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期末选优拔尖测试卷
（120分，120分钟）
一、选择题（每题3分，共36分）
1.已知x－ =3，则4－ x2+ x的值为（ ）
A.1 B. C. D.
2（. 吉林长春）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴
向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y= x上，则点B与其对应点
B′间的距离为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
图1
3.如图2的几何体的左视图是图3中的（ ）
图2 图3 图4
4〈. 山东临沂〉如图4，在平面直角坐标系中，点A ，A 在x轴上，点B ，B 在y轴
1 2 1 2
上，其坐标分别为A (1，0)，A (2，0)，B (0，1)，B (0，2)，分别以A ，A ，B ，B 其中的
1 2 1 2 1 2 1 2
任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
5〈. 浙江绍兴〉教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升
10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x
1 / 18（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动
开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x
（min）的关系如图5，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，
则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）
A.7：20 B.7：30 C.7：45 D．7：50
图5
6.〈山东威海〉如图6，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，
反比例函数y = 的图象经过点A，反比例函数y = 的图象经过点B，则下列关
1 2
于m，n的关系正确的是（ ）
A.m=－3n B.m=－ n C.m=－ n D.m= n
图6
7.如图7，有两个可以自由转动的转盘（每个转盘均被等分），同时转动这两个转
盘，待转盘停止后，两个指针同时指在偶数上的概率是（ ）
A. B. C. D.
图7
8.〈山东滨州〉如图8，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接
2 / 18AD，BD，则下列结论：
①AD=BC；②BD，AC互相平分；③四边形 ACED是菱形.其中正确的个数是
（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
图8 图9
9.如图9是某几何体的三视图，则组成该几何体的小方块块数为（ ）
A.12块 B.9块 C.7块 D.6块
10.〈青海西宁〉已知函数y=kx+b的图象如图10所示，则一元二次方程x2+x+k－
1=0根的存在情况是（ ）
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
图10 图11
11〈. 山东菏泽，有改动〉如图11，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个
小正方形的面积分别为S ，S ，则S +S 的值为（ ）
1 2 1 2
A.16 B.17 C.18 D.19
12.根据如图12所示的程序，得到了y与x的函数图象（如图13），过y轴正半轴
上一点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ，则以下结论：①x＜0时，y=
；②△OPQ的面积为定值；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；
3 / 18⑤∠POQ可以等于90°，其中正确的是（ ）
A.①②④ B.②④⑤
C.③④⑤ D.②③⑤
图12 图13
二、填空题（每题4分，共24分）
13.〈湖北随州〉如图14，点D，E分别在AB，AC上且∠ABC=∠AED，若DE=4，
AE=5，BC=8，则AB的长为 .
14.关于x的方程ax2－(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x 、x ，且有x +x －
1 2 1 2
x ·x =1－a，则a= .
1 2
图14 图15
15.如图15，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点
D，作DF⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应
点记为A ，AD的中点E的对应点记为E .若△E FA ∽△E BF，则AD= .
1 1 1 1 1
16.小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别写有数字
1，2，3，4，5，6），记甲立方体朝上一面的数字为x，乙立方体朝上一面的数字为y，
这样就确定P的一个坐标（x，y），则点P落在双曲线y= 上的概率为
.
17.如图16，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接
4 / 18BF与DE，相交于点G，连接CG，与BD相交于点H，下列结论①△AED≌△DFB；
②S
四边形BCDG
= CG2；③若AF=2FD，则BG=6GF，其中正确的有 （. 填序
号）
图16 图17
18〈. 辽宁铁岭〉如图17，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴
所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交l于点B，过点B作直线l的垂线
交y轴于点A ，以A B，BA为邻边作平行四边形ABA C ；过点A 作y轴的垂线交
1 1 1 1 1
直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交y轴于点A ，以A B ，B A 为邻边作平行
1 1 2 2 1 1 1
四边形A B A C ；…；按此作法继续下去，则C 的坐标是 .
1 1 2 2 n
三、解答题（每题10分，共60分）
19.某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法
从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结
果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图18所示的两幅不完整的统计图（要求每位
学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
图18
（1）九（1）班的学生人数为_____，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m=____，n=____，表示“足球”的扇形的圆心角是_____度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加
学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的
5 / 18概率．
20.如图19，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且
AB=DE，∠A=∠D，AF=DC.
（1） 求证：四边形BCEF为平行四边形.
图19
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF为菱形？
21.已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程：x2－mx+ －
=0的两个实数根，
（1）当m为何值的，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）当AB=2时，平行四边形ABCD的周长是多少？
22.如图20所示，不透明圆锥DEC放在水平面上，在A处灯光照射下形成影子，
6 / 18设BP过圆锥底面的圆心，已知圆锥的高为2 m，底面半径为2 m，BE=4 m.
（1）求∠B的度数；
图20
（2）若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度（答案用含根号的式子表示）.
23〈. 四川绵阳〉“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具
某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自
行车64辆，3月份销售了100辆.
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出
多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的
自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1 000
元/辆，售价为1 300元/辆.根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过
B型车的2.8倍.假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
7 / 1824.（1）请在图21①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图21②，M是正方形ABCD内一定点，请在图21②中作出两条直线（要求
其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
图21
（3）如图21③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如
果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四
边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理
由．
参考答案及点拨
8 / 18一、1.D 点拨：由x－ =3得：x2－3x=1，∴4－ x2+ x=4－ (x2－3x)=4－ ×1=
.
2. B 3.B
4. D 点拨：所作的三角形共有4个，△OA B ，△OA B ，△OA B ，△OA B ，其中
1 1 1 2 2 2 2 1
等腰三角形有2个，△OA B ，△OA B ，所以所作三角形是等腰三角形的概率为
1 1 2 2
= .
5. A 点拨：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7 min，设一
次函数关系式为：y=k x+b，将（0，30），（7，100）代入y=k x+b得k =10，b=30，
1 1 1
∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；设反比例函数关系式为：y= ，将（7，
100）代入y= 得k=700，∴y= ，将y=30代入y= ，解得x= ；∴y=
（7＜x≤ ），令y=50，解得x=14．所以，饮水机的一个循环周期为
min．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤ 时间段内，水温不超过50℃．逐一
分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85 min．85－ ×3=15，位于14≤x≤ 时间段内，故
可行；选项B：7：30至8：45之间有75 min．
9 / 1875 min－ ×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤ 时间段内，故不可行；选项C：7：45至
8：45之间有60 min．60－ ×2= ≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤ 时间段内，
故不可行；选项D：7：50至8：45之间有55 min．55－ ×2= ≈8.3，不在
0≤x≤2及14≤x≤ 时间段内，故不可行．综上所述，四个选项中，唯有7：20符合
题意．故选A．
6. A 点拨：∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，∴OB= AB，又OA2+OB2=AB2，∴ =
.作BE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F，
∵∠BOE+∠AOF=90°，∠OBE+∠BOE=90°，∴∠AOF=∠OBE，∴△OBE∽△AOF，∴
= = = .设B ，A ，
则BE= ，OF=x ，OE=－x ，AF= ，
A B
即 = = ，∴ = ， = ，
∴ － = · = ， ∴m=－3n，故选A.
10 / 187. B
8. D 点拨：AD ∥ BC，AD ＝ BC， AD∥CE，AD＝CE，∴四边形ABCD、四边形
ACED都是平行四边形，又△ABC是等边三角形，∴AC=BC=CE.∴平行四边形
ACED为菱形，故①②③全正确.
9. D 点拨：组成该几何体的块数为1+2+3=6（块）.故选D.
10. C 点拨：Δ=1－4(k－1)=5－4k.又由函数y=kx+b的图象可知k＜0，∴5－4k＞
0，∴x2+x+k－1=0有两个不相等的实数根，故选C.
11. B 点拨：∵大正方形的边长为6，∴面积为S 的正方形的边长为3.∴S =9，设
1 1
面积为S 的正方形的边长为x，则 = ，
2
∴x=2 .∴S =(2 )2=8.∴S +S =9+8=17.故选B.
2 1 2
12. B
二、13. 10 点拨：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴ = ，
∴ = ，∴AB=10.
14. －1 点拨：x +x = ，x ·x = ，∴ － =1－a，∴a2－1=0，
1 2 1 2
∴a=±1，Δ=［－(3a+1)］2－4a·2(a+1)＞0即（a－1）2＞0，∴a≠1，∴a=－1.
15. 点拨：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴AC=8.设AD=x，由△ADF∽△ACB，
得 = ， ∴ DF= x ， 当 △ E FA ∽△E BF 时 ， E F2=E A ·E B. 即
1 1 1 1 1 1 1
FD2+DE2=E A ·E B，∴
1 1 1
（ x）2+( x)2= x·(10－ x)，∴x= .
11 / 1816. 点拨：等可能出现的情况共有36种，其中xy=6的有4种（1，6；2，3；3，2；
6，1），∴P= = .
答图1
17. ①②③ 点拨：在菱形ABCD中，AB=BD，∴△ABD和△BCD都为等边三角形
又AE=DF，∴△AED≌△DFB，如答图1，作∠BCM=∠DCG，交GB的延长线于M，
易知△DCG≌△BCM.∴△GCM为等边三角形，∴S
四边形BCDG
=S
三角形GCM
= CG2;作
EN∥AD，交BF于N. ∵AF=2FD，DF=AE，∴BE=2AE.∴ = = ，∴
= = ，又 = ，∴ = ，∴BG=6GF，故①②③都正确.
18（. － ×4n－1，4n） 点拨：此题运用数字归纳法.∵直线l经过原点，且与y轴正
半轴所夹的锐角为60°，∴易求出直线l对应的函数关系式为y= x．∵AB⊥y轴
点A（0，1），∴可设B点坐标为（x ，1），将（x ，1）代入y= x，得1= x ，解得
B B B
x = ，∴B点坐标为（ ，1），AB= ．在Rt△A AB中，∠AA B=90°－60°=30°，
B 1 1
12 / 18∠A AB=90°，
1
∴A B=2AB=2 ， ∴ AA = = =3 ，
1 1
OA =OA+AA =1+3=4，∵平行四边形ABA C 中，A C =AB= ，∴C 点的坐标为
1 1 1 1 1 1 1
（－ ，4），即（－ ×40，41）；由 x=4，解得x=4 ，∴B 点的坐标为（4 ，
1
4），A B =4 ．在Rt△A A B 中，∠A A B =30°，∠A A B =90°，∴A B =2A B =8
1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1
，∴A A = = =12，OA =OA +A A =4+12=16，∵
1 2 2 1 1 2
平行四边形A B A C 中，A C =A B =4 ，∴C 点的坐标为（－4 ，16），即（－
1 1 2 2 2 2 1 1 2
×41，42）；同理，可得C 点的坐标为（－16 ，64），即（－ ×42，43）；以此类
3
推，则C 的坐标是（－ ×4n－1，4n）．
n
故答案为（－ ×4n－1，4n）．
三、19. 解：（1）40，如答图2：
答图2
(2)10;20；72；（3）列表如下：
第二 男1 男2 男3 女
次
第一次
男1 男1男2 男1男3 男1女
13 / 18男2 男2男1 男2男3 男2女
男3 男3男1 男3男2 男3女
女 女男1 女男2 女男3
从上表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性均相同，
其中1男1女的结果有6种，∴P（1男1女）= = .点拨：条形图和扇形图相结
合，由篮球人数为12，篮球占30%，即可求出总人数，进而可求出足球的人数和排
球和足球所占的百分比及足球在扇形统计图中所占的圆心角度数.（3）4名学生
中抽取2名实际上是两次试验，是抽出不放回的概率模型问题.
20.（1）证明：∵AF=CD，
∴AC=DF.
又∠A=∠D，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE.
∴BC∥EF.
∴四边形BCEF为平行四边形.
（1） 解：连接BE交CF于G.
若四边形BCEF为菱形，则有BE⊥CF，FG=CG，
又∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=5.又∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG.
∴△ABC∽△BGC，
∴ = ，即 = .
∴CG= .∴FC=2CG= .
∴AF=AC－FC=5－ = .
14 / 18故当AF= 时，四边形BCEF为菱形.
点拨：当AF为何值时，四边形BCEF为菱形，我们可以把四边形BCEF为菱形作
为条件去求AF的值.这也是我们解决探究问题的一个常用方法.
21. 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD.
又∵Δ=m2－4（ － ）=m2－2m+1=(m－1)2.
∴当(m－1)2=0，即m=1时，四边形ABCD是菱形.
把m=1代入x2－mx+ － =0得x2－x+ =0，∴x =x = .
1 2
∴菱形ABCD的边长为 .
（2） 把x=2代入x2－mx+ － =0得4－2m+ － =0，
解得m= .把m= 代入x2－mx+ － =0得x2－ x+1=0，
解得x =2，x = ∴AD= .
1 2
∵四边形ABCD为平行四边形.
∴平行四边形ABCD的周长为2 （2+ ）=5.
点拨：把平行四边形的边长与一元二次方程的根相联系，那么平行四边形的性质
和一元二次方程根的性质都要掌握.首先平行四边形变为菱形，各边相等，那么一
元二次方程就有两个相等的实数根.对于（2）就是已知一元二次方程的一根再求
另一根.
22. 解：（1）圆锥的高DO=2 m.
15 / 18在Rt△DOB中，OB=BE+EO=4+2=6(m).
∴BD2=BO2+DO2=62+(2 )2=48.
∴BD=4 m，则BD=2DO.
∴∠B=30°.
（3） 过A作AF⊥BP于F.
∵∠ACP=∠B+∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠BAC=30°.
∴AC=BC=BE+EC=8(m).
在Rt△ACF中，∠CAF=90°－∠ACP=90°－2∠B=30°.
∴CF= AC=4(m).
∴AF= = =4 (m).
故光源A距水平面的高度为4 m.
点拨：投影问题在本题中转化为在直角三角形中求角度和边长的问题，通过作高，
构造直角三角形，应用直角三角形中边、角之间的关系去求值.
23. 解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x ，
根据题意列方程：64（1+x）2 =100 ，
解得x =－225%（不合题意，舍去）， x = 25%.
1 2
100×(1+25%)=125(辆).
答：该商城4月份卖出125辆自行车.
（2）设进B型车x辆，则进A型车 辆，
根据题意得不等式组2x≤ ≤2.8x ，
解得 12.5≤x≤15，自行车辆数为整数，
所以13≤x≤15，
16 / 18设销售利润为W元，
则W=（700－500）× +（1 300－1 000）x .
整理得：W=－100x+12 000，
∵ W随着x的增大而减小，
∴ 当x=13时，W有最大值，此时， =34，
所以该商城应进A型车34辆，B型车13辆.
点拨：方程、不等式（组）、一次函数相结合的问题，除了要考虑数学知识之间的融
会贯通之外，还应考虑它们所表示的实际问题的意义，如舍去负根，不等式组的
正整数解，根据一次函数的性质求最大利润等.
24. 解：（1）如答图3①.
答图3
（4） 如答图3②.理由如下：
∵点O是正方形ABCD的对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心，
∴AP=CQ，EB=DF，在△AOP和△EOB中，
∵∠AOP=90°－∠AOE，∠BOE=90°－∠AOE，
∴∠AOP=∠BOE，∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，
∴△AOP≌△BOE，∴AP=BE=DF=CQ，
设O到正方形ABCD一边的距离为d，
则 （AP+AE）d= （BE+BQ）d= （CQ+CF）d= （PD+DF）d，∴S =S
四边形AEOP 四
=S =S ，
边形BEOQ 四边形CQOF 四边形DPOF
∴直线EF、OM将正方形ABCD面积四等分；
17 / 18答图4
（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分.
理由如下：如答图4，延长BA至点E，使AE=b，延长CD至点F，使DF=a，连接
EF.
∴BE∥CF，BE=CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∵BC=BE=a+b，
∴平行四边形BCFE为菱形.连接BF交AD于点M，
则△MAB≌△MDF，
∴AM=DM.即点P、M重合.
∴点P是菱形EBCF对角线的交点，
在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a.
设点P到菱形EBCF一边的距离为d.连接CP，
∴S +S = (AB+BQ)d= (CQ+CD)d=S +S ，
△ABP △QBP △CQP △CDP
即S =S .
四边形ABQP 四边形PQCD
∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.
18 / 18
