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期末考前满分冲刺之中等易错题
【专题过关】
类型一、二次函数增减性最值与取值范围
1．点 是抛物线 上位于对称轴异侧的两点，且 ，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．若 ，
为抛物线上三点，且总有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线 经过点 和点 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．4．二次函数 的图象经过点 ，向左平移 个单位长度后得到新
抛物线．
（1）抛物线 的对称轴为直线 ；
（2）若新抛物线有 ， 两点，且 ，则 的取值范围为 ．
5．当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，则实数a的值
为 ．
6．二次函数 在 内的取值范围是 ．
类型二、一次函数与二次函数的图象判断
1．函数 与 的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B． C．
D．
2．直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）A． B．
C． D．
3．二次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象
可能是（ ）
A． B． C．
D．
4．如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直
线 ．直线 与抛物线 交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐
标小于3．有下列结论：① ；② ；③ （m为任意实数）；
④ ．其中正确的是 （填序号）．5．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一定不经过
象限．
6．如图，二次函数 （ 是常数，且 ）的图象与正比例函数
y=kx(k≠0)的图象相交于 两点，若点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，二次函
数图象的对称轴是直线 ．下列结论： ； ； 关于 的方程
的两根为 ； ； ．其中正确的是 ．
（只填写序号）
类型三、垂径定理的应用
1．如图，⊙ 的直径 ，弦 于点 ，若 ，则 的长为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个
圆弧形门洞，高为 ，地面入口宽为 ，则该门洞的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱
呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为 ，下雨前水面宽为 ，一场大雨过
后，水面宽为 ，则水位上升 ．
5．如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度 （弧
所对的弦）的长为8米，拱高 （弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆 ，支撑杆 的
高度为 米．
6．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林
中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为 ，地面入口宽为 ，该门
洞的半径为 ．
类型四、二次函数与不等式
1．如图是抛物线 的部分图象，该图象的对称轴是直线 ，与 轴的一
个交点 的坐标是 ，则关于 的一元二次不等式 的解集是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．2．如图为二次函数 图象的一部分，与x轴的一个交点为 ，
对称轴为直线 ．当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
3．二次函数 的部分图象如图，当 时， 的取值范围为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
4．如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ， ，则不
等式 的解集是 ．
5．如图抛物线 与直线 交于点 ， ，则关于 的不等式的解集是 ．
6．如图，已知二次函数 与一次函数 的图象相交于点
， ，则 的解集是 ．
类型五、求二次函数解析式
1．如果一条抛物线的形状和开口方向与 相同，且顶点坐标是 ，则它的解
析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知一个二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值如下表：
… 0 1 2 3 …
… 5 1 1 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．表格中 的值大于零C．函数的最小值是 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
3．已知抛物线 （m，n是实数且 ）经过 ．
（1）若 ，则该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）若该二次函数满足当 时，总有y随x的增大而减小，则代数式 的最小
值为 ．
4．二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为 ．
x 0 1 3 4
y 7 n 2
5．如图，已知二次函数 的图象经过点 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)判断点 是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出 的面积；如果不在，
试说明理由．
6．如图，抛物线 经过点 ，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为点D，与x轴另一交点为C，对称轴与x轴交于点E，连接 、 ，
求 的面积．
类型六、二次函数的应用
1．如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部 处，以点 为原
点，水平方向为 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一
个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 的一部分，若发射石块在空中飞
行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．掷实心球是2025年体育中考的项目之一，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若
不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 (米)与飞行的水平距离 (米)之间具有函数关系
则小明这次实心球训练的成绩为( )
A． B．12 C．8 D．10
3．兰州牛肉拉面以其独特的风味火遍全国，是行走的兰州历史文化代表．如图，是一个面
碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口
宽 ，碗深 ，则当满碗汤面的竖直高度下降 时，碗中汤面的水
平宽度为 （碗的厚度不计）．4．如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，以
的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以 的速度沿 运动，当点Q到达C时，
P、Q两点同时停止运动，则 的最大面积是 ．
5．如图所示，一条内设双行道的隧道的截面由抛物线 和矩形 构成（两条道路
之间的距离忽略不计，矩形的长 为 ，宽 为 ，以 所在的直线为x轴，线段
的的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标
原点O的距离为 ．
(1)求拋物线对应的函数表达式；
(2)一辆货运卡车高4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
(3)如果在隧道正中间设一个0.4m的隔离带，那么（2）中的货运卡车还能通过隧道吗？
6．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计
划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y
（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求
出最大利润.（利润 销售额 成本）
类型七、一元二次方程的应用
1．某超市一月份的营业额为 万元，已知第一季度的总营业额共 万元．如果平均每
月增长率为 ，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
2．为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一
场）共进行了10场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播
后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达 ，那么每轮传播中平均一人
传播了多少人？设每轮传播中平均一人传播了x人，列方程为 ．
4．某超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为1000元．因销量持续攀升，商家在 月份提价
，后发现销量锐减，于是经过核算决定在 月份售价的基础上， ， 月份按照相同的
降价率 连续降价．已知 月份礼盒的售价为 元，则 ．
5．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌
头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月
份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售
量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为
元，月销售量为 ．
①直接写出 关于 的函数关系式；②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应
定为多少元？
6．自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建
一个面积为 的长方形精品花售卖区 （如图）．为了节省材料，售卖区的一边
利用原有的一道墙，另三边用总长为 的栅栏围成， 边留有 宽的门 ．
(1)若售卖区垂直于墙的边 的长为 ，则边 的长为_____ ．
(2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？
类型八、圆中的性质与判定
1．如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴负半轴上，点 在 轴正半轴上， 经
过 ， ， ， 四点， ， ，则圆心点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 的内切圆 与 分别相切于点 ，连接 ，
， ， ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
3．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图， ，
分别与 相切于点 ， ，延长 ， 交于点 ．若 ， 的半径为
，则图中 的长为 ．（结果保留 ）
4．如图， 是 的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在 上， 切
于点E．若 的周长为12，则 的长为 ．
5．如图，在 中， ， 为 上一点，以 为直径的 上一点 在
上，且 平分 ．
(1)求证： 是 的切线．(2)若 ，求 的长．
6．如图， 中， ，点D在 边上，以AD为直径作 交BD的延长
线于点E， ．
(1)求证：CE是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
类型九、统计与概率结合
1．本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，
学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个
等级， 等：优秀； 等：良好； 等：及格； 等：不及格），并将结果汇成了如图
所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______人；
(2)图 扇形图中 等所在的扇形的圆心角的度数是______；
(3)我校九年级有 名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数
为______人；
(4)已知得 等的同学有一位男生，体育老师想从 位同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
2．某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，
C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学
生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有____________人；
(2)请你将条形统计图（2）补充完整；
(3)在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同
学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图
或列表法解答）.
3．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结
果整理后绘制了如下不完整的统计图表．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长
人数
20
25
15
10
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，统计表中 ；
(2)该校某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本
进行阅读，这四本书分别用相同的卡片 标记，先随机抽取一张卡片后不放回，
再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西
游记》两本书的概率．
4．深圳市某中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生
对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个
等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
(1)本次共抽取了 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
(2)若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数为 人；
(3)学校在竞赛成绩为A 等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党
史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
5．某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并
且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生
中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统
计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 人；
(2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有学生 人，选择乐器的学生大约有多少人？
(4)通过了解，喜爱“航模”的学生中有 名男生和 名女生曾在市航模比赛中获奖，现从
这 个人中随机选取 人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的
人恰好是 名男生和 名女生的概率．
6．2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提
升学生综合索质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级
学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全
部收回且全部有效．统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．
请根据图中提供信息，解答下列问题：
七年级学生最关心的问题问卷调查表
亲爱的同学：你好！
这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选
择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！(1)此次抽样调查中，共调查了 名学生；
(2)将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度；
(3)该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你
获取的信息；
(4)已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两
人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙
两人的概率．
类型十、概率问题
1．第八届丝博会于2024年9月 20日至24日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以
“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生
招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．
(1)若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是 ；
(2)若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出一男一女当
选的概率．
2．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，
B，C，D，浔阳体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张
卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑
板）的概率是 ．
(2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽
取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，
并求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率．3．将数 ， ， 分别写在三张相同的不透明卡片的正面，将卡片洗匀后背面朝上置
于桌面，甲、乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放
回）．
(1)甲同学抽到的卡片上数字是 的概率是 ；
(2)求甲、乙两个同学抽到的卡片数字的积是有理数的概率（用画树状图或列表的方法求
解）．
4．作为《黑神话•悟空》的创意来源之一，山西古建筑随着游戏的火爆收获无数关注，吸
引大量游客前来旅游打卡，小军和小勇准备到山西旅游打卡，他们选了四处影点．门票价
格分别为30元、50元、60元、100元，他们决定用转盘游戏决定地点．如图是一个可以自
由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分
别标上30元、50元、60元、100元．（当指针落在边界线上时，重新转动一次，直到指针
指向某一区域内为止）
(1)若转动转盘一次，则指针落在30元区域的概率为______．
(2)小军和小勇每人转动转盘一次，当转盘停止时，记下各自指针所指区域内对应的金额，
请用画树状图或列表法求两次所得金额之和小于100元的概率．
5．一个不透明的袋中装有分别标着汉字“百”、“廿”、“钟”、“英”的四个小球，除
标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅匀．
(1)从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“百”的概率是______；
(2)先从袋中任意摸出一个球，不放回，再从袋中任意摸出一个球，求摸到的两个球上的汉
字恰好能组成“钟英”的概率．
6．一个不透明的袋中装有1只红球、1只绿球和2只篮球，这些球除颜色外完全相同．
(1)从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为_____________；
(2)从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率．
