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数学试题
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若某三角形的三边长分别为 3，4，m，则 m 的值可以是（ ）
A.1 B. 5 C. 7 D. 9
4. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及
水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数
据 1040000000 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 根据福建省统计局数据，福建省 年的地区生产总值为 亿元， 年的地区生产总值为
亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为 x，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
7. 阅读以下作图步骤：①在 和 上分别截取 ，使 ；
②分别以 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；
③作射线 ，连接 ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
8. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各 1 小时体育活动时间”的要求，学校要求学
生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的
统计图．
根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A. 平均数为 70 分钟 B. 众数为 67 分钟 C. 中位数为 67 分钟 D. 方差为 0
9. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和 图象的四个分支上，则实数 的值为
（ ）A. B. C. D. 3
10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近
圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失
矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为 3.1416．如图， 的半
径
为 1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，可得 的估计值为 ，若用圆内
接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A. B. C. 3 D.
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11. 某仓库记账员为方便记账，将进货 10 件记作 ，那么出货 5 件应记作 ．
12. 如图，在 中， 为 的中点， 过点 且分别交 于点 ．若 ，则
的长为 ．
13. 如图，在菱形 中， ，则 的长为 ．
14. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测
试，他们的各项成绩如下表所示：
项目
综合知识 工作经验 语言表达
应聘者甲
乙
丙
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按 的比例计算其总成绩，并录用总成绩
最高的应聘者，则被录用的是 ．
15. 已知 ，且 ，则 的值为 ．
16. 已知抛物线 经过 两点，若 分别位于抛物线对
称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
18. 解不等式组：
19. 如图， ．求证： ．
20 先化简，再求值： ，其中 ．
21. 如图，已知 内接于 的延长线交 于点 ，交 于点 ，交 的切线 于点
，且 ．（1）求证： ；
（2）求证： 平分 ．
22. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规
定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的 1
个红球及编号为①②③的 3 个黄球的袋中，随机摸出 1 个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得
黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入 1 个红球或黄球（它
们的大小质地与袋中的 4 个球完全相同），然后从中随机摸出 1 个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸
出 1 个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你
的理由
23. 阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽
度，如图 1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图 2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两
点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得 的大小，
如图 3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图 4，测得 ， ；
（ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程：
由测量知， ， ， ， ，
∴ ，又∵① ，
∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ② ．
故小水池的最大宽度为 ．
（1）补全小明求解过程中①②所缺 内容；
（2）小明求得 用到的几何知识是 ；
（3）小明仅利用皮尺，通过 5 次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等
几何量，并利用解直角三角形知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到
的长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过 4 次（测量的几何量能求
出
，且测量的次数最少，才能得满分）．
24. 已知抛物线 交 轴于 两点， 为抛物线的顶点， 为抛物线上不
与 重合的相异两点，记 中点为 ，直线 的交点为 ．
（1）求抛物线 函数表达式；（2）若 ，且 ，求证： 三点共线；
（3）小明研究发现：无论 在抛物线上如何运动，只要 三点共线， 中
必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
25. 如图 1，在 中， 是 边上不与 重合的一个定点． 于
点 ，交 于点 ． 是由线段 绕点 顺时针旋转 得到的， 的延长线相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数；
（3）若 是 的中点，如图 2．求证： ．
