文档内容
第十五周 长方体和正方体（三）
专题简析：
解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、
正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积
的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂
直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。例题1 一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为
2厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？
分析 把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可
以按下图中的线共锯6次，每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的
面，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积。因此，锯好后表面
积增加432平方厘米。
练习一
1，把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大
正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘
米？
2，有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8
个小正方体，表面积增加多少平方米？
3，把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个
同样的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米。求涂上红色的面
积一共是多少平方厘米？例题2 有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增
加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？
分析 把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面
积是24÷2=12平方厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的
表面积是12×6=72平方厘米。
练习二
1，把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体
的表面积是多少平方厘米？
2，有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它
锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？
3，有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、
高2厘米，现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？
最大是多少平方厘米？例题3 有一个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它切成棱
长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？
想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个3×3平方分米
的面，你能用这种思路来计算所求问题吗？
练习三
1，用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少
需要多少个小正方体？如果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多
少个小正方体？
2，有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成
棱长是1厘米的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积
和是多少？
3，把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方
体的表面积至少是多少平方厘米？例题4 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开
的小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？
分析 按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；
（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有
1×12=12个；
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有
1×6=6个；
（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）
=1个。
练习四
1，把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1
立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色
的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？2，把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在
大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有 24
个，那么，这些小正方体一共有多少个？
3，把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成1立方分
米的小正方体，在这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多少个？例题5 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，
若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和
最大是多少平方厘米？
分析 这个长方体原来的表面积是（6×5＋6×4＋5×4）
×2=148平方厘米，每切割一刀，增加2个面。切成三个体积相等的小
长方体要切2刀，一共增加2×2=4个面。要求表面积和最大，应该增
加4个6×5=30平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最大是
148＋6×5×4=268平方厘米。
练习五
1，有三块完全一样的长方体木块，每块长8厘米、宽5厘米、高3
厘米。要把它们粘成一个大的长方体，这个长方体的表面积最大是多
少平方厘米？最小是多少平方厘米？
2，把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正
方体的表面积是 72平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方
厘米？
3，把一个长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米的长方体，截成
两个长方体，使这两个长方体的表面积的和最大，求它们的表面积和
是多少平方厘米？
