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期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练
思维导图覆盖训练01:解一元二次方程
1．解方程： ．
2．用适当的方法解方程：
(1) ；
(2) ；
覆盖训练02:旋转图形求解
3．如图， 是边长为 的等边三角形， 是 边上的一点，把线段 绕点 顺时
针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当点 是 的中点时，求 的长．
4．如图，在 中, ，将 绕点A顺时针旋转得到 ，使点C的对
应点E落在 上，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．覆盖训练03:一元二次方程的应用——传染问题
5．某人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．求每一轮传染中平均每人传染
了多少个人．
6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)经过第三轮传染一共有多少人感染？
覆盖训练04:一元二次方程根与系数关系
7．已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）．
(1)当 时，求该方程的实数根；
(2)求证：无论 取任何实数，该方程总有实数根；
(3)若该方程的两个实数根分别是 ， ，且 ，求 的值．
8．已知 是一元二次方程 的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若实数k为整数，且满足 的值也为整数，求k的值．
覆盖训练05:求二次函数的解析式
9．已知抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 时，该二次函数值y取得的最小值为 ，求a的值．
10．如图，二次函数 的图象经过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在该抛物线上， 且 ，直接写出n的取值范围．
覆盖训练06:一元二次方程的应用——增长率问题
11．某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加 ，10、11月份
营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到 万元，求11月份营业额的月平均
增长率．
(1)求9月份营业额．
(2)求10、11月份营业额的月平均增长率．
12．随着科技的发展，某公司拥有的无人机数量逐年上升，据统计，该公司无人机的数量
年为 架， 年达到 架．
(1)求 年底至 年底该公司无人机数量的年平均增长率；
(2)该公司为控制无人机数量的增长速度，计划到 年底公司无人机拥有量不超过 架，
预计 年年底报废的无人机数量是 年无人机拥有量的 ，求 年底至 年
该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．
覆盖训练07:网格作图
13．在平面直角坐标系 中，已知点 ，将线段 绕点 旋转
得到线段 （ 是点 的对应点）．(1)在平面直角坐标系 中画出线段 ；
(2)若点 在线段 上， 是点 关于点 的对称点．
①当点 与点 重合时， 的面积等于___________；
② 的面积 的取值范围是___________．
14．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， 的三个顶点的
坐标分别为 ．
(1)画出将 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的 ；
(2)画出将 绕原点O顺时针方向旋转 得到的 ；
(3)画出与 关于x轴对称的 ；(4)在x轴上存在一点P，满足点P到 与点 距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
覆盖训练08:二次函数的应用——销售问题
15．榆林红枣产业不仅在当地成为传统产业，更是沿黄地区的特色产业，某合作社销售一
批成本为10元/千克的榆林红枣，当按每千克25元销售时，每天的销售量为150千克．为
回馈客户，合作社计划对榆林红枣适当降价销售，经市场调研发现：每千克的售价每降低
1元，每天的销售量将增加30千克，若该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，
则这批红枣的售价应定为多少元/千克？
16．湖南郴州东江鱼以其鲜嫩、甜美的口感和独特的制作工艺而闻名于世，且它承载了当
地深厚的地方文化和历史内涵．某学习小组为了研究东江鱼的最优销售单价，特到某农副
特产专卖店了解到湖南郴州东江鱼成本为30元/千克，并且发现该店在营业期间，通过不
断调整销售单价，对东江鱼的销售量统计如下表所示：
东江鱼销
售单价
… 35 40 45 50 55 …
（元/千
克）
每天销售
数量 … 90 80 70 60 50 …
（千克）
(1)根据表中信息可知：销售数量 与销售单价 什么函数关系，请你求出这个函数关系式
（不要求写出销售单价 的取值范围）；
(2)现专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，
则销售单价应定为多少？
覆盖训练09:圆中的垂径定理与切线证明
17．如图，在 中， ，圆O的圆心在 内部，与 的边顺时针分别
交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段 上），射线 交边 于点P．如果
；(1)求证： ．
(2)连接 ，求证： ．
18．如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点， 在
上，连接 ，若 ．
(1)判断CD与 的位置关系，并说明理由
(2)若 ， ，求 的长
覆盖训练10:一元二次方程的应用——动点问题
19．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以
的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如
果 ， 分别从 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 秒．
．
(1)当 _______时， 的长度等于 （直接填结果）；(2)连接 ，是否存在 的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；
若不存在，请说明理由．
20．如图，矩形 中， ， ，点 从点 开始沿 边向点 以
的速度移动，同时点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动，设它
们的运动时间为 ．
(1)若点 和点 之间的距离是 ，求出 的值；
(2)若 时，求出 的值．
覆盖训练11:一元二次方程的应用——图形问题
21．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园
．如图所示，墙长 ，另外三面用 长的篱笆围成，其中 边开有一扇
宽的门(不含篱笆，其它材料制作)，
(1)当矩形花园的 边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为 ．
(2)矩形花园的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由．
22．某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建
筑材料围成一个长方形仓库，(1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边 的长；
(2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小
仓库，并在与墙平行的边 上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形
面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边 的长；若不能，请说明理由．
覆盖训练12:二次函数与不等式结合
23．如图，已知二次函数 （ ）图象的顶点坐标为 ，与x轴其中一
个交点坐标为 ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当 时，求y的取值范围．
(3)当 时，请结合图象直接写出x的取值范围．
24．抛物线 与 轴交于A，B两点（ 在 左侧），与 轴交于点 ．过
B，C两点的直线 ．(1)点 的坐标为__________，点 的坐标为__________；
(2)抛物线的顶点坐标为__________；
(3)当 时，函数值 的取值范围是__________；
(4)当 时，自变量 的取值范围是__________．
覆盖训练13:二次函数的应用——投球问题
25．如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度 （米）关于水平距离
（米）的函数解析式为 ．
(1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度；
(2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分；
(3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度
（米）关于水平距离 （米）的函数解析中 、 、 的值会发生什么变化，请你在图中画
出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论．
26．小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点
A距地面 ，跳跳球落在距离点 远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物
线的一部分，记为图象 ，其最高点与抛球点的水平距离为 ．以点O为坐标原点建立
平面直角坐标系．(1)求图象 所在抛物线的解析式；
(2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象 （图象 所在抛物线的形状相同，
且图象 的最高点低于图象 的最高点），跳跳球恰好落到距离点 远的一个矩形石
凳上（ ），石凳高度 为 ，宽度 为 ．
①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象 所在抛物线的解析式；
②如果图象 所在抛物线的对称轴为直线 ，请直接写出m的取值范围．
覆盖训练14:二次函数的铅垂高
27．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 在直线 下方的抛物线上，连接 ， ，当 的面积最大时，求点 的坐
标及 的最大值；
(3)在（2）的条件下， 为 轴上一点，在平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为
顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C，点D
为直线 下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点D作y轴的平行线，交 于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时 最大，
试判断小明的说法是否正确，并说明理由．
(3)求三角形 面积的最大值．
29．抛物线 与 轴交于点 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数解析式和直线 的解析式；
(2)如图 ，点 在线段 上方的抛物线上运动（不与 重合），过点 作 ，
垂足为 ， 交 于点 ．若点 的横坐标为 ，请用 的式子表示 ，并求 的最
大值；
(3)如图 ，点 是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点 ，使得以点
为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点 的坐标．覆盖训练15:二次函数与特殊四边形结合
30．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为 ，点B的
坐标为 ，点C的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使 的值最小，并求出点Q的坐标．
(3)点P是抛物线上位于直线 上方的点，连接 ，P点的横坐标为m，
，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值．
(4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是
平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
31．如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 ，
且当 和 时所对应的函数值相等．一次函数 与二次函数
的图象分别交于B，C两点，点 在第一象限．
(1)求二次函数 的表达式；
(2)连接 ， ，试判断 的形状，并说明理由；
(3)点 是线段 的中点，二次函数的图象上是否存在点 ，使得四边形 是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
32．如图，抛物线 经过 的三个顶点，与 轴相交于 ，点 坐标为
，点 是点 关于 轴的对称点，点 在 轴的正半轴上．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为线段 上一动点，过 作 轴， 轴，垂足分别为 ，当四边形
为正方形时，求出 点的坐标；
(3)将（ ）中的正方形 沿 向右平移，记平移中的正方形 为正方形 ，
当点 和点 重合时停止运动，设平移的距离为 ，正方形 的边 与 交于点 ，
所在的直线与 交于点 ，连接 ，是否存在这样的 ，使 是等腰三角形？
若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
覆盖训练16:二次函数与特殊三角形结合
33．如图，已知抛物线 与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，
与 轴的交点为 ，其顶点为 ，对称轴为直线 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的面积；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，说明理由．
34．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），点 的坐
标为 ，与 轴交于点 ，作直线 ，动点 在 轴上运动，过点 作
轴，交抛物线于点 ，交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线 的解析式；
(3)当点 在线段 上运动时，求线段 的最大值；
(4)当点 在线段 上运动时，若 是以 为腰的等腰直角三角形时，直接写出
的值；
(5)当以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 的值．
35．如图，已知抛物线 与一条直线相交于 两点，与 轴交
于点 ，其顶点为 ．
(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)点P为对称轴上一动点，求当 最小时点P坐标，并求出最小值．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使以 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出 点的坐标．若不存在，请说明理由．
覆盖训练17:旋转综合
36．如图，在正方形 中，点 在边 上运动，连接 ，将 绕点 顺时针旋转
得到 ．
(1)如图 ，作 ，垂足为 ，求证： ；
(2)如图2，点 恰好落在边 上，求 的值；
(3)如图3，若 ， ，连接 ，求 的面积．
37．综合实践
【初步探究】如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，连接 ， ，
．若 ，将 绕点A顺时针旋转 得到 ．易证： ．
（1）根据以上信息填空：
① ________ ；
②线段 ， ， 之间满足的数量关系为________；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形 中，若点E在 的延长线上，点F在 的延长线，
，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形 的边长为 ，E，F分别在 ， 上， ，
连接 分别交 ， 于点M，N，若点M恰好为线段 的三等分点，且 ，求线段 的长．
38．综合与实践：数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】如图①，在正方形 中，点 是边 上一点， 于点 ，将线
段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，易证 ．
【深入思考】
（1）延长 ， 交于点 ，如图②，试猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并
证明你的猜想．
【拓展延伸】
（2）在（1）的条件下，如图③，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段
，点 在 上，试猜想 与 的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．
覆盖训练18:圆的无刻度尺作图
39．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在
给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图1，将 绕点O逆时针旋转 得 ，画出 ；
(2)如图2，请画出 的角平分线 ，交 于点 ．40．如图是 的正方形网格，每个小正方形的边长为1， 的顶点在格点上．已知
的外接圆．
(1)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图：
①确定 的外接圆的圆心 ；
②作出过点 的切线，与 的延长线交于点 ；
（上述两问都要保留作图痕迹）
(2)图中劣弧 的长为 ．
41．在如图所示的网格中， 的顶点 ， 均在网格上，顶点 在网格线上，请用无
刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由．
(1)画出图1中圆的一条直径．
(2)画出图2中圆的圆心 ．
覆盖训练19:二次函数与角度问题
42．如图，二次函数 的图象与 轴相交于点 和点 ，与 轴交于点
，连接 ．(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点 在二次函数图象上，且满足 ，请直接写出所有符合条件的点 的
坐标．
43．如图，抛物线 过 三点，点 是抛物线上动点．
(1)试求抛物线的表达式；
(2)如图，当 在第一象限时，过点 作 轴并交 于点 ，作 轴并交抛物线的
对称轴于点 ，若 ，求点 的坐标；
(3)当点P运动到使 时，请直接写出 点的坐标．
44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、点 ，与 轴交
于点 ，对称轴为直线 ，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为 、 ．(1)求此抛物线的解析式；
(2)当 轴时，求 的值；
(3)当 时，求点 的坐标；
(4)设此抛物线在点 与点 之间的部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的
差为 ，在点 与点 之间的部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差为
．当 时，直接写出 的值．
覆盖训练20:二次函数与不等式证明
45．在平面直角坐标系中，设二次函数 （a是常数）．
(1)当 时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)若函数图象经过点 ， ，求证： ．
(3)已知函数图象经过点 ， ， ，若对于任意的 都满足
，求a的取值范围．
46．已知二次函数 ．
(1)若图象过点 ，求抛物线的顶点坐标；
(2)若函数图象上有两个不同的点 ，且 ，求证： ．47．已知二次函数 ，图象经过点 ， ， ．
(1)当 时，
①求二次函数的表达式；
②当 时， 随 的增大而增大，求 的取值范围；
(2)若在 ， ， 这三个实数中，只有一个是正数，求证： ．
