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江西中考必考题型强化训练专题：
解直角三角形应用与特殊几何图形的综合
类型一 与特殊平行四边形的综合
1．如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，四边形ABCD为形如矩形的
旅行箱一侧的示意图，F为AD的中点，EF∥CD.现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一
端点D靠在墙上，O为墙角，图②为箱子打开后的示意图．箱子厚度AD＝30cm，宽度AB＝
50cm.
(1)图②中，EC＝________cm，当点D与点O重合时，AO的长为________cm；
(2)若∠CDO＝60°，求AO的长(结果取整数值，参考数据：sin60°≈0.87，cos60°＝0.5，
tan60°≈1.73，可使用科学计算器)．
类型二 与特殊三角形的综合
2．(2016·江西中考)如图①是一副创意卡通圆规，图②是其平面示意图，OA是支撑臂，
OB是旋转臂．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB
＝10cm.
(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径(结果精确到0.01cm)；
(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与
(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到 0.01cm，参考数据：
sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)．
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3．(2017·江西模拟)探索发现
(1)数学课上，老师出了一道题：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝22.5°，请你在
图①中，构造一个合适的等腰直角三角形，并求出tan22.5°的值(结果可带根号)；
学以致用
(2)如图②，厂房屋顶人字架(AB＝BD)的跨度为10米(即AD＝10米)，∠A＝22.5°，BC是
中柱(C为AD的中点)，请运用(1)中的结论求中柱BC的长(结果可带根号)．
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参考答案与解析
1．解：(1)15 100 解析：根据图①，EF∥AB∥CD，F为AD的中点，∴DF＝AF，∴EC＝
EB＝BC＝AD＝15cm.根据图②，当点D与点O重合时，BO＝CD.∵CD＝AB＝50cm，∴AO＝
AB＋BO＝AB＋CD＝50＋50＝100(cm)．
(2)过点C作OA的平行线，分别交BE和OD于H，G.∵EB⊥OA，OD⊥OA，又∵∠O＝
90°，∴四边形BOGH是矩形．∴BO＝HG＝HC＋CG.∵∠CGD＝∠ECD＝90°，∠CDO＝
60°，∴∠DCG＝90°－∠CDG＝30°，∴∠ECH＝180°－∠ECD－∠DCG＝180°－90°－30°＝
60°.在Rt△CDG和Rt△ECH中，CD＝50cm，EC＝15cm，∴HC＝EC·cos∠ECH＝7.5cm，CG
＝CD·sin∠CDG≈50×0.87＝43.5(cm)，∴AO＝AB＋BO＝AB＋HC＋CG≈101cm.
2．解：(1)作OC⊥AB于点C，如图②所示．∵OA＝OB＝10cm，∠OCB＝90°，∠AOB＝
18°，∴∠BOC＝9°，∴AB＝2BC＝2OB·sin9°≈2×10×0.1564≈3.13(cm)，即所作圆的半径约
为3.13cm.
(2)作AD⊥OB于点D，在OB上取点E，使AE＝AB，如图③所示，易知BE＝2BD.∵保持
∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆
的大小相等，∴折断的部分为 BE.在 Rt△AOD 中，∵∠AOB＝18°，∴OD＝
AO·cos18°≈9.511cm，∴BD＝OB－OD≈0.489cm，∴BE＝2BD≈0.98cm，即铅笔芯折断部分
的长度约是0.98cm.
3．解：(1)设BC＝x，在AC 上截取CE＝BC＝x，连接BE.∵∠C＝90°，∴∠BEC＝
45°.∵∠A＝22.5°，∴∠ABE＝22.5°，∴AE＝BE＝x，∴AC＝x＋x，∴tan22.5°＝＝－1.
(2)∵AB＝BD，∴△ABD为等腰三角形．∵C为AD的中点，∴AC＝CD＝5米，BC⊥AD.
在Rt△ABC中，BC＝AC·tan22.5°＝(5－5)米．
答：中柱BC的长为(5－5)米．
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