清华附小（20类）黄金母题（小学奥数）_7-2026小升初数学复习资料

清华附小（20类）黄金母题（小学奥数） 目录 1. 和差问题……………………………………………………………………2 2. 等量代换……………………………………………………………………11 3. 错中求解……………………………………………………………………19 4. 和倍问题……………………………………………………………………27 5. 差倍问题……………………………………………………………………39 6. 对应解题……………………………………………………………………48 7. 还原解题……………………………………………………………………58 8. 寻找规律……………………………………………………………………68 9. 最优问题……………………………………………………………………81 10. 追及问题……………………………………………………………………91 11. 盈亏问题……………………………………………………………………102 12 .容斥问题……………………………………………………………………110 13. 鸡兔同笼……………………………………………………………………120 14. 分解质因数…………………………………………………………………130 15. 牛吃草问题…………………………………………………………………139 16. 分类数图形…………………………………………………………………147 17. 一般工程问题………………………………………………………………159 18. 圆面积问题…………………………………………………………………171 19. 流水行船问题………………………………………………………………182 20. 综合行程问题………………………………………………………………195 1和差问题 1、和差问题 已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量 关系是： （和－差）÷2=小数 小数＋差=大数（和－小数=大数） 或：（和＋差）÷2=大数 大数－差=小数（和－大数=小数） 2、解题策略 解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂 的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解 答。 典例分析 例1、期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人各考了多少分？ 【解析】根据题意画出线段图。 我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为188+4=192分， 2这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分。 例2、两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多少千克？ 【解析】大筐+小筐=124千克，大筐-小筐=8千克. 利用公式 （和－差）÷2=小数 小数＋差=大数（和－小数=大数） 得到 124-8 2=58 千克，也就是小筐58千克，大筐58+8=66千克。 例3、两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。两筐原来 各有多少个梨？ 【解析】根据题意，第一筐减少10个，第二筐增加10个后，则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比第 二筐多10×2=20个。假如从120个中减去20个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的2倍，所以，第二 筐原来有（120－20）÷2=50个，第一筐原来有50＋20=70个 例4、某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8部，那么两个车间车床数 相等。两个车间各有车床多少部？ 【解析】用线段图表示题意。 已知第一、二两个车间共有车床96部，又根据“如果第一车间拨给第二车间8部，两个车间车床数 相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二车间多8×2=16部车床。所以，第一车间原有：（96+8 ×2）÷2=56部，第二车间原有56－8×2=40部。 例5、哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有 邮票多少张？ 3【解析】我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，根据“如果哥哥给 弟弟4张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张 邮票。所以，弟弟有邮票：（70－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。 例6、把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段绳子 各长多少米？ 【解析】用线段图来表示题意。 可以这样想：把第一段绳子的长度当作标准，假设第二、第三段绳子都和第一段同样长，那么总长就 变为100－16＋18=102米。 第一段绳子长：102÷3=34米 第二段绳子长：34+16=50米 第三段绳子长：34－18=16米 例7、四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁。最大的 年龄是多少岁？ 【解析】我们可以这样思考，将最大、最小两个人年龄的和与另外两人年龄和分别看作大数与小数，根据 四个人的年龄和是88岁，年龄差是8岁，即可求出大数与小数。 大数：（88+8）÷2=48岁 最大的年龄：48－3=45岁 例8、今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁？ 【解析】3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁。显然，这属于 和差问题。所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁。 例9、三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵？ 4【解析】假如把三、四年级植的128棵加上20 棵，得到的和就是四年级植树的2倍，所以，四年级植树的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树的棵 数是74－20=54棵。 这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树棵数的2倍，由出，先 求出三年级植树的棵数（128－20）÷2=54棵，再求出四年级植树的棵数：54＋20=74棵。 例10、甲乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8 袋。两个仓库原来各有多少袋大米？ 【解析】先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出25袋放 到 乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多25 × 2＋8=58袋。由此可求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原 来 有800－429=371袋。 实战演练 P —— (Practice-Oriented) 实战演练  课堂狙击 1、小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。两人分别高多少厘米？ 【解析】小宁身高是（264-8）÷2=128厘米 小慧身高是128+8=136厘米 2、甲、乙两筐共有水果80千克，若从甲箱取出6千克放到乙箱中，这时两箱水果同样多。两箱原来各有 水果多少千克？ 5【解析】由题知道，甲比乙多12千克。 则甲箱：（80+12）÷2=46千克 乙箱：（80-12）÷2=34千克 3、一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。上、下层各放书多少本？ 【解析】现在上层有 (72+4)÷2=38(本) 原来上层有 38+9=47(本) 原来下层有 72-47=25(本) 4、某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人。 三个车间各有工人多少人？ 【解析】 第二车间=（280-10+15）÷3=95人 第一车间=95+10=105人 第三车间=95-15=80人 5、甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各多少岁？ 【解析】甲：(35-5)÷2=15岁 乙：15+5=20 岁 6、红星小学三（1）班和三（2）班共有学生108人，从三（1）班转3人到三（2）班，则两班人数同样多。 两个班原来各有学生多少人？ 【解析】 1班原有人数：108÷2+3=54+3=57人 2班原有人数：108-57=51人 或者：108÷2-3=54-3=51 人 7、今年小刚和小强俩人的年龄和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁。今年小刚和小强各多少岁？ 【解析】一年前，两人年龄和是19岁。 小刚比小强小3岁不变， 则一年前小强年龄：(19-3)÷2=8岁，现在年龄8+1=9岁， 一年前小刚年龄：19-8=11岁，现在年龄11+1=12岁。 68、甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中，则甲箱比乙箱还多6袋。两箱原来 各有多少袋？ 【解析】甲箱：4+6÷2+90÷2＝52袋 乙箱：90-52＝38袋 9、把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米。长和宽各是多少厘米？ 【解析】84÷2=42厘米 长：（42+6）÷2=24厘米 宽：（42-6）÷2=18厘米  课后反击 1、三（1）班和三（2）班共有学生124人，如果从三（2）班调2人到三（1）班，两班学生同样多。三（1） 班、三（2）班原来各有学生多少人？ 【解析】由题知道，（2）班比（1）班多4人。 （1）班人数：（124-4）÷2=60人 （2）班人数： （124+4）÷2=64人 2、有三只船共运木板9800块，第一只船比其余两船共运的少1400块，第二只船比第三只船多运200块。 三只船各运木板多少块？ 【解析】设第一、二、三只船分别为甲、乙、丙，则 （1）甲+乙+丙=9800；（2）甲+1400=乙+丙；（3）乙-丙=200； 从（3）式可得出乙=丙+200，代入（1）式，则有甲+（丙+200）+丙=9800，即：（4）甲+2丙=9600 将（3）式代入（2）式，则有甲+1400=丙+200+丙，即：（5）甲-2丙=-1200 （4）跟（5）式解方程，可得出甲=4200、丙=2700，将丙值代入（3）式，得出乙=2900 即第一只船运4200块木板，第二只船运2700块木板，第三只船运2900块木板。 3、姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么姐姐和妹妹原来各有糖果多 少块？ 7【解析】姐姐比妹妹少3块，那么在给她们3块，姐姐和妹妹就相等了，所以有(39+3÷2=21。 21也是妹妹的现在的块数。21-7=14妹妹原本的块数。39-14=25姐姐原本的块数 4、某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多 得125元。三名优秀工人各得多少元？ 【解析】第三名： (857-125-125-250)÷3=119 第二名：119+125=244 第一名：244+250=494 第三名119第二名244第一名494 5、某校四个年龄共有438名学生，其中一年级119人，四年级101人，一、二年级的总人数比三、四年级 的总人数多52人。二、三年级各有多少人？ 【解析】二、三年级人数：438-119-101=218人 一、二年级人数：（438+52）÷2=245人 三、四年级人数：245-52=193 人 二年级人数：245-119=126人 三年级人数：193-101=92人 6、用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克。锡和铝各是多少千克？ 【解析】铝的重量：（600+400）÷2=500人 锡的重量：600-500=100人 7、某汽车公司两个车队共有汽车80辆，如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等。 两个车队原来各有汽车多少辆？ 【解析】第一车队比第二车队多20辆车。 则第一车队车数：（80+20）÷2=50辆 第二车队车数：50-20=30辆 8、黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡敏今年各多少岁？ 8【解析】四年后，两人年龄和是31岁。两人年龄差不变为3岁。 则黄茜4年后的年龄：（31+3）÷2=17岁，今年的年龄17-4=13岁。 胡敏4年后的年龄：17-3=14岁，今年的年龄14-4=10岁。 9、赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动，共跑1080米。游泳池的长和宽各是 多少米？ 【解析】 6圈1080米，1圈1080÷6=180米，长和宽的和是180÷2=90米，长比宽多30米，那么和60，宽30 或（宽+30+宽）× 2 × 6=1080 得到宽=30米 直击赛场 1、小军一家四口年龄之和是129岁，小军7岁，妈妈30岁，小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大5 岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？ （“祖冲之杯”第1试） 【解析】小军与爷爷（父母）的年龄和（129-5）÷2=62 父亲62-30=32岁 爷爷62+5-7=60岁 2、甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多2千克。两筐原来各 有多少千克香蕉？ （小学生全国“希望杯”邀请赛 第2 试） 【解析】甲筐中取出5千克放入乙框，则甲筐比乙框还多两千克 说明甲原来比乙多5×2+2=12千克 让甲减少12千克，这 样就和乙一样多了，总数就变成了：60-12=48千克 则乙原来有：48÷2=24千克 甲原来有：24+12=36千克 答：甲原来有 36千克，乙原来有24千克。 归纳总结 S —— (Summary-Embedded) 重点回顾 9（1）学习了解和、差的变化规律； （2）利用这些规律来解决一些较简单的问题； 名师点拨 重点和难点突破： 解答和差应用题的基本数量关系是： （和－差）÷2=小数 小数＋差=大数（和－小数=大数） 或：（和＋差）÷2=大数 大数－差=小数（和－大数=小数） 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 10等量代换 知识梳理 等量代换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类 典型应用题。“鸡兔同笼”问题就属于一种比较典型的等量代换问题，其中，历史上的“曹冲称象”就是运用 了等量代换的方法解决了问题。 解决等量代换问题的基本方法是：在某些问题中，存在着两个相等的量，根据题目所给出的已知条件与 未知数量之间的关系，用一个未知量代替另一个未知数量，从而找出解题的方法。 解决等量代换问题应注意下面两点： ①根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法； ②把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。 典例分析 例1、看下图，右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡. 【解析】1只小兔的重量等于6只鸟的重量，右边要放6只鸟，跷跷板才能保持平衡. 例2、水果兄弟们也组成了各种不同的图文算式，它们各代表一个数，你能猜出它们各代表几吗？ 【解析】这是一个很基础的题，通过这个题的练习，可让学生初步掌握代换的方法，为后面的学习打下基础. （1）因为 ，所以 ，又因为3+3+3=9，所以 =3. 11（2）根据 ，想12+8=20，那么可以推出 ，因为4+4=8，所以可以得 出一个 =4. （3）因为 ， ，这样我们可以得出 =5+5+5+5=20. （4）根据 得 ，观察算式 ，就相当于没加也 没减还得0，这样我们就可以得出 =25. 例3、下面的符号各代表一个数，相同的符号代表相同的数，它们各代表几呢？ 【解析】根据两个算式来进行推理，通常我们要先根据一个算式的得数推理出其中一个符号表示的数，然后 再把这个得数代换到另一个算式里，求出另外一个符号表示的数.具体分析如下：（1）根据●+●=6，想3+3=6， 可推出●=3，把●=3替换▲+●=8，可得到新的算式▲+3=8，这样我们就可得出▲=5（. 2）根据第二个算式12-■=5， 可得■=7；把■=7替换第一个算式◆+■=15的◆+7=15，可以得出◆=8. 例4、根据下面算式，算出△、○、□各表示几？ 【解析】根据三个算式的等量关系通过等量代换，分别算出△、○、□的得数，△=2、 ○=3、 □=1. 例5、1头大象的重量等于4头牛的重量，l头牛的重量等于3匹马的重量，则1头大象的重量等于多少匹马的 重量？ 【解析】因为1头大象的重量=4头牛的重量，1头牛的重量=3匹马的重量，那么4头牛的重量=12匹马的重量， 12所以1头大象的重量等于12匹马的重量． 例6、巳知 ＝60克，求 ＝？克． 【解析】从左边的图可得：3个白球=2个黑球的重量，也就是等于6060＝120（克），120340（克），所 以每个白球的重量等于40克．从右图可得：1个正方体=4个白球的重量，一个白球的重量等于40克，1个正 方体的重量就是：404160（克）． 例7、下面的天平是不平衡的，但除了天平上的砝码，周围已找不到别的砝码了．你能通过移动天平上的砝码， 使天平平衡吗？ 【解析】我们可先看看天平两边各有多少克：天平左边：551020(克)．天平右边：10421118 (克)．显然，天平左边如果减少1克，放到天平右边，20119(克)，18+1=19(克)，天平两边就都平衡了， 但天平左边没有l克的砝码，怎么办？可以用天平左边5克的砝码和天平右边4克的砝码交换一下，就可以达 到要求了．这样天平左边是541019(克)．右边是10521119(克)． 例8、3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1只小花猫等于3只鸭的重量，1只狗重9千克，1只猫与1只鸭各 重多少千克？ 【解析】抓住突破口，利用倒推逐步推理．3只猫等于1只狗的重量，1只狗重9千克，3只猫也就重9千克， 933（千克），所以1只猫就等于3千克．1只猫等于3只鸭的重量，1只猫重3千克，3只鸭也就重3千 克．331（千克），所以1只鸭等于1千克． 13实战演练 P(Practice-Oriented)—— 实战演练  课堂狙击 1、下图中第三个盘子应放几个小方块才能保持平衡? 【解析】1个香蕉的重量=3个方块的重量，右边要放3个方块天平才能保持平衡. 2、下面的图形各表示什么数？ 【解析】（1）○=11，□=2； （2）○=4，△=5； （3）△=6，□=2. 3、根据下面的算式，你知道 、 、 各代表数字几？ 【解析】根据第三个算式：圆柱体+圆柱体=球，我们可以替换第一个算式中的球可得：正方体+圆柱体+圆柱 体=10，我们把这个算式和第二个算式：圆柱体+正方体=8进行比较，发现多了一个圆柱体，而得数多了10-8=2， 这样我们就可以得出：圆柱体=2，根据第三个算式就得：球=2+2=4，根据第一个算式得：正方体+4=10，于是 可推出：正方体=6.答案：正方体=6，球=4，圆柱体=2. 144、1头猪的重量等于8只兔的重量，而1只兔的重量又等于2只公鸡的重量，那么1只猪的重量是几只公鸡 的重量？ 【解析】1头猪的重量等于8只兔子的重量，而1只兔子的重量又等于2只公鸡的重量．那么8只兔子的重量就 等于2816 (只)公鸡的重量，而1头猪的重量等于8只兔子也就是16只公鸡的重量．所以l头猪的重量等于 16只公鸡的重量． 5、你能通过移动天平上的砝码，使下面的天平平衡吗？ 【解析】可引用线段图帮助学生理解多的部分给少的部分多少，可达到一样多，然后再讲解此题.左边 =1020838克，右边=1016430克，左边比右边多8克．只有从左边拿4克到右边，两边的重量才一 样多．这样可以把左边8克的砝码和右边4克的砝码互换一下，左右两边重量都是34克，天平平衡． 6、如果1个笔记本的价钱等于5块橡皮的价钱，4个文具盒的价钱等于40块橡皮的价钱．已知1个笔记本的价 钱是3元，那么1个文具盒的价钱是多少？ 【解析】由4个文具盒等于40块橡皮知：1个文具盒=10块橡皮，又由1个笔记本=5块橡皮知2个笔记本=10块 橡皮，所以，1个文具盒=2个笔记本．1个笔记本的价钱是3元，那么1个文具盒的价钱是326（元）．  课后反击 1、第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡． 【解析】第三个盘子应放6个玻璃球才能保持平衡． 152、求下面图形所表示的数. 【解析】（1）△=(9)，○=(6)，☆=(7 )； （2）△=(3)，□=( 4 ). 3、第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡？ 【解析】⑴4个， ⑵15个． 4、已知买1个汉堡包的钱可以买2个冰激凌，买1个冰激凌的钱可以买3杯牛奶： 求：（1）买60杯牛奶的钱可以买几个汉堡包？ （2）买60个汉堡包的钱可以买多少杯牛奶？ 【解析】可引导学生读题、审题，找三者之间的数量关系，再通过倍数关系进行求解．可得出：236 (杯)， 即买1个汉堡包的钱和买6杯牛奶的钱一样多．由此可以进行推算．⑴60杯牛奶是6杯牛奶的10倍．所以60杯 牛奶的钱可以买10个汉堡包．⑵60 个汉堡包相当于6个60杯牛奶的钱．60+60+60+60+60+60=360 (杯)或 660360（杯），所以买60个汉堡包的钱可以买360杯牛奶． 165、你能通过移动天平上的砝码，使下面的天平平衡吗？ 【解析】把左边的3克和右边的6克对换．或把左边的4克和右边的7克对换． 6、1串葡萄的重量等于3个梨的重量，2个梨的重量等于80克，1串葡萄重多少克？ 【解析】2个梨的重量是80克，那么1个梨的重量就是40克，1串葡萄的重量等于3个梨的重量，1串葡萄就 是403120克． 归纳总结 (Summary-Embedded)—— 名师点拨 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件，找出相等的量，然后再进行等量代换。 学霸经验  本节课我学到了 17 我需要努力的地方是 18错中求解 知识梳理 一、错中求解 在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉数字。计算时要仔细小心，不 能丝毫马虎，否则就会造成错误。我们要学会怎么从错误中找出正确的答案。 二、解题策略 解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的变化求出加 数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。 典例分析 考点一：简单的加减乘除问题 例1、小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2，另一个加数个位上的4错看成1，结果计 算的和为241。正确的和是多少？ 【解析】把一个加数十位上的5看成2，少了3个10，这样和就减少了30；把另一个加数个位上的4看作 1，少了3个1，这样和就少了3。小马虎算出的和比原来的和少了30＋3=33，所以正确的和是241＋33=274。 例2、小明在做一道加法时，把一个加数个位上的2看作了4，另一个加数个位上的7看作9，结果计算的 和为215。正确的和为多少？ 【解析】把一个加数的个位数上的2看成了4,则结果增加了2; 另一个加数个位上的7看成了9,则结果又增加了2, 所以现在结果一共增加了4.那么正确的和是215-4=211。 例3、小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，结果得到的差是342，正确的差是多少？ 【解析】十位上的2表示2个十，十位上的5表示5个十，把十位上的2看作5，就是把20看作50，减数 从20变为50，增加了30，所得的差减少了30，应在342中增加30，才是正确的差。 19即：340＋30=372。 例4、小马虎在做减法题时，把被减数十位上的3错写成8，结果得到的差是284。正确的差是多少？ 【解析】把被减数十位上的3看成了8，那么结果就增加了50， 所以正确的结果是284-50=234。 例5、小马虎在计算一道题目时，把某数乘3加20，误看成某数除以3减20，得数是72。某数是多少？正 确的得数是多少？ 【解析】小马虎计算得到72，是先除再减得到的，我们可以根据逆运算的顺序把72先加后乘，求出某数为 （72＋20）×3=276，然后再按题目要求，按运算顺序求出正确的数276×3＋20=848。 例6、小丽在计算一道题时，把某数乘4加20，误看成除以4减20，得数为35。某数是多少？正确的结果 是多少？ 【解析】现在某数除以4减20得35，则倒推出某数是220； 那么正确结果是220乘以4加20得900. 考点二：较复杂的错中求解问题 例1、小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的5看作2，乘得的结果是550，实际应为625。 这两个两位数各是多少？ 【解析】我们可以用竖式来帮助分析： 乘数个位上的5看作2，结果比原来少了5－2=3个被乘数，实际的结果与错误的结果相差625－550=75； 2075正好是被乘数的3倍，被乘数是75÷3=25，乘数是625÷25=25。 例2、一位学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的8错写成4，乘得的结果是1080，实际应为1260。这 两个两位数分别为多少？ 【解析】乘数个位上的8看作4，结果比原来少了8－4=4个被乘数， 实际的结果与错误的结果相差1260－1080=180；180正好是被乘数的4倍， 被乘数是180÷4=45，乘数是1260÷45=28。 例3、小林在计算有余数除法时，把被除数137当作173，结果商比正确结果大了4，但余数恰好相同。正 确的除法算式应是什么？ 【解析】把被除数137当作173，被除数就多了173－137=36，因此商比正确结果大4， 但余数相同，说明除数的4倍就是36。 所以除数为36÷4=9，正确的除法算式为137÷9=15……2。 例4、小红在计算有余数除法时，把被除数113错写成131，这样商比原来多2，但余数恰好相同。正确的 除数和余数是多少？ 【解析】把被除数113当作131，被除数就多了131－113=18，因此商比正确结果大2， 但余数相同，说明除数的2倍就是18。 所以除数为18÷2=9，正确的除法算式为113÷9=12……5。 例5、小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还余52。正确的商是多少？ 【解析】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。 我们可以先抓住错误的得数，求出被除数：13×56＋52=780。 所以，正确的商是：780÷65=12。 例6、小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。正确的商应该是多少？ 【解析】根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正 确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48×10=480。 21例7、小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.这样商比原来多了3.而余数正好相同。正确 的商和余数是多少？ 【解析】因为被除数137被错写成了173.被除数比原来多了173－137=36，又因为商比原来多了3.而且余 数相同，所以除数是36÷3=12。又由137÷12=11……5，所以余数是5。 例8、小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1.乘得的结果是525，实际应为 600。这两个两位数各是多少？ 【解析】一个因数的个位4错当作1.所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因数；实际的结果与错误的 结果相差600－525=75，75÷3=25，600÷25=24。所以一个因数是24，另一个因数是25。 例9、方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加14，计算的积增加了84，圆圆误将另一个因数 增加14，积增加了168。那么，正确的积应是多少？ 【解析】由“方方将一个因数增加14，计算结果增加了84”可知另一个因数是84÷14=6；又由“圆圆误将 另一个因数增加14，积增加了168”可知，这个因数是168÷14=12。所以正确的积应是12×6=72。 实战演练 P —— (Practice-Oriented) 实战演练  课堂狙击 1、小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的3看作了5，十位上的4看作7，得到结果为376。正确 的和是多少？ 【解析】小马虎把一个加数看多了：75-43=32， 另一个加数不变，和也多了32， 22所以正确的和应该是：376-32=344。 2、在减法算式中，错把减数个位上的3写成了5，结果得到的差是254。正确的差是多少？ 【解析】减数多减了2，正确的差应该再加上2，也就是256。 3、小粗心在计算时，把一个数除以2减4，误看成乘2加上4，得数是36。正确结果是多少？ 【解析】某数是：（36－4）÷2 = 16 正确的结果是：16÷2－4 = 4 4、小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的3错写成5，乘得的结果是875，正确的结果是805。这两 个两位数分别是多少？ 【解析】（875－805）÷（5－3）= 35 805÷35 = 23 5、王刚在计算有余数除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少9，但余数恰好相同。正确的除 法算式是怎样的？ 【解析】除数是：（171－117）÷9 = 5 正确算式是：171÷5 = 34……2。 6、小军在计算有余数的除法时，把被除数208错写成268，结果商增加了5，而余数正好相同。正确的除 数和余数是多少？ 【解析】除数是(268-208)÷5=60÷5=12 208÷12=17……4 正确的商是17，余数是4 7、小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误写成7，结果得646，实际应为418。这两 个两位数各是多少？ 【解析】（646-418）÷（7-1）=228÷6=38 23418÷38=11 这两个数是38和11 8、两个数相乘，如果一个因数增加10，另一个因数不变，那么积增加80；如果一个因数不变，另一个因 数增加6，那么积增加72。原来的积是多少？ 【解析】一个增加10，积增加80，说明另一个因数是8；另一个增加6，积增加72，说明另一个因数是12. 原来的积就是8X12=96。  课后反击 1、小粗心在计算一道加法题时，把一个加数个位上的7看作1，十位上的3看作8，结果为342。正确的和 是多少？ 【解析】 342＋（7－1）＋（80－30）=398 2、小丽在做一道减法时，错把被减数十位上的2看作7，减数个位上的5看作8，结果得到的差是592。正 确的差是多少？ 【解析】 592―（70―20）＋（8－5）=545 3、小华在计算一道题时，把一个数加上4乘2看作了乘2加上4，得数为40。正确的得数是多少？ 【解析】 某数是：（70-4）÷2，=66÷2，=33， 正确的得数是：（33+4）×2，=37×2，=74 4、小芳在计算一道题时，把5×（△＋7）错写成5×△＋7，她得到的结果与正确答案相差多少？ 【解析】 5×（△＋7）－5×△＋7 = 28 5、小明在计算除法时，把被除数末尾的0漏写而成18，结果得到的商比正确的商少54。正确的除法算式 是什么？ 【解析】把被除数末尾的‘0’漏写了，结果得到的商比正确的商少54，根据除法的意义及商的变化规律可 知，除数不变，被除数缩小了10倍，则商也缩小了10倍，又因结果得到的商比正确的商少54，则少了9 倍，所以54÷9=6，所以正确的商6×10=60． 246、小虎在计算除法时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。正确的商应该是多少？ 【解析】除数是25，则正确的商是50. 7、李明在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少了3.而余数正好相同。求这道 除法算式正确的商和余数。 【解析】（171-117）÷3=54÷3=18， 正确的算式为：171÷18=9…9，正确的商是9． 8、李晓在计算两位数乘两位数的题目时，把一个因数十位上的3误当作8，结果得2150，这道题的正确积 应是900。这两个两位数各是多少？ 【解析】 1250 ÷ 50(50为正误两乘数的差)＝25，此时25为其中一个乘数 另一个乘数＝900 ÷ 25=36 9、两个数相乘，如果一个因数增加3.另一个因数不变，那么积增加18；如果一个因数不变，另一个因数 减少4，那么积减少200。原来的积是多少？ 【解析】一个因数增加3，积增加18，则另一个因数是6；另一个因数减少4，积减少200，说明有一个因 数是50，那么正确的积是300。 直击赛场 1、王云在计算325－□×5时先算了减法，结果得出1500，那么这道题的正确结果应该是 。 （第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第2试） 【解析】这是一道“倒推法”的题型，从后往前解．因为先算了减法，原式变成了（325-囗）×5=1500， 所以325-囗=1500÷5=300，囗=325-300=25，由此知道小方框代表的数字是25，325-25×5=200． 归纳总结 S —— (Summary-Embedded) 25重点回顾 （1）理解掌握逆推思想； （2）掌握重点题型。 名师点拨 重点和难点突破： （1）弄清楚错解的由来，对最终结果的影响； （2）掌握逆推法的思想，从后向前推算，注意思路清晰。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 26和倍问题 知识梳理 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 它的结构可用下图来表达： 倍数（小数） 和 几倍数（大数） 数量关系式：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数） 小数×倍数=大数（几倍数） 两数和—小数=大数（几倍数） 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就 是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数. 和倍问题的数量关系式是： 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数： l份数×(倍数－1)=两数差. 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 典例分析 例1、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 72(17)9 【解析】小华： （岁）， 爷爷：9763（岁）， 63954（岁）或 9(71)54 （岁）. 例2、一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【解析】先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米） 把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应 的就是3份， 27所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米） 长是：6×2=12（厘米） 这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米） 例3、师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 【解析】引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法，并找和与份数之间的关系． 从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数还多5个， 如果师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(105-5)个， 这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了. 列式：如果师傅少做5个，师、徒共做： 1055100 (个)， 100(31)25 徒弟做了： (个), 师傅做了：253580 (个)． 例4、维尼熊和跳跳虎去摘苹果.维尼熊爬上树去摘，跳跳虎在地上跳着摘.跳跳虎每摘7个，维尼熊只能摘4 个.维尼熊摘了80分钟，跳跳虎摘了50分钟就累了，不摘了.他们回来后数了一下，共摘2010个苹果，那么 其中维尼熊摘的有________个. 【解析】依题意有相同时间内若跳跳虎摘了7份，则维尼熊摘了4份。 所以最终维尼熊摘了4×80=320份， 跳跳虎摘了7×50=350份。 故每份有2010÷（320+350）=3个，那么维尼熊摘了3×320=960个。 例5、二⑴班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是连环画的4倍. 原有连环画和故事书各有多少本？ 【解析】从线段图可以看出，如果故事书拿走7本以后， 28则正好是连环画的4倍.这时故事书与连环画总数应减少7本， 列式成47740 (本)，正好是连环画本数的(1+4)倍. （1）如果故事书拿走7本，总本数为： 47740 (本) （2）现在连环画与故事书的倍数和为：4+1=5 （3）连环画有：4058 (本) （4）故事书有：84739 (本) 例6、实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学 生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗? 【解析】已知两校的人数和是2346人，而两校人数的差没有直接告诉我们．只要求出两校人数的差，就能解 决问题了． 从图上可以看出，实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等． 在实验一小人数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：146＋88＝234(人)， 利用(和＋差)÷2＝大数，就可以求出实验二小实际的人数： 实验二小：(2346＋146＋88)÷2＝1290(人) 实验一小：2346－1290＝1056(人),本题也可以用和倍方法解 例7、两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参 加义务劳动的学生共有多少人？ 【解析】把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下： 甲组学生人数是乙组学生人数的3倍， 则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。 29所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）； 参加义务劳动的学生共有：5×（1+3）=20（人）。 例8、甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入 乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？ 【解析】甲、乙两水池共有水：2600＋1200=3800（立方米） 甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760（立方米） 甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米） 经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）。 例9、大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶， 从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？ 【解析】大头儿子踏过的台阶数是：3002150（级）， 小头爸爸踏过的台阶数是3003100（级）， 父子俩每236（级）台阶要共同踏1级台阶， 共重复踏了300650（级）， 所以父子俩共踏了：15010050200（级）． 例10、一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？ 【解析】妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁， 那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1倍数， 已知三口人年龄和是72岁，那么， 72(144）=8 孩子的年龄为： (岁)， 妈妈的年龄是：8432 (岁)，爸爸和妈妈同岁为32岁． 例11、学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的3倍．排球比足球多4个．问学校买来 的篮球、足球、排球各多少个？ 【解析】从线段图上可以看出，把足球的个数看作1份数，篮球的个数是3份数， 如果排球少买4个，也是l份数，这时三种球一共( 494 )个，总份数是( 131 )， 就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数． 30如果排球减少4个， 三种球一共多少个？ 49445 (个) 45(131)9 足球多少个？ (个) 篮球多少个？ 9327 (个) 排球多少个？ 9+4=13 (个) 例12、小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只．白鸡的只数是黄鸡的2倍，白鸡、黄鸡、黑 鸡一共有多少只? 18(21)18 【解析】（1）黄鸡多少只？ (只) （2）白鸡多少只？ 18236 (只) （3）黑鸡多少只？ 18135 (只) （4）白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？ 1836559 (只) 例13、有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，三位小朋友各分得多 少块糖? 【解析】此题从两个数量扩展到三个数量．已知甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，从线段图上可以清 楚地看出： 甲比丙多分了3＋5＝8(块)．如果甲少拿7块，乙少拿5块， 那么糖的总数就要减少8＋5＝13(块)，总共就是100－13＝87(块)． 87块相当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量． 丙：[100－(3＋5)－5]÷3＝29(块)；乙：29＋5＝34(块)；甲：34＋3＝37(块)。 例14、甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？ 我们把丙数看作一份，画出线段图如下： 【解析】假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份， 则这时候三个数的总和为：183+4-7=180， 和对应的份数为：1+2+3=6。 31所以，一份数即丙数为：180÷6=30； 乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。 例15、超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗．售货员将这 些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖．最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩 下170颗．请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？ 【解析】由题意，如果每袋里装3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖； 现在每袋里装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，结果剩下了170颗水果糖． 由此可以算出总的袋数为： (17010)(97)80 （袋）， 因此水果糖总数为807170730（颗），巧克力糖总数为803240（颗）． 实战演练 P(Practice-Oriented)—— 实战演练  课堂狙击 1、果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？ 【解析】把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于(5+1)份数， 分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数. 这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了. 方法一：梨树：54(51) 9(棵)， 苹果树：9545(棵)， 苹果树比梨树多：45936(棵) 方法二：梨树：54(51)9(棵)， 苹果树比梨树多：9(51)36(棵) 2、实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2 32倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 【解析】已知四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍， 可以想到三年级同学制作的航模件数是1倍数． 两个年级共制作了318件，这318件就相当于123倍， 这样就可以求得1倍数——三年级同学的制作件数是：3183106 (件)． 再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系， 求出四年级同学制作航模的件数是： 1062212(件)或318106212(件)。 3、学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少个？ 【解析】根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数， 40个就相当于(4+1) 份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数， 把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数. 羽毛球有：40(41)4058(个) ，乒乓球有：8432(个)． 4、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 【解析】设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍， 那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍. 还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数， 然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系： 乙班：160÷（3+1）=40（本） 甲班：40×3=120（本）或 160-40=120（本） 验算：120＋40=160（本） 120÷40=3（倍） 335、《水浒传》中的108将中，男将是女将的35倍，男将共有 名，女将共有 名。 【解析】1083513名女将，335105名男将。 6.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 【解析】把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人， 如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。 女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人） 男生人数：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人） 验算：560＋200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。 答：男生有560人，女生有200人。 7、北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。 问两种花各有多少朵？ 【解析】我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下： 从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。 所以黄花朵数为：（300+30）÷（1+2）=110（朵）。红花朵数为：300-110=190（朵） 8、工程队修一条公路，原计划每天修720米，实际每天比原计划多修80米，因而提前3天完成了任务。这 条路全长________千米。 【解析】由于实际每天比原计划多修80米，而提前3天完成了任务， 所以实际上总共多修的公路即等于按原计划3天修的公路， 所以实际上修的天数为：72038027（天）， 所以，这条路全长为： (72080)2721600（米），即21.6千米。 34 课后反击 1、六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张， 结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________． 【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知， 甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数． 计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565 ，10565除以3余2； 因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数， 那么丙手中的卡片上的数除以3余2． 六个数中只有1193除以3余2， 故丙手中卡片上的数为1193． 2、桌子上放着6包糖，分别装糖3、4、5、7、9、13块，小华拿走2包，小明拿走3包。已知小明拿走 的糖的块数是小华的2倍，那么剩下的那包中的糖有_______块。 【解析】由题意，小明拿走的糖的块数是小华的2倍， 已知小明拿走3包，小华拿走2包，也就是其中3个数的和是另外两个数的2倍， 那么，3个数中必然包含较大的数，且3个数的和是偶数。 因为13+7+4=2×（3+9），所以剩下的那包中的糖有5块。 3、一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克．已知苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨少3千克．一 筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？ (1123)(113)23 【解析】梨的重量是： （千克） 苹果的重量是：23369（千克） 香蕉的重量是：23320（千克） 4、玩具厂生产红、黄、白气球共125个，其中红气球的个数是黄气球的3倍，白气球比黄气球少25个．问三 种气球各生产了多少个？ 【解析】黄气球：(12525)(311)30 （个）； 红气球：30390（个）； 白气球：30255（个） 355、果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树 和苹果树各有多少棵？ 【解析】下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵， 苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答. 又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了； 再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了， 而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。 梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）， 桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）， 苹果树的棵数： 140-20=120（棵）， 桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。 6、某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛．这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持3小时，另一支 可以维持5小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的3倍．这次停电时间是多 少小时？ 【解析】两支蜡烛长度相同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时， 所以从两支蜡烛中取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为3:5． 现在可以维持5小时的那支蜡烛剩下的长度是另外一支的3倍， 所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的3535倍， 由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间 要长532小时． 所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为2(51)0.5小时， 这次停电的时间为30.52.5小时． 7、用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果，车÷马=2，炮÷车=4，炮-马=56，那么“车+马+炮” 等于多少？ 【解析】车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准，画出线段图如下： 36把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份， 所以，马表示的数为：56÷（2×4-1）=8。 “车+马+炮”等于：8×（1+2+2×4）=88。 直击赛场 1、三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的5倍， 花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。黑猫钓上 条鱼。 （2006年，希望杯，第四届，四年级，二试，第8题） 【解析】白猫钓到36÷（5+1）＝6条， 花猫和黑猫共钓30条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条， 那么就比黑猫钓到的2倍多3条，黑猫钓到（30-3）÷3＝9条 2、甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2 块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有 块巧克力． （2008年，第四届，IMC，国际数学邀请赛，新加坡，四年级，复赛） 【解析】方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块， 此时乙的巧克力数为(735)(112)17（块），丙原有172322（块）。 方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲2块糖， 那么甲的糖就是乙的糖的2倍，即甲的糖加2是乙的糖减2后的2倍， 说明甲的糖是丙的糖的2倍少2226块． 所以，乙有(7336)(112)19块糖，丙193=22（块） 归纳总结 (Summary-Embedded)—— 名师点拨 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题 37规律，正确迅速地列式解答。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 38差倍问题 知识梳理 差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题． 差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般 情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。 解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对 应，相除后得到的结果是一倍量 差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数) 1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数 解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系． 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。 典例分析 例1、李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 【解析】引导学生画图，但是一定要强调差所对应的份数， 这样我们就可以求一份量（一倍量），从而解决题目． 与18只相对应，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数， 求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了． 鸭与鹅只数的倍数差是312（倍）， 鹅有1829 (只)，鸭有 9327(只). 例2、箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球．每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了几次之后，乒乓球恰 好没有了，羽毛球还有6个，则一共取了__________次，原来有乒乓球和羽毛球各__________个． 39【解析】共取了6(53)3(次)，原有乒乓球5315(个)， 所以原有羽毛球也是15个． 取3次，羽毛球15个，乒乓球15个 例3、甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同．若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时， 则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间．问：甲、乙原定每天自学的时间是多少？ 【解析】改变后，甲每天比乙多自学1小时，即60分钟． 它是乙现在五天自学的时间， 即乙现在每天自学：60(61)12（分）， 原来每天自学的时间是：123042（分）． 例4、思考乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学而思学校买来白 粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 【解析】这不是一道典型的“差倍问题”，但我们可以通过适当的变形，将其作为一个典型的“差倍问题”来解 决．见上图。 由于白笔比彩笔的4倍多3箱，故把彩笔看做1倍数，(白笔－3)就相当于彩笔的4倍， 即彩笔比(白笔－3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15312（箱）． 彩色粉笔的箱数1234(箱)，白色粉笔的箱数：4+15=19(箱)． 例5、有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第 二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？ 【解析】用去同样长的一段后，两段长度差为：18108（米）， 且 第一根比第二根多：312（倍）， 则 第二根剩下：824（米）， 第一根剩下：4312（米）． 例6、某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍，后来公鸡、母鸡各增加60只，母鸡的只数变为公鸡只数的4 倍，则养鸡场原来一共养了___________只鸡。 【解析】要保持母鸡是公鸡的6倍，母鸡增加60，公鸡就要增加360， 40所以360－60＝300就是差的2倍， 现在有150只母鸡，原来有90只母鸡，一共养了630只鸡。 例7、为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明 要了26本书，小光要了18本书。回校后，小明补给小光28元。小明、小光各带了______ 元，每本书价______ 元。 【解析】小明比小光多拿26-18=8本书，同时小明多掏了28×2=56元钱， 所以一本书，56÷8=7元，他们各自带了18×7-28=154元钱 例8、爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？ 【解析】父女年龄差是：38236（岁），这个数量是不会变化的，这一点很关键. 当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁， 这36岁是父亲比女儿多的514倍所对应的年龄. (382)(51)9（岁），927（年）， 即7年后，父亲的年龄是佳佳的5倍 例9、姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？ 【解析】由题意，姐弟俩今年的年龄和是13922（岁）， 用几年后姐弟俩的岁数和40岁减去今年姐弟俩的年龄和22岁， 就得到姐弟俩经过的年数和，即为402218（年），最后再除以2， 就求出姐弟俩每人经过的年数.经过的年数都是：1829（年）． 可以求出姐姐的年龄是13922 若干年 13岁 姐姐 9岁 年龄差 40岁 弟弟 用线段图显示数量关系.姐弟俩的年龄差总是1394（岁）， 不管经过多少年，姐弟年龄的差仍是4岁， 由图可见，如果从40岁中减去姐弟年龄的差，再除以2就得到所求的弟弟的年龄， 也就可以求出姐姐的年龄了. 弟弟的年龄：(404)218（岁）， 姐姐的年龄：18422（岁）． 例10、红星学校花坛放有红黄蓝三种颜色的花，已知蓝花比红花多20盆；黄花比红花的4倍多30盆，又是 蓝花数量的3倍，则有________盆黄花。 41【解析】设红花是3份，黄花是12份多30，是蓝花的3倍， 所以蓝花就是4份多10，蓝花比红花多20，那么1份就是10， 红花30盆，黄花150盆，蓝花50盆。 例11、小丸子家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只，白鸡的只数是黄鸡2倍，白鸡、黄鸡、 黑鸡一共多少只？ 【解析】以黄鸡的只数为标准，画图如下： 白鸡的只数是黄鸡的2倍，所以黄鸡：18÷（2－1）＝18（只），白鸡：18×2＝36（只）， 黑鸡：18－13＝5（只），三种鸡共有：18+36+5＝59（只） 例12、小明、小红、小玲共有73块糖．如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2 块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍．问小红有多少块糖？ 【解析】如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多， 说明小玲比小红多3块；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍， 即小明的糖加2是小红的糖减2后的2倍， 说明小明的糖是小红的糖的2倍少2226块． 所以，小红有(7336)(112)19块糖。 实战演练 P(Practice-Oriented)—— 实战演练  课堂狙击 1、甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 【解析】乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本） 甲班的本数： 40×3=120（本）或40＋80=120（本）。 2、两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍，甲书架比乙书架存书多120本，则乙书架存书多少本？ 42【解析】多的120本相当于乙书架的4倍，则乙书架的书为：120430（本）． 3、某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动， 这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人? 【解析】原来室外、室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动， 这样室外活动人数比室内人数多480502580(人)， 这时室外活动人数正好是室内人数的5倍，580人相当于现在室内活动人数的514(倍)， 这样可先求出现在室内活动人数为5804145， 再求出室内、外人数之和：145(51)870人． 4、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍.问： 原来两人各有多少本书？ 【解析】 小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍.这个“倍数”是变化后的， 所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图).“差”是20＋5＋11＝36(本).， 小云现有书：(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)； 小云原来有书18＋5＝23(本)， 小雨原来有书23＋20＝43(本). 5、思考乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，学而思学校买来白粉笔 和彩色粉笔各多少箱？ 【解析】把彩笔看做1倍数，(白笔＋3)就相当于彩笔的4倍， 即彩笔比(白笔－3)少3倍， 注意此时白笔比彩笔多15+3=18箱． 彩色粉笔的箱数：1836 (箱)， 白色粉笔的箱数：61521 (箱) 6、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸 带剩下的3倍，问剪下的一段有多长？ 【解析】长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长：21138（厘米）， 短纸带剩下：8(31)4（厘米）， 剪下：1349（厘米）． 7、两根绳，第一根长64米，第二根长52米，剪去同样长后，第一根是第二根的3倍，求每根绳减去几米？ 43【解析】 剪去同样长后，第一根比第二根长(6452)米， 因此，第二根剩下的长为(6452)(31)6 米， 从而剪去的长度为52646米 ．  课后反击 1、两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多 少米？ 【解析】已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下 的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一 块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这 样，第一块所剩布的长度即可求出： 第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米）， 第一块布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米） 第一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等）， 综合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=4＋31=35（米） 2、甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍．甲 桶原来有油多少千克？ 【解析】后来乙比甲多141630千克油， 所以这时甲桶油的重量是：30(41)10(千克)， 甲桶原来有油101626(千克) ． 3、食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？ 【解析】 因每天用掉的面粉和大米数量相等， 不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）。 我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份， 则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。 用掉的面粉总量除以每天用面粉数量， 可以得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。 4、兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去300元，妹妹用去40元，这时兄妹俩人剩下的 钱正好相等．哥哥带了 元钱，妹妹带了 元钱． 【解析】哥哥用去300元，妹妹用去40元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等． 44可以得到妹妹带了30040260元）钱， 那么哥哥带了260260520（元）钱． 5、两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千 克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等．这两个筐中原来各有苹果多少千克? 【解析】从图中可以看出 第一个筐中的苹果是第二筐的4倍，则第二筐的苹 果数是一倍数． 如果第二筐中少取出2千克，剩下的重量就正好相当于1倍， 那么两筐苹果的相差数26－2＝24(千克)，相当于第二筐原来重量的3倍． 两筐苹果的差和倍差都知道了，就可以求出两筐苹果原来的重量． 两筐苹果的倍数差是4－1＝3（倍）， 两筐苹果相差26－2＝24(千克)， 第二筐原来有苹果重量24÷3＝8(千克)， 第一筐原来有苹果重量8×4＝32（千克）. 6、小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书 架上，那么两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书? 【解析】根据从大书架上取出150本书放人小书架，两个架上的书的本数相等， 知大书架比小书架多150×2＝300本． 这样就可以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答了． 由于大书架上的书是小书架的3倍，把小书架上书的本数看做1倍量， 大书架比小书架多300本对应于小书架的(3－1)倍量． 大书架比小书架多的书数：150×2＝300(本)， 两个书架相差几倍：3－1＝2倍， 小书架原有书：300÷2＝150(本)， 大书架原有书：150×3＝450(本)． 457、爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；六年后，爸爸比妈妈大4岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？ 【解析】六年后，爸比妈大4岁，即爸妈的年龄差是4岁.它是一个不变量. 所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是4岁. 这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是4岁，求二人各是几岁”的 和差问题． 爸爸年龄：(724)238（岁），妈妈的年龄：38434（岁） 直击赛场 1、为了过冬，小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。 它们各吃了5个胡萝卜后，小白兔剩下的胡萝卜数量是小黑兔剩下数量的4倍。那么它们剩下的胡萝卜共有 个。（2006年，第4届，希望杯，4年级，1试） 【解析】小黑兔剩下胡萝卜的数量是3×5-5=10个， 它们剩下的胡萝卜共有10+10×4=50个。 2、由图知，小芳原来有球 个。（2009年，希望杯，第七届，四年级，二试，第10题） 如果我给你9个球,那么你的球 的个数是我的球的个数的3倍. 如果我给你1个球,那么我的球 的个数是你的球的个数的一半. 小华 小芳 【解析】根据题意，如果首先我们把小华给小芳1个球后小华的球的个数看作1倍量， 那么此时小芳的球的个数就是2倍量。 然后，小芳再给小华10个球，小华应该是小芳的3倍， 即就是1倍量加10等于2倍量减10的3倍， 也就是1倍量加10等于6倍量减30. 所以（30+10）÷（6-1）=8（个）为1倍量， 故小芳原来的球的个数就是8×2-1=15（个）。 46归纳总结 (Summary-Embedded)—— 名师点拨 解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系． 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 47对应解题 知识梳理 1、“对应”是解决数学问题时常用的一种方法。有很多应用题，给定的量所对应的数量关系是变化的， 为了使变化的数量看的更清楚些，可以把已知条件按照他们之间的对应关系排列出来，进行观察和比较，从 而找到解题方法，这种解题方法叫“对应法” 2、应用“对应法”解题时可以通过对应比较，分析对应的未知量变化的情况，设法消去其中的一个未 知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成较简单的题目，以便于解答。 典例分析 例1、奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么 需花62元。问1千克梨和1千克荔枝各多少元？ 【解析】我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 4千克梨＋5千克荔枝=58元 （1） 6千克梨＋5千克荔枝=62元 （2） 比较（1）和（2）式，发现两式中荔枝的千克数相等， （2）式比（1）式多了6－4=2千克梨， 也就是多了62－58=4元，说明1千克梨的价钱为4÷2=2元， 那么1千克荔枝的价钱就是（58－2×4）÷5=10元。 例2、王老师到体育用品商店为学校买球，计算了一下，要买5个足球和3个篮球需要付244元；而买2个足 球和3个篮球只需付139元．请你算算，足球和篮球每个各多少元？ 【解析】为了便于观察分析，我们按数量之间的对应关系，把条件排列出来 485个足球，3个篮球——共244元， ① 2个足球，3个篮球——共139元． ② 比较对应排列的条件，就能清楚地看出， ①与②中的篮球数量相同，所以①比②所付的钱多105元， 是由于足球数多出3个，也就是3个足球共需105元， 这样就可以求出每个足球多少元，并求出每个篮球多少元。 解： 足球价格为(244-139)÷(5-2)=105÷3=35(元)， 篮球价格为 (139-35×2)÷3=69÷3=23（元）． 答：每个足球35元，每个篮球23元． 想一想如果①式条件改为“买5个足球和4个篮球共需付267元”，②式条件不变，这题又该如何解答？ 分析： 排列条件： 5个足球，4个篮球——共267元， ① 2个足球，3个篮球——共139元， ② 如果两次购买的足球数或篮球数相同问题就好解决了．那么，在保证基本数量关系不变的情况下，怎样 使足球数或篮球数转化成相同呢？可以采用把每组足球数、篮球数、钱数都同时扩大相同倍数的方法． 解法一：把①式中的足球数、篮球数、钱数都扩大2倍；把②式中的足球数、篮球数、钱数都扩大5倍， 5×2个足球，4×2个篮球——共267×2元， 2×5个足球，3×5个篮球——共139×5元， 即： 10个足球，8个篮球——共534元， 10个足球，15个篮球——共695元． 这样，足球数已转化为相同的了．于是，我们可解得篮球价格，进而求出足球价格， 篮球价格为：(139×5-267×2)÷(3×5-4×2)=23(元)， 足球价格为：(139-23×3)÷2-70÷2—35(元). 解法二 能不能使篮球数相同呢？请同学们按照上述方法自己完成解答过程． 解法三 观察①和②，发现此题两次的足球、篮球的总个数都是7个，可以先求出7个足球和7个篮球的总 钱数，再求出1个足球和1个篮球共需钱数，最后分别求出它们的价格． 由于 (267+139)÷7—406÷7=58(元)， 重新排列条件： 492个足球，2个篮球——共58×2=116（元）， 2个足球，3个篮球——共139元， 篮球价格为 139-58×2=23(元)， 足球价格为 58–23=35(元)． 答:每个足球35元，每个篮球23元． 例3、张云买了 4本练习本和2支钢笔，共用去12元，李华买了同样的4本练习本和3支钢笔，一共用去17 元，钢笔和练习本单价各是多少元？ 【解析】可由条件中找出对应的数。 张云：4本练习本＋2支钢笔=12元。 李华：4本练习本＋3支钢笔=17元。 将对应的量及变化情况进行比较可发现， 李华比张云多用去5元，是因为李华比张云多买了1支钢笔， 由此可得钢笔为每支5元。 再代入上式可以求出练习本的单价。 例4、美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔，付款44.4元；第二天买了同样的5盒彩笔和3支毛笔，付 款79.6元，求每盒彩笔和每支钢笔各多少元？ 【解析】由条件找出对应的关系。 3盒彩笔＋1支毛笔=44.4元 5盒彩笔＋3支毛笔=79.6元 但是在这两种买法中，彩笔的数量与毛笔的数量均为不相同， 我们要设法将其中一个量转化为相同的。 将第一个式子中的每个数据扩大3倍为： 9盒彩笔+3支毛笔=133.2元。 5盒彩笔+3支毛笔=79.6元。这样就回到了例1的思路，得解。 例5、 用一根绳子测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米，问绳子长多少米？ 井深多少米？ 【解析】两折时多5米，总长多5×2=10米； 50三折时少4米，总长少4×3=12米。 三折与两折的差也就是井的深度。 两折时绳长＝2个井深＋多5×2 三折时绳长＝3个井深－少4×3 比较两组得到：1个井深＝（10+12）＝22米。 例6、王航准备购买练习本、铅笔、橡皮三种学习用品。如果购买铅笔3支、练习本7本、橡皮1个共用6.90 元；如果购买铅笔4支、练习本10本、橡皮1个共用9.50元。那么购买铅笔1支、练习本1本、橡皮1个共 用多少元？ 【解析】这里只需求出铅笔1支、练习本1本、橡皮1个共用的钱， 所以可以设法根据对应关系，使两个等式中三种学习用品数量的差都是1。 将3支铅笔＋7本练习本＋1个橡皮＝6.90元”中每个数据扩大3倍； 将4支铅笔＋10本练习本＋1个橡皮＝9.50元”中每个数据扩大2倍。 可得： 9支铅笔＋21本练习本＋3个橡皮＝20.7元 8支铅笔＋20本练习本＋2个橡皮＝19元 对应的数据相减，就可以求出结果。 例7、学校买足球和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6个足球和2个排球需要230元。一 个足球和一个排球各多少元？ 【解析】我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 3个足球＋4个排球=190元 （1） 6个足球＋2个排球=230元 （2） 我们把（1）、（2）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减， 都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。 再观察我们可以发现：如果把（1）式同时扩大2倍，得到6个足球和8个排球共380元， 然后再与（2）式进行比较，发现足球个数相同，而排球多了6个，也就多了380－230=150元， 也就是6个排球是150元，一个排球为150÷6=25元，那么一个足球是（190－25×4）÷3=30元。 例8、商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和黄气球共28只，黄气球和红气球共29只。 红气球、蓝气球和黄气球各有多少只？ 【解析】根据题意，我们可以列出下列关系式： 51红气球的个数＋蓝气球的个数=21 （1） 蓝气球的个数＋黄气球的个数=28 （2） 黄气球的个数＋红气球的个数=29 （3） 我们可将（1）＋（2）＋（3），即21＋28＋29=78只，这里包含有2倍红气球的个数、2倍蓝气球的个数 和2倍黄气球的个数， 由此，可得出三种气球的总只数：78÷2=39只。 然后再根据红气球和蓝气球共21只，可求出黄气球的只数：39－21=18只； 同理可求出红气球的个数是39×28=11只，蓝气球的个数是39－29=19只。 例9、 三年级三个班种了一片小树林，其中72棵不是一班种的，75棵不是二班种的，73棵不是三班种的。 三个班各种了多少棵？ 【解析】72棵不是一班种的”，说明二班和三班共种树72棵； 75棵不是二班种的，说明一班和三班共种75棵； 73棵不是三班种的”，说明一班和二班共种73棵。 这样，我们就可以求出三个班共种多少棵树：（72＋75＋73）÷2=110棵。 用110－72=38棵就是一班种的棵数，110－75=35棵就是二班种的棵数，110－73=37棵就是三班种的棵数。 例10、已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的 重量。问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？ 【解析】根据题意列出等式： 13李=2苹＋1桃 （1） 4李＋1苹=1桃 （2） 把（2）式代入（1）式得：13李=2苹＋4李＋1苹 即9李=3苹，即3李=1苹 （3） 把（3）式代入（2）式得：4李＋3李=1桃 即：7李=1桃 实战演练 P(Practice-Oriented)—— 52实战演练  课堂狙击 1、学校图书馆买来一批新书，每班借5本，则多10本；每班借7本，则少20本．一共买来多少本新书？ 【解析】为了清楚地看懂题意，我们把题目中给出的两组对应关系排列在一起： 每班借5本——多10本； 每班借7本——少20本． 两种借法的总数相差20+10=30（本），且两种借法每班相差7-5=2（本）， 所以每班相差7-5=2（本）与20+10=30(本)相对应． 解班级数为： (20+10)÷(7-5)=15（个）， 买来的新书有： 5×15+10=85(本)， 或 7×15–20=85（本）． 答一共买来85本新书。 2、为了测量一口井的深度，同学们想用长绳吊一重物的方法，将绳子3折时，绳子比井深还长出6米，当他 们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米，你能算出井深与绳子的长度吗？ 【解析】在题目的条件中，“将绳子3折时，绳子比井深还长出6米”， 实际上是指绳子的长度比井深的3倍还多6×3—18(米)． 而“当他们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米”， 指的是绳子的长度比井深的4倍还多2×4=8（米）． 排列出题设中给出的条件： 绳子3折——井深的3倍——多出6×3=18(米)； 绳子4折——井深的4倍——多出2×4=8（米）． 这样，就可以求出井深与绳长． 解：井深：(6×3 2×4)÷(4-3)=10(米)； 绳长：10×3+6×3=48（米）． 3、吴老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟走80米，他将迟到5分钟；如果骑自 行车，每分钟行200米，他可以提前7分钟到校，吴老师出发时离上班时间还有多少分钟？ 53【解析】题目中给出了两个对应的数量关系： 每分钟行80米——迟到5分钟； 每分钟行200米——提前7分钟， 表示从出发到上班这段时间内有以下对应关泵： 每分钟行80米 ——比家到学校的路程少走了80×5-400（米）； 每分钟行200米——比家到学校的路程多走了 200×7=1400(米)． 再根据对应关系求出问题答案． 解: 从出发到上班这段时间里，骑自行车比步行多行的路程为 80×5+200×7=1800(米)， 出发时离上班的时间还相差 1800÷(200-80)=15（分）． 答：吴老师出发时离上班时间有15分钟． 说明排列条件显示出对应关系，有利于增强我们分析思考的感性认识，在排列条件时应注意转化题目中某些 条件，使排出的条件能反映出对应数量的变化，以便寻找解题的突破口。 4、有白、红、黑三种颜色的球，白球和红球共15个，红球和球共18个，黑球和白球共9个．问：三种球各 多少个？ 【解析】将所给条件排列出来： 白球数+红球数=15个， ① 红球数十黑球数=18个， ② 黑球数十白球数=9个． ③ 观察排列出的条件，若将①+②+③，可得出“白球数十红球数十黑球数”的两倍量．从而求出“白球数十红球数 十黑球数”的个数，再对照①②③可分别求出白、红、黑球的个数． 解： “白球数+红球数十黑球数”为 (15+18+9)÷2-42÷2=21（个）， 黑球数为： 21-15=6（个）， 白球数为： 21-18=3（个）， 红球数为： 21-9=12（个）． 54答：白球有3个，红球有12个，黑球有6个． 5、王强的爸爸用200元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋，只记得外衣的价钱比帽子贵90元，外衣加帽子 的价钱比鞋贵120元，你能帮王强爸爸算出每一件东西的价钱吗？ 分析把条件按数量关系排列出来： 外衣价十帽价十鞋价=200元，① 外衣价一帽价=90元， ② 外衣价十帽价一鞋价=120元．③ 观察排列出的条件，可以从①和③看出，2倍的鞋价是200—120=80(元)， 得出鞋价是40元．①式变成：外衣价十帽价=160元， 再与②式对照，不难发现，此题转换成简单的和差问题了． 解：鞋的价格为(200-120)÷2-80÷2=40(元), “ 外衣价十帽价”为 200–40=160(元)， 外衣的价格为 (160+90)÷2—250÷2=125(元), 帽的价格为 160—125=35(元)． 答：鞋价是40元，帽价是35元，外衣价是125元．  课后反击 1、商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，黄气球和蓝气球共28只，红气球和黄气球共29只， 商店里有红气球、蓝气球、黄气球各多少只？ 【解析】三种颜色气球的总数： （21＋28＋29）÷2 ＝78÷2 ＝39（只） 黄色气球：39－21＝18（只） 红色气球：39－28＝11（只） 蓝色气球：39－29＝10（只） 答：红气球有11只，蓝气球有10只，黄气球有18只。 2、小明和小红共12岁，小明和小丽共17岁，小丽和小红共13岁，三人各多少岁？ 【解析】小明和小红共12岁,小丽和小明共13岁 55小丽比小红大：13-12=1岁 所以小丽为：(17+1)÷2=9岁 小红为：9-1=8岁 小明为：12-8=4岁 3、公园开菊花展。白菊花和黄菊花共152朵，红菊花和黄菊花共128朵，白菊花和红菊花共168朵，三种菊 花各多少朵？ 【解析】一共 (152+128+168)÷2=224盆 红菊花224-152=72盆 白菊花168-12=96盆 黄菊花224-168=56盆 4、百货商店运来三种鞋子，其中37双不是皮鞋，54双不是运动鞋，51双不是布鞋，三种鞋各运来多少双？ 【解析】(37+54+51)÷2=142÷2=71(双) 71−37=34(双) 71−54=17(双) 71−51=20(双) 答：皮鞋有34双，运动鞋有17双，布鞋有20双。 5、一个班同学做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、数学、英语作业中的一种。有23人没 有做完数学作业，有19人没有做完语文作业，有16人没有做完英语作业，做完三种作业的各多少人？ 【解析】全班同学都只做完了语文、英语作业中的一种得，而且有19人没有完成语文作业， 所以完成英语作业的有19人，有16人没有做完英语作业， 所以完成语文作业的有16人， 所以总共有：16+19=35（人）， 所以完成数学作业的有35-23=12（人） 归纳总结 (Summary-Embedded)—— 56名师点拨 在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺序编号，然后认真观察， 比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 57还原解题 知识梳理 一、还原问题 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又 叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。 二、解题策略 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。 典例分析 例1、小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶 今年多少岁？ 【解析】 从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷ 10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去 7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。 例2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少？ 【解析】运用逆推的思想：60除以2得30，加上9得39，减去6得33，除以3得11. 58例3、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个 商场原来有洗衣机多少台？ 【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台 和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售 出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台 就是原有洗衣机的台数。 例4、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮 库原有大米多少吨？ 【解析】第一次运出后剩下总数的一半为4+5=9 第一次运出后剩下总数为9x2=18 粮库原有大米吨数的一半为18+3=21 粮库原有大米吨数21x2=42 例5、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个 人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？ 【解析】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求 最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20 －5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。 例6、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年 卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？ 【解析】90÷3=30，甲30+3=33 乙=30+5-3=32 丙=30-5=25 例7、甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同 样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？ 59【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36 ＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶 原有油18＋27=45千克。 例8、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多 的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张？ 【解析】李强再拿出同样多的画片给王亮前： 王亮=24÷2=12张 李强=24+12=36张 原来： 李强=36÷2=18张 王亮=12+18=30张 例9、两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从 乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴最初准备拿几个？ 【解析】先求出两个猴现在各拿多少，根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知乙猴现在拿 （26＋2）÷2=14个，甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半，又还给乙猴5个后有12个， 如果甲猴不还给乙猴，那么甲猴有12＋5=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－17）×2=18 个。乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个，如果不抢，那么甲猴最初准备拿（26－18）×2=16 个。 例10、学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就 抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍。问最初小强准备拿多少 棵？ 【解析】小强又从小明哪儿抢了6棵，这时小明的棵数是36÷(1+2)=12，小强的棵数是12x2=24； 小强从小明哪儿抢6棵前，小明的棵数是12+6=18，小强的棵数是24-6=18； 那么小明抢了10棵前小强的棵数是18+10=28。 例11、24千克水被分装在三个瓶子中，第一次把A瓶的水倒一部分给B、c两瓶，使B、c两瓶的水比原来 增加1倍；第二次把B瓶的水倒一部分给A、c两瓶，也使A、c两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍；第三 60次把c瓶的水倒一部分给A、B两瓶，使A、B两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍．这样倒了三次后，三瓶 水同样多．问三个瓶中原来各装水多少千克？ 【解析】我们可以用倒推法来做这个题目，由题意可知，最后一次倒水后，A、B、c三个瓶中各有24÷3=8 千克水，由题意可推算出第二次倒水之后A、B、c三个瓶中的水分别为8÷2=4、8÷2=4、8×2=16千克， 再用同样的方法推算出最初A、B、c三个瓶中的水分别是多少． 最后一次倒水后，A、B、c三个瓶中各有：24÷3=8（千克）， 第二次倒水之后A、B、c三个瓶中的水分别为8÷2=4（千克），8÷2=4（千克），8×2=16（千克）， 第一次倒水后A、B、c三个瓶中的水分别为4÷2=2（千克），4+8+2=14（千克），4×2=8（千克）， 最初甲乙丙三个瓶中的水分别：2+4+7=13（千克），14÷2=7（千克），8÷2=4（千克）， 答：A瓶原来装水13千克，B瓶原来装水7千克，c瓶原来装水4千克， 例12、有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过 这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算 挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这 样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？ 【解析】此题采用逆推法解决． 第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个； 第4次过桥后给了老人32个，所以第四次结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个； 第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个； 第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个； 第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个． 实战演练 P(Practice-Oriented)—— 实战演练 61 课堂狙击 1、在□里填上适当的数：20×□÷8＋16=26 【解析】4. 2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天 又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？ 【解析】这题是逆序推理法，从后面往前推 ：最后只剩下1个，因为第三天吃掉了剩下的一半多一个， 所 以第二天剩下的有：（1＋1）×2=4个，第二天剩下四个是因为第二天吃了剩下的一半多一个，所以第一天 剩下的：（4＋1）×2=10个，第一天剩下10个是因为吃了这些橘子的一半多一个 ，所以这些橘子：（10＋1） ×2=22个。 3、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3 张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张？ 【解析】小敏原有：40+3-23=20（张）； 小丽原有：40+23-13=50（张）； 小红原有：40×3-20-50=120-70=50（张） 4、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙 之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人都 有32个玻璃球。原来每人各有多少个？ 【解析】三人一共32×3=96个。 丙给甲乙之前：甲:32÷2=16个，乙:32÷2=16个，丙:96-16-16=64个。 乙给甲丙之前：甲:16÷2=8个，丙:64÷2=32个，乙:96-8-32=56个。 甲给乙丙之前,即原来：乙:56÷2=28个 丙:32÷2=16个 甲:96-28-16=52个。 5、将某数的3倍减5,计算出答案,将答案再3倍后减5,计算出答案,这样反复经过4次,最后计算的结果为 691,那么原数是_____. 62【解析】第四次计算后的结果为691，第三次计算后的结果为：（691+5）÷3=232， 第二次计算后的结果为:（232+5）÷3=79，第一次计算后的结果为（79+5）÷3=28； 原数为：（28+5）÷3═11 6、一只猴子摘了一堆桃子,第一天它吃了这堆桃子的七分之一,第二天它吃了余下桃子的六分之一,第三天 它吃了余下桃子的五分之一,第四天它吃了余下桃子的四分之一,第五天它吃了余下桃子的三分之一,第六 天它吃了余下桃子的二分之一,这时还剩12只桃子,那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是_____. 【解析】第6天吃了12个，共24个； 第5天吃了12个，共36个； 第4天吃了12个，共48个； 第3天吃了12个，共60个； 第2天吃了12个，共72个； 第1天吃了12个，总共84个 7、 一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务,第一天加工了这批零件的51多120个,第二天加工了剩 下的 41少150个,第三天加工了剩下的31多80个,第四天加工了剩下的21少20个,第五天加工了最后的 1800个.这批零件总数有多少个? 【解析】第四天:（1800-20）÷（1-1/2）=3560个 第三天:（3560+80）÷（1-1/3）=5460个 第二天:（5460-150）÷（1-1/4）=7080个 第一天:（70800+120）÷（1-1/5）=9600个  课后反击 1、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁。” 63王老师今年多少岁？ 【解析】（30÷3+2）×4-9=（10+2）×4-9=12×4-9=48-9=39（岁） 2、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次 卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，求每个菠萝多少元？ 【解析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下1个菠萝，那么第二次卖后剩下：（1+1）×2=4（个）； 第二次卖掉剩下的一半多1个，那么第一次卖后剩下：（4+1）×2=10（个）； 第一次卖掉总数的一半多2个，剩下10个，则总数为（10+2）×2=24（个），三次共卖了24-1=23个， 再根据总价÷数量=单价解答即可得单价2元。 3、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子10颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，四人的 个数相等。他们原来各有弹子多少颗？ 【解析】甲-13+2=乙+13-18=丙+18-16=丁+16-2 即：甲-11=乙-5=丙+2=丁+14 即：甲=丁+25,乙=丁+19,丙=丁+12 另外.甲+乙+丙+丁=100 所以,丁=11 所以,甲=36,乙=30,丙=23 所以,甲分得了36颗,乙分得了30颗,丙分得了23颗,丁分得了11颗 4、书架上分上、中、下三层，共放192本书。现从上层出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下 层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三书架所放的书本数相 等。这个书架上中下各层原来各放多少本书？ 【解析】既然上中下都相同，那么就是192÷3=64(本) 逆推来计算：最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这是三层本数相同了， 那么说明，下给上层64÷2=32(本)，下未给上时有:64+32=96(本)，下原有:96÷2=48(本) 中未给下时有:192-32-48=112(本)那中原来有:112÷2=56(本) 上原有:192-48-56=88(本) 5、有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿出12 这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少？ 64【解析】如果不从丙数中拿出12加到甲数，那么甲应为180-12＝168，丙是180+12＝192；如果不从乙数 中拿出18加到丙数，那么丙数是192-18＝174，乙数应是180+18＝198； 如果不从甲数中拿出15加到乙 数，那么甲是168+15＝183，乙数是198-15＝183。综全算式：甲数：180-12+15＝183乙数：180+18-15＝ 183丙数：180+12-18＝174 6、 小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好 是100岁”那么,这位老爷爷今年_____岁. 【解析】(100÷10+15)×4-17=(10+15)×4-17=100-17=83(岁) 7、李老师拿着一批书送给36位同学,每到一位同学家里,李老师就将所有的书的一半给他,每位同学也都还 她一本,最后李老师还剩下2本书,那么李教师原来拿了_____本书. 【解析】本道题目是逆推题目:最后李老师还剩2本书，从这两本书入手，他到第36位同学家之前应有（2-1） ×2=2本书．可知同样到每一位同学家之前都是2本书．因此开始时候老师手中拿着2本书． 1 8、从某天起,池塘水面的浮草,每天增加一倍,50天后整个池塘长满了草,第几天浮萍所占面积是池塘的 . 4 【解析】第50天后整个池塘长满了浮草，增加一倍的意思是指后一天是前一天的2倍，即前一天是后一天 1 1 的一半，因此，第49天时浮萍所占面积是池塘的 ，第48天时浮萍所占面积是池塘的 2 4 9、有甲、乙两箱糖果,如果第一次从甲箱拿出和乙箱同样多块糖果放到乙箱里,第二次从乙箱拿出和甲箱剩 下的同样多块糖果放入甲箱,这样拿4次后,甲、乙两箱糖果都是16块.甲、乙两箱各有糖果_____块. 【解析】最后：甲 16 块，乙 16 块，共有：16+16=32（块）； 第四次拿之前：甲：16÷2=8（块），乙：32-8=24（块）； 第三次拿之前：乙：24÷2=12（块），甲：32-12=20（块）； 第二次拿之前：甲：20÷2=10（块），乙：32-10=22（块）； 原有：乙：22÷2=11（块），甲：32-11=21（块）． 直击赛场 651、如果5×(2＋△×△)－4＝2006，那么△＝________。 (第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第2试) 【解析】 5×（2+△×△）-4=2006 5×（2+△×△）=2010 2+△×△=402 △×△=400， 所以△=20 2、有一个培养某种微生物的容器，这个容器的特点是：往里面放人微生物，再把容器封住，每过一个夜晚．容 器里的微生物就会增加一倍，但是．若在白天揭开盖子，容器内的微生物就会正好减少16个。小丽在实验 的当天往容器里放入一些微生物．心急的她在第二、三、四天都开封看了看，到第五天，当她又启封查看 时，惊讶地发现微生物都没了。请问：小丽开始往容器里放丁多少个微生物？ （第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第2试） 【解析】第五天揭开后0个，揭开前16个； 第四天揭开后8个，揭开前24个； 第三天揭开后12个，揭开前28个； 第二天揭开后14个，揭开前30个； 第一天15个。 归纳总结 S —— (Summary-Embedded) 66重点回顾 （1）学习了解加、减、乘、除运算的变化规律； （2）利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题； （3）掌握重点题型。 名师点拨 重点和难点突破： （1）学会画图，列表； （2）学会逆运算。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 67寻找规律 知识梳理 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我 们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。观察是解决问题的根 据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律： 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考： 1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综 合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我 们解这类题的突破口。 3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。 典例分析 68考点一:发现数列规律 例1、填上合适的数。 （1）3，6，9，12，（ ），（ ） （2）1，2，4，7，11，（ ），（ ） （3）2，6，18，54，（ ），（ ） 【解析】（1）前一个数加上3就等于后一个数，也就是相邻两个数的差都是3.根据这一规律，可以后推知括 号里填15和18. （2）第一个数增加1等于第二个数，第二个数增加2等于第三个数，也就是每相邻两个数的差依次是 1,2,3,4....，这样下一个数应比11大5，填16；再下一个数应比16大6，填22. （3）后一个数是前一个数的3倍，162和486 例2、找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ） （2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ） （3）3，4，7，3，4，10,3,4,13，（ ），（ ） （4）187，286，385，（ ），（ ） 【解析】（1）第一个数减3是第三个数，第三个数减3是第5个数，第二、第四、第六个数不变。应填6,2. （2） 第一个数减3是第三个数，第三个数减3是第5个数；第二个数加1是第四个数，第四个数加1是第六个数。 应填12, （3）每三个为一组，每组中的前两个数都是3,4，每组的第三个数都等于前一组第三个数加上3的 和。填3,4，16（4）每个数十位上的数字8不变，百位上的数字依次是1,2,3....,个位上的数字依次是7,6,5.....， 并且百位上的数字与个位上的数字的和是8，应填484,583 例3、 1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……中，括号里应填什么数？ 【解析】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律， 括号里应填的数为：8+13=21或34－13=21 上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。 例4、下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。 （8，4）（5，7）（10，2）（□，9） 【解析】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，□里所填 69的数应为：12－9=3 考点二：发现规律填写图形内空缺的数 例1、根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。 （1） 1 1 1 5 7 9 0 2 4 1 1 1 1 9 4 1 6 3 (2) 4 7 9 16 14 8 2 8 4 4 3 （3） 2 9 3 7 1 3 4 2 6 3 1 【解析】（1）横着看，图形中右边的数比左边的数多5；竖着看，下面的数比上面的数多4；斜着看，和相 等。根据这一规律，应填18. （2）通过观察可以发现前两个图形中的数之间有这样的关系:4×8÷2=16,7×8÷4=14，也就是说中心的数等 于上面的数与左下方的数的乘积除以右下方的数。9×4÷3=12，应填12 （3）因为9x(9÷3)=27，12x(12÷4)=36，所以36x(36÷12)=108。 例2、按规律填数。 23 31 41 23 35 24 2541 4643 【解析】 通过观察可以发现前两个图形里的数之间有一定的联系：左上方的数十位上的数字和右上方的数个 位上的数字分别与下面的数的千位、个位上的数字相同，左上方的数十位上的数字分别与右上方的数十位上的 70数字之和与下面的数百位上的数字相同，左上方的数个位上的数字与右上方的数个位上的数字之和与下面的数 十位上的数字相同。根据这一规律，应填3594. 例3、根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。 【解析】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数 的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。 例4、根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？ 【解析】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=6 4×20÷10=8 根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24. 考点三：根据规律速求复杂算式的值 例 1、先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。 12345679×9= 12345679×18= 12345679×54= 12345679×81= 【解析】题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”，与9相乘，结果是由九个1组成 的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9， 乘积中就包含几个111111111。 因为：12345679×9=111111111 所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222 12345679×54=12345679×9×6=666666666 12345679×81=12345679×9×9=999999999. 71例2、找规律计算。（1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63 （2） 72—27=（7－2）×9=5×9=45 （3） 63－36=（□－□）×9=□×9=□ 【解析】6:；3；27经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减， 只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。 例3、计算（1）26×11 （2）38×11 【解析】一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。（1） 26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418 注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。 例4、下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是： （1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？ 【解析】分析一： 数组的第1个分量依次是：1，2，3…构成等差数列，所以第 100个数组中的第 1个数为100； 数组的第2个分量 3，6，9…也构成等差数列，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300； 同理，第3个分量为5×100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。 解： 第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。 分析二： 以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。 第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18 第3组：3+9+15=27…， 9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。 解：9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。 考点四：用周期规律解决数学问题 例1、 求67999的个位数字。 【解析】因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。 999÷4＝249……3， 所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的个位数字是3。 72例2、求291+3291的个位数字。 【解析】因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，291的个位数字与 23的个位数字相同，等于8。类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现， 291÷4＝72……3， 所以3291与33的个位数相同，等于7。 最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。 例3、求下式除法运算所得的余数： 555÷3。 【解析】因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解。为了寻找5n÷3 的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下： 注意：表中除以3的余数并不需要计算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以 3去求。比如，52除以3的余数是1，53除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。这是因为52＝3×8+1，其 中3×8能被3整除，而53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余数与1×5 除以3的余数相同。由上表看出，5n除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。由55÷2=27……1 知，555÷3的余数与51÷3的余数相同，等于2。 例4、某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还 剩下几个细菌？ 【解析】1时后有1×3=31（个）细菌，2时后有31×3=32（个）细菌……20时后，有320个细菌，所以本题相 当于“求320÷7的余数”。将3的各次方除以7的余数列表，由表看出，3n÷7的余数以六个数为周期循环出现。 由20÷6＝3……2知，320÷7的余数与32÷7的余数相同，等于2。所以最后还剩2个细菌。最后再说明一点，an÷b 所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重 复出现。 实战演练 P —— (Practice-Oriented) 73实战演练  课堂狙击 1、在括号内填上合适的数。 （1）2，4，6，8，10，（ ），（ ） （2）1，2，5，10，17，（ ），（ ） （3）2，8，32，128，（ ），（ ） 【解析】（1）12；14（2）26;37 （3）512;2048 2、按规律填数。 （1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ） （2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ） （3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ） 【解析】（1）8;1 （2）81;2 （3） 9;6 3、找出排列规律，在空缺处填上适当的数。 （1） 3 7 1 1 1 8 2 2 6 5 9 1 1 1 0 4 4 (2) 7 9 4 8 28 6 27 8 【解析】（1）18 （2）16；通过观察可以发现前两个图形中的数之间有这样的关系:7×8÷2=28；9×6÷2=27 也就是说右下角数字等于三角形上面数字与左下角数的乘积除以2 4、先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ） 74（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ） （3）0，1，4，15，56，（ ） 【解析】（1）26，42 后一位数字等于前两位数字之和 （2） 3,1 后一位数字等于前两项数字之差 （3）209 1×4-0=4 4×4-1=15 15×4-4=56 56×4-15=209 5、求以下除法运算所得的余数。 7855÷5 【解析】（1）由55÷4＝13……3知，7855的个位数与83的个位数相同，等于2，所以7855可分解为10×a＋2。 因为10×a能被5整除，所以7855除以5的余数是2。 6、在方框内填出合适的数。 【解析】（1）13；9+7=1616+5=214+9=13 （2）2； 8+10+12=305+9+16=3017+11+2=30 （3）20；12-12÷4=9 35-35÷7=30 24-24÷6=20 7、找规律，写得数。 1+0×9= 2+1×9= 3+12×9= 4+123×9= 9+12345678×9= 【解析】1；11；111；1111；111111111 8、利用规律计算。 （1）53－35 82－28 92－29 87+78 61－16 95－59 39×11 46×11 （2） 根据 62+26=（6+2）×11=8×11=88，计算87+78= 75【解析】（1）18；54；63；165；45；429；506 （2）165 9、求28128-2929的个位数字。 【解析】由128÷4＝32知，28128的个位数与84的个位数相同，等于6。由29÷2＝14……1知，2929的个位数与 91的个位数相同，等于9。因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。  课后反击 1、在括号内填上合适的数。 （1）1，5，25，125，（ ），（ ） （2）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ） （3）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□） （4）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21） （5）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□） 【解析】（1）625；3125 （2）7;9; 乘积均为24 （3）13；每组数两数之差均为2 （4）42；每组数两数之商均为2 （5）4；每组数两数之积均为48 2、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。 76【解析】15；可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：3×6÷2=9 5×12÷2=30 5×12÷2=30 3×10÷2=15 3、根据规律，在空格内填数。 （1）198，297，396，（ ），（ ） （2） 32 54 21 45 32 57 3864 2665 【解析】（1）495,594 （2）3897 4、下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。 （1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，3） （2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□） （3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5） （4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□） （5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□） 【解析】（1）12; （2）6; 乘积均为24 （3）21；每对括号里的数，前一个和后一个差分别是 18-17=1=1的平方 14-10=4=2的平方 10-1=9=3的平 方 所以□-5=4的平方16+5=21 （4）17；3=2×2-1,9=5×2-1 13=7×2-1,9×2-1=17 （5）14；每组两数之差依次是1,2,3,4 5、找规律，写得数。 1×1= 11×11= 111×111= 111111111×111111111= 【解析】1； 121； 12321；12345678987654321 776、利用规律计算。 （1）61－16 （2）95－59 （3）39×11 （4）46×11 【解析】（1）45；（2）36；（3）429；（4）506 7、求291+3291的个位数字。 【解析】因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，291的个位数字 与23的个位数字相同，等于8。 类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现， 291÷4＝72……3， 所以3291与33的个位数相同，等于7。 最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。 直击赛场 考 1、下面是一组被打乱的数字，在被打乱之前它们之间有一个非常有趣的规律。你试着找找看，然后按其原有 的规律重新把下面的数字排列起来，并说明原来的规律是什么。（启智杯2010） 3,5,13,21,1,1,2,8 【解析】答案不唯一：1，1，2，3，5，8，13，21.或21，13，8，5，3，2，1，1 归纳总结 S —— (Summary-Embedded) 名师点拨 整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a2，即a2＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a 78的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作an，即 我们需要掌握an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数的变化规律。 因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a 的个位数只有0，1，2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。 为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们可以列出表格，看看a，a2，a3，a4，… 的个位数字各是什么。从表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类： （1）当a的个位数是0，1，5，6时，an的个位数仍然是0，1，5，6。 （2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，an的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个 位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。 （3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中 a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当 a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。 学霸经验  本节课我学到 79 我需要努力的地方是 80最优解问题 知识梳理 一、最优化问题 在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间 最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗 最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问 题。以上的问题实际上都是“最优化问题” 二、时间最优问题策略 在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题： （1）要做哪几件事； （2）做每件事需要的时间； （3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。 在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。 典例分析 考点一：烧水问题 例1、明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早 81点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？ 【解析】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。 水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时 进行。这一过程可用方框图表示： 从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开 了就灌入水瓶，共需15分钟。 例2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯 需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？ 【解析】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。 水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。 而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。 根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、 拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。 考点二：煎饼问题 例1、贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个 烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？ 【解析】先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3分钟后，拿下第一个，并把第二个翻过去，并放上第三个 烧饼；过2分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过1分钟把第三个烧饼翻过来；再过1分钟取下第一个烧 饼，再过1分钟三个烧饼全贴完了，只用了8分钟。3＋2＋1＋1＋1=8分钟 例2、用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟。现在在烙 三个饼，最少需要多少分钟？ 【解析】一共需要5分钟。第一次：同时放两张大饼烙2分钟；第二次：将其中的一张反过来再烙1分钟， 82把另外一张取出，把第三张放入烙1分钟；第三次：将烙熟的一张拿出，把取出的那张放入另外一面烙1 分钟，第三张也烙1分钟：第四次：将第三张的另外一面再烙1分钟。 考点三：收割问题 例1、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进行收割，甲的麦地需要收割4小时，乙 的麦地需要收割1小时，丙的麦地需要收割3小时，丁的麦地需要收割2小时。怎样安排四人的顺序，他 们花的总时间最少？最少时间是多少？ 【解析】所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和，因为各自收割的时间不变，所以在安 排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应该安排收割时间少的人先用，顺序是：乙、丁、丙、甲， 过程可用下表表示： 从表中可以看出，四人收割的时间为：1＋2＋3＋4=10小时，三人等的时间为：1×3＋2×2＋3=10小时， 所以，最少时间为10＋10=20小时。 例2、五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟， 孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病 次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？ 【解析】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总 和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。时 间总和是1+4+9=14分钟。 考点四：过河问题 例1、 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟， 丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？ 83【解析】要使过河时间最少，应抓住以下两点： （1）同时过河的两匹马相差时间尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间； （2）过河后应骑时间少的那匹马回来。 因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过河，再骑甲马返回，共需3＋2=5分钟；然后骑丙马赶丁 马一起过河后，再骑乙马返回，7＋3=10分钟；最后骑在甲马背上赶乙马一起过河，不再回来，共需3分钟。 所以，4匹马都赶到对岸去最少时间是5＋10＋3=18分钟。 例2、明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需2分钟，丙 牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头过河，要把4头占都赶到对岸去，最少要多少分钟？ 【解析】此题较复杂，应抓住每次时间接近的两头牛过河，同时回来尽量骑时间短的牛返回这两个关键， 进而分析解答即可．先骑1分钟的，带着2分钟的过去，用时2分；然后骑一分钟的回来，用时1分；然 后骑5分钟的带着6分钟的过去，用时6分；然后骑2分钟的回来，用时2分；最后骑着1分钟带着2分 钟的过去，用时2分；一共13分钟． 考点五：其他最优问题 例1、在一条公路上每隔50千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存有20吨粮食， 丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运 1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？ 【解析】这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的货物重量小路程近，花 费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相等都是50千米，一般原则是“少往多处靠”。集中存在粮 食较多的库房比较节约，甲、乙两仓库粮食合起来是30吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库 的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用1×10×50×3=1500元，乙粮库需要1×20×50×20=2000元，共用1500 ＋2000=3500元。 例2、用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是 多少？ 【解析】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2=9厘米。显然，当长与宽的差越小，围 84成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5厘米，宽是4厘米时，围成 的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米。 例3、用3～6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 【解析】解决这个问题应考虑两点： （1）尽可能把大数放在高位； （2）尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个因数 的差越小，积越大”的规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。63×54=3402. 实战演练 P —— (Practice-Oriented) 实战演练  课堂狙击 1、玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯要1分钟，冲茶 要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？ 【解析】洗水壶和烧开水要一起，冲茶要等烧完后，也就是2+12，之后再加上要冲茶的一分钟（烧开水同 时可买茶叶洗茶杯）12+2+1=15 2、烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少 分钟？ 【解析】6分钟，把两片面包放入烤架烤2分钟，烤好一面后拿出一片，另一片翻过来，放入没烤的一片2 分钟。等烤好后，把烤好的拿出来，放入刚才拿出来的那片，和架子上的另一片面包一起烤另一面2分钟， 搞定收工。 3、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。 怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？ 【解析】按时间从短到长，即丙、甲、乙的次序安排谈话，才能使3人所花的总时最短。 85当丙在谈的时候，甲和乙在等待，所以3个人都在，一共花费8×3分钟； 当甲在谈的时候，乙在等待，丙走了，所以2个人在，一共花费10×2分钟； 当乙在谈的时候，丙和甲都走了，所以只有1个人在，一共花费16×1分钟； 可得：3人所花的总时间最短为8×3+10×2+16×1=60分钟。 4、卫生室里有四名同学等候医生治病，甲打针要3分钟，乙换纱布需要4分钟，丙涂红药水需要2分钟， 丁点眼药水需要1分钟。怎样安排，他们在医院等候的时间和最少？最少是多少分？ 【解析】医生治的顺序是：丁、丙、甲、乙。 等候的时间和为：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）=20分钟 5、一条公路有四个储油站，它们之间都相隔100千米。甲储油站有50吨油，乙储油站储有10吨油，丙储 油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一个储油站，每吨油运1千米要2元运费， 那么最少要花多少运费？ 【解析】应该将乙、丙的集中去甲，所花的运费最少。 丙需用2×20×200=8000元，乙粮库需要2×10×100=2000元： 最少共用8000＋2000=10000元。 6、小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河要2分钟，丙马过河 要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要多少分钟？ 【解析】赶马的顺序是：先骑乙马赶丙马一起过河，再骑乙马返回，共需3＋2=5分钟；然后骑甲马赶丁马 一起过河后，再骑丙马返回，3＋8=11分钟；最后骑在乙马背上赶丙马一起过河，不再回来，共需3分钟。 所以，4匹马都赶到对岸去最少时间是5＋11＋3=19分钟。 7、一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？ 【解析】一个四边形，周长一定的条件下，以正方形的形式出现，其面积最大。 那么一个周长为20的正方形，面积非常简单：5×5=25平方分米. 868、用5～8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 【解析】（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。 所以85乘76，首先最高位越大越好，个位数小的和十位数大的在一起，这样可以使积最大  课后反击 1、小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入洗衣机要1分钟， 洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟。怎样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？ 【解析】把衣服和水放入洗衣机的时间1分钟加上洗涤的12分钟就是所需要花的时间。整理房间和擦鞋可 以在洗衣服的12分钟内完成。所以13分钟后可以出发。 2、小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要1分钟，可 小红烙6个饼只用了5分钟，她是怎么做的？ 【解析】先放4个一起烙2分钟后翻面，取出其中两个，放两个新的再烙1分钟，一开始的两个饼就烙好 了，然后翻面，把之前取出的2个反面放入烙1分钟可以取出，再烙一分钟剩下的2个。一共花费5分钟。 3、三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用4分钟，乙需要用6分钟，丙需要用2分钟。怎样安排他们 购买的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少？ 【解析】这个问题主要是找出减少三人总等待时间的方法,所以用的时间少,就可以减少别人的等待时间,就 是说他们的顺序应该是丙、甲、乙.总共用时是2+2（甲、乙等待时间）+4+4（乙等待时间）+6=18。 4、一条公路有三所小学分别为A、B、C，在什么地方设一个汽车站，才能使用三个学校的学生上学放学所 行的总路程最少？ 87【解析】设在B站。 5、小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙牛过河要2分钟， 丙牛过河要3分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛过河要5分钟，己牛过河要6分钟。每次只能三头牛过河， 要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？ 【解析】分析：要想用时最少，先让过河用时多的先过，首先骑甲赶戊和己，骑甲回：6+1=7（分钟），再 骑甲赶丙和丁，骑甲回需：4+1=5分钟，最后再骑甲赶乙需2分钟．最少：7+5+2=14分钟。 6、甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需 要10分钟，丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？最少时间是多 少？ 【解析】顺序是丁、乙、甲、丙； 一共所花时间：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+10）=26分钟。 7、一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘 米？ 【解析】36=36×1=18×2=12×3=9×4=6×6； 所以长方形的长和宽分别是：长36厘米、宽1厘米；长18厘米、宽2厘米；长12厘米、宽3厘米；长9 厘米、宽4厘米；长6厘米、宽6厘米．这个长方形的周长最长是：（36+1）×2=37×2=74（厘米）， 8、用3～8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。 【解析】864×753=650592，854×763=651602，853×764=651692； 可知853×764最大，值为651692 规律：首位分别取最大，两个数差距越小，积越大，得853×764最大 直击赛场 881、有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每 车次的耗油量分别是10公升与5公升．问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？ （上海市数学竞赛试题） 【解析】大卡车每吨耗油量为10÷5=2（公升）；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5（公升）． 为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=5×31+2， 因此，最优调运方案是：选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完， 且这时耗油量最少，只需用油10×31+5×1=315（公升） 2、用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各 需1分钟），问 煎1993个饼至少需要几分钟？ （数学解题能力展示大赛） 【解析】由于1993数目较大，直接入手不容易．我们不妨先从较小的数目来进行探索规律． 如果只煎1个饼，显然需要2分钟； 如果煎2个饼，仍然需要2分钟； 如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟；再单独煎第3 个饼，又需要 2分，所以一共需要4分钟．但是，这不是最佳方案． 最优方法应该是： 首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟； 其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟； 最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼． 如果煎1993个饼，最优方案应该是： 煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟；煎后面1990个饼时，每两个饼需 要2分钟，分1990 ÷2=995（次）煎完，共需要2×995=1990（分钟）；这样总共需要3 +1990=1993（分钟） 归纳总结 S —— (Summary-Embedded) 89重点回顾 （1）了解统筹规划的一般步骤； （2）理解各种题型的解答方法； （3）掌握重点题型。 名师点拨 重点和难点突破： （1）掌握优化的思想，合理统筹安排操作程序，就能够节省时间，提高效率； （2）掌握常见的题型，学会独立思考 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 90追及问题 知识梳理 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这 就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两 人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内： 追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即S =V t 差 差 例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时 到达终点，甲乙的速度分别为v 和v ，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说， 甲 乙 在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米 典例分析 例1、小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒， 立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家 多远？ 【解析】 91当爸爸开始追小明时，小明已经离家： 70×12=840(米)， 即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米， 我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分， 他们之间的距离就缩短280-70=210(米)，也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210(米/分), 爸爸追及的时间：840÷210=4(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发12+4=16(分钟)， 此时离家的距离是：70×16=1120(米) 例2、下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回 家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到 家）. 【解析】若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）； 哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？ 40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟. 例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340 千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千 米？ 【解析】（1）4小时后相差多少千米：（340-300）×4=160（千米）． （2）甲机提高速度后每小时飞行多少千米： 160÷2+340=420（千米）． 例4、王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发 5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？ 【解析】已知二人出2分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟， 在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了5×2+2=12(分钟)． 李华在这段时间比王芳多走：70×12=840(米)， 92速度差为：110-70=40(米/秒)， 王芳追上李华的时间是：840÷40=21(分钟) 例5、两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当 乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？ 【解析】甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标． 当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行， 把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加， 就是共同经过的时 乙到达目标时所用时间：9001009 (分钟)， 甲9分钟走的路程：809720 (米)， 甲距目标还有：900720180 (米)， 180(10080)1 相遇时间： (分钟)， 共用时间：9+1=10(分钟)． 例6、龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只 能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地 躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题： 它们谁 胜利了？为什么？ 【解析】（1） 乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40104 (分钟)就能到达终 点，而兔子离终点还有500米，需要5001005 (分钟)才能到达，所以乌龟胜利了． （2）乌龟跑到终点还要40104 (分钟)，而小兔跑到终点还要100021005 (分钟)，慢1分钟．当 胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：1001100 (米)． 例7、小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4 秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？ 【解析】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差， 小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间， 93据此可求出他们的速度差为2054 (米/秒)； 若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝， 在这个过程中，追及时间为6秒， 根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差， 这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程， 路程差就等于4624 (米)，也即小蓝在4秒内跑了24米， 所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度． 综合列式计算如下：小蓝的速度为：205646 (米/秒)， 小红的速度为：6410 (米/秒) 例8、刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行 进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？ 【解析】这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速 度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程. 假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家， A每小时行10千米，下午1点到； B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米）， 这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米）， 所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）. 由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米） .刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米， 刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）． 例9、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分，下山的速度 都是30米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇。山 道长多少米。 【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走4802024（分钟）后可以返回山顶， 如果乙不休息，那么这个时候乙应该到达山脚， 所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚， 也就是距离山脚还有3030900（米）， 所以山顶到山脚的距离为90024（2030）90012002100 （米）。 例10、如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A．甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A．甲向北， 94乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距A的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．问： 甲、乙二人的速度各是多少？ 北 乙 东 A 560米 甲 B 【解析】本题总共有两次距离A相等， 第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程． 那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：5604140 (米/分)。 第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了A点， 且在A点以北走的路程乙走的总路程． 那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了42428 (分钟)， 两人的速度差：5602820 (米/分)， 甲速乙速140，显然甲速要比乙速要快； 甲速乙速20，解这个和差问题， 甲速（14020）280 (米/分)，乙速1408060 (米/分)． 例11、早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人 之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小 张到达乙地．小张是早晨_________出发． 【解析】由“下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”可知： 两人的速度差是每小时30千米，由3点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程， 在这一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走15+30千米， 故小张的速度是15千米/小时，小王的速度是45千米/小时． 全程是453135 (千米)，1351572 (小时)，即上午10点出发． 例12、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离. 先画图如下： 95【解析】若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟. 而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。 同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD. 即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）. 所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分）， 由此可求出A、B间的距离。 50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）， （80+50）×6＝130×6=780（米） 实战演练 P(Practice-Oriented)—— 实战演练  课堂狙击 1、哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥 哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远? 【解析】哥哥出发的时候弟弟走了：405200（米）， 200(6540)8 哥哥追弟弟的追及时间为： （分钟）， 所以家离学校的距离为：865520（米）. 2、一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从甲地 开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？ 【解析】慢车先行的路程是：405200 (千米)， 快车每小时追上慢车的千米数是：904050 (千米)， 追及的时间是：200504 (小时)， 快车行至中点所行的路程是：904360 (千米)， 甲乙两地间的路程是：3602720 (千米)． 963、六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑 自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？ 【解析】同学们15分钟走72151080（米），即路程差． 然后根据速度差＝路程差÷追及时间， 可以求出李老师和同学们的速度差， 又知道同学们的速度是每分钟72米， 就可以得出李老师的速度．即1080972192（米）． 4、甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10 千米，问：乙经过多长时间能追上甲？ 【解析】出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米）， 即两人的速度的差（简称速度差）， 所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上. 10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时），还需要2个小时。 5、小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、 小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？ 【解析】本题可用追及问题思路解题，类比如下： 路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份）， 速度差：726012（份/分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时， 小王所用时间，即追及时间是60125（分钟）． 共整理报纸：5722720（份） 6、甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有 紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地，求A、 B两地的路程． 【解析】根据题意画出线段图： 97从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程， 那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间， 而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程, 追及路程为：34268 (千米), 追及时间为：68（3834）17 (小时), A、B两地的路程为：3817646 (千米).  课后反击 1、上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先 跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？ 【解析】由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为10550 (米/分)， 乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了5010500 (米)， 还剩1000500500 (米)，需要5005010 (分钟)就可以到达终点， 而兔子到达终点需要的时间是：100010010 (分钟)， 所以，兔子和乌龟同时到达终点． 2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽 车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？ 方法一：根据题意，画出线段示意图： 汽车（65千米/小时） 摩托车（28千米/小时） 甲地 乙地 追及地点 【解析】从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差． 先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程， 即654284260112148 (千米) 3、甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒 钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？ 98【解析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间， 据此可求出他们的速度差为1052 (米/秒)； 若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒， 因此路程差就等于248 (米)，也即乙在2秒内跑了8米， 所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度． 综合列式计算如下： 乙的速度为：105424 (米/秒)， 甲的速度为：10546 (米/秒) 4、甲、乙二人沿着同一条100米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后8米处起跑，当甲离终点还有12 米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？ 【解析】甲、乙两人的运动时间相同，所以， 甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以， 乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍 乙 甲 终点 起点 12 8 100米 由图可知，甲跑1001288 (米)，乙跑88896 (米)， 所以当乙跑8100108 (米)时，甲跑：108968899 (米)， 即当乙跑到终点时，甲离终点还有100991 (米) 5、小叶子上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟，如果往返都步行，则全程需要70分钟，求往返都骑 车所需的时间是多少？ 【解析】一个单程步行比骑车多用70-50=20（分钟）， 骑车单程（50-20）÷2=15（分钟）， 往返骑车的时间15×2=30（分钟）． 6、八戒和悟空两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行45千米，八戒每小时 行40千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？ 【解析】要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间： 255÷（45+40）=3（小时）． 99悟空：453135（千米），八戒：403120（千米）． 直击赛场 1、甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶。甲车如果每小时行驶60千米，则5小时可追上前方的乙车； 如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车。由上可知，乙车每小时行驶_____千米(假设乙车的行驶 速度保持不变)。（2005年，希望杯，第三届，四年级，二试） 【解析】利用追及路程一样有，5×(60-乙速)=3×(70-乙速)，解得乙速=45千米/小时 100归纳总结 (Summary-Embedded)—— 名师点拨 追及问题：同时不同地：前者走的路程+两者间距离=追者走的路程，同地不同时：前者所用时间-多用时间 =追这所用时间； 追及路程÷速度差=追及时间 追及路程÷追及时间=速度差 速度差×追及时间=追及路程 追及路程÷速度差=追及时间 追及路程÷追及时间=速度差 速度差×追及时间=追及路程 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 101盈亏问题 知识梳理 一、基本方法 盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为 “亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分， 则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问 题”。 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数 (盈－盈)÷两次分得之差=人数或单位数 (亏－亏)÷两次分得之差=人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个 数的差求未知数的“盈亏问题”。 二、方法技巧 注意1.条件转换 2.关系互换 典例分析 102考点一：直接计算型盈亏问题 例1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则 少2块 砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两 次 搬砖，每人相差5-4=1（块）。第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）， 每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）．共有砖：4×9+7=43（块） 例2、明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4 元．那 么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？ 【解析】“多8元”与“多4元”两者相差8-4=4（元），每个人要多出8-7=1（元），因此就知道，共有4÷1=4（人）， 蛋糕价钱是8×4-8=24（元） 例3、老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃， 那么 一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？ 【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9-2=7（个），两次分配 之 差是11-10=1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7÷1=7=（只），老猴子有7×10+9=79（个）桃子 例4、猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若 大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多少只？ 【解析】当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．也就是 盈亏问题说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下20-10=10个， 所以大猴比小猴多10只 考点二：条件关系转换型盈亏问题 例1、一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位 学生？ 103共多少粒糖果？ 【解析】第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是5-4=1（粒）， 由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：9÷1=9（人），有糖果9×5=45（粒） 例2、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那 么一共 有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？ 【解析】猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是 11-10=1 （条） ，由盈亏问题公式得，有小猫：8÷1=8（只），猫妈妈有8×10+8=88（条）鱼 例3、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人， 恰好多 出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？ 【解析】每辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人。此车辆数目 为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）。学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人） 考点三：复杂的盈亏问题 例1、国庆节快到了，学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4 盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？ 【解析】 这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆，其 余 的人各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况——2人各摆4盆，其余的人各摆6 盆．如果我们把它统一成一种情况，让每人都摆6盆，那么，就么还差6×2-2×4=4(盆)．因此，原问题就转化 为：如果每人各摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人 摆6盆花，还缺4盆．问有多少少先队员，一共摆多 少花盆？ 人数： （3+4）÷（6-5）=7(人)， 盆数：5×7+3=38(盆)或6×7-4=38(盆) 例2、妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果 其中一 人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人? 【解析】由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两 人每 104人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了4+4=8个；由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为 全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就缺12-2=10个，转变成了盈亏问题的一般类型，则： 全 家的人数：(8+10)÷(4-2)=9(人), 橘子的个数：2×9+8=26(个) 例3、堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则 多2元.已 知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？ 【解析】这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉 18 千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每千克贵8角，如果18千克牛肉换成18千克猪肉， 就要少花8×18=144（角）=14元4角.这样就会多出 14元4角-4元=10元4角。因此问题就可变为：“小李买 猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价和钱数.”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题， 不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差。 解：由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵 8×18=144（角）=14元4角. 因 此小李若买18千克猪肉就会多余14元4角-4元=10元4角。由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉 每千克价格为 （104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角. 所以牛肉每千克价格为：4元2角+8角=5元. 小李带的钱为：4.2×20+2=86（元） 例4、四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果13千克，还差4元； 如果 买奶糖15千克，则还剩2元．已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅导员老师带了 多少元钱？ 【解析】 这笔钱买13千克芒果还差4元，若把这13千克芒果换成奶糖就会多出13×2=26元，所以这笔钱买 13千克奶糖会多出26-4=22元。而这笔钱买15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格为： (22-2)÷(15-13)=10（元）．辅导老师共带了10×15+2=152元 实战演练 P —— (Practice-Oriented) 实战演练 105 课堂狙击 1、有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班 有多少学 生，多少练习本呢？ 【解析】 由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案 分 配结果相差：70-10=60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7-5=2（本），相差60本的学生有： 60÷2=30（人）。练习本有：30×5+70=220（本）或（30×7+10=220） 2、王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30 元，问儿 童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？ 【解析】本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7 把变 成买5把，少买了7-5=2（把），而钱的差额为：110+30=140（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提 琴的单价是每把70元，王老师一共带了70×7-110=380（元） 3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这 批花瓶后， 工人共得4400元，则损坏了多少个？ 【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100+20=120（元）， 即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费 20×250=5000元）。这样比实际多得5000-4400=600（元），就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120 元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶。根据以上分析，可得损坏了（20×250-4400）÷（100+20） =5（个） 4、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全 部分给小 班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？ 【解析】先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少3人，则苹果又收回3×5=15个苹果，人数一样， 根 据盈亏问题公式，小班人数为：(15+10+2)÷(8-5)=9人，苹果总数是8×9-2=70个。 5、有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两 块，这 些糖共有多少块？ 【解析】第一次每人分5块，第二次每人分4块，可以认为原有的人每人拿出5-4=1块糖分给新增加的人，而 新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到2块糖果，这些人每人还差4-2=2块，一共差了 10+2=12块，所以新增加了12÷2=6人，原有6×2=12人．糖果数为：12×5+10=70(块) 1066、卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如 果大熊猫 数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？ 【解析】使同学们感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”。先要转化这一条件，假设还有10棵竹子，10÷2=5， 就可以多有5个大熊猫，把“少5只大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原大熊 猫数每只大熊猫给2×3=6(棵)竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差10+10+8=28(棵)，所以原有大熊猫 数28÷(6-5)=28(只)，竹子总数是5×28+10=150(棵) 7、小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已 知每千克 牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？ 【解析】 因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6＝24（元）， 这样 化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明妈妈带的钱数是：12×10＋ 4＝124（元） 8、小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比 上课时 间提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 【解析】迟到3分钟转化成米数：50×3=150（米），提前2分钟到校转化成米数：60×2=120（米），距离上课 时间为：(150+120)÷(60-50)=27（分钟），家到学校的路程为：50×(27+3)=1500（米）  课后反击 1、某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几 间?住宿生几人? 【解析】 由已知条件每间5人,少14个床位,每间7人,多4个床位。比较两次分配的方案，可以看出，由于第 二种方案比第一种每间多7-5=2人，一共要多出14+4=18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差， 可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数。 解：(4+14)÷(7-5)=9(间)， 5×9+14=59(人)或7×9-4=59（人) 2、秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出 48个萝卜； 如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？ 【解析】 题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝 卜 剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8 个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多 少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8） 107÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个） 3、甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张 信纸，一 段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多 少张信纸？ 【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信 纸， 两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸2×50＋20=120(张） 4、王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分 7个，少5 个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 【解析】 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果 每 人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）。苹果个数为13×7-5=86（个）， 桔子数为 13×3+4=43 （个） 答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子 5、李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣 粉比买碧 浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？ 【解析】 “李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8×3＝24 （元），又 因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买 碧浪洗衣粉袋数24÷2＝12（件）。这样李妈妈带的钱数是10×12＝120（元）。 6、王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米， 就可以 比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？ 【解析】迟到3分钟转化成米数：500×3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600×2＝1200（米） 王老师家到学校需要（1500＋1200）÷（60-50）=270（分钟）， 王老师家到学校的路程：500×（270+3）＝136500（米） 直击赛场 归纳总结 S —— (Summary-Embedded) 重点回顾 108盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称 之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人 少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈 亏问题”。 名师点拨 1.条件转换 2.关系互换 这两种典型例题的常见类型以及复杂问题转化为基本盈亏问题。 学霸经验  本节课我学到  我需要努力的地方是 109容斥问题 知识梳理 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：AB ABAB，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积． 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积． 1．先包含——AB 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2．再排除——ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把A、B的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C  AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和 A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类 的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元 素个数．用符号表示为：ABC  ABCABBCAC ABC．图示如下： 110 A B 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆 表示C的元素的个数． B C C A 1．先包含：ABC A B C 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：ABCABBCAC 重叠部分ABC 重叠了3次，但是在进行ABC ABBCAC 计算时都被减掉了． 3．再包含：ABCABBCACABC ． 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 典例分析 考点一：两量重叠问题 例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都 参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ A C B 【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分 C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣 小组的人，有281216(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人， 有291217(人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745(人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人，即： 28291245(人)． 111 例2、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9 人．这个班一共有多少人？ 会 两 会 游 项 打 泳 都 篮 的 会 球 A 的 B 的 两项都不会的 【解析】如图，用长方形表示全班人数， A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数． 由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 20251035(人)，全班人数为：35944 (人)． 例3、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采 杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？ 既采 A 樱桃 B 又采 杏的 既没采樱桃 又没采杏的 【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数． 长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数． 由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和， 则至少采了一种的人数为：46640(人)， 而至少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数， 所以，只采了杏的人数为：4018715(人)． 例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级 共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？ 112 乙 丙 甲 A B 【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16， 通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15， 那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画， 进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅， 那么就可以求出其他年级的画作共有3幅． 考点二：三量重叠问题 例1、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至 少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么， （1） 数学成绩优秀的有几个学生？ （2）有几个人既会游泳，又会滑冰？ 【解析】（1）有6个数学不及格，那么及格的有：25619(人)， 即最多不会超过19人会这三项运动之一． 而又因为没人全会这三项运动，那么， 最少也会有：（17138）219(人)至少会这三项运动之一． 于是，至少会三项运动之一的只能是19人， 而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格， 所以没有数学成绩优秀的． （2）上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动； 会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰； 会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰， 而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳， 但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以， 全班有19172(人)既会游泳又会滑冰． 考点三：图形中的重叠问题 113 例1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？ 【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分， 所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487 (厘米)． 例2、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 4 厘 米 2厘米 图3 【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)， 重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形， 如果利用两个42的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积， 那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次， 而实际上这部分只需计算一次就可以了． 所以，被覆盖面积长方形面积之和-重叠部分． 于是，被覆盖面积4222212(平方厘米)． 例3、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个 纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？ A B 10 C 【解析】将图中的三个圆标上A、B、C．根据包含排除法， 三个纸片盖住桌面的总面积(A圆面积B圆面积C圆面积）（ A与B重合部分面积A与C重合部分面积 B与C重合部分面积）三个纸片共同重叠的面积， 得：100（505050）（A与B重合部分面积A与C重合部分面积B与C重合部分面积）10， 得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：16010060平方厘米， 而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和， 114 即：60103阴影部分面积， 则阴影部分面积为：603030(平方厘米)． 考点四：容斥原理在数论问题中的应用 例1、在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B 【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数， 圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数， 长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数． 由1003331可知，1~100中3的倍数有33个； 由100520可知，1~100中5的倍数有20个； 由100（35）610 可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个． 由包含排除法，3或5的倍数有：3320647(个)． 从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753(个)． 考点五：容斥原理中的最值问题 例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内 的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 【解析】越是中间，被重复计算的越多， 最中心的区域被重复计算四次， 将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中， 最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240. 115实战演练 P(Practice-Oriented)—— 实战演练  课堂狙击 1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？ 请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都 完成的人数。 【解析】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因 为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算 了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。 2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。 问多少个同学两题都答得不对？ 【解析】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。又 已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数： 10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。 3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么 同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 【解析】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同 时参加的人数：28＋27－31=24人。 4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？ 【解析】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20 个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个 （100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数 的个数是：100－33=67个。 5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的， 有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 116【解析】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级 参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉 五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出 其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。  课后反击 1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别 有多少人？ A C B 【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人， 图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376(人)， 图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721(人)． 2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现： 制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两 项制作都完成的同学有多少人？ A C B 【解析】因为403272，7255，所以必有人两项制作都完成了． 由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知： 全组人数4032完成了两项制作的人数， 即5572完成了两项制作的人数． 所以，完成了两项制作的人数为：725517(人)． 3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15 人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参 加B组的有_______人． 117 【解析】参加B，C，D三组的总人数是3615417(人)， C，D每组至少5人， 当C，D每组6 人时，B组为5人，不符合题意， 所以参加B组的有17557(人)． 4、如下图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米 的正方形，求这个组合图形的面积． 8 6 4 6 图3 【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)， 重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形， 如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积， 那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次， 而实际上这部分只需计算一次就可以了． 所以，组合图形的面积长方形面积正方形面积重叠部分． 于是，组合图形的面积：86664468(平方厘米)． 5、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花 最少有多少盆? 【解析】只考虑甲乙两人情况， 有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆， 此时甲单独浇过的为78-46=32盆， 乙单独浇过的为68-46=22盆； 欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端． 于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆． 118直击赛场 1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂 俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090(人)． 又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515(人)． 从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人， 剩下的8315 68(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客． 方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得： AB ABAB75839068(人)． 归纳总结 (Summary-Embedded)—— 名师点拨 容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后 再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 119鸡兔同笼 知识梳理 大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 意思是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？ 这就是著名的“鸡兔同笼”问题。如何解决这道数学趣题，就是我们今天要学习的内容。 解决鸡兔同笼问题的主要方法有： 1、砍足法（抬腿法） 解答思路：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双 脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数 多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512（只）．显然，鸡的只数就是 351223（只）了． 2、假设法（经典） 鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 120如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 3、方程法 根据鸡兔的脚之和列方程解答。 典例分析 考点一：图解法和列表法 例1、鸡兔同笼，有20个头，54只脚，鸡兔各多少只？ 【解析】从有1只鸡开始一个一个地试，把试的结果列成表格。 头（个） 鸡（只） 兔（只） 脚（只） 20 1 19 78 20 2 18 76 20 3 17 74 20 4 16 72 20 … … … 20 13 7 54 刚好，13只鸡，7只兔。这样做太麻烦，先假设兔和鸡各占一半。 头（个） 鸡（只） 兔（只） 脚（只） 20 10 10 60>54 20 11 9 58 20 12 8 56 20 13 7 54 先假设兔和鸡各占一半，根据脚的总数量与实际数量的大小关系，确定减少鸡还是兔，这样就减少列举 的次数。 例2、有鸡兔共30只，兔脚比鸡脚多60只，问鸡兔各多少只？ 【解析】可以用列表的方式，先假定鸡兔各占一半， 头（个） 鸡（只） 兔（只） 鸡脚 兔脚 鸡兔脚之差 30 15 15 30 60 30 30 14 16 28 64 36 30 13 17 26 68 42 30 12 18 24 72 48 30 11 19 2 6 52 12130 10 20 20 80 60 所以10只鸡20只兔。 点评：从表中可以看出：增加一只兔，减少一只鸡，它们的脚数差增加6.同样，减少一只兔，增加一只鸡，它 们的脚数差减少6.也就是说，用一只鸡换一只兔，脚数差的变化为6只。 例3、笼子里有鸡和兔共8只，一共22条腿。鸡和兔各有几只？ 【解析】本题可以用列表法解答，现在我们用另一种方法——图解法来解答。 第一步：先画8个 表示鸡兔共有8个头 。 第二步：给每个头都配上2条腿，共16条腿，这样8只全是鸡。 第三步：把剩下的6条腿配在3个图上，这样2条腿的有5个，4条腿的有3个。也就是有5只鸡，3只 兔。 把上面的过程列成算式：假设全是鸡：8个头只需要16条腿 8×2=16（只） 还剩下6条腿：22-16=6（只） 再把6条腿加在3只鸡上，就变成3只兔。6÷2=3（只） 考点二：假设法 例1、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？ 【解析】假设20只全是鸡，那么就有鸡脚20×2=40只，比实际少了44-40=4只，是因为每只兔少算了4-2=2 只脚，所以兔有4÷2=2只。鸡有20-2=18只。 例2、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？ 【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而 实际上只多20只，这说明假设的鸡脚与兔脚的差比实际的差多200-20=180（只）。 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只）， 而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100-30＝70（只）。 解：有兔（2×100-20）÷（2＋4）＝30（只）， 122有鸡100-30=70（只）。 答：有鸡70只，兔30只。 例3、现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。 问：大、小瓶各有多少个？ 【解析】小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个）， 大瓶有50-30＝20（个）。 答：有大瓶20个，小瓶30个。 例4、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问： 两种文化用品各买了多少套? 【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280 只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304(元)，比实际多304－280＝24(元)，是因为普通文化用品每套多 算了19—11＝8(元)，所以买普通文化用品 24÷8＝3(套)，买彩色文化用品 16－3＝13(套)。 例5、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人? 【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿， 那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140＝160(个)。现在以小和尚去换大和尚， 每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1＝2(个)，因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100 —80＝20(人)。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。 考点三：列方程解决鸡兔同笼问题 例1、鸡、兔共笼，鸡比兔多20只，足数共280只，问鸡、兔各几只？ 【解析】本题可以用假设法解答。 假设鸡与兔的数量一样，则足数共280-20×2=240只，则兔有240÷（4+2）=40只，鸡有40+20=60只。 鸡兔同笼问题除了用假设法解答外，还可以用方程解答 123解：设有x只鸡，则有x-20只兔。根据足数共280只列方程得 2x+4(x-20)=280 X=60 60-20=40 答：鸡60只、兔40只。 例2、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、 小船各租几条？ 【解析】本题是鸡兔同笼的变形题。把大船看成“兔”，小船看成“鸡”，学生看成“脚”。 解：设大船x条，小船10-x条。 6x+4(10-x)=41+1 X=1 10-1=9 答：大船租1条、小船租9条。 例3、大院里养了三种动物，每只小山羊戴着3个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅不戴铃铛．小明数 了数，一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛，三种动物各有多少只？ 【解析】本题是三个对象的鸡兔同笼问题。若用假设法解题，应抓住“狮子狗与小山羊的脚相同”这一条件， 即把狮子狗与小山羊看成“兔”，大白鹅看成“鸡”，这样把三种动物转化成两种动物的鸡兔同笼问题。 列方程也同样要将狮子狗与小山羊看成“兔”，大白鹅看成“鸡”。 解：设小山羊和狮子狗共有x只，大白鹅有9-x只。 4x+2(9-x)=28 X=5 9-5=4 再设小山羊有y只，狮子狗有5-y只 3y+(5-y)=11 Y=3 5-3=2 答：小山羊有3只，狮子狗有2只，大白鹅有4只。 例4、小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣2分，又知 124道他做错的题和没做的一样多．问小毛做对几道题？ 【解析】设错了x题，对了20-2x题。 5（20-2x）-2x=64 X=3 20-2×3=14 答：小毛做对14道题. 点评：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种动物/东西的鸡兔同笼基本模型。即：抓住转化后的“头”与 “脚”。 P ——实战演练 (Practice-Oriented) 实战演练  课堂狙击 1、今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只？ 【解析】假设全是鸡，那么就有鸡脚35×2=70只，比实际少了94-70=24只，是因为每只兔少算了4-2=2只， 所以兔有24÷2=12只。鸡有35-12=23只。 2、鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只？ 【解析】假设200只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚200×4=800只，而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多800 只，而实际上只多56只，比实际的差多800-56=744（只）。是因为每只鸡换成兔，鸡的脚减少2只，兔 的脚增加4只，也就是一只鸡变成一只兔，兔的脚与鸡的脚之差就会增加6只。因此鸡有744÷6＝124 只，兔子200-134=76只。 3、在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子，那 么三轮摩托车有多少辆？ 【解析】假设都是三轮摩托车，应有3×41=123(个)轮子，少了127-123=4(个)轮子．每把一辆汽车假设为三轮 摩托车，会减少4-3=1(个)轮子．汽车有4÷1=4(辆)；从而求出三轮摩托车有41-4=37(辆)．或者假设都是汽车， 应有4×41=164(个)轮子，多了164-127=37(个)轮子； 所以摩托车有37÷（4-3）=37(辆)． 1254、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每 分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下? 【解析】利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12×(2+3)＝60(下)。 可求出小乐每分钟跳 (780－60)÷(2+3+3)＝90(下)， 小乐一共跳了90×3＝270(下)，因此小喜比小乐共多跳 780—270×2＝240(下)。 5、列方程解答：鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？ 【解析】设鸡x只，兔100-x只。 2x-4(100-x)=20 X=70 100-70=30 答：鸡70只、兔30只。 6、五年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生 多4人，该班男生和女生各多少人？ 【解析】设男生x人，女生x+4人。 5x+3(x+4)=180 X=21 21+4=25 答：该班男生有21人，女生有25人。 7、食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每 千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？ 【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，则每千克20元的收入：25701970600元， 所以卖出：6002030千克，所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共1003070千克，相当于将题 126目转换成：卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，问：每千克25元的糖果售出了 多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题．  课堂反击 1、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 【解析】假设46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚，这 是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2=2（只）脚，那么56只脚是我们 把56÷2=28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18（只）． 2、鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？ 【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只．我们假设鸡与兔只数一样多， 那么现在它们的足数一共有： 274-2×26=222（只），每一对鸡、兔共有足： 2+4=6（只），鸡兔共有对数（也 就是兔子的只数）： 222÷6=37（对），则鸡有37+26=63（只）． 3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后， 工人共得4400元，则损坏了多少个？ 【解析】本题中“损坏一个倒赔 100 元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏 1 个花瓶相差 10020120 （元），即损 1 个花瓶不但得不到 20 元的运费，而且要付出 120 元．本例可假设 250个花瓶都完好，这样可得运费20×250=5000（元）．这样比实际多得5000-4400=600（元）． 就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶．根据以 上分析，可得损坏了（20×250-4400）÷（100+20）=5（个）． 4、某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中 有多少间大宿舍？ 【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住4×30=120（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每间多 住6-4=2（人），所以大宿舍有（168-120）÷2=24（间）． 5、学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋 与跳棋各有多少副? 【解析】假设26副全是跳棋，那么可供26×6=152人活动，比实际多了156-120=36人，是因为每副象棋多 127算了6-2=4人，所以象棋有36÷4=9副。跳棋有26-9=17副。 6、某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错或不做一题倒扣1分．小华得了88分，问他做对几题？ 【解析】设作对x题，做错和不做共有20-x题。 5x-(20-x)=88 X=18 20-18=2 答：他做对18题. 7、小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明 信片各买了几张? 分析：把贺年卡看成“兔”，明信片看成“鸡”，单价就是鸡兔的脚，总价40元就是“脚和”，14张就是 “头和”。 解：设贺年卡x张，明信片14-x张。 3.5x+2.5(14-x)=40 X=5 14-5=9 答：贺年卡买了5张、明信片买了9张。 直击赛场 S ——归纳总结 (Summary-Embedded) 重点回顾 128名师点拨 解决鸡兔同笼问题的主要方法有： 1、列表法 根据鸡与兔的数量和，把所有可能的情况列举出来，找到符合条件的解。一般采用半数列举法，即假定鸡 兔各占一半，这样列举可以减少列举的次数，提高效率。 2、图示法 先画出所有的头，再把每个头上画上2只脚，再把剩下的脚画在部分图上，每个图上加上2只脚，直到脚 全部用完。这样，有4只脚的就是兔子，2只脚的就是鸡。也可以把每个头上画上4只脚，再从有4只脚的头 上取下2只画在没有脚的头上，直到所有的头都有脚。这样有4只脚的就是兔子，2只脚的就是鸡。 3、假设法 假设全是鸡或全是兔，计算脚数与实际脚数的差，分析产生差的原因，利用产生差的原因解题。 变形题注意对假设对象的调整，根据不同的情况做合理假设，不可千篇一律。 4、方程法 利用方程解鸡兔同笼问题的等量关系是：鸡的脚数+兔的脚数=鸡兔脚数和 变形题注意数量关系的变化。 5、关于鸡兔同笼变形题 先在题中找到对应的“鸡”和“兔”，“鸡脚”和“兔脚”，再按照鸡兔同笼的方法解答。 学霸经验  本节课我学到  我需要努力的地方是 129分解质因数 知识梳理 一、分解质因数 一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。 把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。 我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因 数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。 二、解题策略 许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分 解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有 关的应用题 典例分析 考点一：简单的分解质因数 例1、把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？ 【解析】先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还 有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。 例2、有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 【解析】先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以， 每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。 130例3、将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 2、5、14、24、27、55、56、99 【解析】 14=2×7 55=5×11 24=2×2×2×3 56=2×2×2×7 27=3×3×3 99=3×3×11 可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八个数分成 两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、 24、14）和（55、27、56、2）。 例4、王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共 植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 【解析】 根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如果每人植7棵，这个班 就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48人。 例5、下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。 □□×□□=1995 【解析】 要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有相同的质因数。1995=3×5×7 ×19，可以有35×57=1995和21×95=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95=1995， 这四个数字的和是：2＋1＋9＋5=17。 考点二：复杂的分解质因数 例1、三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？ 【解析】三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是2。80－2=78，剩下两个质数的和是78，而且要使它 131的积最大，只能是41和37。因此，这三个质数是2、37和41。 最大积是2×37×41=3034 例2、长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？ 【解析】这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375分解质因数看一看。375=5×5×5×3，因为5 ×5比5×3正好多10，所以，此长方形的长是5×5=25米，宽是5×3=15米，它们的和是40米。 例3、某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了 1073棵，那么，平均每人种了多少棵？ 【解析】根据每人种树棵数×参加人数=1073，把1073分解质因数：1073=29×37，再根据学生恰好平均分 成三组可知：参加种树的人数是3的倍数多1，由于只有37比3的倍数多1，所以有37人，平均每人种29 棵。 例4、把155/186和221/187约分。 【解析】这两个分数的分子和分母都比较大，不能一眼看出分子和分母的公约数。我们可以先求出分子与 分母的差，如果差是质数，就直接用这个质数去约分；如果差是合数，就把这个合数分解质因数，然后用 其中的一个质数去约分。 （1）186－155=31，31是质数，用31约分得：155/186=5/6； （2）221－187=34，34=2×17，用17约分得：221/187=13/11。 例5、小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。小明 买了多少张画片？ 132【解析】根据题意可知：画片的单价×张数=216分，它们乘积的质因数和216的质因数相同。我们可以先 把216分解质因数，再写成两数相乘的形式分析：216=2^3×3^3=8×27=9×24，显然，216分可以买8分的 画片27张，也可以买9分的画片24张。所以，小明买了24张画片，符合题意。 实战演练 P —— (Practice-Oriented) 实战演练  课堂狙击 1、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？ 【解析】根据195=3×65，195=5×39，195=13×15 可得排法如下 3行65列，5行39列，13行15列， 65行3列，39行5列，15行13列。 2、把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人 数及分成的组数。 【解析】462=21×22=14×33 每组的人数是（21 ）人，共分成（22 ）组。 或每组的人数是（ 22）人，共分成（21 ）组。 或每组的 人数是（14 ）人，共分成（33 ）组。 或每组的人数是（11 ）人，共分成（42 ）组。 3、下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。 □□×□□=1288 133【解析】1288=2×2×2×7×23=28×46 4、3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树 的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。 【解析】分解质因数111=3×37 也就是说有三人 减去老师一人 就说明只有两名学生 三人每人值37棵树。 5、在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。 □□□×□=1995 【解析】665×3=1995 6、有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？ 【解析】因为是3个数，乘积为1001，又知10×10×10=1000，所以三个素数必有一个小于10， 小于10的素数有：2，3，5，7，显然2，3，5都不是，只剩下7，验证下1001/7=143，143由2个素数相 乘，12×12=144，所以必有个数小于12，小于12的素数有2，3，5，7，11验证取11，最后三个数分别为 7，11，13 7、237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。 【解析】237-6＝231 231＝3×77＝3×11×7 所以这样的两位数为 11=1×11 21＝3×7 33＝3×11 77＝11×7 1348、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个 长方体的表面积是多少？ 【解析】一个长方体的长,宽.高是三个连续的自然数， 有:9240=20×21×22 表面积=2×(20×21+20×22+21×22)=2644平方厘米 9、求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？ 【解析】2310=231×10=231×5×2,所以最大约数为 231×5 =1155 (因为比2小的约数只有1了,所以2对 应的这个约数是除了2310本身外最大的）  课后反击 1、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。 【解析】792=2×2×2×3×3×11=33×24 甲数是33，乙数是24. 2、四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？ 【解析】把19305分解质因数得： 19305=3×3×3×5×11×13 所以19305=9×11×13×15 3、有三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的积是多少？ 【解析】因为三个自然数a、b、c，a×b=30，b×c=35， 所以b可能为：1或5； 当b=1时，a=30，c=35，c×a=30×35≠42，与条件矛盾，所以b=1不成立； 135当b=5时，a=30÷5=6，c=35÷5=7，c×a=7×6=42，正确． a×b×c=6×5×7=210． 4、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6。小青买的电影票是 几排几座？ 【解析】391=23×17 所以小青买的电影票是23排17号。 5、有三个自然数a，b，c，已知a×b=35，b×c=55，a×c=77，求三个数之积是多少？ 【解析】a×b = 35=5×7， b×c = 55=5×7， c×a = 77=7×11 a×b×c=5×7×11=385 6、张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。求张明 的成绩、名次和年龄分别是多少？ 【解析】这样的题目一般先将数分解为几个数的乘积，直到不能再分解，然后根据题目给出的隐含条件来 判断2910=2×1455=2×3×485=2×3×5×97 =2×15×97 =6×5×97 =10×3×97 初中学生一般10岁以上， 则张明应是15岁，第二名，97分 7、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？ 【解析】 将3024分解质因数得： 3024=6×7×8×9， ∴这四个孩子的年龄分别=6、7、8、9岁。 8、王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那 么，平均每人擦了多少块？ 【解析】.因为师生共檫玻璃111块，111=3×37，可理解为师生每人檫3块玻璃，37-1=36人，共有老师1 人，学生36人； 13636/3=12人，即，每组12人，共分3组； 9、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？ 【解析】2376=6^2×6×11 自然数a乘以2376,所得的积正好是自然数b的平方，说明a最小应该是6×11=66，否则只会更大，才能 保证是一个完全平方数 直击赛场 归纳总结 S —— (Summary-Embedded) 重点回顾 （1）理解质因数的概念； （2）利用我们分解质因数来解决一些较简单的问题； （3）通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意 志品质。 名师点拨 重点和难点突破： （1）对于很多题目，我们可以用分解质因数的方法求解。掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许 （2）掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许一般方法不能解答的与积有关的应用题。 学霸经验 137 本节课我学到了  我需要努力的地方是 138牛吃草问题 知识梳理 一、专题引入 英国物理学家牛顿曾经编了这样一道数学题：牧场上有一片草，每天生长的一样快，这片草可供10头牛吃 22天，或者供16头牛吃10天，如果供22头牛可吃几天？这道题就是有名的牛吃草问题，也叫牛顿问题。 解决这一问题的关键是:在牛吃草的同时，草每天也在不断均匀生长，所以草总量也在不断变化。 二、知识清单 1、牛吃草问题中不变基本量：草的原有量、草的生长速度 2、牛吃草问题中可变量:牛的数量、天数 3、等量关系：草的总量与牛吃的草的总量一致 草的总量=原有草量+草的生长速度×天数（或者草的总量=原有草量-草的减少速度×天数），牛吃的草量= 牛头数×1×天数（一般设1头牛1天吃“1”份草）。 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)； 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 典例分析 考点一：求时间 例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供27头牛吃6周，或者可供23头牛吃9周。问： 可供21头牛吃几周? 【解析】1、这片草每天以同样的速度生长是分析问题的难点。我们可以设1头牛1周吃草1份，27头牛6 周吃276=162份，23头牛9周吃草239=207份，比较这两个量发现总草量是不一样的，那是为什么呢？思 考后得出，总草量的差实际上是由于草生长了不同的时间所导致的。9周比6周的草多长了（207-162=45份）， 所以每周长出的草量为（45÷3=15份），那么原来草量为162-156=72（份）。 2、接下来也是一个难点，我们可以巧妙的处理一下21头牛，我们可以把它分为2部分，15头牛去吃 新草，剩下的6头牛去吃旧草，什么时候将旧草吃完，整个牧场的草也就吃完了。 139解：设1头牛1周吃的草为1份 每周长出的草量为：（23×9-27×6）÷（9-6）=15（份） 草场原有的草量为：27×6－15×6 = 72（份） 21头牛可以吃的周数：72÷（21－15）= 12（周） 答：这片草地可供21头牛吃12周。 考点二:求牛数 例1：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18 周？ 【解析】设1头牛1周的吃草量为“1”，每周草的生长速度为(239276)(96)15，原有草量为 721815 (2715)672，可供 19（头）牛吃18周 181 考点三：草量匀速减少 例1： 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供 20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？ 【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：2051566510，原有草 1501010 量为：20105150；10天吃完需要牛的头数是： 5(头)． 101 考点四：牛羊同吃 例1：（2008年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完， 70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少 天可将草吃完? 【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么1头牛 30天吃了144301680单位草量，而70只羊16天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内 增加了(16801120)(3016)40 草量，原来的草量为11204016480 草量，所以如果安排17头牛 和20只羊，即每天食草88草量，经过480(8840)10 天，可将草吃完。 考点五：牛数变化 例1：有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4 140头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？ 【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为1730192430249 ，原有草量为： 17930240．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果 不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加428才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数 24088940(头)． 考点六：牛吃草问题变化 例1：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8 小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 【解析】解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量。而单位时 间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船 内已有的水量）也是不变的量.对于 这个问题我们换一个角度进行分析。 每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和 等于每人每小时淘水量× 时间×人数，即1×3×10＝30.船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。 每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为2 个单位，相当于每小时2人的淘水量）。 船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水 量.所以船内原有水量为30-（2×3）=24。如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2＝12（人）， 但与此同时，每小时 的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。 P ——实战演练 (Practice-Oriented) 实战演练  课堂狙击 1、牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则多少头牛96天 可以把草吃完． 14110 【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为306070246024 ，牧场原 3  10 10 有草量为 30 601600，要吃96天，需要160096 20(头)牛．  3  3 2、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光 野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变） 【解析】设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15，原有的野果 为(2315)972，如果要4周吃光野果，则需有7241533只猴子一起吃 3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头 牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？ 【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 (254166)(64)2 原来牧场有草(252)4108 可供10头牛吃的天数是：108(102)9(天)。 4、一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头 牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？ 【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头 牛的吃草量，所以草的生长速度为(15242012)(2412)10 ，原有草量为(2010)12120，12 头牛与88只羊一起吃可以吃120(122210)5（天） 5、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头 牛可吃几天？ 【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200份；15头牛吃10天共吃了1510150 份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这50份草是牧场的草201010天生长出来的， 所以每天生长的草量为50105，那么原有草量为：200520100． 供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205(天)可将原有牧草吃完， 即它可供25头牛吃5天 6、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？ 142【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015天生长的草量为1225241060，所以每天生 长的草量为60154；原有草量为：24410200．20天里，草场共提供草200420280 ， 可以 让2802014头牛吃20天． 7、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可 供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？ 【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，651天自然减少的草量为2051664，原有草量为： 2045120． 若有11头牛来吃草，每天草减少11415；所以可供11头牛吃120158(天)． 8、：一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃， 还可以再吃几天？ 【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为44053040301，原有草量为： 5130120 ．如果 4 头牛吃 30 天，那么将会吃去 120 的草量，此时原有草量还剩 12030112030，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头 牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：30616(天)．  课后反击 1、一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃 几天？ 【解析】 6天时共有草：24×6＝144 10天时共有草：20×10＝200 草每天生长的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14 原有草量：144－6×14＝60 可供19头牛： 60÷（19－14）＝12（天） 2、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需 143用半小时把所有乘客解决完毕,当开放 2 个检票口时,只要 10 分钟就把所有乘客 OK 了 。求增加人数的 速度还有原来的人数？ 【解析】这是一道是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作 1 份。 因为第一块草地 5 亩面积原有草量＋5 亩面积 30 天长的草＝10×30＝300 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 30 天长的草是 300÷5＝60 份 因为第二块草地 15 亩面积原有草量＋15 亩面积 45 天长的草＝28×45＝1260 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 45 天长的草是 1260÷15＝84 份 所以 45－30＝15 天，每亩面积长 84－60＝24 份 所以，每亩面积每天长 24÷15＝1.6 份 所以，每亩原有草量 60－30×1.6＝12 份 第三块地面积是 24 亩，所以每天要长 1.6×24＝38.4 份，原有草就有 24×12＝288 份 新生长的每天就要用 38.4 头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃 80 天， 因此 288÷80＝3.6 头牛 所以，一共需要 38.4＋3.6＝42 头牛来吃。 两种解法： 解法一： 设每头牛每天的吃草量为 1，则每亩 30 天的总草量为：10×30/5=60； 每亩 45 天的总草量为：28×45/15=84 那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6 每亩原有草 量为 60-1.6×30=12，那么 24 亩原有草量为 12×24=288，24 亩 80 天新长草量为 24×1.6×80=3072，24 亩 80 天共有草量 3072+288=3360，所有 3360/80=42(头) 解法二： 10 头牛 30 天吃 5 亩可推出 30 头牛 30 天吃 15 亩，根据 28 头牛 45 天吃 15 亩，可以推出 15 亩每天新 长草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24；15 亩原有草量：1260-24×45=180；15亩 80天所需牛 180/80+24(头)24 亩需牛：(180/80+24)×(24/15)=42 头 3、有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11 头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？ 【解析】为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即 [5，6，8]最小公倍数为120 这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10 天 第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天。 120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为： 一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛齿及天？即 每天新长出的草：（240×14-264×10）÷（14-10）=180（份） 草地原有草：（264-180）×10=840（份） 可供285头牛吃的时间：840÷（285-180）=8（天） 144答：第三块草地可供19头牛吃8天。 4、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天那么可供18头牛吃几天？ 【解析】设1头牛1天吃的草为1份。 则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份， 原来的草量是（24-14）×6=60份。 可供18头牛吃60÷（18-14）=15 直击赛场 1、（2008年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70 只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天 可将草吃完? 【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么1头 牛30天吃了144301680单位草量，而70只羊16天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内 增加了(16801120)(3016)40 草量，原来的草量为11204016480 草量，所以如果安排17头牛 和20只羊，即每天食草88草量，经过480(8840)10 天，可将草吃完。 S ——归纳总结 (Summary-Embedded) 名师点拨 1、专题特点：关于一块地的牛吃草问题， 2、解题方法：同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)； ⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数； ⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)； ⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度． 3、注意事项 牛吃草问题是草地的草在不断的增长，时间不同，草地里草的总量也不同。 145学霸经验  本节课我学到  我需要努力的地方是 146分类数图形 知识梳理 一、学会数图形 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必 须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个， 然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后，这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂 的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用 有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。 二、解题策略 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1.弄清被数图形的特征和变化规律。 2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。 典例分析 考点一：基本图形 例1、数出下图中有多少条线段？ 【解析】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条； 以B点为左端点的线段有：BC、BD2条；以C点为左端点的线段有：CD1条。所以，图中共有线段3+2+1=6 （条）。 方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、 147CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。所以，图 中一共有3+2+1=6（条）线段。 例2、数出图中有几个角？ 【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。 方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有： ∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。 方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、 ∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以， 图中一共有3+2+1=6（个）角。 例3、数出右图中共有多少个三角形？ 【解析】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：△PAB、△PAC、△PAD、3个； 以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为边的三角形还有：△PCD 1个。所以，图中共有三角 形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 △PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本 三角形构成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD 2 个；由3个基本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）三角形。方法三： 我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所以 图中共有6个三角形。 例4、数出下图中有多少个长方形？ 148【解析】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段 CD上有 3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6（个） 长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6×3=18（个）长方形。它的计算公式为： 长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数： （3+2+1）×（2+1）=18（个） 例5、数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形） 【解析】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长 为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。 经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1 ×1＋2×2＋…＋n×n。 考点二：较复杂的问题 例1、有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？ 【解析】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。 从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余3个同学握手共握 手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同学握手共握手1次。 所以，一共要握手4+3+2+1=10（次） 149例2、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些 车票中有多少种不同的票价？ 【解析】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共 有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多 少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有45种不同的票价。 例3、求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米） 【解析】要求图中的线段长度总和，可以这样计算： AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE =1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米 从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本线 段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的线段出现了（2×3）次，长3厘米的线段 出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4） =1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米 上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…a(n－1)。以上各线 段长度的总和为L，那么L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+ a3×(n－3)×3+…+ a(n－1)×1×(n－1) 例4、下图中共有多少个三角形？ 【解析】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。 （1）图中共有6个小三角形； （2）由两个小三角形组合的三角形有3个； （3）由三个小三角形组合的三角形有4个； 150（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。 所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。 例5、数出下图中所有三角形的个数。 【解析】和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG 一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个， 共35个三角形。 例6、如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？ 【解析】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出： 151（1）最小的正方形有6个； （2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个； （3）中间还可围成2个正方形。 所以共有6＋2＋2=10个。 例7、数一数，下图中共有多少个三角形？ 我们可以分类来数： 1、单一的小三角形有16个； 2、两个小三角形组合的有10个； 3、四个小三角形组合的有8个； 4、八个小三角形组合的有2个。 所以，图中一共有16＋10＋8＋2=36个三角形。 实战演练 P —— (Practice-Oriented) 实战演练  课堂狙击 1、数出下图中有多少条线段？ 152【解析】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有4条；以B点为左端点的线段 有3条；以C点为左端点的线段有2条, 以D点为左端点的线段有1条。所以图中共有线段4+3+2+1=1（0 条）。 2、数出图中有几个角？ 【解析】以OA为一边的角有2个；以OB为一边的角还有1个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以， 图中共有角2+1=3（个）。 3、数出图中共有多少个三角形？ 【解析】我们可以采用按边分类数的方法。以BA为边的三角形有4个；以AC为边的三角形还有3个；以 AD为边的三角形还有2个，以AE为边的三角形还有1个。所以，图中共有三角形4+3+2+1=10（个）。 4、数出下图中有多少个长方形？ 【解析】长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数： 153（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个） 5、银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？ 【解析】第一个班要和其余8个班比赛一次，第二个班又要和剩下7个班比赛一次，依次下去，总数是： 8+7+6+5+4+3+2+1=36场。 6、从上海到武汉的航运线途中，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？ 【解析】算上上海、武汉一共有11个码头，一共有10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55条线段，那么算上往返的船 票，一共是110种。 7、数一数，图中共有多少个三角形。 【解析】一共有22+10=32个。 8、下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？ 【解析】 一共3+2+1=6个。  课后反击 1、数出下图中有几个长方形？ 【解析】一共5+4+3+2+1=15个。 1542、数出图中有几个角？ 【解析】一共4+3+2+1=10个。 3、数出图中共有多少个三角形？ 【解析】一共有（4+3+2+1）+（4+3+2+1）=20个。 4、数出下图中有多少个长方形？ 【解析】一共有：4+1+1+1=7个。 5、有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字各用一次，能组成多少个不同的两位数？ 【解析】个位为8，十位可以有7种；个位为7，十位也可以有7种；依次推，最后一共有：56种。 6、从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？ 【解析】一共有8个站，那么一共有：7+6+5+4+3+2+1=28条线段，那么一共有28种票价。 1557、下面图中共有多少个三角形？ 【解析】一共有：5+6+2+1=14个。 8、下图中共有多少个正方形，多少个三角形？ 【解析】正方形一共有：4+4+1+1=10个； 三角形一共有：16+16+8+4=44个。 9、下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形？ 【解析】一共有5个。 直击赛场 1、下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有___个；在图C中，有______个。 （第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第1试） 【解析】5；8；5 1562、数一数，图中有_________个三角形。 （第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第2试） 【解析】一共20个。 归纳总结 S —— (Summary-Embedded) 重点回顾 （1）认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形； （2）学会数基本图形的个数； （3)掌握数图形的规律 名师点拨 重点和难点突破： 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1571.弄清被数图形的特征和变化规律。 2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是 158一般工程问题 知识梳理 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路 等许多方面。 工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位 “1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。例如，工程的 1 1 一半表示成 ，工程的三分之一表示成 。 2 3 工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作 量。工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工 作量／时”等表示。但在不引起误会的情况下，一般不写工作 效率的单位。 工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。在解答工程问题时，我们要 遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这 项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。 典例分析 考点一：用“组合法”解工程问题 在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组 合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明 朗化，从而顺利找到解题途径 7 例1、一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的 ，乙队单独完 30 成全部工程需要几天？ 1591 【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 ，只要求出甲队或乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是 15 本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来 7 1 1 考虑，就可以求出甲队2天的工作量 － ×3＝ ，从而求出甲队的工作效率。所以： 30 15 30 1 7 1 1÷〔 －（ － ×3）÷（5－3）〕＝20（天 15 30 15 答：乙队单独完成全部工程需要20天。 1 例2、一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的 。现在 2 甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？ 1 1 1 【解析】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ － ×3）÷2＝ ；再由条件“做完后发现两段所用时间相等” 2 12 8 的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。 （1）乙队每天完成这项工程的 1 1 1 （ － ×3）÷2＝ 2 12 8 （2）两段时间一共是 1 1 1÷（ ×2+ ）×2＝6（天） 8 12 答：两段时间一共是6天。 例3、一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成 2 2 这项工作的 ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的 。如果由甲、丙合做，需几小 3 3 时完成？ 【解析】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23”组合成“甲工作4小时，甲、 乙、丙合做2小时可以完成这项工作的23”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。 甲每小时完成这项工程的几分之几 2 1 1 （ － ×2）÷（6－2）＝ 3 6 12 丙每小时完成这项工程的几分之几 1602 1 1 （ － ×3）÷（6－3）＝ 3 6 18 甲、丙合做需完成的时间为： 1 1 1 1÷（ + ）＝7 （小时） 12 18 5 1 答：甲、丙合做完成需要7 小时。 5 考点二：特殊工程问题 有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用 一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。 例1、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时， 几天可以完成？ 【解析】把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则 1 1 1÷[ + ]÷6=4（天） 5×8 10×6 1 1 或1÷[（ + ）×6]=4（天） 5×8 10×6 答：4天可以完成。 例2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。 甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助 甲、乙各多少时间？ 【解析】设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2” 1 三人同时搬运了 1 1 1 2÷（ + + ）=8（小时） 10 12 15 2 丙帮甲搬了 1 1 （1- ×8）÷ =3（小时） 10 15 ③ 丙帮乙搬了 8-3=5（小时） 161答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。 例3、甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。 如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？ 【解析】 解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。 1 7 1 甲、乙同时做的工作量为 ×（10-3）＝ 8 8 7 1 2 乙单独做的工作量为1－ ＝ 8 8 1 1 3 乙的工作效率为 ÷3= 8 24 1 1 1 4 甲的工作效率为 － ＝ 8 24 12 1 5 甲单独做需要的天数为1÷ ＝12（天） 12 解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，甲3天的工作量 相当于这批零件的2÷8=1/4 3÷[（10-8）÷8]=12（天）或 3×[8÷（10-8）]=12（天） 答：甲单独做需要12天完成。 考点三：周期工程问题 周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循 环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分 所需的工作时间，这样才能正确解答。 例1、一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲 接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？ 【解析】把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 1 1 36 1 需循环的次数为：1÷（ + ）= ＞7（次） 12 18 5 1 1 1 2 7个循环后剩下的工作量是：1-（ + ）×7= 12 18 36 1621 1 1 3 余下的工作两还需甲做的时间为： ÷ = （小时） 36 12 3 1 1 4 完成任务共用的时间为：2×7+ =14 （小时） 3 3 1 答：完成任务时需共用14 小时。 3 2 例2、一项工程，甲、乙合作26 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天 3 完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独 做要多少天才能完成？ 【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮 流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙 甲 1 乙甲乙甲……乙甲 乙 甲 2 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率 是乙的2倍。 2 2 1 1 甲每天能做这项工程的1÷26 × = 3 1+2 40 1 2 甲单独做完成的时间1÷ =40（天） 40 答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。 例3、打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工 作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下 去，打印这部书稿共要多少小时？ 【解析】根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3 小时。 1 1 9 1 每循环一次，他们共完成全部工程的（ + ）×3＝ 12 15 20 9 2 2 总工作量里包含几个9/20：1÷ =2 20 9 9 1 3 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1- ×2＝ 20 10 1 1 1 1 1 1 4 由于 ＞ ，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（ - ）÷ ＝ 10 12 10 12 15 4 1631 1 5 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+ =13 （小时） 4 4 1 答：打印这部稿件共需13 小时。 4 实战演练 P —— (Practice-Oriented) 实战演练  课堂狙击 1、移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时， 11 还剩总棵数的 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？ 16 【解析】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”， 就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。 哥哥每小时栽总数的几分之几 11 1 3 （1－ － ×1）÷（3－1）＝ 16 8 32 一共要移栽的西红柿苗多少棵 3 1 3 7÷〔 －（ － ）〕＝112（棵） 32 8 32 答：共要移栽西红柿苗112棵。 2、一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加 一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？ 【解析】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7） ＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。 丙队每天修这条公路的 1 1 1 〔1－（ + ）〕×（4+7）＝ 24 30 40 三队合修完成时间为 1 1 1 1÷（ + + ）＝10（天） 24 30 40 答：10天可以完成。 3、一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完， 164从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？ 【解析】解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。 设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。 1 1 x+ ×（14-x）=1 20 12 X=5 1 1 1 解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是 ×14，比总工作量多了 ×14-1= ，乙每天的 12 12 6 1 1 1 能够做量比甲每天的工作两哦了 - = ，因此甲做了 12 20 30 1 1 ÷ =5（天） 6 30 答：这件工作由甲先做了5天。 4、放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以 放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？ 【解析】从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②④⑤号阀门各出现2 1 1 1 1 1 次。如果 + + + 再加一个 ，则是五个阀门各放3小时的总水量。 15 10 12 8 8 1 1 1 1 1 1 1÷[（ + + + + ）÷3]=1÷[ ÷3]=6（小时） 15 10 12 8 8 2 答：同时开放这五个阀门5小时可以放满这个水池。 5、一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第 二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率 的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？ 【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮 流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙 甲 乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。 甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个） 乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个） 答：甲每天做150个，乙每天做90个。 1656、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。 1 如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单 3 独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 【解析】由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数， 三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流 方式做的情况可表示如下： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲 1 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙 丙 2 1 丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙 甲 3 2 1 2 1 2 从中可以退出：丙= 甲；由于乙=甲－ 丙=甲－ 甲× ，又推出乙= 甲；与题中“三个工程队的工效 3 2 3 2 3 各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必 定如下所示： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙 1 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙 甲 2 1 丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲 乙 3 1 2 由此推出：丙= 甲，丙= 乙 2 3 1 1 1 1 丙队每天做这项工程的 × = 13 2 26 1 2 3 2 乙队每天做这项工程的 ÷ = 26 3 52 1 1 3 7 3 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（ + + ）=5 （天） 13 26 52 9 7 答：甲、乙、丙合作要5 天完工。 9 7、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、 1 1 丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做7天完成。 3 4 且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率 2 3 是甲的 ，丙的效率也是乙的 。 3 4 1 2 2 （1） 丙的工作效率 × ＝ 7 3 21 2 3 8 （2） 乙的工作效率 ÷ ＝ 21 4 63 1661 2 8 17 （3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ + + ）＝2 天 7 21 63 23 17 答：这项工程由甲、乙、丙合作要2 天完工。 23  课堂反击 8 1、一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的 。现由甲、乙两队合 15 做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？ 【解析】乙队的工作效率： 8 1 1 （ － ×5）÷4＝ 15 15 20 总共的天数： 1 1 1÷（ + ×2）×2＝12天 15 20 答：这两段时间一共是12天。 2、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这 13 11 项工作的 ；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的 。这项工作如果由甲、丙合做 18 18 需几小时完成？ 【解析】甲队的工作效率 13 1 1 （ － ×2）÷（4－2）＝ 18 4 9 丙队的工作效率 11 1 1 （ － ×2）÷（4－2）＝ 18 4 18 甲、丙合做需要的时间 1 1 1÷（ + ）＝6小时 9 18 答：这项工作如果由甲、丙合做需6小时完成。 3、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、 乙合做几小时可以完成？ 【解析】乙每小时做这件工程的 1671 1 （1－ ×4）÷（6+4）＝ 12 15 甲、乙合做完成需要的时间 1 1 2 1÷（ + ）＝6 小时 12 15 3 2 答：这件工作始终由甲、乙合做6 小时可以完成。 3 4、 一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。 现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此 交替下去，灌满一池水共需几分钟？ 【解析】把6分钟看作一个循环 （1） 每循环一次的工作量 1 1 7 （ + ）×（1+2）＝ 24 18 24 7 （2） 总工作量里面有几个 24 7 3 1÷ ＝3 24 7 （3） 3个循环后剩下的工作量 7 1 1－ ×3＝ 24 8 （4） 一共需要的时间 1 1 1 1 6×3+1+（ － ）÷ ＝20 分钟 8 24 18 2 1 答：灌满一池水共需20 分钟。 2 5、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、 1 1 丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做7天完成。 3 4 且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率 2 3 是甲的 ，丙的效率也是乙的 。 3 4 1 2 2 （1） 丙的工作效率 × ＝ 7 3 21 2 3 8 （2） 乙的工作效率 ÷ ＝ 21 4 63 1 2 8 17 （3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ + + ）＝2 天 7 21 63 23 16817 答：这项工程由甲、乙、丙合作要2 天完工。 23 6、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、 1 1 丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做10天完 2 2 成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的 1 3 效率是甲的 ，乙的效率是甲的 。 2 4 1 1 1 （1） 丙的效率 × ＝ 10 2 20 1 1 1 3 （2） 乙的效率 ×（1－ × ）＝ 10 2 2 40 1 1 3 4 （3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ + + ）＝4 天 10 20 40 9 4 答：这项工程由甲、乙、丙合作要4 天完工。 9 归纳总结 S(Summary-Embedded)—— 名师点拨 解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效率可以通过工作 时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。在解题时，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以 两者关系为突破口解答问题。 工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 学霸经验  本节课我学到了 169 我需要努力的地方是 170圆面积问题 知识梳理 。 圆的面积：r2，扇形的面积： r2。 。 360 无特殊说明，圆周率都取π=3.14。 典例分析 考点1：相加法 将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。 例1、下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相 加就可以了。 考点2：相减法 将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。 例1、下图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形的面积再减去里面圆的面积即可。 171考点3：重新组合法 将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形的面 积即可。 例1、欲求下图中阴影部分的面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时就可以采用相减 法求出其面积了。 考点4：割补法 将原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决。 例1、如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分的面积恰是正方 形面积的一半。 考点5：平移法 172将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。 例1、下图中，欲求阴影部分的面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这 样整个阴影部分恰是一个正方形。 考点6：旋转法 将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或者某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组 合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。 例1、欲求下图（1）中阴影部分的面积，可以将左半图形绕B点逆时针方向旋转180度，使A与C重合， 从而构成如下图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。 考点7：对称添补法 作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形，原来图形的面积就是这个新图形的一半。 例1、下图中，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD。弓形 CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。 173考点8：重叠法 将所求图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”解决。 注：容斥原理：（S S S S ) AB A B AB 例1、欲求下图阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两 个扇形重叠的部分。 P ——实战演练 (Practice-Oriented) 实战演练 174 课堂狙击 1、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 1 【解析】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成 圆的面积。 4 1 62×3.14× ＝28.26（平方厘米） 4 2、下图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,求图中阴影部分面积。 【解析】由图示可知,图中阴影部分面积为两个圆心角为45 的扇形面积减去直角三角形的面积.即 45 1 3.1422  222 1.14(平方厘米)。 360 2 3、如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,求等腰直角三角形的面积。 【解析】将等腰直角三角形补成一个正方形,设正方形边长为x厘米, x 1 则圆的半径为 厘米.图中阴影部分面积是正方形与圆的面积之差的 , 2 8 2 1  3200 于是有x2 3.14 x 82,解得x2  . 2  13 3200 1 9 故等腰直角三角形的面积为  37 (平方厘米)。 13 2 13 4、ABC是等腰直角三角形. D是半圆周的中点, BC是半圆的直径,已知: 175AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率3.14) 【解析】如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED的面积减去正方形BEDO的面积再加上圆面积的 1 1 1 。三角形AED的面积是(10102)(102) ;正方形面积是(102)2,圆面积的 是 4 2 4 1 1 1 3.14(102)2,故阴影部分面积为: (10102)(102) (102)2  3.14(102)2 4 2 4 37.52519.62532.125（平方厘米）。 5、右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米, 那么阴影部分的总面积是多少平方厘米? 10 B A D 1 【解析】正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为 212  2(平方厘米).正方形内空白部 2 C 1 分面积为4个 圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即12 2 2(平方厘米),所有空白部分面积为 4 2(2)平方厘米.故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为 12 422(2) 8(平方厘米)。 6、如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【解析1】先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积， 176再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图所示。 3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米） 【解析2】把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算 了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。 3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28（平方厘米）  课后反击 1、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【解析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。 从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。3.14×42×1/4－4×4÷2÷2＝ 8.56（平方厘米）。 2、求如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求 阴影部分的面积（得数保留两位小数）。 177【解析】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。 半径：4÷2＝2（厘米） 扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度） 扇形的面积：2×2×3.14×60/360≈2.09（平方厘米） 三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米） 7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）。 3、在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。 【解析1】先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图所示），再用正方形的面积减去全 部空白部分。 空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）。 【解析2】把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所示），而8个扇形的面积又正好 等于两个整圆的面积。 （10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）。 1784、三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米.AB长40厘米,求BC长。 【解析】从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面积是三 角形ABC的面积.又已知①的面积比②的面积小28平方厘米,故半圆面积比三角形ABC的面积小28平方厘米。 2 40 1 半圆面积为3.14    628(平方厘米),三角形ABC的面积为628+28=656(平方厘米).BC的长为  2  2 65624032.8(厘米)。 5、如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。 【解析】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所 以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。所以3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米）。 6、如图所示，求图中阴影部分的面积。 【解析1】阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等 于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米 179[3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）。 【解析2】以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半 径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。 （20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）。 直击赛场 1、(2016年希望杯第18题)如图，圆O的直径AB与CD互相垂直，AB=20厘米，以C为圆心，CA为半径 画圆弧AB，则阴影部分的面积是（）平方厘米。 【解析】阴影部分面积等于上半圆AB的面积减去弓形AB的面积，所以阴影部分面积为 1 1 1 102( 2102 2010)100 2 4 2 2、(2013年希望杯第5题) 如图，边长为12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠（圆心是正方形的一 个顶点），用S ，S 分别表示两块空白部分的面积，则S —S = cm2（圆周率取3）。 1 2 1 2 【解析】S S (S S ）-(S S ）=S S = 3 162 2 -122=48。 1 2 1 阴 2 阴 圆 正 180S ——归纳总结 (Summary-Embedded) 重点回顾 ①有些圆类面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图 形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 ②在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找 出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。 ③对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、 翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。 名师点拨 3.14 2 ①在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的 ,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的 。 4 3.14 ②在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。 学霸经验  本节课我学到  我需要努力的地方是 181流水行船问题 知识梳理 一、参考系速度 通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人 在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人 本身的速度即可。 二、参考系速度——“水速” 但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所 以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为： 1 水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速。（可理解为和差问题） 由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论： 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2； 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。 三、流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 2 同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系。 典例分析 182考点一：基本的流水行船问题 例1、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。 【解析】顺水速度：208÷8=26（千米/小时），逆水速度：208÷13=16（千米/小时），船速：（26+16）÷2=21 （千米/小时），水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）． 例2、一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下逆风跑70米，也用了10秒，则在无风时 他跑100米要用 秒． 【解析】本题类似于流水行船问题． 根据题意可知，这个短跑选手的顺风速度为90109米/秒，逆风速度为70107米/秒，那么他在无风时 的速度为(97)28米/秒． 在无风时跑100米，需要的时间为100812.5秒． 例3、船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增 加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时? 【解析】本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生 变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度. 船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）. 暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小时）. 暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米/小时）. 暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（15-5）=18（小时）． 例4、一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇 之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时 1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那 么A,B两镇间的距离是多少千米? 【解析】如下画出示意图 183   有A B段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有B C段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时．而从A C x 50x x x 全程的行驶时间为8-1=7小时．设AB长 千米,有  7,解得 =25．所以A,B两镇间的距离是 12.5 5 25千米. 例5、甲、乙两船分别从A港顺水而下至480千米外的B港，静水中甲船每小时行56千米，乙船每小时行40 千米，水速为每小时8千米，乙船出发后1.5小时，甲船才出发，到B港后返回与乙迎面相遇，此处距A港多 少千米？ 【解析】甲船顺水行驶全程需要：480(568)7.5(小时)，乙船顺水行驶全程需要：480(408)10(小 时)．甲船到达B港时，乙船行驶1.57.59(小时)，还有1小时的路程(48千米)①，即乙船与甲船的相遇路 程．甲船逆水与乙船顺水速度相等，故相遇时在相遇路程的中点处②，即距离B港24千米处，此处距离A港 48024456(千米). 注意：①关键是求甲船到达B港后乙离B港还有多少距离②解决①后，要观察两船速度关系，马上豁然开朗。 这正是此题巧妙之处，如果不找两船速度关系也能解决问题，但只是繁琐而已，奥数特点就是体现四两拨千斤 中的巧劲. 考点二：相遇与追及问题 例1、A、 B 两码头间河流长为 220 千米，甲、乙两船分别从 A、 B 码头同时起航．如果相向而行 5 小时 相遇，如果同向而行 55小时甲船追上乙船．求两船在静水中的速度． 【解析】相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和，同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之 差，所以，两船在静水中的速度之和为： 220÷5=44(千米/时)，两船在静水中的速度之差为：220÷55=4(千 米/时)，甲船在静水中的速度为：(44 ＋4)÷2=24(千米/时)，乙船在静水中的速度为：(44－ 4)÷2=20(千 米/时)． 184例2、甲、乙两艘小游艇，静水中甲艇每小时行2.2千米，乙艇每小时行1.4千米．现甲、乙两艘小游艇于同一 时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距18千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇 到达乙艇的出发地．问水流速度为每小时多少千米？ 【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为 18(2.21.4)5小时．相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶18千米需要549 小时，那么甲艇的逆水速度为1892(千米/小时)，那么水流速度为2.220.2(千米/小时). 例3、某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即 返回追寻，在离A处2千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？ 【解析】此人丢失水壶后继续逆流而上20分钟，水壶则顺流而下，两者速度和此人的逆水速度水速此 人的静水速度水速水速此人的静水速度，此人与水壶的距离两者速度和时间．此人发现水壶丢失后 返回，与水壶一同顺流而下．两者速度差等于此人的静水速度，故等于丢失水壶后至返回追寻前的两者速度和， 而追及距离即此人发现水壶丢失时与水壶的距离，所以追及时间等于丢失水壶后至发现丢失并返回追寻的这一 段时间，即20分钟． 例4、一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游 50 千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行 驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中，10 分钟后此物距客船 5 千 米。客船在行驶 20 千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇。求水流的速度。 【解析】5÷1/6=30(千米/小时)，所以两处的静水速度均为每小时 30 千米。 50÷30=5/3(小时)，所以货船 与物品相遇需要5/3小时，即两船经过5/3小时候相遇。 由于两船静水速度相同，所以客船行驶 20 千米后 两船仍相距 50 千米。 50÷(30+30)=5/6(小时)，所以客船调头后经过 5/6 小时两船相遇。 30-20÷(5/3-5/6)=6(千米/小时)，所以水流的速度是每小时 6 千米。 例5、江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙 185码头出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮 在水面上），6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速 度为每小时多少千米？ 【解析】此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及 距离是 15 千米，共用了 5 小时，故两者的速度差是 15÷5=3 千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两 者的速度差也是 3 千米。在紧接着的 1 个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距 3×1=3千米。这时货 船上的东西落入水中，6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度 ×1/10 千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货 船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10÷货船的静水速度=1/10小时。按题意，此时也刚好遇 上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10 千米，两者到相遇共用了 1/10 小时，帮两者的速度和是每小时 33/10÷1/10=33 千米，这与它们两在静水中的速度和相等。（解释一下）又 已知在静水中货船比游船每小时快 3 千米，故游船的速度为每小时（33-3）÷2=15 千米。 三、用比例解行程题 例1、一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航行 120 千米 也用 16 时。求水流的速度。 【解析】两次航行都用 16 时，而第一次比第二次顺流多行 60 千米，逆流少行 40 千米，这表明顺流行60 千 米与逆流行 40 千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的 1.5 倍。将第一次航行看成是 16 时顺流航 行了 120＋80×1.5＝240（千米），由此得到顺流速度为 240÷16＝15（千米／时），逆流速度为15÷1.5=10 （千米／时），最后求出水流速度为（15－10）÷2＝2.5（千米／时）。 例2、某人乘船由A地顺流而下到达B地，然后又逆流而上到达同一条河边的C地，共用了3小时．已知船在 186静水中的速度为每小时8千米，水流的速度为每小时2千米．如果A、C 两地间的距离为2千米，那么A、B 两地间的距离是多少千米？ 【解析】此题没有明确指出C 的位置，所以应该分情况进行讨论．根据题意，船在顺流时行1千米需要 1 1 1(82) 小时，逆流时行1千米需要1(82) 小时．如果C地在AB之间，则船继续逆流而上到达A地 10 6 1 1 1 1 1 所用的总时间为3 23 小时，所以此时A、B两地间的距离为：3 (  )12.5千米．如果A地在BC 6 3 3 10 6 1 2 之间，则船逆流而上到达 A 地所用的时间为3 22 小时，所以此时 A 、 B 两地间的距离为： 6 3 2 1 1 2 (  )10千米．故A、B两地间的距离为12.5千米或者10千米． 3 10 6 例3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第 二小时比第一小时多行驶6千米．那么甲、乙两地之间的距离是多少千米? 【解析】后一小时比前一小时多行6千米，说明前一小时小船逆水行驶，差3千米走完全程．后一小时小船逆 水走3千米，顺水走了一个全程．因为顺水、逆水速度每小时差8千米，所以若小船一小时全顺水走，应比行 程时的第一小时多行8千米，也就是比一个全长多5千米．再与小船第二小时行驶做比较，我们就得到小船顺 水走5千米的时间与逆水走3千米的时间相同，这个时间我们认为是1份．在一份时间内，顺水与逆水所行距 离差2千米，一小时差8千米，所以一小时内有8÷2=4份时间．由此得出小船顺水一小时走5×4=20干米， 逆水一小时走 3×4=12 千米．因为小船在第一小时始终逆水，比全程少走 3 千米，所以从甲地到乙地为 12×1+3=15千米． 例4、甲、乙两地相距30千米，且从甲地到乙地为上坡，乙地到甲地为下坡，小明用2个小时从甲地出发到乙地 再返回甲地，且第二个小时比第一个小时多行了12千米，小明上坡和下坡的速度分别为多少？ 【解析】后一小时比前一小时多行12千米，说明前一小时小明走上坡，差6千米走完全程，后一个小时走上 坡路 6 千米，然后下坡走完一个全程．前一个小时在上坡，走了30624 (千米)，故上坡的速度为 18724124(千米/小时)，后一个小时中先有6千米在上坡，用时6240.25(小时)，剩下的10.25 0.75(小 时)中全部是在走下坡路，且走了30千米，故下坡的速度为300.75 40 (千米/小时)． 例5、一艘船从甲港顺水而下到乙港，到达后马上又从乙港逆水返回甲港，共用了12小时．已知顺水每小时 比逆水每小时多行16千米，又知前6小时比后6小时多行80千米．那么，甲、乙两港相距 千米． 【解析】本题是一道流水行船问题．一船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了12小 时，由于顺水、逆水的行程相等，而顺水速度大于逆水速度，所以顺水所用的时间小于逆水所用的时间，那么 顺水所用的时间少于12小时的一半，即少于6小时．那么前6小时中有部分时间在顺水行驶，部分时间在逆 水行驶，后6小时则全部逆水行驶． 由于顺水每小时比逆水每小时多行16千米，而前6小时比后6小时多行80千米，所以前6小时中有80165 小时在顺水行驶，所以顺水、逆水所用的时间分别为5小时、7小时，那么顺水、逆水的速度比为7:5，顺水 速度为1675756(千米/时)，甲、乙两港的距离为565280(千米)． 例6、某船从甲地顺流而下，5天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了7天．问水从甲地流到乙地用了多少时 间？ 【解析】水流的时间甲乙两地间的距离水速，而此题并未告诉我们“甲乙两地间的距离”，且根据已知条 件，顺水时间及逆水时间也无法求出，而它又是解决此题顺水速度、逆水速度和水速的关键．将甲、乙两地距 1 1 离看成单位“1”，则顺水每天走全程的 ，逆水每天走全程的 ．水速  (顺水速度  逆水速 5 7 1 1 1 1 度)2(  )2 ，所以水从甲地流到乙地需：1 35(天)． 5 7 35 35 P ——实战演练 (Practice-Oriented) 188实战演练  课堂狙击 1、河水是流动的，在 B 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 A点到 B 点，然后穿过湖到C点，共 用 3 小时；若他由 C 到 B 再到 A，共需 6 小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从 B 流向 C ， 那么，这名游泳者从 A到 B 再到 C 只需 2.5小时；问在这样的条件下，他由C 到 B再到 A，共需多少小 时？ 【解析】设人在静水中的速度为 x，水速为 y ，人在静水中从 B 点游到 C 点需要 t 小时． 2 根据题意，有 6x(6t)y 3x(3t)y ，即x(3 t)y，同样，有 2.5x2.5y 3x(3t)y ， 3 2 即x(2t1)y；所以，2t13 t，即 t 1.5，所以 x 2y；(2x y)2.5(2y y)7.5 (小时)， 3 所以在这样的条件下，他由 C 到 B 再到 A共需 7.5 小时． 2、轮船用同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了8个小时，逆流而上行了10小时，如果水流速度是每 小时3千米，两码头之间的距离是多少千米？ 【解析】方法一：由题意可知，(船速3)8(船速3)10，可得船速27千米/时，两码头之间的距离为 2738240(千米)． 方法二：由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同，它们用的时间比为8:10，那么时间小的速度大，因此顺 水速度和逆水速度比就是10:8（由于五年级学生还没学习反比例，此处教师可以渗透比例思想，为以后学习 用比例解行程问题做些铺垫），设顺水速度为10份，逆水速度为8份，则水流速度为(108)21份恰好是3千 米/时，所以顺水速度是10330(千米/时)，所以两码头间的距离为308240(千米)． 3、甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的 A 站顺水向下游的 B 站驶去，与此同时乙轮船自 B 站出发逆水 189向 A 站驶来。7.2 时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。已知甲轮船与自漂水流测试仪 2.5 时后相距 31.25 千米，甲、乙两船航速相等，求 A，B 两站的距离。 【解析】因为测试仪的漂流速度与水流速度相同，所以若水不流动，则 7.2 时后乙船到达 A 站，2.5 时后 甲船距 A 站 31.25 千米。由此求出甲、乙船的航速为 31.25÷2.5＝12.5（千米／时）。 A，B 两站相距 12.5×7.2=90（千米）。 4、甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行．相遇时，甲、乙两船行 了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时， 甲船比乙船少行1千米．如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，则河水的流速为多少？ 【解析】第一次相遇时两船航程相等，所以两船速度相等，即V V V V ，得V V 2V ；第一次相 甲 水 乙 水 乙 甲 水 遇后两船继续前行，速度仍然相等，所以会同时到达A、B两地，且所用时间与从出发到第一次相遇所用时 间相同，所行的路程也相等；从两船开始返航到第二次相遇，甲、乙两船又共行驶了A、B单程，由于两船 的速度和不变，所以所用的时间与从出发到第一次相遇所用时间相同，故与从第一次相遇到各自到达A、B两 4 2 地所用的时间也相同，所用的时间为： 2 (小时)①；返回时两船速度差为：V V V V 4V ②， 乙 水 甲 水 水 3 3 2 3 故4V  1，得V  (千米/时)。 水 水 3 8 5、一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比是 2:1．一天因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这艘船往返共用10小时，问：甲、乙两港相距 千米． 【解析】设平时水流速度为x千米/时，则平时顺水速度为9x千米/时，平时逆水速度为9x千米/时， 由于平时顺行所用时间是逆行所用时间的一半，所以平时顺水速度是平时逆水速度的 2 倍，所以 9x29x，解得x3，即平时水流速度为3千米/时． 190暴雨天水流速度为6千米/时，暴雨天顺水速度为15千米/时，暴雨天逆水速度为3千米/时，暴雨天顺水速 1 1 1 5 度为逆水速度的5倍，那么顺行时间为逆行时间的 ，故顺行时间为往返总时间的 ，为10  小时，甲、 5 6 6 3 5 乙两港的距离为15 25(千米)． 3  课后反击 1、甲船在静水中的船速是10千米／时，乙船在静水中的船速是20千米／时．两船同时从A港出发逆流而上， 水流速度是4千米／时，乙船到B港后立即返回．从出发到两船相遇用了2小时，问：A，B两港相距多少 千米？ 【解析】乙船逆水时候的速度20416(千米／时)，甲船逆水时候的速度1046(千米／时)，两船逆水速 3 度比为：16:68:3，所以乙船到B港时甲船行了 ．乙船顺水速度与甲船逆水速度比为：(204):64:1， 8 3 4 1 1 1 乙船返回到两船相遇，乙船行了(1 )  ，所以甲船2小时共行了1  ， A ， B 两港相距 8 41 2 2 2 1 62 24(千米)． 2 2、甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行3.3千米，乙艇每小时行2.1千米．现在甲、乙两游艇于同一时刻相 向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙 艇的出发地．水流速度是每小时 千米． 【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为 27(3.32.1)5小时． 相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶27千米需要549小时，那么甲艇的逆 水速度为2793(千米/小时)，则水流速度为3.330.3(千米/小时)． 3、甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇．已知水流速度是4千 米/时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？ 【解析】在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺 水，乙船逆水．甲船的顺水速度船速水速，乙船的逆水速度船速水速，故：速度差(船速水速) (船 速水速)2水速，即：每小时甲船比乙船多走428(千米)．3小时的距离差为8324(千米)． 1914、一艘轮船顺流航行80千米，逆流航行48千米共用9小时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12 小时．求轮船的速度． 【解析】轮船顺流航行80千米，逆流航行48千米，共用9小时，相当于顺流航行320千米，逆流航行192 千米共用36小时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12小时，相当于顺流航行192千米，逆流航行 288千米共用36小时；这样两次航行的时间相同，所以顺流航行320192128千米与逆流航行28819296 千米所用的时间相等，所以顺水速度与逆水速度的比为128:964:3．将第一次航行看作是顺流航行了 804834144千米，可得顺水速度为144916(千米/时)，逆水速度为164312(千米/时)，轮船 的速度为1612214(千米/时) 注意：①由于两次航行的时间不相等，可取两次时间的最小公倍数，化为相等时间的两次航行进行考虑②然 后在按例题思路进行解题。 5、一只轮船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了8小时．已知顺水每小时比逆水多行20 千米，又知前4小时比后4小时多行60千米．那么，甲、乙两港相距 千米． 【解析】由于前4小时比后四小时多行60千米，而顺水每小时比逆水多行20千米，所以前4小时中顺水的时 间为60203(小时)，说明轮船顺水3小时行完全程，逆水则需835小时，所以顺水速度与逆水速度之 比为5:3，又顺水每小时比逆水多行20千米，所以顺水速度为2053550(千米/时)，甲、乙两港的距 离为503150(千米)． 直击赛场 1、（第八届春蕾杯初赛）一艘船从甲港到乙港，逆水每小时行24千米，到乙港后又顺水返回甲港，已知顺水 航行比逆水航行少用5小时，水流速度为每小时3千米，甲、乙两港相距 千米。 【解析】方法一：甲船顺水速度为243330（千米/小时），设甲、乙两港距离为x，则x24 x305， 解得x600，所以甲、乙两港距离为600千米. 192方法二：顺水速度与逆水速度的比是30:245:4，相应的时间比为4:5，所以逆水用了25小时，甲乙两港距 离为2425600千米. S ——归纳总结 (Summary-Embedded) 重点回顾 一、参考系速度 二、参考系速度——“水速” 三、流水行船问题中的相遇与追及 名师点拨 一、参考系速度 通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人 在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人 本身的速度即可。 二、参考系速度——“水速” 但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所 193以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为： 3 水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速。（可理解为和差问题） 由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论： 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2； 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。 三、流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 4 同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关 系。 学霸经验  本节课我学到  我需要努力的地方是 194综合行程问题 知识梳理 问题回顾 例1、一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再逆水航行 24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。 【解析】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下： 顺水 逆水 时间 48千米 16千米 5小时 32千米 24千米 比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米 增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16÷8=2倍。所以“逆水航行16千米”， 可转换为“顺水航行16×2=32（千米），这样船5小时一共顺水航行48+32=80（千米），船顺水速为80÷5=16 千米，船逆水速为16÷2=8（千米）。船静水速为（16+8）÷2=12（千米）。 例2、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们的第四次 相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求A、B两点间的距离为多少米？ A C E D B 【解析】（法一）画图分析知甲、乙速度比为：S :S V :V 3:7 ，第四次相遇甲乙共走：4×2－1＝7（个 甲 乙 甲 乙 全程），甲走了：3×7＝21（份）在C点，第五次相遇甲乙共走：5×2－1＝9（个全程），甲走了：3×9＝27 （份）在D点,已知CD是150米，所以AB的长度是150÷6×（3+7）＝250（米）。 （法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（2×4－1）×3÷20余数为1 则在x的位置，第五次相遇： 195（2×5－1）×3÷20 余数为 7 则在 7x 的位置， x 表示速度基数 7x1x6x ， 6x150 ， 10x101506250（米），即全程AB 为250米。 典例分析 考点一：环型跑道行程问题 例1、如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处 沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？ 乙 甲 【解析】当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长。 当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（300米）需300907015（分）， 此时甲走了90153004.5（条）边， 所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲从出发走5条边后 2 可看到乙，共需30059016 （分），即16分40秒。 3 例2、甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形ABCD，其中AD100米，AB80米， 已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从A处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方 向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（AB、CD边上视为静水），两人第一次相遇在CD边上的P点， 4CPCD，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？（5次） B C P A D 【解析】设乙的速度为x米/秒，则可列得方程： 19680804 100 100 80-804    x+1 x+1+1 x+1 x 解得：x3。所以甲的速度为4米/秒。 1 1 1 甲游一圈需要93 秒，乙游一圈需要128 秒。5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多43 秒。 3 3 3 多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈。所以两人共相遇了5次。 例3、如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出 发反向奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25％，乙把速度提高了20％．结 果当甲跑到点A时，乙恰好跑 到了点B．如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开 始算起，甲一共跑了多少米。 A B 【解析】相遇后乙的速度提高20％，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5:6，所以所花时 间的比为6:5。 设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回A点用了5单位时间。设甲原来每单位时间的速度V ，由题 甲 意得：6V 5V 125%490 解得：V 40。 甲 甲 甲 100 从A点到相遇点路程为406240，所以V 490502406 。 乙 3 100 两人速度变化后，甲的速度为40125%50 ，乙的速度为 120%40，从相遇点开始，甲追上乙 3 时，甲比乙多行一圈， ∴ 甲一共跑了490÷（50－40）×50＋240＝2690（米）。 注：对于环形跑道问题，抓住相遇（或追及的）的路程和（或路程差）恰好都是一圈。（这是指同地出发的情 况，不同地，则注意两地距离在其中的影响）。 另外，本题涉及量化思想，即将比中的每一份看作一个单位，进一步来说，一个时间单位乘以一个速度单位， 得到一个路程单位。 197考点二：钟面行程问题 例1、某小组在下午6点多开了一个会，刚开会时小张看了一下手表，发现那时手表的分针和时针垂直。下午 7点之前会就结束了，散会时小张又看了一下手表，发现分针与时针仍然垂直，那么这个小组会共开了 分 钟。 1 1 1 1  1 1  360 【解析】分针每分钟转 圈，时针每分钟转 圈。分针要比时针多转 圈，需要    （分）。 60 720 2 2 60 720 11 例2、某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次。工人每天的 正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工 资6元。如果一个工人照此钟工作小时，那么他实际上应得工资多少元？ 5 1 【解析】时钟的一圈有60小格，分针每分钟走1格，时针每分钟走  格。 60 12  1  720 时针和分针从一次重合到下一次重合，分针应比时针多走一圈，因此需要时间601  （分钟）。  12 11 720 于是依题设可知，计时钟的 分钟相当于标准时间的69分钟。 11 720 13 从而用此钟计时的8小时，实际上应该是8 698 （小时）， 11 30 13 那么工人实际上应得的工资为84 634.6元。 30 例3、一个挂钟每天慢30秒。一个人在3月23日12时校正了挂钟，到4月2日14时至15时之间，挂钟的 时针与分针重合在一起时，标准时间应该是4月2日______时______分______秒（精确到秒）。 【解析】从3月23日12时到4月2日12时共10天，挂钟慢了30×10÷60=5（分）此时挂钟显示11时55 分。  1  720 因为时针与分针两次重合时间为601  （分）；  12 11 5 10 所以从标准时间4月2日12时到所求时刻，挂钟走的时间为565 2135 （分）； 11 11 10 606024 相当于标准时间135  135.956(分)≈2时15分57秒 11 60602430 所求时刻为14时15分57秒。 198P ——实战演练 (Practice-Oriented) 实战演练  课堂狙击 1、王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走50米，就 要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？ 【解析】设从教室去图书馆闭馆时所用时间是x分钟 7（0 x2）50（x2） 70x14050x100 70x50x100140 x12 70（122）700（米）。 2、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分，下山的速度都 是30米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇。山道 长 米。 【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走4802024（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么这个 时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚，也就是距离山脚还有3030900（米），所 以山顶到山脚的距离为90024（2030）90012002100（米）。 3、小明在1点多钟时开始做奥数题，当他做完题时，发现还没到2：30，但此时的时针和分针与开始做题时 正好交换了位置，你知道小明做题用了多长时间，做完题时是几点吗？ 【解析】在不到1.5小时的时间内，时针与分针正好交换了一下位置，说明两针在此时间内共转了一圈，则  1  5 经601 55 分钟。  12 13 1 1 1 两针在此时间内共转了一圈，所以时针实际转了  圈，所以开始做作业时分针在时针前 圈，做完 112 13 13 1 1 1 1   1  14 作业时时针在分针前 圈，2点的时候，时针在分针前 圈，所以还要经过   1  小时，即 13 6 6 13  12 143 125 125 5 分，小明所以做完作业时是2点5 分。 143 143 1994、有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200 厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方 向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点A出发，那么当两个机器人在跑道 上第3迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米? A 200 100 200 【解析】第一次在B 点相遇，甲、乙共跑了400厘米(见左下图)。 1 A A B1 B1 B2 第二次在B 点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米(见右 2 上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用时间(400+700+700)÷(6+4)=180(秒)， 甲跑了6×180=1080(厘米)，距A点400×3—1080=120(厘米)。 5、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要 走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路 上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多 少分钟？ 【解析】先让学生用分析间隔的方式来解答： 骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出．骑车中，甲站发 出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5840（分钟）． 再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析： 第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，所以把表示 甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示5分钟． 200第二步：因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与P点（注意：这两点在水平方向上正好有3 个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表 示从甲站开往乙站的电车． 第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P点引出的粗 线必须和10条平行线相交，这正好是图中从2号点至12号点引出的平行线． 从图中可以看出，骑车人正好经历了从P点到Q点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了5840（分钟）． 对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！  课后反击 1、小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时60千米．小王步行，速度为每小 时4千米．如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10点整遇到正在前往乙地的小王．那么甲、 乙两地之间的距离是 千米． 【解析】因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离，而这个过程中小张开车1个小时，小王步 行2个小时，他们一共所走的路程是：6014268(千米)，所以甲、乙两地之间的距离是：68234(千 米)． 2、如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A．甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A．甲向北，乙 向东同时匀速行走．4分钟后二人距A的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．问： 甲、乙二人的速度各是多少？ 201 北 乙 东 A 560米 甲 B 【解析】本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程．那么甲、乙两 人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：5604140 (米/分)。第二次：两人距A的距离又相等， 只能是甲、乙走过了A点，且在A点以北走的路程乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米， 共走了42428(分钟)，两人的速度差：5602820(米/分)，甲速乙速140，显然甲速要比乙速要快； 甲速乙速20，解这个和差问题，甲速（14020）280(米/分)，乙速1408060(米/分)． 3、如图，A、B两地位于圆形公路一条直径的两个端点。一天上午8点甲从A出发， 沿顺时针方向步行，同时乙从B出发，骑自行车沿逆时针方向行进。8点40分时乙将 自行车放在路边，自己改为步行。当甲走到自行车停放地点时，就骑上自行车继续前进。 结果在10点的时候两人同时到达A地。已知两人步行速度相同，都是每小时5千米， 而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的3.5倍，求乙骑车的速度。 2 4 4 【解析】根据题意，可知乙骑了 小时，步行了 小时。由于甲乙步行速度相同，所以甲应步行 小时后骑 3 3 3 2 4 8 上自行车，骑了 小时后到达A地。因为甲的路程是乙的路程的2倍，所以乙骑 小时，步行 小时等于甲 3 3 3 2 4 2 7 骑 小时，步行 小时。而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的3.5倍，所以甲骑 小时相当于乙骑 小时。 3 3 3 3 8 4 7 4 20 20 5×( - )÷( - )= (千米/小时)，所以乙骑车的速度是 千米/小时。 3 3 3 3 3 3 4、一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上。它们同时出 发，按顺时针方向沿着圆周爬行，速度分别是10厘米/秒、5厘米/秒、3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间 第一次到达同一位置？ 【解析】先来详细讨论一下： ⑴先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置。 开始时,他们相差30厘米,每秒钟B能追上C的路程为5-3=2(厘米)；305315(秒) 因此，15秒后B 与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米,需要 905345(秒)。 B与C到达同一位置,出发后的秒数是15，60，105，150，195， 202⑵再看看A与B什么时候到达同一位置。 第一次是出发后301056(秒)，以后再要到达同一位置是A追上B一圈,需要9010518(秒)。 A与B到达同一位置,出发后的秒数是6，24，42，60，78，96…… 对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置。 5、如图，长方形的长AD与宽AB的比为5:3，E、F 为AB边上的三等分点，某时刻，甲从A点出发沿长方 形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F 出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5．他 们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所 在位置的点的连线第二次构成最大三角形？ A D E F B C 【解析】长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合， 并且另一个点恰好在该长方形边的对边上。 所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况。 将长方形的宽3等分，长5等分后，将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单位时间，那 么一个单位时间内，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、 乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段。所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况。 对于甲的运动进行讨论： 时间（单位时间） 2 4 6 8 10 12 14 16 …… 地点 C A C A C A C C 对于乙的运动进行讨论： 时间（单位时间） 2 3 10 11 18 19 26 27 …… 地点 D C B A D C B A 对于丙的运动进行讨论： 时间（单位时间） 2 3 10 11 18 19 26 27 …… 地点 C B A D C B A D 需要检验的时间点有2、3、10、11、…… 2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件。 3个单位时间的时候甲在AD上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相当于4分钟。 10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形。 203 所以再过40分钟。三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形。 6、如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速 度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当 他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米? 甲 乙 甲 乙 A A 乙 乙 B 甲 甲 【解析】根据题意可知，甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇． 易知小跑道上AB左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上AB的左、右两侧的路程均是200米． 我们将甲、乙的行程状况分析清楚． 当甲第一次到达B点时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处． 而当乙第一次到达B点时，所需时间为200450秒,此时甲跑了650300米,在离B点300200100米 处． 乙跑出小跑道到达A点需要100425秒,则甲又跑了625150米,在A点左边(100150)20050米处． 所以当甲再次到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达 A 处开始计算,还需 (40050)(64)35 秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了 502535110秒． 所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6110660米． 直击赛场 1、（奥数网杯）电子玩具车A与B在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知A比B的速度快50%，根据 推算，第20072007次相遇点与第20082008次相遇点相距58厘米，这条轨道长_ 厘米。 0 1 2 3 4 5 9 8 7 6 【解析】A、B两车速度比为150%:13:2；第20072007次相遇点的位置在：3  220072007 1  5mod10； 第20082008次相遇点的位置在：3  220082008 1  3mod10所以这条轨道长58535145（厘米）。 2042、（第五届“走进美妙的数学花园”决赛）如图，甲、乙两只蜗牛同时从A点出发，甲沿长方形ABCD逆时 针爬行，乙沿AOD逆时针爬行．若AB10，BC14，AODO10，且两只蜗牛的速度相同，则当两只 蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少? A B O B C 【解析】很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端， 那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条所以也应该分为两种情况： 情况一；甲在C点，乙在A点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条长边，设乙走了x 圈，甲已走了y圈.则可以列出不定方程：101014x10141014y1014。 化简为34x48y24，由于等式右边是24的倍数，所以x至少应该取12，此时y8，两只蜗牛共走了816。 情况二：甲在B点，乙在D点，这种情况下乙走了若干圈又20，甲走了若干圈又10，设两只蜗牛分别行走了 x圈和y圈，则可以列出不定方程：34x2048y10 化简为17x524y，x11是方程的最小解，此时y8，两只蜗牛一共行走了788. 显然情况二最先发生，所以当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为788。事实上 两只蜗牛在走过情况二之后各走了14，就变成了情况一的情形，如果在讨论两种情况之前就想到这一点，就 可以少讨论一种情况了。 3、（第五届“走进美妙的数学花园”决赛）小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个骑车人．小 李开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人．小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙 地，速度是小李的1.25倍．当他追上骑车人后，速度提高了20％．结果小王、小李、小张三人一同于9点整 到达乙地．小王、小李、骑车人的速度始终不变．骑车人从甲地出发时是几点几分，小张从甲地出发时是8 点几分几秒？ 【解析】不妨设从甲地到乙地的距离为单位“1”，小王从甲地到乙地一共用了1小时，所以小王的速度为1， 3 4 小李从甲地到乙地一共用了45分钟（即 小时），所以小李的速度为 ，小王追上骑车人时，走了总路程的 4 3 1 1 4 1 1 1  ，而小李追上骑车人时，走了总路程的   ，可见骑车人在两次被追上之间走了总路程的 4 4 3 3 3 2051 1 1 1 1 1   ，所以骑车人的速度为   ，因为骑车人8点15被小王追上时已经走了总路程的四分之一， 3 4 12 12 4 3 1 1 3 所以骑车人的出发时间是   小时以前，即7点30分。 4 3 4 4、（第九届中环杯）如图，A 、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而 行．他们在离A点100米的C点第一次相遇．亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在 离B点80米的D点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求A 、B间的距离．要求写出 关键的推理过程． 100米 80米 A C D B 第4题 【解析】第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了100米，从开始到第二次相遇，两人共走了三个全 程，则亮亮走了1003300(米)．亮亮共走的路程为一个全程多80米，所以道路长30080220（米）． S ——归纳总结 (Summary-Embedded) 重点回顾 几个基本量之间的运算关系 1、基本关系：路程＝速度*时间； 2、相遇问题（相向而行）：相遇时两种运动物体的行程和等于总路程(相遇时间相等)； 关系式： 甲走的路程+乙走的路程=总路程； 3、追击问题：同时不同地：前者走的路程+两者间距离=追者走的路程，同地不同时：前者所用时间-多用 时间=追这所用时间； 追及路程÷速度差=追及时间 追及路程÷追及时间=速度差 速度差×追及时间=追及路程 追及路程÷速度差=追及时间 追及路程÷追及时间=速度差 206速度差×追及时间=追及路程 4、环形跑道 同向追及：前者走的路程-后者走的路程=环形周长； 反向相遇：甲走的路程+乙走的路程=环形周长。 名师点拨 解题方法: 1，审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间” 就是从此时开始计时，“多长时间 后”就是从开始计时 看地点是指是同 地还是两地甚至更多。 看方向是同向、背向还是相向 看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我 们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我 们立刻知道快慢的速度差。这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差 。 2，简单题利用公式 3，复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。相遇问题就找路程和，追 击问题就找路程差 学霸经验  本节课我学到 207208