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第二十二章 二次函数
二次函数及其图象
二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数
可以表示为 y=ax2+bx+c(a 不为 0)。其图象是一条主轴平行于 y 轴的抛物线。
一般的，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c 为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ；
顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k 为常数)或 y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k 为常数)，顶点坐
标为（h，k）对称轴为 x=h，顶点的位置特征和图象的开口方向与函数ｙ＝ax２的图象相同，
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；
交点式
y=a(x-x)(x-x) [仅限于与 x 轴有交点 A（x，0）和 B（x，0）的抛物线] ；
1 2 1 2
重要概念：a，b，c 为常数，a≠0，且 a 决定函数的开口方向，a>0 时，开口方向向上，
a<0 时，开口方向向下。a 的绝对值还可以决定开口大小,a 的绝对值越大开口就越小,a 的绝
对值越小开口就越大。
在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x2 的平方的图象，
可以看出，二次函数的图象是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图象
如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
轴对称
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0 时，抛物线的
对称轴是 y 轴（即直线 x=0）
顶点
2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ，4ac-b2)/4a )
当-b/2a=0 时，P 在 y 轴上；当Δ= b2-4ac=0 时，P 在 x 轴上。
开口
3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。
当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素
4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。
当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于
0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a 要大于 0，所以 a、b 要同号
当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于
0，也就是- b/2a>0, 所以 b/2a 要小于 0，所以 a、b 要异号
可简单记忆为左同右异，即当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；当 a
与 b异号时
（即 ab＜ 0 ），对称轴在 y 轴右。
事实上，b 有其自身的几何意义：抛物线与 y 轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式
（一次函数）的
斜率 k 的值。可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与 y 轴交点的因素
5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。
抛物线与 y 轴交于（0，c）
抛物线与 x 轴交点个数
6.抛物线与 x 轴交点个数
Δ= b2-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。 Δ= b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有
1 个交点。
Δ= b2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点。
当 a>0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最小值,当 a<0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最大
值当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴，
7.特殊值的形式
①当 x=１时 y=a+b+c ②当 x=-1 时 y=a-b+c ③当 x=2 时 y=4a+2b+c
④当 x=-2 时 y=4a-2b+c
用函数观点看一元二次方程
y ax 2 bx c x x x
1. 如果抛物线 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 0，那么当 0时，
函数的值是 0，因此 x x 0 就是方程ax 2 bx c 0 的一个根。
2. 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共
点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实
数根。
实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求 二次
函数的最大值或最小值。
