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期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练
思维导图覆盖训练01:解一元二次方程
1．解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接
开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题
的关键．
【详解】解：∵ ，
∴
∴方程的解为： ， .
2．用适当的方法解方程：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
（1）用直接开方法解决即可；
（2）用公式法解决即可．
【详解】（1）解：（2）解：
．
覆盖训练02:旋转图形求解
3．如图， 是边长为 的等边三角形， 是 边上的一点，把线段 绕点 顺时
针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当点 是 的中点时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质
等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）由 为等边三角形，则 ， ，由旋转性质可知，
， ，证明 ，所以 ，再由平行
线的判定即可求证；（ ）由 是边长为 的等边三角形，点 是 的中点，则 ， ，
，所以 ，然后通过勾股定理求出
即可．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是边长为 的等边三角形，点 是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
4．如图，在 中, ，将 绕点A顺时针旋转得到 ，使点C的对
应点E落在 上，连接 ．(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理：
（1）先根据旋转的性质得到 ， ， ，则可
计算出 ，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出
，然后计算 即可；
（2）先利用勾股定理计算出 ，再根据旋转的性质得到 ，
， ，所以 ，然后在 中利用勾股定理可计算出
的长
【详解】（1）解： 绕点A顺时针旋转得到 使点C的对应点E落在 上，
∵
∴
，
∴
∵
，
∴
；
∴（2）解：在 中，
，
∵
，
∴
绕点A顺时针旋转得到 使点C的对应点E落在 上，
∵， ， ，
∴ ，
∴
在 中， ．
覆盖训练03:一元二次方程的应用——传染问题
5．某人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．求每一轮传染中平均每人传染
了多少个人．
【答案】每一轮传染中平均每人传染了 个人
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从
而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人
数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染
了 个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为36人，依此列
出一元二次方程求解即可．
【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，依题可得：
，
，
解得 ， （舍），
答：每一轮传染中平均每人传染了 个人．
6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)经过第三轮传染一共有多少人感染？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人
(2)经过第三轮传染一共有512人感染
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有64
人患了流感，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
根据题意列式计算即可．【详解】（1）每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不合题意，舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了7人；
（2）根据题意得： 人，
答：经过第三轮传染一共有512人感染．
覆盖训练04:一元二次方程根与系数关系
7．已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）．
(1)当 时，求该方程的实数根；
(2)求证：无论 取任何实数，该方程总有实数根；
(3)若该方程的两个实数根分别是 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解方程，一元二次
方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，把 代入 ，得 ，解得 ， ．
（2）理解题意，则 ，即可作答．
（3）先理解题意，则 ， ，再结合 ，故
，解得 的值，即可作答．
【详解】（1）解：当 时， ，即 ．
得 ．
∴ ，或 ．
即 ， ．
（2）解：依题意，
，
无论 取任何实数，该方程总有实数根．
（3）解：∵方程 的两个实数根分别是 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
．
∴
解得 ．
8．已知 是一元二次方程 的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若实数k为整数，且满足 的值也为整数，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式为非负数，且二次项系数不为零，据此求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，再根据 为整数，
可得 或 或 ，最后结合 即可解答．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 有两个实数根，
，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根
，
的值为整数，
或 或 ，
，
或 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式， 根与系数的关系，分式的混合运算，
数的整除，掌握相关知识是解决问题的关键．覆盖训练05:求二次函数的解析式
9．已知抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 时，该二次函数值y取得的最小值为 ，求a的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法确定二次函数的解析式等知识，掌握相
关知识是解题的关键．
（1）根据对称轴得出 ，则 ，把 代入求出k的值，即可得抛物
线解析式；
（2）根据二次函数的性质得出当 时，y有最大值9，再求出当 时，x的值，结
合当 时，该二次函数值y取得的最小值为 ，即可解答．
【详解】（1）解： 抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）解： 二次项系数 ，
∴当 时，y有最大值9，
当 时， ，
解得： ， ，
∵当 时，该二次函数值y取得的最小值是 ，∴ ．
10．如图，二次函数 的图象经过A，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在该抛物线上， 且 ，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、运用了数形结合的思想求自变
量的取值范围．
（1）先写出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求解析式；
（2）分别求出 、 、 时，y的值，再结合函数图象可得n的取值范围．
【详解】（1）解：由图象可得， 、 、 ，代入 中，
得
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴观察函数图象，可知：若点 在该抛物线上， 且 ，则 ．
覆盖训练06:一元二次方程的应用——增长率问题
11．某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加 ，10、11月份
营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到 万元，求11月份营业额的月平均
增长率．
(1)求9月份营业额．
(2)求10、11月份营业额的月平均增长率．
【答案】(1)
440万元
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据题意找到关键描述语，
找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．
（1）根据增长后的量 增长前的量 （ 增长率），结合9月份比8月份增加 即可计
算；
（2）设月平均增长率为x，用x表示出11月份营业额列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵8月份营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，
∴ 9月份营业额 为 （万元）；
答：9月份营业额为440万元．
（2）解：设10、11月份营业额的月平均增长率为x，
则10月份营业额为 万元，11月份营业额为 万元，
根据题意， ，
解得 （负值已舍去），
答：10、11月份营业额的月平均增长率为 ．12．随着科技的发展，某公司拥有的无人机数量逐年上升，据统计，该公司无人机的数量
年为 架， 年达到 架．
(1)求 年底至 年底该公司无人机数量的年平均增长率；
(2)该公司为控制无人机数量的增长速度，计划到 年底公司无人机拥有量不超过 架，
预计 年年底报废的无人机数量是 年无人机拥有量的 ，求 年底至 年
该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，
正确的列出方程，是解题的关键．
（1）设 年底至 年底该公司无人机数量的年平均增长率为 ， 根据年平均增长率
的等量关系，列出方程，解方程并检验即可；
（2）设 年底至 年该公司无人机数量的年增长率为 ，根据 年底公司无人机
拥有量不超过 架列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设 年底至 年底该公司无人机数量的年平均增长率为 ，
根据题意得， ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
答： 年底至 年底该公司无人机数量的年平均增长率为 ．
（2）解：设 年底至 年该公司无人机数量的年增长率为 ，
根据题意得， ，
解得 ，
答： 年底至 年该公司无人机数量的年增长率应控制在不超过 的范围才能达
到要求．
覆盖训练07:网格作图
13．在平面直角坐标系 中，已知点 ，将线段 绕点 旋转
得到线段 （ 是点 的对应点）．(1)在平面直角坐标系 中画出线段 ；
(2)若点 在线段 上， 是点 关于点 的对称点．
①当点 与点 重合时， 的面积等于___________；
② 的面积 的取值范围是___________．
【答案】(1)见详解
(2)①6；②
【分析】该题考查了中心对称，三角形面积计算，正确作出图形是解题的关键．
（1）根据中心对称作图即可．
（2）①根据 的面积 解答即可．
②根据题意 的面积 ， ， ，即可求出
的面积最大值和最小值，即可解答．
【详解】（1）解：如图，线段 即为所求．（2）解：①当点 与点 重合时，如图，
此时
则 的面积 ；
②根据题意 的面积 ，
∵点 在线段 上， 是点 关于点 的对称点，
∴ ， ，
∴ 的面积 ，
则 的面积最大 ，最小 ，
的面积的取值范围是 ．
14．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， 的三个顶点的坐标分别为 ．
(1)画出将 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的 ；
(2)画出将 绕原点O顺时针方向旋转 得到的 ；
(3)画出与 关于x轴对称的 ；
(4)在x轴上存在一点P，满足点P到 与点 距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)图见解析，
【分析】题目主要考查平移变换，旋转变换，轴对称变换及最短路线问题，理解题意，熟
练掌握作图方法是解题关键．
（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转 后的对应点，然后顺
次连接即可；
（3）根据网格结构找出点A、B、C以x轴为对称轴的对应点，然后顺次连接即可；
（4）利用最短路径问题解决，找到点 关于x轴的对称点为 ，坐标为 ，连接交x轴于点P，结合一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， 为所求做的三角形；
（2）如图所示， 为所求做的三角形；
（3）如图所示， 为所求做的三角形；
（4）找到点 关于x轴的对称点为 ，坐标为 ，连接 交x轴于点P，
∴ ，满足点P到 与点 距离之和最小，
∵ 坐标为 ， 坐标为 ，
∴设 所在直线的解析式为： ，
∴
解得： ，
∴ 所在直线的解析式为： ，
令 ，则 ，∴P点的坐标 ．
覆盖训练08:二次函数的应用——销售问题
15．榆林红枣产业不仅在当地成为传统产业，更是沿黄地区的特色产业，某合作社销售一
批成本为10元/千克的榆林红枣，当按每千克25元销售时，每天的销售量为150千克．为
回馈客户，合作社计划对榆林红枣适当降价销售，经市场调研发现：每千克的售价每降低
1元，每天的销售量将增加30千克，若该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，
则这批红枣的售价应定为多少元/千克？
【答案】22元/千克或18元/千克
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，分别整理得这批红枣降价为 元/千
克后的每天的销售量以及每千克的利润，再结合这批红枣的利润达到2880元，进行列式计
算，即可作答．
【详解】解：设这批红枣降价为 元/千克，
则每天的销售量为 千克，每千克的利润是 （元）
∵每天销售这批红枣的利润达到2880元，
∴
∴ ，
整理得
∴
解得
∴ （元）或 （元）
即该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，则这批红枣的售价应定为22元/千
克或18元/千克．
16．湖南郴州东江鱼以其鲜嫩、甜美的口感和独特的制作工艺而闻名于世，且它承载了当
地深厚的地方文化和历史内涵．某学习小组为了研究东江鱼的最优销售单价，特到某农副
特产专卖店了解到湖南郴州东江鱼成本为30元/千克，并且发现该店在营业期间，通过不
断调整销售单价，对东江鱼的销售量统计如下表所示：东江鱼销
售单价
… 35 40 45 50 55 …
（元/千
克）
每天销售
数量 … 90 80 70 60 50 …
（千克）
(1)根据表中信息可知：销售数量 与销售单价 什么函数关系，请你求出这个函数关系式
（不要求写出销售单价 的取值范围）；
(2)现专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，
则销售单价应定为多少？
【答案】(1)销售数量y是销售单价x成一次函数关系，函数关系式为 ．
(2)销售单价应定为50元．
【分析】本题考查一次函数与一元二次方程的实际应用，涉及的知识点有一次函数的解析
式求解（待定系数法）、一元二次方程的求解．运用了函数与方程思想（用一次函数表示
销售量与单价的关系，用方程表示利润关系）、待定系数法．解题关键是准确建立函数、
方程模型．
（1）因为销售单价每增加 元，销售数量减小 千克，可得销售数量y与销售单价x成一
次函数关系，所以设 ，选取表格中两组数据代入，通过解方程组求出k和b的值，
从而得到函数关系式．
（2）先根据每天销售利润达到1200元，结合利润公式列出一元二次方程，结合让顾客感
觉到实惠，再确定销售单价．
【详解】（1）解：∵销售单价每增加 元，销售数量减小 千克，
∴销售数量y是销售单价x的一次函数，
设销售单价x与销售数量y的函数关系式为 （k，b为常数， ）．
当 时， ；当 时， ，代入函数关系式可得：
，
解得 ．所以，y与x的函数关系式为 ．
（2）解：设销售单价应定为x元/千克．
根据利润公式， ，
整理得： ，
解得： 或 ．
∵让顾客感觉到实惠，
∴ ，
所以专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，
则销售单价应定为每千克 元．
覆盖训练09:圆中的垂径定理与切线证明
17．如图，在 中， ，圆O的圆心在 内部，与 的边顺时针分别
交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段 上），射线 交边 于点P．如果
；
(1)求证： ．
(2)连接 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等
知识点，熟记相关几何结论是解题关键．
（1）作 ，推出 ，进而得 平分 ，即可求证；
（2）证 得 ， ，进而得 ，再证
即可；【详解】（1）证明：作 ，
，
，
∴ 平分 ，
，
（2）证明：如图所示：
，
，
，
；
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
18．如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点， 在
上，连接 ，若 ．
(1)判断CD与 的位置关系，并说明理由
(2)若 ， ，求 的长
【答案】(1)CD与 相切，理由见解析
(2) 的长为
【分析】连接 ，利用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质及直径所对的圆周角
是直角即可得到 与 垂直，即 是 的切线；
设 交 于点 ，由 ，得到 ，根据垂径定理，设 ，则
，利用勾股定理求出 ，从而利用勾股定理求得 的长．
【详解】（1）解：CD与 相切，理由如下：
如图所示，连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴CD为 切线即CD与 相切．
（2）解：如图所示，设 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 和 中，由勾股定理得，， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合，考查了切线的判定，圆周角的有关性质，垂径定理，等腰三角
形的性质，勾股定理等知识，灵活运用勾股定理建立方程是解题的关键．
覆盖训练10:一元二次方程的应用——动点问题
19．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以
的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如
果 ， 分别从 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 秒．
．
(1)当 _______时， 的长度等于 （直接填结果）；
(2)连接 ，是否存在 的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， ．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，
列出一元二次方程解决问题．（1）先求出 ， ，再利用勾股定理建立方程解方程即可
得到答案；
（2）先求出 ，再根据三角形面积计算公式得到方程
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：在矩形 中， ， ，点 从点 开始沿边 向终
点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移
动，设运动时间为 秒 ，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 （舍去）， ，
当 时， 的长度等于 ；
故答案为： ．
（2）由题意得： ，
的面积等于 ，
，
，
，
或 （舍去），当 时，使得 的面积等于 ．
20．如图，矩形 中， ， ，点 从点 开始沿 边向点 以
的速度移动，同时点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动，设它
们的运动时间为 ．
(1)若点 和点 之间的距离是 ，求出 的值；
(2)若 时，求出 的值．
【答案】(1)
(2) 的值为 或5
【分析】（1）根据题意，表达出 ， ，因为在矩形 中，所
以 ，且已知 ，利用勾股定理列方程求解即可；
（2）分两种情况进行讨论，当点 在 上运动时，当点 在 上运动时，分别表达出
的长度，根据 列方程求解即可．
【详解】（1）解： ， ， ， ，
，
四边形 是矩形，
，，
，
，
解得 ， ，
不符合题意，舍去，
；
（2）解：当点 在 上运动时， ，
， ，
，
解得： ，
，符合该时间段条件；
当点 在 上运动时， ，
， ，
，
，
解得： ，
∵5在该时间段内，符合题意，
或 ，
的值为 或5．
【点睛】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，
掌握相关知识是解决问题的关键．覆盖训练11:一元二次方程的应用——图形问题
21．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园
．如图所示，墙长 ，另外三面用 长的篱笆围成，其中 边开有一扇
宽的门(不含篱笆，其它材料制作)，
(1)当矩形花园的 边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为 ．
(2)矩形花园的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当矩形花园的 边的长为 时，围成的矩形花园的面积为
(2)不能，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
（1）设 边的长为 ，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解．
（2）设 边的长为 ，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设 边的长为 ，
依题意，得： ，
解得： ，
不符题意，舍去．
答：当矩形花园的 边的长为 时，围成的矩形花园的面积为 ．
（2）解：不能，
理由：设 边的长为 ，
则 ，
，，
∴方程没有实数根，
∴矩形花园的面积不能达到 ．
22．某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建
筑材料围成一个长方形仓库，
(1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边 的长；
(2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小
仓库，并在与墙平行的边 上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形
面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边 的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)与墙垂直的边 的长为
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解此题的关键．
（1）设与墙垂直的边 的长为 ，则与墙平行的边 的长为 ，根据“长
方形仓库占地面积为1500平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解；
（2）设与墙垂直的边 的长为 ，则与墙平行的边 的长为 ，根
据“长方形 面积扩大到2000平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边 的长为 ，则与墙平行的边 的长为
，
由题意可得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
∴与墙垂直的边 的长为 ；（2）解：不能，理由如下：
设与墙垂直的边 的长为 ，则与墙平行的边 的长为 ，
由题意可得 ，
整理可得： ，
∵ ，
∴原方程没有实数根，
∴不能使长方形 面积扩大到2000平方米．
覆盖训练12:二次函数与不等式结合
23．如图，已知二次函数 （ ）图象的顶点坐标为 ，与x轴其中一
个交点坐标为 ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当 时，求y的取值范围．
(3)当 时，请结合图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用图象求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先利用函数解析式得当 时， ，当 时， ，再结合函数图象可得答
案；
（3）先根据二次函数图象得求得抛物线与x轴的交点坐标，然后结合函数图象即可确定x
的取值范围．
【详解】（1）解：∵该抛物线的顶点坐标为 ，
设该二次函数表达式为 ，
将 代入得： ，
解得 ，
将 代入 得： ；
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
结合函数图象可知，当 时，求y的取值范围为 ；
（3）解：∵二次函数的解析式 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵与x轴其中一个交点坐标为 ，
∴与x轴另一个交点坐标为 ．
由函数图象可得当 时，x的取值范围为 ．
24．抛物线 与 轴交于A，B两点（ 在 左侧），与 轴交于点 ．过
B，C两点的直线 ．(1)点 的坐标为__________，点 的坐标为__________；
(2)抛物线的顶点坐标为__________；
(3)当 时，函数值 的取值范围是__________；
(4)当 时，自变量 的取值范围是__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法求不等式的解集，熟练掌握二次函数的
图象和性质，是解题的关键：
（1）令 ，求出 两点的坐标即可；
（2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标即可；
（3）利用增减性求出函数值 的取值范围即可；
（4）根据图象法进行求解即可．
【详解】（1）解：令 ，解得 ，
∴ ；
（2） ，∴顶点坐标为 ；
（3）∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，
∴当 时，函数值最小为 ；
当 时，函数值最大为 ；
∴ ；
（4）由图象可知，当 时， ．
覆盖训练13:二次函数的应用——投球问题
25．如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度 （米）关于水平距离
（米）的函数解析式为 ．
(1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度；
(2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分；
(3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度
（米）关于水平距离 （米）的函数解析中 、 、 的值会发生什么变化，请你在图中画
出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论．
【答案】(1)球的高度是 米
(2)得分100分(3) 的绝对值变小， 可以不变（答案不唯一），作图见解析，验证见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）直接令 求解即可；
（2）令 ，解一元二次方程求出方程的根即可判断得分；
（3） 的绝对值变小， 可以不变，假设落地距离为 米，保持 ，再计算说
理，即可作图．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴小普把球脱手时，球的高度是 米；
（2）解：当 时， ，
整理得 ，
解得 ， （舍），
∵铅球扔出10米的得分为100分，
∴小普得分100分；
（3）解： 变小， 可以不变（答案不唯一），
假设落地距离为 米，保持 ，
将 代入 ，
则 ，
解得 ，此时
作图如图：26．小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点
A距地面 ，跳跳球落在距离点 远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物
线的一部分，记为图象 ，其最高点与抛球点的水平距离为 ．以点O为坐标原点建立
平面直角坐标系．
(1)求图象 所在抛物线的解析式；
(2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象 （图象 所在抛物线的形状相同，
且图象 的最高点低于图象 的最高点），跳跳球恰好落到距离点 远的一个矩形石
凳上（ ），石凳高度 为 ，宽度 为 ．
①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象 所在抛物线的解析式；
②如果图象 所在抛物线的对称轴为直线 ，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ②
【分析】（1）把函数解析式配成顶点式即可求解；（2）①设解析式为 ，将 代入解方程，即可得；②分别考虑点
落到 、 处时，抛物线对应的 ，即可判断出取值范围．
【详解】（1）解：由题可设图象 所在抛物线的解析式为 ．
将 分别代入，
得
解得
故图象 所在抛物线的解析式为 ．
（2）解：① ，
∴点E的坐标为 ．
当图象 所在抛物线经过点E时，设其解析式为 ．
将 分别代入，
得
解得
故图象 所在抛物线的解析式为 ．
②当图象 所在抛物线经过点E时， ．，
∴点F的坐标为 ．
当图象 所在抛物线经过点F时，设其解析式为 ．
将 分别代入，得
解得
图象 的最高点低于图象 的最高点，
，
综上所述，m的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
覆盖训练14:二次函数的铅垂高
27．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 在直线 下方的抛物线上，连接 ， ，当 的面积最大时，求点 的坐
标及 的最大值；
(3)在（2）的条件下， 为 轴上一点，在平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为
顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2) 最大值为 ；
(3)存在， 的坐标为 或 或 或
【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）将 、 ， 代入 即可求解析式；
（2）如图，连接 ， ， ，设 ，而 ， ，则
， ， ，再利用割补法建立面积函数关系式，利用
二次函数的性质可得答案；
（3）根据题意，以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 过 、 ， ．
，解得： ，
∴抛物线为： ；
（2）如图，连接 ， ， ，
设 ，而 ， ，∴ ， ， ，
∴
，其中 ，
当 时， 取得最大值 ，
此时P的纵坐标为： ，
∴ ，
所以当 时， 取得最大值 ．
（3）存在，由（2）知 ，又 ，
，
在 轴上，以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
①如图，以 为边构成菱形，
， ，且 ，
,即 ；
②如图，以 为边构成菱形，， ，且 ，
,即 ；
③如图，当 ，且互相平分时，
此时 关于 轴对称， ；
④如图，当 ，且互相平分时， ，
设 相交于 ，过 作 交 于 ，
易得 ，
，即 ，
解得 ，
；综上，存在， 的坐标为 或 或 或 ．
28．如图，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C，点D
为直线 下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点D作y轴的平行线，交 于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时 最大，
试判断小明的说法是否正确，并说明理由．
(3)求三角形 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)不正确，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函
数的图像与性质是解决本题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出直线 的解析式，设 ，则
，则 ，由此即可求出答案；
（3）根据 求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 的图象与x轴交于 ， 两点，
∴抛物线解析式可设为 ，
即 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：小明的说法不正确．
理由如下：
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 分别代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 ， 最大，
而抛物线的顶点坐标为 ，∴小明的说法不正确．
（3）解：由（2）知 ，
∴
，
∴当 ， 最大，最大值为 ．
29．抛物线 与 轴交于点 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数解析式和直线 的解析式；
(2)如图 ，点 在线段 上方的抛物线上运动（不与 重合），过点 作 ，
垂足为 ， 交 于点 ．若点 的横坐标为 ，请用 的式子表示 ，并求 的最
大值；
(3)如图 ，点 是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点 ，使得以点
为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点 的坐标．
【答案】(1) ，(2) ；最大值为
(3) 或 或
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）由题意可知， ， ，进而可得
，再根据二次函数的性质解答即可求解；
（ ）分 为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质
解答即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分
类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把 和 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的函数解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，把 和 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：若点 的横坐标为 ，则 ， ，
∴ ，∵ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ；
（3）解：①当 为平行四边形的边，点 在对称轴右侧时，如图 ，则有 ，
且 ，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，设 交对称轴于点 ，
则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 到对称轴的距离为 ，
又∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
设点 ，则 ，
解得 或 （不合，舍去），
当 时， ，∴ ，
∴ ；
②当 为平行四边形的边，点 在对称轴左侧时，如图 ，则有 ，且
，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，设 交对称轴于点 ，
同理①可证 ，
∴ ， ，
∴点 到对称轴的距离为 ，
设点 ，则 ，
解得 或 （不合，舍去），
当 时， ，
∴ ，
∴
③当 为平行四边形的对角线时，如图 ，设 的中点为 ，∵ ， ，
∴ ，
∵点 在对称轴上，
∴点 的横坐标为 ，
设点 的横坐标为 ，根据中点公式得 ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∵ ，
∴点 在 轴上，
∴ ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
覆盖训练15:二次函数与特殊四边形结合
30．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为 ，点B的
坐标为 ，点C的坐标为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使 的值最小，并求出点Q的坐标．
(3)点P是抛物线上位于直线 上方的点，连接 ，P点的横坐标为m，
，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值．
(4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是
平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ， 最大值为
(4) 或 或
【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线 ，作点C关于抛物线对称轴
的对称点 ，连接 ，交抛物线对称轴于点Q，此时 取最小值，求出直线
的解析式，即可解答；
（3）由题得 ，过点P作 轴的垂线，交 于点 ，求
出直线 的解析式，则 ，求出 ，根据 ，再利用二次函数
的性质即可解答；（4）设 ，利用平行四边形的性质，分以 为对角线，以 为对角线，以 为
对角线三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
作点C关于抛物线对称轴的对称点 ，连接 ，交抛物线对称轴于点Q，
则 ， ，
此时 取最小值，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入 ，则 ，∴ ；
（3）解：∵P点的横坐标为m，
∴ ，
过点P作 轴的垂线，交 于点 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
则
∴ ，
∵ ，且 ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
（4）解：设 ，
当以 为对角线，四边形 是平行四边形时，如图：则 ，解得 ，
∴ ；
当以 为对角线，四边形 是平行四边形时，如图：
则 ，解得 ，
∴ ；
当以 为对角线，四边形 是平行四边形时，如图：
则 ，解得 ，
∴ ；
综上，存在点E坐标为 或 或 时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边
形是平行四边形．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边
形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键．
31．如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 ，
且当 和 时所对应的函数值相等．一次函数 与二次函数
的图象分别交于B，C两点，点 在第一象限．
(1)求二次函数 的表达式；
(2)连接 ， ，试判断 的形状，并说明理由；
(3)点 是线段 的中点，二次函数的图象上是否存在点 ，使得四边形 是菱形？
若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据当 和 时所对应的函数值相等，可得 ，根据待定系数法，
可得函数解析式；
（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理
的逆定理求解即可；
（3）首先得到 ，然后得到当四边形 是平行四边形时，四边形 是菱
形，求出 ，设点N的横坐标为n，然后根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）∵当 和 时所对应的函数值相等∴对称轴为直线
∴
∴
将 代入 得，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图所示，连接 ， ，
联立抛物线与直线，得 ，
解得 或 ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）如图所示，由（2）得，
∴
∵点 是线段 的中点，
∴ ，
∴当四边形 是平行四边形时，四边形 是菱形
∵ ， ，
∴ ，即 ，
设点N的横坐标为n，
∵
∴
∴
∴将 代入
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，菱形的判定和性
质，平行四边形的性质，勾股定理和逆定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
32．如图，抛物线 经过 的三个顶点，与 轴相交于 ，点 坐标为
，点 是点 关于 轴的对称点，点 在 轴的正半轴上．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为线段 上一动点，过 作 轴， 轴，垂足分别为 ，当四边形
为正方形时，求出 点的坐标；
(3)将（ ）中的正方形 沿 向右平移，记平移中的正方形 为正方形 ，
当点 和点 重合时停止运动，设平移的距离为 ，正方形 的边 与 交于点 ，
所在的直线与 交于点 ，连接 ，是否存在这样的 ，使 是等腰三角形？
若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 的值为 或 或
【分析】（ ）由二次函数的性质可得抛物线的顶点为 ， 即得 ，再利用
待定系数法解答即可求解；
（ ）分点 在第一象限和第二象限两种情况，先求出直线 的解析式，再利用正方形
的性质求出点 坐标即可；
（ ）过点 作 于 ，表示出 的坐标，再根据等腰三角形的定义分三种
情况解答即可求解；
本题考查了二次函数几何应用，等腰三角形的定义，勾股定理，利用分类讨论思想解答是
解题的关键．
【详解】（1）解：∵点 是点 关于 轴的对称点，
∴抛物线的对称轴为 轴，∴抛物线的顶点为 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵ 在抛物线上，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数关系表达式为 ；
（2）解：①当点 在第一象限时，如图 ，
令 ，得 ，
解得 ， ，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，设正方形 的边长为 ，则 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；
②当点 在第二象限时， 同理可得点 的坐标为 ，此时点 不在线段 上，故舍
去；
综上所述，点 的坐标为 ；
（3）解：存在，理由如下：
过点 作 于 ，如图 ，则 ， ，
∵点 和点 重合时停止运动，
∴ ，
当 时， ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ， ，在 中， ，
在 中， ， ，
∴ ，
①当 时，
，
解得 ；
②当 时，
，
解得 ；
③当 时，
，
解得 或 ，
∵ ，
∴ ；
综上所述，存在 的值为 或 或 ，使 是等腰三角形．
覆盖训练16:二次函数与特殊三角形结合
33．如图，已知抛物线 与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，
与 轴的交点为 ，其顶点为 ，对称轴为直线 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的面积；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，点M的坐标为 或 或 或
【分析】（1）根据抛物线 的对称轴为直线 ，得到 ，再把点
， 代入解析式，求出a，k的值，即可解答；
（2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为 ，与x轴的另一个交点为B
的坐标为 ，根据两点间距离公式求出 ， ， ，得到
，从而 是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当 时，②当 时，③当 时，分别求
解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，，
∴ ，
∵抛物线 过点 ， ，∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵抛物线的解析式为 ，
∴顶点D的坐标为 ，
∵抛物线对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ．
（3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论：
①当 时， 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ．
②当 时， 为等腰三角形，过点D作 轴于点H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当 时， 为等腰三角形，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，∴ ，
解得 ，
∴ ．
综上所述，在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形，点M的坐标为
或 或 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，两点间的距离公式，勾
股定理的逆定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键．
34．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），点 的坐
标为 ，与 轴交于点 ，作直线 ，动点 在 轴上运动，过点 作
轴，交抛物线于点 ，交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线 的解析式；
(3)当点 在线段 上运动时，求线段 的最大值；
(4)当点 在线段 上运动时，若 是以 为腰的等腰直角三角形时，直接写出
的值；
(5)当以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值为
(4)(5) 的值为 或
【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线
的解析式；
（3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出 的长，再利用二次函数的最值可求
得 的最大值；
（4）由题意可得当 是以 为腰的等腰直角三角形时则有 ，且
，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值；
（5）由条件可得出 ，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值．
【详解】（1）解：∵抛物线过 ， 两点，
∴代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：令 可得， ，解 ， ，
∵ 点在 点右侧，
∴ 点坐标为 ，
设直线 解析式为 ，
把 、 坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线 解析式为 ；
（3）解：∵ 轴，点 的横坐标为 ，
∴ ， ，
∵ 在线段 上运动，
∴ 点在 点上方，
∴ ，∴当 时， 有最大值， 的最大值为 ；
（4）解：∵ 轴，
∴当 是以 为腰的等腰直角三角形时，则有 ，
∴ 点纵坐标为3，
∴ ，解得 或 ，
当 时，则 ， 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴ ；
（5）解：∵ ，
∴当以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时， ，
∴ ，
∴ 或 ，
解方程 ，即 ，
此时 ．
∴方程无解，
解方程 ，即 ，
∴ ，
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角
形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出
的长是解题的关键，在（4）中确定出 是解题的关键，在（5）中由平行四边形
的性质得到 是解题的关键．
35．如图，已知抛物线 与一条直线相交于 两点，与 轴交
于点 ，其顶点为 ．(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)点P为对称轴上一动点，求当 最小时点P坐标，并求出最小值．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使以 为顶点的三角形是直角三角形？若
存在，请直接写出 点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 的最小值为 ，此时点P的坐标为
(3) 或 或 或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次
函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求，可得 ，则可求出 ；由抛物
线的对称性可得 ，则当P、B、N三点共线时， 有最小值，即此时
有最小值，最小值为 的长；求出直线 解析式为 ，对称轴为直线
，据此可得答案；
（3）分 是斜边、 是斜边、 是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解
即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与一条直线相交于 两点，
∴ ，
解得∴抛物线的函数表达式为 ．
设直线 的函数表达式为 ，
将 、 分别代入 中可得 ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
（2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B，
在 中，当 时， ，
当 时， ，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，连接 ，
由抛物线的对称性可得 ，
∴ ，
∴当P、B、N三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为
的长；
同理可得直线 解析式为 ，
∵抛物线解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，
在 中，当 时， ，
∴ 的最小值为 ，此时点P的坐标为 ；（3）解：由（2）可知对称轴为直线 ，
设点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
．
当 是斜边时，则 ，解得 ；
当 是斜边时， 可得： 或2；
当 是斜边时， 可得： ．
∴点 的坐标为 或 或 或 ．
覆盖训练17:旋转综合
36．如图，在正方形 中，点 在边 上运动，连接 ，将 绕点 顺时针旋转
得到 ．
(1)如图 ，作 ，垂足为 ，求证： ；(2)如图2，点 恰好落在边 上，求 的值；
(3)如图3，若 ， ，连接 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据旋转的性质和正方形的性质证明 （ ），可得
；
（2）如图2，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得 ，证明
（ ），得 ，进而可以解决问题；
（3）如图3，过点 作 于点 ，证明 （ ），可得
，根据勾股定理求出 ，进而利用三角形的面积即可解决问题．
【详解】（1）证明： 将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得 ，
， ， ， ，，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点 作 于点 ，
， ，
，
四边形 是正方形，
，
由旋转可知： ， ，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判
定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
37．综合实践
【初步探究】如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，连接 ， ，
．若 ，将 绕点A顺时针旋转 得到 ．易证： ．
（1）根据以上信息填空：
① ________ ；
②线段 ， ， 之间满足的数量关系为________；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形 中，若点E在 的延长线上，点F在 的延长线，
，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形 的边长为 ，E，F分别在 ， 上， ，
连接 分别交 ， 于点M，N，若点M恰好为线段 的三等分点，且 ，
求线段 的长．
【答案】（1）① ；② ；（2） ，证明见解析；（3）
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）①证明 ，由全等三角形的性质得出 ，从而可求得 ；
②证明 ，由全等三角形的性质得出 ；
（2）将 绕点A顺时针旋转 到 ，连接 ，证明 ，由全等三
角形的性质得出 ， ，证明 ，由全等三角
形的性质得出 ；
（3）将 绕点A顺时针旋转 ，得到 ，证明 ，得
，再证 ，然后由勾股定理得出 ，即可解决问题．
【详解】（1）解：①如图（1），延长 到点G，使 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ；
故答案为： ；
（2） ．
证明如下：如图（2），在 上截取 ，连接 ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴
即
∵
∴
在 和 中，∴
∴
∵
∴ ；
（3）如图（3），将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴
∴ ，
由旋转可得， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ．
在 中， ，
∴ 解得： ，
∴ ．38．综合与实践：数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】如图①，在正方形 中，点 是边 上一点， 于点 ，将线
段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，易证 ．
【深入思考】
（1）延长 ， 交于点 ，如图②，试猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并
证明你的猜想．
【拓展延伸】
（2）在（1）的条件下，如图③，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段
，点 在 上，试猜想 与 的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1） ，
（2） .
【分析】（1）由全等三角形得到 ，再通过论证四边形 是正方形，得到
，等量代换从而得到 ；
（2）在 上截取 ，连接 ，可得 ≌ ，进而得到 是等腰直
角三角形，最后得出 的结论．
【详解】（1）猜想：
证明：∵ ，
∴
∵ ≌ ，
∴ ， ，
∵
∴四边形 是矩形，
∵ ，∴矩形 是正方形，
∴ ，
即 .
（2）猜想：
证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质及判定、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，关键
是构造全等三角形将线段进行转换．
覆盖训练18:圆的无刻度尺作图
39．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图1，将 绕点O逆时针旋转 得 ，画出 ；
(2)如图2，请画出 的角平分线 ，交 于点 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—旋转变换，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据网格特点找出点 、 、 ，顺次连接即可；
（2）根据角平分线的性质，找到 的中点为点 ，作射线 交 于点 ，即可得解．
【详解】（1）解：如图， 即为所作，
；
（2）解：如图，射线 即为所作，．
40．如图是 的正方形网格，每个小正方形的边长为1， 的顶点在格点上．已知
的外接圆．
(1)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图：
①确定 的外接圆的圆心 ；
②作出过点 的切线，与 的延长线交于点 ；
（上述两问都要保留作图痕迹）
(2)图中劣弧 的长为 ．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①由 ， 知， 垂直平分
，由图知 垂直平分 ，两线相交于点 ，则点 即为所求；
②取格点F， ，知 ，根据切
线的判定知 即为所求，
（2）先利用勾股定理及其逆定理得到 ，进而利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：①如图，分别作线段 ， 的垂直平分线，相交于点 ，则点 即
为所求；②如图，连接 ，过点 作 的垂线 ，交 的延长线于点 ，则 即为所求；
（2）解： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴图中劣弧 的长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了作图一应用与设计作图、三角形的外接圆、等腰三角形的性质、
勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
41．在如图所示的网格中， 的顶点 ， 均在网格上，顶点 在网格线上，请用无
刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由．
(1)画出图1中圆的一条直径．
(2)画出图2中圆的圆心 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】本题考查了网格作图，直角所对的弦是直径，网格与勾股定理；
（1）根据直角所对的弦是直径，即可求解；
（2）根据网格的特点作出 ，则 为直径，与 交于点 ，则点 即为所求．
【详解】（1）解：如图，
∵
∴ 是圆的一条直径．
（2）解：如图， ，延长 交圆于点 ，连接 ，则 为直径，与 交
于点 ，则点 即为所求．
理由如下，
∵ ，∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
即 ，
∴ 是直径，
由（1）可得 是直径，
∴ 的交点即为圆心 ．
覆盖训练19:二次函数与角度问题
42．如图，二次函数 的图象与 轴相交于点 和点 ，与 轴交于点
，连接 ．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点 在二次函数图象上，且满足 ，请直接写出所有符合条件的点 的
坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，正确求出对应的函数
关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求出直线 解析式为 ，则可求直线 与直线 相交于
，设为点D，连接 并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线 对称，则 ，即 ，同理可求出直线 解析式为
，联立方程组 ，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴
点E，连接 并延长交抛物线于 ，则 ， ，即 同
理可求点 的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：把 和 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：当 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴对称轴为直线
设直线 解析式为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，∴ 与直线 相交于 ，设为点D，连接 并延长交抛物线于P，
∵A、C关于直线 对称，
∴ ，即 ，
同理可求出直线 解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 或 ，
∴ ，
作点D关于x轴的对称轴点E，连接 并延长交抛物线于 ，
则 ， ，即
同理可求直线 解析式为 ， ，
综上，当 时，点P的坐标为 或43．如图，抛物线 过 三点，点 是抛物线上动点．
(1)试求抛物线的表达式；
(2)如图，当 在第一象限时，过点 作 轴并交 于点 ，作 轴并交抛物线的
对称轴于点 ，若 ，求点 的坐标；
(3)当点P运动到使 时，请直接写出 点的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)
(3) 点的坐标为 或
【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线 的表达式，从而求得抛
物线的对称轴；
（2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线 ，根据待定系数法即可求得直线 的表
达式 ；设 ， ， ，进
而得 ，由 得 ，解 ，即
可得解；
（3）先求得点 关于直线 的对称点为 ，过点 作 平分 交抛物线于点 ，交 于点 ，再求得 ，从而求得设直线 的解析式，联立直线 为：
与抛物线解析式为 即可求解；同理，作点 关于 的对
称点 ，运用待定系数法得到直线 的解析式，联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
（2）解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设直线 ： ，
∵ ， 在 上，
∴ ，
解得 ，
∴直线 为： ；
由点 是第一象限内抛物线 上的动点，点 的横坐标是 ，且 ，设 ，
∵ 轴， 轴，抛物线的对称轴为直线 ，直线 为： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去），
当 时， ，
∴ ；
（3）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ， ， ， ，
∴ 、 两点关于直线 成轴对称，设点 关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 关于直线 的对称点为 ，
∵ 、 两点关于直线 成轴对称，点 关于直线 的对称点为 ，连接
，
∴ 与 关于直线 成轴对称，
∴ ，
过点 作 平分 交抛物线于点 ，交 于点 ，则 ，点 为所求的点，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 交抛物线于点 ，交 于点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
设直线 为： ，
∵直线 为： 过 ， ，
∴ ，解得 ，
∴直线 为： ，
联立直线 为 与抛物线解析式为 得，
，
解得 或 （舍去），
∴ ；
同理，作点 关于 轴的对称点 ，
∴ ，
∴设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
联立方程组得， ，
整理得， ，解得， ， （不符合题意，舍去），
∴ ；
综上所述， 点的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数，二次函数与几何综合，一次
函数与几何综合，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图
像及性质是解题的关键．
44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、点 ，与 轴交
于点 ，对称轴为直线 ，点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为 、 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当 轴时，求 的值；
(3)当 时，求点 的坐标；
(4)设此抛物线在点 与点 之间的部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的
差为 ，在点 与点 之间的部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差为
．当 时，直接写出 的值．
【答案】(1)(2)
(3)点 的坐标为 或
(4) 或
【分析】（1）将点 代入解析式，由对称轴为直线 得 ，即可求解；
（2）由 轴得 ，即可求解；
（3）由勾股定理得 ，
， ，即可
求解；
（4）分类讨论：①当 、 都在直线 的左侧时，②当 、 在对称轴两侧或其中一点
在对称轴上时，③当点 在直线 的右侧且在直线 上方时，④当点 在直线 的
右侧且在直线 下方时；即可求解．
【详解】（1）解： 点 ，对称轴为直线 ，
， ，
解得： ，
故此抛物线的解析式 ；
（2）解： 轴，
，
，
整理得： ，解得： ， （舍去），
故 ；
（3）解： 点P、Q在此抛物线上，其横坐标分别为 、 ，
， ，
，
，
，
当 时，
，
，
解得： ， ；
当 时， ，
当 时， ，
点 的坐标为 或 ；
（4）解：由（3）得，顶点坐标为 ，①当 、 都在直线 的左侧时，
，
解得： ，
，
，
，
，
解得： ， （舍去），
的值为 ；
②当 、 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图，
，
解得： ，，
，
，
解得： （舍去）， （舍去），
此种情况 的值不存在；
③当点 在直线 的右侧且在直线 上方时，如图，
，
，
，
，
，
解得： ， （舍去）；
的值为 ；
④当点 在直线 的右侧且在直线 下方时，如图，，
，
，
，
，
解得： （舍去）， （舍去），
综上所述： 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理等，能利用分类讨论的思想求解是解题
的关键．
覆盖训练20:二次函数与不等式证明
45．在平面直角坐标系中，设二次函数 （a是常数）．
(1)当 时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)若函数图象经过点 ， ，求证： ．
(3)已知函数图象经过点 ， ， ，若对于任意的 都满足
，求a的取值范围．【答案】(1)顶点坐标 ，对称轴为直线
(2)见解析
(3) 或
【分析】（1）将 代入函数，通过配方法将一般式化为顶点式 ，从而直接
得出顶点坐标和对称轴．
（2）把点 、 代入函数解析式，求出p、q的表达式，再通过平方差公式计算
，利用平方数的非负性证明 ．
（3）先明确二次函数开口向上，对称轴为 ，再根据 的条件，结合m的取
值范围，分两种情况讨论点A、B、C的位置关系，利用二次函数的单调性列出不等式组，
求解得出a的取值范围．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴顶点坐标 ，对称轴为直线 ．
（2）证明：将 ， ，代入 得， ，
，
∴ ，
∴ ．
（3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，则 在对称
轴右侧，
∵对于任意的 都满足 ，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，由二次函数的图象与性质可得 ，解得 ，
，解得 ，
∴ ；
情况2，如图2，
由二次函数的图象与性质可得 ，解得 ，
又∵ ， ，解得 或 ，
∴ ；
综上所述，a的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式、函数图像上的点与解析式的关系、二次函数的性质
（开口方向、对称轴、单调性），涉及配方法、代数运算和分类讨论思想．解题关键是熟
练掌握二次函数的顶点式转化、点代入解析式的运算，以及根据对称轴和开口方向分析函
数单调性；易错点是分类讨论时遗漏情况，或在不等式推导中符号处理错误．
46．已知二次函数 ．
(1)若图象过点 ，求抛物线的顶点坐标；
(2)若函数图象上有两个不同的点 ，且 ，求证： ．【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方
程关系．
（1）利用待定系数法求得 ，再配方成顶点式，即可求解；
（2）先代入得到 ， ，求得 关于 的二次函
数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入 ，
得 ，
∴函数解析式是 ，
抛物线顶点坐标 ；
（2）解： 点 是函数 图象上有两个不同的点，
∴ ， ，
，
，
∴
，
点 是图象上有两个不同的点，
， ，
．
47．已知二次函数 ，图象经过点 ， ， ．(1)当 时，
①求二次函数的表达式；
②当 时， 随 的增大而增大，求 的取值范围；
(2)若在 ， ， 这三个实数中，只有一个是正数，求证： ．
【答案】(1)① ；②
(2)证明见解析
【分析】（ ）当 时，将点 代入函数解析式解答即可求解；②根据二次函数
的性质解答即可求解；
（ ）由二次函数的对称性可得 ，进而得到 和 都是非正数， 是正数， 即得
，解不等式组即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题
的关键．
【详解】（1）解：①当 时，将点 代入函数解析式得， ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
②∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向下，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∵当 时， 随 的增大而增大，
∴ ；
（2）证明：∵抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴点 和点 关于抛物线的对称轴对称，∴ ，
又∵ 这三个实数中，只有一个是正数，
∴ 和 都是非正数， 是正数，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
