文档内容
2021年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷
类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑
：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 设集合A= x -2< x<4 ，B=2,3,4,5 ，则A I B=（ ）
2 2,3 3,4 2,3,4
A. B. C. D.
2. 已知z
=2-i，则zz +i=（
）
A. 6-2i B. 4-2i C. 6+2i D. 4+2i
3. 已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
æ pö
4. 下列区间中，函数 f x=7sin ç x- ÷单调递增的区间是（ ）
è 6 ø
æ pö æπ ö æ 3pö æ3p ö
A. ç 0, ÷ B. ç ,π ÷ C. ç p, ÷ D. ç ,2p÷
è 2 ø è2 ø è 2 ø è 2 ø
x2 y2
5. 已知F ，F 是椭圆C： + =1的两个焦点，点M 在C上，则 MF × MF 的最大值为（ ）
1 2 1 2
9 4
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
第1页 | 共5页sinq1+sin2q
6. 若tanq=-2，则 =（ ）
sinq+cosq
6 2 2 6
A - B. - C. D.
.
5 5 5 5
7. 若过点 a,b 可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A. eb 0)的焦点为F ，P为C上一点，PF 与x轴垂直，Q为
x轴上一点，且PQ^OP，若 FQ =6，则C的准线方程为______.
15. 函数 f x= 2x-1-2lnx的最小值为______.
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
20dm´12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm´12dm，20dm´6dm两种规格的图形，它们的面
积之和S =240dm2，对折2次共可以得到5dm´12dm，10dm´6dm，20dm´3dm三种规格的图形，
1
它们的面积之和S =180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对
2
n
折n次，那么 åS =______dm2.
k
k=1
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
第3页 | 共5页ìa +1,n为奇数,
17. 已知数列 a 满足a =1，a =í n
n 1 n+1 a +2,n为偶数.
î
n
（1）记b =a ，写出b ，b ，并求数列 b 的通项公式；
n 2n 1 2 n
（2）求
a
的前20项和.
n
18.
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中
随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问
题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问
题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类
问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19. 记 V ABC 是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2 =ac，点D在边AC上，
BDsinÐABC =asinC.
（1）证明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cosÐABC .
20. 如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD^平面BCD，AB= AD，O为BD的中点.
（1）证明：OA^CD；
（2）若 OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE =2EA，且二面角E-BC-D的大小为
V
45°，求三棱锥A-BCD的体积.
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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点F - 17,0 、F 17,0 MF - MF =2，点M 的轨迹为C.
1 2 1 2
（1）求C的方程；
1
（2）设点T 在直线x= 上，过T 的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且
2
TA ×TB = TP ×TQ ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
22. 已知函数 f x= x1-lnx .
（1）讨论 f x 的单调性；
1 1
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2< +
