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第二十二章 二次函数拓展之几何篇
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数中的全等三角形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （a、b为常数， ）的图象与x轴交于
点 和点 ，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接 ，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作 轴于点G，Q是x轴上的点，
要使以P、Q、G为顶点的三角形与 全等，求满足条件的点P、Q的坐标．【答案】(1)
(2)当P的坐标为 时，Q的坐标为 或 ；当P的坐标为 时，
Q的坐标为 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质．
（1）将 、 代入 中，解二元一次方程组即可；
（2）先根据二次函数解析式求出 ，进而得 ， ，再分两种情况讨论：
①若 ，如图1，则由 可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标；
②若 ，如图2，则由 可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标．
【详解】（1）解：将 、 代入 中，
得 ，
解得 ，
∴该二次函数的表达式为 ；
（2）解： ，
，
，
，
，
①若 ，如图1，，
在 中，令 得：
，
解得 （舍去）， ，
，
，
；
②若 ，如图2，
，
在 中，令 得：
，
解得 （舍去）， ，
，，
．
综上所述，以P、Q、G为顶点的三角形与 全等，当P的坐标为 时，Q的坐标为
或 ；当P的坐标为 时，Q的坐标为 或 ．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （a、b为常数， ）的图象与x轴交于点
和点 ，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接 ，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作 轴于点G，Q是x轴上的点，
要使以P、Q、G为顶点的三角形与 全等，求满足条件的点P、Q的坐标．
【答案】(1)
(2)当P的坐标为 时，Q的坐标为 或 ；当P的坐标为 时，
Q的坐标为 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质，利用分类讨
论的思想求解是解题的关键．（1）将 、 代入 中，解二元一次方程组即可；
（2）先根据二次函数解析式求出 ，进而得 ， ，再分两种情况讨论：
①若 ，如图1，则由 可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标；
②若 ，如图2，则由 可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标．
【详解】（1）解：将 、 代入 中，得 ，
解得 ，
∴该二次函数的表达式为 ；
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
∴ ，对称轴为直线 ，
∴ ，
，
，
，
①若 ，如图1，，
在 中，令 得： ，
解得 （舍去）， ，
，
，
；
②若 ，如图2，
，
在 中，令 得：
，
解得 （舍去）， ，，
，
．
综上所述，以P、Q、G为顶点的三角形与 全等，当P的坐标为 时，Q的坐标为
或 ；当P的坐标为 时，Q的坐标为 或 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，
已知 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线 上方抛物线上的一动点，连接 ．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且
满足 ，连接 ，当 的面积取得最大值时，求 的最小值；
(3)当（2）中 取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线 的
方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线 的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角
形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为(2) 最小值为
(3)存在， ，
【分析】（1）首先确定 ，将 ， 两点代入 并求解即可；
（2）过点C作 轴交直线 于点E， 设点C坐标为 ，易得点E 坐标为 ，
可知 ，结合三角形面积公式可得 ，由二次函数的性质可得当
时， 有最大值，此时 ，将点 B 关于y轴对称，再向上平移3个单位得到 ，则有
，即可获得答案；
（3）首先确定直线 ，进而解得点 ， ， 的坐标，根据题意解得Q点运动轨迹为直线
，然后根据全等三角形的性质，分 或 两种情况，分别求解
即可．
【详解】（1）解：对于一次函数 ，令 ，可得 ，
∴ ，
将 ， 两点代入 ，
可得 ，解得 ，
则抛物线的表达式为 ；
（2）过点C作 轴交直线 于点E， 设点C坐标为 ，∴点E 坐标为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，
此时 ，
将点 B 关于y轴对称，再向上平移3个单位得到 ，
则： ，
即 最小值为 ；
（3）设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴直线 ，令 得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴原抛物线的顶点坐标为 ，
根据题意，将原抛物线沿直线 的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线 的顶点，
可设Q点运动轨迹所在直线为 ，
将点 代入，可得 ，解得 ，
∴Q点运动轨迹为直线： ，
∴ 或 ，
当 时 ，
∴ 轴，
令 ， 则 ，
经检验，符合题意，
当 时， ，
∴ ， 即 ，∴令 ， 则 ，
经检验，符合题意，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数图
像的平移、全等三角形的性质等知识，综合运用相关知识是解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A和点 ，其顶点为D，对称轴
为直线 ，对称轴与x轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作 轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P
为顶点的三角形与 全等，求满足条件的点M，P的坐标．
【答案】(1)
(2)① ， ；②当M的坐标为 时，点P的坐标为 或
；当M的坐标为 时，点P的坐标为 或
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数解析式即可；
（2）根据解析式求出相关线段的长度，再分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意，得
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
在 中，令 ，
解得 ， ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴当以M，N，P为顶点的三角形与 全等时，E与N是对应点．
①若 ， ，如图1，则 ．
在 中，令 ，得 ．
解得 （大于0，舍去）， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
②若 ， ，如图2，则 ．
在 中，令 ，得 ．
解得 （大于0，舍去）， ，∴ ， ，
∴ ， ．
综上所述，若以M，N，P为顶点的三角形与 全等，则当M的坐标为 时，点P的坐标为
或 ；当M的坐标为 时，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法、抛物线的顶点、与坐标轴的交点、全等三角形判定
等知识，解决此题的关键是由数形结合列出方程．
类型二、二次函数中的等腰三角形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，当点P在直线 上方的抛物线时，连接 、 ，点M是x轴上一动点，连接 、 ．
当 的面积最大时，求 的最小值；
(3)如图2，点N是线段 上一个动点，过点N作 轴，垂足为N，交 于点Q，试探究点N在运
动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此
时点Q的坐标；若不存在．请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数的最值以及等腰三角形的意义，正确作出辅助线是
解答本题的关键．
（1）把 ， 两点坐标代入 ，求出 的值即可；
（2）确定点 坐标，运用待定系数法求出直线 的解析式为 ，过点 作 轴，交
于 ，设 ，则 ，得 ，求出
，可得 ；作点 关于 轴的对称点 ，则点 的坐标为 ，
连接 交 点 ，则 的最小值为 ，由勾股定理可求出 ，即 的最小值；
（2）根据等腰三角形的定义，结合两点间距离公式分别求出 的长度，分三种情况讨论求解即
可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得，
，解得 ，
∴ ，
（2）解：对于 ，当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
过点 作 轴，交 于 ，设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 的面积最大，
∴ ；
作点 关于 轴的对称点 ，则点 的坐标为 ，连接 交 点 ，则 的最小值为 ，
∴ ,∴ 的最小值为 ；
（3）解：∵ ， ,
∴
设 ，则 ，
∴ ； ，
若 是等腰三角形时，
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，此种情况不存在；
当 时，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；当 时，则 ，
∴ ，
整理得，
∴ ，此时 ，方程无解．
∴ ．
【融会贯通】
1．如图，已知二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，与 轴的交点为 ，过 、
的直线为 ．
(1)求二次函数 的解析式及点 的坐标；
(2)由图象写出满足 的自变量 的取值范围；
(3)在两坐标轴上是否存在点 ，使得△ 是以 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3) 或 ，
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得 点坐标；（2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得 在线段的垂直平分线上，所以作 的
垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标．
【详解】（1）解：将 点坐标代入 ，得 ，
解得 ，
二次函数 的解析式为 ，
点坐标为 ；
（2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是 或 ，
或 时， ；
（3）解： 如图，作 的垂直平分线，交 于 ，交 轴于 ，交 轴于 ，连接 ，
由垂直平分线性质得， ， ，
， ，
， ，
设 ， ，
在 中， ，
，解得 ，
，设 ，
， ，
，解得 ，
，
综上所述：点 的坐标 或 ，使得 是以 为底边的等腰三角形．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式
的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标．
2．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点C．已知点 的坐标是 ，
抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内的抛物线上有一动点 ，使 的面积最大，求点 的坐标和 面积的最大值；
(3)对称轴与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使 是以 为腰的等腰三角形，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) ；面积最大值为
(3)点M的坐标为 ， ，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟
练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；（2）如图，过点P作 轴交 于点E，先用含m的解析式表示出
，再利用二次函数的性质即可得解；
（3）分①当 时，②当 时，两种种情况讨论，即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得 ，
由①②得， ， ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：令 得 ，
∴ ， ，
∴ ，
令 得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解方程得 ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，过点P作 轴交 于点E，设P点坐标为 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴ ，
∴此时P点坐标为 ；
（3）解：∵对称轴与x轴交于点N，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，、
①当 时，
如图所示有 ， ，
②当 时，过点C作 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述：点M的坐标为 ， ， ．
3．如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，一次函数
经过点、 、 ．点 是直线 上方二次函数图象上的一个动点，过点 作直线 轴于点
，交直线 于点 ，连接 ．
(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标；
(3)连接 ，连接 交 于点 ，记 面积为 ， 面积为 ，在点 运动的过程中，判断
是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，(2)
(3) 的最大值为： ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设 ，则 ，过点 作 于点 ，由题意可得 ，
轴，从而可得 的纵坐标为2，进而得出 ，求解即可；
（3）证明 ，如图，过 作 轴交 于 ，而直线 轴，可得 轴，则 ，
证明 ，可得 ，求解 ， ，可得
，最后由二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ，即 ．
当 ， ，
∴ ，
一次函数 过点 和 ，
代入，得 ，解得 ，∴一次函数解析式为 ；
（2）解：依题意，可设 ，则 ，
过点 作 于点 ，
∵ 是以 为底边的等腰三角形，
∴ ， 轴，
∴ 的纵坐标为2，
∴ ，
即有 ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ．
（3）解：∵ 面积为 ， 面积为 ，
∴ ，
如图，过 作 轴交 于 ，而直线 轴，
∴ 轴，则 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，直线 为 ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是直线 上方二次函数图象上的一个动点，
∴ ，
而 ，则 有最大值，
当 时， 的最大值为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似
三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
类型三、二次函数中的等腰直角三角形【解惑】如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于 、B两点，
与y轴交于点C，且关于直线 对称．
(1)当 时，求y的取值范围；
(2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点 ， 在对称轴右侧抛物线上，若 为等腰
直角三角形， ，试证明： 为定值．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形
的判定和性质是解题关键．
（1）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围；
（2）分别过 、 作直线 的垂线，垂直为 、 ，根据 为等腰直角三角形，可得
，得到 ， ，得 根据
，即得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于 、B两点，且对称轴为 ，
．
∵抛物线 与x轴交于 两点，
．
． ．．
∴当 时， ．
∵当 时， ，
当 时， ．
故 的取值范围为 ；
（2）证明：分别过 、 作直线 的垂线，垂直为 、 ．
则 ．
．
又 为等腰直角三角形，
， ．
．
．
．
， ．
， ，
， ．
．
∵ ， ，
∴ ．
．
．
为定值．【融会贯通】
1．如图，将抛物线 向右平移 个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为 ，与 轴交于点 ，
且 为等腰直角三角形．
(1)求 的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)1
(2)在图中的抛物线上存在点C，使 为等腰直角三角形，点C的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解
题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解
决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据 为等腰直角三
角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接 ，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的
判定定理找出 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵将抛物线 向右平移 个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为 ，
∴新抛物线的顶点为 ，
∴ ，
当 时， ，∴点B的坐标为 ，即 ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，解得： 或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接 ，交抛物线的对称轴于点D，则
， ， ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴点C的坐标为 ，
故在图中的抛物线上存在点C，使 为等腰直角三角形，点C的坐标为 ．
2．如图，抛物线 过点 、点 ，交 轴于点 ．(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是第四象限抛物线上的一个动点．
①当 的面积最大时，求点 的坐标？并求出 面积的最大值；
②过点 作 轴，交 于点 ，再过点 作 轴，交抛物线于点 ，连接 ，问：是否存在
点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ，最大值为 ；②存在， 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，掌
握二次函数的性质，等腰直角三角形是解题的关键．
（1）由抛物线过点 ， ，可直接得出抛物线的表达式为 ，展开即可得出结论．
（2）①过点 作 轴，交线段 于点 ，则 ，根据二次函数的性质可得结论；
②由题意可知 ，若 是等腰直角三角形，则 ，分别表示 及 ，可求出 的值，
进而求出点 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 过点 ，点 ，
抛物线的表达式为 ；
（2）由（1）得抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
，
直线 的表达式为 ，点 是第四象限抛物线上的一个动点，
设 ，
①如图，过点 作 轴的垂线，交线段 于点 ，则 ，
当 时，即 ， 的值取最大，最大值为
②存在，
由题意可知 ，
若 是等腰直角三角形，则 ，
点 是第四象限抛物线上的一个动点，
设 ， ，
，
轴，，
，
，
解得 舍去 或 或 或 舍去 ，
当 是等腰直角三角形时，点 的坐标为 或 ．
3．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，连接 ．若点
在线段 上运动（点 不与点 重合），过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交 轴于点 ．设
点 的横坐标为 ．
(1)求拋物线的函数表达式．
(2)若 ，求 的值．
(3)在点 的运动过程中，是否存在 使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出 的值；若不存
在请说明理由．
【答案】(1)抛物线解的函数表达式为
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识：
（1）根据题意设 代入 ，待定系数法求解析式，即可求解；（2）设 ，得 ， ，求出 ， ，
根据 列方程，求出方程的解即可；
（3）先证明 是等腰直角三角形，得 ，再分 和 两种情况列出关
于 的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 两点，
∴设
代入 ，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
把 , 代入解析式得，
，
解得，
∴直线 的解析式为 ；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴ ， ，
∴ ； ，
∵ ，
∴ ，整理得， ，
解得， 或 （不合题意，舍去）
∴ ；
（3）解：由②知 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又 轴，
∴
∴ ，
若 是等腰直角三角形，则有：
①当 时，连接 ，如图，
∴ ，
∵
∴
∴ 轴，
∴
∴ ，
解得， 或 （不合题意，舍去）
②当 时，如图，连接 则 作 于点K，则 且 轴，
∴
∵
∴
∴ ，
∵
∴
解得， 或 （不符合题意，舍去），
综上，当 或 时， 为等腰直角三角形
类型四、二次函数中的直角三角形
【解惑】如图，抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 是以 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点 在线段 上运动，过点 作 轴的垂线，与 交于点 ，与抛物线交于点 ，连接 ，
求四边形 的面积的最大值，并写出此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点 的坐标为 或 ；
(3)四边形 的面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ．
【分析】（1）将点 和 代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，进而设点 ，利用坐标两点距离公式，得到 ，
， ，再根据 是以 为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，
求出 的值，即可得到点 的坐标；
（3）先求出 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，设 ，且
，则 ， ，可得 ，从而得出 ，
进而得到 ，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ，
，
解得： ，
抛物线的函数解析式为 ．（2）解：存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线 ，
点 在抛物线的对称轴上，
设点 ，
， ，
， ， ，
是以 为斜边的直角三角形，
，
，
整理得： ，
解得： ，
存在点 使得 是以 为斜边的直角三角形，点 的坐标为 或 ；
（3）解： ， ，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，直线 的解析式为 ，
点 在线段 上运动，
设 ，且 ，
过点 作 轴的垂线，与 交于点 ，与抛物线交于点 ，
， ，
，
，
，
，
当 时， 有最大值，
即四边形 的面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法
解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键．
【融会贯通】
1．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），
与 轴交于点 ，已知点 的坐标为 ，且 ．(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图 ， 为抛物线上位于第二象限内的一个动点，过点 作 轴的垂线 ，该垂线交直线 于点
，交 轴于点 ，设线段 的长度为 ，求 关于 的函数关系式．
(3)在（ ）的条件下，连接 ，若 为直角三角形，求 的值．
(4)连接 ，将线段 沿 轴向左平移 个单位长度，若线段 与抛物线有交点，请直接写出 的取值
范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ；
(4) ．
【分析】 根据抛物线的解析可以求出点 的坐标为 ，根据 可以求出点 的坐标为 ，
又因为点 的坐标是 ，设抛物线的解析式为 ，把点 代入 ，
求出 的值即可；
用待定系数法求出直线 的解析式为 ，设点 的坐标为 ，点 的坐标为
，则有 ，整理可得： 关于 的函数表达式为 ；
由已知条件可知 为等腰直角三角形，所以可得 ，若 为直角三角形，
则 为等腰直角三角形，所以应分两种情况讨论，第一种情况是当 时，此时点 和点的纵坐标都是 ，所以可得： ，解方程求出 的值即可；第二种情况是当 时，
此时， ，可得方程 ，解方程求出 的值即可；
设线段 向左平移了 个单位长度，平移后点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，当点
在抛物线 上时，可得： ，解方程可得： ，当点 ，在抛
物线 上时，可得方程 ，解方程可得： ，所以可得 的取值范
围为 ．
【详解】（1） 解：将 代入 ，
可得： ，
点 的坐标为 ，
，
，
点 的坐标为 ，
又 ，
抛物线的解析式为 ，
将点 代入 ，
可得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
将点 ，点 的坐标代入 ，可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，
设 ， ，
线段 的长为 ，
，
整理得： ，
即 关于 的函数表达式为 ；
（3）解： ， ，
为等腰直角三角形，
，
，
若 为直角三角形，则 为等腰直角三角形，
分两种情况：
如图 所示，
当 时，
，
，
，，
，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
故此时 的值为 ；
如图 所示，
当 时，过点 作 于点 ，则 ， ，
， ，
，
解得： (不符合题意，舍去)， ，
故此时 的值为 ，
综上所述， 的值为 或 ；
（4）解：如下图所示，
设线段 向左平移了 个单位长度，
点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
平移后点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，当点 在抛物线 上时，
可得： ，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
当点 在抛物线 上时，
可得： ，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
的取值范围为 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、用待定系数法求一次函数
的解析式，等腰直角三角形的性质，图形的平移，解决本题的关键运用数形结合的思想和方程思想．
2．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，
已知 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果
不存在，请说明理由；
(3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，
使 的面积最大？求出 的最大面积及此时M点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在满足条件的点 ，其坐标为 或
(3)点M为 的中点， 的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为【分析】（1）由 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出 点坐标，则可表示出 、 和 的长，分 、 两种情
况分别得到关于 点坐标的方程，可求得 点坐标；
（3）由 、 的坐标可求得直线 的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出
的长，可表示出 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标．
【详解】（1）解： 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2） ，
抛物线对称轴为直线 ，
当 时， ，
，且 ，
，
点 在对称轴上，
可设 ，
， ，
当 时， ，
解得 ，此时 点坐标为 ；
当 时，
解得 （与 重合，舍去）或 ，此时 点坐标为 ；综上可知：存在满足条件的点 ，其坐标为 或 ；
（3）当 时，即 ，解得 或 ，
， ，
设直线 解析式为 ，
由题意可得 ，解得 ，
直线 解析式为 ，
点M是线段 上的一个动点，
可设 ，则 ，
，
，
，
当 时， 有最大值，最大值为4，
此时 ，
，即M为 的中点，
点M为 的中点， 的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为 ．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、
方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用 点的坐标表示出和 是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出 的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，
综合性较强，难度适中．
3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴交于 和 两点，与 轴相交于 ，且顶点 ，
是抛物线上一动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接 ，若 ，求 的坐标；
(3)如图2，过 作 交抛物线于 ，以 、 、 为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，
求出 的坐标；若不存在，通过计算说明．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据图象顶点为点 ，设抛物线解析式为 ，再代入 求出
即可解答；
（2）将 以 为旋转中心顺时针旋转 对应点 ，连接 交抛物线于 ，过 作 轴，且
，则 ，求出 ， ，证明 ，求出
，求出 的直线解析式，联立即可求解．
（3）分为①当 时，②当 时，分别画图求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点为点 ，
故设抛物线解析式为 ，
∵抛物线图象经过 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
即 ；
（2）解：将 以 为旋转中心顺时针旋转 对应点 ，连接 交抛物线于 ，过 作 轴，
且 ，
，
令 ，解得： ，
，
当 时， ，
，
∵ ，
∴在 和 中
，
∴ ，∴ ，
，
设 的直线解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的直线解析式为 ，
∴ ，
整理的 ，
解得： ，
当 时， ，
∴ ；
（3）解：①当 时，
设 的直线方程为 ，
设 的直线方程为 ，
∴ ，
整理得 ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
整理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴直线 与 轴夹角的正切值 直线 与 轴夹角的正切值的倒数，
∴ ，即 ，
，
∴ ，
即 ，
∵ ，
设 的直线解析式为 ，
，
整理得： ，
，
∴ ，
解得： ，
∴ 的直线解析式为 ，∴ ，
整理得 ，
解得： ，
∵当 在 的左侧时，
，
，
，
∵当 在 的右侧时，
，
；
②由（1）知，顶点 ，
，
，，
，
∴此时 为直角三角形，即 ，
若 ，此时 与 重合，与题意不合，应舍去．
综上， 或 时，以 为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，全等三角形的性
质和判定，勾股定理，一次函数解析式，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是运用分类讨论思想解
决问题．
类型五、二次函数中的平行四边形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于点 和点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上有一点 ，使得 是以 底的等腰三角形，求点 的坐标：
(3)设 为直线 上方的抛物线上一点，连接 ，以 为邻边作平行四边形 ，则平行
四边形 面积的最大值为___________；
(4)如图2，若在x轴上有两个动点 ，且 ，则 的最小值为___________．
【答案】(1)
(2) 或(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，平行四边形的性质与
判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点M的坐标为 ， ，
，根据等腰三角形的定义可得 ，即 ，则
，解方程即可得到答案；
（3）求出直线 解析式为 ，设 ，则 ，则 ，根据
，得到 ，则由平行四边形的性质可得 ，故当
最大时， 最大值，据此求解即可；
（4）作点A关于x轴的对称点L，作 且 ，连接 ，则 ，由
轴对称的性质可得 ，证明四边形 是平行四边形，得到 ，则 ，故当A、E、
T三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与直线 相交于点 和点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；（2）解：设点M的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ 是以 底的等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ；
当 时， ；
∴点M的坐标为 或 ；
（3）解；设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ；
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴当 最大时， 最大值，
∴ 的最大值为 ；
（4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点L，作 且 ，连接 ，则
，
由轴对称的性质可得 ，
∵ 且 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴当A、E、T三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
【融会贯通】
1．如图，已知抛物线 过点 、 ，点 是直线 上一点．
(1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标；
(2)当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
(3)点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的值最小时，求点 的坐标；
(4)若点 在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2)
(3)点 的坐标为(4)存在．点 的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的
顶点坐标；
（2）把 代入抛物线的解析式，进行求解即可；
（3）结合（1）可知该抛物线的对称轴为 ，并确定该抛物线与 轴的另一个交点 的坐标；结合点
是直线 上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得 ，易得 ，故当点
均在 轴上时，即 时， 的值最小，即 的值最小，即可确定答案；
（4）根据题意，设 ， ，分 是平行四边形的一边和 是平行四边形的对角线
两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点 ， 代入抛物线 ，
可得 ，解得 ，
∴此抛物线的函数解析式为 ，
∵ ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）由（1）知： ，
∵点 是直线 上一点，且点 在抛物线上，
∴当 ， ，
∴ ；
（3）∵抛物线 ，
∴该抛物线的对称轴为 ，
设该抛物线与 轴的另一个交点为 ，
令 ，可得 ，解得 ， ，
∴ ，
如下图，
∵点 是抛物线对称轴上的一个动点，
∴ ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
当点 均在 轴上时，即 时， 的值最小，即 的值最小，
如下图，
此时 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（4）∵点 在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，∴可设 ， ，
①如下图，
当 是平行四边形的一边时，
则有 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
②如下图，
当 是平行四边形的对角线时，
则有 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．综上所述，存在以点 为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点 的坐标为 或
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形
的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
2．如图，抛物线 经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线 交于点
E．
(1)将抛物线沿直线 平移，使得点A落在点B处记为 ，此时点 的对应点为C，求点 的坐标，判断
四边形 的形状，并说明理由．
(2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标．
(3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的
四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析；
(2) 或 或 ；
(3)存在， 或 或 或
【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）证明 ，即可得到 是平行四边形；
（2）①若 为 的对角线时，则 与 互相平分，② 若 为 的对角线，则 与
互相平分，③ 若 为 的对角线，则 与 互相平分，分三种情况进行解答即可；
（3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则 一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形，理由如下：
∵抛物线 与y轴交于点C，
令 ，则 ，
∴点 ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ 由平移的性质可知 ，
∵ ，
∴ 是平行四边形；
（2）∵抛物线的解析式为 ，
∴点 ，
设点 ，
∵ ， ，
①若 为 的对角线时，则 与 互相平分，
∴
∴
解得
∴
② 若 为 的对角线，则 与 互相平分，∴
∴
解得
∴
③ 若 为 的对角线，则 与 互相平分
∴
∴
解得
∴
综上所述，点G的坐标为 或 或 ；
（3）存在，
要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则 一定是直角三角形，
∵点G在对称轴上，
∴设点G的坐标为 ，
由勾股定理，得 ，
，
①若 ，则即 ，
得 ，
此时点G的坐标为 ，
② 若 ，则 ，
解得 ，
此时点G的坐标为 ，
③ 若 ，则 ，
解得 ，此时点G的坐标为 或 ，
综上可知，点G的坐标为 或 或 或 ．
3．已知二次函数 的图象与 轴的交于 、 两点，与 轴交于点 ，
(1)求二次函数的表达式及 点坐标；
(2) 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求 面积最大时点 的坐标；
(3) 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 使以 、 、 、 为顶点的四边
形是平行四边形？若有，请写出点 的坐标（不写求解过程）
【答案】(1)
(2)
(3)有，满足条件的点 的坐标为 或 或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次
函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点A坐标；（2）连接 ，求出直线 的表达式为 ，过点D作x轴的垂线，交 于点G，得
，可知当 取最大值时， 的面积最大，设
，则 ，可得 ，，即得 ，最
后利用二次函数的性质解答即可求解；
（3）先求出 的长及二次函数的对称轴，再分 为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边
形的性质解答即可求解．
【详解】（1）解：把 ， 代入
则有 ，
解得
二次函数的解析式为 ，
令 ，得到 ，解得 或 ，
．
（2）如图 中连接 ， ．
设直线 解析式为： ，
， ，，
解得， ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 轴的垂线交 于点 ，设点 的坐标为 ，
则 ，
点 在第三象限，
，
，
当 时， ，点 ，
面积最大时， ；
（3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
∵ ，
∴ ，
由 得，抛物线的对称轴为直线 ，
∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，
当 为平行四边形的边时， ，
设点N的横坐标为t，
∵ 轴，
∴ ，
解得 或 ，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为 或 ；当 为平行四边形的对角线时，
则 ，
解得 ，
∴点N的坐标为 ；
综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为
或 或 ．
类型六、二次函数中的菱形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点
，P是直线 下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，并将 沿y轴翻折，得到四边形 ，是否存在点P，使得四边形 为菱形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形 的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形 的最大面积．
【答案】(1)点A的坐标为 ，该抛物线的函数表达式为
(2)存在这样的点 ，此时点 的坐标为
(3)当点 运动到 时，四边形 的面积最大，四边形 的最大面积为32
【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，
（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式，再令 求出点A的坐标即可；（2）连接 交 于点 ，结合菱形的性质可得 ，且 ，进一步求得点 的纵坐标为
，代入函数解析式有 ，即可求得点 的坐标；
（3）连接 ，作 轴于点 ， 轴于点 ，设点 的坐标为 ．则 ，
， ， ，结合
，化解后利用二次函数的性质求得最
大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 ，
把 ， 代入 中，
得 解得
该抛物线的函数表达式为 ．
当 时， ，解得 或 ，
∴点A的坐标为 ；
（2）解：假设抛物线上存在点 ，使四边形 为菱形，连接 交 于点 ．如图，
四边形 为菱形， ，
，且 ，
，即点 的纵坐标为 ．
由 ，得 ， （不合题意，舍去），
故存在这样的点 ，此时点 的坐标为 ．（3）解：连接 ，作 轴于点 ， 轴于点，如图，
设点 的坐标为 ．
， ， ，
， ， ， ，
，
∵ ， ，
当 时，S有最大值，最大值为32，此时 ，
此时点 的坐标为 ，
即当点 运动到 时，四边形 的面积最大，四边形 的最大面积为32．
【融会贯通】
1．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 下方的抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时P点的坐标；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以 为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若
存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形 面积的最大值为9，此时点P的坐标为 ；
(3) 或 或 或
【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接 ，设点P的坐标为 ，再由四边形 面积 ，结合二次
函数的性质解答，即可求解；
（3）设点F的坐标为 ，分两种情况： 当 为边， 为对角线时， ；当 为边，
为对角线时， ，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵点 ，
∴ ，
当 时， ，∴点 ，
∴ ，
如图，连接 ，
设点P的坐标为 ，
∴四边形 面积
，
∵ ，
∴当 时，四边形 面积最大，最大值为9，
此时点P的坐标为 ；
（3）解：∵点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设点F的坐标为 ，
当 为边， 为对角线时， ，即 ，
∴ ，
解得： ，
∴点F的坐标为 或 ；
当 为边， 为对角线时， ，
即 ，
∴ ，
解得： ，
∴点F的坐标为 或 ；综上所述，点F的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面
积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ，且交 轴于 两点，交 轴于
点 ．
(1)求直线 的表达式和a，m的值．
(2) 是直线 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及 面积最大时点 的坐标．
(3)在（2）中 面积最大的条件下，将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度， 为平移后的抛
物线的对称轴上一点．在平面内确定一点 ，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符
合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1) ， ，
(2)最大值为 ，此时点 的坐标为
(3) 或 或 ，见解析
【分析】（1）先将 代入 求出a的值，然后求出 ， ，再用待定
系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，证明 ，得出
，得出 ，从而说明当 取得最大值时， 也取得最大值．设，则 ，得出
，根据二次函数最大值，求出结果即可；
（3）先求出平移后的表达式为 ，设 ．分
三种情况：当 为对角线时，当 为边长且 和 是对角线时，当 为边长且 和 是对角线
时，求出结果即可．
【详解】（1）解： 抛物线 过点 ，
，
解得 ，
抛物线的表达式为 ，
抛物线交 轴于点 ，
，
抛物线交 轴于 两点，
，
，
设直线 的表达式为 ，
将 代入得 ，
解得： ，
直线 的表达式为 ．
（2）解： ，，
，
如图，过点 作 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
则 ，
，
，
，
当 取得最大值时， 也取得最大值．
设 ，则 ，
，
当 时， 最大，此时 ，
当 时， 面积最大，最大值为：
，
此时点 的坐标为 ．
（3）解： 将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，可以看成是先向右平移2个单位长度，再向下
平移1个单位长度，
平移后的表达式为：
，此抛物线的对称轴为直线 ．
设 ．
，
，
．
当 为对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，
与 互相平分，且 ，
，解得 ．
的中点坐标为 的中点坐标为 ，
，
解得
此时 ；
当 为边长且 和 是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，
与 互相平分，且 ，
，
解得： ，的中点坐标为 的中点坐标为 ，
，
解得： ，
此时 或 ．
同理，当 为边长且 和 是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，
和 互相平分，且 ，
即 ，此方程无解．
综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，菱形的性质，二次函数的平移，解题
的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于 ，B两点，与y轴交于点
C，点 为抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式(2)连接 ，点Q为直线 上方抛物线上一点，过点Q作 轴于点E，作 轴交BC于点F，求
的最大值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线 ，新抛物线 与原抛物线交于点D，点M是新
抛物线 对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出
所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1) ；
(2) 的最大值为 ， ；
(3)点N的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线 的解析式，设 ，用 表示出 的长，利用二次函数的性质
求解即可；
（3）先求得新抛物线 的对称轴为 ，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得
，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ，∴ ，令 ，则 ，
解得 或 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时 ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴点 向右平移3个单位得到点 ，
∴ 向右平移3个单位得到新抛物线 ，
∵ ，
∴ ，
∴新抛物线 的对称轴为 ，
设 ，
∵ ， ，①当 、 为对角线时，则 、 为菱形的边，
∴ ，即 ，
整理得 ，
无意义，舍去；
②当 、 为对角线时，则 、 为菱形的边，
∴ ，即 ，
整理得 ，
解得 ，
当 时， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ；
③当 、 为对角线时，则 、 为菱形的边，
∴ ，即 ，
整理得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ；
综上，点N的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次
函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
类型七、二次函数中的矩形
【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线 （ 、 为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与 轴交点坐标为 ．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为 ，将此
抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象 ．
①当点 在 轴上方，图象 的最高与最低点的纵坐标差为4时，求 的值；
②在①的条件下，将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，
在平面内确定一点 ，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点 的
坐标．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】（1）将对称轴及点 ， 代入求解即可得到答案；
（2）①先根据抛物线表达式得到对称轴与顶点坐标，结合A，B两点的位置关系以及线段 中点的横坐
标，得到点A的纵坐标 大于点B的纵坐标 ．分别讨论 和 时图象G的最高点和最低点的
情况，再结合两点纵坐标的差为4建立方程，求解即可；
②根据m求出A，B两点的坐标，结合 的长度得出抛物线平移规律，即可求出平移后的函数表达式，从
而得到点M的横坐标，然后设点M的纵坐标为p，由点A，B，M三点构成直角三角形的限制条件，由勾
股定理构造关于p的方程，利用矩形的两条对角线互相平分，即中点重合求出点N的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线 （ 、 为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点 ，与
轴交点坐标为
∴ ，解得：
则抛物线的函数表达式为：
（2）解：①由（1）可知抛物线为 ，
∴抛物线对称轴为 ，顶点为 ，
∵点A在点B的左侧，
∴ ，即 ，
∵线段 的中点的横坐标为 ，
∴点A距离对称轴更近，
∵抛物线开口向下，
∴点A的纵坐标 大于点B的纵坐标 ．
当 时，抛物线对称轴位于A，B两点之间，则图象G的最高点为抛物线的顶点，最低点为点B，
∵最高与最低点的纵坐标差为4，
∴ ，
解得： ， （不符合题意舍去）；
当 时，A，B两点都在对称轴右侧（包含对称轴），图象G的最高点为A，最低点为B，
∵最高与最低点的纵坐标差为4，
∴ ，
解得： ；
综上所述： ；
②由 得到 ， ，则
，
根据平移的性质，将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，相当于向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度．
∵抛物线为 ，
∴平移后的抛物线为 ，
对称轴为 ．
设点M的坐标为 ，
当点A、B、M三点构成直角三角形时，以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形．
∵ ，
，
，
（Ⅰ）当 为矩形的对角线时， ，
∴ ，
整理得 ，
∵ ，
∴该方程无解；
（Ⅱ）当 为矩形的对角线时， ，
∴ ，解得 ，∴ ；
∵矩形的对角线互相平分，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（Ⅲ）当 为矩形的对角线时， ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
∵矩形的对角线互相平分，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
综上所述，点N的坐标为 或 ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，函数图象的平移，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握二次函
数的图象及性质是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，
点 和点 关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线 和抛物线的表达式；
(2)如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值；
(3)点 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以 为顶点的四边形是
以 为边的矩形，求点 的坐标．
【答案】(1)直线 解析式为 ；抛物线表达式为
(2)线段 的最大值为
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求
得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）设 交y轴于点E，则 为等腰直角三角形；过F作 轴交 于点N，则 为等腰
直角三角形， ；设 ，则 ，根据题意建立二次函数，利用二次函数
性质求解；（3）分两种情况：当点P在 的右边时，设直线 交y轴于点R，易得 ，求出直线 的解
析式 ，得点R的坐标；设 ，由四边形 为矩形，可得 ，再利用勾股定理
建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在 的左边时，同理求得点P的
坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入 中，得： ，
解得： ，
∴ ；
上式中令 ，得 ，即 ；
∵抛物线的对称轴为直线 ，C、D关于对称轴对称，
∴ ;
设直线 解析式为 ，把A、D两点坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ；
（2）解：如图，设 交y轴于点E，
当 时， ，则 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ；
过F作 轴交 于点N，则 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ；设 ，则 ，
∴ ，
由于二次项系数为负，则当 时， 有最大值 ，
∴ ；
即 的最大值为 ；
（3）解：如图，当点P在 的右边时，设直线 交y轴于点R，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
即 ；
设直线 的解析式 ，则有 ，解得 ，
∴直线 的解析式 ，
上式中令 ，则 ，即 ；
设 ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
由勾股定理得 ，
即 ，解得： ，即 ；
∵ ，
∴由平移得 ；
如图，当点P在 的左边时，
同理：由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 ；
由平移得： ；
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角
三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键．
2．如图1，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，点P为直线 上方抛物线上的点，过点P作 轴交 于点M，求 的最大
值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线 ，
在 的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接
写出所有满足条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或 或 或
【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的
性质解决问题是解本题的关键．
（1）把 和 代入 求解即可．
（2）先解得直线 的解析式为 ，设 ， ，得到的 的值，当时， 最大即可解答．
（3）分情况讨论，当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当 为矩形一边时，且点D在x轴的上
方；当 为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把 和 代入 ，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时，
解得：
∴
设直线 的解析式为 ，把 ， 点的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为
点P为直线 上方抛物线上的点，
设 ，，
，
当 时， ，
；
（3）解：∵
将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线 ，
∴ ，
的对称轴为 .
∵ ， ，
∴ ，
如图：当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作 轴于点F，
∵D在 的对称轴上，
，
∵ ， ，
∴ ，， ，即点 ，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位
可得到点 ；
如图：当 为矩形一边时，且点D在x轴的上方， 的对称轴为 与x轴交于点F，
∵D在 的对称轴上，
∴ ，
，
，即 ，
，即点 ，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点 ；
当 为矩形对角线时，设 ， ， 的中点F的坐标为 ，
依意得： ，解得 ，
又 ，
，解得： ，
联立 ，
解得： ，
∴点E的坐标为 或 .
综上，存在点 或 或 或 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是
矩形．
3．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，顶点为点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当 时，函数值 的取值范围是___________；
(3)若点 为第四象限的抛物线上一点，过点 作 轴与抛物线另外一个交点为点 ．
①连接 ，过点 作 轴，交 于点 ，以 、 为邻边构造矩形 ，当矩形 的
周长为 时，求 的值；
②以 所在直线为对称轴将抛物线位于 下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与 轴有交点，且交
点都位于 轴正半轴，请直接写出 的取值范围．【答案】(1) ；
(2)
(3)① 的值为 或
②
【分析】（1）将 ， 代入，用待定系数法即可求解；把抛物线的解析式化成顶点式即可得
顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质求出最大值与最小值即可求得取值范围；
（3）①求出直线 的表达式，分别表示点 、 的坐标，进而可表示出 、 的长度，分两种情况：
Ⅰ当点 在点 左侧即 时，Ⅱ当点 在点 右侧即 时，分别列方程求解即可；
②用 分别表示点 关于直线 的对称点 的坐标，结合图形列方程或不等式即可求得 的取值
范围．
【详解】（1）解： 二次函数 的图象经过 ， ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ，
把 配方，
得 ，
顶点 的坐标为： ；
（2）解： ，
时， 随 的增大而减小，时， 随 的增大而增大，
当 时， 时， ，
时， ，
，
故答案为： ；
（3）解：①令 ，则 ，
解得 ，
，
设直线 为 ，
将 ， 代入，
得 ，
解得 ，
，
点 为第四象限的抛物线上一点， 轴，
，即 ， ，
，
轴，
，
；
Ⅰ当点 在点 左侧即 时，如图所示：，当矩形 的周长为 时， ，
即 ，
解得 （舍）， ；
Ⅱ当点 在点 右侧即 时，如图所示：
，
当矩形 的周长为 时， ，
即 ，
解得 ；
综上所述，当矩形 的周长为 时， 的值为 或 ；
②如图所示：当点 关于直线 的对称点 在 轴上时， ；
当点 关于直线 的对称点 过原点时，
，
，
，
，
综上所述， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的周长、
轴对称等知识，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键．
类型八、二次函数中的正方形
【解惑】某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，
截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究．
首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象 ，是二次函数和一次函数的图
象组合．分析得到：若 时， ；若 时， ．随后他们测量了图象上一些点的坐标，
数据如下：
(1)直接写出 ， ， 的值．
(2)如图②，他们在整个图象上设计了一个动点 ，设点 的横坐标为 ，过 点作一条平行于 轴的直线 ，在直线 上取点 ，点 的横坐标为 ．
①当 时，求出点 落在图象 上时 的值．
②如图③，若过 、 两点作 轴的垂线，垂足分别为点 、点 ，得到矩形 ，当矩形 为
正方形时，求 的值．
③在直线 上另取点 ，点 的横坐标为 （点 与点 不重合），当线段 的长度随 的增大而增
大时，分别直接写出线段 与图象 的交点个数为 个和2个时 的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2)① ；②当 的值为 ， ， ， 时，矩形 为正方形；③当
时，线段 与图象 的交点个数为 个；当 时，线段 与图象 的交点个数
为 个
【分析】（1）将 ， ； ； ， ， ，代入当 时， ；当
时， ，求解即可；
（2）①由题意知：当 时，点 ， 都在二次函数图象上，且 轴，推出 ，
求解即可；
②由题意知：点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， 轴，得 ，推出
，点 的纵坐标为 或 ，分两种情况：当 时，当 时，分别求解即可；
③根据线段 的长度随 的增大而增大，推出 ，根据二次函数图象的对称性得点 关于对称轴
的对称点的横坐标为 ；继而推出当 时，线段 与图象 的交点个数为 个；然后
再分两种情况：当 时，当 时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵当 时， ；当 时， ，
又∵当 时， ；当 时； ，当 时， ，
∴ ，解得： ，
∴当 时， ；当 时， ，
（2）解：①∵当 时， ，
又∵当 时，点 ， 都在二次函数图象上，且点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
轴，
∴ ，
解得： ；
②∵点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， 轴，
∴ ，
∵矩形 为正方形， 轴，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 或 ，
当 时，
，解得： （不符合题意，舍去）或 ；
，解得： 或 ；
当 时， ，解得：
综上所述，当 的值为 ， ， 或 时，矩形 为正方形；
③∵点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， 轴，
∴ ，
又∵线段 的长度随 的增大而增大，
∴ ，即 ，
∴ ，
此时二次函数 图象上点 关于对称轴 的对称点的横坐标为 ；∵ ，
∴当 时，线段 与图象 的交点个数为 个；
当 时， ，此时线段 与图象 的交点个数为 个；
∵当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
当线段 与图象 的交点个数为 个时，则 ，
解得： ，
∴ ；
当线段 与图象 的交点个数为 个时，则 ，
解得： （不符合题意，舍去）或 ，
综上所述，当 时，线段 与图象 的交点个数为 个；当 时，线段 与图象
的交点个数为 个．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的图象与
性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，一元二次方程与不等式的应用等知识点，利用分类讨论
的思想解决问题是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，过 、 作x轴的垂线，分别交直线 于C、D两点．抛物线 经
过O、C、D三点．(1)求抛物线的表达式；
(2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形 是正方形，求直线 与抛物线的交点P的坐标；
(3)若 沿 方向平移（点C在线段 上，且不与点D重合），在平移的过程中 与 重
叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）分两种情况讨论：①当M、N在 左侧时；②当M、N在 右侧时，然后构造全等三角形求出N
的坐标，根据待定系数法求出直线 的解析式，最后联立方程组求解即可；
（3）设水平方向的平移距离为 ，利用平移性质求出S的表达式： ，然后关键
二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ．
∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为 ．
∴ ，解得 ，
∴抛物线的表达式为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
①当M、N在 左侧时，如图，过N作 于G，则 ，∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
联立方程组 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；②当M、N在 右侧时，如图，过N作 于G，则 ，
同理可求出 ，直线 解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
综上，点P的坐标为 或 ；
（3）解：设直线 解析式为 ，则 ，
∴直线 的解析式为 ，
同理直线 的解析式为 ，
如答图所示，设平移中的三角形为 ，点 在线段 上，
设 与x轴交于点E，与直线 交于点P， 与x轴交于点F，与直线 交于点Q，
设水平方向的平移距离为 ，
则图中 ， ， ， ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
联立方程组 ，解得 t，
∴ ．
过点P作 轴于点G，则 ．
∴，
当 时，S有最大值为 ，
∴S的最大值为 ．
【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标
特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，第（2）问中，解题的关键是根据正方形的性质，
全等三角形的判定与性质，求出N的坐标；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积
的计算方法．
2．如图，抛物线 的图像经过点 ，与 轴交于点 ，点 ，抛物线对称轴为
．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 ，求抛物线 的表达式，并判断点
是否在抛物线 上；
(3)在抛物线 的对称轴上是否存在一点 ，使 最大，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由；
(4)点 是平面内的一点，在抛物线 和抛物线 上是否存在一点 ，使以点 ， 为顶点的四边形
是以 为边的正方形．若存在，请直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2) ，点 在抛物线 上
(3)存在，
(4)存在， 点的坐标为： 或 或
【分析】（1）由对称轴为 ，计算得到 ，将点D的坐标代入抛物线表达式 求出
，计算即可；
（2）求出 ，当 时， ，即可判断点D在抛物线 上
（3）设点 关于抛物线 对称轴 的对称点为点 ，可知 ，连接 并延长交直线 于
点 ，此时 最大，设直线 的表达式为： ，求出直线 的表达式为： ，
即可得到
（4）连接 ，勾股定理求出 ，得到 为等腰直角三角形，进而得到当 于点 重合
时，满足题意，作 关于 点得对称点 ，易得 为等腰直角三角形，且点 在抛物线 上，得到
点 于点 重合时满足题意，过点 作 的平行线交抛物线 于点 ，求出直线 的解析式，进而求
出 的解析式，联立直线和抛物线 的解析式，求出 点坐标，求出 ，满足题意，即可．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，将点D的坐标代入抛物线表达式 得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：由题意得： ，
当 时， ，
故点D在抛物线 上；
（3）解：设点 关于抛物线 对称轴 的对称点为点 ，
∴
连接 并延长交直线 于点 ，此时 最大，
令 ，解得： ，
∴ ，
设直线 的表达式为： ，将 、 两点坐标代入，
∴ ，解得： ，∴直线 的表达式为： ，
令 ，得 ，
∴
（4）存在，理由如下：
连接 ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴当点 与点 重合时，存在正方形 ，
作点 关于 点的对称点 ，则： 为等腰直角三角形，
当点 与 重合时，存在正方形 ，
对于 ，当 时， ，
故 ，在抛物线 上，满足题意；
过点 作 的平行线交抛物线 于点 ，则： ，
同（2）法可得，直线 的解析式为： ，
设 的解析式为： ，把 代入，得： ，解得： ，
∴ ，联立 ，解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ ，
故存在正方形 ；
综上：存在， 点的坐标为 或 或
3．如图，抛物线经过 三点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)探究在抛物线上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)直线 交y轴于点G，M是线段 上动点， 轴与抛物线 段交于点N． 轴于F，
轴于H，当四边形 是正方形时，求点M的坐标【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为 ，将 代入计算即可；
（2）先求出 ，过点P作 轴的垂线，交 于点Q，求出直线 的解析式为 ，设
，则 ，求出 ，再根据 建立方
程求解即可；
（3）求出直线 的解析式为 ，设 ， ，根据题意
得到 ， ，求出 ，由四边形 是正方形，建立
方程组 ，转化为 ，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为 ，将 代入得：
，
解得： ，
则抛物线的解析式解析式为 ；
（2）解：将 代入 ，则 ，
∴ ，
过点P作 轴的垂线，交 于点Q，设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 轴，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时，解得： 或 ，
则 或 ，
∴点P的坐标为 或 ；
当 时，方程无解；
综上，点P的坐标为 或 ；
（3）解：设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ， ，
∵ 轴与抛物线 段交于点N， 轴于F， 轴于H，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去），
则 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方
形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键．类型九、二次函数中的等角与倍角、角度
【解惑】如图，二次函数 图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)若点D是直线 下方抛物线上的动点，当 面积是 面积的一半时，求点D坐标．
(3)连接 ，若点E的抛物线上的一个动点，且满足 ，求点E坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)E点坐标为 或
【分析】（1）当 时，解方程 ，即可求A、B点坐标；
（2）过D点作 轴交 于点M，设 ，则 ，由题意可得
，求出t的值即可求D点坐标；
（3）在 上取点G，使 ，直线 与抛物线的交点为E；过点B作 轴，过点C作
轴，交于N点，在 上取点H，使 ，直线 与抛物线的交点为E．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴
解得 或 ，
∴ ；（2）当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
过D点作 轴交 于点M，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ 面积 ，△DBO面积 ，
∵ 面积是 面积的一半，
∴ ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
在 上取点G，使 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，当 时，解得 （不符合题意，舍去）或 ，
∴ ，
过点B作 轴，过点C作 轴，交于N点，
∵ ，
在 上取点H，使 ，如图
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时，解得 （不符合题意，舍去）或 ，
∴ ；
综上所述：E点坐标为 或 ．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一元二次方程，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三
角形的性质，能够确定 所在的直线解析式是解题的关键．
【融会贯通】
1．已知二次函数 ．(1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）；
(2)当 时，y的最小值为 ，求出t的值；
(3)如图，若该二次函数的图象过点 ，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存
在点P，使得 ，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)顶点坐标为
(2) 的值为1
(3)存在点 坐标为 或 时， 为
【分析】（1）将 化为顶点式即可解答．
（2）根据抛物线 得对称轴为 ．分为若 ，当 时函数取最小值；若 ，
当 时函数取最小值．若 ，当 时函数取最小值，列方程求出 即可；
（3）由题意得：抛物线解析式为： ，则抛物线图象的对称轴为 ， ，
根据题意，设 ，求出直线 的解析式为 ，过点 作 交 于点 ，分别过
点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，分为当点 在 轴上方时，和当点 在 轴下方时，分别画图
求解即可．
【详解】（1）解： ，
则该二次函数的顶点坐标为 ．（2）解：抛物线 对称轴为 ．
若 ，当 时函数取最小值，
∴ ，解得： （不符合题意，舍去）；
若 ，当 时函数取最小值，
∴ ，解得： ， ；
∵ ，
∴ ．
若 ，当 时函数取最小值，
∴ ，解得： （不符合题意，舍去）；
综上所述， 的值为1．
（3）解：存在点 坐标为 或 时， 为 ，
理由如下：
由题意得： ，解得： ，
故抛物线解析式为： ，
则抛物线图象的对称轴为 ， ，
根据题意，设 ，直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
过点 作 交 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，
当点 在 轴上方时，如图，∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，则 ，
解得： 或 （舍去）；
当点 在 轴下方时，如图，同理 ，
∴ ， ，
， ，
， ，
，
，
将 ，
代入 则 ，
解得： （舍去）或 ；
综上，当点 坐标为 或 时， 为 ．
【点睛】该题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象和性质、二次函数最值、一次函数解析式、等腰直
角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点
，连接 ．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1， 是线段 上方抛物线上的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，在 上取点 ，连
接 ，其中 ，过点 作 轴交 于点 ，求 长度的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，在平面内，将抛物线 沿直线 斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过
时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点 ，使得 ，请直接
写出所有符合条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 长度的有最大值为 ，点
(3) 或
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的
综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）先求出点C、D的坐标，然后再运用待定系数法求得直线 的解析式，设P点坐标为
，则 ，再表示出线段 的表达式，然后根据
二次函数的性质求最值即可解答；
（3）由 ，设平移后的解析式为 ，再根据平移后的抛物线过 点可求得t，进而确定平移后的抛物线解析式，然后分 点位于x轴的上侧与下侧，
设出M点的坐标，根据等腰直角三角形性质求出x的值即可确定M点坐标即可．
【详解】（1）解：∵ 与 轴交于点 ， ，
，解得：
抛物线的解析式为 ；
（2）
，
， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得
，
同理：直线 的解析式为 ，
设P点坐标为 ，
则 ，
，
，，
∴当 时， 长度的有最大值为 ，点 ．
（3） ，
如图，设平移后的解析式为 ，
∵当平移后的新抛物线经过 时停止平移，得到新抛物线，
，解得： 或 （舍弃），
∴平移后的新抛物线的解析式为 ，
①当M点位于x轴上侧时，过点M作 轴，
设 ，
，
为等腰直角三角形，
，，
解得： ，或 （舍去），
；
当M点位于x轴下侧时，过点M作 轴，
设 ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
解得： ，或 （负数舍去），
，
综上所述符合条件的点 的坐标 或 ．
3．已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上位于直线 上方的一点，连结 ．
①如图1，过点P作 轴交 于点D，交x轴于点E，连结 ．设 的面积为 ， 的面
积为 ，若 ，求S的最大值；
②如图2，已知 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①当 时，S有最大值为6；② ．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数综合的面积问题、直线与二次函数图象
交点坐标求法等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
（1）运用待定系数法解答即可；
（2）①先求出B的坐标，然后再运用待定系数法求出直线 的解析式，设 ，则
， ，然后表示出S与m的函数关系式，最后运用二
次函数的性质求最值即可；
②在 上截取 ，则可得 ，再说明 ，然后运用待定系数法求得直线 、
的解析式，再与抛物线解析式联立确定P点坐标．
【详解】（1）将 代入抛物线得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ．
（2）①令 ，解得 ， ，
，
设直线 的解析式为 ，代入点 ， 得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
点P为抛物线上位于直线 上方的一点，可设 ，
则 ， ， ，
，
，
，
， ，
当 时，S有最大值6 ．
②在 上截取 ，如下图所示：
又 ，
垂直平分 ，
，
，
，
又 ， ，
，即 ，
，
，设直线 的解析式为 ，
代入点 ， 得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
可设直线 的解析式为 ，
代入点 得， ， ，
直线 的解析式为 ，
解方程 ，得 ， ，
当 时， ，
点P的坐标为 ．
类型十、二次函数中的定值与比值
【解惑】如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与
轴交于点 ，且关于直线 对称.
图1 图2
(1)求线段 的长；
(2)当 时，求 的取值范围；
(3)如图2，点 为抛物线对称轴上的点，点 ， 在对称轴右侧抛物线上，若 为等腰
直角三角形， ，试证明： 为定值.
【答案】(1)(2)当 时，
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形
的判定和性质是解题关键．
（1）根据对称性求出点B的坐标，即可求出 的长；
（2）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围；
（3）分别过 、 作直线 的垂线，垂直为 、 ，根据 为等腰直角三角形，可得
，得到 ， ，得 根据
，即得．
【详解】（1） 抛物线与 轴交于 、 两点，且对称轴为直线 ，
；
（2）∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，
．
∴ ．
．
．
当 时， ．
∵当 时， ，
当 时， ．
（3）分别过 、 作直线 的垂线，垂直为 、 ．
则 ，．
．
又 为等腰直角三角形，
， ．
．．
．
， ．
， ，
， ．
．
∵ ， ，
∴ ．
．
．
．
【融会贯通】
1．如图 ，在平面直角坐标系中，已知抛物线 的顶点为点 ，且经过原点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线上，且位于直线 上方的一个动点，当点 在抛物线上，且横坐标为 时，的面积为____________．
求 的面积的最大值．
(3)如图 ，将原抛物线沿射线 方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 交于 ， 两点（点
在点 的左侧）．
若 ，则新抛物线的解析式为____________．
在抛物线平移过程中，线段 的长度总是定值，请你直接写出此定值．
【答案】(1) ；
(2) ； 当 时， 的面积的最大值为 ；
(3) ； ．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数的
关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
（ ）由题意可知 ，解得 ，即可求函数的解析式；
（ ） 过点 作 轴交 于点 ，求出直线 的解析式为 ，分别求出 ，
，再求 的面积即可；
过 点作 轴交 于点 ，设 ，则 ， 的面积 ，当
时， 的面积的最大值为 ；
（ ） 点向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 点 ，设抛物线向右平移 个单位，向上平
移 个单位，平移后的函数解析式为 ，可求 ，则新抛物线的解析式为
；设抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，则平移后的函数解析式为 ，
当 时， ，根据根与系数的关系可得 ，
，则 ．
【详解】（1）解：∵函数图象经过原点，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解： 过点 作 轴交 于点 ，
∵ 点横坐标为 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为： ；
过 点作 轴交 于点 ，设 ，则 ，
∴ 的面积 ，
当 时， 的面积的最大值为 ；
（3）解： ∵ ，
∴ 点向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 点 ，
设抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∴平移后的函数解析式为 ，将点 代入，
可得 ，
解得 （舍）或 ，
∴新抛物线的解析式为 ，
故答案为： ；
设抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∴平移后的函数解析式为 ，
当 时， ，
∴ ， ，
∵直线 的解析式为 ，
∴ ，∴ ．
2．综合与探究
如图 ，在 中， ， ， ，点 在射线 上，点 在射线 上，动点 在
射线 上，沿 方向，以每秒 个单位的速度匀速运动，到达点 时停止．以 为边作正
方形 ．设点 的运动时间为 秒，正方形 的面积为 ，探究 与 的关系．
(1)填空：如图 ，当点 由点 运动到点 时，
当 时， ；
关于 的函数解析式为 ．（不必写出自变量的取值范围）
(2)如图 ，当点 由点 运动到点 时，经探究发现 是关于 的二次函数，并绘制成如图 所示的图象
段，请根据图象信息：
求 关于 的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
当正方形 的面积最小时，直接写出 的比值为 ．
【答案】(1) 12；
(2) ； ．
【分析】（ ） 当 时，点 与点 重合，然后利用直角三角形的性质得 ，再由勾股定理求出
，最后由面积公式即可求解；
勾股定理求出 ，最后由面积公式即可求解；
（ ） 由图象可知，当点 运动到点 时， ，则二次函数图象过点 ，由图象知顶点坐标为，再通过待定系数法即可求解；
当 时，正方形 的面积最小，分别求出 ， ， 的长，然后根据直角三角形斜边
上的中线等于斜边一半得出 ，然后代入即可求解；
本题考查了二次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解
题的关键．
【详解】（1）解： 当 时，点 与点 重合，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时正方形 的边长为 ，面积为： ，即 ，
故答案为： ；
当点 由点 运动到点 时，每秒 个单位的速度匀速运动，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 的面积为 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： 由图象可知，当点 运动到点 时， ，∴ ，
解得： ， （舍去），
∴当点 由点 运动到点 时，二次函数图象过点 ，
由图象知顶点坐标为 ，
所以可设 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
∴ 关于 的函数解析式为 ，
如图，当 时，正方形 的面积最小，
∴由 ，
当 时， ，
∴ ，
由上得，当点 运动到点 时， ，
则 ，
∴ ，
∴当点 运动到点 时， ，
即 ，
解得： （舍去）， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
3．如图，一次函数 与二次函数 的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），
与二次函数 的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）．
(1)如图1，若 ， ，请求出 的值．
(2)如图1，若 ，点B与A横坐标之差为1，试探究 的值是否为定值？如果是，请求出这个比
值：如果不是，请说明理由．
(3)如图2，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出 ，即可解答；
（2）先求出点A、B、C、D的横坐标，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作 于点P，过点C作 于点Q，易证 ，则 ，根
据点B与A横坐标之差为1，德吹 ， ，进而得出 ，再求出
，即可解答．
（3）先求出点A、B、C、D的横坐标，由（2）同理可得： ， ，推出
，进而求出 ，即可解答．
【详解】（1）解：若 ， ，则一次函数为 ，
联立 和 得：
，
解得 或 ，
， ，
联立 和 得：
，
解得 或 ，
， ，，
，
．
（2）解：当 时，一次函数为 ，
联立 和 得：
，
解得 ，
联立 和 得：
，
解得： ，
过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作 于点P，过点C作
于点Q，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点B与A横坐标之差为1，
∴ ， ，即 ，整理得： ，
∵ ，
∴ ．
（3）解：联立 和 得：
，
解得 ，
联立 和 得：
，
解得： ，
由（2）可得： ，∴ ，
整理得： ，
由图可知：一次函数图象经过二、四象限，则 ，
两边同时除以m得： ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数和一次函数交点的方法
和步骤．
