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第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
1．随机试验与样本空间
具有下列三个特性的试验称为随机试验：
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；
(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；
(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．
试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用 表示，其中的每一个结果用 e 表示， e 称为样本空间中
{e}
的样本点，记作 ．
2．随机事件
在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随
机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作 )与不可能事件(记作 )
看作特殊的随机事件．
3．频率与概率的定义
(1) 频率的定义
n n f ( A)
设随机事件 A 在 n 次重复试验中发生了 A 次，则比值 A ／n 称为随机事件 A 发生的频率，记作 n ，即
n
f ( A) A
n n
.
(2) 概率的统计定义
f ( A)
在进行大量重复试验中，随机事件 A 发生的频率具有稳定性，即当试验次数 n 很大时，频率 n 在一个稳定
p p p P( A) p
的值 (0< <1)附近摆动，规定事件 A 发生的频率的稳定值 为概率，即 ．
(3) 古典概率的定义
具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：
{e , e , , e }
(i) 试验的样本空间 是个有限集，不妨记作 1 2 n ;
e i 1, 2, , n
(ii) 在每次试验中，每个样本点 i ( ）出现的概率相同，即
P({e }) P({e }) P({e })
1 2 n ．
在古典概型中，规定事件 A 的概率为
P( A)
A中所含样本点的个数 n
A
中所含样本点的个数 n
．
(4) 几何概率的定义
如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结 果的
出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为
P( A) A的长度（或面积、体积）
样本空间的的长度（或面积、体积）
·25.2 用列举法求概率
1、当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被关注的结果在全 部试
验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法．
2、列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法．但有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考 虑如
何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目.
3、利用列表法或树形图法求概率的关键是：①注意各种情况出现的可能性务必相同；②其中某一事件发生的
某一事件发生的次数
概率 ；③在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏；
各种情况出现的次数
4、用列表法或树形图法求得的概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波 动，
因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率。
25.3 用频率估计概率
在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率。事件
发生的频率与概率既有区别又有联系：事件发生的频率不一定相同，是个变数，而事件发生的概率是个常数；但它 们
之间又有密切的联系，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率。
在具体操作过程中，大家往往发现：虽然多次试验结果的频率逐渐稳定于概率，但可能无论做多少次试验，
两者之间存在着一定的偏差。应该注意：这种偏差的存在是经常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影 响，
通过试验得到的估计结果往往不太理想，甚至有可能出现极端情况，此时我们应正确地看待这样的结果并尝试 着对结果
进行合理的解释。对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。
在实际应用中，当试验次数越大时，出现极端情况的可能性就越小。因此，我们常常通过做大量重复试验来 获
得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。试验次数越多，得到的估计结果就越可靠。
