文档内容
第一部分·数与代数
1 数的认识 ………………………………………………………… 001
一、整数 ……………………………………………………………… 001
二、因数与倍数 ……………………………………………………… 003
三、小数 ……………………………………………………………… 008
四、分数 ……………………………………………………………… 012
五、百分数 …………………………………………………………… 017
六、正数与负数 ……………………………………………………… 020
2 数的运算 ………………………………………………………… 021
一、四则运算 ………………………………………………………… 021
二、简便运算 ………………………………………………………… 028
3 常见的量 ………………………………………………………… 031
一、长度单位 ………………………………………………………… 031
二、面积单位 ………………………………………………………… 032
三、角度单位 ………………………………………………………… 032
四、体积、容积单位 ………………………………………………… 033
五、时间单位 ………………………………………………………… 033
六、质量单位 ………………………………………………………… 034
七、人民币单位 ……………………………………………………… 034
八、名数的改写 ……………………………………………………… 034
目录
4 式与方程 ………………………………………………………… 035
一、用字母表示数 …………………………………………………… 035
二、简易方程 ………………………………………………………… 037
5 比和比 例 ………………………………………………………… 039
一、比 ………………………………………………………………… 039
二、比例 ……………………………………………………………… 041
三、比例尺 …………………………………………………………… 044
第二部分·图形与几何
6 平面图形的认识 ………………………………………………… 046
一、线 ………………………………………………………………… 046
二、角 ………………………………………………………………… 047
三、三角形 …………………………………………………………… 049
四、四边形 …………………………………………………………… 051
五、圆、圆环、扇形 ………………………………………………… 054
六、平面图形的周长和面积 ………………………………………… 056
7 立体图形的认识 ………………………………………………… 060
一、长方体和正方体 ………………………………………………… 060
二、圆柱和圆锥 ……………………………………………………… 062
三、立体图形的表面积和体积 ……………………………………… 062
四、观察物体 ………………………………………………………… 064
8 图形与位置 ……………………………………………………… 066
一、方向 ……………………………………………………………… 066
二、位置 ……………………………………………………………… 067
三、图形的运动 ……………………………………………………… 069
四、图形的放大和缩小 ……………………………………………… 070
第三部分·统计与概率
9 统计 ……………………………………………………………… 071
一、分类与整理 ……………………………………………………… 071
二、数据收集整理 …………………………………………………… 072
三、统计表 …………………………………………………………… 072
四、统计图 …………………………………………………………… 073
五、常用统计量 ……………………………………………………… 077
10 可能性 ………………………………………………………… 078
一、事件 ……………………………………………………………… 078
二、可能性 …………………………………………………………… 078
第四部分·实践与综合运用
11 探索规律 ……………………………………………………… 080
一、数列中的规律 …………………………………………………… 080
二、算式中的规律 …………………………………………………… 081
三、周期中的规律 …………………………………………………… 082
四、图形中的规律 …………………………………………………… 082
12 解决问题 ……………………………………………………… 083
一、简单应用题 ……………………………………………………… 083
二、归一归总 ………………………………………………………… 084
三、和差倍问题 ……………………………………………………… 084
四、平均数问题 ……………………………………………………… 086
五、行程问题 ………………………………………………………… 086
六、分数应用题 ……………………………………………………… 087
七、工程问题 ………………………………………………………… 089
八、生活中的百分数问题 …………………………………………… 089
九、分段计价 ………………………………………………………… 090
十、最值问题——和定积定 ………………………………………… 090
13 数学广角 ……………………………………………………… 091
一、逻辑推理 ………………………………………………………… 091
二、搭配问题 ………………………………………………………… 092
三、集合问题 ………………………………………………………… 092
四、优化问题 ………………………………………………………… 093
五、鸡兔同笼 ………………………………………………………… 094
六、植树问题 ………………………………………………………… 095
七、方阵问题 ………………………………………………………… 096
八、找次品 …………………………………………………………… 096
九、数形结合 ………………………………………………………… 097
十、抽屉原理 ………………………………………………………… 097
14 综合运用 ……………………………………………………… 098
第一部分·数与代数
数的认识
1
一、整数
（一）整数的分类
1. 自然数
（1）表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……都是自
然数. 一个物体也没有，用0 表示，0 也是自然数. 所有的自然数都是整数.
（2）最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的.
2. 整数的分类
整数
0
负整数
正整数
自然数
（二）整数的组成
1. 计数单位
（1）一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位.
（2）每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫做十进制计数
法.
2. 位数和数位
（1）位数是指一个数用几个数字写出来（最高位不能是0），有几个数字
就是几位数，含有一个数位的数是一位数，含有两个数位的数是两位数，含
有三个数位的数是三位数……含有n 个数位的数是n 位数.
（2）在用数字表示数的时候，每一个数字所占的位置叫作数位.
整数数位顺序表
数级
…
亿级
万级
个级
数位
…
千
亿
位
百
亿
位
十
亿
位
亿
位
千
万
位
百
万
位
十
万
位
万
位
千
位
百
位
十
位
个
位
计数
单位
…
千亿百亿十亿
亿
千万百万十万
万
千
百
十
一
︵
个
︶
（三）整数的读写
1. 整数的读法
（1）先分级，再从最高级读起；
（2）亿级、万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个
“亿”或“万”字；
（3）每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0 或连续几个0，
都只读一个0.
2. 整数的写法
（1）先分级，再从最高级写起；
（2）数位上是几就写几，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0.
（四）整数的大小比较
（1）位数不同的两个数，位数多的数就大；
（2）位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，
如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数.
（五）整数的改写
为了读写方便，常常把一些大数改写成用“万”或“亿”作单位的数.
改写时，如果是整万或整亿的数，只要省略万位或亿位后面的0，添上一个
“万”或“亿”字；如果不是整万或整亿的数，要在万位或亿位的右边，点上小
数点，去掉小数末尾的0，在数的后面加上“万”或“亿”字.
改写后的数与原数相等，用“ = ”连接.
（六）求整数的近似数
在生产和生活中，人们经常使用近似数.
求整数的近似数，可以用“四舍五入”法. 是“舍”还是“入”，要看省略
的尾数部分最高位上的数是小于5 还是等于或大于5.
省略尾数后的数与原数不相等，用“≈”连接.
二、因数与倍数
（一）因数和倍数的定义
因数
倍数
定义
在整数除法中，如果商是整数而
没有余数，我们就说除数是被除
数的因数
在整数除法中，如果商是整数而
没有余数，我们就说被除数是除
数的倍数
区别
一个数的因数的个数是有限的
一个数的倍数的个数是无限的
一个数的最小因数是1，最大因
数是它本身
一个数的最小倍数是它本身，没
有最大倍数
关系
因数与倍数是相互依存的
为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般
不包括0）.
（二）找因数的方法
把一个数写成两个自然数相乘的形式，只要找到所有的乘法算式，就可以
找到这个数的全部因数. 当两个因数相等时，就作为一个因数来看待.
（三）找倍数的方法
一个数和任意非0 自然数的乘积都是这个数的倍数. 在限定范围内找一个
数的倍数，可以先写出这个自然数本身，然后用这个自然数分别乘2，3，4，
5，……直到所乘的积接近所规定的限制范围为止.
（四）2、5、3 的倍数特征
1. 2 的倍数特征
个位上是0，2，4，6，8 的数都是2 的倍数.（0 除外）
（1）奇数和偶数
整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数.
（2）奇数和偶数的性质
奇数± 偶数= 奇数
奇数× 偶数= 偶数
奇数± 奇数= 偶数
奇数× 奇数= 奇数
偶数± 偶数= 偶数
偶数× 偶数= 偶数
2. 5 的倍数特征
个位上是0 或5 的数都是5 的倍数.（0 除外）
3. 3 的倍数特征
一个数各位上的数的和是3 的倍数，这个数就是3 的倍数.
（五）质数和合数
1. 质数与合数
质数
合数
概念
一个数，如果只有1 和它本身两个
因数，那么这样的数叫做质数（或
素数）
一个数，如果除了1 和它本身还
有别的因数，那么这样的数叫做
合数
注意
1 既不是质数，也不是合数
2. 判断质数的方法
首先可以根据2、3、5 的倍数的特征，判断这个数是否为2、3、5 的倍数，
如果是，那么它一定是合数（2、3、5 本身除外）. 接着可以用试除法去判断，
即用7、11、13、17 等质数去除这个数，除到除数大于商为止. 若有质数是这
个数的因数，这个数就是合数；否则，这个数就是质数.
3. 100 以内质数
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、
61、67、71、73、79、83、89、97.
4. 质因数
每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，
叫做这个合数的质因数.
5. 分解质因数
（1）把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
（2）分解质因数的两种常用方法：
①分步分解：
24
2
12
2
6
2
3
24 = 2×2×2×3
②短除法：
24
12
6
2
2
2
3
24 = 2×2×2×3
（六）公因数和最大公因数
1. 公因数和最大公因数
（1）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数. 其中最大的一个，叫做这
几个数的最大公因数，记作方法 （a，b）.
（2）求最大公因数的方法：
方法
概述
举例
枚举法
求几个数的最大公因数，
可以将这几个数的因数全
部枚举出来，从中找到相
同的公有的因数，就是这
几个数的公因数，其中最
大的就是最大公因数
24 的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
36 的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、
36；
24 和36 的公因数有1、2、3、4、6、12；
24 和36 的最大公因数是12
分解质
因数法
先把各个数分解质因数，
再把这几个自然数全部公
有的质因数选出并连乘起
来，所得的积就是要求的
最大公因数
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
24 和36 的最大公因数：2 × 2 × 3 = 12
短除法
把各个数公有的质因数从
小到大依次作为除数连续
去除这几个数，把除得的
商写在该数的下方，直到
各个商只有公因数1 为止，
然后把所有除数连乘起来，
所得的积就是这几个数的
最大公因数
24
36
2
24
18
2
6
9
3
2
3
ąႁХమᄒ᠗ڊᬜ
ąႁХమᄒ᠗ڊᬜ
ąႁХమᄒ᠗ڊᬜ
ąᬜҊ˘˜ԾమХڊ˦൫
24 和36 的最大公因数：2 × 2 × 3 = 12
2. 互质数
公因数只有1 的两个数，叫做互质数.
（七）公倍数和最小公倍数
（1）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做
这几个数的最小公倍数，记作方法 [a，b].
（2）求最小公倍数的方法：
方法
概述
举例
枚举法
求几个数的最小公倍数，可
以将这几个数的倍数从小到
大依次枚举出一部分来，从
中找到相同的公有的倍数，
就是这几个数的公倍数，其
中最小的就是最小公倍数
24 的倍数有24、48、72……
36 的倍数有36、72……
24 和36 的最小公倍数是72
分解质
因数法
求两个自然数的最小公倍数，
先把每个数分解质因数，再
把这两个数公有的一切质因
数和其中每个数独有的质因
数全部连乘起来，所得的积
就是它们的最小公倍数
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
24 和36 的最小公倍数：
2 × 2 × 3 × 2 × 3 = 72
短除法
把各个数公有的质因数从小
到大依次作为除数，连续去
除这几个数，直到得出的商
两两互质为止，然后把所有
除数和商连乘起来，所得的
积就是这几个数的最小公倍
数
24
36
2
12
18
2
6
9
3
2
3
ąႁХమᄒ᠗ڊᬜ
ąႁХమᄒ᠗ڊᬜ
ąႁХమᄒ᠗ڊᬜ
ąᬜҊ˘˜ԾమХڊ˦൫
24 和36 的最小公倍数：
2 × 2 × 3 × 2 × 3 = 72
三、小数
（一）小数的意义和性质
1. 小数的意义
像3.45、0.85、2.60、36.6、1.2 和1.5 这样的数叫做小数.
在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时也常用小数来
表示.
把整数“1”平均分成10 份、100 份、1000 份…… 这样的几份是十分之
几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示为零点几、零点零几、零点零零
几……
2. 小数的性质
小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变.
（二）小数的组成
1. 小数计数单位
（1）小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、
0.01、0.001……
（2） 每相邻两个计数单位之间的进率是十.
2. 小数的数位、位数和数位顺序表
（1）同整数一样，小数的计数单位也是按照一定的顺序排列起来的，数字
所占的位置叫做小数的数位.
（2）一个小数的小数部分含有几个数位，这个数就是几位小数.
小数数位顺序表
整数部分
小数点
小数部分
数
位
…
万
位
千
位
百
位
十
位
个位
·
十
分
位
百
分
位
千
分
位
万
分
位
…
计
数
单
位
…
万
千
百
十
一
︵
个
︶
十
分
之
一
百
分
之
一
千
分
之
一
万
分
之
一
…
（三）小数的读写
1. 读小数
读小数时，整数部分仍按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分要
依次读出每个数字.
2. 写小数
（1）写小数时，要先写整数部分，再写小数点，最后写小数部分. 整数部分
按照整数的写法来写，整数部分是零的写作“0”. 然后把小数点点在个位的右
下角，小数部分依次写出每个数字.
（2）注意：读写小数时，小数点后的0 无论有几个都要依次读写出来.
（四）小数的分类
小数
按整数部分分类
按小数部分分类
纯小数
有限小数
无限小数
带小数（或混小数）
循环小数
无限不循环小数
1. 按整数部分分类，可以分为纯小数和带小数（或混小数）
（1）纯小数
整数部分是零的小数，叫纯小数.
（2）带小数
整数部分不是零的小数，叫带小数（或混小数）.
2. 按小数部分分类，可以分为有限小数和无限小数
（1）有限小数
小数部分的位数有限的小数是有限小数.
（2）无限小数
小数部分的位数无限的小数是无限小数.
无限小数分为循环小数和无限不循环小数：
①循环小数
一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出
现，这样的小数叫做循环小数.
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数
的循环节.
写循环小数时，可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字
上面各记一个圆点. 例如：5.333…写作5.3；6.9258258…写作6.9258
.
②无限不循环小数
一个小数的小数位数是无限的，但又没有周期性的循环，这样的小数叫无
限不循环小数.
（五）小数点移动引起小数大小的变化
1. 小数点向右
移动一位，相当于把原数乘10，小数就扩大到原数的10 倍；
移动两位，相当于把原数乘100，小数就扩大到原数的100 倍；
移动三位，相当于把原数乘1000，小数就扩大到原数的1000 倍；
……
2. 小数点向左
移动一位，相当于把原数除以10，小数就缩小到原数的10
1 ；
移动两位，相当于把原数除以100，小数就缩小到原数的100
1 ；
移动三位，相当于把原数除以1000，小数就缩小到原数的1000
1
；
……
（六）小数的大小比较
比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个小数就大；
整数部分相同的，就比较十分位，十分位上的数大的那个小数就大；十分位上
的数也相同的，百分位上的数大的那个小数就大……
（七）小数的改写
（1）把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数时，在万位或亿位的
右边，点上小数点，在数的后面加上“万”或“亿”字.
（2）应用小数的性质，可以根据需要通过在小数末尾添上“0”或去掉“0”
来改写小数.
（八）求小数的近似数
方法
“四舍五入”法
“进一”法
“去尾”法
概述
用“四舍五入”法求近似数时，
是“舍”还是“入”，要看省略
的尾数部分最高位上的数是小于
5 还是等于或大于5. 若尾数的最
高位上的数小于5，则直接舍去；
若尾数的最高位上的数等于或大
于5，则向前一位进1.
省略尾数后的数与原数不相等，
用“≈”连接
在取近似数时，
不管多余部分的
数是多少，都向
前一位进1
在取近似数时，
不管多余部分的
数是多少，一律
舍去
方法
“四舍五入”法
“进一”法
“去尾”法
特点“四舍”时得到的数比准确数小，
“五入”时得到的数比准确数大
用“ 进一” 法得
到的近似数总比
准确数大
用“去尾”法得
到的近似数总比
准确数小
举例
1.732≈2（保留整数）
1.732≈1.7（保留一位小数）
1.732≈1.73（保留两位小数）
一个汽水瓶容
积是500 毫升，
2100 毫升汽水需
要装几瓶？
分析：
2100 ÷ 500 = 4.2
（瓶）
4 瓶装不完，还需
要一瓶，即需要5
瓶
做一件衣服需要
5 米布料，13 米
布料可以做几件
衣服？
分析：
13 ÷ 5 = 2.6（件）
不够做3 件，只
能做2 件
四、分数
（一）分数的意义和性质
1. 分数的意义
（1）在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常
用分数来表示.
一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，把这个整
体平均分成若干份，这样的一份或是几份都可以用分数来表示.
（2）一个整体可以用自然数1 来表示，我们通常把它叫做单位“1” .
（3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位.
2. 分数与除法
（1）被除数÷ 除数= 被除数
除数（除数不为0）
（2）用字母表示：
a÷b = a
b （b ≠0）
3. 分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变，
这叫做分数的基本性质.
（二）分数的分类
1. 分类
分数
真分数
假分数
2. 真分数、假分数的区别
分类
真分数
假分数
定义
分子比分母小的分数叫做真分数
分子比分母大或分子和分母相等
的分数叫做假分数
与1 比较
真分数小于1
假分数大于1 或等于1
3. 带分数
由整数和真分数合成的数叫做带分数.
有些假分数的分子恰好是分母的倍数，它们实际上是整数；有些假分数的
分子不是分母的倍数，这样的假分数可以写成带分数.
4. 真分数、假分数与带分数的读写
真分数、假分数
带分数
读法
先读分母，再读“分之”，后
读分子
先读带分数的整数部分，再读分数
部分，并在两者之间加读“又”字
写法
先写分数线，再写分母，最后
写分子
先写带分数的整数部分，后写分数
部分
5. 假分数与整数或带分数的互化
（1）假分数化成整数或带分数的方法
方法
结果
举例
用假分数
的分子除
以分母
分子是分母的倍数时，化成整数，商就是这
个倍数
3
3 =
÷
=
3
3
1
分子不是分母的倍数时，化成带分数，商是
带分数的整数部分，余数是分数部分的分
子，分母不变
7
1
3
3
=
÷
=
7
3
2
（2）整数或带分数化成假分数的方法
类别
方法
举例
整数化成假
分数
用指定的一个整数（0 除外）作分数
的分母，用分母和整数的乘积作分
子
把3 化成分母是5 的假分
数：
3 =
=
3
5
15
×
5
5
带分数化成
假分数
用原来的分母作分母，用分母和整
数的乘积再加上原来的分子所得到
的和作分子
2 1
2
6
1
13
6
6
6
=
=
×
+
（三）分数的大小比较
1. 约分
（1）约分的含义
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分.
（2）最简分数
4
5 的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数. 约分时，通常
要约成最简分数.
（3）约分的方法
①逐次约分：用分子和分母的公因数（1 除外）逐次去除分子和分母，直到
得出最简分数为止.
②一次约分：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母，直接得到最简
分数.
（4）特殊分数的约分方法
分数特点
约分结果或方法
分母是分子的整数倍的分数
结果：约分后是几分之一
分子和分母末尾都有0 的分数
方法：先划去同样多的0，再约分
假分数
方法一：把假分数约分后，再化成带分数
方法二：先把假分数化成带分数，再约分
2. 通分
（1）通分的含义
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分. 通分时所
化成的相同的分母叫做公分母. 其中最小的公分母叫做这几个异分母分数的最
小公分母.
（2）通分的方法
先求出几个分数的分母的最小公倍数，把它作为这几个分数的公分母，然
后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数.
（3）通分的几种特殊情况
几个分数的特点
通分方法
分母互质
分母的乘积就是公分母
分母间成倍数关系
其中较大的分母就是公分母
几个分数的特点
通分方法
分母间没有倍数关系，除了公因数1
外，还有其他公因数
分母的最小公倍数就是公分母
3. 约分与通分的比较
名称
约分
通分
共同点
约分和通分都是运用分数的基本性质，把一个或几个分数
变形，且使分数值不变的过程
不同点
对象
一个分数
两个或两个以上分数
方法
分子、分母同时除以一个相
同的非零数
分子、分母同时乘一个相同
的非零数
结果
化成最简分数
化成同分母分数
4. 分数的大小比较
分数
方法
同分母分数
分母相同的两个分数，分子大的分数较大
同分子分数
分子相同的两个分数，分母小的分数较大
分子、分母
都不相同的
分数
方法一
先通分，把他们化成分母相同的分数，然后进行比较
方法二
可以把各个分数分别化成小数后再比较
带分数
先比较整数部分，整数部分大的那个带分数就大；如
果整数部分相同，再比较分数部分，分数部分大的那
个带分数就大
假分数
可以把假分数化成带分数或整数后再比较
（四）整数、小数和分数的互化
方法
分数化成整数
根据分数与除法的关系或分数的意义，可以把特殊的假分
数化成整数
整数化成分数
用指定的一个整数（0 除外）作分数的分母，用分母和整
数的乘积作分子
小数化成分数
小数表示的就是十分之几、百分之几、千分之几……的数，
所以可以直接写成分母是10、100、1000……的分数，再
化简成最简分数
分数化成小数
①直接用分子除以分母，能除尽的就化成有限小数，除不
尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数；
②若是带分数，保留整数部分，只用分数部分的分子除以
分母得到小数，再与整数部分组成带小数即可
五、百分数
（一）百分数的意义
1. 百分数概念
如14%、65.5%、120%……这样的数叫做百分数. 百分数也叫做百分率或百
分比.
2. 百分数的意义，百分数后面不能加单位
百分数表示一个数是另一个数的百分之几，如14% 表示一个数占另一个数
的100
14 .
（二）百分数的读写
百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来
表示，读作“百分之……”.
例：14% 读作百分之十四；65.5% 读作百分之六十五点五；120% 读作百分
之一百二十.
（三）小数、分数和百分数的互化以及大小比较
1. 小数、分数和百分数的互化
方法
小数化成百分数
把小数化成百分数，只要将小数点向右移动两位（位数不
够时用0 补足），再在后面添上百分号%
百分数化成小数
把百分数化成小数，先把百分号去掉，再把百分号前面的
数的小数点向左移动两位，位数不够时用0 补足
分数化成百分数
①先把分数化成分母是100 的分数，然后再去掉分母和分
数线，在分子后面添上百分号；
②若分数不能化成分母是100 的分数，则通常先把分数化
成小数. 若除不尽，通常要保留三位小数，再把小数化成
百分数
百分数化成分数
①先把百分数写成分母是100 的分数的形式，再化成最简
分数；
②把百分数化成分数，如果分子是小数，就利用分数的基
本性质使分子变成整数，再化成最简分数
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࠵
Ѭ
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ંᄈѬиੇѬඇ௧ᄊѬᄊॎरὊгӑੇతእѬ
Џӑੇ࠵ὊгӑੇᄈѬ
ᄰଌиੇѬඇ௧njnj
ĀĀᄊѬὊгӑእੇతእѬ
2. 小数、分数和百分数的大小比较
小数、分数和百分数的大小比较，一般先将它们统一化成小数，然后再按
照小数的大小比较方法进行比较.
（四）常见的百分率
在实际生活中，有许多常见的百分率，如学生的出勤率、绿豆的发芽率、
产品的合格率、小麦的出粉率、树木的成活率等.
例：出勤率= 出勤的学生人数
学生总人数
×100%
（五）折扣与成数
1. 折扣
商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折”. 几折就表示十分
之几，也就是百分之几十.
2. 成数
（1）农业收成，经常用“成数”来表示.
（2）成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”.
（3）现在，“成数” 已经广泛应用于表示各行各业的发展变化情况.
（六）税率与利率
1. 税率
纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的
一部分缴纳给国家. 税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所得税等几
类. 缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入（销售额、营业额……）
的比率叫做税率.
2. 利率
存入银行的钱叫做本金；取款时银行多支付的钱叫做利息；单位时间（如1
年、1 月、1 日等）内的利息与本金的比率叫做利率.
利息的计算公式是：利息= 本金× 利率× 存期
根据国家经济的发展变化，银行存款的利率有时会有所调整.2018 年10 月
中国人民银行公布的存款利率如下表：
活期
整存整取
存期
3 个月
半年
一年
二年
三年
五年
年利率（%）
0.35
1.10
1.30
1.50
2.10
2.75
2.75
六、正数与负数
（一）正数与负数的意义和读写
（1）为了表示两种相反意义的量，如零上温度和零下温度、收入与支出等，
需要用两种数. 一种是我们以前学过的数，如3、500、4.7、8
3 ，这些数是正数；
另一种是在这些数的前面添上负号“ - ”的数，如- 3、- 500、- 4.7、−8
3
等，这些数是负数.
（2）负数的读法
先读“负”，再读数，如- 3 读作负3，−8
3 读作负八分之三.
正数前面的“ + ”可以省略不写；如果为了与负数对比，也可以加上正号，
如+ 3，读作正三.
（3）0 既不是正数，也不是负数.
（二）数轴
0
1
2
3
4
- 1
- 2
- 3
- 4
用0 表示起点，0 右边的数是正数，左边的数是负数，这样的直线叫数轴.
（三）正、负数的大小比较
1. 借助数轴比较两个数的大小
（1）在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序.
（2）所有的负数都在0的左边，即负数都比0小；所有的正数都在0的右边，
即正数都比0 大，因此负数都比正数小.
2. 正负数的大小比较
（1）负数与正数比较
所有的负数都小于正数.
（2）负数与负数比较
先比较与其对应的两个正数的大小，对应正数大的那个负数反而小.
数的运算
2
一、四则运算
（一）加、减法
1. 加、减法的意义
整数
小数
分数
加法
把两个数合并成一个数的运算
减法
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算
2. 加、减法的法则
整数
小数
分数
加减
法
1. 相同数位对齐；
2. 从个位算起；
3. 加法中相加满十
就向前一位进1；
减法中不够减时，
从前一位退1 当
10
1. 相同数位对齐（小
数点对齐）；
2. 从低位算起；
3. 按整数加、减法的
法则进行计算；
4. 结果中的小数点和
相加、减的数里的小
数点对齐
1. 同分母分数相加、减，分
母不变，只把分子相加、
减；
2. 异分母分数相加、减，先
通分，然后按照同分母分数
加、减法进行计算；
3. 最后结果要化简成最简分
数
举例
445 + 298 = 743
+
7 4 3
4 4 5
2 9 8
1
1
403 - 245 = 158
−
1
5
8
4
0
3
2
4
5
6.45 + 8.3 = 14.75
+
1
4 . 7
5
8 . 3
6 . 4
5
8.3 - 6.45 = 1.85
−
8 . 3
0
6 . 4
5
1 . 8
5
8
8
8
8
2
3
1
3
1
4
1
+
=
=
=
+
10
20
20
20
3
3
6
3
3
−
=
=
−
3. 加、减法的关系
相加的两个数叫做加数；加得的数叫做和.
在减法中，已知的和叫做被减数.
加法
减法
各部分间的关系
和= 加数+ 加数
加数= 和- 另一个加数
差= 被减数- 减数
减数= 被减数- 差
被减数= 减数+ 差
联系
减法与加法互为逆运算
4. 加、减法的验算
根据加、减法的关系可以对运算结果进行验算.
（1）加法的验算
对加法进行验算，可以用交换加数的位置再加一遍的方法，看所得结果是
否和原来一样，如果一样，则原计算正确；也可以用减法验算：用和减去任意
一个加数，看结果是否等于另一个加数，若等于，那么原计算正确.
（2）减法的验算
对减法进行验算，可以用被减数减去差，看是否等于减数，若相等，则原
计算正确；也可以用加法验算，就是用计算所得的差与减数相加，看和是否等
于被减数，若相等，则原计算正确.
5. 加、减法的估算
当加、减法计算不要求得到精确值时，可以先用“四舍五入”法取近似值，
再计算它们的和或差.
（二）乘、除法
1. 乘、除法的意义
整数
小数
分数
乘法求几个相同加数的和
的简便运算
小数乘整数与整数乘
法的意义相同. 一个数
乘小数，就是求这个
数的十分之几、百分
之几、千分之几……
是多少
分数乘整数与整数乘
法的意义相同. 一个数
乘分数，就是求这个
数的几分之几是多少
除法已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算
2. 乘、除法的法则
（1）乘法的法则
整数
小数
分数
乘法
法则
1. 从个位乘起，依次用
第二个因数每位上的
数去乘第一个因数；
2. 用第二个因数哪一位
上的数去乘，得数的
末位就和第二个因数
的那一位对齐；
3. 再把几次乘得的结果
加起来
1. 先按照整数乘法算出
积，再点小数点；
2. 点小数点时，看因
数中一共有几位小数，
就从积的右边起数出
几位，点上小数点
1. 分数乘分数，用分子
相乘的积作分子，用
分母相乘的积作分母，
为了简便运算，可以
先约分再乘；
2. 有整数的把整数看作
分母是1 的假分数；
3. 有带分数的，通常先
把带分数化成假分数
举例
145 × 12 = 1740
1 4 5
× 1 2
2 9 0
1 4 5
1 7 4 0
1
1
1.92 × 0.9 = 1.728
1 . 9 2
× 0 . 9
1 . 7 2 8
1
8
10
45
10
45
25
9
4
9
4
2
×
=
=
×
×
（2）除法的法则
整数
小数
分数
除法
法则
1. 从被除数的高位除
起，除数是几位数，
就先看被除数的前几
位，如果不够除，就
要多看一位；
2. 除到被除数的哪
一位，就在那一位
的上面写商；
3. 求出每一位商，
余下的数必须比除
数小
1. 除数是整数时，按整数除法
的法则进行计算，商的小数点
要与被除数的小数点对齐；
2. 除数是小数时，先移动除数
的小数点，使它变成整数. 除数
小数点向右移动几位，被除数
的小数点也向右移动相同的位
数（位数不够的，在被除数的
末尾用0 补足），然后按照除数
是整数的小数除法进行计算
除以一个不等于0
的数，等于乘这个
数的倒数
整数
小数
分数
举例
612 ÷ 18 = 34
22.4 ÷ 4 = 5.6
7.65 ÷ 0.85 = 9
6
12
6
5
5
5
5
12
÷
=
×
= 2
3. 乘、除法的关系
相乘的两个数叫做因数；乘得的数叫做积.
在除法中，已知的积叫做被除数.
乘法
除法
各部分间的关系
积= 因数× 因数
因数= 积÷ 另一个因数
商= 被除数÷ 除数
除数= 被除数÷ 商
被除数= 商× 除数
关系
除法与乘法互为逆运算
4. 乘、除法的验算
（1）乘法的验算
① 交换因数的位置进行验算
交换两个因数的位置后再算一遍，如果结果和原来一样，那么原计算正确.
② 用除法验算
用积除以其中的一个因数，如果商等于另一个因数，那么原计算正确.
（2）除法的验算
① 用乘法验算
根据除法和乘法互为逆运算的关系，把除数和商相乘，如果乘得的积与被
除数相同，则原计算正确.
② 用除法验算
根据除法各部分间的关系，用被除数除以商，如果所得的结果等于除数，
则原计算正确.
③ 有余数的除法的验算
根据“被除数= 除数× 商+ 余数”来进行验算.
5. 乘、除法的估算
计算乘、除法，有时不要求得到精确结果，可以用已知数的近似数来估算积和商.
6. 倒数
（1）倒数的意义
乘积是1 的两个数互为倒数.
（2）求一个数的倒数的方法
整数或小数
真分数
带分数
0
1
方
法
求一个整数或小
数的倒数（0 除
外），就是用1
除以这个数所得
的商
求一个真分数
的倒数，只要
调换这个分数
的分子、分母
的位置即可
求一个带分数的倒数，
要先把带分数化成假分
数，再调换这个假分数
的分子、分母的位置
0 没
有倒
数
1 的
倒数
是1
举
例
12 的倒数是
1
12
÷
= 12
1 ；
2.5 的倒数是
1 ÷ 2.5 = 0.4
4
3 的倒是数是
4
3 或11
3
3 1
7
2
2
=
，7
2 的倒数是7
2
，所以3 1
2 的倒数是7
2
7. 试商的方法
在求商时，有时不能一次得出准确的商，需要调整商，如果商大了要调小，
商小了要调大，这个过程叫试商，或叫调商.
方法
概述
举例
“四舍五入”法
当除数接近整十、整百数
时，常用此方法
除数是39 时可以看作40 来除
“去尾”法
把除数按照“去尾”法看作
整十、整百的数试除. 用此
方法，初商有时会过大
234 ÷ 15，用10 去除，初商2
过大，应改商1
“进一”法
把除数按照“进一”法看作
整十、整百的数试除. 用此
方法，初商有时会过小
456 ÷ 73，用80 去除，初商5
过小，应改商6
“同舍同入”法
把被除数和除数一起“舍”
或“入”，然后试除
147 ÷ 29，试商时，可以把被
除数147 看作150，把除数29
看作30（同入），然后试除；
也可以把被除数看作140，把
除数看作20（同舍），然后试
除
“同头无除”法
当被除数与除数首项相同
（同头），但不够除（无除）
时，一般可以商9、8、7
359 ÷ 38，初商可以试9、8、7
“折半”法
当被除数的前两位数接近于
除数的一半时，可用5 或4
来试商
364 ÷ 72，初商用5 试除
（三）有关“0”与“1”的运算
1.
a
a
+
=
0
a
a
−
=
0
a
a
−
= 0
a 0
0
=
0
0
0
÷
=
≠
a
a
（
）
2.
a
a
× =
1
a
a
÷
=
1
1
0
a
a
a
÷
=
≠
（
）
1
0
÷
=
≠
a
a
a
1（
）
（四）四则运算的运算顺序
1. 运算顺序
四则运算分为两级，加、减法是第一级运算，乘、除法是第二级运算.
（1）在没有括号的算式里
①如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算.
②如果含有两级运算，要先算第二级运算，后算第一级运算，即“先乘、
除，再加、减”.
（2）在有括号的算式里，要先算括号里面的运算. 若含有多层括号，要先算
小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的运算. 括号里的运算，
仍按照“先乘、除，后加、减”的顺序来运算；同级运算按照从左到右的顺序
来进行计算.
（3）综合算式计算过程的书写规范
在四则混合运算中，为了保证计算结果的准确性，通常都按照运算顺序逐
级的进行计算，每计算一步，就写出一个等式，直至求出最后的得数.
二、简便运算
（一）运算定律及性质
在运算方面上的一系列定律，统称为运算定律. 主要包括交换律、结合律和
乘法分配律. 应用运算定律，有时可以使某些计算更简便.
运算定律
概述
用字母表示
加
法
交换律
两个数相加，交换加数的位置，和不
变
a + b = b + a
结合律
三个数相加，先把前两个数相加，或
者先把后两个数相加，和不变
（a + b）+ c = a + （b + c）
减法的运
算性质
一个数连续减去两个数，等于这个数
减去这两个数的和
a - b - c = a - （b + c）
乘
法
交换律
两个数相乘，交换两个因数的位置，
积不变
a × b = b × a
结合律
三个数相乘，先乘前两个数，或者先
乘后两个数，积不变
（a × b）× c = a × （b × c）
分配律
两个数的和与一个数相乘，可以先把
它们与这个数分别相乘，再相加
（a + b）× c = a × c + b × c
除法的运
算性质
一个数连续除以两个数，等于这个数
除以这两个数的积
a ÷ b ÷ c = a ÷ （b × c）
（b ≠0，c ≠0）
（二）和、差、积、商的变化规律
运算
概述
用字母表示
和
1. 加法中，加数加上（或减去）
一个数，和也随着加上（或减
去）同一个数；
2. 当一个加数加上一个数，另
一个加数减去同一个数时，它
们的和不变
a + b = c
1.（a ± m）+ b = c ± m
2.（a + m）+ （b - m）= c
运算
概述
用字母表示
差
1. 减法中，被减数加上（或减
去）一个数，减数不变，差也
随着加上（或减去）同一个数；
2. 减数加上（或减去）一个数，
被减数不变，差反而减去（或
加上）同一个数；
3. 当被减数和减数都加上（或
减去）同一个数时，它们的差
不变
a - b = c
1.（a ± m）- b = c ± m
2. a - （b ± m）= c
±
m
3.（a ± m）- （b ± m）= c
积
1. 一个因数不变，另一个因数
乘（或除以）几（0 除外），积
也乘（或除以）同一个数
2. 一个因数乘几，另一个因数
除以同一个数（0 除外），积不
变
a × b = c
1.（a × m）× b = c × m
（a ÷ n）× b = c ÷ n（n ≠0）
2.（a × n）× （b ÷ n）= c（n ≠0）
商
1. 除法中，除数不变，被除数
乘（或除以）几（0 除外），商
也乘（或除以）几；
2. 被除数不变，除数乘（或除
以）几（0 除外），商反而除以
（或乘）几；
3. 被除数和除数都乘（或除以）
一个相同的数（0 除外），商不
变
a ÷ b = c（b ≠0）
1.（a × m）÷ b = c × m
（a ÷ m）÷ b = c ÷ m（m ≠0）
2. a ÷ （b × m）= c ÷ m（m ≠0）
a ÷ （b ÷ m）= c × m（m ≠0）
3.（a × m）÷ （b × m）= c（m ≠0）
（a ÷ m）÷ （b ÷ m）= c（m ≠0）
（三）巧算方法
除了利用运算定律及和、差、积、商的变化规律进行简便计算外，还有一
些常见的简便计算方法.
方法
概述
举例
凑整法
对于算式中接近整十、整
百……的数，通过转化使其变
成整十、整百……的数加或减
一个数的形式，可使计算简便
437 - 198
= 437 - （200 - 2）
= 437 - 200 + 2
= 239
分解法
在某些乘、除法算式中，可以
把其中的某个数进行分解，使
计算简便
125 × 25 × 32
= 125 × 25 × 8 × 4
= （125 × 8）× （25 × 4）
= 1000 × 100
= 100000
基准数法
若干个都接近某数的数相加，
可以把某数作为基准数，然后
把基准数与相加数的个数相乘，
再加上各数与基准数的差，就
可以得到计算结果
92 + 91 + 89 + 93 + 88
= 90 × 5 + 2 + 1 - 1 + 3 - 2
= 450 + 3
= 453
分组法
对算式中的运算分组进行重新
整合，使之能利用运算定律、
运算性质以及和、差、积、商
的一些性质进行简便计算
99 - 98 + 97 - 96 + … + 3 -
2 + 1
= （99 - 98）+ （97 - 96）
+ … + （3 - 2）+ 1
= 1 + 1 + 1 + … + 1
= 50
常见的量
3
一、长度单位
1. 常用的长度单位有千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫
米（mm）.
“千米”也叫“公里”.
2. 各单位之间进率
1 千米= 1000 米 1 米= 10 分米
1 分米= 10 厘米 1 厘米= 10 毫米
1 米= 100 厘米
÷1000
ඓዛ
ԑዛ
÷10
Ѭዛ
÷10
ዛ
÷10
Ӣዛ
÷1000
÷100
÷100
二、面积单位
1. 常用的面积单位有平方千米（km2）、公顷、平方米（m2）、平方分米
（dm2）、平方厘米（cm2）.
2. 各单位之间进率
1 平方千米= 1000000 平方米= 100 公顷
1 公顷= 10000 平方米
1 平方米= 100 平方分米
1 平方分米= 100 平方厘米
平方厘米
平方分米
平方米
公顷
平方千米
÷100
÷100
÷10000
÷100
三、角度单位
要准确测量一个角的大小，应该用一个合适的角作单位来量.
人们将圆平均分成360 份，将其中1 份所对的角作为度量角的单位，它的
大小就是1 度，记作1˚.
四、体积、容积单位
1. 体积单位
（1）物体所占空间的大小叫做物体的体积.
（2）计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分
米（dm3）、立方米（m3）.
（3）各单位之间的进率
1 m3 = 1000 dm3 1 dm3 = 1000 cm3
2. 容积单位
（1）箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积.
（2）计量容积，一般就用体积单位. 计量液体的体积，如水、油等，常用容
积单位升（L）和毫升（mL）.
（3）升和毫升之间的进率
1 L = 1000 mL
3. 容积单位和体积单位之间的关系
1 L = 1 dm3 1 mL = 1 cm3
五、时间单位
1. 时间单位
常用的时间单位有年、月、日、时、分、秒.
2. 各单位之间的进率
1 年有12 个月
31 日（1、3、5、7、8、10、12 月）——大月
30 日（4、6、9、11 月）——小月
29 日（闰年2 月）
28 日（平年2 月）
1个月=
1 日= 24 时 1 时= 60 分 1 分= 60 秒
3. 平年与闰年
2 月有28 天的是平年，2 月有29 天的是闰年. 平年全年有365 天，闰年全
年有366 天.
公历年份是4 的倍数的一般都是闰年；但公历年份是100 的倍数时，必须
是400 的倍数才是闰年，如1900 年不是闰年，而2000 年是闰年.
六、质量单位
1. 常用的质量单位有吨（t）、千克（kg）、克（g）.
2. 各单位之间的进率
1 吨= 1000 千克
1 千克= 1000 克
七、人民币单位
1. 人民币的单位有元、角、分.
2. 各单位之间的进率
1 元= 10 角
1 角= 10 分
八、名数的改写
1. 在数的后面附有计量单位的数叫做名数.
2. 单名数和复名数
（1）只带一个计量单位的名数是单名数.
（2）带有两个或两个以上同类计量单位的名数是复名数.
3. 高级单位和低级单位
在同类单位中，较大的单位叫高级单位，较小的单位叫低级单位.
4. 名数的改写方法
（1）把高级单位的名数改写为低级单位的名数的方法是：用进率乘高级单
位的数；如果遇到复名数，把高级单位的数改写为低级单位的数以后，还要加
上原有低级单位的数.
（2）把低级单位的名数改写为高级单位的名数的方法是：用低级单位的数
除以相应的进率，商就是高级单位的数；如果改写成复名数，整数商是高级单
位的数，余数是低级单位的数；复名数改写成高级单位的数，把低级单位的数
改写成高级单位的数以后，还要加上原来高级单位的数. 改写关系如下：
高级单位的名数
低级单位的名数
←
→
除以进率
乘进率
式与方程
4
一、用字母表示数
（一）用字母表示数的意义
在数学中，我们经常用字母表示数. 用字母表示数，简明易记、便于应用.
（二）用字母表示数量关系
字母意义
数量关系
s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间
s = vt，v = s
t ，t = v
s
a 表示总价，b 表示单价，c 表示数量
a = bc，b = a
c ，c = a
b
……
……
（1）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记“ · ”，也可以省略不
写；
（2）省略乘号时，一般把数写在字母前面；
（3）当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写；
（4）写在字母前面的分数是带分数时，要化成假分数；
（5）a·a = a2，读作：a 的平方，表示2 个a 相乘.
（三）用字母表示运算定律
运算定律和运算性质
用字母表示
加法交换律
a + b = b + a
加法结合律
（a + b）+ c = a + （b + c）
乘法交换律
ab = ba
乘法结合律
（ab）c = a（bc）
乘法分配律
（a + b）c = ac + bc
减法的性质
a - b - c = a - （b + c）
除法的性质
a ÷ b ÷ c = a ÷ （bc）（b ≠0，c ≠0）
（四）用字母表示计算公式
图形
字母意义
字母公式
长方形
a：长 b：宽 C：周长 S：面积
C = 2（a + b） S = ab
正方形
a：边长 C：周长 S：面积
C = 4a S = a2
平行四边形
a：底 h：高 S：面积
S = ah
三角形
a：底 h：高 S：面积
S = 1
2 ah
梯形
a：上底 b：下底 h：高 S：面
积
S = 1
2 （a + b）h
圆
r：半径 d：直径 C：周长 S：面
积
C = πd = 2πr S = πr2
图形
字母意义
字母公式
长方体
a：长 b：宽 h：高 S：表面积
V：体积
S = 2 （a b + a h + b h ）
V = abh
正方体
a：棱长 S：表面积 V：体积
S = 6a2 V = a3
圆柱
r：底面半径 h：高 C：底面周长
S：底面积 S 侧：侧面积 S 表：表面
积
V：体积
S = πr2
S 侧= Ch = 2πrh
S 表= S 侧+ 2S
V = Sh = πr2h
圆锥
r：底面半径 h：高 S：底面积
V：体积
V = 1
3 Sh = 1
3 πr2h
（五）将数值代入式子求值
将给定的字母的数值代入式子中，求出式子的数值.
把具体的数值代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然
后写出原式，再把数值代入式子求值.
二、简易方程
（一）方程的意义
像100 + x = 250，3x = 2.4……这样，含有未知数的等式就是方程.
注意：方程一定是等式，等式不一定是方程，它们之间的关系如下：
र
வ程
（二）等式的性质
（1）等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等.
（2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，左右
两边仍然相等.
（三）方程的解和解方程的意义
1. 方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
2. 解方程
求方程解的过程叫做解方程.
（四）解方程的方法
1. 利用等式的性质来解方程
（1）解只有一步运算的方程
①方程的左右两边加上或减去同一个数，方程的解不变；
②方程的左右两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，方程的解不变.
（2）解含有二、三步运算的方程
解含有二、三步运算的方程，可根据等式的性质，先把原方程转化为只有
一步运算的方程，再求出方程的解.
2. 根据四则运算中各部分之间的关系解方程
（1）根据加减法中各部分之间的关系解方程
①在加法中，一个加数= 和- 另一个加数
②在减法中，被减数= 差+ 减数，减数= 被减数- 差
（2）根据乘除法中各部分之间的关系解方程
①在乘法中，一个因数= 积÷ 另一个因数
②在除法中，被除数= 商× 除数，除数= 被除数÷ 商
（五）方程的解的检验方法
解完方程后，需要通过检验，验证求出的解是否成立. 这就要先把所求出的
未知数的值代入原方程，看方程左边的得数和右边的得数是否相等. 若得数相
等，所求的值就是原方程的解，若得数不相等，就不是原方程的解.
（六）列方程解决实际问题的步骤
（1）找出未知数，用字母x 表示；
（2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程；
（3）解方程并检验作答.
比和比 例
5
一、比
1. 比的意义
两个数的比表示两个数相除.
在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后
项. 比的前项除以后项所得的商，叫做比值. 比值通常用分数表示，也可以用小
数或整数表示.
如15 ∶ 10 = 15 ÷ 10 =
2
3
前
项
比
号
后
项
比
值
2. 比、除法和分数的区别与联系
名称
比
除法
分数
各部分名称
前项
被除数
分子
比号
除号
分数线
后项
除数
分母
比值
商
分数值
书写形式
a ∶b 或 b
a
a ÷ b
b
a
意义
比表示两个或多个
数的倍数关系
除法是一种运算
分数是一种数
关系
比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为0
3. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值
不变.
4. 比、除法、分数的性质
名称
内容
关系
比的基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数
（0 除外），比值不变
比的基本性质、
商不变的规律和
分数的基本性质
的实质相同
商不变的规律
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0
除外），商不变
分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以相同的
数（0 除外），分数的大小不变
5. 化简比
比的前项和后项都是整数，并且互质，这样的比就是最简单的整数比.
根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比，这个过程就叫化简比，
也叫比的化简.
6. 求比值和化简比的区别
名称
意义
方法
结果
求比值
求比的前项除以后项所
得的商
根据比值的意义，用前
项除以后项
比值是一个数
化简比
把比化成最简单的整数
比
根据比的基本性质，前
项和后项同时乘或除以
相同的数（0 除外）
化简结果仍是
一个比
7. 按比分配应用题
（1）按比分配应用题：把一个量按照一定的比分成几部分，求各部分量是
多少的应用题叫做按比分配应用题.
（2）解题方法
①一般方法：把比转化成分数，用分数乘法解答，即先求总份数，然后求
出各部分量占总量的几分之几，最后按照“求一个数的几分之几是多少”的解
题方法分别求出各部分量是多少.
②归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用“总量÷ 总份数
= 每份的量（归一）”再用“每份的量× 各部分量所对应的份数”求出各部分
量.
③用比例知识解答：首先设未知量为x，然后根据题中“已知比等于相对应
的量的比”的等量关系列出含有x 的比例式，再解比例式求出x 的值.
二、比例
1. 比例的意义
（1）比例意义：表示两个比相等的式子叫做比例.
（2）组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中
间的两项叫做比例的内项.
2.4
1.6
IJ
60
40
IJ
=
Яᮊ
ܱᮊ
比和比例的区别
名称
意义
项数
能否交换位置
能否组成比或比例
比
表示两个数
相除
两项
前项和后项不能交
换位置
任意两个数（0 除外）都
能组成比
比例
表示两个比
相等的关系
四项
等号左边和右边可
以交换位置
任意四个数不一定都能
组成比例
2. 比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积.
3. 解比例
根据比例的基本性质，已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的
另外一个未知项. 求比例中的未知项，叫解比例.
4. 正比例和反比例
（1）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果
这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们
的关系叫做正比例关系.
49
42
35
28
21
14
7
0
2
4
6
8 10 12 14
ಕ
બсԃ
用字母表示： x
y = k（一定）
（2）反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果
这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的
关系叫做反比例关系.
用字母表示： xy = k（一定）
5. 正、反比例的关系和区别
名称
关系
区别
特征
关系式
正比例
1. 都是两种相关
联的量；
2. 一种量变化，
另一种量也随着
变化
这两种量中相对应的两个数
的比值一定
x
y = k（一定）
反比例
这两种量中相对应的两个数
的积一定
xy = k（一定）
三. 比例尺
1. 比例尺的意义
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺.
图上距离∶实际距离= 比例尺 或 图上距离
实际距离= 比例尺
2. 比例尺的分类
（1）数值比例尺
为了方便计算，一般把比例尺写成前项或后项是1 的形式.
如1∶10000 或 10000
1
（2）线段比例尺
通常，一幅北京地图的比例尺是这样表示的：0
50km，表示地图上1cm
的距离相当于地面上50km 的实际距离.
（3）把线段比例尺改成数值比例尺
如把0
50km改成数值比例尺.
解：图上距离∶实际距离
= 1cm ∶5000000cm
= 1∶5000000
3. 比例尺应用中的易错点：由于比例尺表示图上距离是实际距离的几分之
几或实际距离是图上距离的几倍，因此它们的单位是相同的，当图上距离是
“cm” 时，求出的实际距离的单位也是“cm”.
4. 用比例尺的知识解决实际问题的步骤.
（1）找出已知条件和所求问题；
（2）列出等量关系（图上距离∶实际距离= 比例尺）；
（3）列式计算（算术法或列比例法）；
（4）检验，并写出答语.
过程中，比例尺的前项和后项的单位要相同
最后，比例尺是一个比，不带单位名称
第二部分·图形与几何
图形与几
何
平面图形
平面图形的认识
线
角
三角形
四边形
圆，圆环，扇形
平面图形的周长
和面积
常见平面图形的周长
常见平面图形的面积
平面图形面积公式的推导过程
不规则图形的面积
组合图形的面积
立体图形
立体图形的认识
长方体、正方体的认识
圆柱、圆锥的认识
立体图形的度量
表面积、体积和容积
表面积、体积的计算公式
体积和容积的异同
观察物体
从不同方位观察物体
展开与折叠
图形的位置
与运动
图形的位置
方向
数对
图形的运动
轴对称
平移与旋转
图形的放大与缩小
平面图形的认识
6
一、线
1. 直线、射线、线段
名称
图形
表示方法
意义
特征
线段
A
B
线段AB 或线
段BA
一根拉紧的线，
绷紧的弦，都可
以看作线段
线段有两个端点，
可以度量长度
直线
A
B
直线AB 或直
线BA
把线段的两端无
限延伸，就得到
一条直线
直线没有端点，
可以向两端无限
延长，不能度量
长度
射线
O
A
射线OA（表
示端点的字
母写在前面）
把线段的一端无
限延伸，就得到
一条射线
射线只有一个端
点，可以向一端
无限延长，不能
度量长度
2. 相交与平行
（1）相交：两条直线互相交叉在一起、交于一点.
如：
互相垂直：两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫
做另一条直线的“垂线”，这两条直线的交点叫垂足. 如：
a
O
b
图中直
线a 与b 相互垂直， 记作a ⊥b，读作a 垂直于b.
（2）平行
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 也可以说两条直线相互平行.
（两条平行线之间的距离处处相等）
如：
a
b
图中直线a 与b 相互平行，记作a ∥b，读作a 平行于b.
3. 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直
线的距离.
二、角
1. 角的意义及表示方法
从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条
射线叫做角的边. 角通常用“∠”表示. 下图的角可以记作∠AOB（读作“角
AOB”或“角BOA”）
ᮇག
A
O
B
2. 角的分类
名称
图形
意义及特征
锐角
小于90°的角叫锐角
锐角＜90°
直角
等于90°的角叫直角
直角= 90°
钝角
大于90°而小于180°的角叫钝角
90°＜钝角＜180°
平角
一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫
平角
平角= 180°
周角
一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫
周角
周角= 360°
角的大小关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角
1 周角= 2 平角= 4 直角
3. 角的度量
（1）要准确测量一个角的大小，应该用一个合适的角作单位来量. 人们将圆
平均分成360 份，将其中1 份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1 度，
记作1° .
（2）度量角的工具是量角器.角的计数单位是“度”，用符号“°”表示.量
角器为半圆形状，被平均分成180 份，每一份所对的角的大小是1 度，记作1° .
（3）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角
的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的度数，就是这个角的度数.
4. 角的画法
（1）画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重
合.
（2）在量角器所要画的角度的刻度线的地方点一个点.
（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线.
三、三角形
1. 三角形的特性
（1）由三条线段围成的图形（每相邻的两条线段的端点相连）叫做三角形.
组成三角形的三条线段叫做三角形的边；每两条边的交点叫做三角形的顶
点；相邻两条边所组成的角叫做三角形的内角或三角形的角（如图1）.
从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫
做三角形的高，这条对边叫做三角形的底. 线段AB、BC、AC 是三角形的边，
∠A、∠B、∠C 是三角形的内角. 三角形可用“△”表示，如三角形ABC 也可
记作△ABC（如图2）.
ᮇག
ᝈ
ᝈ
ᝈ
ᮇག
ᮇག
A
B
C
ᰴ
अ
图1 图2
（2）三角形的内角和等于180° .
（3）三角形任意两边的和大于第三边.
（4）三角形具有稳定性.
2. 三角形的分类
（1）按角分
种类
图形
特征
锐角三角形
三个角都是锐角
直角三角形
ᄰᝈ
ᄰᝈ
ப
有一个角是直角
斜边＞直角边
钝角三角形
有一个角是钝角
（2）按边分
种类
图形
特征
不等边三角
形
三条边都不相等，不是轴对称图形
种类
图形
特征
等腰三角形
ᒉ
ᒉ
ᮇᝈ
अ
अᝈ
अᝈ
有两条边相等，是轴对称图形，有1 条对
称轴，两底角相等
等边三角形
三条边都相等，是轴对称图形，有3 条对
称轴，三个内角都相等，都是60°
四、四边形
1. 四边形
在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭
图形叫四边形. 四边形有四条边，四个角. 任意四边形的内角和是360° . 四边
形易变形，具有不稳定性.
2. 平行四边形
两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形.
从平行四边形一条边上的一点向对边引出一条垂线，这点和垂足之间的线
段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底（如图）.
ᰴ
अ
3. 长方形
有一个角是直角的平行四边形，叫做长方形.
4. 正方形
四条边都相等并且四个角都是直角的四边形，叫做正方形.
5. 梯形
只有一组对边平行的四边形叫做梯形.
ʽअ
ᒉ
ᒉ
ᰴ
ʾअ
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
ᒉॎ
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
ᄰᝈॎ
6. 四边形的种类和特征
名称
图形
特征
一般四边形
由四条边围成，没有对称轴
平行四边形
两组对边分别平行且相等，两组对角
分别相等，没有对称轴
长方形
两组对边分别平行且相等，四个角都
是直角，有2 条对称轴
正方形
四条边都相等，四个角都是直角，
有4 条对称轴
梯形
只有一组对边平行的四边形，
等腰梯形有1 条对称轴
7. 四边形的关系
پॎ
ࣱᛡپॎ
᫂வॎ
வॎ
ॎ
五、圆、圆环、扇形
1. 圆的认识
（1）圆：一条线段绕着它固定的一端在平面内转动一周时，它的另一端会
画出一条封闭曲线，这条封闭曲线叫做圆.
（2）圆心：用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心. 一般用字母O 表示.
（3）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径. 一般用字母r 表
示.
（4）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径. 一般用字母d 表示.
ᄰय़d
ӧय़r
ړॷO
2. 圆的特征
（1）把圆沿任何一条直径对折，两边可以重合.
（2）一个圆里的半径有无数条，直径有无数条.
（3）同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是
半径的2 倍.
（4）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.
（5）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，一个圆
有无数条对称轴.
3. 圆周率
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它
叫做圆周率，圆周率用“π” 表示. 圆周率是一个无限不循环小数，即
π = 3.1415926……，但在实际应用中常常只取它的近似值，例如π≈3.14.
4. 圆的画法
（1）把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离（即定半径）；
（2）把有针尖的一端固定在一点上（即定圆心）；
（3）把装有笔的一端旋转一周，就能画出一个圆（如图）.
ࣜద᧫
࠹ᄊᑮ
ࣜదᨥ
ቸᄊᑮ
5. 圆环
（1）两个半径不相等的圆，当圆心重合时（也叫同心圆），两圆之间的部分叫
圆环.
（2）下图阴影部分为圆环. 我们通常把大圆叫外圆，半径用R 表示；小圆
叫内圆，半径用r 表示.
Яړ
ܱړ
R
r
6. 扇形
（1）一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形.
（2）如下图，圆上A、B 两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”.
（3）像∠AOB 这样顶点在圆心上的角叫做圆心角.
（4）在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关.
O
A
B
六、平面图形的周长和面积
1. 常见平面图形的周长
周长：封闭图形一周的长度叫周长.
名称
图形
周长（C）
长方形
a
b
C = 2（a + b）
正方形
a
a
C = 4a
圆
r
d
C = πd = 2πr
2. 常见平面图形的面积
面积：物体的表面或封闭图形的大小，就是它的面积.
名称
图形
面积（S）
长方形
a
b
S = ab
正方形
a
a
S = a²
平行四边形
a
h
S = ah
三角形
a
h
S = 1
2 ah
梯形
b
h
a
S = 1
2 （a + b）h
圆
r
d
S = πr²
名称
图形
面积（S）
圆环
r
R
S = πR² - πr²
= π（R² - r²）
3. 平面图形面积公式的推导过程
名称
面积公式的推导过程
图例
长方形
用方格的方法推导
a
b
正方形
正方形是长和宽相等的长方
形
a
a
平行四
边形
通过割补、平移转化成长方
形
h
名称
面积公式的推导过程
图例
梯形
把两个完全相同的梯形通过
旋转、平移、拼组转化成平
行四边形. 这个平行四边形的
底等于梯形的上底与下底的
和，高与梯形的高相等. 梯形
的面积是拼成的平行四边形
面积的一半
a
b
h
三角形
把两个完全相同的三角形通
过旋转、平移、拼组转化成
与它们等底等高的平行四边
形. 三角形的面积是拼成的平
行四边形的面积的一半
h
a
圆
把一个圆平均分成若干份
（偶数份）后，拼成一个近似
的长方形. 长方形的长相当于
圆的周长的一半πr，宽相当
于圆的半径
2
r
C
4. 不规则图形的面积
不规则图形的面积可以通过数方格来估算面积，先数满格. 不满一格的都按
半格算. 不规则图形的面积还可以转化为学过的图形来估算.
5. 组合图形的面积
（1）组合图形：由两个或两个以上基本的平面图形组合而成的图形，叫做
组合图形.
（2）组合图形的面积计算
1）分割法：把组合图形合理地分割成几个基本的平面图形后，再通过求这
几个平面图形的面积，最后所得到的面积的和，就是组合图形的面积.
2）添补法：把组合图形添补上一个或几个基本图形，组成一个大的基本的
平面图形，计算它的面积，再减去添补的图形面积，就是组合图形的面积.
立体图形的认识
7
一、长方体和正方体
1. 长方体的认识
长方体：由六个长方形（也可能有两个相对的面是正方形）所围成的立体
图形，叫做长方体.
长方体的面、棱、顶点：围成长方体的长方形或正方形叫做长方体的面；
两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点.
长方体的长、宽、高：我们把相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的
长、宽、高.
ᰴ
᫂
ࠕ
2. 正方体的认识
正方体：长、宽、高都相等的长方体便是正方体，正方体也叫立方体.
೪
೪
೪
3. 长方体和正方体的异同
名
称
图形
相同点
不同点
关系
面
棱
顶
点
面的特点
棱长之和
长
方
体
ᰴ
᫂
ࠕ
6
个
12
条
8
个
有6 个面，一
般都是长方形
（特殊情况下
有两个相对的
面是正方形）
（长+ 宽
+ 高）
× 4
正方体是
长、
宽、
高都相等
的特殊长
方体
正
方
体
೪
೪
೪
6 个面都是完
全相同的正方
形
棱长
× 12
二、圆柱和圆锥
名称
图形
特征
圆柱
अ᭧
ᰴ
Ο᭧
अ᭧
O
1. 圆柱是由三个面围成的. 圆柱的上、
下两个面叫做底面. 圆柱周围的面
（上、下底面除外）叫做侧面.
2. 圆柱两个底面之间的距离叫圆柱的
高. 圆柱有无数条高.
3. 圆柱沿侧面上的高展开后是长方形
或正方形.
4. 以长方形或正方形的一条边所在的
直线为轴旋转一周形成圆柱.
圆锥
अ᭧
h
r
O
ᮇག
1. 圆锥有2 个面，它的底面是圆，侧
面是曲面，侧面展开图是一个扇形.
2. 圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做
圆锥的高，圆锥只有一条高.
3. 以直角三角形的一条直角边所在的
直线为轴旋转一周形成圆锥.
三、立体图形的表面积和体积
1. 表面积：一个立体图形所有面的面积总和叫做它的表面积.
2. 体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积.
3. 容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积.
4. 常见立体图形的表面积和体积的计算公式
名称
图形
字母意义
面积计算公式
体积计算公式
长方
体
h
b
a
a —长
b —宽
h —高
S 表—表面积
V—体积
S 表=
2（ab + ah + bh）
V = abh
长
方
体、正
方
体、
圆柱体
都可以
用“ 底
面积×
高” 来
计算体
积，即
V = S
底
h
正方
体
a
a
a
a —棱长
S 表—表面积
V—体积
S 表= 6a2
V = a3
圆柱
O
h
r
r —底面半径
h —高
C — 底面周
长
S 底—底面积
S 表—表面积
V —体积
S 侧= Ch = 2πrh
S 表= S 侧+ 2S 底
= 2πrh + 2πr2
V = S 底h
= πr2h
圆锥
h
r
O
r —底面半径
h —高
S 底—底面积
V —体积
S 底= πr2
V = 1
3 S 底h
= 1
3 πr²h
5. 体积和容积的异同
体积
容积
不同点
意义不同
物体所占空间的大小，叫做
物体的体积
一个容器所能容纳的物体的
体积，叫做这个容器的容积
测量方法
不同
求物体的体积是从该物体的
外部来测量所需要的数据的
求物体的容积是从物体的内
部来测量所需要的数据的
单位名称
不完全相
同
体积单位一般用立方米、立
方分米、立方厘米. 计算液
体的体积时一般用升和毫升
容积一般用体积单位. 计算
盛放液体的容器的容积时要
用升和毫升
共同点
计算公式
相同
1. 长方体（或正方体）的体积（或容积）= 长× 宽× 高
（或棱长× 棱长× 棱长）= 底面积× 高
2. 圆柱的体积（或容积）= 底面积× 高
3. 圆锥的体积（或容积）= 底面积× 高× 1
3
四、观察物体
1. 从不同方位观察立体图形组合
从正面、侧面（左面或右面）、上面三个方向观察一个立体图形，就会得到
描述这个立体图形的三张平面图，简称为三视图.
从正面看 从左面看 从上面看
2. 展开与折叠
利用操作材料，我们可以通过将长方体、正方体分别转化为平面展开图的
过程，体会展开与折叠的规律，进一步理解长方体、正方体的特征.
正方体展开图
（1）“141 型”，中间一行4 个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6
种基本图形.
（2）“231 型”，中间3 个作侧面，共有3 种基本图形.
（3）“222”型，每两行只能有1 个正方形相连.
（4）“33”型，两行只能有1 个正方形相连.
长方体展开图
图形与位置
8
一、方向
（1）基本方向
基本方向有东、南、西、北. 东与西相对，南与北相对. 在此基础上又得出
东北、东南、西北、西南四个方向.
ק
ᠭ
τ
τ
τק
ᠭק
ᠭ
（2）地图上的方向
地图通常是按照“上北下南、左西右东”来绘制的. 观察一幅地图时，要先
看清楚所给的方向，然后据此辨认出其他方向.
（3）路线图
从一处到另一处所经过的道路叫路线. 把所经过的路线上的一系列地点按实
际位置绘制成图，就是路线图. 在实际生活中，理解路线的含义，看懂路线图，
有很重要的意义.
二、位置
（1）位置
在具体的情境中，物体所在或占的地方就叫位置.
（2）数对
在一个平面内，可用数对来确定物体的位置.
ኄ̋ᛡ
ኄپᛡ
ኄʼᛡ
ኄ̄ᛡ
ኄʷᛡ
ኄѵ
ኄѵ
ኄѵ
ኄѵ
ኄѵ
ኄѵ
通常我们把平面内的竖排叫列，横排叫行. 上图中黑色的圆在第5 列第1 行，
可以表示为（5，1），像（5，1）这样的就叫做数对. 确定第几列一般从左往右
数，确定第几行一般从前往后数.
用数对确定物体的位置时要注意以下两点：
（1）在数对中先表示第几列，再表示第几行；
（2）用数对确定位置时有规范的书写格式，书写时要用小括号把列数和行
数括起来，并在列数和行数之间用逗号将两个数隔开.
确定位置的方法
（1）用上、下、前、后、左、右来描述位置；
（2）用东、南、西、北、东南、东北、西南、西北等方向来描述位置；
（3）把方向与距离结合起来确定位置；
（4）用数对来确定位置.
生活中，一般用方向与距离这两个条件来确定物体的位置，并绘制成简单
的路线图. 这样即可确定平面图上物体的位置.
三、图形的运动
1. 图形运动的方式：平移、旋转、轴对称、放大、缩小.
2. 轴对称图形与轴对称
（1）轴对称图形
如上图，一个图形沿一条直线对折，折痕两侧的图形能完全重合，这样的
图形就是轴对称图形，折痕所在的直线就是它的对称轴，这时我们也说这个图
形关于这条直线对称.
（2）轴对称
把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能与另一条图形完全重合，那么就
说这两个图形关于这条直线对称，叫做轴对称. 这条直线叫做对称轴. 折叠后重
合的点是对应点，叫做对称点.
（3）轴对称图形与轴对称的区别.
轴对称图形（一个图形） 轴对称（两个图形）
3. 平移和旋转
（1）平移：物体或图形在同一平面内沿直线运动，而本身没有发生大小、
形状和方向上的改变，像这样的物体或图形所做的运动叫做平移.
平移的两个要素：一是平移的方向，二是平移的距离.
（2）旋转：物体或图形绕着一个点或一个轴运动，像这样的物体或图形所
做的运动叫做旋转.
旋转的三要素：一是旋转中心，二是旋转方向，三是旋转角度.
四、图形的放大和缩小
把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小，从而得到该图形的放大图
或缩小图.
第三部分·统计与概率
统计
9
统计指的是对与某一现象有关数据的收集、整理、计算、分析、解释、描
述等活动. 其过程可以概括为：收集数据、整理数据、描述数据、分析数据.
一、分类与整理
分类思想是一种基本的数学思想，它是根据一定的标准，对事物进行有序
划分和组织的过程. 分类是收集、整理、描述数据的基础.
分类结果在单一标准下具有一致性，在不同标准下具有多样性.
象形统计图：利用现象本身的象形画来显示统计数据的图形. 它的形象直
观，使人一眼就能了解此幅图所表达的是哪些方面的信息.
二、数据收集整理
1. 数据的收集
（1）全面调查：对需要调查研究的对象进行逐个调查.
（2）部分调查：从全部调查研究对象中，抽选一部分进行调查，并用来对
全部调查研究对象做出估计和推断.
“正”字记录数据，一个“正”字刚好5 票，统计票数比较简便.
2. 数据的整理
主要是指对原始数据进行加工处理，使之系统化、条理化，以符合统计分
析的需要，同时用图表形式将数据展示出来，以便简化数据，使之更容易理解
和分析.
三、统计表
1. 统计表的定义
把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表
格叫做统计表. 统计表能把各种数据集中地、清晰地反映出来，使人一目了然.
2. 统计表的结构
（1）表格外部：标题名称、单位说明、制表日期.
（2）表格内部：表头、横栏、纵栏、数据.
3. 统计表的分类
（1）单式统计表：只含有一个项目的统计表
实验小学三年级（3）班男生最喜欢的活动统计表
单位：人 2018 年10 月制
活动
看书
踢球
看电视
画画
跳绳
玩电子游戏
人数
3
4
5
2
2
8
（2）复式统计表：为了便于分析比较，有时我们会把调查内容一样的多个
统计表合编成一个统计表. 含有两个或两个以上统计项目的统计表，叫做复式
统计表.
实验小学三年级（3）班最喜欢的活动统计表
单位：人 2018 年10 月制
活动
人数
性别
看书
踢球
看电视
画画
跳绳
玩电子游戏
男生
3
4
5
2
2
8
女生
5
1
4
4
3
3
4. 统计表的制作步骤
（1）收集数据
（2）整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类.
（3）设计草表：要根据统计的目的和内容设计表头，确定横栏、竖栏各需
几格及每格长度.
（4）正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明
确的语言写上统计表的名称、单位名称和制表日期，有时还要注明制表人.
四、统计图
1. 统计图的意义
用点、线、面、体等来表示相关联的量之间的数量关系的图形叫做统计
图. 用统计图表示有关数量之间的关系更加直接形象具体，使人一目了然，印
象深刻.
2. 统计图的分类
ፒᝠڏ
ॎፒᝠڏ
ઉጳፒᝠڏ
ॎፒᝠڏ
ӭरጳፒᝠڏ
ܭरጳፒᝠڏ
ӭरઉጳፒᝠڏ
ܭरઉጳፒᝠڏ
3. 条形统计图
（1）定义 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同
的直条（直条宽度相同），然后把这些直条按照一定的顺序排列起来.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
ం
ܳ̈
ᭁ
ܹඡ
ܹ
Ӓࣲ̛࣊థܹඡፒᝠڏ
ܹ
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
ం
ܳ̈
ᭁ
ܹඡ
Ӓࣲ̛࣊థ֗థܹඡፒᝠڏ
థ
థ
（2）优点 条形统计图便于直观了解数据的大小及不同数据的差异.
（3）制图步骤
1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的横轴和纵轴.
2）在横轴上，适当分配直条的位置，确定直条的宽度和间隔.
3）在纵轴上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少.
4）按照数据的大小画出长短不同的直条.
5）写出标题，注明各直条所表示的统计对象，注明单位，写明调查日期或
制图日期.（复式条形统计图应画图例）
4. 折线统计图
（1）定义 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然
后把各点用线段顺次连接起来，这样的统计图叫做折线统计图.
17
18
22
24.9
27.4 28.1 28.8 28.2 26.8
24.8
21.8
18.7
3
5
10
16.1
21.3
25.7
28.4 27.7
23.3
17.5
11.1
5.4
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
气温/℃
时间/月
甲、乙两地月平均气温统计图
甲地
乙地
426
394
468
464
489
489
519
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
500
510
520
2005
2007
2009
2011
2013
参赛队伍/支
年份
中国青少年机器人大赛参赛队伍统计图
（2006‐2012年）
0
（2）优点 折线统计图不但可以表示出数量的多少，还便于直观了解数据的
变化趋势.
（3）制图步骤
1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的横轴和纵轴.
2）分别确定横轴和纵轴上的单位长度，然后画出方格图.
3）根据各种数量的多少，在方格图的横线上描出表示数量多少的点，并注明
数量.
4）把各点用线段依次连接起来.
5）写出标题，注明各点所表示的统计对象，注明单位，写明调查日期或制
图日期.（复式折线统计图应画图例）
5. 扇形统计图
（1）定义
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量所占总数
的百分比.
ᄜڡ
ࡣڡ
ᰴԔ
19%
26%
33%
ˈᬜ10%
ࣱԔ12%
˗ڎՊመڡॎ᭧ሥፒᝠڏ
（2）优点
扇形统计图可以清楚地反映出各部分数量与总数之间的关系.
（3）制图步骤
1）先算出各部分数量占总数的百分比.
2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数.
3）取适当的半径画一个圆，用量角器按照算出的圆心角度数，在圆里画出
各个扇形.
4）注明各扇形所表示的内容和所占的百分比，并用不同颜色或条纹加以区
分.
5）写出标题，写明调查日期或制图日期.
6. 统计图的选用
根据统计图的各自特点，选择合适的统计图.
五、常用统计量
平均数
（1）平均数的定义 一组数据的和除以这组数据的个数所得的商就是这组数
据的平均数.
（2）平均数的求法 平均数= 总数÷ 总份数
可能性
10
一、事件
1. 事件的定义 事件就是在一定的条件下出现的某种结果.
2. 事件的类型
（1）确定事件：生活中一些事件的发生是确定的，是一定发生或一定不发
生的，这样的事件称为确定事件.
（2）不确定事件：生活中有些事件时而发生，时而不发生，这样的事件称
为不确定事件.
事件的描述 一定、可能、不可能.
二、可能性
1. 可能性大小
不确定事件的发生存在可能性大小. 当条件对某事件有利时，发生的可能性
就大一些；当条件对某事件不利时，发生的可能性就小一些.
2. 可能性大小的描述
某种事件发生的可能性有大有小，可以用“一定”、“经常”、“偶尔”、“不
可能”等词语来描述可能性大小.
3. 游戏规则的公平性
就是指对游戏的双方来说，获胜的机会是均等的，即获奖的可能性大小是相
等的.
第四部分·实践与综合运用
探索规律
11
一、数列中的规律
1. 数列
按照一定的顺序排列的一列数.
2. 数列的规律
（1）相邻两数存在固定的差值或倍数
2，5，8，11，14，17……
相邻两数的差是3.
1，2，4，8，16，32……
相邻两数是2 倍关系，同时数一直增大.
（2）几项为一组，重复出现
3，1，4，3，1，4，3，1，4……
从左到右，三个数一组，重复出现.
（3）几项为一组，和等于后一个数
1，1，2，3，5，8，13，21……
从左到右，相邻两数和都等于后一个数.
（4）多个有规律的数列混在一起
7，2，9，4，11，8，13，16……
奇数项相邻两数的差是2，偶数项相邻两数是2 倍关系.
（5）相邻两数的差值，存在一定的规律
1，2，4，7，11，16……
相邻两数的差值是一个相差1 的数列1，2，3，4，5……
1，2，5，14，41，122……
相邻两数的差值是一个倍数是3 的数列1，3，9，27，81……
二、算式中的规律
观察算式和结果特点，找出规律解决问题. 一般可以将算式拆分成几个部
分，这几部分分别探索规律.
三、周期中的规律
1. 周期的定义 若一组事件或现象按同样的顺序重复出现，则把完成这一组
事件或现象的时间或空间间隔，称为周期.
2. 周期中的规律 探索周期中的规律，关键是确定周期，然后用“总量除以
周期”来解决.
四、图形中的规律
1. 图形中的规律 图形中的规律主要有图形数量规律和图形运动规律.
（1）图形数量规律：点、线、面、体的数量变化规律.
（2）图形运动规律：放大与缩小、对称、平移、旋转等变化规律.
2. 数图形的规律
（1）数图形 数图形时，结合图形的组成要素（点、线、面、体）适当分
类，分类有序去数，才能不重不漏，准确数出图形数量.
（2）数线段：先数包含点A 的，再数包含点B 的，……
（3）数角：先数顶点是点A 的，再数顶点是点B 的，……
（4）数正方形：按边长= 1、2、3……来数.
（5）数三角形与数四边形（不含正方形）：按基本组成块数是1、2、3……来
数.
3. 数形结合的规律
数的规律与图形规律两者结合起来思考，探索规律，解决问题.
2
6
5
2
7
4
8
3
解决问题
12
一、简单应用题
1. 加法简单应用题
（1）求总数：已知两个或两个以上的数，求它们的总和.
（2）求比一个数多几的数是多少.
2. 减法简单应用题
（1）求剩余：已知两个数的和及其中一个加数，求另一个加数.
（2）求两数相差多少.
（3）求比一个数少几的数是多少.
3. 乘法简单应用题
（1）求相同数的和：已知每份的数量与份数，求总数.
（2）求一个数的几倍是多少.
4. 除法简单应用题
（1）求一份数（平均分）：已知总数与平均分成的份数，求每份的数量.
（2）求一个数包含几个另一个数（包含除）：已知总数与每份的数量，求平
均分成的份数.
（3）求一个数是另一个数的几倍.
（4）求一倍数是多少.
二、归一归总
1. 归一归总
（1）归一问题：先求出单一量，然后求出总量或份数. 归一问题也可用正比
例解决.
（2）归总问题：先求出总量，然后求出所要求的份数. 归总问题也可用反比
例解决.
2. 数量关系：总量= 单一量× 份数
三、和差倍问题
1. 和倍问题
（1）定义：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数分别是多
少的问题.
（2）数量关系：画线段图可知，1 倍数= 和÷（倍数+ 1）
࠵
ܸ
2. 差倍问题
（1）定义：已知两个数的差及这两个数的倍数关系，求这两个数分别是多
少的问题.
（2）数量关系：画线段图可知，1 倍数= 差÷（倍数- 1）
࠵
ܸ
16
3. 和差问题
（1）定义：已知两个数的和及这两个数的差，求这两个数分别是多少的问
题.
（2）数量关系：画线段图可知，大数= （和+ 差）÷2，小数= （和- 差）
÷2
࠵
ܸ
8
40
四、平均数问题
1. 定义
平均数问题就是把几个不相等的数的和作平均，使它们成为几份相等的数的问题.
2. 数量关系
平均数= 总数÷ 总份数
五、行程问题
研究行路时所产生的路程、速度、时间三者之间关系的问题，就是行程问题.
1. 一般行程
（1）定义：研究一个人或物体运动的问题，就是一般行程.
（2）数量关系：路程= 速度× 时间
2. 相遇问题
（1）定义：两个人或物体，同时从两地相对而行，经过一定的时间相遇，这类
问题就是相遇问题.
（2）数量关系：
路程和= 甲的路程+ 乙的路程；
路程和= 速度和× 相遇时间
3. 追及问题
（1）定义：两个人或物体，同向运动，后面速度快的在一定时间内追上前面速
度慢的，这类问题就是追及问题.
（2）数量关系
路程差= 甲的路程- 乙的路程
路程差= 速度差× 追及时间
4. 火车过桥
（1）定义：一定长度的列车通过一定长度的大桥，计算这个过程中车长、桥长、
列车速度、时间的问题，这类问题就是火车过桥.
（2）数量关系：车长+ 桥长= 车速× 时间
ယᦴᥱጦ
5. 流水行船
（1）定义：船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推
送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程.
（2）数量关系
静水速度= （顺水速度+ 逆水速度）÷2
水流速度= （顺水速度- 逆水速度）÷2
顺水路程= 顺水速度× 时间
逆水路程= 逆水速度× 时间
六、分数应用题
1. 定义：用分数及分数四则运算来解答的应用题，叫做分数应用题.
2. 基本类型
（1）关键：确定“甲是乙的几分之几”
（2）数量关系：甲= 乙× 几分之几
（3）知二求一，列式计算：
1）求几分之几——甲÷ 乙
2）求甲——乙× 几分之几
3）求乙——甲÷ 几分之几（量率对应求单位1）
3. 多少问题
（1）甲比乙多几分之几
数量关系：
甲比乙多的数量= 乙× 几分之几
甲= 乙×（1 + 几分之几）
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ႁ
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1
1
1
4
1
4
甲比乙多的数量= 乙× 1
4
甲= 乙×
1+ 1
4
（2）乙比甲少几分之几
数量关系：
乙比甲少的数量= 甲× 几分之几
乙= 甲×（1 - 几分之几）
ႉ
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˻ඓႉ࠾
1
1
5
1
5
乙比甲少的数量= 甲× 1
5
乙= 甲×
1−1
5
七、工程问题
1. 定义
计算有关工作总量、工作效率和工作时间的问题. 通常全部工作量用“1”来
表示.
2. 数量关系
工作总量= 工作效率× 工作时间
八、生活中的百分数问题
1. 百分数的意义 百分数表示一个数是另一个数的百分之几.
ᲂሤ
ᕗ
377KJ
4%
5%
5%
4%
3%
2.7g
3.2g
12.5g
60mg
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ᕘᔤ
ອلႥ
100g
HR%
该表为某饮品营养成分表
2. 百分率的计算 百分率=
×
符合要求数量
全部数量
100%
3. 成数、折数 几成、几折表示十分之几或者百分之几十.
4. 税率、利率
（1）税率= 应纳税额÷ 相应收入
（2）利息= 本金× 利率× 存期
九、分段计价
根据标准进行分段，每段分别进行计算.
（1）直接分段计价
（2）取整分段计价
十、最值问题——和定积定
1. 和定，差小积大：两个数的和一定，这两个数越接近，它们的积越大.
某地出租车收费标准
3km 以内
13 元
3km - 15km
每千米2.3 元
15km 以外
每千米3.45 元
备注：不足1km 按1km 计算
周长是12 的长方形中，面积最大的是长和宽相等的长方形
周长一定，正方形面积> 长方形面积
2. 积定，差小和小：两个数的积一定，这两个数越接近，它们的和越小.
16 个一样的小正方形拼成长方形，长宽越接近，周长越小
面积一定，正方形周长< 长方形周长
数学广角
13
一、逻辑推理
逻辑推理不涉及专门的数学定理公式，主要运用逻辑思维根据一个或几个
已知的判断（前提）推出新判断（结论）.
1. 条件推理
（1）定义：一般来说判断全部是真，从已知条件出发，推出结论.
（2）常用方法：列表法、画图法、极 端分析法、假设法.
2. 真假推理
（1）定义：一般来说判断有真有假，先假设某个判断是正确的或错误的，
并以此为起点进行推理. 如果出现矛盾就否定假设，重新假设推理，直至符合
题意，得出结论.
（2）常用方法：假设法、找矛盾对立、找相同一致.
二、搭配问题
画连线图，分类有序去枚举所有情况.
三、集合问题
1.Venn 图：人们常常利用Venn 图来解决集合问题.
A
B
2. 数量关系：A 类与B 类总数= A 类数量+ B 类数量- 同时属于两类的
数量
四、优化问题
1. 沏茶问题
有些事情可以同时安排，使完成所有事情的总时间变少. 注意有些事情必须
按照先后顺序完成.
烧水:8分钟
洗水壶:1分钟
洗茶杯:2分钟
续水:1分钟
找茶叶:1分钟
沏茶:1分钟
2. 烙饼问题
①一次可烙2 张，②一张饼正反两面烙2 次.
（1）2 张饼烙2 次，锅可以充分利用；
（2）3 张饼烙3 次（正1 正2，正3 反1，反2 反3），锅可以充分利用；
1
2
3
ኄ
ኄ
Ԧ
ኄ
Ԧ
Ԧ
（3）多张饼可以2 张饼一组或者3 张饼一组，锅可以充分利用.
3. 田忌赛马
三场比赛，某一场可采用 “最劣对最优”的方案，这样其他两场的比赛就相
对有优势.
五、鸡兔同笼
1. 定义：鸡兔同笼是指已知鸡和兔的总头数和总足数，求鸡和兔各是多少
只的应用题.
2. 常用方法：列表法（一一枚举）、假设法（假设、对比、调整）、方程法
（鸡足+ 兔足= 总足数）.
3. 假设法解题步骤：
（1）假设全是鸡；
（2）足差= 总足数- 2× 总头数；
（3）一只兔换一只鸡，增加2 条腿，需要换的次数（兔的只数）= 足差÷
（4 - 2）；
（4）鸡的只数= 总头数- 兔的只数.
六、植树问题
1. 定义：植树问题是研究植树的棵数、段数、段长和全长等数量关系的问
题.
2. 公式：全长= 段长× 段数
3. 不封闭植树路线
（1）两端植树，棵数= 段数+ 1
（2）一端植树，棵数= 段数
（3）两端不植树，棵数= 段数- 1
4. 封闭植树路线，棵数= 段数
七、方阵问题
1. 定义：方阵其实是一种队形，一个团队排队，横着排叫行，竖着排叫列，
若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这种队形就叫做方阵. 将一些物
体按照这样的方式排列起来，也叫做方阵.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
15
16
17
18
19
20
21
2 3 4 5 6 7 8 9
1819
1011121314151617
11
2. 分类：实心方阵、空心方阵
3. 数量关系：
（1）行数= 列数，总数= 行数× 列数
（2）每层数= （每边数- 1）×4
（3）相邻两层总数相差8
相邻两层每边相差2
八、找次品
平均分成3 份，不能平均就让这3 份的数量尽可能接近.
九、数形结合
1. 从1 开始连续奇数和：可以借助正方形铺大正方形来解决.
1+3+5=32
2. 多次吃一半：用一个圆或一条线段表示“1”，数量关系是“吃的= 全部
蛋糕- 剩下的蛋糕”.
1
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
…
1
1
1
1
1
1
2
4
8
16
32
64
+
+
+
+
+
+
=
1
十、抽屉原理
1. 抽屉原理：将m 个苹果放到n 个抽屉里，计算m÷n. 若无余数，至少数
= 商；若有余数，至少数= 商+ 1.
10 个苹果放到3 个抽屉里，有一个抽屉至少有4 个苹果
2. 最不利原则：最不利的情况都能实现要求，所有情况都能实现要求.
综合运用
14
1. 数字编码
数字编码可以用来表达信息，具有简洁性、唯一性. 在理解或设计数字编码
过程中，我们通常会将数字编码分段处理，确定或设计每一段的对应信息.
2. 租车问题
租车问题中，每个人都要有座，优先考虑多租用座位单价较低的车辆，列
表找出所有可行方案，计算各个方案所需费用，选择费用最低的方案.
ඈᣚЋὊᬍᣒ̡ ඈᣚЋὊᬍᣒ̡
3. 打电话
知道的人要不停地通知还不知道的人，这样通知完所有人的时间才最短. 记
录每一个阶段知道的新增人数或总人数，找出规律，解决问题.
1
1
1
2
2
3
3
3
3
2
2
……
4. 购物问题
同样的商品，不同的商店采用不同的优惠方案. 购买同样的商品，计算出各
个购买方案的应付钱数，选择应付钱数最少的方案.
（打折、满减、买赠，3 个对比，思考选择哪个方案）
5. 自行车里的数学
（1）前齿轮齿数× 前齿轮转数= 后齿轮齿数× 后齿轮转数
（2）变速自行车组合速度的种类= 前齿轮齿数种类× 后齿轮齿数种类
1）前、后齿轮齿数相差大的，比值就大，车速较快，但骑车人较费力；
2）前、后齿轮齿数相差小的，比值就小，车速较慢，但骑车人较省力.
6. 有趣的平衡
左边棋子数× 左边刻度数= 右边棋子数× 右边刻度数
2
3
4
5
6
3
2
1
1
6
5
4
