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期中考前满分冲刺之优质压轴题
思维导图
【类型覆盖】类型一、点的运动路径
1．已知如图正方形 的边长为4，点 为边 上一动点， 于 ，将 绕
着点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，当点 从点 运动到点 时，点 的运动路径
长为（ ）
A．4 B． C． D．
2．如图，半径为 ，圆心角为 的扇形 的弧 上有一运动的点P，从点P向半
径 引垂线 交OA于点H．设 的内心为I，当点P在弧 上从点A运动到点B
时，内心I所经过的路径长为（ ）
A．❑√2π B． π C． π D．π
3．如图， 在半径为 的 上， 为 上一动点，将射线 绕 逆时针旋转 交
于 ，取 的中点 ，求在 的运动过程中 的路径长为（ ）A． B． C． D．
4．如图，已知在 中， ， ， ，以 为直径向外作圆
O，P是半圆O上的一个动点，M是 的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点
M的运动路径长为 ．
5．如图，半径为2，圆心角为 的扇形 的弧 上有一动点P，从点P作
于点H，设 的三个内角平分线交于点M，当点P在弧 上从点A运动到点B时，
点M所经过的路径长是 ．
6．如图，在矩形 中， ， ，点 为边AD上一动点，点 为 的中
点，连接 ，点 在 上，且 ，在点 从点 运动到点 的过程中，点 运动
的路径长为 ．
类型二、圆中最值1．如图， 半径为 ，正方形 内接于 ，点E在 上运动，连接 ，作
，垂足为F，连接 ．则 长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上
一动点，以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，Q为线段
上任意一点，则 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 、 ， 的半径为2
（O为坐标原点），点P是直线 上的一动点，过点P作 的一条切线 ，Q为切点，
则切线长 的最小值为（ ）A．2 B．3 C． D．
4．如图， 是半圆 的直径， ，点 在半圆 上， ， 是弧 上的一个
动点，连接 ，过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中， 的最小
值是 ．
5．如图，四边形 为矩形， ， ．点E是线段 上一动点，连接 ，
点F为线段 上一点，连接 ，若 ，则 的最小值为 ．
6．如图，在 中， ， ， ，点 是 上一点，且 ，
点 为 上一动点，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则 的最小值为类型三、圆与二次函数中的折叠问题
1．二次函数 的图象的顶点坐标是 ，且图象与 轴交于点 ．将二
次函数 的图象以 轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
2．如图， 是 的直径，将劣弧 沿弦 折叠，折叠后的弧恰好与 相切于
的中点 ，若 ，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，抛物线 交 轴于 两点（ 在 的右侧），交 轴于点 ，点
是线段 的中点，点 是线段 上一个动点， 沿 折叠得 ，则线段
的最小值是 ．
4．如图，点 是圆形纸片的圆心，将整个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧 都
经过圆心 ，则阴影面积占圆面积的 （填分数）．5．综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．
在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片（图1）、一棵生长的幼苗（图2）
都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数
图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
【任务二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，心形叶片的对称轴直线 与坐标轴交于 两点，抛物线与 轴交于
另一点 ，点 是叶片上的一对对称点， 交直线 于点 ．求叶片此处的宽度
；
【任务三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数
图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务一中的二
次函数．已知直线 （点 为叶尖）与水平线的夹角为 ，求幼苗叶片的长度 ．
6．在扇形 中，半径 ，点 在 上，连接 ，将 沿着 折叠得到
．(1)如图①，若 ，且 与 所在的圆相切于点 ．
① __________ ；
②求 的长；
(2)如图②， 与 相交于点 ，若点 为 的中点，且 ，求 的长．
类型四、圆与二次函数中的旋转问题
1．如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，边 在x轴正半轴上，
顶点F在y轴正半轴上，将正六边形 绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转 ，
那么经过2023次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知在平面直角坐标系中，点 为 ，点 为 ，将抛物线 ： ，
绕原点旋转 得到抛物线 ，若抛物线 与线段 只有一个公共点，则 的取值范围
是( )
A． B．
C． 或 D． 或3．如图，扇形 中， ，连接 ，以 为旋转中心，将 旋转 得到
，若 ，则阴影部分的面积为 ．
4．如图，二次函数 与 轴交于点 （点 在点 左边），与 轴交于点
，点 为线段 上一点，将线段 按逆时针方向旋转 后得到线段 ，若点 恰
好落在二次函数在第一象限的图象上，则点 的坐标为 ．
5．已知在等边 中，将线段 绕点 旋转 ，得到线段 ，连接 ，
．
(1)如图 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，若 ，则 ，四边形 的
面积为 ；
(2) 在图 中依题意补全图形，并求 的度数；
取 的中点 ，连接 ，交直线 于点 ，连接 ．用等式表示线段 ， ，
之间的数量关系，并证明．6．如图，抛物线 与y轴交于点 ，与x轴交于 ，B两点，
顶点为H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线 平移后得到抛物线 ，且抛物线 的顶点 始终在抛物
线 上，
①当点P在第一象限时，抛物线 与y轴交于点E，若 的面积为 时，直接写出P
点坐标；
②将平移后的抛物线 绕点P旋转 得到抛物线 ，抛物线 与直线 交于点M（M
与H不重合），与y轴交于点N，连接 ， ，若 ，求直线 的解析式．
类型五、一元二次方程中的对称式
1．【阅读材料】若关于 的一元二次方程 的两根为 、 ，则
， ．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所
学的知识，完成下列问题：
(1)【材料理解】一元二次方程 的两根为为 、 ，则 ______， ______；
(2)【类比运用】已知关于 的一元二次方程 ．
①求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根为 、 ，满足 ，求 的值．
(3)【思维拓展】已知实数 ， ，满足 ， ，且 ，求
的值．
2．材料：若关于x的一元二次方程 的两个根为 ， ，则
， ．如：一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，则
， ；又如：一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
则 ， ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1)一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则 ______， ______；
(2)已知一元二次方程 的两根分别为 ， ，求 的值；
(3)若实数m，n满足 ， ，且 ，求 的值．
3．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程
的两根 有如下的关系（韦达定理）：
；
材料2：如果实数m、n满足 ，且 ，则可利用根的定义构造一元二次方程 ，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)①已知一元二次方程 的两根分别为 ，则 ______，
______．
②已知实数a，b满足： ，则 ______．
(2)已知实数m、n、t满足： ，且 ，求
的取值范围．
(3)设实数a，b分别满足 ，且 ，求 的值．
4．阅读材料：
材料1 若一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
材料2 已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1得 ，
，所以 ．
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ，
．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求
的值；
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足 ， ，且 ．求的值．
5．阅读与思考
阅读材料并解决下列问题：
材料1 若一元二次方程 的两根为 ，则 ， ．
材料2 已知实数m，n满足 ， 且 ，求 的值．
解：由题知m，n是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ，
，
．
根据上述材料解决下面的问题：
(1)一元二次方程 的两根为 ， ，则 _________， _________．
(2)已知实数m，n满足 ， 且 ，求 的值．
(3)已知实数p，q满足 ， 且 ，求 的值．
6．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程 的两个根为 ，
则 ， ；
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，
∴ ，
则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ，则 ， ；(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值；
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ，且 ，求 的值．
类型六、动圆相切求t
1．探究与推理
如图1，在矩形 中， ， ，连 ，点 为 上的一个动点，点 从
点出发，以每秒4个单位的速度沿 向终点 运动．过点 作 的平行线交 于点 ，
将 沿 对折，点 落在点 处，连 交 于点 ，设运动的时间为 秒；
(1)用含有 的式子表示 ．
(2)当 为何值时，点 恰好落在线段 上；
(3)如图2，在点 运动过程中，以 为直径作 ，当 为何值时， 与矩形的边相切？
请说明理由．
2．如图， 中， ， ， ，点 、 是边 上的两个
动点，点 从点 出发沿着 以每秒 的速度向终点 运动；点 同时从点 出发沿
着 以每秒 的速度向终点 运动． 设运动时间为 秒．
(1)当 时，求 的面积．(2)当 为何值时， ．
(3)当以 为直径的圆与 的边有且只有三个公共点时，请直接写出 的取值范围．
3．如图，形如量角器的半圆 的直径 ，形如三角板的 中， ，
， 半圆 以 的速度从左向右运动，在运动过程中，点 、
始终在直线 上．设运动时间为 ，当 时，半圆 在 的左侧， ．
(1)当 时， 与 所在直线第一次相切；点 到直线 的距离为 ；
(2)当 为何值时，直线 与半圆 所在的圆相切；
(3)当 的一边所在直线与圆 相切时，若 与 有重叠部分，求重叠部分的面
积．
4．如图， 直线 与x轴交于点B， 与y轴交于点 C，其中 ， ， 抛
物线 经过 B， C两点， 并与x轴交于另一点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 E在线段 上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时点F在线段 上以
每秒2个单位长度的速度从B向C运动． 当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．
设运动时间为t秒， 求t为何值时， 的面积最大？并求出最大值；
(3)是否存在某个时间t，使得以 为直径的圆与 的边 或 相切？若存在，求出t； 若不存在，请说明理由．
5．如图1，在矩形 中， ， ，点 以1.5 的速度从点 向点
运动，点 以2 的速度从点 向点 运动．点 、 同时出发，运动时间为 秒（
）， 是 的外接圆．
(1)当 时， 的半径是 ， 与直线CD的位置关系是 ；
(2)在点 从点 向点 运动过程中，
①圆心 的运动路径长是 ；
②当 与直线 相切时，求 的值．
(3)连接 ，交 于点 ，如图2，当 时，求 的值．
6．如图 ，在矩形 中， ，点 以 的速度从点 向点
运动，点 以 的速度从点 向点 运动，点 同时出发，运动时间为 秒（
）， 是 的外接圆．(1)当 时， 的半径是 ， 与直线 的位置关系是 ；
(2)在点 从点 向点 运动过程中，当 与直线 相切时，求的 值；
(3)连接 ，交 于点 ，如图 ，当 时，求 的值．
类型七、一元二次方程的新定义
1．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一
个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程 的两
个根是 和 ，则方程 是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程 ________（填“是”或“不是”）“倍根方
程”．
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，则c=________．
(3)若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系
为________．
(4)若 是“倍根方程”，求代数式 的值．2．若 是一元二次方程 的两个实数根，且满足 ，则此类
方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)判断下列方程是否是“差根方程”：
① ______； ② ______；（填是或否）
(2)已知关于 的方程 是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于 的方程 （ 是常数， ）是“差根方程”，请写出 与 之
间的数量关系式．
3．定义：若x 、x 是方程 的两个实数根，若满足 ，
₁ ₂
则称此类方程为“差积方程”．例如： 是差积方程．
(1)判断方程 是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程 是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程( 为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
4．定义：如果关于 的一元二次方程 满足 ，那么我们称
这个方程为“凤凰”方程．
(1)写出一个“凤凰”方程是______；
(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；
(3)已知方程 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求 的值．
5．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程 ，如果
的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元
二次方程的根都为整数， 的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程 称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用 表示，即 ；
若另一关于x的一元二次方程 也为“全整根方程”，其“最值码”记为
，当满足 时，则称一元二次方程 是
一元二次方程 的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程” 的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程 （m为整数、且 ）是“全整
根方程”，请求出该方程的“最值码”；
(3)若关于x的一元二次方程 是 （m，n均为正整
数）的“全整根伴侣方程”，求 的值．
6．阅读理解：
定义：如果关于 的方程 （ ， 、 、 是常数）与
（ ， 、 、 是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、
常数项分别满足 ， ， ，则这两个方程互为“对称方程”．比如：
方程 的“对称方程”是 ．
请用以上方法解决下面问题：
(1)填空：写出方程 的“对称方程”是______；
(2)若关于 的方程 与 互为“对称方程”，求 、 的值及
的解．类型八、二次函数的新定义
1．定义；若当点 在某一函数图象上时，点 也在该函数图
象上，则称该函数为“知返函数”，点 称为“知返点”．
(1)已知一次函数 为“知返函数”，求该一次函数的解析式；
(2)若反比例函数 （ 为整数）的函数图象上存在“知返点”，求 的最大值；
(3)函数 的图象是由二次函数 的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到
x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若函数 的图象与“知返函数”
的图象有四个交点，求m的取值范围．
2．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 是函数图象上
任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点
的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点 在函数 图象上．点 的“纵横值”为 ；
函数 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ，当 时，
的最大值为 ，所以函数 的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点 的“纵横值”为 ；
②求出函数 的“最优纵横值”；
(2)若二次函数 的顶点在直线 上，且最优纵横值为5，求c的值；(3)若二次函数 ，当 时，二次函数的最优纵横值为2，直
接写出b的值．
3．定义：在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，当 时，B点坐标为
；当 时，B点坐标为 ，则称点B为点A的k一分点（其中k为常
数）．例如： 的0一分点坐标为 ．
(1)点 的1一分点在比例函数 图象上，则 ________；
若点 的2一分点在直线 上，则 ________；
(2)若点N在二次函数 的图象上，点M为点N的3一分点．
①求点M所在函数的解析式；
②当 时，点M所在函数的函数值 ，求出m的取值范围．
4．新定义：若函数图像一定过点 ，我们称 为该函数的“永固点”．如：一次
函数 ，无论k值如何变化，该函数图像一定过点 ，则点 称为这
个函数的“永固点”．
【初步理解】一次函数 的“永固点”的坐标是______；
【理解应用】二次函数 落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标
是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______；
【知识迁移】点P为抛物线 的顶点，设点A到直线
的距离为 ，点P到直线 的距离为 ，请问是否为定值？如果是，请求出 的值；如果不是，请说明理由．
5．对某一个函数给出如下定义：对于函数 ，若当 ，函数值 的取值范围是
，且满足 则称此函数为“ 系郡园函数”
(1)已知正比例函数 为“1系郡园函数”，则 的值为多少？
(2)已知二次函数 ，当 时， 是“ 系郡园函数”，求 的取值范围；
(3)已知一次函数 （ 且 ）为“2系郡园函数”， 是函数
上的一点，若不论 取何值二次函数 的图象都不经过点
，求满足要求的点 的坐标．
6．【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，
只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系
，对两点 和 ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：
．
【数学理解】
(1)①已知点 ，则 ___________；②函数 的图象如图（1）， 是图象上一点，若 ，则点
的坐标为________；
(2)函数 的图象如图（2），该函数图象上是否存在点 ，使 ？若存
在，求出其坐标；若不存在，请说明理由；
【拓展运用】
(3)函数 的图象如图（3）， 是图象上一点，求 的最小值及
对应的点 的坐标．
类型九、圆的新定义
1．【问题背景】
人们从城市中的一点到另一点时，通常只能沿着城市中的街道行走．因此，人们发现，用
19世纪数学家闵可夫斯基提出的曼哈顿距离来计算城市内街道上两点之间的距离更符合生
活现实．曼哈顿距离（简称为“曼距” 的定义如下：坐标平面内的两点 ， ， ，
之间的距离为 ．例如，在平面直角坐标系中，点 与点
之间的“曼距” ．
【初步理解】
（1）在一座理想的棋盘式布局的城市内，“110”的调度员收到信息，有一个突发事故发生
在 处．而在该地区附近有两辆警车， 车位于 处， 车位于 处，那么
以“曼距”大小衡量，按“就近优先出警”的原则，应该派 车（填 或 前去处理事故．
（2）如图1，正方形 的中心位于坐标原点 ，四个顶点均位于坐标轴上，且 ．
则下列说法：
①若点 是正方形 一边上的一点，则 ；②若点 是正方形 内的一点，
则 ；
③若点 是正方形 外的一点，则 ；④若点 是正方形 内的一点，则
．其中不正确的是 （填序号）．
【探究应用】
（3）如图2，某消防支队位于坐标原点 ， 轴是一条城市主干道，“月牙湖”位于城市
边陲，其西、南岸可近似看作一段圆弧．已知圆弧形湖岸经过 ， ， 三
点．今该消防支队要在湖岸边，建一个训练基地（记为点 ，为使该消防支队官兵，平时
前往基地参训时的“曼距”最短，需探究：点 的位置应选在何处？请作答以下问题：
①圆弧所在的圆的圆心 的坐标为 ，该圆的半径大小为 ；
②请利用网格格点，在图2中，画出使 最小时点 的位置（不要求证明）；
③ 的最小值为 ．
2．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
(1)如图1，若四边形 是圆美四边形．求美角 的度数；
(2)在（1）的条件下，若 的半径为4．
①求 的长；
②连接 ，若 平分 ，如图2，请判断 、 、 之间有怎样的数量关系，
并说明理由．3．对于平面直角坐标系 中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q
为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N
间的“最小距离”，记作 .
已知点 ， ，连接 ．
(1)填空： ______；
(2) 的半径是r，若 ，直接写出r的取值范围；
(3) 的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转 ，得到点C.
①当 时 ，求此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个不同的 值使得 ，直接写出r的取值范围．
4．对于平面直角坐标系 中的点 ，给出如下定义：记点 到 轴的距离为 ，到 轴
的距离为 ，若 ，则称 为点 的“引力值”；若 ，则称 为点 的“引力
值”．特别地，若点 在坐标轴上，则点 的“引力值”为0．
例如，点 到 轴的距离为3，到 轴的距离为2，因为 ，所以点 的“引力
值”为2．(1)①点 的“引力值”为 ；
②若点 的“引力值”为2，则 的值为 ；
(2)若点 在直线 上，且点 的“引力值”为2，求点 的坐标；
(3)已知点 是以 为圆心，半径为2的圆上的一个动点，直接写出点 的“引力
值” 的取值范围．
5．点P为平面直角坐标系 中一点，点Q为图形M上一点．我们将线段 长度的最大
值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．(1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点 ．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段 的“宽度”为___________；
②点 为x轴上一点．若在点P视角下，线段 的“宽度”为2，求m的取值范围；
(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为 （ ），直线 与x轴，y轴分别交
于点D，E．若线段 上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆
心C的横坐标 的取值范围．
6．在平面直角坐标系 中，对于点 ，点 给出如下定义：如果点 与原点 的距离
为 ，点 与点 的距离是 的 倍（ 为整数），那么称点 为点 的“ 倍关联点”．
(1)当 时，
①如果点 的3倍关联点 在 轴上，那么点 的坐标为________．
②如果点 是点 的 倍关联点，且满足 ，那么整数 的最大值为
________．
(2)已知在 中， ．若 ，且在
的边上存在点 的2倍关联点 ，求 的取值范围．类型十、圆中的无刻度尺作图
1．如图，在每个小正方形的边长为 的网格中， 的顶点 均落在格点上，以
点 为圆心 长为半径的圆交 于点 ．
（ ）线段 的长等于 ，
（ ）若 切 于点 ， 为 上的动点，当 取得最小值时，请用无刻度的
直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不
要求证明） ．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，B，C均落在格点上，
是 的外接圆．
（I）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，AB上方的圆上画点P，使得 ，
并画出 的中点Q．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）
．
3．如图 经过A、B、C三个格点，用无刻度直尺作图，用虚线表示．(1)在图1中画 的中点D；
(2)在图1中的 上画一点E，连接 ，使 ；
(3)在图2中作 平分线 交 于F．
4．如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称
为格点．格点A、B、C在同一个圆上，只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求
作图，保留作图痕迹．
(1)图①中，先画出圆心 ，然后在 上画点 ，使 ．
(2)图②中，在弧 上画点 ，连接 ，使 平分 ．
5．已知四边形ABCD，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作
法）
(1)如图1，连接BD，作 的外接圆O，再在BC边上画点M，使 ；
(2)如图2，在AB的延长线上画点E，使 ，再在BC边上画点N，使
．6．如图，矩形 内接于 ．请仅用无刻度的直尺完成画图，并回答问题．
(1)如图（1），画出圆心O；
(2)如图（2），E为 上一点， ，画出弧 的中点P；
(3)如图（3），E为 上一点，四边形 是菱形．
①试判断直线 是否经过点O，并简要说明理由；
② 与 相交于点G，在 上画点M，使 ．
