题意和各个选项中的图形，可以判断哪个图形能是三棱柱的展开图．
【解答】解：三棱柱的展开图是选项D．
故选：D．
【点评】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡
相应位置上）
7．（2分）（2025•鼓楼区二模）﹣3的相反数是 3 ，﹣3的绝对值是 3 ．
第12页（共34页）【考点】绝对值；相反数．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据绝对值和相反数的概念进行求解即可．
【解答】解：﹣3的相反数为：3，﹣3的绝对值为3．
故答案为：3，3．
【点评】本题考查了绝对值和相反数的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念．
8．（2分）（2025•鼓楼区二模）化简（3a2）2的结果是 9 a 4 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】9a4．
【分析】根据积的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：（3a2）2＝32×（a2）2＝9a4，
故答案为：9a4．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能正确运用幂的乘方与积的乘方进行计算是解此题的关键，
（am）n＝amn，（ab）n＝anbn．
9．（2分）（2025•鼓楼区二模）如果实数a、b满足 ab ＝ 1 ，那么a、b互为倒数．
【考点】实数的性质；倒数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】ab＝1．
【分析】根据互为倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：当ab＝1时，a，b是互为倒数，
故答案为：ab＝1．
【点评】本题主要考查了实数的性质，解题关键是熟练掌握互为倒数的定义．
10．（2分）（2025•鼓楼区二模）因式分解：6a2﹣4a＝ 2 a （ 3 a ﹣ 2 ） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【专题】因式分解；运算能力．
【答案】2a（3a﹣2）．
【分析】首先确定公因式，然后提取即可．
【解答】解：6a2﹣4a＝2a（3a﹣2），
故答案为：2a（3a﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
11．（2分）（2025•鼓楼区二模）要说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，写一个c的值，它可以是
第13页（共34页）﹣ 2 （答案不唯一） ．
【考点】命题与定理；不等式的性质．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】﹣2（答案不唯一）．
【分析】根据不等式的性质三、假命题的概念解答．
【解答】解：当a＜b，c＝﹣2时，﹣2a＞﹣2b，即ac＞bc，
说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，将一张宽为√3的矩形纸片折叠，若∠1＝60°，则折痕EF的长为
2 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】2．
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质求出∠1＝∠GEB＝60°，∠GEB＝∠GEF＝60°，根据平角的定
义求出∠FEM＝60°，解直角三角形求解即可．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，
∵AD∥BC，∠1＝60°，
∴∠1＝∠GEB＝60°，
根据折叠的性质得，∠GEB＝∠GEF＝60°，
第14页（共34页）∴∠FEM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
FM √3
在Rt△EFM中，FM=√3，sin∠FEM= = ，
EF 2
∴EF＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，熟记折叠的性质、矩形的性质是解题的关键．
k
13．（2分）（2025•鼓楼区二模）已知点A（2，y ）与点B（m，y ）在反比例函数y= (k＞0)的图象
1 2 x
上，若y ＜y ，则m的取值范围是 0 ＜ m ＜ 2 ．
1 2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】0＜m＜2．
【分析】先根据题意判断出函数图象所在的象限，再由y ＜y 即可得出结论．
1 2
k
【解答】解：∵反比例函数y= 中，k＞0，
x
∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
k
∵点A（2，y ）与点B（m，y ）在反比例函数y= (k＞0)的图象上，2＞0，
1 2 x
∴点A（2，y ）在第一象限，
1
∵y ＜y ，
1 2
∴点B（m，y ）也在第一象限，
2
∴0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式是解题的关键．
14．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，在正多边形中，若∠1＝27°，则∠2＝ 10 8 °．
【考点】多边形内角与外角．
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【专题】线段、角、相交线与平行线．
第15页（共34页）【答案】108．
5 5
【分析】根据∠1＝27°，求出∠3= ∠1= ×27°=45°，再根据三角形内角和定理求出结果即可．
3 3
【解答】解：如图，
∵∠1所对的边有3条，∠3所对的边有5条，
5 5
∴∠3= ∠1= ×27°=45°，
3 3
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝108°，
故答案为：108．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形内角和定理应用，掌握以上性质是解题的关键．
15．（2分）（2025•淮北校级自主招生）如图，平面直角坐标系中，已知点A（1，3），点B（4，0），
5
则△AOB的重心坐标为 （ ，1） ．
3
【考点】三角形的重心；坐标与图形性质．
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【专题】三角形；运算能力．
5
【答案】（ ，1）．
3
【分析】分别求出三角形的边OA和OB上中线所在直线的解析式，据此进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
第16页（共34页）∵点A（1，3），点B（4，0），
1 3
∴OA的中点M的坐标为（ ， ），OB的中点N的坐标为（2，0）．
2 2
令直线AN的函数解析式为y＝kx+b，
{k+b=3
则 ，
2k+b=0
{k=-3
解得 ，
b=6
∴直线AN的函数解析式为y＝﹣3x+6．
3 12
同理可得，直线BM的函数解析式为y=- x+ ．
7 7
3 12
由﹣3x+6=- x+ 得，
7 7
5
x= ，
3
5
则y＝﹣3× +6＝1，
3
5
∴△AOB的重心坐标为（ ，1）．
3
5
故答案为：（ ，1）．
3
【点评】本题主要考查了三角形的重心及坐标与图形性质，熟知三角形重心的定义是解题的关键．
16．（2分）（2025•鼓楼区二模）如图，l 1∥l
2
，l
1
与l
2
间的距离为2，A、B是l
1
上两个定点，P是l
2
上的
1
一个动点，连接PB并延长至点C，使得BC= PB．若D是l 上方一点，且四边形APCD是平行四边
2 1
形，则PD的最小值是 5 ．
第17页（共34页）【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离．
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【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】5．
3
【分析】设AB，PD交于点O．证明OD= OP，判断出OP的最小值可得结论．
2
【解答】解：设AB，PD交于点O．
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD∥PC，AD＝PC，
1
∵BC= PB，
2
PB PO 2
∴ = = ，
AD OD 3
3
∴OD= OP，
2
∵当OP⊥AB时，OP的值最小，最小值为2，
∴OD的最小值为3，
∴PD的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线之间的距离，垂线段最短，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17．（8分）（2025•鼓楼区二模）计算：
第18页（共34页）√1
（1）√327-4 +√8；
2
（2）（a﹣b）（a+b）+（a+b）2．
【考点】整式的混合运算；实数的运算．
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【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）2a2+2ab．
【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义，二次根式的性质计算后再算加减即可；
（2）利用平方差及完全平方公式计算后再合并同类项即可．
√2
【解答】解：（1）原式＝3﹣4× +2√2
2
＝3﹣2√2+2√2
＝3；
（2）原式＝a2﹣b2+a2+2ab+b2
＝2a2+2ab．
【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2x 1
18．（7分）（2025•鼓楼区二模）（1）解方程： + =3；
x-2 2-x
2x 1
（2）若关于x的方程 + =a无解，则a的值是 2 ．
x-2 2-x
【考点】解分式方程；分式方程的解．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝5；
（2）2．
【分析】（1）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可；
（2）
2x 1
【解答】解：（1） + =3，
x-2 2-x
方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣1＝3（x﹣2），
去括号，得2x﹣1＝3x﹣6，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝5；
第19页（共34页）2x 1
（2） + =a，
x-2 2-x
方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣1＝a（x﹣2），
整理，得（2﹣a）x＝﹣2a+1．
-2a+1
当2﹣a≠0时，x= ，
2-a
∵分式方程无解，
∴x﹣2＝0，即x＝2，
-2a+1 -2a+1
把x＝2代入x= ，得 =2，
2-a 2-a
∴﹣2a+1＝4﹣2a，
∴1＝4，（矛盾，无解）
∴此情况无符合条件的a值．
当2﹣a＝0时，即a＝2，
2x-1
则原方程变为 =2，
x-2
去分母，得2x﹣1＝2（x﹣2），
去括号，得2x﹣1＝2x﹣4，
∴﹣1＝﹣4，（矛盾，无解），
∴当a＝2时，方程无解．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
19．（8分）（2025•鼓楼区二模）为购买一台洗衣机，某市场研究小组收集了甲、乙两种功能类似的洗
衣机近5周的销售量和用户评分情况，统计结果如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 甲 种洗衣机销售量比较稳定， 乙 种洗衣机用户评分中位数较高（填“甲”或“乙”）；
第20页（共34页）（2）你推荐选择哪种洗衣机？请说明理由．
【考点】方差；中位数．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）甲，乙；
（2）推荐选择甲洗衣机，理由见解答．（答案不唯一）．
【分析】（1）根据条形统计图判断即可得出甲种洗衣机销售量比较稳定；根据折线统计图可得两种洗
衣机用户评分的中位数，再比较大小即可；
（2）结合统计图解答即可．
【解答】解：（1）由条形统计图可知，甲种洗衣机销售量比较稳定；
由折线统计图可知，甲种洗衣机用户评分中位数为 7分，乙种洗衣机用户评分中位数为8分，即乙种
洗衣机用户评分中位数较高；
故答案为：甲，乙；
（2）推荐选择甲洗衣机，理由如下：
甲种洗衣机销售量比较稳定，且甲种洗衣机用户评分呈现上升趋势，评分总和比乙高，所以推荐选择
甲洗衣机．（答案不唯一）．
【点评】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数，方差，能从统计图中获取信息，明确统计量的
意义是解题的关键．
20．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中
点．
（1）求证：四边形EFGH为矩形；
（2）菱形ABCD满足 AC ＝ BD 时，四边形EFGH为正方形．
【考点】中点四边形；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）AC＝BD．
【分析】（1）连接FH，EG，AC，BD，根据菱形的性质结合三角形中位线定理推出 EG＝FH即可推
出结论
第21页（共34页）（2）由AC＝BD可得EF＝EH，从而得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接FH，EG，AC，BD，
∵四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
1 1
∴AB＝AD，AE∥GD，AE＝GD= AB，EF= AC=GH，且EF∥AC∥GH，
2 2
∴四边形EGDA是平行四边形，四边形EFGH是平行四边形，
∴EG＝AD，
同理可证FH＝AB，
∴EG＝FH，
∴四边形EFGH为矩形；
（2）解：菱形ABCD满足AC＝BD时，四边形EFGH为正方形，
∵AC＝BD，
1 1
∴EF= AC= BD=EH，
2 2
又∵四边形EFGH为矩形，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC＝BD．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，三角形中位线定理，熟记各性
质定理是解题的关键．
21．（8分）（2025•鼓楼区二模）（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分
成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色
分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率．
（2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与
（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案．
第22页（共34页）【考点】几何概率；列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
1
【答案】（1）两个转盘指针恰好都落在黄色区域的概率为 ；
6
（2）答案见解析．
【分析】（1）根据转动两个转盘是两个相互独立的事件，求出每个转盘指针恰好都落在黄色区域的概
率，再相乘即可；
（2）根据概率的计算公式设计方案即可．
1
【解答】解：（1）转动转盘①指针恰好都落在黄色区域的概率为：P（黄） ；
4
2
转动转盘①指针恰好都落在黄色区域的概率为P（黄）= ，
3
1 2 1
同时转动两个转盘指针恰好都落在黄色区域的概率为P= × = ；
4 3 6
1
（2）在袋子中放入1个黄球和5个红球，从中随机摸出一球，则摸到黄球的概率为P（黄）= ．
6
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
22．（8分）（2025•鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到
0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，√2≈1.41）
【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
第23页（共34页）【答案】BC的长约为14.1m．
【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长EC交BF于点G，根据题意可得：AH⊥BG，EG＝AH，
AE＝GH，然后设CG＝xm，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE和AE的长，从而可得
EG＝AH＝（x+8）m，再在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而可求出BH的
长，最后在Rt△ABH中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可求出CG和BG的长，最后在
Rt△BCG中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长EC交BF于点G，
由题意得：AH⊥BG，EG＝AH，AE＝GH，
设CG＝xm，
在Rt△ACE中，∠EAC＝53°，AC＝10m，
∴CE＝AC•sin53°≈8（m），AE＝AC•cos53°≈6（m），
∴EG＝AH＝CE+CG＝（x+8）m，AE＝GH＝6m，
在Rt△BCG中，∠CBG＝45°，
CG
∴BG= =x（m），
tan45°
∴BH＝BG﹣GH＝（x﹣6）m，
在Rt△ABH，AH2+BH2＝AB2，
∴（8+x）2+（x﹣6）2＝18.442，
解得：x ＝﹣12（舍去），x ＝10，
1 2
∴CG＝BG＝10m，
在Rt△BCG中，BC=√CG2+BG2=√102+102=10√2≈14.1（m），
∴BC的长约为14.1m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
第24页（共34页）23．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O交BC交于点D，过
点D作AC的垂线交AC于点E． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若BD＝3，A⊙E＝8，求 O的半径．
⊙
【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2） O的半径为4.5．
【分析⊙】（1）连接 OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得
OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是 O切线．
（2）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，根据相似三⊙角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD．
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ODE＝∠AED＝90°，
∴半径OD⊥DE，
∴DE是 O的切线；
（2）解⊙：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
第25页（共34页）∵DE⊥AC，
∴∠CED＝∠ADC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴ADC∽△DEC，
CE CD
∴ = ，
CD AC
CE 3
∴ = ，
3 8+CE
∴CE＝1或CE＝8（不合题意舍去），
∴AB＝AC＝9，
∴ O的半径为4.5．
⊙
【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
24．（8分）（2025•鼓楼区二模）如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以80km/h
的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以120km/h的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留
0.5h后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为th，货车与南京
的距离y km，轿车与南京的距离y km．
1 2
（1）在图2中，分别画出和补全y 、y 关于t的函数图象；
1 2
（2）分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离；
（3）若镇江距离南京90km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔．
【考点】一次函数的应用．
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第26页（共34页）【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）见解答；
（2）80km，280km；
13
（2） h．
8
【分析】（1）根据题意，别画出和补全y 、y 关于t的函数图象即可；
1 2
2
（2）根据路程＝速度×时间求出轿车在最初 h行驶的路程即为苏州到上海的距离，设南京到上海的距
3
离为xkm，根据最终两车同时到达目的地列关于x的方程并求解即可；
（3）分别计算两车经过镇江时的时间并求差即可．
【解答】解：（1）画出和补全y 、y 关于t的函数图象如图所示：
1 2
2
（2）苏州到上海的距离为120× =80（km），
3
设南京到上海的距离为xkm，
x 7 x
根据题意，得 = + ，
80 6 120
解得x＝280．
∴南京到上海的距离280km．
9
（3）货车经过镇江时的时间为90÷80= （h），
8
7 33
轿车经过镇江时的时间为 +（280﹣90）÷120= （h），
6 12
33 9 13
- = （h）．
12 8 8
13
答：货车和轿车经过镇江的时间间隔为 h．
8
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
25．（9分）（2025•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A
第27页（共34页）（x ，y ），B（x ，y ）都在该二次函数图象上．
1 1 2 2
（1）用含a的代数式表示b；
（2）当x ＝﹣4，x ＝5时，比较y 与y 的大小，并说明理由；
1 2 1 2
（3）当x ＝t+8，t≤x ≤t+2时，都有c＞y ＞y ，直接写出t的取值范围．
1 2 2 1
【考点】二次函数综合题．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）b＝2a；
（2）y ＞y ；
1 2
（3）t的取值范围为﹣5＜t＜﹣4或t＞0．
b
【分析】（1）对称轴为直线x＝﹣1可得- =-1，故b＝2a；
2a
（2）根据开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大这一性质，可
立即比较出大小；
（3）因为x ＝t+8，t≤x ≤t+2，所以x ＜x ，可分为x 、x 居于对称轴同侧或异侧两类情况画出图形分
1 2 2 1 1 2
别讨论即可．
b
【解答】解：（1）由对称轴为直线x＝﹣1可得- =-1，
2a
故b＝2a．
（2）∵开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大，
且¿，
∴y ＞y ．
1 2
（3）∵x ＝t+8，t≤x ≤t+2，
1 2
∴x ＜x ，
2 1
∵c＞y ＞y ，如图1所示时，
2 1
第28页（共34页）故只需满足t＞0即可；
当x 、x 如图2所示时，x 的对称点横坐标为﹣t﹣10，
1 2 1
∵c＞y ＞y ，
2 1
{-t-10＜t
∴ ，解得﹣5＜t＜﹣4，
t+2＜-2
综上，t的取值范围为﹣5＜t＜﹣4或t＞0．
【点评】本题考查了二次函数的性质，对称轴，增减性，根据题意画出图形分类讨论是解题关键．
26．（8分）（2025•鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与
面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）．
（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理
由．
（2）判断命题的真假，并说明理由．
【考点】命题与定理；一元二次方程的应用；矩形的性质．
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第29页（共34页）【专题】一元二次方程及应用．
9-√57 9+√57
【答案】（1）成立，矩形B的两边长为 ， ；（2）成立，见解析．
2 2
【分析】（1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一
步求解即可；
（2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为
x，则宽为k（m+n）﹣x．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可．
【解答】解：（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，此时矩形B的周长为18，面积为6，
设矩形B的长为x，则宽为9﹣x，
根据题意列方程，得：（9﹣x）x＝6，
∴x2﹣9x+6＝0，
9-√57 9+√57
解得：x = ，x = ，
1 2 2 2
∴此时命题成立；
（2）若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为
x，则宽为k（m+n）﹣x．
根据题意列方程，得：x[k（m+n）﹣x]＝kmn，
即x2﹣k（m+n）x+kmn＝0，
根据求根公式得：b2﹣4ac＝k2（m+n）2﹣4kmn＝k[k（m+n）2﹣4mn]，
∵k＞1，
∴[k（m+n）2﹣4mn]＞（m+n）2﹣4mn，
又（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2≥0，
∴[k（m+n）2﹣4mn]＞0，
∴存在矩形B，
∴此命题成立．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法，掌握其性质是解题的关键．
27．（8分）（2025•鼓楼区二模）【提出问题】
过平面内一点P画直线l平分已知△ABC的面积．
【发现问题】
根据点P与△ABC的位置不同，可以分成点P在△ABC边上、在△ABC内部、在△ABC外部三种情况．
（1）当点P在△ABC边上
①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法；
第30页（共34页）②若点P在△ABC的边AB上，如图②，小明取BC的中点D，连接PD，…
请根据小明的思路画出直线l，并简述画法．
【分析问题】
（2）当点P在△ABC的内部，
如图③，如何画出直线l呢？
小红的画法：
第一步取BC的中点D；
第二步画△ABH∽△PBD；
第三步过点P画PI∥BC，交BH于点I；
第四步过P、I、H三点的圆交AB于点J；
第五步过点P画直线JP，交BC于点K．
则JK就是所求的直线l．
请说明小红画图的正确性．
【解决问题】
（3）当点P在△ABC的外部如图④，画出直线l，并简述画法．
【考点】圆的综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】详见解析．
【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形的面积即可得解；
（2）过点A画直线AM∥PD，交BC于点M，画直线PM，PM就是所求的直线l；
第31页（共34页）（3）连接连接JD、AK、AD．证△JBH∽△PBK，再证△IBD∽△ABK，进而推出S ＝S ，即可得
△BAD △BKJ
解；
（4）第一步取AB的中点D；第二步画△CBH∽△PBD；第三步过点P画PI∥BA，交HB的延长线于点
I；第四步过P、I、H三点的圆交CB于点J；第五步过点P作直线JP，交BA于点K．则JK就是所求
的直线l．
【解答】解：（1）如图①，画法：取BC中点D，画直线AD，AD就是所求的直线l；
（2）如图②，画法：过点A画直线AM∥PD，交BC于点M，画直线PM，PM就是所求的直线l；
（3）连接JD、AK、AD．
∵△ABH∽△PBD，
AB BH
∴ = ，∠ABH＝∠PBD，
BP BD
∵∠JHI与∠JPI是同弧^IJ所对圆周角，
第32页（共34页）∴∠JHI＝∠JPI．
而IP∥BC，
∴∠JPI＝∠JKB，
∴∠JHI＝∠JKB，
又∵∠ABH＝∠PBD，
∴△JBH∽△PBK，
HB BJ
∴ = ，
BK BP
AB BH BD BJ
由 = ，得 = ，
BP BD BK BA
又∵∠JBD＝∠ABK，
∴△IBD∽△ABK，
∴∠BJD＝∠BAK，
∴JD∥AK，
∴S ＝S ，
△AOJ △DOK
∴S ＝S ，
△BAD △BKJ
∵点D是AB中点，
1
∴S = S ，
△BAD 2 △BAC
1
∴S = S ，即直线K平分△ABC面积．
△BKJ 2 △BAC
（4）如图④，
画法：第一步取AB的中点D；
第二步画△CBH∽△PBD；
第三步过点P画PI∥BA，交HB的延长线于点I；
第33页（共34页）第四步过P、I、H三点的圆交CB于点J；
第五步过点P作直线JP，交BA于点K．则JK就是所求的直线l．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形的中线等内容，熟练掌握相
关知识是解题的关键．
第34页（共34页）
