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第二十一章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2＋2＝x(x＋1) B．x2＋＝3
C．x2＋2x＝y2－1 D．3(x＋1)2＝2(x＋1)
2．如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
3．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
4．方程x2－4x＋9＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．无实根 D．以上三种情况都有可能
5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为( )
A．12 B．12或9 C．9 D．7
6．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、
列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行(或列)，则列方程
得( )
A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40
C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40
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(第7题)
7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2
＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长为( )
A．4＋2 B．12＋6C．2＋2 D．2＋或12＋6
8．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函
数y＝kx＋b的大致图象可能是( )
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9．在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则
OP的长为( )
A. B．1 C．5 D.或1
10．如图，某小区规划在一个长为40 m，宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条
同样宽的路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草坪，
若使每块草坪(阴影部分)的面积都为144 m2，则路的宽为( )
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(第10题)
A．3 m B．4 m
C．2 m D．5 m
二、填空题(每题3分，共30分)
11．方程(x－3)2＋5＝6x化成一般形式是__________________，其中一次项系数
是________．
12．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长为________________．
13．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 019的值为
________．
14．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为
________．
15．已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝
1 2
10，则a＝________．
16．对于任意实数a，b，定义f(a，b)＝a2＋5a－b，如f(2，3)＝22＋5×2－3，若f(x，2)
＝4，则实数x的值是________．
17．下面是某同学在一次测试中解答的填空题：①若x2＝a2，则x＝a；②方程2x(x
－2)＝x－2的解为x＝；③已知x ，x 是方程2x2＋3x－4＝0的两根，则x ＋x
1 2 1 2
＝，x x ＝－2.其中错误的答案序号是__________．
1 2
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等
的实数根，则△ABC是______三角形．
19．若x2－3x＋1＝0，则的值为________．
20．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，一面利
用墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24 m．当围成的花圃面积为40 m2时，平
行于墙的边BC的长为________m.
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(第20题)
三、解答题(21、26题每题12分，22、23题每题8分，其余每题10分，共60分)
21．用适当的方法解下列方程：
(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0； (2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；(3)x2－2x－2＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.22.已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.
(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？请说明理由．
23．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3.
(1)求a的值及方程的另一个根；
(2)如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．
24．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x ，x .
1 2
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两实根x ，x 满足|x |＋|x |＝x ·x ，求k的值．
1 2 1 2 1 225．为了贯彻党中央、国务院关于倡导开展全民阅读的重要部署，落实《关于实施
中华优秀传统文化传承发展工程的意见》．某社区鼓励居民到社区阅览室借
阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2015
年图书借阅总量是7 500本，2017年图书借阅总量是10 800本．
(1)求该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率；
(2)已知2017年该社区居民借阅图书人数有1 350人，预计2018年达到1 440人．
如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年
平均增长率，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a的值至少是
多少？
26．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q
分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止点Q以2 cm/s的速度向点D移动．问：
(1)P，Q两点出发多长时间后，四边形PBCQ的面积是33 cm2?
(2)P，Q两点出发多长时间后，点P与点Q之间的距离是10 cm?
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MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\19秋\\初中\\9R典中点\
\MQ98.tif" \* MERGEFORMATINET (第26题)答案
一、1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D
7．A 8.B 9.B 10.C
二、11.x2－12x＋14＝0；－12
12．6或10或12
13．－1 点拨：将x＝1代入方程x2＋ax＋b＝0，得1＋a＋b＝0，∴a＋b＝－
1，∴(a＋b)2 019＝－1.
14．4
15. 点拨：由根与系数的关系，得x ＋x ＝5，x ·x ＝a.由x－x＝10得，(x ＋x )
1 2 1 2 1 2
(x －x )＝10，∴x －x ＝2，∴(x －x )2＝(x ＋x )2－4x ·x ＝25－4a＝4，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴a＝.
16．－6或1 17.①②③ 18.直角
19. 点拨：由已知x2－3x＋1＝0得x2＝3x－1，则＝＝＝＝＝＝.
20．4
三、21.解：(1)原方程可化为(x－4)(x＋5)＝0，
∴x－4＝0或x＋5＝0，
解得x＝4或x＝－5.
(2)原方程可化为(2x＋1＋2)2＝0，
即(2x＋3)2＝0，
解得x ＝x ＝－.
1 2
(3)∵a＝1，b＝－2，c＝－2，
∴Δ＝4－4×1×(－2)＝12＞0，
∴x＝＝＝1±.
∴x ＝1＋，x ＝1－.
1 2
(4)原方程化为一般形式为y2－2y＝0.
因式分解，得y(y－2)＝0.
∴y ＝2，y ＝0.
1 2
22．(1)证明：在关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，
Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．
(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.
∵方程的两个根互为倒数，
∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.
∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．
23．解：(1)将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0中，得9(a－1)－12－1＋
2a＝0，解得a＝2.
将a＝2代入原方程中得x2－4x＋3＝0，
因式分解得(x－1)(x－3)＝0，
∴x ＝1，x ＝3.
1 2
∴方程的另一个根是x＝1.
(2)∵三角形的三边长都是这个方程的根．
∴①当三边长都为1时，周长为3；
②当三边长都为3时，周长为9；
③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；
④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，∴不能
构成三角形．故三角形的周长为3或9或7.
24．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，
解得k＞.
(2)∵k＞，∴x ＋x ＝－(2k＋1)＜0.
1 2
又∵x ·x ＝k2＋1＞0，∴x ＜0，x ＜0，
1 2 1 2
∴|x |＋|x |＝－x －x ＝－(x ＋x )＝2k＋1.
1 2 1 2 1 2
∵|x |＋|x |＝x ·x ，∴2k＋1＝k2＋1，解得k ＝0，k ＝2.
1 2 1 2 1 2
又∵k＞，∴k＝2.
25．解：(1)设该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率为x，
根据题意，得7 500(1＋x)2＝10 800，
即(1＋x)2＝1.44，
解得x ＝0.2＝20%，x ＝－2.2(舍去)．
1 2
因此该社区从2015年至2017年图书借阅总量的年平均增长率为20%.
(2)10 800×(1＋0.2)＝12 960(本)，
10 800÷1 350＝8(本)，12 960÷1 440＝9(本)．
(9－8)÷8×100%＝12.5%.
故a的值至少是12.5.
26．解：(1)设P，Q两点出发x s后，四边形PBCQ的面积是33 cm2，则由题意
得(16－3x＋2x)×6×＝33，解得x＝5.即P，Q两点出发5 s后，四边
形PBCQ的面积是33 cm2.
(2)设P，Q两点出发t s后，点P与点Q之间的距离是10 cm，过点Q
作QH⊥AB于点H.在Rt PQH中，有(16－5t)2＋62＝102，解得t ＝
1
1.6，t ＝4.8.即P，Q两点出发1.6 s或4.8 s后，点P与点Q之间的
2 △
距离是10 cm.
