文档内容
2022年天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．计算 的结果等于
A． B． C．5 D．1
2． 的值等于
A．2 B．1 C． D．
3．将290000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A． B． C． D．
5．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A． B． C． D．
6．估计 的值在
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
7．计算 的结果是
A．1 B． C． D．
8．若点 ， ， ， ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小
关系是
A． B． C． D．
9．方程 的两个根为
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．如图， 的顶点 ，顶点 ， 分别在第一、四象限，且 轴，若 ，
，则点 的坐标是
第1页（共18页）A． B． C． D．
11．如图，在 中， ，若 是 边上任意一点，将 绕点 逆时针旋转得
到 ，点 的对应点为点 ，连接 ，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
12．已知抛物线 ， ， 是常数， 经过点 ，有下列结论：
① ；
②当 时， 随 的增大而增大；
③关于 的方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算 的结果等于 ．
14．计算 的结果等于 ．
15．不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋
子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
16．若一次函数 是常数）的图象经过第一、二、三象限，则 的值可以是 （写
出一个即可）．
17．如图，已知菱形 的边长为2， ， 为 的中点， 为 的中点，
与 相交于点 ，则 的长等于 ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点 ， ， 及 的一边上的点
， 均在格点上．
（Ⅰ）线段 的长等于 ；
（Ⅱ）若点 ， 分别在射线 ， 上，满足 且 ．请用无刻度的直尺，
在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证
明） ．
第2页（共18页）三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参
加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 ，图①中 的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
21．（10分）已知 为 的直径， ， 为 上一点，连接 ， ．
（Ⅰ）如图①，若 为 的中点，求 的大小和 的长；
（Ⅱ）如图②，若 ， 为 的半径，且 ，垂足为 ，过点 作 的切线，
与 的延长线相交于点 ，求 的长．
22．（10分）如图，某座山 的顶部有一座通讯塔 ，且点 ， ， 在同一条直线上．从地
面 处测得塔顶 的仰角为 ，测得塔底 的仰角为 ．已知通讯塔 的高度为 ，
第3页（共18页）求这座山 的高度（结果取整数）．
参考数据： ， ．
23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓 ，超市离学生公
寓 ．小琪从学生公寓出发，匀速步行了 到阅览室；在阅览室停留 后，匀速步
行了 到超市；在超市停留 后，匀速骑行了 返回学生公寓．给出的图象反映
了这个过程中小琪离学生公寓的距离 与离开学生公寓的时间 之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学生公寓的时间 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离 0.5 1.6
（Ⅱ）填空：
①阅览室到超市的距离为 ；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 ；
③当小琪离学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为 ．
（Ⅲ）当 时，请直接写出 关于 的函数解析式．
24．（10分）将一个矩形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点
，点 在边 上（点 不与点 ， 重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点
，并与 轴的正半轴相交于点 ，且 ，点 的对应点 落在第一象限．设
．
（Ⅰ）如图①，当 时，求 的大小和点 的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形， ， 分别与边 相交于点 ， ，试用含
有 的式子表示 的长，并直接写出 的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为 ，则 的值可以是 （请直接写出两个不同的值即
可）．
第4页（共18页）25．（10分）已知抛物线 ， ， 是常数， 的顶点为 ，与 轴相交于点
和点 ．
（Ⅰ）若 ， ，
①求点 的坐标；
②直线 是常数， 与抛物线相交于点 ，与 相交于点 ，当 取得最
大值时，求点 ， 的坐标；
（Ⅱ）若 ，直线 与抛物线相交于点 ， 是 轴的正半轴上的动点， 是 轴的
负半轴上的动点，当 的最小值为5时，求点 ， 的坐标．
第5页（共18页）2022年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．计算 的结果等于
A． B． C．5 D．1
【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式
，
故选： ．
2． 的值等于
A．2 B．1 C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解： 的值等于1，
故选： ．
3．将290000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，据此
判断即可．
【解答】解： ．
故选： ．
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项 、 、 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所
以是轴对称图形，
故选： ．
5．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
第6页（共18页）【解答】解：从正面看底层是两个正方形，左边是三个正方形，
则立体图形的主视图是 中的图形，
故选： ．
6．估计 的值在
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【分析】估算确定出所求数的范围即可．
【解答】解： ，
，即5和6之间，
故选： ．
7．计算 的结果是
A．1 B． C． D．
【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：原式
．
故选： ．
8．若点 ， ， ， ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小
关系是
A． B． C． D．
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【解答】解：点 ， ， ， ， ， 都在反比例函数 的图象上，
， ， ．
，
故选： ．
9．方程 的两个根为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】根据解一元二次方程 因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
，
或 ，
， ，
故选： ．
10．如图， 的顶点 ，顶点 ， 分别在第一、四象限，且 轴，若 ，
，则点 的坐标是
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出 ，根据坐标与图形性质写出
第7页（共18页）点 的坐标．
【解答】解：设 与 轴交于点 ，
， ， ，
，
由勾股定理得： ，
点 的坐标为 ，
故选： ．
11．如图，在 中， ，若 是 边上任意一点，将 绕点 逆时针旋转得
到 ，点 的对应点为点 ，连接 ，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
【解答】解： 、 ，
，
由旋转的性质可知， ，
，故本选项结论错误，不符合题意；
、当 为等边三角形时， ，除此之外， 与 不平行，故本选项结论错误，
不符合题意；
、由旋转的性质可知， ， ，
， ，
，
，本选项结论正确，符合题意；
、只有当点 为 的中点时， ，才有 ，故本选项结论
错误，不符合题意；
故选： ．
12．已知抛物线 ， ， 是常数， 经过点 ，有下列结论：
① ；
②当 时， 随 的增大而增大；
③关于 的方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据抛物线 经过点 、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断
②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
【解答】解：① 抛物线 经过点 ，
，
，
第8页（共18页），即 ，本小题结论正确；
② ， ，
，
对称轴 ，
当 时， 随 的增大而减小，本小题结论错误；
③ ，
，
对于方程 ，△ ，
方程 有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选： ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算 的结果等于 ．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解： ．
故答案为： ．
14．计算 的结果等于 1 8 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式
，
故答案为：18．
15．不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋
子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
【分析】用绿球的个数除以球的总数即可．
【解答】解： 不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，
从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ，
故答案为： ．
16．若一次函数 是常数）的图象经过第一、二、三象限，则 的值可以是 1 （写
出一个即可）．
【分析】根据一次函数的图象可知 即可．
【解答】解： 一次函数 是常数）的图象经过第一、二、三象限，
，
可取 ，
故答案为：1．
17．如图，已知菱形 的边长为2， ， 为 的中点， 为 的中点，
与 相交于点 ，则 的长等于 ．
【分析】如图，过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，
连接 ，先证明 是 的中位线，得 ，再证明 ，得
第9页（共18页），在 中计算 和 的长，再证明 是中位线，可得 的长，由勾股
定理可得 的长，从而得结论．
【解答】解：如图，过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，交 的延长线于
，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
是 的中点， ，
是 的中点，
是 的中位线，
，
是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
中， ，
， ，
，
是 的中点，
是 的中位线，
， ，
，
中，由勾股定理得： ，
．
故答案为： ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点 ， ， 及 的一边上的点
， 均在格点上．
（Ⅰ）线段 的长等于 ；
（Ⅱ）若点 ， 分别在射线 ， 上，满足 且 ．请用无刻度的直尺，
在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证
明） ．
第10页（共18页）【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）连接 ，与网格线交于点 ，取格点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点
，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，则点 ， 即为
所求（证明 ，可得结论）．
【解答】解：（Ⅰ） ．
故答案为： ；
（Ⅱ）如图，点 ， 即为所求．
步骤：连接 ，与网格线交于点 ，取格点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点
，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，则点 ， 即为
所求．
故答案为：连接 ，与网格线交于点 ，取格点 ，连接 交 于点 ，连接 交
于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，则点 ，
即为所求
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
第11页（共18页）（Ⅳ）原不等式组的解集为 ，
故答案为： ， ， ．
20．（8分）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参
加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 4 0 ，图①中 的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据1项的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，用4项的人数除以
总人数，即可得出 的值；
（Ⅱ）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多
的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的
个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为： （人 ，
，即 ；
故答案为：40，10；
（Ⅱ）这组项数数据的平均数是： （项 ；
出现了18次，出现的次数最多，
众数是2项；
把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则中位数是 （项 ．
21．（10分）已知 为 的直径， ， 为 上一点，连接 ， ．
（Ⅰ）如图①，若 为 的中点，求 的大小和 的长；
（Ⅱ）如图②，若 ， 为 的半径，且 ，垂足为 ，过点 作 的切线，
与 的延长线相交于点 ，求 的长．
第12页（共18页）【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理得到 ， ，进而求出 ，根据余
弦的定义求出 ；
（Ⅱ）根据切线的性质得到 ，证明四边形 为矩形，根据矩形的性质得到
，根据勾股定理求出 ，根据垂径定理解答即可．
【解答】解：（Ⅰ） 为 的直径，
，
为 的中点，
，
，
；
（Ⅱ） 是 的切线，
，
， ，
四边形 为矩形，
，
在 中， ， ， ，
则 ，
，
，
．
22．（10分）如图，某座山 的顶部有一座通讯塔 ，且点 ， ， 在同一条直线上．从地
面 处测得塔顶 的仰角为 ，测得塔底 的仰角为 ．已知通讯塔 的高度为 ，
求这座山 的高度（结果取整数）．
参考数据： ， ．
【分析】设 米，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的
长，然后在 中，利用锐角三角函数的定义列出关于 的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设 米，
在 中， ，
（米 ，
米，
米，
第13页（共18页）在 中， ，
，
，
经检验： 是原方程的根，
（米 ，
这座山 的高度约为112米．
23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓 ，超市离学生公
寓 ．小琪从学生公寓出发，匀速步行了 到阅览室；在阅览室停留 后，匀速步
行了 到超市；在超市停留 后，匀速骑行了 返回学生公寓．给出的图象反映
了这个过程中小琪离学生公寓的距离 与离开学生公寓的时间 之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学生公寓的时间 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离 0.5 0. 8 1.6
（Ⅱ）填空：
①阅览室到超市的距离为 ；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 ；
③当小琪离学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为 ．
（Ⅲ）当 时，请直接写出 关于 的函数解析式．
【分析】（Ⅰ）观察函数图象即可得答案；
（Ⅱ）①根据阅览室离学生公寓 ，超市离学生公寓 可得答案；
②用路程除以时间可得速度；
③分两种情况，分别可得小琪离学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间；
（Ⅲ）分段求出函数关系式即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行了 到达离学生公寓
的阅览室，
离开学生公寓的时间为 ，离学生公寓的距离是 ，
由图象可知：离开学生公寓的时间为 ，离学生公寓的距离是 ，
离开学生公寓的时间为 ，离学生公寓的距离是 ，
故答案为：0.8，1.2，2；
（Ⅱ）①阅览室到超市的距离为 ，
故答案为：0.8；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 ，
故答案为：0.25；
③当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为
；
当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为
第14页（共18页），
故答案为：10或116；
（Ⅲ）当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
．
24．（10分）将一个矩形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点
，点 在边 上（点 不与点 ， 重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点
，并与 轴的正半轴相交于点 ，且 ，点 的对应点 落在第一象限．设
．
（Ⅰ）如图①，当 时，求 的大小和点 的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形， ， 分别与边 相交于点 ， ，试用含
有 的式子表示 的长，并直接写出 的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为 ，则 的值可以是 3 或 （请直接写出两个不同
的值即可）．
【分析】（Ⅰ）过点 作 于点 ．解直角三角形求出 ， 即可；
（Ⅱ）解直角三角形求出 ，可得结论；
（Ⅲ）如图③中，当点 与 重合时，重叠部分是 ，过点 作 于点 ．判断出
当 时，重叠部分的面积是定值 ，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点 作 于点 ．
在 中， ，
第15页（共18页），
由翻折的性质可知 ， ，
，
， ，
，
， ；
（Ⅱ）如图②中，
，
，
，
．
，
，
，
；
（Ⅲ）如图③中，当点 与 重合时，重叠部分是 ，过点 作 于点 ．
在 中， ， ，
，
，
，
第16页（共18页），
观察图象可知当 时，重叠部分的面积是定值 ，
满足条件的 的值可以为3或 （答案不唯一）．
故答案为：3或 ．
25．（10分）已知抛物线 ， ， 是常数， 的顶点为 ，与 轴相交于点
和点 ．
（Ⅰ）若 ， ，
①求点 的坐标；
②直线 是常数， 与抛物线相交于点 ，与 相交于点 ，当 取得最
大值时，求点 ， 的坐标；
（Ⅱ）若 ，直线 与抛物线相交于点 ， 是 轴的正半轴上的动点， 是 轴的
负半轴上的动点，当 的最小值为5时，求点 ， 的坐标．
【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点 的坐标；
②求出直线 的解析式，设点 ，则 ，表示出 的长，可得关
于 的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
（Ⅱ）由 得 ， ，抛物线的解析式为 ．可得顶点 的坐标
为 ，点 的坐标为 ，作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于 轴的对称点
，得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，当满足条件的点 ， 落在直线
上时， 取得最小值，此时， 延长 与直线
相交于点 ，则 ．在 △ 中， ， ．由勾股定理
可得 ．解得 ， （舍 ．可得点 的坐标为
，点 的坐标为 ．利用待定系数法得直线 的解析式为 ．即
可得点 ， 的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）①若 ， ，
则抛物线 ，
抛物线 与 轴相交于点 ，
，解得 ，
抛物线为 ，
顶点 的坐标为 ；
②当 时， ，
解得 ， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
直线 是常数， 与抛物线相交于点 ，与 相交于点 ，
设点 ，则 ，
，
当 时， 取得最大值1，
此时，点 ，则 ；
第17页（共18页）（Ⅱ） 抛物线 与 轴相交于点 ，
，
又 ，
， ，
抛物线的解析式为 ．
，
顶点 的坐标为 ，
直线 与抛物线相交于点 ，
点 的坐标为 ，
作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于 轴的对称点 ，
得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
当满足条件的点 ， 落在直线 上时， 取得最小值，此时，
．
延长 与直线 相交于点 ，则 ．
在 △ 中， ， ．
．
解得 ， （舍 ．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
直线 的解析式为 ．
点 ， ，点 ．
第18页（共18页）
