文档内容
期中检测考点分类专题（选择填空篇）
考查范围：第1章 特殊平行四边形 第2章 一元二次方程 第3章 概率的进一步认识
目录
一：选择题十大考点................................................................................................................................1
【考点1】中心对称图形识别..............................................................................................................1
【考点2】二次函数图像与性质..........................................................................................................3
【考点3】旋转的性质与作图..............................................................................................................6
【考点4】韦达定理的应用..................................................................................................................8
【考点5】二次函数最值问题..............................................................................................................9
【考点6】一元二次方程的实际建模................................................................................................12
【考点7】抛物线与方程不等式综合................................................................................................14
【考点8】一元二次方程根的判别式................................................................................................16
【考点9】含参数方程的解法............................................................................................................17
【考点10】旋转对称性的应用..........................................................................................................19
二：填空题十大考点.............................................................................................................................22
【考点1】直接解一元二次方程........................................................................................................22
【考点2】旋转后的坐标计算............................................................................................................23
【考点3】根的判别式填空................................................................................................................26
【考点4】韦达定理的直接应用........................................................................................................28
【考点5】二次函数平移规律............................................................................................................29
【考点6】旋转中心的确定................................................................................................................31
【考点7】旋转综合问题....................................................................................................................34
【考点8】一元二次方程的区间最值................................................................................................38
【考点9】二次函数与坐标轴的交点................................................................................................40
【考点10】二次函数与几何综合......................................................................................................44
一：选择题十大考点
【考点1】中心对称图形识别
【例题1】（25-26九年级上·全国·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，轴
对称图形指的是某个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形
是一个图形绕某个点旋转180度后与原图能够互相重合的图形．根据轴对称图形与中心对称图形的
概念逐选项判断即可．
解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A、既是轴对称图形也是中心对称图形；
B、是轴对称图形而不是中心对称图形；
C、是轴对称图形而不是中心对称图形；
D、是中心对称图形而不是轴对称图形；
故选：A．
【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）数学活动课上，“梦想飞扬”学习小组设计如下四个图案，
其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握定义是解决本题的关键．
根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴； 再根据中心对称图形的概念，在平面内，把一个图形绕着某个
点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，由此判断
即可．
解：第一个图案：不是中心对称图形，是轴对称图形．
第二个图案：是中心对称图形，是轴对称图形．
第三个图案：是中心对称图形，不是轴对称图形．
第四个图案：是中心对称图形，是轴对称图形．
由上述分析可知，第二个图案和第四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形，一共有
个．
故选：B．
【变式2】（24-25八年级下·全国·期中）下列关于△ABC与△A'B'C'的几何变换中，配对正确的是
（ ）Ⅰ．轴对称；Ⅱ．中心对称；Ⅲ．旋转；Ⅳ．平移．
A．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅳ
B．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅲ
C．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅳ
D．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅲ
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称、轴对称、旋转的定义，熟练掌握这些几何变换的概念，准确观
察图形特征是解题的关键．通过观察图形中 与 的位置关系，依据中心对称、轴对称、
旋转的定义，判断每个图形对应的几何变换类型，进而确定正确配对．
解：对于①： 图形绕着点 旋转 后能与自身重合，符合中心对称（把一个图形绕着某一个点
旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这里两个
三角形关于点 中心对称 ）的特征
①对应的几何变换是中心对称（Ⅱ）
对于②： 图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，符合轴对称（如果一个图形
沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 ）的特
征
②对应的几何变换是轴对称（Ⅰ）
对于③： 图形是绕着某个点旋转一定角度得到的，符合旋转（在平面内，将一个图形绕一点按某
个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转 ）的特征
③对应的几何变换是旋转（Ⅲ）
对于④： 图形是绕着点 旋转一定角度得到的，符合旋转的特征
④对应的几何变换是旋转（Ⅲ）
综上，① - Ⅱ，② - Ⅰ，③ - Ⅲ，④ - Ⅲ，
故选： ．
【考点2】二次函数图像与性质
【例题2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于 的图象下列叙述正确的是（ ）A．顶点坐标为 B．对称轴为：直线
C．当 时， 随 增大而减小 D．函数的最小值是
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，根据题目中的函数解析
式和二次函数的性质，可以判断各个选项中说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意，明确
题意，掌握二次函数的性质是解题的关键．
解： 、∵ ，
∵ 该函数的顶点坐标为 ，原选项错误，不符合题意；
、∵ ，
∴对称轴为直线 ，原选项错误，不符合题意；
、∵ ， ，
∴当 时， 随 的增大而减小，原选项正确，符合题意；
、∵ ， ，
∴函数的最大值为 ，原选项错误，不符合题意；
故选： ．
【变式1】（24-25九年级下·全国·期中）二次函数 的图象如图所示，则下列结论：
； ； ； ； ．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查的是二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴，与坐标轴的交点和特殊坐标与 、
、 的关系是解决此题的关键．
利用开口方向，对称轴，与坐标轴的交点和特殊坐标与 、 、 的关系判定即可．解：解析： 二次函数的图象的开口向下，
，
二次函数的图象与 轴的交点在 轴的正半轴上，
，
正确；
对称轴为直线 ，
，
，
、 异号，即 ，
错误， 正确；
当 时， ，
错误；
综上可知 正确，
故选：C．
【变式2】（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的
横坐标是 ，顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称
性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．
解： ∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，故选项A错误；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，对称轴是直线 ，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．
【考点3】旋转的性质与作图
【例题3】（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在如图所示的正方形网格中，四边形 绕某一点
旋转某一角度得到四边形 （所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，
可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中
心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接 ， ，作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心．
解：连接 ， ， 作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中
心的是点M．如下图：
故选：A．
【变式1】（25-26九年级上·广西·期中）如图，将含 的直角三角板 绕着点A顺时针旋转到
处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求
解．
解：根据题意：旋转角是 ．
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在正方形网格中， 绕某点旋转一定的角
度得到 ，则旋转中心是（ ）
A． 点 B． 点 C． 点 D． 点
【答案】A【分析】本题考查了旋转的性质，找旋转中心，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转的性
质，可知对应点到旋转中心的距离相等，据此解答即可．
解：根据题意，得 ，只有 ，
故B，C，D都错误，A正确，
故选：A．
【考点4】韦达定理的应用
【例题4】（25-26九年级上·湖北武汉·开学考试）已知一元二次方程 的两根分别是
， ，则一元二次方程 的根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识
点．
首先根据根与系数的关系得到 ， ，求出 ， ，然后代入
利用因式分解法求解即可．
解：∵一元二次方程 的两根分别是 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴一元二次方程 为 ，
∴
解得 ， ．
故选：D．
【变式1】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于x的一元二次方程 的两个根是
，则 的值为（ ）A．8 B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据根与系数的关系得到 ， ，即可求出 的值．
解：∵关于x的一元二次方程 的两个根是 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知m、n是一元二次方程 的两个实
数根，则代数式 的值等于（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义
可得 ，由根与系数的关系可得 ，再把所求式子变形为
，据此求解即可．
解：∵m、n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故选：D．【考点5】二次函数最值问题
【例题5】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠
墙（墙长 ）的空地上修建一个矩形小花园 ，小花园一边靠墙，另三边用总长 的栅栏
围住，如图所示．若设矩形小花园 边的长为 ，面积为 ．则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数解应用题，若设矩形小花园 边的长为 ，则 ，由
矩形面积公式代值得到 ，配方化为顶点式，由二次函数图象与性质分析即可得到答
案，熟练掌握求二次函数最值的方法是解决问题的关键．
解：若设矩形小花园 边的长为 ，则 ，
，
，
，
，则抛物线开口向下，
当 时， 取最大值，为 ，
故选：C．【变式1】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于
， 两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ， 是抛物线对称轴上一动点，则
周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求
出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点 的位置，利用勾股定理即可求解，
掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
解：把点 代入 得， ，
∵抛物线称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得，
，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
解得 ， ，∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，连接 ，与对称轴 相交于点 ，
∵点 和点 关于对称轴 对称，
∴ ，
∴ ，
根据两点之间线段最短，此时 周长的最小，则点 即为所求，
∴ 周长最小值 ，
故选： ．
【变式2】（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于 （x为任意实数）的函数值，下列
说法正确的是（ ）
A．最小值是 B．最小值是2 C．最大值是 D．最大值是2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值，明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的关键．由
二次函数的性质及顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得出答案．
解： 二次函数 ，
其图象开口向上，其顶点为 ．
函数的最小值为 ．
故选：A．【考点6】一元二次方程的实际建模
【例题6】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在一块长 ，宽 的矩形田地上，修建同样宽
的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为 ．设道路的宽为 ，
可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为 ，则六块菜地可合成长
为 ，宽为 的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为 ，即可
得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设道路的宽度为 ，则六块菜地可合成长为 ，宽为 的矩形，
根据题意得： ．
故选：C．
【变式1】（25-26九年级上·湖北·阶段练习）随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发
资金进行人工智能项目开发．已知该公司在 年投入研发资金为 万元，到 年累计共投
入研发资金 万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平
均增长率是多少？设年平均增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系．
设年平均增长率为x，可得出 、 年投入研发资金，结合到 年累计三年共投入研发资金 万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设年平均增长率为x，根据题意得，
．
故选：A．
【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）如图1，矩形 中， ， ，两动点
M，N同时从点B出发，点M在边 上以 的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿
的路径匀速运动，到达点C时停止运动． 的面积 与点N的运动时间
的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（ ）
①N点的运动速度是 ；
② 的面积的最大面积为 ；
③当 时，t的值为3或17．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，矩形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的
应用，先求出点M运动的时间为 秒，由图象可得点 运动 秒到达点 ，从而即可得出N点的运
动速度，即可判断①；由图象可得当点 在 上运动时， 的面积最大，即可判断②；根据
题意列出一元二次方程以及一元一次方程，解方程即可判断③；熟练掌握以上知识点并灵活运用是
解此题的关键．
解：∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∵点M在边 上以 的速度匀速运动，到达点C时停止运动，
∴点M运动的时间为 秒，由图象可得点 运动 秒到达点 ，
故点 的运动速度为 ，故①说法正确；
当点 在 上运动时， 的面积最大，最大为 ，故②正确；
当点 在 上时， ，
解得 或 （不符合题意，舍去）；
当点 在 上时， 的面积始终保持不变，为 ；
当点 在 上运动时， ，
解得： ，
综上所述，当 时，t的值为 或17，故③错误；
综上所述，正确的有①②，
故选：A．
【考点7】抛物线与方程不等式综合
【例题7】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数 与二次函数
的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当 时，二次函数图象
位于一次函数图象的上方，即可求解．
解：观察图象得：当 时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，∴不等式 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ．
故选：C．
【变式1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数 的图象与 轴的交点坐标为
和 ，则一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元
二次方程的解．题目中已给出交点坐标为 和 ，因此方程的解可直接得出．
解：二次函数 的图象与x轴的交点坐标为 和 ，说明当 时，对应的 值
为2和 ．
因此，方程 的解为 和 ．
故选D．
【变式2】（24-25九年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ，若抛物线
与线段 有且只有一个公共点，则下列n的取值不可能的是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性
质解答．
分两种情况：抛物线的顶点在 轴上和抛物线与 轴交点在 轴下方两种情况求解可得．
解：∵点 的坐标为 ，抛物线 与线段 有且只有一个公共点，
∴抛物线顶点在 轴上，或者当 时， ；且当 时, ，如图：∴ 或 ，
解得， 或 ，
故n的取值不可能的是1，
故选：B．
【考点8】一元二次方程根的判别式
【例题8】（25-26九年级上·山西忻州·阶段练习）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系．当
时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；
当 时，一元二次方程没有实数根．
根据根的判别式求解即可．
解： ，
，
，
∴一元二次方程 的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式1】（25-26九年级上·宁夏中卫·阶段练习）若关于 的一元二次方程 有
不相等实数根，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程
有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 且 ，然后求解不等式即可．
解： 是关于 的一元二次方程，且有不相等实数根，
且 ，
即 且 ，
解得 且 ，
故选：C．
【变式2】（2025·北京朝阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有实数根，则
m的取值范围是（ ）．
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键．
由方程有实数根的情况可以得到关于m的不等式，从而求解．
解：∵ 关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ，即 且 ，
解得 且 ，
故选：C．
【考点9】含参数方程的解法
【例题9】（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）若关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则 的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】此题主要考查了一元二次方程解的定义．熟练掌握方程解的定义找到相等关系，再化简后
整理相等关系，是解决问题的关键．根据一元二次方程的解的定义，将 代入关于x的一元二次
方程 即可求得 的值．
解：把 代入原方程可得， ，
∴ ．
故选：A．
【变式1】（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）若方程 是关于 的一元二
次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如 （其中a、b、c是常
数且 ）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
解：∵方程 是关于 的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【变式2】（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程 是关于x的一元二次方程，
则a的值为（ ）
A．3 B． C．3或 D．0
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数
是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且
）．根据一元二次方程的定义得到 且 ，然后解方程和不等式即可得到满足条件的a值．
解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
【考点10】旋转对称性的应用
【例题10】（2025·河北唐山·三模）如图，在 中， ，将 绕顶点C顺时
针旋转得到 ，D是 的中点，连接 ，若 ， ，则线段 的最大值
为（ ）
A． B． C．8 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，含 角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的
性质，三角形三边关系等知识．连接 ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知 ，
在 中，利用三角形三边关系可得 的最大值．
解：如图，连接 ，在 中， ， ， ，则 ，
∴ ，
由旋转可知， ，
∵D是 的中点，
∴ ，
在 中，利用三角形三边关系可得 （当B，C，D三点共线时取等号），
∴ ，
∴ 的最大值为8，
故选：C．
【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形 中，
，将 绕点B逆时针旋转 得 ，连接 ，当
的长取得最大值时， 长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，二次根式的乘法，勾股定理，旋转的性质．连
接 ，证明 ，可得 ， ，从而得到当点 三点共线
时， 取得最大值，连接 ，根据勾股定理可得 ，即可求解．
解：如图，连接 ，由旋转的性质得： ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即当点 三点共线时， 取得最大值，
如图，连接 ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
即当 的长取得最大值时， 长为 ．
故选：D．
【变式2】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是菱形，， ．将菱形 绕点 旋转任意角度，得到菱形 ，则点 的纵
坐标的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键.连接
，过点C作 轴于E，由直角三角形的性质可求 ， ，由勾股定理
可求 的长，据此进一步分析即可求解．
解：如图，连接 ，过点C作 轴于E，
∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 在y轴上时，点 的纵坐标有最小值为
故选：A．二：填空题十大考点
【考点1】直接解一元二次方程
【例题1】（24-25九年级上·河南南阳·期中）方程 的解为： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．首先把方
程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个因式的积是0，则这几个因式
中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
解：移项得： ，
即 ，
于是得： 或 ，
则方程 的解为： ， ．
故答案为： ， ．
【变式1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）一元二次方程 的根的情况是
．
【答案】无实数根
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程 根的判别
式为 ． ，一元二次方程有两个不相等的实数根； ，一元二次方程有两个相等
的实数根； ，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键．求出 的值即可判断．
解：∵ ，
∴ ，
∴原方程无实数根．
故答案为：无实数根．
【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有最简二次根式 和 ，若它们是同类
二次根式，则 的值是 ．【答案】
【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，一元二次方程的解法，把几个二次根式化为
最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二
次根式的定义列出方程，解方程得到答案．
解：由题意得： ，
整理得： ，
解得： 或 ，
当 时， 不是最简二次根式，不符合题意，
的值是 ．
故答案为： ．
【考点2】旋转后的坐标计算
【例题2】（25-26九年级上·广东·期中）在平面直角坐标系中，将点 绕点 逆时针旋
转 后，得到的点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相
等，对应边的夹角等于旋转角．根据题意画出图形，再利用旋转的性质即可求解．
解：如图，过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
由旋转性质可知： ， ，
∴ ，∴ ，
， ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，
是边长为4的等边三角形，以点O为旋转中心，将 按顺时针方向旋转 ，得到
，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，作高线 ，根据等边三
角形的性质和勾股定理求 和 的长，写出B的坐标，由旋转可知： 与B重合，B与 关于y
轴对称，可得 的坐标．
解：如图，过B作 于D，
∵ 是等边三角形，且 ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，由旋转得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【变式2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，四边形 是平行四边形， ， ，
点A在x轴的正半轴上，将平行四边形 绕点O逆时针旋转 得到平行四边形
，点C的对应点点D恰好落在x轴的负半轴上，且 经过点C，则点E的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转变换和平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度的直角三
角形的性质，掌握相关知识点是解本题的关键．作 轴于点G，即可求出F点坐标，从而可
求出E点坐标．
解：作 轴于点G，
∵平行四边形 绕点O逆时针旋转 得到平行四边形 ，
∴ ， ， ， ， ， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ 是等边三角形， ，即旋转角 为 ．
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
故答案是： ．
【考点3】根的判别式
【例题1】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线 不经过第二象限，则关于 的方程
的实数根的个数为 ．
【答案】1或2
【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二
象限，得到 ，分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
解：∵直线 不经过第二象限，
∴ ，
当 时，方程化为 ，解得 ，有1个实数根；
当 时，方程为一元二次方程， ，
∴方程有2个不相等的实数根；
故答案为：1或2
【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）如果方程组 无实数解，那么实数 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由方程组可得 ，即得，解不等式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次
方程根的关系是解题的关键．
解： ，
，得 ，
整理得， ，
∵方程组无实数解，
∴一元二次方程 无实数解，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式2】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知关于 的一元二次方程 有实
数根，则 的取值范围是
【答案】 且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，由一元二次方程的定义可得 ，
由根的判别式可得 ，据此求解即可．
解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
【考点4】韦达定理的直接应用
【例题4】（20-21九年级上·全国·单元测试）若 是一元二次方程 的两个根，则．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到 ，整体代入法求出
分式的值即可．
解：由题意得 ，
∴ ；
故答案为：3．
【变式1】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）设实数m，n分别满足 ，
， = ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系是解题关键．
根据 ， ，可得 ， 是方程 的两个根，再根据根
与系数的关系即可求解．
解： ，
，
，
， 是方程 的两个根，
， ，
．
故答案为：
【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若 、 是方程 的两个实数根，则
的值为 ．【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程 的根与系数的关系和一元二次方程的解，
记住 ， 是解答此题的关键．
根据题意可得 ， ，再将 变形为 ，
再代入求解即可．
解：∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴
∴
，
故答案为： ．
【考点5】二次函数平移规律
【例题5】（24-25九年级下·湖南益阳·阶段练习）把抛物线 向下平移 个单位，得到
的抛物线与 轴交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查抛物线的平移，二次函数 的图象与性质，熟练掌握二次函
数的平移法则：左加右减，上加下减是解题的关键．先利用二次函数的平移得到新解析式，再令
时求出 值即可解决．解：抛物线 向下平移 个单位，
得到的抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴得到的抛物线与 轴交点坐标为 ，
故答案为： ．
【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线 沿y轴向下平移一段距
离后，得到一条新的抛物线 ；若曲线段 平移至曲线段 ，曲线段 所扫过的为
阴影部分，则阴影部分的面积是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知
四边形 是平行四边形，根据 求出线段 的长度，根据平移变换求出平移的距
离，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
解：连接 ，由平移的性质可知四边形 是平行四边形，当 时， ，
解得 ，
∴ ．
∵ 的顶点坐标为 ， 的顶点坐标为 ，
∴抛物线向下平移了4个单位长度，
∴阴影部分的面积是 ．
故答案为：16．
【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经
过点 ，则 ．
【答案】2
【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到
，再整体代入变形后代数式即可．
解：抛物线 向下平移5个单位长度后得到 ，
把点 代入得到， ，
得到 ，
∴ ，
故答案为：2
【考点6】旋转中心的确定
【例题6】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ．
【答案】M
【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．
判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解．
解：如图，连接M和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是 ，
因此格点M就是所求的旋转中心．
故答案为：M．
【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中， 顶点的横、纵坐
标都是整数．若将 以某点为旋转中心，顺时针旋转 得到 ，其中 、 、 分别和
、 、 对应，则旋转中心的坐标是 ．
【答案】【分析】本题考查了坐标与图形的旋转变化，求一次函数解析式，连接 ，作线段 的垂直平
分线，垂足为点 ，交 轴于点 ，可知点 为旋转中心，利用待定系数法求出段 的垂直平
分线的解析式即可求解，解题关键是理解旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点．
解：如图，连接 ，作线段 的垂直平分线，垂足为点 ，交 轴于点 ，
∵点 关于 轴对称，
∴点 为旋转中心，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点 在线段 的垂直平分线上，
设线段 的垂直平分线的解析式为 ，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴线段 的垂直平分线的解析式为 ，
当 ， ，
∴点 的坐标为 ，即旋转中心的坐标是 ，
故答案为： ．
【变式2】（22-23八年级下·福建宁德·期中）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个
单位的正方形， 的顶点在格点上，若 是由 绕点P按逆时针方向旋转得到，且
各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点连线的垂直平分线
上，据此解答．
解：作 的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心P，坐标为 ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，熟知对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
【考点7】旋转综合问题
【例题7】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在四边形 中， ， ， ，
，则 的最大值为 ．【答案】
【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段 绕点 顺时针旋转
得到 ，连接 、 ，可得到等腰直角 ，通过判定 ，得出
，因为 ，所以当 、 、 三点共线时， 取最大值，由 ，
即可求出 的最大值．
解：如图所示，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 、 ，
由旋转可得， ， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
， ，
当 、 、 三点共线时， 取最大值，最大值为 ，是等腰直角三角形，
，
故答案为： ．
【变式1】（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图， 中， ， ， 平分
．过点 作 交 于 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到
，连接 ， ，当 时， ．
【答案】 或
【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，把
绕点A逆时针旋转 与过点C与 平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形
的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．
解：在 绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与 平行的直线相
交于点M、N，如图，
①当点 与点M重合时，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴
∴
则 ，
即
故
四边形 是等腰梯形，
所以 ，
又∵ ，
∴ ；
②当点 与点N重合时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当旋转角为 或 时， ．
故答案为： 或 ．
【变式2】（2024·重庆大渡口·一模）如图， 和 是等腰直角三角形，
， 的边AF，AG交边BC于点D，E．若 ， ，则AD的值是
．【答案】
【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将 顺时针旋转 到 位置，得到
直角三角形 ，可求出 ，再证明 ，得到 ，进而求出
，过点A作 ，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜
边一半得出 ，再在直角三角形 求出 ．
解：如图，将 绕点A顺时针旋转 到 位置，连接
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
由旋转性质可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点A作 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键
是通过旋转构造全等三角形得到 ，由 求出 ．
【考点8】一元二次方程的区间最值
【例题8】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数 ，当 时，函数
的最小值为1，则 的值为 ．
【答案】0或3/3或0
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在 时， 随 的增大而减小；在 时， 随
的增大而增大，所以分类讨论：当 时，则把 代入 ，当 时，把
代入 ，进行计算即可作答．
解：∵函数 ，
∴二次函数的顶点坐标为 ，开口向上，
则在 时， 随 的增大而减小；在 时， 随 的增大而增大；
当 时，函数 的最小值为1，
∴当 时，则把 代入 ，
得 ，
解得 （舍去），∴当 时，把 代入 ，
得 ，
解得 （舍去），
综上： 的值为0或3．
故答案为：0或3．
【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线 ．当 时，函数的
最大值为 ，最小值为 ，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，得到二次函数的最大值为 ，结合题
意，得到 且 到1的距离小于等于 到1的距离，即可得出结果．
解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小，
∴当 时，函数值有最大值 ，
∵ ，
∴当 时， ，
∵当 时， 且 ，
∴ 且 到1的距离小于等于 到1的距离，
∵ 和 关于直线 对称，
∴ ；
故答案为： ．
【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数 ，当 时，
y有最大值 和最小值1，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和
二次函数的性质可以求得m的取值范围．解：二次函数
∴该函数图象开口向下，对称轴是直线 ，
当 时，该函数取得最大值
∵当 时，y有最大值 和最小值1，
当 时， ，根据对称性， 时， ，
，
故答案为： ．
【考点9】二次函数与坐标轴的交点
【例题9】（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知二次函数 的最小值为0，不等式
的解集为 ，则实数 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式之间的关系，根据题意可知，二次函
数开口向上，则在顶点处函数有最小值，根据二次函数 的最小值为0，可知顶点纵坐
标为0，根据顶点坐标公式得到 ，则 ，再根据不等式 的解集为
，得到直线 与二次函数 的两个交点的横坐标分别为n、 ，则对
称轴为直线 ，据此可得 ，再根据 时， 进行求解即可．
解：∵二次函数函数解析式为 ， ，
∴二次函数开口向上，
∴在顶点处函数有最小值，
∵二次函数 的最小值为0，
∴顶点的纵坐标为0，
∴ ，
∴ ；∵不等式 的解集为 ，
∴直线 与二次函数 的两个交点的横坐标分别为n、 ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知一次函数 ，二次函数
．
（1）当 时，则 的最小值为 ．
（2）若 ，若点 都在函数y的图象上，且 ，则a的取值范围
．（用含k的式子表示）
【答案】 或
【分析】（1）本题主要考查二次函数求最值问题，根据二次函数在对称轴处取得最小值，将对称
轴处的自变量代入函数解析式即可．
（2）本题考查二次函数性质与不等式的问题，点 、 都在函数图象上将点带入解析式，根据
解不等式求解即可，解答本题的关键在于结合二次函数性质解不等式．
解：（1）∵ ，
∴二次函数解析式为
函数对称轴： ，将 ，代入函数解析式得到
．
故答案为： ．
（2）∵
∴
又∵点 都在函数图象上，
∴
，
又∵
即
又∵当 时，
解得， 或 ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
【变式2】（23-24九年级上·北京房山·期中）二次函数 的图象经过 ，
， 三点．
下面四个结论：①抛物线开口向下；
②当 时， 取最小值 ；
③当 时，一元二次方程 必有两个不相等实根；
④直线 经过点 ， ，当 时， 的取值范围是 ．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【分析】将点 的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为 画出函数
图象，进而求解.
解：将点 的坐标代入抛物线表达式得
，解得 ，
故抛物线的表达式为 函数图象如下：
，故抛物线开口向上，故①错误，不符合题意；
②抛物线开口向上，顶点为
∴当 时，y取最小值 ，故②正确，符合题意；
③∵函数的最小值为 ，
故 时, 直线 和 有一个或没有交点，
故一元二次方程 无解或有两个相等实根，故③错误，不符合题意；
④观察函数图象，直线 经过点 ,
当 时， 的取值范围是 故④正确，符合题意；故答案为: ②④.
【点拨】本题考查的是二次函数与不等式（组） 和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是
确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解.
【考点10】二次函数与几何综合
【例题10】（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为 的正方形 中，点 ， ，
， 分别从点 ， ， ， 同时出发，均以 的速度向点 ， ， ， 匀速运动，当点
到达点 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形 ，
的面积最小，其最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解
题的关键．
根据题意，设运动时间为 ，可得 ， ，
，可得 ，根据数量关系列式，可得
关于 的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
点 ， ， ， 分别从点 ， ， ， 同时出发，均以 的速度向点 ， ， ， 匀速
运动，设运动时间为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴
，
∵ ，即 关于 的二次函数图像开口线上，则有最小值，
∴当 时， 有最小值，且最小值为 ，
故答案为： ， ．
【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 交
轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 与 轴交于 点，若点 在抛物线的对称轴上移
动，点 在直线 上移动，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理，
先作点C的对称点 ，当点 三点共线，且 时， 值最小，再求出点
，即可求出直线 ，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案.
解：如图所示，作点C的对称点 ，可知 ，
当点 三点共线，且 时， 值最小，
当 时， ，∴点 .
∵抛物线 的对称轴是 ，
∴点 .
∵直线 ，且 ，
∴直线 .
∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴直线 .
将两个函数关系式联立，得
，
解得 ，
∴点 ，
则 .
故答案为： .
【变式2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，矩形 中， 与 交于点O，分别
在 和 上取点M、N，使得 ．若 ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题可先根据矩形性质确定各点坐标相关条件，建立平面直角坐标系，将点M、N坐标用
含变量的式子表示，再依据两点间距离公式列出 的表达式，最后通过完全平方公式求其最小值．
解：在矩形 中， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
如图，以B为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，建立坐标系．过点M作
于点G，则 ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取得最小值，最小值为2，
即 的最小值为 ．
故答案为：
