文档内容
2026年菁优中考数学解密之选择题
一．选择题（共25小题）
1．（2025•南岗区校级四模）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a3）3＝a6
C．3a3+2a3＝5a3 D．a9÷a3＝a3
2．（2025•山西）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．m2•m4＝m6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m6
3．（2025•增城区二模）关于x的一元二次方程kx2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k≤2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤2
4．（2025•香洲区校级一模）已知点 A（﹣5，y ）、B（﹣2，y ）和C（1，y ）都在二次函数 y＝
1 2 3
ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1
5．（2025•松原模拟）某公司收益逐年递增，2022年缴税50万元，2024年缴税72万元．若该公司这两
年缴税的年平均增长率是x，则年平均增长率满足方程（ ）
A．50（1+2x）＝72 B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50 D．72（1+x）2＝50
√2x-1
6．（2025•盘龙区校级模拟）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x-1
1 1 1 1
A．x≤ B．x＜ C．x＜ 且x≠1 D．x≥ 且x≠1
2 2 2 2
7．（2025•湖北三模）平移是重要的初等变换，如：y＝x2向右平移1个单位可以得到y＝（x﹣1）2；依
3
据上述规律，可知方程
-1=x2-2x的实数根的个数有（
）
1-x
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2a+b 7
8．（2025•大观区二模）已知 = ，下列结论正确的是（ ）
a 2
3
A．ab＝6 B．2a＝3b C．a= D．3a＝2b
2b
9．（2025•德阳模拟）如图，正八边形ABCDEFGH内接于 O，连接AF、BF，若S =4√2，则 O
△ABF
⊙ ⊙
的半径为（ ）
第1页（共27页）A．1 B．√2 C．2√2 D．2
10．（2025•旌阳区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点
3 1
A(- ，0)，对称轴是直线x=- ，下面说法正确的个数是（ ）
2 2
（1）abc＜0；
（2）3a+4c＝0；
1 1
（3）am2+bm≤ a- b（m为任意实数）；
4 2
（4）若点（﹣1，y ）和点（2，y ）都在抛物线上，则y ＜y ．
1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025•衡阳模拟）如图，在 O中，CD是 O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝
26°，则∠D的度数是（ ）⊙ ⊙
A．26° B．38° C．52° D．64°
12．（2025•永寿县校级模拟）关于x的二次函数y＝x2+（k+1）x+k（k＞1）的图象可能是（ ）
第2页（共27页）A． B．
C． D．
13．（2025•湖北三模）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与
斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那
么∠BDE的大小为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．130°
14．（2025•白城模拟）如图，已知∠AOB与∠EO′F（∠AOB＞∠EO′F），分别以点O，O′为圆心，以同
样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A′，B′，交O′E，O′F于点E′，F′．以点B′为圆心，以E′F′长为
半径画弧，在∠AOB的内部交弧A′B′于点H．下列结论正确的是（ ）
A．∠AOB＝2∠EO′F B．∠AOH＝∠EO′F
C．∠AOH＝∠BOH D．∠HOB＝∠EO′F
15．（2025•上海校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），点A（1，0），B（0，2），
C（3，0），点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D
第3页（共27页）有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2025•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的底面圆的周长为
（ ）
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．16 cm
17．（20π25•西双版纳一模）中π国是最早使用正负数表示π具有相反意义的量的π国家．若某人前进 26步记为
+26步，则他后退15步记为（ ）
A．11步 B．﹣11步 C．15步 D．﹣15步
18．（2025•石家庄模拟）如图，PA，PB是 O的切线，A，B是切点，点C为 O上一点，若∠ACB＝
70°，则∠P的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．70° B．50° C．40° D．20°
19．（2025•南关区校级二模）在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施”正负术”的方法．
图1表示的是计算3+（﹣4）的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ）
A．（﹣3）+（﹣2） B．3+（﹣2） C．（﹣3）+2 D．3+2
20．（2025•绿园区校级三模）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h
第4页（共27页）随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
21．（2025•南关区校级模拟）如图，一束光线照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反
射，光线的反射角等于入射角．若∠1＝50°，∠3＝76°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．55° C．63° D．65°
22．（2025•珠海模拟）如图，在 O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大
小为（ ） ⊙
A．51° B．49° C．40° D．39°
23．（2025•洮南市模拟）如图， O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为^ED上的一点，则∠APC的度
数为（ ） ⊙
第5页（共27页）A．36° B．60° C．65° D．72°
24．（2025•市北区一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若
∠CAB＝27°，则∠D的度数为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．64°
a b
25．（2025•济阳区二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则 + +2025的
|a| |b|
值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
第6页（共27页）2026年菁优中考数学解密之选择题
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B B B D D D C B B
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 A B D D A D C B B C D
题号 23 24 25
答案 D C C
一．选择题（共25小题）
1．（2025•南岗区校级四模）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a3）3＝a6
C．3a3+2a3＝5a3 D．a9÷a3＝a3
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则A不符合题意，
（a3）3＝a9，则B不符合题意，
3a3+2a3＝5a3，则C符合题意，
a9÷a3＝a6，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是
解题的关键．
2．（2025•山西）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．m2•m4＝m6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m6
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
第7页（共27页）【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：2a与3b不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
m2•m4＝m6，则B符合题意，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则C不符合题意，
（2m2）3＝8m6，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是
解题的关键．
3．（2025•增城区二模）关于x的一元二次方程kx2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣2 B．k≤2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤2
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×2≥0，然后求出两不等
式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×2≥0，
解得k≤2且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程
无实数根．
4．（2025•香洲区校级一模）已知点 A（﹣5，y ）、B（﹣2，y ）和C（1，y ）都在二次函数 y＝
1 2 3
ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】利用二次函数的增减性比较大小即可．
2a
【解答】解：由题知：抛物线的对称轴为直线x=- =-1，
2a
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
第8页（共27页）∴离对称轴越远则函数值越小，
题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B，
∴y ＜y ＜y ，
1 3 2
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并
灵活运用是解决问题的关键．
5．（2025•松原模拟）某公司收益逐年递增，2022年缴税50万元，2024年缴税72万元．若该公司这两
年缴税的年平均增长率是x，则年平均增长率满足方程（ ）
A．50（1+2x）＝72 B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50 D．72（1+x）2＝50
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司这两年缴税的
年平均增长率为x，首先表示出2023年的缴税额，然后表示出2024年的缴税额，即可列出方程．
【解答】解：依题意得50（x+1）2＝72．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a
为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
√2x-1
6．（2025•盘龙区校级模拟）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x-1
1 1 1 1
A．x≤ B．x＜ C．x＜ 且x≠1 D．x≥ 且x≠1
2 2 2 2
【考点】函数自变量的取值范围．
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【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】D
【分析】根据被开方数大于等于0且分母不能为0，列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x﹣1≥0，
1
解得x≥ ．
2
x﹣1≠0
解得x≠1
第9页（共27页）1
∴x≥ 且x≠1
2
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（2025•湖北三模）平移是重要的初等变换，如：y＝x2向右平移1个单位可以得到y＝（x﹣1）2；依
3
据上述规律，可知方程
-1=x2-2x的实数根的个数有（
）
1-x
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与几何变换．
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【专题】函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，根据题意可得原方程的实数解个数等价于方程
3 3
- =x2 的实数解个数，则等价于二次函数y＝x2与反比例函数y=- 交点的个数，分析出两个函数的
x x
增减性和经过的象限即可得到答案．
3
【解答】解；∵
-1=x2-2x，
1-x
3
∴- =(x-1) 2 ，
x-1
3 3
∴方程- =(x-1) 2 的解的个数与方程- =x2 的实数解个数相同，
x-1 x
二次函数y＝x2的图象经过一、二象限，且顶点为原点，在第二象限内 y随x增大而减小，在第一象限
内y随x增大而减小，
3
反比例函数y=- 的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
x
3 3
当x＝﹣2时，y＝x2＝4，y=- = ，
x 2
3
当x＝﹣1时，y＝x2＝1，y=- =3，
x
3
∴当﹣2＜x＜﹣1时，一定存在一个x的值使得y＝x2和y=- 的函数值相同，
x
第10页（共27页）3
又∵y＝x2中，y随x增大而减小，在第二象限内，y=- 中，y随x增大而增大，
x
∴在第二象限内，两个函数只有1个交点，
3
∴方程- =x2 只有一个实数解，
x
3
∴方程
-1=x2-2x只有一个实数解，
1-x
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，二次函数图象与几何变换，反比例函数的性质，
二次函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，二次函数的性质是解题的关键．
2a+b 7
8．（2025•大观区二模）已知 = ，下列结论正确的是（ ）
a 2
3
A．ab＝6 B．2a＝3b C．a= D．3a＝2b
2b
【考点】比例的性质．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
2a+b 7
【分析】根据 = ，可得7a＝4a+2b，所以3a＝2b，即可得出答案．
a 2
2a+b 7
【解答】解：∵ = ，
a 2
∴7a＝4a+2b，
∴3a＝2b．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，关键是熟练掌握比例的性质．
9．（2025•德阳模拟）如图，正八边形ABCDEFGH内接于 O，连接AF、BF，若S =4√2，则 O
△ABF
⊙ ⊙
的半径为（ ）
第11页（共27页）A．1 B．√2 C．2√2 D．2
【考点】正多边形和圆．
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【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据正八边形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系求出BF即可．
【解答】解：如图，连接OH，过点H作HM⊥AF，垂足为M，过点G作GN⊥AF，垂足为N，则MN
＝HG，
∵正八边形ABCDEFGH内接于 O，
360° ⊙
∴∠FOH= ×2=90°，
8
1
∴∠HAM= ∠FOH＝45°，
2
同理∠GFN＝45°，
设正八边形ABCDEFGH的边长为x，即AB＝AH＝FG＝x，
在Rt△AHM中，∠HAM＝45°，
√2 √2
∴AM= AH= x，
2 2
√2
同理FN= x，
2
∴AF＝AM+MN+FN＝（√2+1）x，
1 360° 1 360°
在△ABF中，∠AFB= × =22.5°，∠ABF= × ×3＝67.5°，
2 8 2 8
∴∠BAF＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°，
1
∴S = AB•AF，
△ABF 2
1
即 x•（√2+1）x＝4√2，
2
解得x2＝16﹣8√2，
在Rt△ABF中，
BF2＝AB2+AF2
＝x2+[（1+√2）x]2
＝32，
∴BF=√32=4√2，
∴ O的半径为2√2，
⊙ 第12页（共27页）故选：C．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正
确解答的关键．
10．（2025•旌阳区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点
3 1
A(- ，0)，对称轴是直线x=- ，下面说法正确的个数是（ ）
2 2
（1）abc＜0；
（2）3a+4c＝0；
1 1
（3）am2+bm≤ a- b（m为任意实数）；
4 2
（4）若点（﹣1，y ）和点（2，y ）都在抛物线上，则y ＜y ．
1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与 x轴交点问题逐项分析判断即
可．
【解答】解：∵二次函数开口方向向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
第13页（共27页）b
∵- ＜0，
2a
∴b＜0，
∴abc＞0，故①错误；
b 1
∵- =- ，
2a 2
∴b＝a，
3
∵当x=- 时，y＝0，
2
9 3
∴ a- b+c＝0，
4 2
∴9a﹣6b+4c＝0，即3a+4c＝0，故②正确；
1
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=- ，
2
1 1 1
当x=- 时，函数取最大值 a- b+c，
2 4 2
1 1
∴对于任意实数m有：am2+bm+c≤ a- b+c，
4 2
1 1
∴am2+bm≤ a- b，故③正确；
4 2
1
∵抛物线对称轴为直线x=- ，点（﹣1，y ）和点（2，y ）都在抛物线上，
2 1 2
∴点（﹣1，y ）到对称轴的距离小于点（2，y ）到对称轴的距离，
1 2
∵抛物线开口向下，
∴y ＞y ，故④错误．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键在于通过图象判断对称轴，开口方
向以及函数与坐标轴的交点．
11．（2025•衡阳模拟）如图，在 O中，CD是 O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝
26°，则∠D的度数是（ ）⊙ ⊙
第14页（共27页）A．26° B．38° C．52° D．64°
【考点】圆周角定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据垂径定理得出^BC=^BD，根据弧与圆心角关系得出∠COB＝∠BOD，利用圆周角定理得
出∠COB＝2∠A＝52°，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可．
【解答】解：连接OC，
∵CD是 O上的一条弦，直径AB⊥CD，
∴^BC=⊙ ^BD，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠A＝26°，
∴∠COB＝2∠A＝52°，
∴∠BOD＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径
定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关键．
12．（2025•永寿县校级模拟）关于x的二次函数y＝x2+（k+1）x+k（k＞1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象．
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第15页（共27页）【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】由k＞1得出Δ＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，从而得出图象与x轴有两个交点，再求出对称
k+1
轴直线x=- ＜0，则此题易解．
2
【解答】解：∵k＞1，
∴Δ＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，
∴二次函数y＝x2+（k+1）x+k（k＞1）的图象与x轴有两个交点，
k+1
∵对称轴为直线x=- ＜0，与y轴交点为（0，k），
2
∴函数图象的顶点第三象限．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象的对称轴及图象与坐标轴的交点是解题关键．
13．（2025•湖北三模）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与
斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那
么∠BDE的大小为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．130°
【考点】圆周角定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由圆周角定理得出∠ACE＝25°，进而得出∠BCE＝65°，再由外角的性质得出∠BDE＝
∠BCE+∠CBD，代入计算即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OE，
第16页（共27页）∵点E所对应的读数为50°，
∴∠AOE＝50°，
∵AB为直径，∠ACB＝90°，
∴点C在 O上，
⊙1 1
∴∠ACE= ∠AOE= ×50°＝25°，
2 2
∴∠BCE＝90°﹣25°＝65°，
∵∠BDE是△BDC的外角，
∴∠BDE＝∠BCE+∠DBC＝65°+45°＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，运用圆周角定理得出∠AOE与∠ACE的关系是解题的关键．
14．（2025•白城模拟）如图，已知∠AOB与∠EO′F（∠AOB＞∠EO′F），分别以点O，O′为圆心，以同
样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A′，B′，交O′E，O′F于点E′，F′．以点B′为圆心，以E′F′长为
半径画弧，在∠AOB的内部交弧A′B′于点H．下列结论正确的是（ ）
A．∠AOB＝2∠EO′F B．∠AOH＝∠EO′F
C．∠AOH＝∠BOH D．∠HOB＝∠EO′F
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】D
第17页（共27页）【分析】连接HB′和E′F′，利用全等三角形的判定及性质即可解决问题．
【解答】解：连接HB′和E′F′，
由作图过程可知，
OH＝O′E′，OB′＝O′F′，B′H＝F′E′．
在△HOB′和△E′O′F′中，
{OH=O'E'
OB'=O'F' ，
B'H=F'E'
所以△HOB′≌△E′O′F′（SSS），
所以∠HOB＝∠EO′F．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2025•上海校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），点A（1，0），B（0，2），
C（3，0），点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D
有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】相似形综合题．
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【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】D
【分析】设点 D（m，n）（m＞0，n＞0），进而得出 OA＝1，OB＝2，OC＝3，AB=√5，OD
=√m2+n2，CD=√(m-3) 2+n2，再判断出∠COD＜90°，进而得出∠COD＝∠OAB 或∠COD＝
∠OBA，最后分情况，利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解，即可求出答案．
【解答】解：设点D（m，n）（m＞0，n＞0），
∵A（1，0），B（0，2），C（3，0），
第18页（共27页）∴OA＝1，OB＝2，OC＝3，AB=√5，OD=√m2+n2，CD=√(m-3) 2+n2，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是直角三角形，
∵点D在第一象限内，
∴∠COD＜90°，
∵以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，
∴∠COD＝∠OAB或∠COD＝∠OBA，
①当∠COD＝∠OAB时，△COD∽△OAB或△COD∽△BAO，
OC OD CD
Ⅰ、当△COD∽△OAB时， = = ，
OA AB OB
3 √m2+n2 √(m-3) 2+n2
∴ = = ，
1 √5 2
∴m＝3，n＝6或n＝﹣6（舍去），
∴D（3，6）；
OC OD CD
Ⅱ、当△COD∽△BAO时， = = ，
AB OA OB
3 √m2+n2 √(m-3) 2+n2
∴ = = ，
√5 1 2
3 6
∴m= ，n= （舍去负值），
5 5
3 6
∴D（ ， ），
5 5
②当∠COD＝∠OBA时，△COD∽△OBA或△COD∽△ABO，
OC OD CD
Ⅰ、当△COD∽△OBA时， = = ，
OB AB OA
3 √m2+n2 √(m-3) 2+n2
∴ = = ，
2 √5 1
3 3
∴m＝3，n= 或n=- （舍去），
2 2
3
∴D（3， ）；
2
第19页（共27页）OC OD CD
Ⅱ、当△COD∽△ABO时， = = ，
AB OB OA
3 √m2+n2 √(m-3) 2+n2
∴ = = ，
√5 2 1
12 6 6
∴m= ，n= 或n=- （舍去），
5 5 5
12 6
∴D（ ， ）；
5 5
3 12 6 3 6
∴D（3，6）或（3， ）或（ ， ）或（ ， ）共四个，
2 5 5 5 5
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
16．（2025•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的底面圆的周长为
（ ）
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．16 cm
【考点π】由三视图判断几何π体． π π
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，根据勾股定理确
定出圆锥的底面半径，从而确定出底面周长．
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是
圆锥；
根据三视图知：该圆锥的底面半径为3cm，
则该几何体的底面周长为＝2×3 ＝6 （cm）．
故选：A． π π
第20页（共27页）【点评】此题考查由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
17．（2025•西双版纳一模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若某人前进 26步记为
+26步，则他后退15步记为（ ）
A．11步 B．﹣11步 C．15步 D．﹣15步
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】根据前进26步记为+26步，得后退15步记为﹣15步，即可作答．
【解答】解：根据题意可知，后退15步记为﹣15步．
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键．
18．（2025•石家庄模拟）如图，PA，PB是 O的切线，A，B是切点，点C为 O上一点，若∠ACB＝
70°，则∠P的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．70° B．50° C．40° D．20°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
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【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四
边形内角和等于360°计算，得到答案．
【解答】解：连接OA、OB，
∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
∵PA，PB是 O的切线，
∴OA⊥PA，O⊙B⊥PB，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，
故选：C．
第21页（共27页）【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
19．（2025•南关区校级二模）在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施”正负术”的方法．
图1表示的是计算3+（﹣4）的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ）
A．（﹣3）+（﹣2） B．3+（﹣2） C．（﹣3）+2 D．3+2
【考点】用数字表示事件；有理数的加法；数学常识．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B
【分析】由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式．
【解答】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，
所以图2表示的过程应是在计算3+（﹣2），
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的加法，解题的关键是：理解图1表示的计算．
20．（2025•绿园区校级三模）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h
随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
第22页（共27页）A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判
断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的
粗细有关．则相应的排列顺序就为B．
故选：B．
【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
21．（2025•南关区校级模拟）如图，一束光线照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反
射，光线的反射角等于入射角．若∠1＝50°，∠3＝76°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．55° C．63° D．65°
【考点】三角形内角和定理．
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【专题】三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】由光线的反射角等于入射角得出∠6＝∠1＝50°，∠5＝∠3＝76°，∠2＝∠4，由平角的定义
和三角形内角和定理求出∠2，即可得出结果．
【解答】解：∵光线的反射角等于入射角，∠1＝50°，∠3＝76°，
∴∠6＝∠1＝50°，∠5＝∠3＝76°，∠2＝∠4，
1
∴∠2= ×[180°-(180°-∠5-∠6)]=63°．
2
故选：C．
【点评】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定
第23页（共27页）理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．（2025•珠海模拟）如图，在 O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大
小为（ ） ⊙
A．51° B．49° C．40° D．39°
【考点】圆周角定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由于AB是 O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠CBA互余，欲求∠CBA
需先求出∠A的度数，⊙已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∴∠A+∠CBA＝90°，
又∵∠A＝∠CDB＝51°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝39°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
23．（2025•洮南市模拟）如图， O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为^ED上的一点，则∠APC的度
数为（ ） ⊙
A．36° B．60° C．65° D．72°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．
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【专题】正多边形与圆；推理能力．
第24页（共27页）【答案】D
【分析】连接OA，OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
360°
∴∠AOC= ×2＝144°，
5
1
∴∠APC= ∠AOC＝72°，
2
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考
常考题型．
24．（2025•市北区一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若
∠CAB＝27°，则∠D的度数为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．64°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能
力．
【答案】C
【分析】连接OC，则∠COB＝2∠CAB＝54°，由CD与 O相切于点C，得CD⊥OC，因为OD⊥AB，
所以∠OCD＝∠BOD＝90°，则∠D+∠COD＝∠COB+∠⊙COD＝90°，得∠D＝∠COB＝54°，于是得到
问题的答案．
第25页（共27页）【解答】解：连接OC，
∵∠CAB＝27°，
∴∠COB＝2∠CAB＝54°，
∵CD与 O相切于点C，
∴CD⊥O⊙C，
∵OD⊥AB，
∴∠OCD＝∠BOD＝90°，
∴∠D+∠COD＝90°，∠COB+∠COD＝90°，
∴∠D＝∠COB＝54°，
故选：C．
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余等知
识，正确地作出辅助线是解题的关键．
a b
25．（2025•济阳区二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则 + +2025的
|a| |b|
值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【考点】有理数的混合运算；实数与数轴；绝对值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】先观察数轴可知：a＜0＜b，然后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后化简计算即可．
【解答】解：观察数轴可知：a＜0＜b，
a b
∴ + +2025
|a| |b|
-a b
= + +2025
a b
第26页（共27页）＝﹣1+1+2025
＝2025，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质．
第27页（共27页）
