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第二十二章 二次函数拓展之几何篇
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数中的全等三角形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （a、b为常数， ）的图象与x轴交于
点 和点 ，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接 ，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作 轴于点G，Q是x轴上的点，
要使以P、Q、G为顶点的三角形与 全等，求满足条件的点P、Q的坐标．【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （a、b为常数， ）的图象与x轴交于点
和点 ，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接 ，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作 轴于点G，Q是x轴上的点，
要使以P、Q、G为顶点的三角形与 全等，求满足条件的点P、Q的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，
已知 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线 上方抛物线上的一动点，连接 ．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且
满足 ，连接 ，当 的面积取得最大值时，求 的最小值；(3)当（2）中 取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线 的
方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线 的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角
形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A和点 ，其顶点为D，对称轴
为直线 ，对称轴与x轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作 轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P
为顶点的三角形与 全等，求满足条件的点M，P的坐标．
类型二、二次函数中的等腰三角形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，当点P在直线 上方的抛物线时，连接 、 ，点M是x轴上一动点，连接 、 ．
当 的面积最大时，求 的最小值；
(3)如图2，点N是线段 上一个动点，过点N作 轴，垂足为N，交 于点Q，试探究点N在运
动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此
时点Q的坐标；若不存在．请说明理由．
【融会贯通】
1．如图，已知二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，与 轴的交点为 ，过 、
的直线为 ．
(1)求二次函数 的解析式及点 的坐标；
(2)由图象写出满足 的自变量 的取值范围；
(3)在两坐标轴上是否存在点 ，使得△ 是以 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，说明理由．
2．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点C．已知点 的坐标是 ，
抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式；(2)第一象限内的抛物线上有一动点 ，使 的面积最大，求点 的坐标和 面积的最大值；
(3)对称轴与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使 是以 为腰的等腰三角形，求点 的坐标．
3．如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，一次函数
经过点、 、 ．点 是直线 上方二次函数图象上的一个动点，过点 作直线 轴于点
，交直线 于点 ，连接 ．
(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标；
(3)连接 ，连接 交 于点 ，记 面积为 ， 面积为 ，在点 运动的过程中，判断
是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
类型三、二次函数中的等腰直角三角形
【解惑】如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于 、B两点，
与y轴交于点C，且关于直线 对称．
(1)当 时，求y的取值范围；
(2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点 ， 在对称轴右侧抛物线上，若 为等腰直角三角形， ，试证明： 为定值．
【融会贯通】
1．如图，将抛物线 向右平移 个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为 ，与 轴交于点 ，
且 为等腰直角三角形．
(1)求 的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
2．如图，抛物线 过点 、点 ，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是第四象限抛物线上的一个动点．
①当 的面积最大时，求点 的坐标？并求出 面积的最大值；
②过点 作 轴，交 于点 ，再过点 作 轴，交抛物线于点 ，连接 ，问：是否存在
点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，连接 ．若点
在线段 上运动（点 不与点 重合），过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交 轴于点 ．设
点 的横坐标为 ．(1)求拋物线的函数表达式．
(2)若 ，求 的值．
(3)在点 的运动过程中，是否存在 使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出 的值；若不存
在请说明理由．
类型四、二次函数中的直角三角形
【解惑】如图，抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 是以 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点 在线段 上运动，过点 作 轴的垂线，与 交于点 ，与抛物线交于点 ，连接 ，
求四边形 的面积的最大值，并写出此时点 的坐标．
【融会贯通】
1．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，已知点 的坐标为 ，且 ．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图 ， 为抛物线上位于第二象限内的一个动点，过点 作 轴的垂线 ，该垂线交直线 于点
，交 轴于点 ，设线段 的长度为 ，求 关于 的函数关系式．
(3)在（ ）的条件下，连接 ，若 为直角三角形，求 的值．
(4)连接 ，将线段 沿 轴向左平移 个单位长度，若线段 与抛物线有交点，请直接写出 的取值
范围．
2．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，
已知 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果
不存在，请说明理由；
(3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，
使 的面积最大？求出 的最大面积及此时M点的坐标．
3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴交于 和 两点，与 轴相交于 ，且顶点 ，是抛物线上一动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接 ，若 ，求 的坐标；
(3)如图2，过 作 交抛物线于 ，以 、 、 为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，
求出 的坐标；若不存在，通过计算说明．
类型五、二次函数中的平行四边形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于点 和点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上有一点 ，使得 是以 底的等腰三角形，求点 的坐标：
(3)设 为直线 上方的抛物线上一点，连接 ，以 为邻边作平行四边形 ，则平行
四边形 面积的最大值为___________；
(4)如图2，若在x轴上有两个动点 ，且 ，则 的最小值为___________．
【融会贯通】1．如图，已知抛物线 过点 、 ，点 是直线 上一点．
(1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标；
(2)当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
(3)点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的值最小时，求点 的坐标；
(4)若点 在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线 经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线 交于点
E．
(1)将抛物线沿直线 平移，使得点A落在点B处记为 ，此时点 的对应点为C，求点 的坐标，判断
四边形 的形状，并说明理由．
(2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标．
(3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的
四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知二次函数 的图象与 轴的交于 、 两点，与 轴交于点 ，(1)求二次函数的表达式及 点坐标；
(2) 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求 面积最大时点 的坐标；
(3) 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 使以 、 、 、 为顶点的四边
形是平行四边形？若有，请写出点 的坐标（不写求解过程）
类型六、二次函数中的菱形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点
，P是直线 下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，并将 沿y轴翻折，得到四边形 ，是否存在点P，使得四边形 为菱形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形 的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形 的最大面积．
【融会贯通】
1．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 下方的抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时P点的坐标；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以 为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若
存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ，且交 轴于 两点，交 轴于
点 ．
(1)求直线 的表达式和a，m的值．
(2) 是直线 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及 面积最大时点 的坐标．
(3)在（2）中 面积最大的条件下，将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度， 为平移后的抛
物线的对称轴上一点．在平面内确定一点 ，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符
合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于 ，B两点，与y轴交于点
C，点 为抛物线上一点．(1)求该抛物线的解析式
(2)连接 ，点Q为直线 上方抛物线上一点，过点Q作 轴于点E，作 轴交BC于点F，求
的最大值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线 ，新抛物线 与原抛物线交于点D，点M是新
抛物线 对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出
所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
类型七、二次函数中的矩形
【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线 （ 、 为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点
，与 轴交点坐标为 ．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为 ，将此
抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象 ．
①当点 在 轴上方，图象 的最高与最低点的纵坐标差为4时，求 的值；
②在①的条件下，将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，
在平面内确定一点 ，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点 的
坐标．【融会贯通】
1．如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，
点 和点 关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线 和抛物线的表达式；
(2)如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值；
(3)点 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以 为顶点的四边形是
以 为边的矩形，求点 的坐标．
2．如图1，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，点P为直线 上方抛物线上的点，过点P作 轴交 于点M，求 的最大
值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线 ，在 的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接
写出所有满足条件的点E的坐标．
3．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，顶点为点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当 时，函数值 的取值范围是___________；
(3)若点 为第四象限的抛物线上一点，过点 作 轴与抛物线另外一个交点为点 ．
①连接 ，过点 作 轴，交 于点 ，以 、 为邻边构造矩形 ，当矩形 的
周长为 时，求 的值；
②以 所在直线为对称轴将抛物线位于 下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与 轴有交点，且交
点都位于 轴正半轴，请直接写出 的取值范围．
类型八、二次函数中的正方形
【解惑】某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，
截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究．
首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象 ，是二次函数和一次函数的图
象组合．分析得到：若 时， ；若 时， ．随后他们测量了图象上一些点的坐标，
数据如下：(1)直接写出 ， ， 的值．
(2)如图②，他们在整个图象上设计了一个动点 ，设点 的横坐标为 ，过 点作一条平行于 轴的直线 ，
在直线 上取点 ，点 的横坐标为 ．
①当 时，求出点 落在图象 上时 的值．
②如图③，若过 、 两点作 轴的垂线，垂足分别为点 、点 ，得到矩形 ，当矩形 为
正方形时，求 的值．
③在直线 上另取点 ，点 的横坐标为 （点 与点 不重合），当线段 的长度随 的增大而增
大时，分别直接写出线段 与图象 的交点个数为 个和2个时 的取值范围．
【融会贯通】
1．如图，过 、 作x轴的垂线，分别交直线 于C、D两点．抛物线 经
过O、C、D三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形 是正方形，求直线 与抛物线的交点P的坐标；
(3)若 沿 方向平移（点C在线段 上，且不与点D重合），在平移的过程中 与 重
叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
2．如图，抛物线 的图像经过点 ，与 轴交于点 ，点 ，抛物线对称轴为
．
