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2025级高一上学期数学期中考试参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B C D C A AD ACD
题号 11
ABC
答案
12. 13. 14.
8.【详解】当 时，由 ，
若 时， ，即 ，故 ；
若 时， ，即 ，故 ；此时 ；
当 时，由 ，
所以 或 ，即 或 （舍），
若 时， ，即 ，显然无解；
若 时， ，即 ，故 ；
此时 ；综上，实数 的取值范围是 .
故选：A
10.D 选 项 【 详 解 】 因 为 ， ， 所 以
，当且仅当
时等号成立．又因为 ，由不等式的性质可得
.
又因为 ，当且仅当 时等号成
立．当且仅当 时等号成立综上， 的最
小值为 ，
.11.【详解】由 ，令 ，则 ，则 关于对称，又 为定义在 上的奇函数， ， ， 关于原点对称，
，故 ，即 ，函
数 周期为4.对于A， ，A对；
对C， ， ， ，由 关于 对称且关于原点对称，
故 ， ，又 周期为4，故 的最小值为 ，
C对；对BD， ， 且单调递减， 关于 对称，则
且单调递增， ， 关于原点对称，
由 可得 ①， 设解为 ，且 ，则
，由 得 或 ，
（1）当 时， ，①式可解得 ，即 在区间 无解，又
过 ， ，结合 的单调性及对称性可得， 在区间 有
三个解为 、0、1；（2）当 时， ，
，则
，又 时代入方程组得 ，故 ，
即 在区间 有1个解，又 ， ，结合 的单
调性及对称性可得 在区间 少于三个解；
（3）当 时，①式可解得 ，即 在区间 无解，又
，结合 的单调性及对称性可得 在区间 少于三个解；
（4）当 时， ，则 ，又
，
即 在区间 无解，又 ，结合 的单调性及对称性可得
在区间 少于三个解；
（5）当 时，由 的中心对称性可得 在区间 最多三个解；故B对
D错.故选：ABC14.【详解】设 ，
，
令 ，则 ，因为 ，所以， ，当且仅当
时等号成立， ， ，函数 在 上单调递减，则 ，
所以， 时， ， ，
由于对任意的 ， ， ，都有 成立，所以， ，解
得 ， 的取值范围为
15.【详解】（1） ，又 ，
（2）
；
（ 3 ） 因 为 ， 所 以 ， 所 以，所以 .
16.【详解】（1）令 ，则 ，故 ；
（2）在 上 为减函数，理由如下：设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 在 上为减函数；
（3) ，
，则 ，
在 上为减函数， ，解得 ，
所以，不等式的解集为 .
17.【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度 可表示为：当 时，
，当 时， ，
则当 时，由 ，解得 ，所以得 ，
当 时，由 ，解得 ，所以得 ，
综合得 ，故若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天.
（2）设从第一次喷洒起，经 天，浓度
，
因为 ，而 ，所以 ，故 ，
当且仅当 时， 有最小值为 ，令 ，解得 ，所以a的最小值为
18.【详解】（1） 是奇函数， ，则 ，又 ，
， ， ，解得 ，
， ，
当 时， ，舍去；当 时， ， ，
经检验 是奇函数， .
（2）方程 在 上有两个不同的实数根，即方程
在 上有两个不相等的实数根，当 时， ，不合题意，舍去；
当 时，则 ，解得 ， 实数 的取值范围是 .
（3）由题意知 ，
令 ，因为函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，∴
∵函数 的对称轴为 ，∴函数 在 上单调递增.
当 时， ；当 时， ；
即 ，又∵对 都有 恒成立，∴ ，
即 ，解得 ，又∵ ，
∴ 的取值范围是 .
19.【详解】(1)设函数 图象关于点 成中心对称图形，则函数
为奇函数， ，则有
，
， 则 ，
，
函数 图象的对称中心是 .
（2）（ⅰ）因为定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称图形，所以
为 奇 函 数 ， 所 以 ， ， 即
，
当 时， ，所以
所以 .
（ⅱ） ，
①当 时， 在 上单调递增，当 时，则 ，即方程 在 上有两个不相
等的根，即 在 上有两个不相等的根，
令 ，但
所以 在 上不可能有两个不相等的根；
②当 时， 在 上单调递增，
当 时，则
即方程 在 上有两个不相等的根，即 在 上有两个不
相等的根，令 ，则 ，解得 ；
③当 时，易知 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，此时
，即 ，
，则易知 在 上单调递减，
， ，
又 时 ，当且仅当 ，即 时取等号， ，此时无解.
综上可知：t的取值范围是 .
