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绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）
理科数学
注意事项:
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动
,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
ì 1 ü
1. 设集合M = x 0< x<4 ,N =íx £ x£5ý，则M I N =（ ）
î 3 þ
ì 1ü ì 1 ü
A. íx 0< x£ ý B. íx £ x<4ý
î 3þ î 3 þ
x 4£ x<5 x 0< x£5
C. D.
2.
为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到
如下频率分布直方图：
第1页 | 共7页根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3. 已知(1-i)2z =3+2i，则z =（ ）
3 3 3 3
A -1- i B. -1+ i C. - +i D. - -i
.
2 2 2 2
4.
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视
力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的
数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（1010 »1.259）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
5. 已知F,F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且ÐFPF =60°, PF =3 PF ，则C的离心率为（
1 2 1 2 1 2
）
7 13
A. B. C. 7 D. 13
2 2
第2页 | 共7页6.
在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面
体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A. B. C. D.
7. 等比数列 a 的公比为q，前n项和为S ，设甲：q>0，乙： S 是递增数列，则（ ）
n n n
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.
2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是
珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水
平面上的投影A¢,B¢,C¢满足ÐA¢C¢B¢=45°，ÐA¢B¢C¢=60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB¢与
CC¢的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A¢B¢C¢的高度差AA¢-CC¢约为（
3 »1.732）（ ）
第3页 | 共7页A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
æ pö cosa
9. 若aÎ ç 0, ÷ ,tan2a= ，则tana=（ ）
è 2ø 2-sina
15 5 5 15
A. B. C. D.
15 5 3 3
10. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
1 2 2 4
A. B. C. D.
3 5 3 5
11.
已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC ^ BC,AC = BC =1，则三棱锥O-ABC的体
积为（ ）
2 3 2 3
A. B. C. D.
12 12 4 4
12. 设函数 f x 的定义域为R， f x+1 为奇函数， f x+2 为偶函数，当xÎ1,2 时，
æ9ö
f(x)=ax2 +b．若 f 0+ f 3=6，则 f ç ÷ =（ ）
è2ø
9 3 7 5
A. - B. - C. D.
4 2 4 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
2x-1
13. 曲线y = 在点-1,-3处的切线方程为__________．
x+2
14. 已知向量a r =3,1,b r =1,0,c r =a r +kb r ．若a r ^c r ，则k =________．
x2 y2
15. 已知F,F 为椭圆C： + =1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且
1 2
16 4
第4页 | 共7页PQ = FF ，则四边形PFQF 的面积为________．
1 2 1 2
16. 已知函数 f x=2cos(wx+j)的部分图像如图所示，则满足条件
æ æ 7pööæ æ4pöö
ç
f(x)- f
ç
-
÷÷ç
f(x)- f
ç ÷÷
>0的最小正整数x为________．
è è 4 øøè è 3 øø
三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用
两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
n(ad-bc)2
附：K2 =
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P K2 ³k 0.050 0.010 0.001
第5页 | 共7页k 3.841 6.635 10.828
18.
已知数列 a 的各项均为正数，记S 为 a 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一
n n n
个成立．
①数列 a 是等差数列：②数列 S 是等差数列；③a =3a ．
n n 2 1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19.
已知直三棱柱ABC-ABC 中，侧面AABB为正方形，AB= BC =2，E，F分别为AC和CC 的中点
1 1 1 1 1 1
，D为棱AB 上的点．BF ^ AB
1 1 1 1
（1）证明：BF ^ DE；
（2）当BD为何值时，面BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?
1 1 1
20.
抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP^OQ．已知点
M 2,0 ，且
e
M 与l相切．
（1）求C，
e
M 的方程；
（2）设A
1
,A
2
,A
3
是C上的三个点，直线A
1
A
2
，A
1
A
3
均与
e
M 相切．判断直线A
2
A
3
与
e
M 的位置关系，
并说明理由．
xa
21. 已知a >0且a ¹1，函数 f(x)= (x >0)．
ax
第6页 | 共7页（1）当a=2时，求 f x 的单调区间；
（2）若曲线y = f x 与直线y =1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
r=2 2cosq．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为 1,0 ，M为C上的动点，点P满足 u A u P ur = 2 u A u M uur ，写出Р的轨迹C 的参数方程，
1
并判断C与C 是否有公共点．
1
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数 f(x)= x-2,g(x)= 2x+3 - 2x-1．
（1）画出y = f x 和y = gx 的图像；
（2）若 f x+a³ gx ，求a的取值范围．
第7页 | 共7页
