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湘教九年级数学(下册) ．某款 不倒翁 图 的平面示意图如图 PAPB分别与 ．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意
８ “ ”( ①) ②, , １４
期中综合检测卷 A︵MB所在圆相切于点A B．若该圆的半径是 P
, ９cm,∠ ＝ 图 已知抛物线的表达式为y １x２ 为保护廊桥的安全
则A︵MB的长是 , ＝－
４０
＋１０, ,
４０°, (A )
(考查范围:第 章至第 章) 在该抛物线上到水面AB的高为 的点EF处安装两盏警示
１ ２ ８m ,
１１ ７
考试时间: 分钟 满分: 分 A．１１πcm B．πcm C．７πcm D．πcm 灯 则这两盏警示灯的水平距离EF是 ．
１２０ １２０ ２ ２ , ８５ m
一、选择题 每小题 分 共 分 每小题的四个选项中只有一 ．如图 在半径为 的扇形OAB中 AOB C是A︵B上一
( ３ , ３０ ; １５ , ５ ,∠ ＝９０°,
项是正确的 点 CD OACE OB 垂足分别为DE．若CD CE 则图中
) , ⊥ , ⊥ , , ＝ ,
．下列函数中 是二次函数的是
１ , (B ) 阴影部分的面积为 ２５ ．
π
y x y x２ x ８
A．＝ －２ B．＝ ＋２ －１
．已知二次函数的表达式为y x２ hx h 当 x
１６ ＝－ ＋２ － , －１≤ ≤１
C
y
．＝x
３
D
y
．＝x
２
２
第
８
题图 第
９
题图
时 函数有最大值n 则n的最小值是 １ ．
, , －
２ ．抛物线y ＝－３( x －２) ２ ＋５ 的对称轴是 (A ) ９ ．二次函数y ＝ ax２ ＋ bx ＋ c ( a ≠０) 的图象如图所示 , 则下列 三、解答题 本大题共 小题 共 分 ４
直线x 直线x 结论中正确的是 ( ８ , ６６ )
A． ＝２ B． ＝－２
(D )
．本题满分 分 已知抛物线y ax２ x a经过点C
直线x 直线x c b １７( ６ ) ＝ －２ ＋３ (３,６),
A．＞－１ B．＞０
C． ＝５ D． ＝－５ 求a的值及该抛物线的顶点坐标．
．如图 四边形ABCD是 O的内接四边形 若 C 则 a b a c b
３
∠ A
,
的度数是
☉ , ∠ ＝１２
(
０°
B
,
) １０
C
．如
．２
图
＋
①,
≠
A
０
是 ☉ O上一定点 ,
D
圆
．９
上
＋
一动
＞
点
３
P从圆上另一定
解
解 : 得
把
a
C
(３ ． ,６)
代入 y
＝
ax２
－２
x
＋３
a
,
得
６＝９
a
－６＋３
a
,
点B出发 沿逆时针方向向点A运动 运动时间是x 线
＝１
, , s,
A．３０° B．６０° C．７０° D．８０°
段AP的长度是y ．图 是y随x变化的关系图象 则
把a
＝１
代入 y
＝
ax２
－２
x
＋３
a
,
cm ② ,
点P的运动速度是 得 y ＝ x２ －２ x ＋３＝( x －１) ２ ＋２,
(C )
所以该抛物线的顶点坐标为 ．
(１,２)
A．１cm/s
第 题图 第 题图 第 题图 B．２cm/s
３ ５ ７
４ ．一条抛物线的形状 、 开口方向与抛物线y ＝４ x２ 相同 , 顶点 C． π cm/s
２
坐标为 则其表达式为 ．本题满分 分 已知 如图 在 OAB 中 OA OB O 与
(－２,１), (D ) １８( ６ ) : , △ , ＝ ,☉
３π
A y ．＝４( x －２) ２ ＋１ B y ．＝４( x ＋２) ２ －１ D． ２ cm/s AB相切于点C．求证 : AC ＝ BC．
二、填空题 每小题 分 共 分 小明同学的证明过程如下框
C y ．＝－４( x ＋２) ２ ＋１ D y ．＝４( x ＋２) ２ ＋１ ( ４ , ２４ ) :
５ ．如图 ,△ ABC内接于 ☉ O , AD是 ☉ O的直径 ,∠ ABC ＝２５°, １１ ．若 ☉ O的半径为 ５, 点O到直线l的距离为d , 且直线l与
则
∠
CAD的度数是
(C ) ☉
O相交
,
则d
＜ ５
．
(
填
“＞”“＜”
或
“＝”)
．若y mxm２ －２ 是二次函数 且函数图象的开口向上 则m
１２ ＝ , ,
A．２５° B．６０° C．６５° D．７５°
６ ．关于二次函数y ＝( x ＋２) ２ 的图象 , 下列说法正确的是 (B ) 的值为 ２ ．
开口向下 ．如图 ABC的内心为点O BOC 则 A的度数
１３ ,△ ,∠ ＝１１０°, ∠
A．
是 ． 最低点是
４０° B． (－２,０)
对称轴是直线x
C． ＝２
对称轴的左侧部分是上升的
D．
．如图 在平面直角坐标系中 M与x轴相切于点A 与y轴交
７ , ,☉ ,
于BC两点 点M的坐标为 则点B的坐标为
, , (３,５), (D )
． 第 题图 第 题图 第 题图
A．(０,５) B．(０,７) C．(０,８) D(０,９) １３ １４ １５
数学 ８９ 湘教九年级·下册
－ －
证明:如图,连接OC．OA OB, A B． ∵ ＝ ∴∠ ＝∠
又 OC OC, OAC OBC, AC BC．
∵ ＝ ∴△ ≌△ ∴ ＝
小明的证法是否正确 若正确 请在框内打 若错误 请写
? , “√”; ,
出正确的证明过程．
解 证法错误．正确的证明过程如下
: :
如图 连接OC．
,
O与AB相切于点C
∵☉ ,
OC AB．
∴ ⊥
OA OB AC BC．
∵ ＝ ,∴ ＝
．本题满分 分 如图 A为 E上一点 请用尺规作出 求每盒肉粽和豆沙粽的进价 ．本题满分 分 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y ax２
１９( ６ )(１) , ☉ , (１) ; ２４( １２ ) , , ＝ ＋
E的内接正方形ABCD 只保留作图痕迹 不要求 在销售中 某商家发现当每盒肉粽售价为 元时 每天 ax 与x轴交于点A Bx 与y轴交于点C．经
☉ ;( , (２) , ５０ , ２ ＋４ (－４,０), (２,０),
写出作法 可售出 盒 若每盒售价每提高 元 则每天少售出 过点B的直线y kx b与y轴交于点D 与抛物线交于
) １００ , １ , ＝ ＋ (０,２),
若 E的半径为 求正方形的边长． 盒．设每盒肉粽售价为a元 每天销售肉粽的利润为 点E．
(２) ☉ ２, ２ ,
解 如图 正方形ABCD即为所求． w元 求该商家每天销售肉粽获得的最大利润． 求抛物线的表达式及BC两点的坐标
:(１) , , (１) , ;
四边形ABCD是正方形
(２)∵ , 解 设每盒肉粽的进价为x元 每盒豆沙粽的进价为y元． 若P为抛物线的对称轴上的动点 当 AEP 的周长最小
AE BE AEB ． :(１) , (２) , △
∴ ＝ ,∠ ＝９０° {x y
∵☉
E的半径为
２,
由题意
,
得
x
－
y
＝１０, 解得x
＝４０,
y
＝３０
． 时
,
求点P的坐标
;
＋２ ＝１００,
∴ 根据勾股定理 , 易得AB ＝２２, 即正方形的边长为 ２２ ． 所以每盒肉粽的进价为 ４０ 元 , 每盒豆沙粽的进价为 ３０ 元． (３) 若M 是直线BE上的动点 , 过点M 作MN ∥ y轴交抛物线
２０ ． ( 本题满分 ８ 分 ) 已知二次函数y ＝ x２ －２ mx ＋ m２ －１( m (２) 由题意 , 得w ＝( a －４０)[１００－２( a －５０)]＝－２ a２ ＋２８０ a －８０００＝ 于点N , 判断是否存在点M , 使以M , N , C , D 为顶点的四
是常数
)
． －
因
２
为
( a －７０)２ ＋
所
１
以
８０
当
０
a
．
时 w取最大值 ．
边形是平行四边形．若存在
,
请求出点M 的坐标
;
若不存在
,
－２＜０, ＝７０ , １８００
(１)
求证
:
无论m为何值
,
该函数的图象与x轴有两个交点
;
所以该商家每天销售肉粽获得的最大利润为
１８００
元． 请说明理由．
(２)
若抛物线y
＝
x２
－２
mx
＋
m２
－１
与x轴的两个交点分 解
:(１)
把A
(－４,０)
代入y
＝
ax２
＋２
ax
＋４,
别为x x 且x２ x２ 求m的值． ．本题满分 分 如图 O是 ABC的外接圆 点O在 得 a a 解得a １
(１,０),(２,０), １＋ ２＝４, ２３( １０ ) ,☉ △ , ０＝１６ －８ ＋４, ＝－ ,
２
(１)
证明
:
对于一元二次方程x２
－２
mx
＋
m２
－１＝０,
BC边上
,∠
BAC的平分线交
☉
O于点D
,
连接BD
,
CD
, 所以抛物线的表达式为y １x２ x ．
Δ＝(－２ m )２ －４( m２ －１)＝４＞０, 过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． ＝－ ２ － ＋４
( 所 所 所 解 ２ 以 ) 以 以 得 解 x x 无 m : １ ２ １ 论 １ 令 ＋ ＋ ＝ y m x x １ ２ ２ ２ ＝ , 为 m ＝ ＝ ０ ２ 何 ２ , ( x m ＝ 则 值 １ , － x x ＋ , １ 二 ２ x １ x － ． ２ 次 ２ ２ ) ＝ ２ m 函 － x m 数 ２ ２ ＋ x y － m １ x ＝ １ ２ x ２ ． － 因 ＝ ２ １ ４ － 为 ＝ m ２ x ０ m ２ ２ １ x , － ＋ ２ ＋ x ( m m ２ ２ ２ ＝ ２ － ４ － １ , １ 的 )＝ 图 ４ 象 ． 与x轴有两个交点． ( ( ( １ ２ ３ ) ) ) 求 求 当A 证 证 B : : P △ ＝ D A ５ B c 是 D m ☉ , ∽ A O C △ 的 D ＝ C 切 １ P ２ 线 c ; ; m 时 , 求线段PC的长． 令 解 所 令 y x 得 以 ＝ ＝ x 点 ０ ０ １ B ＝ , , 得 得 的 － y － ４ 坐 ＝ , １ ２ x 标 ４ x ２ 为 , ＝ ２ 所 － ２ (２ 以 x , ,０ ＋ 点 ) ４ ; C ＝ 的 ０, 坐标为 (０,４) ．
故m的值为 １ 或 －１ ． (１) 证明 : 如图 , 连接OD． (２) 由y ＝－ １x２ － x ＋４, 可得对称轴为直线x ＝－１ ．
２１
．
(
本题满分
８
分
)
如图
,
OA
,
OB
,
OC 都是
☉
O 的半径
,
∵ BC
BA
是
C
☉ O的
．
直径 , 因为
△
AEP的 ２ 边AE是定长
,
∠ ACB ＝２∠ BAC． ∴ ∵ A ∠ D平分 ＝ ∠ ９０ B ° AC , 所 因 以 为 当 点 P A A 关 ＋ 于 PE 直线 的 x 值最小时 的 , 对 △ A 称 E 点 P 为 的 B 周 所 长 以 最 P 小 A ． PE PB PE BE 所以当
求证 AOB BOC BAC BAD． ＝－１ , ＋ ＝ ＋ ≥ ,
(１) :∠ ＝２∠ ; ∴∠ BOD ＝２∠ BAD BOD BAC ． 点P是直线BE与直线x ＝－１ 的交点时 , PA ＋ PE的值最小 , 如图所示．
(２) 若AB ＝４, BC ＝ ５, 求 ☉ O的半径． ∵ ∵ P ∠ D ∥ BC ＝２ ,∴ ∠ ∠ ODP ,∴ ＝ ∠ ∠ BOD ＝ ＝９ ∠ ０°,∴ P ＝ D ９０ ⊥ ° OD． 把B {k (２,０ b ), D (０,２) 分别代入y ＝ kx ＋ b ,
证明 ACB １ AOB BAC １ BOC ∵
OD是
☉
O的半径
,∴
PD是
☉
O的切线． 得
b
２ ＋ ＝０,解得k
＝－１,
b
＝２,
(１) :∵∠ ＝ ２ ∠ ,∠ ＝ ２ ∠ , (２) 证明 :∵ PD ∥ BC ,∴∠ ACB ＝∠ P． 所以直 ＝２ 线 , BE的表达式为y x ．
( ∠ ２ A ) C 解 B : 如 ＝２ 图 ∠ , B 过 A 点 C O ,∴ 作 ∠ 半 AO 径 B OD ＝２ ⊥ ∠ A B B OC 于 ． 点E , 连接BD , ∵ ∵ ∠ ∠ A A C B B D ＝ ＋ ∠ ∠ A A D C B D , ＝ ∴ １８ ∠ ０° A , D ∠ B A ＝ CD ∠ P ＋ ． ∠ DCP ＝１８０°, 令 所 x 以 ＝ 当 －１ A , E 得 P y 的 ＝ 周 ３, 长 所 最 以 小 P 时 ＝ (－ － 点 １, P ３ ＋ ) ２ 的 , 坐标为 ．
∴ 易得 ∠ BOD ＝ １ ∠ AOB , AE ＝ BE． ∴∠ ABD ＝∠ DCP ,∴△ ABD ∽△ DCP． 存在 △ ． , (－１,３)
∵∠ AOB ＝２∠ BO ２ C , (３) 解 :∵ BC是 ☉ O的直径 ,∴∠ BDC ＝∠ BAC ＝９０° ． ( 因 ３) 为MN ∥ CD , 所以若以M , N , C , D为顶点的四边形是平行四边形 , 则MN ＝ CD．
∴∠ BOD ＝∠ BOC ,∴ BD ＝ BC． 在 Rt△ ABC中 , BC ＝ AB２ ＋ AC２ ＝ ５ ２ ＋１２ ２ ＝１３(cm) ． 因为CD ＝４－２＝２, 所以MN ＝ CD ＝２ ．
∵ 在 在 A R R B t t △ △ ＝ B B ４ O D , B E E C 中 中 ＝ , , O D ５ B E , ２ ∴ ＝ ＝ B O E E B ＝ D ２ ２ ＋ ２ , B － B E D BE ２ ＝ , ２ ＝ ５ ． (５)２ －２ ２ ＝１ ． ∵ ∴ 在 A ∠ R D t B △ O 平 B D C 分 ＝ D ∠ ∠ B 中 C A O , C B D D , , ∴ ２ ∴ ＋ ∠ B C B D D A ＝ ２ D ＝ C ＝ B D C ∠ ． ２ C , AD , 设 所以 M M ( m N ,－ ＝ m － ＋ m ２) ＋ , ２ 则 ＋ N １ ( m m２ ,－ ＋ m １ ２ － m ４ ２ － ＝ m ２ ＋ , ４ ) ,
２
∴ OB２ ＝( OB －１)２ ＋２ ２, ∴ BD ＝ CD ＝ ２BC ＝ １３２ cm ． 即 １m２ ．
∴ OB ＝ ５ , 即 ☉ O的半径是５． ２ A ２ B BD ２ －２ ＝２
２ ２ ABD DCP
∵△ ∽△ ,∴DC＝CP, 当１m２
－２＝２
时
,
解得m
１＝２２,
m
２＝－２２,
此时点M的坐标为
(２２,２－２２)
２
１３２ 或
．本题满分 分 端午节 吃粽子是中华民族的传统习俗 (－２２,２＋２２);
２２( 市场上的肉 １０ 粽进 ) 价 “ 比豆沙 ” 粽进价每盒贵 元 一盒肉粽和 , 即 １３ ５ ２ ＝ P ２ C ,∴ PC ＝１６ ． ９cm ． 当１m２ －２＝－２ 时 , 解得m ＝０( 舍去 ) ．
１０ , ２ ２
两盒豆沙粽进价为 元． 综上所述
,
点M的坐标为
(２２,２－２２)
或
(－２２,２＋２２)
．
１００
数学 ９０ 湘教九年级·下册
－ －
