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绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4. 设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ）
A. B. C. D.
6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分
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学科网（北京）股份有限公司配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种
7. 把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单
位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A. B.
C. D.
8. 在区间 与 中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 ， ，
在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表
距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛的高 （ ）
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
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学科网（北京）股份有限公司10. 设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
11. 设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心
率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 设 ， ， ．则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦距为_________．
14. 已知向量 ，若 ，则 __________．
15. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，则
________．
16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所
选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和
一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
.
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 97
.
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 106 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为
新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
的
18. 如图，四棱锥 底面是矩形， 底面 ， ， 为 的中点，且
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
19. 记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
20. 设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
21. 已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为
．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为1．
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学科网（北京）股份有限公司（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切
线的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．
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