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军队文职人员招聘考试
数学理论讲义考纲范围
军队文职人员招聘考试，对数学1、数学2、数学3考纲要求不同.考生复习时
要尤其注意自己所考科目的考纲.下面给出考纲的具体要求：
科目 章节 数学1 数学2 数学3
第一章 函数、极限与连续 考 考
第二章 一元函数微分学 考 考
第三章 一元函数积分学 考 考
第四章 多元函数微分学 考 考
高等数学 全考
第五章 向量代数与空间解析几何 不考 不考
第六章 多元函数积分学 考 只考二重积分
第七章 常微分方程 考 不考
第八章 无穷级数 不考 不考
第一章 行列式
第二章 矩阵
第三章 向量
线性代数 全考 全考 全考
第四章 线性方程组
第五章 矩阵的相似及化简
第六章 二次型
第一章 概率论的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
概率论与数 第四章 随机变量的数字特征
全考 不考 不考
理统计 第五章 大数定律和中心极限定理
第六章 统计及其抽样分布
第七章 参数估计
第八章 假设检验目 录
第一篇 高等数学
第一章 函数、极限与连续……………………………………………………3
第二章 一元函数微分学……………………………………………………22
第三章 一元函数积分学……………………………………………………40
第四章 多元函数微分学…55
第五章 向量代数与空间解析几何(仅数学1考)………………………72
第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)………………………83
第七章 常微分方程(数学3不考)………………………………………118
第八章 无穷级数(仅数学1考)…………………………………………128
第二篇 线性代数
第一章 行列式……………………………………………………………145
第二章 矩阵…………………………………………………………………155
第三章 向量…………………………………………………………………177
第四章 线性方程组…………………………………………………193
第五章 矩阵的相似及化简………………………………………………200
第六章 二次型………………………………………………………………207
1第三篇 概率论与数理统计(仅数学1考)
第一章 概率论的基本概念…………………………………………………215
第二章 随机变量及其分布…………………………………………………226
第三章 多维随机变量及其分布………………………………………………235
第四章 随机变量的数字特征………………………………………………244
第五章 大数定律和中心极限定理…………………………………………253
第六章 统计及其抽样分布………………………………………………256
第七章 参数估计………………………………………………………262
第八章 假设检验……………………………………………………………268
2第一篇 高等数学第一章|函数、极限与连续
第一节 函数
一、函数的基本概念
1.函数的定义
给定一个数集A,假设其中的元素为x,对A中的元素x施加对应法则f,记作
f(x),得到另一数集B,假设B中的元素为y,则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)
表示.
愠
函数的两个基本要素为定义域和对应法则，当且仅当两个函数的定义域与
对应法则完全相同时，两个函数才表示同一函数，与用哪个字母表示函数无关，如：
s=与=
所表示的函数图象是一样的。
【例1】函数f(x)=In(l-x)+√x+2的定义域是().
A.[-2,-1] B.[-2,1]
C.[-2,1] D.(-2,1)
v-km(3-x)
【例2】函数) )的定义域是( ).
A.[0,3] B.(0,3)
C.(0,3) D.[0,3]
v-ys-x
【例3】函数 的定义域为( ).
A.(1,+0) B.(-00,5)
C.(1,5) D.[1,5]
3第一篇 高等数学
2.函数的性质
(1)单调性
设函数f(x)的定义域为D,区间ICD.如果对于区间1上任意两点x?及x?,当
x?f(x?)),则称函数f(x)在区间I上是单调增加
(或单调减少)的.
yA yA
y=f(x)
y=(x)
/x?)
Ax)
f(x,)
fx?)
o
x x
x? x? 0 x? x?
(2)奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称：
如果对于任一x∈D,都有f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；
如果对于任一x∈D,都有f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数.
【例1】函数f(x)=x-2x3是( ).
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.无法判断奇偶性
【例2】下列函数中是奇函数的是( ).
A.f(x)-2e
B.f(x)=xtanx
C.f(x)=xsin2x D.f(x)=1x
【例3】函数f(x)=In(√x2+1-x)(-○00且a≠1)
y
y-=a(a>1)
y=a(00且a≠1)
y
y=logx(a>1)
o x
1
y=log,x(0a时有定义(a∈R),若当自变量x的绝对值无限增大时，相
应的函数值无限趋近于一个确定的常数A,则称A为x→∞时函数f(x)的极限，记为
limf(x)=A.
(2)左、右极限
左极限：当x无限趋于-时，f(x)无限趋近于某个常数A,则称A为函数f(x)当
x→-时的左极限，记作lim f(x)=A.
右极限：当x无限趋于+时，f(x)无限趋近于某个常数A,则称A为函数f(x)当
13第一篇 高等数学
x→+时的右极限，记作 lim f(x)=A.
(3)充要条件
函数f(x)当x→时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相
等，即limf(x)=A→ limf(x)= lim f(x)=A.
【总结】两个极限思维：
①limk=0(k为任意常数，且k≠0).
②im=(k为任意常数，且k≠0).
二、极限的计算
1.四则运算
条件：!limf(x)=A,limg(x)=B.
结论：
① lim[f(x)±g(x)]=A±B; ② limlf(x)=k4(k为常数);
④m-A(B=0)
③lim[f(x)g(x)]=AB;
2.复合函数求极限
若limp(x)=a,y=f(u)在u=a处连续，则imflp(x)]=fT[limp(x)]=f(a).
【总结】常见的极限计算方法：
①直接代入法：将极限条件直接代入函数式得到极限值
②消零因子法：运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)将原式变形，并将a-b消项.
③根式有理化：运用平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2将原式的a-b项消除根号。
④抓大头：设a?=0,b?≠0,m、n为非负整数，则有
⑤夹逼准则：如果函数f(x),g(x),h(x)满足条件g(x)b B.a
【例2】已知函数 在x=1处可导，则a+b的值为( )。
A.0 B.1
C.2 D.3
3.求导公式
常数函数：C'=0.(如：(10)'=0)
x2Y=2x、)-、(x)=一)
幂函数：(x")=ax.(如：
指数函数：(a3)=a2Ina.(如：(e3)=e?)
对数函数： (log.x=xna (如： (nx)=)
cey
三角函数：csxy-mcxy-se
23第一篇 高等数学
反三角函数：①
4.四则运算
若u=u(x),v=v(x)都可导，则有：
(u±v)'=u'±v'; (Cu)'=Cu';
)=“-(v=0).
(uv)'=u'v+iv';
【例】下列函数的导数为y'=2e*cosx的是( ).
cA..yv=x=2++2x+Inx B.y=xe2
D.y=e2(sinx+cosx)
5.高阶导数
(1)二阶导数
一般地，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，把y'=f'(x)的导数叫做
?-)·
d2v
函数y=f(x)的二阶导数，记作y"或,即y"=(y)或
dx
(2)n阶导数
,……,
类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，……,
(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作：y",y?,…,y或
【例1】设函数y=e2,则y?=( ).
A.e3 B.e2
C.2e2 D.16e2
【例2】设函数y=sinx,则y(2024)=( ).
A.sinx B.cosx
C.-sinx D.-cosx
24— 第二章 一元函数微分学
6.几何意义
(1)切线
如果函数y=f(x)在点x,处可导，则曲线y=f(x)在点M(x?,y?)处存在切线，该切
线斜率为f(x?),切线方程为y-y。=f(x?)(x-x。).
y
f(x)
T
M(x。,f(x。
a
x。 x
0
(2)法线
(x)
若f(x?)≠0,则曲线y=f(x)在点M(x?,y?)处的法线方程的斜率为 ,法
v-x=-((x-x)
线方程为
【例】曲线y=Inx上点(1,0)处的切线方程为( ).
A.y=x-1 B.y=1-x
C.y=2x-1 D.y=1-2x
二、各大类函数求导
1.复合函数
若y=f(u),u=g(x)都可导，则复合函数y=fg(x)]的导数为
-dk
或y(x)=f(u)g'(x).
v=2x?+x)
【例】下列函数的导数为 的是( ).
B.y=√x2+1
A.y=sin 2x
D.y=arctan√x
C.y=cos(Inx+1)
25-
第一篇 高等数学
2.分段函数
一般地，当分段函数在不同区间上的函数均为初等函数时，在各区间内部的导数
用求导公式、求导法则进行计算，而在分界点处的导数应按导数定义来求。
ra->c
【例1】已知 则f(x)=( ).
A.r(w)-{2x>0 B.rw-{2c
c.r(w-{2x D.r(w-{2c
(x)={1+5mx,x×<0.
【例2】已知 则f(x)=( ).
A.f(x)-{cs,x<0 B./(x)-{x,*<0
c.f(x)=cos x<0 D.f(x)-{cs, ×<
3.反函数
如果函数x=f(y)在区间I,内单调、可导且f'(y)≠0,那么它的反函数y=f'(x)
['w]-或
在对应区间内也可导，即[
4.变限积分函数
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变限积分函数Φ(x)=f(d可导，并
且它的导数?()=()dr=f[ux]u(x)-fLvx]v(x).
【总结】变限积分函数的定理：
①若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)=? f(u)dt就是f(x)在[a,b]上的
一个原函数.
②若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数Φ(x)=?f(1di在[a,b]上
?(x)=f(odr=f(x)(a0);
②运用复合函数求导的链式法则可得：
v-g(ar(a)+8(4)六rA)
=f(x)2g(x)mf(x)+8(x)rx)
【例1】y=x2(x>0)的导数为( ).
A.y'=x2(2x2+2xlnx) B.y'=x2(2Inx+2x2Inx)
28第二章 一元函数微分学
C.y'=2x2(Inx+1) D.y'=2x2(Inx+x)
【例2】y=x*(x>0)的导数为( ).
A.y'=x1(xsinx+cosx) B.y'=x1*(sinx+xcosx)
D.y=xcostnx+m
C.y'=x*(sin xlnx+cosx)
三、微分
1.微分的定义
设函数y=f(x)在某区间内有定义，x?及x?+Ax在该区间内，如果函数的增量
△y=f(Ax+x?)-f(x?)可表示为Ay=AAx+0(△x),其中A是不依赖于△x的常数，那
么称函数y=f(x)在点x,是可微的，而AAx叫做函数y=f(x)在点x?相应于自变量增
量△r的微分，记作dy,即dy=AAx,当△x→0时，△x与dx是等价无穷小，所以
dy=Adr,又=r'(x),
得函数y=f(x)的微分表达式为dy=f'(x)dx.
2.导数与微分的关系
函数f(x)在点x,处可微的充分必要条件是函数f(x)在点x。处可导，即可导与可微
等价且dy=f'(x?)Ax=f(x?)dx.
【例】设f'(x)=g(x),则df(sin2x)=( ).
A.2g(x)sin xdr B.g(x)sin 2xdx
C.g(sin 2x)dx D.g(sin2x)sin 2xdx
第二节 导数的应用
一、一阶导数的应用
1.函数的单调性
设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。
若在(a,b)内f(x)>0,则函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；
29第一篇 高等数学
y
B
y=fx)
A,
oa
x
b
若在(a,b)内f'(x)<0,则函数y=f(x)在[a,b]上单调减少，
y
Ar
y=fx)
B
x
0a b
【例1】函数f(x)=2x2-Inx的减区间是( )
A.(o) B.()
c.(+) D.(0)
【例2】函数y=1-arctanx是( ).
A.单调增加且有界函数 B.单调减少且有界函数
C.奇函数 D.偶函数
【例3】函数)f(x)=1-
在区间(-1,1)内( )
A.单调增加且有界 B.单调增加且无界
C.单调减少且有界 D.单调减少且无界
2.函数的极值
(1)极值的定义
函数f(x)在点x。的某邻域内有定义，若对于该邻域内的任意一点x(x≠x?),有
f(x)f(x?),则称f(x?)为f(x)的极小值，其中x=x?为f(x)的极小值点.
愠极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
30第二章 一元函数微分学
(2)驻点的定义
若f(x?)=0,则称x。为f(x)的驻点.
y
y(x)
c
e x
a bold f
愠极值的第一充分条件：
设函数f(x)在x。处连续，且在x。的某去心邻域内可导。
①在x。点，左边导数大于0,右边导数小于0,则f(x)在x?处取得极大值；
y
y-fx)
f(x)>0f(x)<0
x。 x
0
②在x点，左边导数小于0,右边导数大于0,则f(x)在x。处取得极小值；
y
y=f(x)
F'x)<0f(x)>0
x。
x
0
③在x。点，左边导数与右边导数的符号一致，则f(x)在x,处没有极值。
y y
y-f(x)
y=fx)
f(x)>0 f'(x)<0
'(x)>0 f'(x)<0
x x。 x
0 x? 0
31第一篇 高等数学
愠
极值的第二充分条件：
设函数f(x)在x。处有f'(x?)=0,f"(x?)≠0.
①若f"(x。)>0,则函数f(x)在x?处取得极小值f(x?);
②若f"(x?)<0,则函数f(x)在x,处取得极大值f(x?).
【例1】若函数f(x)在x处的一阶导和二阶导都存在，且f'(x?)=0,f"(x?)>0,
则下述表述正确的是( ).
A.x?是f(x)的极大值点 B.x。是f(x)的极小值点
C.x?不是f(x)的极值点 D.无法确定
【例2】f(x)=x-
的极值点个数是( ).
A.0 B.1
C.2 D.3
【例3】设f'(x)在点x=x?的某个邻域内存在，且f(x?)为f(x)的极大值，则
im+2h)-fx)=().
A.0 B.1
C.2 D.-2
x)-3=-1,则在
【例4】设f(x)在点x=3的某个邻域内有定义，若1
x=3处( ).
A.f(x)的导数存在且f'(3)=0 B.f(x)的导数不存在
C.f(x)取得极小值 D.f(x)取得极大值
2x-C=-1,
【例5】设极限 ,则点x=x。是函数f(x)的( )
A.极大值点 B.极小值点
C.驻点，但非极值点 D.非驻点
3.函数的最值
设函数y=f(x)在某开区间内连续且只有一个极值点x=x?,那么
①若点x=x。为极大值点，则x。也是函数f(x)在该区间内的最大值点；
②若点x=x?为极小值点，则x。也是函数f(x)在该区间内的最小值点.
32一第二章 一元函数微分学
【例】函数f(x)=3x3-3x2+9x
在区间[0,4]上的最大值点为( ).
A.4 B.0
C.2 D.3
二、二阶导的应用
1.曲线的凹凸性
已知函数f(x)在区间/上连续，在区间I上找出任意两点x?,x?,则有：
±)<)2C)
①若/ ,则称函数f(x)在区间1上的图形是向下的(凹的)
即函数f(x)在区间1上的图形是凹弧。
*
y=f(x)
x
0
x)ru)+f)
②若f ,则称函数f(x)在区间I上的图形是向下的(凸的),
即函数f(x)在区间1上的图形是凸弧.
y
y=f(x)
x
0
【总结】判断函数凹凸性的技巧：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内具有二阶导数，
①若在(a,b)内厂"(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；
②若在(a,b)内/"(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。
【例1】已知曲线y=x?-2x3,则它的凸区间为( ).
A.(-00,0),[1,+0) B.[0,1]
33第一篇 高等数学
c.[3] D.[2]
【例2】若在区间(a,b)内，函数f(x)的一阶导数f(x)>0,二阶导数f(x)>0,则
函数f(x)在该区间内( ).
A.单调减少，曲线是凹的 B.单调减少，曲线是凸的
C.单调增加，曲线是凹的 D.单调增加，曲线是凸的
【例3】下列函数对应的曲线在定义域内凹的是( ).
A.y=e B.y=In(l+x2)
C.y=x2-x3 D.y=sinx
(·)
【例4】设f'(x)=(x-1)(2x+1),x∈(-00,+),则在 内，f(x)单调( ).
A.增加，曲线y=f(x)是凹的 B.减少，曲线y=f(x)是凹的
C.增加，曲线y=f(x)是凸的 D.减少，曲线y=f(x)是凸的
【例5】设f(x)在区间(a,b)内有f(x)>0,f(x)<0,则f(x)在区间(a,b)
内( ).
A.单调减少且是凹的 B.单调增加且是凸的
C.单调减少且是凸的 D.单调增加且是凹的
2.曲线的拐点
已知函数y=f(x)在区间I上连续，设x?是区间I的内点.如果曲线y=f(x)在经过
点(x?,f(x?)时，曲线的凹凸性发生改变，那么就称点(x?,f(x?)为该曲线的拐点，
y
拐点
x
0
【例1】已知曲线y=-xe*,则它的拐点为( )
A.x=1 B.x=2
c.(-) D.(2—)
34第二章 一元函数微分学
【例2】曲线y=x3-3x2的拐点为( )。
A.(1,-2) B.(1,0)
C.(0,0) D.(2,-4)
三、洛必达法则
1.基本原理
如果当x→x。(或x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或趋于无穷大，那
lmg0
么极限1
im
o
g
”
()(或“”
)可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，
分别记为 或
如果函数f(x)与g(x)满足下列条件：
①limf(x)=0(或),limg(x)=0(或○);
②在点x。的某去心邻域内函数f(x)与g(x)都可导，且g'(x)≠0;
③lim(或一:
那么有m=im=A(或四)
2.常见未定式的分类及其转化方法
函数极限共有7种未定式，分别为、一、0-0、0·0、1"、0°、°,其中后
010
818
5种在求解过程中一般要最终转化为 型或 型.
010
1°
分
取倒数 对化
0°°
00-0 818
【总结】洛必达法则使用中常用的化简方法：
35第一篇 高等数学
①无理根式有理化：通常使用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2化简.
②非零因子代入化：注意满足因子关系，且所代入部分不为零.
③无穷小量等价化：注意满足因子关系，使用等价代换公式进行代换。
④幂指函数对数化：通常将幂指函数y=f(x)2)转化为y=e()m/o)
四、微分中值定理
1.拉格朗日中值定理
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a,b),
使等式f(b)-f(a)=f'(5)(b-a)成立。
愠已知曲线y=f(x)上的一段弧AB,端点分别为A(a,f(a),B(b,f(b),且
f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a,b),使得割线
AB的斜率等于过点(5,f(5)的切线的斜率，
y
C B
A
0 a 5 b x
【例1】已知函数f(x)=√x-1,那么对函数f(x)在闭区间[1,4]上应用拉格朗日中
值定理时，结论中的ξ=( ).
A. B.3
c.4 D.4
【例2】已知函数f(x)=x2+1,那么对函数f(x)在闭区间[1,2]上应用拉格朗日中
值定理时，结论中的ζ=( ).
B.号
A.1
c.5
D.2
36第二章 一元函数微分学
【例3】已知函数f(x)=x2+2x-1,那么对函数f(x)在闭区间[0,2]上应用拉格朗
日中值定理时，结论中的ξ=( )。
A. B.2
c.4
D.1
2.罗尔定理
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则至少存
在一点ξ∈(a,b),使得f(ζ)=0.
愠若连续曲线y=f(x)除两端外都有不垂直于x轴的切线，且f(a)=f(b),那
么在这条曲线上，至少存在一点，使曲线在该点处的切线与x轴平行.
y
C
A B
a x
0 ξ b
【例1】函数f(x)=x(x-1(x-2)在下列区间上不满足罗尔定理条件的是( ).
A.[0,1] B.[1,2]
C.[2,3] D.[0,2]
【例2】在闭区间[-1,1]上满足罗尔定理条件的函数是( ).
B.v=
A.y=2x-1
D.y=x
C.y=x2
【例3】对函数f(x)=sinx在区间[0,π]上应用罗尔定理时，结论中的ξ=( )
A. B.“
c.4 D.6
37第一篇 高等数学
3.柯西中值定理
若函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0,则至少
8⑤-86)-g@
存在一点ξ∈(a,b),使得：
五、曲线的渐近线
1.水平渐近线
若limf(x)=b(lim f(x)=b或 limf(x)=b),则称直线y=b为曲线y=f(x)的水
平渐近线，
2.垂直渐近线
若lim f(x)=0(lim f(x)=00或 lim f(x)=),,则称直线x=x,为曲线y=f(x)
的垂直渐近线(或铅垂渐近线).
3.斜渐近线
若!lim)=k(k≠0),lim[f(x)-kx]=b,则曲线y=f(x)有斜渐近线y=kx+b。
【例11y=
的垂直渐近线为( ).
A.x=1 B.x=-1
C.y=1 D.y=-1
v=32
【例2】曲线j 的水平渐近线为( ).
A.y=2 B.y=-3
D.y=
c.v-号
y=e*( ).
【例3】曲线
A.只有垂直渐近线
B.只有水平渐近线
C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线
D.无水平渐近线，也无垂直渐近线
38第二章 一元函数微分学
v--2
【例4】曲线 的渐近线有( ).
A.1条 B.2条
C.3条 D.0条
39第三章|一元函数积分学
第一节 不定积分
一、不定积分的基本概念
1.原函数
如果在区间1上，可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一x∈I都有F'(x)=f(x)
或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数，
若(F(x)+C)'=f(x),则F(x)+C是f(x)的所有原函数.
如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一
x∈I都有F'(x)=f(x).简单地说：连续函数一定有原函数，
【例1】若f(x)的一个原函数为In2x,则f'(x)=( ).
c
A.2xln2x B.In2x
D.
【例2】下列函数中可以作为同一函数的原函数的是( ).
sinx2和4cos2x
B.In|inx|和2Inx
c.sin2x和4cos2x
D. tan2_和cse2
2.不定积分的定义
在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间1上的不定积分，
记作?f(x)dx,其中?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称
为积分变量，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定
积分，即?f(xkdx=F(x)+C.
40第三章 一元函数积分学
【例】若?f(x)e'dx=e+C,则f(x)=( ).
A.- B.-
c
D.
3.不定积分的性质
①设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则?[f(x)±g(x)kix=?f(x)dx±?g(x)dx
②设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则?kf(xdx=kjf(x)dx
③设函数f(x)的原函数存在，若对f(x)先做不定积分，再进行求导，结果仍是
f(x)本身，记作：[jf(x)dx'=f(x).
④设函数f(x)可导，若对f(x)先求导，再做不定积分，结果是f(x)+C,记作：
?f(x)dx=f(x)+C.
【例1】下列等式正确的是( ).
A.?ar(x)=f(x)+C B.[r'xjdx=fr(x)+C
c.a?f'xkdx=f(x) D.?f'(xkdx=f(x)
【例2】下列等式正确的是( ).
A.?dF(x)=F(x) B.djdF(x)=F(x)+C
c.jraxdx=fxde
D.d?f(x)dx=f(x)dx
4.基本积分公式
常数函数：?kdx=x+C.(如：?1ox=10x+C)
fx=++cCμ=-1).(如： f dx=-1+c.j}dx=2√x+C)
幂函数：
?adx=ma+c.(如：?edx=e2+C)
指数函数：
-m ml+C
三角两数：①sk-mx+C
+C
41第一篇 高等数学
w=acsix+C)
反三角函数:①d=aresin言+.(如：
②a+=arca2+C.(如：[dwx=arctanx+C)
对数函数：①j1dx=mlxI+C;②w=2x+a+c;③x=
Imlkx+√2±a|+c
二、不定积分的计算
1.有理函数的积分
x+a(x+bsx-b+xbd
①有理真分式：
fraik=mx+|+c?()
【例1】下列哪个函数满足
A.f(x)= B.f(x)=2-4x+3
c.f(x)=x+D D.f(x)=x-4
4x+3=()
【例2】不定积分
A.m-3+c B.mk-+c
C.In(x-3)-In(x-1)+C D.In(x-1)-In(x-3)+C
②有理假分式：配凑分离，直接积分，
【例】下列哪个函数满足?f(x)dx=x-arctanx+C?()
B.?
A.J*1dx
cfd D.?
2.凑微分法
设f(w)具有原函数F(u),即F'(u)=f(u),则?f(u)du=F(u)+C.如果u是中间变
量u=φ(x),且φ(x)可微，根据复合函数微分法得dF[p(x)]=f[p(x)]p'(x)dx,从而根
42第三章 一元函数积分学
据不定积分的定义就有?/Lp(x)]p(x)dx=F[p(x]+C=[?f(udulc
设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式
?fLo(x)]p(x)dx=[f(u)dulcsy
dx=()
【例1】不定积分
B.Lmd-2x)+C
A.In(1-2x)+C
c.-mI-2x+C
D.m1-2x)+C
ff(xkx= sinx2+C的是( ).
【例2】满足不定积分
cA.?cos.(2x+1dx B.?xcosx2dx
D.fd
foxd= sim3x+C的是().
【例3】满足不定积分?
A.f1cs'de B.JH
C.?sin2xcos xdx D.?tan xsee2xdx
3.根式换元法
(1)根式代换
x=",dx=a,
形如ax+b 令Vax+b=1
+6=
+6
x=arb
形如
x=
令ax+b=t
形如7ax+b和/ax+b
(C为m,n的最小公倍数)
【例】满足不定积分?f(xdx=2(Jx-1-In|l+√x-1)+C的是( ).
A.?2*
B.Jk-d
cf?-2x-id D.f?+x+2d
43第一篇 高等数学
(2)三角代换
re)
含√a2-x2时 令x=asint
r)
含√a2+x2时
令x=atant
re0)
含√x2-a2时 令x=asect
【例】满足不定积分?f(xkdx=mlx+√x2-1+C的是( ).
A.?√1-x2dx B.?√a2-x2dx
D.-*
c.fR+*
4.分部积分法
分部积分主要解决的积分是被积函数是两种不同类型函数的乘积，如[x2e'dx.
设u=u(x),v=v(x)都具有连续导数，则?wv'dx=wv-Ju'vdx,公式中的V:由反、对、
幂、三、指(指、三)的顺序确定.
将被积函数看作两部分相乘，按照反、对、幂、三、指(指、三)的顺序，
把后面的函数优先凑微分到“d”的后面，代用公式?udv=w-?vdu,,进行计算解出
积分即可。
ff(xkx= x2mx-4x2+C的是().
【例1】满足不定积分
A.?xsin xdx B.fxcosxdx
c.?xe'dx D.?xln xdx
【例2】满足不定积分[f(xdx=xlnx-x+C的是().
A.?xarctan xdr B.?e'sin xdx
D.?edx
c.jin xdx
44第三章 一元函数积分学
第二节 定积分
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x?0.
比较原理：若在区间[a,b]上f(x)>0,则
45第一篇 高等数学
推论1:若在区间[a,b]上f(x)≥g(x),则?f(x)dx>jg(x)dx.
推论2: 。f(x)dl0)的定积分可利用几何意义来求解，一般是转化为圆的部
√a2-x2dx(a>0)表示函数y=√a2-x2与x=0和x=a及x轴所围
分面积来计算；如
圆的面积，即”√a2-Y2d-m2
成的面积，由中学知识可得，该面积为
【例1】下列定积分为2π的是( ).
A.J√9-x2dx B.[√-xdx
c.(3+x)√9-x2dx D.[√4-x2dx
T(x3cosx+√4-4x2kdx=( ).
【例2】定积分
A.0 B.2
C.-2 D.π
。√6x-x2dx=( )
【例3】定积分
A.0 B.3
D.4
C.3π
3.定积分的换元积分
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=φ(t)满足条件：φ(α)=a,φ(β)=b;
φ(1)在[a,J](或[β.a])上具有连续导数，且其值域R,=[a,b],则有
47第一篇 高等数学
Jfx)dx=?f[(0]p()dr.
计算定积分时，若积分变量发生代换，则积分区间随之改变，俗称换元必换
限，且最后一步要用牛顿-莱布尼茨公式计算积分值，
J。cos2xdx=( ),
【例1】定积分
B.
A.π
C.2π D.0
X+0dk=()
【例2】定积分
A. In2-In3 B.2In3-In2
C.In3-In2 D.2In2-In3
x=()
【例3】定积分
A.1-2 B.2+2
c.1+2 D.2-
【例4】定积分[x√x+5dx=( ).
A.5 B.-65
c.65 D.165
4.定积分的分部积分
udv=[w]。-J“vdu.
定积分的分部积分公式
xf(x)dx=().
【例1】已知xe3为f(x)的一个原函数，则
A.1-e B.2e
C.e D.-e
【例2】已知函数f(x)的一个原函数为In2x,则xf'(x)dx=( )
A.2Inx-In2x B.2Inx-In2x+C
C.1 D.2
48第三章 一元函数积分学
【例3】下列定积分为1的是( ).
A.? xsinxdx
B. jxln xdx
c.?xe"dx
D.?jn xdx
三、定积分的应用
1.平面图形的面积
(1)X型面积
若f(x)与g(x)在区间[a,b]上连续且f(x)≥g(x),则在从a到b的曲线y=f(x)和
y=g(x)之间的区域的面积为S=J[f(x)-g(x)]dx.
y
y=f(x)
A
y=g(x)
0 a b x
【例1】由抛物线y=2-x2和直线y=-x所围成区域的面积为( )
A." B.
c
D.
【例2】由抛物线y=x2和直线y=2x+3所围成区域的面积为( ).
A等 B.10
D.3
c.3
【例3】由两条抛物线y2=x和y=x2所围成区域的面积为( ).
A4
B.1
c.2 D.
49第一篇 高等数学
(2)Y型面积
若f(y)与g(y)在区间[c,d]上连续且f(y)>g(),则在从c到d的曲线x=f(y)和
x=g()之间的区域的面积为S=?[f(0)-g(]dy.
y
x=g(V)
d
x=(v)
c
x
0
【例1】由曲线y=√x和直线y=2所围成区域的面积为( ).
A.5
B.2
D.
c.?
【例2】由抛物线y2=2x,y轴和直线y=1,y=2所围成区域的面积为( ).
A.1 B.
c.6 D.。
【例3】由抛物线y2=2x和直线y=-x+4所围成区域的面积( ).
A.15 B.16
C.17 D.18
2.旋转体的体积
(1)绕X轴旋转
设函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(x)≥0,平面图形由曲线y=f(x)与直线x=a,
x=b及x轴所围成.平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积可以用定积分求出
50第三章 一元函数积分学
y
y=(x)
o
a x
x+d b
取横坐标x为积分变量，x∈[a,b],在[a,b]上任取小区间[x,x+dx],则以dx为高
的小曲边梯形绕x轴旋转一周成薄片的体积微元dV=π/2(x)dx,所以整个旋转体的体
积为V=n?2(xkdx.
【例1】曲线y=x2(0≤x≤1)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体
积为( ).
A. B.“
c.4 D."
【例2】曲线y=sin x(0≤x≤π)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转
体的体积为( ).
A.5 B.4
c.
D.2
【例3】设平面图形由曲线y=x2,y=2x2与直线x=1所围成，该平面图形绕x轴
旋转一周所得的旋转体的体积为( ).
A.5 B.5
c.5 D.5
(2)绕Y轴旋转
设函数g(y)在区间[c,d]上连续且g(y)>0,平面图形由曲线x=g(y)与直线y=c,
y=d及y轴所围成.平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积可以用定积分求出.
取纵坐标y为积分变量，y∈[c,d],在[c,d]上任取小区间[y,y+dy],则以dy为高
的小曲边梯形绕y轴旋转一周所成薄片的体积微元dV=πg2(y)dy,所以整个旋转体的
51第一篇 高等数学
体积为V=πj^g2dy.
【例1】由曲线y=x2(x≥0)与y轴、y=1所围成图形绕y轴旋转一周所得旋转
体的体积为( ).
A.5 B.4
D.
c.3
【例2】由曲线y=√x与y轴，y=1围成图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积
为( ).
A B.“
c.4 D.5
【例3】由曲线y=e°和y=e,y轴所围成图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积
为( ).
A.π(-e) B.π(e-1)
C.π(2-e) D.π(e-2)
四、广义积分
1.无穷限的反常积分
(1)定义(一)
设函数f(x)在区间[a,+0]上连续，取b>a,若极限lim?f(xkdx存在，则称此极
限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞0]上的反常积分，记作]。f(xdx,即
J。f(xxdx=lim?f(xxdx.
若上述极限存在，则称反常积分?。f(xkdx是收敛的，它的值就是极限值；若极
限不存在，则称反常积分f(x)dx是发散的.
(2)定义(二)
设函数f(x)在区间(-0,b)上连续，取a0时，反常积分
A.5 B.4
c.3 D.2
-ayds,
【例2】关于反常积分 以下说法正确的是( ).
A.当q<1时发散，当q>1时收敛 B.当q<1时收敛，当q>1时收敛
C.当q<1时发散，当q>1时发散D.当q<1时收敛，当q>1时发散
x-D2dr的敛散性为()
【例3】反常积分
A.以下都不对 B.无法计算
C.收敛 D.发散
54第四章|多元函数微分学
第一节 多元函数的相关运算
一、基本概念
1.二元函数的定义
设D是R2的一个非空子集，映射f:D→R称为定义在D上的二元函数，记为
z=f(x,y),(x,y)∈D或z=f(P),PeD,
其中，点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量，
函数值的全体所构成的集合称为f的值域，记为f(D),即
f(D)={2|z=f(x,y),(x,y)∈D}
楹
①二元函数z=f(x,y)表示空间曲面，
例如，二元函数z=√1-x2-y2的定义域为圆域{(x,y)|x2+y2≤1},图形为中
心在原点的上半球面。
Z
Q
1 y
x
②函数的记号f还可以用其他符号来代替，例如z=z(x,y),z=g(x,y)等。
【例】下列二元函数的定义域为{(x,y)|x+y>0}的是( ).
A.z=√9-x2-y2
B.z=In(l+2x-y)
C.z=arcsin(x2+y2) D.z=In(x+y)
55第一篇 高等数学
2.二元函数的极限
设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P(x?,yo)是D的聚点.若存在常数A,
对于任意给定的正数e,总存在正数8,使得当P(x,y)∈DNU(P,8)时，总有
If(P)-A|=|f(x,y)-AKe
成立，则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x,y。)时的极限，记为
limf(,y)=A或f(x,y)+A(x,y)-(xoy?),
也可简记为
limf(P)=A或f(P)-A(P→P).
个
z=f(x,y)
A M
o
P
x D
只有当P(x,y)以任意方式无限接近点P(x?,y???，对应的函数值f(x,y)无
限接近于确定的常数A,才能说f(x,y)有极限，或者说极限的存在与自变量趋近的路
径无关.反之，如果点P(x,y)沿着两条不同的路径趋于P(x。,y。)时，函数值趋于不
同的常数，那么函数的极限肯定不存在.
【总结】常用求解方法：
二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
步骤1:把二元函数极限问题转化为一元函数极限问题.
步骤2:利用四则运算性质、变量代换、两个重要极限、无穷小替换、分子(母)
有理化等求解，或者利用二元函数连续的定义求解。
【例11 mx+ysm-()
56一第四章 多元函数微分学
B.
Ac..0
D.2
R+2-()
【例2】极限
A
B.2
C.1 D.0
3.二元函数的连续性
设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P(x?,yo)为D的聚点，且P∈D.若
.,limf(x,y)=f(x?,?),
则称函数f(x,y)在点P(x?,y。)连续，
设D内的每一点都是D的聚点，若函数f(x,y)在D的每一点都连续，则称函数
f(x,y)在D上连续，或称f(x,y)是D上的连续函数，
愠若函数f(x,y)在点P(?,y)不连续，则称B(x?,y。)为函数f(x,y)的间断点。
【总结】运算性质：
①多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，
②连续函数的商在分母不为零的点仍连续，
③多元连续函数的复合函数也是连续函数，
4.多元连续函数的性质
与闭区间上一元连续函数的性质类似，在有界闭区域上的多元连续函数有如下
性质：
性质1(有界性与最大值最小值定理):在有界闭区域D上的多元连续函数，必
定在D上有界，且在D上取得最大值和最小值.
性质2(介值定理):在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最
小值之间的任何值。
57第一篇 高等数学
二、偏导数与全微分
1.偏导数的定义及计算
设函数z=f(x,y)在点(x。,y?)的某一邻域内有定义，当y固定在y。,而x在x?处
有增量△x时，相应地，函数有增量f(x?+△x,yo)-f(x?,y?).若
imC+Ax,)-C,
存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x?,y?)处对x的偏导数，记作
或(?
类似地，函数z=f(x,y)在点(x?,y?)处对y的偏导数定义为
m?+)-(x,,
记作
,或，(?
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏
导数就是x,y的函数，称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称偏导数，记作
,z,或f(x,y).
类似地，可定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数，记作
z,或f,(x,y).
偏导数的几何意义：
58第四章 多元函数微分学
2A
z=f(x,yo)
Mo
z=fxa,y) T
T?
o jyo
xol
偏导数f(x?,y?)就是该曲线在点M?处的切线MT,对x轴的斜率，
偏导数f(x?,y?)的几何意义是曲面z=f(x,y)被平面x=x?所截得的曲线在点M。
处的切线MT,对y轴的斜率，
【例1】z=f(x,y)=x3+3x2y+y3在点(1,1)处的偏导数为( ).
A.-9,=6 B.-9-6
c.-9=-6 D.=9=6
【例2】下列函数的偏导数为=2xcos(x2+y2)及=2yeosx2+y2)的是( )
B.z-
A.z=x3+2x2y3+ye
C.z=x-2y+In√x2+y2+3e"
D.z=sin(x2+y2)
m/athb)-f(a-h,b)=()
【例3】设f(x,y)在点(a,b)处有偏导数，则1
A.0 B.2f(a,b)
C.f(a,b) D.f,(a,b)
2.高阶偏导数
=L(,y.=(x,y),于是在区
设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数
域D内f?(x,y),f,(x,y)都是x,y的函数，若这两个函数的偏导数也存在，则称它们
是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.
按照对变量的求导次序不同，有下列四个二阶偏导数：
)-=(x,,)-=r(xy,
59第一篇 高等数学
)-2=(x,y,-2=f(x y.
类似地，可以定义三阶、四阶、……、n阶偏导数.
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
及
如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导r数 - 在区域D内连续，那
么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等，即
-()
【例1】设函数z=x3y-xy3,则
B.3x2-3y2
A.6xy
C.-6xy D.3y2-3x2
r=e'siny
【例2】下列函数的二阶偏导数为 y的是( ).
A.z=e**2y
B.z=xIn(x+y)
C.z=arctan
D.z=e*cosy
-()
【例3】已知z=xln(x+y),则
Ax+y B.x+
++
D.x+2
C.
3.全微分
设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，若函数在点(x,y)处的全增
量△=f(x+△r,y+△y)-f(x,y)可表示为△z=AAr+BAy+0(p),其中，A,B仅与
x,y有关而与△x,△y无关，p=√(△x)2+(△y)2,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微
分，AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dz,即dz=AAx+BAy.
若函数z=f(x,y)在区域D内的每一点处都可微分，则称函数z=f(x,y)在区域
D内可微分.与一元函数类似，二元函数自变量的增量△x与△y可分别记为dx与dy,
并分别称为自变量x与y的微分.因此，函数z=f(x,y)的全微分可写为
60一第四章 多元函数微分学
=+d.
二元函数连续、可导、可微的关系：
函数连续 偏导数存在
函数可微
偏导数存在且连续
【例1】函数f(x,y)在点(x?,y。)处的两个偏导数f(x?,y。),f(x?,y。)都存在
是f(x,y)在该点处连续的( ).
A.充要条件 B.必要非充分条件
C.充分非必要条件 D.既非充分亦非必要条件
【例2】函数z=e在点(2,1)处的全微分为( )
A.dz=2e2dx+e2dy B.d=2e2dx-e2dy
C.dz=e2dx-2e2dy D.dz=e2dx+2e2dy
4.多元复合函数及其求导法则(链式法则)
若函数u=φ(1)及v=y()都在点t处可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有
d+
连续偏导数，则复合函数z=/[φ(1),y(I)]在点t处可导，且有
u
z
t
V-
若函数u=φ(x,y),v=y(x,y)都在点(x,y)处具有对x及y的偏导数，函数
z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导-数，则复合函x数z=f[φ(x,cy).y(x,y]在点
(x,y)处具有对x及y的连续偏导数，且有
x
u
y
z x
v
y
61第一篇 高等数学
愠有时，为表达简便起见，引入以下记号：
?(u,v)=f(u,v),?(u,v)=f(u,v),这里下标1表示对第一个变量求偏
导数，下标2表示对第二个变量求偏导数.同理也可以引入，。",J??"等记号。
愠求导口诀：层层求导，沿线相乘，分线相加。
=( ).
【例1】设z=f(sinx,x2-y2),f具有一阶连续的偏导数，则
A.-cosx'-2x/? B.cosx-2x?
C.-cosx+2xf?' D.cosxf+2x'
=()
【例2】设z=f(x3-y2,x2+3y),其中f(u,v)的偏导数存在，则
A.-2y'+3f? B.-2y'-3/?
C.3x2f'+3f? D.3x2f'-2f?
【例3】设z=f(x2+y2),其中f具有二阶导数，则· 分别为( ).
A2=262+4xrr=4°=29-4r
B.-29'-4xrr=4-29+4yr
c.2=2r-42r=4w=2r-4vr
D.2=2F+4xr=4w.=2f+43
5.隐函数的求导法则
设函数F(x,y,z)在点P(x?,yo,z?)的某一邻域内具有连续的偏导数，且
F(x?,y??)=0,F(x?,y?,z?)≠0,则方程F(x,y,z)=0在点(x?,y。,z)的某一
邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件
zo=f(x?,y?),并有
愠二元隐函数求导的方法类似于一元隐函数求导的方法，
-()
【例1】已知函数z=z(x,y)由方程z3-3yz+x3-2=0所确定，则
62第四章 多元函数微分学
A.-1 B.0
C.1 D.2
=()
【例2】设方程e22-xyz=0所确定的隐函数为z=f(x,y),则
A.x(22-1) B.(22+1)
D.×2+D
c×(22-1)
=()
【例3】设方程z2y-xz3=1所确定的隐函数为z=f(x,y),则
A2y-3 B.3-2
D.3x-2
c?y-3
第二节 多元函数微分学的应用
一、多元函数的极值
无条件极值：除了限制自变量在其定义域内，无其他附加条件的极值问题
条件极值：对函数的自变量还有附加条件的极值问题.
1.无条件极值
定义：设函数z=f(x,y)在点P(x。,y。)的某邻域内有定义.若对于该邻域内异
于点P(x?,y。)的任一点P(x,y),都有f(x,y)≤f(x?,y?),则称函数z=f(x,y)在点
P(x?,y。)处有极大值f(x?,y?
若对于该邻域内异于点P(x?,yo)的任一点P(x,y),都有f(x,y)>f(x?,y。),则
称函数z=f(x,y)在点P(x?,y?)处有极小值f(x?,y?)
1z
O
x
63第一篇 高等数学
极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.
定理1(必要条件):设函数z=f(x,y)在点P(x?,y。)处的偏导数存在，且在点
P。(x。,y。)处取得极值，则
f?(x?,y?0,f,(x?,y。)=0.
同一元函数类似，在偏导数存在的条件下，函数的极值点必定是驻点；反过
来，函数的驻点不一定是极值点，因为极值点也可能是使偏导数不存在的点.
定理2(充分条件):设函数z=f(x,y)在点(x?,y???某邻域内连续且具有一阶
及二阶连续偏导数，又f(x?,y?)=0,f,(x?,yo)=0,记/(x?,y?A,f(x?,y?)=B,
J,(x?,y?)=C,则：
①当AC-B2>0时，函数z=f(x,y)在点(x?,y?)处取得极值，且当A>0时有极
小值，当A<0时有极大值.
②当AC-B2<0时，函数z=f(x,y)在点(x?,y。)处没有极值.
③当AC-B2=0时，函数z=f(x,y)在点(x?,y。)处可能有极值，也可能没有极值.
【总结】多元函数无条件极值的一般求法：
一导求点，二导判定。
若函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数：
(》)=0
步骤1:一导求点——解方程组 求出函数f(x,y)的一切驻点，
步骤2:二导—对每个驻点(x?,y?),求二阶偏导数f(x?,y?A,
fy(x?,y?)=B,f,(x?,yo)=C.
步骤3:判定——求点(x?,y???的AC-B2.
①当AC-B2>0时，点(x。,y。)处有极值，当A>0时有极小值，当A<0时有极
大值。
②当AC-B2<0时，点(x。,y。)处无极值，
③当AC-B2=0时，点(x。,y。)处可能有极值，也可能没有极值，
【例1】函数f(x,y)=x2+y2-2x-2y+1的驻点是( ).
A.(0.0) B.(0,1)
64第四章 多元函数微分学
C.(1.0) D.(1,1)
【例2】设f(x,y)=(x-4)2+y2,则点(4,0)( ).
A.不是驻点 B.是驻点但非极值点
C.是极大值点 D.是极小值点
【例3】设f(x,y)=x2+xy+y2+x-y+1,则它的极小值点是( ).
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-1,-1) D.(1.1)
【例4】二元函数z=2xy-3x2-3y2+20在定义域内( ).
A.有极大值，无极小值 B.无极大值，有极小值
C.有极大值，有极小值 D.无极大值，无极小值
【例5】设z=f(x,y)在点(x?,y。)处可微，且f,(x?yo)=0,f,(x?,yo)=0,则
z=f(x,y)在(x,y???( ).
A.可能有极值，也可能没有极值
B.必有极大值
C.必有极值，可能是极大值，也可能是极小值
D.必有极小值
2.最值
在有界闭区域D上求连续函数f(x,y)的最大值和最小值时，将函数f(x,y)在D内
所有驻点处的函数值、偏导数不存在的点处的函数值及f(x,y)在D的边界上的最大值
和最小值作比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.
愠
在实际问题中，若根据问题的性质知道函数f(x,y)的最大值(或最小值)一
定在区域D内取得，且在D内只有唯一的驻点，则该驻点处的函数值就是函数f(x,y)
在D上的最大值(或最小值).
【总结】最值求解的一般步骤：
步骤1:求函数f(x,y)在D内所有驻点处的函数值.
步骤2:求f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值，
步骤3:将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者
65第一篇 高等数学
即为最小值.
【例】某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各
取怎样的尺寸时，才能使用料最省?( )
A.2m,Im,Im B.lm,2m,Im
C.1m,Im,2m D.√2m,√2m,√2m
3.条件极值
设f(x,y),φ(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数，要求z=f(x,y)在D内满足条
件φ(x,y)=0的极值.该条件极值可以转化为求拉格朗日函数
L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)
的无条件极值，其中，L(x,y,2)称为拉格朗日函数，参数λ称为拉格朗日乘数
(乘子).
条件极值的常用求解方法为拉格朗日乘数法.
【总结】拉格朗日乘数法求解步骤：①写函数→②求驻点→③判定.
求z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下极值的一般步骤：
步骤1:写函数——构造拉格朗日函数L(x,y,A)=f(x,y)+λp(x,y).
步骤2:求驻点——求L(x,y,λ)的驻点坐标(x?,y?),即求解方程组
解出(x?,y。,Z).
步骤3:判定——判别z=f(x,y)在点(x?,y。)处取何种极值.
【例1】函数f(x,y)=x2+y2在条件x2+y2-xy-1=0下的( ).
413
A.最大值为4,最小值为2 B.最大值为2,最小值为
113 2-3
C.最大值为2,最小值为 D.最大值为2,最小值为
【例2】用钢板做成一个表面积为54m2的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，
则水箱的最大容积为( ).
A.54m3 B.27m3
66第四章 多元函数微分学
C.9m3 D.6m3
【例3】将正数12分成三个正数x,y,z之和，使得u=x3y2z取得最大值，则x,y,
z分别为( ).
A.x=2,y=4,z=6 B.x=7,y=4,z=1
C.x=4,y=4,z=4 D.x=6,y=4,z=2
【例4】设某公司下属的甲、乙两厂生产同一产品，当甲、乙两厂的产量分别为
x,y(单位：件)时，总成本为C(x,y)=3x2+xy+y2+200000(单位：元).现有总
成本530 000元，问如何分配甲、乙两厂的生产指标，才能使甲、乙两厂的产量之和
最大?( )
A.x=400,y=500 B.x=300,y=500
C.x=200,y=500 D.x=100,y=500
二、方向导数与梯度
1.方向导数
设I是xOy平面上以P(x?,y。)为始点的一条射线，e,=(cosa,cosβ)
=?sm(>0),若
是与I同方向的单位向量，射线I的参数方程为
(a+1csa,yo+/csB)-f(k)
存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P?沿
方向/的方向导数，记作
如果函数f(x, y)在点P(x?,yo)处可微分，那么函数在该点沿任一方向L的方向
-r.(,y)osa+T,(xxo)cosβ,其中cosa和cosβ是方
导数存在，且有
向/的方向余弦
对于三元函数u=f(x,y,z)有类似的定义，如果函数f(x,y,z)在点(x?,yo,z?)
处可微分，那么函数在该点处沿着向量e,=(cosa,cosβ, cosr)的方向的方向导数为
-(Jsa+/,(如zJes+L()csy.
【例1】函数u=xyz-2yz-3在点P(1,1,1)处沿向量1=2i+2j+k的方向的方向导
67第一篇 高等数学
数为( ).
A方 B方
c.
D.号
n-方0.1.1)
【例2】函数(x,y,z)=1+6++18
在点(1,2,3)处沿单位向量
的方向的方向导数为( ).
A.学 B.√3
D.3
c.√2
【例3】函数u=xy+yz+zx在点P(,2,3)处沿OP的方向的变化率为( ).
A.
B.2
c.2
D.3
2.梯度
设函数f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x?,y。)∈D,
都可以定出一个向量f(x?,y。)i+f,(x?,yo)j,该向量称为函数f(x,y)在点
P。(x?,y。)处的梯度，记作grad f(x?,y。),即grad f(x?,y。)=(x?,y。)i+f,(x。,y。)j
对于具有连续偏导数的三元函数f(x, y,z),在其定义区域内的每一点
P。(x。,yo,z),都可以定出一个向量f(x,y。,z)+,(x。,y。,z)j+f(x?,y,
z?)k,该向量称为函数f(x,y,z)在点P(x?,?)处的梯度，即
grad f(x?,y?,z。)=f.(x,Yo,z)i+f,(x?,yo,z?)j+f?(x?,。,z?)k
【例1】函数f(x,y)=sin x'cosy在点(0,1)处的梯度是().
A.(cos1,0) B.(-cos1,0)
C.(0, cos1) D.(0,-cos1)
【例2】已知u=x2+2y-z3,则梯度grad ul.1.-=( ).
A.(2,2,3) B.(2,2,-3)
C.(-2,2,3) D.(2,-2,3)
【例3】设z=In(x+y),则梯度grad zlo.n=( ).
68第四章 多元函数微分学
A.(-1,1) B.(1,1)
C.(-1,-1) D.(1,-1)
三、空间曲线与空间曲面
1.空间曲线的切线方程和法平面方程
设空间曲线厂的参数方程为 其中，假定φ(1),y(1),o(1)都在[α,β]上
可导
厂
M
Mo
①曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
向量T=(φ'(t?),y'(?),w(t?)就是曲线厂在点M处的一个切向量，
)w))
②切线方程：曲线在点M。处的切线方程为
③法平面：通过点M。而与点M。处的切线垂直的平面称为曲线厂在点M?处的法平
面，法平面方程为φ'(?)(x-x?)+y'(t?)(y-y。)+@(?)(z-z?)=0.
愠求空间曲线的切线与法平面方程的关键在于求出其切向量.
【例1】曲线厂：x=?。e"cosudu,y=2sint+cost,z=1+e"在t=0处的切线方程为
( ).
B.---32
A言--3
c.-21-= D.￥-21-3
【例2】曲线 (a,b∈R,a≠0,b≠0)在点M。(a,0.0)处的切线方程
和法平面方程分别为( ).
69第一篇 高等数学
A.。---3,ay+bz=0 B.。-a-,ay+bz=0
c.。-a-3,ay-bz=0 D.a=a-3,ay+bz=0
2.空间曲面的切平面方程和法线方程
设曲面2的方程为F(x,y,z)=0,曲面方程F(x,y,z)=0两端在t=t,处的全导数
为=F(x?,??,Zo)P(6)+F,(x?,xo,zW'()+F(x?,yo,Z)0(6)=0,记向量
n=(F,(x?,yo,z?),F,(x?,y。,Z?),F?(x?,y??))·
z个
T
M?
厂
o
y
因为曲线厂是曲面∑上通过点M。的任意一条曲线，它们在点M。处的切线都与同
一向量n垂直，所以曲面上通过点M的一切曲线在点M?处的切线都在同一个平面上，
这个平面称为曲面∑在点M?处的切平面.
①切平面方程：
F?(x?,yo,z?)(x-x?)+F,(x?,yo,z)y-y。)+F?(x?,y?。)(z-z?)=0.
②曲面的法线：通过点M?(x。,yo,z?)且垂直于切平面的直线称为曲面在该点处
F.(x,x。,z)E(?。,2)F(?。,2
的法线，法线方程为
③曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
向量n=(F?(x?,o,Z),F,(x?,y?),F(x?,yo,z)就是曲面∑在点M?处的一个
法向量。
【例1】曲面z=2x2+y?-3在点(1,1,0)处的切平面方程为( ).
A.4x+4y-z-8=0 B.4x+4y+z-8=0
C.4x+4y-z+8=0 D.4x+4y+z+8=0
【例2】已知曲面z=4-x2-y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0,则
点P的坐标是( ).
70第四章 多元函数微分学
A.(L-1,2) B.(-1,1,2)
C.(1.1,2) D.(-1,-1,2)
【例3】曲面z=F(3x,y.2z)在点(x,y, z)处切平面的法向量为( ).
A.(3F,F,2F-1) B.(3F,F,-1,2F,-1)
C.(F,F,2F) D.(-3F,-2F,D)
【例4】曲面x2-y2+z2-2z=-1在点P处的切平面平行于平面x+y+z=1,则点P
的坐标是( ).
A.(0,0,1) B.(-1,1,2)
C.(1,-1,2) D.(-1,-1,2)
71第五章|向量代数与空间解析几何
(仅数学1考)
第一节 向量
一、向量的基本概念
1.向量的定义
既有大小又有方向的量称为向量，在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线
段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB.有时也用一个黑体字母
(书写时，在字母上面加箭头)来表示向量，例如a、P、v或a、严、等，
如果两个向量a和b的大小相等，且方向相同，就说a和b是相等的，记作a=b,
也就是说，经过平移后能完全重合的向量是相等的.
2.向量的坐标表示
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k,就确定了三条都以O为
原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴、y轴、z轴，它们构成一个空间直角坐标系，
称为Oxyz坐标系.
z
k
0 j y
x
72第五章 向量代数与空间解析几何(仅数学1考)
设向量a=(a,a,a),则向量a在x轴、y轴、z轴上的投影就是向量a在
Oxyz坐标系中的坐标a,a,a.记作a=Prj,a,a,=Prj,a,a=Prj.a,或记作
a,=(a)。,a=(a),,a=(a)。.其中(a),=|a|cosa,(a),=la|cosβ,(a),=|a|cosy.
k13
【例】已知向量a在x轴上的投影为2,且与x轴夹角为 ,则|a|=( ).
A.1 B.2
C.3 D.4
3.向量的模
向量的大小叫做向量的模.向量AB、a的模依次记作|AB|、|a|.
愠模等于1的向量叫做单位向量；与向量a的模相同但方向相反的向量叫做a的
负向量；模等于0的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的.
【总结】向量的模的计算：
①设向量a=(a,a,,a),则a的模|a|=√a2+a2+a,
②设有点M(a,b,c)和点N(a,b?,c?),则MN的模
MN-√a?-a,)2+(b?-b)2+(c?-g)
③与向量a=(a,a,a)共线的单位向量为
墙-(+
【例1】向量3i+4j-k的模|a|=( ).
A.√23 B.√24
c.√25 D.√26
【例2】已知两点M?(2,2,√2)和M?(1,3,0),则向量的模M?M?=( ).
A.-1 B.-2
C.1 D.2
【例3】设a≠0,则与向量a同方向的单位向量e,=( ).
A.
B.-a
73第一篇 高等数学
D.
C.a
【例4】平行于向量u=(2,3,1)的单位向量为( ).
^{344 B(4
c.444
D.(44
4.两向量的夹角
设有两个非零向量a、b,任取空间一点O,作OA=a,OB=b,规定不超过π的
∠AOB称为向量a与b的夹角，记作(a,b)或(b,a).
若(a,b)=0或π,则称向量a与b平行，记作a//b,向量平行又称向量共线.
愠设向量a=(a,a,,a),b=(b,b,b.)且a≠0,那么向量a//b的坐标表示为
A(a,a,,a)=(b,,b,,b),即
若0}.
③若区域D关于原点对称，V(x,y)∈D,则有
-v)=-f(x:V),
a.,Ddo-21/a,ydo或21/,nda,(cx.-)=/x,),
D?,D?同上.
◎强化练习
5
1.设f(x,y)在有界闭区域D:x2+y2≤a2上连续可导，则第一篇 高等数学
( )
A.不存在 B.f(0,0)
C.f(1,1) D.f(0,0)
2.设f(u)具 有 连 续 的导 数，DR是圆 域：x2+y2I?>I? B.I?>I?>I?
C.I?>I?>I? D.I?>I?>I?
二、直角坐标系下二重积分的计算
1.X型区域：先对y,后对x的二次积分(或累次积分)
区域D由直线x=a,x=b与连续曲线y=y(x),y=v?(x)所围成，即D={(x,
y)|a≤x≤b,y?(x)≤v≤v?(x)}.
特点：穿过区域内部且平行于y轴的直线与区域边界的交点不多于两个
y y
y=y?(x)
y=y?(x)
D
D
y=y(x) y=y?(x)
o a o a
bX b X
86一第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
以区域D为底、以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积为
v=Ifrx,ydo=J[rcx,ydy]ldx=J"kj(x,yidy
24
z=f(x,y)
A(x) y=y?(x)
大
y-y?(x)
O a x b x
楹v=?f(x,ydo=I[(x,yjdp]ldx-Jjx,yidy.
①基本思路：把二重积分转化为两次定积分来计算.
②第一次计算(内层)单积分A(x)=jf(x,y)dy时，把x看成常量，y是积分
变量；第二次计算(外层)积分时，x是积分变量。
2.Y型区域：先对x,后对y的二次积分(或累次积分)
积分区域可表示为D={(x,y)|y,(y)≤x≤y?(y),c≤v≤d),其中，y?(V),ψ?(y)在
区间[c,d]上连续。
特点：穿过区域内部且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个
y
d
x=ψ2(y)
D
x=ψi(y)
c
0 X
以区域D为底、以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积为
v=jfr(a,ydo=?'a,yds.
87第一篇 高等数学
个
z-/(x,y)
o
c d
y
x=(y)
x
x=w?)
【总结】直角坐标系下二重积分的计算步骤：
①画图→②定序→③写限→④分算.
①画图：画出积分区域D的草图.
②定序：根据图形及被积函数的特点，选择适当积分次序.
一般规律：X型区域，优选先y后x的积分次序；Y型区域，优选先x后y的积分次序，
一般原则：D容易被表示出来，转化后二次积分尽量好算，区域分块尽量少.
③写限：写出积分区域，确定x和y的上、下限。
以X型为例，先对y积分，确定积分区域在x轴上的投影区间[a,b]即得x的上、下
限；在[a,b]上任取一点，用平行于y轴的射线(指向正方向)穿过D的内部，穿入点
所在曲线y=4(x)为y的下限，穿出点所在曲线y=φ?(x)为y的上限.
y个
y=A(x)
y=A(x)
oa
x
下 b
同理，Y型区域，先对x积分，易确定y的上、下限，然后，作一条平行于x轴的
射线(指向正方向)穿过积分区域，与积分区域的交线就是x的积分上、下限.
愠口诀：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限，
④分算：把二重积分转化为二次积分，先内后外计算两次积分，得出结果，
特点：外层积分(后积分)上、下限为常数.
【总结】特殊情形下二重积分的计算方法：
88第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
①若区域D是一个矩形，即D={(x,y)|a≤x≤b,c≤v≤d},则
f(ax,ydo=J'dj"(x,yidp-'df(x,yidr.
②若函数f(x,y)=f(x)f?(y)可积，且区域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤v≤d},则
jjr(x,yido=(J。r(xdx)(“?oldy).
【例1】设二重积分v=jfrcx,yJdo的积分区域D如下图所示，请将二重积分写
成累次积分的形式。
y个 y
1
b
① ②
D D
o
0 a x
1x
y个
y=√1-x2
D
③
x
0 1
-1|
y-√-x2
厂drfj,xdy.
【例2】计算二次积分
说明：此处内容考试中不考查计算大题和填空题，讲义中的其他题型是为了帮助同学们练习
和巩固知识点以及训练做题能力。
89第一篇 高等数学
fe"drdy,
【例3】计算二重积分 ,其中区域D是由x=0,x=1,y=0,y=1所围成
的矩形.
I=?fwv2dkdy,
【例4】计算 ,其中D=[0,1]×[1,2].
fw2do,
【例5】计算 其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域.
jnody,
【例6】计算二重积分 ,其中区域D是由抛物线y2=x和直线y=x-2所
围成的闭区域.
90第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
ddy
【例7】计算二重积分
,其中区域D是由直线y=2,y=x和双曲线xy=1
所围成的闭区域。
三、极坐标系下二重积分的计算
1.基本变换公式
二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式：
jfx,ydy=[forcose,rsinerdrdo
θ
△o,
△r
A D
0 r, r
rA
①半径常用p或r表示。
②极坐标系下的面积微元do=rdrdθ.
【总结】适用于极坐标系下计算二重积分的两个特点：
①积分区域为圆域、扇形域、圆环域等；
-rsme
②被积函数为f(x2+y2).
【总结】直角坐标系与极坐标系的转换公式为
91第一篇 高等数学
【例】将下列区域用极坐标表示：
①D={(x,y)lx2+y2<2x}; ②D={(x,y)|x2+y20)};④D为由y=x,y=0与x=1所围成的区域。
2.三种具体情况
将二重积分化为极坐标系下的二次积分，通常有以下三种情况：
(1)极点在区域边界上
若积分区域D是类似于如图所示的曲边扇形，即D可以表示为
{0,p)|a≤θ≤β,0≤p≤φ(θ)},
p=φ(O)
D
β α
0 A
则极坐标系下的二重积分化为二次积分的计算公式为
fr(ocose,psine)pdpde=?°de]。Ooose,psine)pdp.
愠
利用极坐标计算二重积分，一般选择先p(或r)后θ的积分次序
(2)极点在区域外部
如果极点在积分区域D的外部，如图所示，设积分区域D可以表示为
92第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
D
D
口
βa β a
o
0 A A
(a) (b)
{C0,p)|α≤θ≤β,q(θ)≤p≤φ?(θ)},
其中q,(0)和φ?(0)在区间[α,]上连续，
D F
E
多
O
φi(θ) φ2(0) A
如图所示，在区间[α,β]上任意取定一个0值.区域D中与这个0值对应的点在线
段EF上，EF上任意一点的极径p都满足φ(θ)≤p≤p?(θ),而θ是区间[α,β]上的任意
值，所以θ满足α≤θ≤β.因此，极坐标系下二重积分化为二次积分的计算公式为
f(oecose,psine)pdpde=J[r(oos,psine)pdplde,
jf(oose,psine)pdpde=j"d/(ose,psine)pdp.
或简写成
(3)极点在区域内部
如图所示，若极点在区域D的内部，则D可以表示为{(0,p)|0≤0≤2π,
0≤p≤φ(O)},其中p=φ(O)是区域D边界曲线的极坐标方程。
p=φ(θ)
D
0 A
则极坐标系下的二重积分化为二次积分的计算公式为
jjf(pcose,psinf)pdpdθ=?。de。f(pcosθ,psinf)pdp
93第一篇 高等数学
【总结】求二重积分的整体步骤：
①画图→②选系→③定序→④写限→⑤分算。
①画图：画出积分区域.
②选系：选择坐标系。
a.直角坐标系：一般积分区域.
b.极坐标系：积分区域为圆域、扇形域、圆环域等或被积函数为f(x2+y2)等，
③定序：确定积分序。
根据图形及被积函数的特点，选择适当积分次序.
a.直角坐标系：X型区域，优选先y后x的积分次序；
Y型区域，优选先x后y的积分次序
b.极坐标系：先p(或r)后θ的积分次序.
一般原则：D容易被表示出来，转化后二次积分尽量好算，区域分块尽量少。
④写限：写出积分限，
口诀：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限.
⑤分算：计算积分式。
把二重积分转化为二次积分，先内后外计算两次积分，得出结果.
特点：外层积分(后积分)上、下限为常数，
愠
计算要简便，充分利用对称性.
fw'dkdy,
【例1】计算 ,其中D={(x,y)|x≥0,x2+y2≤4}.
94第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
【例2】计算二重积分f(c2+y2)drdy,
其中D={(x,y)|x≥0,y≥0.I≤x2+y2≤4)
为圆环的一部分
【例3】计算jfedrdy,
,其中D={(x,y)|x2+y2≤a2}(a>0).
do,
【例4】计算 其中D是由曲线x2+y2=2x所围成的平面区域。
四、交换积分次序或改变积分形式
1.交换积分次序
一般考查直角坐标系下交换积分次序.
一般求解步骤：①画图→②写限→③分算.
①画图：依据给定二次积分的上、下限，写出积分区域D的不等式，画出积分区
域的草图，
95第一篇 高等数学
②写限：根据图形，确定另一种积分次序的积分上、下限.
愠口诀：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限.
③分算：写出交换积分次序后的二次积分，计算出结果.
2.改变积分形式
改变积分形式指的是直角坐标形式与极坐标形式之间互相转换.
一般求解步骤：①画图→②变换→③分算，
①画图：依据给=定r的s积m分.画出积分区域的草图.
②变换：利用 do=drdy=rdrdθ等表达出不同的积
分区域边界，确定积分上、下限。
③分算：写出新的坐标系下的二次积分，
'd?[f(x,y)dy的积分次序.
【例1】交换二次积分
【例2】把累次积分J'dxf'f(x,ydy+?2dxf。f(x,y)dy化为先对x、后对y积分
的累次积分。
96一 第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
②强化练习
fcy-Dddy=
1.设区域D由曲线y=sinx,直线x=±2,v=1围成，则
( ).
A.π B.2
C.-2 D.-π
2.设D={(x,y)lx2+y2aOsoesosesa
球坐标系为
若三重积分的积分区域Ω在球坐标系下的表示为Ω*,则三重积分
wzdad=Jrosineose rsinesinpo rcsey sine dpde.
① 强化练习
1.设2={(x,y.z)x2+y2+z2<1},则有( ).
A.frRddyd=0
B.jyidndydb=0
c. sn sd=0
D.jimx+P2+1Ddrdbdb=0
2.设空间区域Q,:x2+y2+z2下限。
【例】计算曲线积分,Jyds,其中L是抛物线y=x2上点0(0,0)与点B(1,D之间的
一段弧，如图所示
y
B(1,1)
y=x2
L
0 1 x
二、第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)
1.定义
若被积函数F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j定义在平面曲线L(或F(x,y, z)=
P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k定义在空间曲线厂)上，其物理背景是变力
105第一篇 高等数学
F(x,y)(或F(x,y,z))在平面曲线L(或空间曲线厂)上从起点移动到终点所做的
总功，记作
??P(x,y)dx+Q(x,y)dy或?,P(x,y,z)dx+Qx,y,z)dy+R(x,y,z)dz.
2.性质(以二维空间为例)
①j,P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-?,P(x,y)dx+Qx,y)dy,其中L表示与L方向相
反的同一条曲线；
②?P(x, ydx+Qx,ydy=[,P(x, ydx+Qx,y)dy+f[ P(x, y)dx+Qx,ydy,
其中L=L+L?.
3.计算
①设L:y=φ(x),其中a对应L的起点，b对应L的终点，则
?,P(x,y)dx+Qx,y)dy=J'{Plx,o(x)]+Qlx,p(x)lp'(x)}dx;
=p.
②设L: 其中α对应L的起点，β对应L的终点，则
f,P(x,ydx+Q(x,y)dy=j{P[p(t),y(0lp'(1)+Qlp(t),y()y(0}d.
?,xy3dx,
【例】计算曲线积分 ,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点B(1,1)的
一段弧，如图所示.
y
B(1,1)
y=√x
o
X
y=-x
A(1,-1)
106第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
◎强化练习
1.设L为曲线x2+y2=R2(y≤0),将I1=?(3x+2y)ds化为定积分的正确结果是
( ).
A.?。R2(3cost+2sint)d B.JR2(3sint+2cos)dr
c.J R(simt+20snu
D.[R2(3cost+2sint)dr
+3=1,其周长记为a,则f(2xy+3&+4y2)ds=()
2.设/是椭圆
A.12a B.24a
C.16a D.0
3.已知曲线L的方程为y=1-|x|,x∈[-1,1],起点是(-1,0),终点是(1,0),
则曲线积分?,xydx+x2dy=( ).
A.0 B.1
C.-1 D.2
?sin2xdx+
4.设L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(π,0)的一段，则
2(x2-1)ydy=( ).
A.-
B.1
C.2 D.3
[,xdy-2ydx的值
5.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分
为( ).
B.
A.π
c.2m
D.0
三、格林公式
1.定义
设D为平面区域，若D内任意一条闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面
单连通区域(即D内部不含有“洞”),否则称为复连通区域.
107第一篇 高等数学
设平面有界闭区域D由分段光滑闭曲线L所围成，若函数P(x,y),Qx,y)在D
上具有一阶连续偏导数，L取正向(当人沿L的这个方向前进时，D在左边),则
f,Pcx, yid+Q(x, ydy-j()ady.
2.格林公式应用
-c
①利用积分与路径无关：设函数P(x,y),Q(x,y)在包含L于其内的单连通区域
D内存在一阶连续偏导数，且 ,则
?,P(x,yidx+Q(x,y)dy=J"P(x,y,)dx+J"Q(x?,yldy;
y个
L B(x?,v?)
D
Ax,y)
0 x? x? X
②添加辅助线：若函数P(x,y),Q(x,y)在L+L所围区域D内存在一阶连续偏
导数，则
fPk+Qdy=pL Pux+Qd-f,Pk+oby=j(P)d-f Pak+Qby,
其中L+L构成正向闭曲线；
③挖洞法：设函数P(x,y),Qx,y)在以L为边界的闭区域D内除P(x?,y。)外存
-则
在一阶连续偏导数，且
φ,Pdx+Qdy=f,Pdx+Qdy,
其中L是L内包围P?(x?,y?)的一条与L同向的闭曲线.
【总结】设D是单连通区域，若函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，
则以下四个命题等价：
①对于D内任意光滑闭曲线L,有φ,Pdx+Qdy=0;
②?,Pdx+Qdy在区域D内与路径无关，只与起止点有关；
③Pdx+Qdy为某二元函数u(x,y)的全微分，即du=Pdx+Qdy;
贺
④在D内每一点处有 成立.
108第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
【例1】求椭圆x=acosθ,y=bsinθ所围成图形的面积A.
【例2】计算φ,(2xy-x2)dx+(x+y2)dy,其中L为由y=x2和y2=x所围成区域的
正向边界曲线.
①强化练习
f,ydx+xdy=( )。
1.设平面曲线L:x2+y2=1,取逆时针方向，则曲线积分(
A.0 B.π
C.2π D.-2π
(x-ID2+y2=4
2.已知曲线L的方程为 且L取逆时针方向，则曲线积分
+4=()
A.-2π B.2π
C.0 D.4π
3.设厂为闭区域D:0≤y≤sinx,0≤x≤π的正向边界曲线，则曲线积分
I=f,e'(1-cosy)dx+e'sin ydy=( ),
A.0 B.e"-1
C.e D.1
4.已知函数f(x)可微，且f(0)=2,曲线积分?,[f(x)-1]ydx-f()dy与路径无关，
109第一篇 高等数学
则f(x)=( ).
A.1+e? B.1+e*
C.2e* D.2e*
5.设C为曲线y=x2上从点A(-1,1)到点B(1,1)的一段，则曲线积分
?。(e°-12xy)dx+(xe°-cos y)dy=( ).
A.2e B.e
D.e
C.0
第四节 曲面积分(数3不考)
一、第一类曲面积分(对面积的曲面积分)
1.定义
设函数f(x,y,z)定义在空间有界光滑曲面∑上，则f(x,y,z)沿曲面∑的第一类
曲面积分为
fcs,y, znS=m2F(5,n,5)AS.
2.基本性质
①ftaf(x,y,2)+bg(x,,z)dS=aj?f(x,y,zdS+b[fg(x,, z)ds;
②]jf(x,y,z)ds=jjf(x,y,z)dS+Jjf(x,y,z)dS,其中Z=2+22;
③jjas=A,,其中A为曲面∑的面积；
④若积分曲面∑关于yOz平面对称，则
aswa-)-
其中∑,是∑在yOz平面前侧的部分.积分曲面∑关于另外两个坐标平面的对称性，可
类比得到.
110第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
3.计算
设曲面∑:z=z(x,y),(x,y)∈D,则
jfrcxy,zadS-jf/Lx,w.z(xyl+(2)2+(2)ddy.
若曲面由方程x=x(y,z)或y=y(z,x)给出，也可类似地把对面积的积分化为相
应的二重积分，
ds.
【例】计算曲面积分
,其中∑是左半球面x2+y2+z2=a2(y≤0)
②强化练习
1.设∑为曲面x2+y2+z2=R2,z≥0,∑为∑在第一卦限的部分，则( ).
A.jjxdS=4jrds B.jjvds=4jjvds
c.?fzdS=4jfas D.jfszds=4j vzds
f(x+1yDas=()
2.设曲面∑:|x|+|y|+|zl=1,则
c
A.√3 B.3√3
D.4
[(2x+4+2)ds=
+学+4=1
3.设∑为平面 在第一卦限的部分，则曲面积分
( ).
A.2√61 B.3√61
C.4√61 D.√61
4.设S为曲面z=√x2+y2包含于圆柱面x2+y2=2x内部那部分的面积，则S=
( ).
B.√2π
A.π
111第一篇 高等数学
c.√3π D.2π
5.设z={(x,y,z)x+y+z=1,x≥0,y≥0,z≥0},则」f2as=()
B.3
A吾
c.} D.1
二、第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)
1.定义
设被积函数F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k定义在空间曲面
∑上，则函数F(x,y,z)通过曲面∑的通量为
jfP(x,y,z)dydz+Qx,y,z)dadx+R(x,, z)ddy.
2.计算
jP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dkdy
=ifPas,y.zdbwd +ffgcx,y, zhedx +fjfR(x,y, zldidy,
其中， jfPx,y,z)dyde=±?jP(v,2),v,z)dydz,曲面2表示为x=x(Y,z),其法
向量方向与x轴正向成锐角，符号取正，否则取负；
fen,,zhek=Ifgc,yz,x),zheadx,曲面2表示为y=(2z,x),其法向
量方向与y轴正向成锐角，符号取正，否则取负；
jfR(x,y, z)dxdy=±IjR(x,y,z(x,y)dkdy,曲面2表示为z=z(x,y),其法
向量方向与z轴正向成锐角，符号取正，否则取负.
3.性质
①若曲面∑关于xOy平面对称，且R(x,y,z)为z的偶函数，则
IRCs,y,z)dy=0;
②若曲面∑关于xOz平面对称，且Q(x,y,z)为y的偶函数，则
jies,y,z)idk=0;
112第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
③若曲面∑关于yOz平面对称，且P(x,y,z)为x的偶函数，则
jPas,y, zhdrdk=0.
【例】计算曲面积分jzadkdy+ xdydz+ydzdx,其中∑是柱面x2+y2=1被平面z=0
及z=3所截得的在第一卦限部分的前侧。
三、高斯公式
1.定义
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，若函数P(x,y,z),
Q(x,y, z)和R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
fPedt+Qtdk+Rdy-r(.
其中，∑是2的整个边界曲面的外侧。
2.应用
①添加辅助平面构成封闭曲面；
②挖洞法.
四、散度与旋度
1.散度
+o+k
向量场F={P,Q,R}的散度定义为 ,记作divF
2.旋度
{-.ea.c}.
向量场F={P,Q,R}的旋度定义为 ,记作rotF
113第一篇 高等数学
【例1】计算曲面积分fj xdydz+ydzadx+zdkdy,其中∑是圆柱体x2+y2≤9介于平
面z=0及z=3之间的整个表面外侧.
【例2】计算曲面积分f?xzdydz-y2dzdx+yzdkdy,其中∑是由三个坐标平面与
平面x=1,y=1,z=1所围成的正方体的外表面。
①强化练习
fjxdbdk+ydedx+zdady-( ).
1.设∑是球面x2+y2+z2=1的外侧，则
B.4π
A.4π
D.3
C.2π
[jxdyde+ysedx+
2.设∑为平面x+y+z=1在第一卦限的上侧，则曲面积分
zdrdy=( ).
B.
A.1
114第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
c
D.
jzxd=()
3.设∑是球面x2+y2+z2=1的外侧，则
A.4π B.5”
c.sπ
D.5"
fzardk+5avdt+3ddy=()
4.设∑是曲面z=√x2+y2(0≤z≤H)的下侧，则
A.πH2 B.-3πH2
C.2πH2 D.0
+v+d-)
5.设∑为z=-√1-x2-y2的上侧，则
A. B.
C.π D.-π
6.设u=x2y+2xy2-3yz2,则div(grad(u))=( ).
A.(4,4,0) B.(4,4,0)
C.4x+4y D.4x-4y
7.设A=(2z-3y)i+(3x-z)j+(y-2x)k,则rotA=( ).
A.12 B.6
C.2i+4j+6k D.4i+2j+6k
五、三维空间对坐标的曲线积分的计算
cn20息点，A网L2般点，则有
设L:
?,P(x,y,z)dx+Q(x,y, z)dy+R(x, y,z)dz
=?"{P[p(),,ψ(1),o(1)]φ'(1)+Q[φ(t),y(1), o(1)ly'(1)+R[φ(1),y(1),o(1)]o(1)}dr.
六、斯托克斯公式
设厂为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以厂为边界的分片光滑的有向曲面，厂
115第一篇 高等数学
的正向与∑的侧符合右手规则，若函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)和R(x,y,z)在曲面
∑(连同边界厂)上具有一阶连续偏导数，则有
)w+c)k+(Pady-f,Pk+Qdy+R,
可记作：
或者
其中cosa, cosβ, cosy为曲面∑的法向量的方向余弦。
【例1】计算曲线积分(φ,zdx+xdy+ydz,其中厂是平面x+y+z=1被三个坐标面
所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手法则
116一 第六章 多元函数积分学(数学3只考二重积分)
p,yrtx+zdy+xd,其中r:{x+y+2=0,
【例2】计算曲线积分 若从z轴正向
看去，厂取逆时针方向.
①强化练习
设厂是柱面x2+y2=1与平面z-x+y=1的交线，从z轴正向看取逆时针方向，则
曲线积分φ,(z-ydx+(x-z)dy+(x-y)dz=( )
A.2π B.-2π
C.6π
D.-6π
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117第七章|常微分方程(数学3不考)
第一节 一阶微分方程
一、微分方程的基本概念
1.微分方程的基础概念
(1)微分方程的定义
表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程称为微分方程.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。
未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
愠在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数必须出现.
(2)微分方程的阶
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。
类型 一般形式
一阶微分方程 y'=f(x,y)或F(x,y,y)=0
二阶微分方程 f(xx,y)或F(x+y,y)=0
n阶微分方程(x,yyy或P,y,y,y",…,y")=0
(3)线性原理
若微分方程中未知函数y及其各阶导数y',…,y"都是一次的(且不含交叉乘积),
则称为线性方程，否则称为非线性方程.
【例1】下列方程是微分方程的是( ).
A.2y?+x2+6xy=0
B.(x-y)2+(x+y)2=16
118第七章 常微分方程(数学3不考)
C.(y)3+xy?-y2=0 D.4x2+9y2=36
)+=x+y?
【例2】微分方程( 的阶数为( ).
A.1 B.2
C.3 D.4
【例3】下列方程是三阶微分方程的是( )
A.黑=x2+y B.x()-2+4x=0
cx-2祟)+5y=
D.y"+Iny=x+1
2.微分方程解的概念
(1)微分方程的解
若函数y=f(x)满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解。
求微分方程的解的过程，称为解微分方程。
微分方程的解可以是显函数，也可以是隐函数
(2)微分方程的通解
若微分方程的解中含有相互独立的任意常数，并且任意常数的个数等于该微分方
程的阶数，则这个解称为该微分方程的通解.
愠
方程的通解是一类解，而不是指方程的“全部解”.
(3)微分方程的特解
通解中的任意常数根据某些条件确定下来后，对应的解称为该微分方程的一个
特解。
(4)初始条件
用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件，
从几何上说，微分方程通解的图形是一族曲线，即积分曲线族，而微分方程
的特解是积分曲线族的一条积分曲线。
119-
第一篇 高等数学
y
y=x2+C
yx2+2
=x2+1
y=x2
o x
二、一阶微分方程的求解
1.一阶可分离变量微分方程
形如g(y)dy=f(x)dx的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.
【总结】一阶可分离变量微分方程的解法——分离变量法：
步骤1:分——分离变量g(y)dy=f(x)dx.
步骤2:积——两边求不定积分?g(v)dy=?f(x)dx,得通解G(y)=F(x)+C.
其中，G(y),F(x)分别为g(y),f(x)的一个原函数.
【例1】下列函数可以作为微分方程xln yy'=ylnx的解的是( ).
A.y=e2 B.y=Inx
C.In2x+In2y=1 D.In2x=In2y
【例2】微分方程3x2+5x-5y'=0的通解为( ).
A.y=4++c
B.y=x3+x2+C
C.y=亏++c D.y=亏+
【例3】方程 的特解可以是( ).
A.y=2x B.y=x2
C.y=2x3 D.y=2x?
2.齐次微分方程
裹=()
形如 的微分方程称为齐次微分方程.
120第七章 常微分方程(数学3不考)
【总结】齐次微分方程的解法——变量替换法：①理→②换→③分→④积→⑤回，
裹-(&)
步骤1:理——整理成标准形式
u=,则y=m.=“+*出
步骤2:换——令
,代入原式，得到关于未知函数
“+x喘=r(w).
u、自变量x的微分方程： "=
步骤3:分→积——换元后方程变为可分离变量方程，分离变量后积分求解.
步骤4:回——代回原变量 ,将u换回y得原方程的通解.
x+v2=x
【例1】微分方程 的通解为( )
A.y=Ce
B.2lny=Y-2
C.Imy=e+C D.Inby=+c
v=+
-()
【例2】已知v=mx 是微分方程 的解，则
B
Ac号
D.
3.一阶线性微分方程
形如y'+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x),Qx)为已知连续
函数，
当Qx)=0时，方程变为y'+P(x)y=0,称为一阶齐次线性微分方程.
当Q(x)≠0时，方程y'+P(x)y=Q(x),称为一阶非齐次线性微分方程。
(1)一阶齐次线性微分方程
一阶齐次线性微分方程可以用分离变量法求出通解。
分离变量 =-P(x)dx ,等式两边积分得 1dy=?-Pxjdr, ,即有Iny=-[P(x)dx+
InC,故一阶齐次线性微分方程y'+P(x)y=0的通解为y=cefrad
【总结】一阶齐次线性微分方程的求解方法：
方法一，分离变量法(步骤同上，不再赘述).
121第一篇 高等数学
方法二，公式法：
步骤1:化标——化为标准形式y'+P(x)y=0,确定P(x).
步骤2:代入—代入通解公式y=cefP求解.
(2)一阶非齐次线性微分方程
一阶非齐次线性微分方程的通解等于该方程的一个特解及与其对应的齐次线性微
分方程的通解之和.
求一阶非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解，可采用“常数变易法”,即
将上述一阶齐次线性微分方程通解中的常数C换成待定函数C(x).
设微分方程y'+P(x)y=Q(x)的解为y=C(x)efo,于是
y'=C(x)efra+Cx)[-P(x)]ef
将y,y代入y'+P(x)y=Q(x)得C(x)=eQ(x),
,等式两边积分得C(x)=
jeQx)dx+C,于是可得y=e[dQuxdx+c].
这就是一阶非齐次线性微分方程的通解，
【总结】一阶非齐次线性微分方程的求解方法：
步骤1:化标——先将方程化为标准形式y'+P(x)y=Q(x),确定P(x),Q(x).
v=Jdexdx+C]求解。
步骤2:代入——代入通解公式
【例1】设y,y?是一阶非齐次线性微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解，若存在
常数λ,μ使λy,+μy?是该方程的解，λy?-μy?是该方程对应的一阶齐次线性方程的
解，则( ).
A.a=、n= B.a=-=
c.a=3,μ= D.a=3,μ=3
v+1=x2+1)
【例2】微分方程 的通解是y=( ).
B.(arctanx+C)
A.arctanx+C
c. arctax+C D.1+arctanx+C
122第七章 常微分方程(数学3不考)
x=4
【例3】设函数y(x)满足微分方程cos2x·y'+y=tanx,且当 时，y=0,则当
x=0时，y=( ).
A.4 B.-4
C.-1 D.1
【例4】已知可导函数f(x)满足f(x)=4]f(2r)dz+In2,则f(x)=()
A.e"In2 B.e2In2
C.e3+In2 D.e2+In2
裹-+2)满足川-
【例5】微分方程 的特解为( ).
A.y=I+Mk B.x=√+my
c.y=-20+mk
D.x=-20+m》
第二节 二阶微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构
1.二阶线性微分方程的概念
形如y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的二阶微分方程，称为二阶线性微分方程，其中，
p(x),q(x)及f(x)都是自变量x的已知函数.
当p(x),q(x)为常数时，方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)称为二阶常系数线性微分方
程，f(x)称为自由项.
①当f(x)=0时，方程y"+py'+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程，
②当f(x)≠0时，对应的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程.
2.二阶线性微分方程解的结构相关定理
定理1:设y?(x),y?(x)都是二阶常系数齐次线性微分方程y"+py'+qy=0的解，
则C,y?+C?y?也是该方程的解，其中C,C?为任意常数，
123第一篇 高等数学
愠简言之，齐次线性常微分方程的任意两个解的和仍为齐次线性常微分方程的解.
愠①齐次线性方程的解符合叠加原理.
②C?y?+C?v?称为y?与y?的线性组合.
③C?y?+C?y?虽含有两个任意常数，但它未必为方程y"+py'+qy=0的通解。
定理2(二阶常系数齐次线性微分方程通解的结构定理):若y?(x),y?(x)是二阶
*常数，则方
常系数齐次线性微分方程y"+py'+qy=0的两个线性无关的特解，即
程的通解为y=Cy?+C?y?(C,C?为常数).
定理3:设y'(x)是方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一个特解，Y(x)是对应的齐次
方程y"+py'+qy=0的通解，则y=Y(x)+y(x)是非齐次方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)
的通解。
愠简言之，非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解。
推论1:设y,(x)和y?(x)是方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的两个解，则y=y?(x)-
y?(x)是对应齐次方程y"+py'+qy=0的通解
愠简言之，非齐次线性常微分方程两个解的差为齐次线性常微分方程的解.
推论2:设非齐次方程y'+p(x)y'+q(x)y=f(x)右端的f(x)是几个函数之
和，不妨设y"+py'+qy=f?(x)+f?(x),而y与y?分别是方程y"+py'+qy=f?(x)和
y"+py'+qv=f?(x)的特解，则y=y+y?是方程y"+py'+qy=f?(x)+f?(x)的特解，
愠非齐次线性方程的解符合叠加原理，并可推广到n阶非齐次线性方程，
【例】设线性无关的函数y?(x),y?(x),v?(x)都是二阶非齐次线性方程
y'+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，C,C?是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ).
A.Cy?+C?y?+y?
B.Cy+C?y?-(C?+C?)y;
C.Cy+C?y?-(1-C?-C?)y? D.C?y+C?y?+(1-C?-C?)y?
二、二阶常系数线性微分方程的求解
1.二阶常系数齐次线性微分方程
方程r2+pr+q=0是微分方程y"+py'+qy=0的特征方程，它的根r,r?称为微分
124第七章 常微分方程(数学3不考)
方程的特征根.
n=-D±√p2-49,因
由于特征方程r2+pr+q=0是一元二次方程，它的根为
此特征根j.2就有3种不同的情况，方程y"+py'+qy=0的通解，分别讨论如下：
①当p2-4q>0时，,?是两个不相等的实根，通解y=C?e+C?e?*
(C?,C?为常数).
②当p2-4q=0时，r,r?是两个相等的实根，通解y=(C?+C?x)e(C?,C?为常数).
③当p2-4q<0时，r,r?是一对共轭复根，通解y=e(C?cosβx+C?sinβx).
【总结】二阶常系数齐次线性方程通解的求解步骤：①求特征根→②写解。
步骤1:求特征根——写出y"+py'+qy=0对应的特征方程r2+pr+q=0,求出特
征方程的根r,r?
步骤2:写解——根据两个特征根的类型，写出微分方程y"+py'+qy=0的通解，
如下表所示。
方程常见的变换结构 特征方程的根 方程y"+py'+qy=0的通解
两个不等实根：
y=Ce"*+C?e?
(r-r)(r-?)=0
≠I?
两个相等实根：
(r-r)2=0 y=(C?+C?x)e?
1=r?
一对共轭复根：
r-α)2=-β2 y=(C?cos βx+C?sin βx)e"
r=α±βi,β≠0
【例1】微分方程y"+2y'+y=0的通解为( ).
A.y=C?e?+C?e B.y=C?e2+C?xe
C.y=C?cosx+C?sinx D.y=C?e+C?xe
【例2】设二阶常系数齐次线性微分方程y"+py'+qy=0的特征方程有两个相等的
实根r?=r?=r,则方程的通解是y=( ).
A.C?cos(rx)+C?sin(rx) B.C?e"+C?xe
C.Ce"+C?e
D.x(C?e"+C?e")
【例3】已知某二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个特征根分别为
125第一篇 高等数学
r?=-1,r?=-3,则该微分方程为( ).
A.y"-4y'+3y=0 B.y"+4y'+3=0
C.y"+4y'+3y=1 D.y"+4y'+3y=0
【例4】已知y=e3“是微分方程y"+4y'+ay=0的一个解，则常数a=( ).
A.1 B.-1
D.号
C.3
2.二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py'+qy=f(x)(p,q为常数)特解的形式：
f(x)的类型 判断特征 特解y"的形式
0不是特征根 y=Q,(x)
f(x)=P(x)型 0是实单根 y=xQ,(x)
0是实重根 y=x2Q(x)
λ不是特征根 y=Q(x)e
f(x)=P(x)e型 λ是实单根 y=xQ(x)e^
λ是实重根 y=x2Q,(x)e
表中，P(x)为关于x的n次多项式，λ是常实数，Q(x)是与P,(x)同次的n次待定
的多项式.
【总结】二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py'+qv=f(x)通解的求解步骤：
①求特征根→②求齐通→③求非齐特→④非齐通=齐通+非齐特.
步骤1:求特征根——写出特征方程r2+pr+q=0,求出特征根r,r?·
步骤2:求齐通——求出对应齐次方程的通解Y(详细步骤同上，不再赘述).
步骤3:求非齐特——求二阶常系数非齐次线性微分方程特解y的方法——待定
系数法。
a.根据λ与特征根的关系确定特解y的形式。
b.将特解y代入原方程，比较两端同类项的系数，求出特解的系数.
步骤4:非齐通=齐通+非齐特，即通解为y=Y+y.
126第七章 常微分方程(数学3不考)
计算有初始条件的特值：
将初始条件代入通解确定C,C?,即可得到满足初始条件的特解。
【例1】微分方程y"-2y'=x的特解可设为y=( ).
A.Ax B.Ax+B
C.Ax2+Bx D.Ax2+Bx+C
【例2】方程y"-2y'+y=e的特解形式可设为y=( ).
A.Ae3+B B.Axe
C.Ae D.Ax2e
【例3】已知二阶微分方程y"+y'-6y=3e2sinx,则可设其特解形式为y=( ).
A.e2(acosx+bsinx) B.e2(acos2x+bsin 2x)
C.xe2(acosx+bsinx) D.xe2(acos2x+bsin 2x)
【例4】设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e满足初始条件
m+)=()
y(0)=y'(0)=0的特解，则1
B.1
A.不存在
C.2 D.3
【例5】设y=y(x)是微分方程y"+(x-1)y'+x2y=e满足y(0)=0,y'(0)=1的解，
则him)-X=().
B.0
A.不存在
C.1 D.2
【例6】下列方程中，特解形式为y=ax+b+Be的微分方程是( ).
A.y"+y'-2y=2x+e B.y"-y'-2y=4x-2e
C.y"-2y'+y=x+e D.y"-y'=x+2e
127第八章|无穷级数(仅数学1考)
第一节 常数项级数
一、常数项级数的基本概念
1.常数项级数的定义
(1)概念
如果给定一个无穷数列{u}:u,u?,u,…,u,…,按顺序用加号连接这个数列
的所有项构成的表达式u?+u?+u?+…+u+…称为(常数项)无穷级数，简称(常数
u?=+u?+H+…+a.+…,其中第n项u称为级数的一
项)级数，记为 即]
般项或通项
S.=u=u+u?+u+…+u,s.称为级数的部分
我们记级数的前n项之和为
和，令n=1,2,3,…,S?=1,S?=u?+u?,…,s,=u?+u?+u?+…+u,…,则{s
构成部分和数列{s,:S?,S?,…,S。,….
(2)收敛与发散
①收敛：若当n→时，{5.}的极限存在，记为s,即lims,=s,则称级数收敛，
s=2u=u+u?+u?+…+u+…
并称s为级数的和，写成
②发散：若数列{s。}的极限不存在，则称级数发散
【总结】定义法判断级数敛散的步骤：
步骤1:求级数的前n项和s,
步骤2:求lims。
a.极限存在→收敛，且级数的和为极限值.
128第八章 无穷级数(仅数学1考)
b.极限不存在→发散.
n2-30)
【例1】级数 的第五项为( ).
A.10 B.7
C.0 D.5
s.=∑,
【例2】设u,>0(n=1,2,…),s ,则数列{s,}有界是数列{u}收敛的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
m.
2.收敛级数的基本性质
2
性质1:若级数 收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数
也收敛，且其和为ks.
“ 2与
愠推论：若k≠0,则级数
具有相同的收敛性。
∑u±v)
性质2:若级数 分别收敛于和s,σ,则级数 )也收敛，且其和
为s±σ.
愠简言之：两个收敛级数可以逐项相加或相减.
【总结】收敛与发散的四则运算性质：
①收敛+收敛=收敛，
②收敛+发散=发散。
③发散+发散=不确定。
性质3:在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性，
文2+2×3+3×4…n+D…
例如，已知级数 是收敛的，则级数10000+
文+2×3+3×4…+)… 3×4+4×5…n+D…也
·也是收敛的，级数
是收敛的
愠简言之：级数的敛散性与有限项无关。
2u
性质4:若级数 收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，
129第一篇 高等数学
且其和不变.但是，反过来不确定.例如，级数1-1+1-1+…+1-1+…,加括号后的级
数(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…收敛，但是原级数发散.
愠推论：若加括号后所成的级数发散，则原来的级数也发散.
性质5(级数收敛的必要条件):若 收敛，则它的一般项u,趋于零，即
limu,=0
21
推论：若级数】 ∑一定发散。
的通项u,不趋于零，即limu,≠0,则级数2
注意：级数的一般项趋于零，即limu。=0并不是级数收敛的充分条件。
0,
Z2=1+?+3+…++…
例如，对于调和级数 ,虽然在n→0时，通项 但
级数却是发散的.
【例1】若级数 收敛于s,则 ∑a+a-a) )收敛于( ).
A.s+a B.s+a?
C.s+a?-a? D.s-a?+a?
∑
【例2】设级数 收敛(u≠0),则下列级数中必收敛的为( ).
A.2 B.2
c.Zm-z) D.Z+u)
二、各类常数项级数敛散性判定
1.重要级数
(1)等比级数
已知等比级数】∑a°=a+ag+a2+…+ag°+…(a≠0),则其敛散性为：
I-q;
当|q|<1时，收敛于 ;当|q|>1时，发散.
(2)调和级数
调和级数】 发散.
130-
第八章 无穷级数(仅数学1考)
愠补充：交错级数 收敛，
(3)p级数
六
p级数 的敛散性为：
当p>1时，收敛；当p≤1时，发散.
2.正项级数
(1)正项级数的定义
2u0
若级数] 的每一项u≥0(n=1,2,…),则该级数称为正项级数
愠正项级数
收敛的充分必要条件是它的部分和数列{s.}有界.
部分和级数判别法：{s.}单调上升，有界， 收敛。
(2)正项级数的审敛法
①比较审敛法
.
∑u
设 和 都是正项级数，且u≤v,(n=1,2,…),则有：
v
∑u
若级数】 收敛，则级数 收敛；
v发散。
若级数】 发散，则级数]
愠
比较审敛法口诀：大收→小收；小发=大发。
②比较审敛法的极限形式
2.
im=1,
设】 和 都是正项级数，若! ,则有：
∑.
当0<1<∞时，级数] 和级数 同时收敛或同时发散.
∑ ∑H
当I=0且) 收敛时， ,也收敛，
2ut
当1=m且2
发散时， 也发散.
楹
比较审敛法极限形式口诀：所求放上，0下收=上收，∞下发→上发，其
他同敛散。
131第一篇 高等数学
③比值审敛法
m“=p,
设) 为正项级数，若 则有：
当p<1时，级数收敛.
当p>1(或p=0)时，级数发散.
当p=1时，级数可能收敛也可能发散.
愠a.适用情况：通项含a"、n"、n!.
b.口诀：后比前，大1发，小1收，等1不清楚.
④根值审敛法
设之 lim√u=p,
是正项级数，若它的一般项u,的n次根极限等于p,即1 ,则有：
当p<1时，级数收敛.
当p>1(或p=∞)时，级数发散
当p=1时，级数可能收敛也可能发散.
愠
根值审敛法口诀：n次根，大1发，小1收，等1不清楚.
【总结】正项级数审敛法总述：
步骤1:看limu,=0.不满足，则发散；满足，第二步。
步骤2:选方法。 —
一般先看是否适用比值审敛法，若不适用，则使用比较审敛法。
适用情况 优选方法 核心公式 口诀
“=P
通项含a"、n"、n! 比值审敛法 后比前，大1发，小1收，等1不清楚
im√=pP
通项含a"、n" 根值审敛法 n次根，大1发，小1收，等1不清楚
一般情况，特别 比较审敛法 大收→小收；小发→大发
是通项含多项式、 比较审敛法 im-=1 所求放上，0下收=上收，∞下发→
三角函数等 的极限形式 上发，其他同敛散
其他特殊情况 定义法 lims。 极限存在→收敛，不存在→发散
132第八章 无穷级数(仅数学1考)
3.任意项级数
设有级数]∑u=u?+u?+…+u+…,其中u,(n=1,2,…)为任意实数，那么该级
数叫做任意项级数
(1)交错级数
各项符号依次正负相间的常数项级数n?-u?+u?-u?+…+(-D)"?u+…,或
-u1+u?-u?+u?+…+(-D"u。+…,称为交错级数
交错级数的一般形式为]Z(-1)u,其中u。>0.
【总结】交错级数的审敛法——莱布尼茨定理：
∑(-D?u
如果交错级数 满足条件①u?≥(n=1,2,…),②limu=0,
,则该级
数收敛，且其和s≤u,其余项r的绝对值r|<“
【总结】判定u,≥u通常有三种方法：
<1.
①利用
②利用u-u≤0.
③找一个可导函数f(x),使f(n)=u,然后利用f(x)<0说明f(x)单调递减，也说
明u。单调递减
(2)绝对收敛与条件收敛
①定义
uI
设有一般常数项级数 取各项的绝对值构成级数]
2u
∑Iu
若绝对值级数) |收敛，则称 绝对收敛，
∑ ∑u
若原级数 收敛，而】 |发散，则称 条件收敛。
u.
②绝对收敛准则
2
若级数 绝对收敛，则级数 必定收敛，即若正项级数 收敛，则任
∑
意项级数) 必收敛。
133第一篇 高等数学
愠注意：若级数
是否也发散.
≥lu。|发散，不确定级数
【例1】下列级数收敛的是( ).
B.
A之时
c.Z-D° D.Z-
【例2】下列级数中为正项级数的是( ).
B.2
A.Z(-
c20+
D.(p>0,a≠0)
+)
【例3】若级数】 )收敛，则( ).
A.Z B.∑u
必收敛 未必收敛
D.Z
C.limu=0
发散
【例4】下列命题错误的是( ).
∑u与 w+v.)必收敛
A.若 都收敛，则级数
∑“ +v.)必发散
B.若 收敛， 发散，则级数
.
以与 0+x,不一定发散
C.若 都发散，则级数
D.若
∑u+%)
)收敛，则级数
∑与二必都收敛
∑@-2b.)
【例5】若级数 )收敛，则( ).
A.Z B.Z
均收敛 中至少有一个收敛
D.2.2
C.∑aZb.不一定收敛
均发散
【例6】若级数 收敛，则级数( ).
A.Zlak
B.Z(-D°a.
|收敛 收敛
∑.a -2
C.】 收敛 D.】 收敛
134第八章 无穷级数(仅数学1考)
2
【例7】若级数 发散，则( ).
A.可能有lima=0 B.一定有lima?
C.一定有lima= D.一定有lima=0
a( )
【例8】若lima。=0,,则常数项级数
A.收敛且和不为零 B.必发散
C.收敛且和为零 D.可能收敛也可能发散
第二节 幂级数
一、幂级数的基本概念
1.函数项级数
已知一个定义在区间1上的函数列{u,(x)},由这个函数列构成的表达式
u,(x)+u?(x)+u?(x)+…+u(x)+…
2u8).
称为定义在区间I上的函数项级数，记为
u(x) u,)
对于区间I内的一定点x?,若常数项级数 )收敛，则称点x,是级数]
∑u(X) u(x
的收敛点；若常数项级数 )发散，则称点x。是级数 )的发散点.函数项级
数2u(a)
的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散点的全体称为它的发散域，
2.幂级数的基本概念
(1)幂级数的定义
当函数项级数的各项都是幂函数，即u,(x)=a,x"(n=0,1,2,…)时，级数
a?+ax+a?x2+…+a,x"+…
∑ax°,
称为幂级数，记为 其中常数a,(n=0.1,2,…)称为幂级数的系数.
a(x-x)°=a+4a(X-?+a,(X-x)2+…+a.(x-x2+
幂级数一般形式：
135第一篇 高等数学
a°
(2)阿贝尔定理
①若幂级数 在点x=x。(x。≠0)处收敛，则适合不等式|x|<|x?|的一切x使
该幂级数绝对收敛，
∑a.x
②若幂级数 在点x=x?(x?≠0)处发散，则适合不等式|x|>|x?|的一切x使
该幂级数发散. ax
愠①幂级数 的收敛域一般是(-R,R),(-R,R),(-R,R],I-R,R)这四个区
间之一
∑ax
②若幂级数 只在点x=0处收敛，则规定其收敛半径R=0.
ax)
③若幂级数 对一切实数x都收敛，则规定其收敛半径R=+0,这时收敛域
为(-00,+0).
【总结】由阿贝尔定理可以看出，必有一个完全确定的正数R存在，使得：
①当|x|R时，幂级数发散.
③当|x|=R时，幂级数可能收敛也可能发散.
2ax
a这x个确定的正数R通常称为幂级数 的收敛半径，开区间(-R,R)称为幂级
数] 的收敛区间.再根据幂级数在x=±R处的收敛性就可以确定它的收敛域，
(3)收敛半径、收敛区间与收敛域
∑ax°
若幂级数】 的系数满足
对于幂级数的收敛域，可先根据上述定理求出其收敛半径R和收敛区间(-R,R),
再将区间的端点x=±R代入幂级数，将幂级数化为常数项级数，讨论其敛散性，就可
得到幂级数的收敛域.
【总结】收敛半径、收敛区间与收敛域的一般求解步骤：①看类型→②选方法→
③看端点.
136-
第八章 无穷级数(仅数学1考)
步骤1:看类型——判断幂级数的类型.
步骤2:选方法——根据幂级数的类型，选定具体方法，求出收敛半径和收敛区间，
-o,资
①Zax
型：算1 ,收敛区间为(-R,R).
②Za.(x-k°型， ∑a a2型：
型，
a.令1 ,求收敛半径和收敛区间。
∑ax
∑a.(x-k)°和!
b.特别地，
“还可用换元法，
类型 求法 收敛半径 收敛区间
2o.(x-k)
R
令t=x-k,算1 (k-R,k+R)
a
√R
令t=x2,算I (-√R,√R)
步骤3:看端点.将区间的端点x=±R代入幂级数，将幂级数化为常数项级数，
讨论其敛散性，从而确定幂级数的收敛域。
【例1】幂级数 的收敛半径是( ).
A.1 B.0
C.2 D.+0
∑(+2+3+…+n)”的收敛半径是()
【例2】幂级数
A.1 B.0
C.2 x D.+0
【例3】幂级数 的收敛域为( ).
A.(-1,1) B.(-1,1)
C.[-1,1] D.[-1,1]
∑m2
【例4】幂级数 的收敛域为().
137第一篇 高等数学
A.(-1,1) B.[-1,1]
C.[-1,1] D.[-1,1]
2-1
【例5】若级数 的收敛区间是(3,4),则a=( ).
A.3 B.4
C.5 D.7
二、和函数
1.定义
2u80)
在收敛域上，函数项级数 的和是x的函数s(x),通常称s(x)为函数项级数
u.()
的和函数，即S(x)=u,(x)+u?(x)+u?(x)+…+u。(x)+…
u.(×)
若函数项级数 的前n项的部分和记作s,(x),即s,(x)=u,(x)+u?(x)+
u;(x)+…+u(x),则在其收敛域上有lims,(x)=s(x)·
2.运算性质
Zax,∑b°
设幂级数】 分别在区间(-R?,R?)及(-R?,R?)内收敛，其和函数分
别为s?(x)及s?(x),令R=min(R?,R?),则幂级数在(-R,R)上的运算性质如下：
a±b)x=∑ax±2bx2=s()±s?(x).
性质1(加减法运算):
ax)(2bx)=aba+(ah+ah)x+(ash+ah+
性质2(乘法运算):
a?b?)x2+…+(ab+apb+…+ab?)x"+….
∑a
性质3(和函数的连续性):幂级数ax 的和函数s(x)在其收敛域上连续.
性质4(逐项微分运算):幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可
w-2x)-2axy-2mxxkR),且逐项求
导，并且有逐项求导公式S
导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
∑ax
性质5(逐项积分运算):幂级数) 的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)上可
138第八章 无穷级数(仅数学1考)
积，并且有逐项积分公式
。sutx=-I(2ax )dx=2Tara=2x(xkR).
且逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
愠
简言之，幂级数在收敛区间内可以逐项求导或逐项积分，且所得幂级数的收
敛区间不变，但端点处级数的敛散性可能会改变，需要单独判定，
【总结】常用级数的和函数公式：
①六=2x,xe(-1.,D; ②+x-2(-D°x,xe(-1. D;
③-n(-x)=24-2二，xeF-1,D;
④mQ+x)=2=-Dx,xe(-1.1;
⑤-x=2mx° xe(-1. D; ⑥e=2xe(-,+0)。
【总结】和函数求解步骤：
步骤1:依次求收敛半径、收敛区间、收敛域.
步骤2:所求级数与常用级数和函数公式进行对比，用幂级数的性质(四则运算、
逐项求导、逐项积分)化为已知和函数的级数形式，将得到的和函数做与之前相反的
分析运算，便得到所求幂级数的和函数，
++++…(x|<1)
【例1】幂级数x )的和函数是( ).
A.In(l+x) B.In(1-x)
C.-In(l+x) D.-In(1-x)
【例2】幂级数 的和函数为( ).
A.In(x+1) B.-In(x+1)
C.In(l-x) D.-In(I-x)
(a+1k°
【例3】幂级数 的和函数为( ).
Aa+ B
139第一篇 高等数学
c一
D.-x2
三、函数展开成幂级数
1.基础概念
若函数f(x)在点x?的邻域内具有任意阶导数，则对任意的n可以写出泰勒公式：
f(x)=f(x)+f'(x?x-x)+x-x2+…Yx-x?)°+R,(x),
R.x)=(+x-x?"(5介于x与x,之间),
此式称为f(x)的n阶泰勒公式，其中，
称为拉格朗日余项.
若当n→○时，R,(x)→0,则有
f(x)=f(x)+f(x?x-x)+CKDx-x。2+…)x-x。)+…-2)x-x)
展开式称为函数f(x)在x,处的泰勒展开式.
∑C(x-x。)
级数 )"称为函数f(x)在x?处的泰勒级数.
f(O)+f(O)x+x2+…+
麦克劳林公式：当x?=0时，泰勒级数可表示为1
x+…,
该级数称为函数f(x)的麦克劳林级数。
2.常见函数的幂级数展开式
14x=(-D°x2=1-x+x2-…+(-D°x2+…,xe(-1. D;
-=2x=1+x+x2+…+x°+…,xe(-1. D;
e=2x=1+x+x2+…+…,xe(-,+O);
h(+x)=2-=x-2+34+…+-D°+…xe(-1.1;
inx=2n+D=x-+5…n+D:…,xe(-,+O);
ox-m=1-+-…+-)…xe(+).
140第八章 无穷级数(仅数学1考)
3.函数展开成幂级数的间接展开法
间接展开法：利用上述常见的函数展开式，运用幂级数的运算性质(四则运算、
逐项求导或积分)及变量替换，将所给函数展开成幂级数.
【总结】间接展开法的步骤：
步骤1:找到对应常见的函数展开式.
步骤2:通过变量代换、四则运算、逐项求导或积分将所求函数展开。
步骤3:最后写出收敛域.
【例1】函数fx)=3-x
-在(-3.3)内展开成x的麦克劳林级数是( ).
^2 B2
D.2
c2)
【例2】函数f(x)=e展开成x的幂级数是( ).
A.1-x2+2…+(-D°…
B.1+x2++……
C.-1+x2-+…+(-D°…
D.1-x2+…+(-D—…
f(x)=x-6
【例3】函数) 展开成(x-2)的幂级数是( ).
A.--2
B.Z(-D)°×-2
c.2--2 D.2-n-2
【例4】函数f(x)=Inx展开成(x-2)的幂级数是( ).
A.z2-2 B.x-2
c.m2+2-2 D.m2+2-Da-2
f(x)=smnlx-4在x=4
【例5】函数 处展开成幂级数是( ).
141第一篇 高等数学
A-(-})
B)
c.))
()
142第二篇 线性代数—第一章|行列式
第一节 行列式的概念
1.二阶行列式
=a?a-aza,上式左端称为二阶行列式，右端称为二阶行列式的展
开式
【总结】二阶行列式的计算——对角线法则：
二阶行列式等于主对角线上两个元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积
【例】计算下列各行列式的值，
2 ot×
①-24
0210
2.三阶行列式
=ataatoeu-a
-a12a21a33-aa23a32·
145第二篇 线性代数
【例1】计算下列各行列式的值.
【例2】多项式 的常数项为().
A.-14 B.-7
C.7 D.14
3.n阶行列式
由n2个数a,(i,j=1,2,3,…,n)排列成n行n列，并在左右两边各加一竖线的
算式
称为n阶行列式，
4.常见特殊行列式
①下三角行列式：
146第一章 行列式
②上三角行列式：
③对角行列式：
(-1)aa…a
【例】计算下列各行列式的值。
④
5.克莱姆法则(了解)
如果由n个线性方程构成的n元线性方程组{ 的系数
147第二篇 线性代数
行列式D≠0,即 x=0,x?=
,那么该方程组有唯一解
,…,x-
,其中，D?G=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列元素依次替换
为b?,b?,…,b.得到的行列式，即1
若方程组中常数项b?,b?,…,b.全为零，则该方 程组变为
我们把上述方程组称为齐次线性方程组，
若常数项b,b?,…,b,不全为零，则把该方程组称为非齐次线性方程组，
显然，x?=x?=…=x,=0一定是齐次线性方程组的解，该解称为零解，
若x?,x?…,x,不全为零的取值是方程组的解，则称该解为非零解。
齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.
推论1:若齐次线性方程组的系数行列式D≠0,则它只有零解。
推论2:若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D必为零。
愠系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件.
【例】用行列式解三元线性方程组
148第一章 行列式
6.行列式用逆序数的定义
1.逆序数
n级排列(jj?…i…i…j)中，逆序j,>j出现的总数叫做这个排列的逆序数，
记为r(j?j?…jz)
2.n阶行列式定义
位于不同行不同列的n个元素的乘积并冠以符号(-1)/的代数和，即
①强化练习
已知排列123ijk689是偶排列，则i,j,k分别是( )
A.i=4,j=5,k=7 B.i=4,j=7,k=5
C.i=7,j=4,k=5 D.i=5,j=7,k=4
第二节 行列式的性质
行列式D的行与列进行互换后所得到的行列式称为D的转置行列式，记作D
①性质1:行列式与其转置行列式相等，即D=D
②性质2:交换行列式的任意两行(列),行列式变号
推论1:若行列式有两行(列)的对应元素完全相同，则此行列式的值为零，
149……
第二篇 线性代数
③性质3:把行列式某一行(列)中所有元素都乘以同一常数k,等于用数k乘以
此行列式.
推论2:行列式某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
推论3:若行列式某一行(列)的元素全为零，则此行列式的值为零.
推论4:若行列式某两行(列)的元素对应成比例，则此行列式的值为零.
④性质4:若行列式某一行(列)的各元素都是两项的和，则这个行列式等于两
个行列式的和.
⑤性质5:把行列式某一行(列)的所有元素都乘以同一常数k,再加到另一行
;…9…9…9
(列)的对应元素上，行列式的值不变.
-1,则A+aa--()
【例1】设二阶行列式
A.-2 B.-1
C.1 D.2
3,A+24-6,则-()
【例2】已知二阶行列式
A.-6 B.-2
C.2 D.6
150第一章 行列式
【例31若行列式
第三节 行列式的按行(列)展开
1.余子式与代数余子式
①余子式：对任意的I≤i, j1.
愠矩阵乘法不满足消去律.
由AB=0不能推出A=0或B=0.即使A≠0,也不能由AB=AC推出B=C.
【a1en-(外
,求AB与BA.
158第二章 矩阵
求A2和A
【例2】设矩阵
5.矩阵的转置
把矩阵A的所有行换成相应的列，所得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作A'(或
42),即若
根据定义，转置矩阵满足下列运算法则：
①(A)=A; ②(A+B)=A1+B1;
③(kA)2=kA',其中k为常数； ④(AB)'=B'A'.
6.矩阵的行列式
由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素的位置不变)称为方阵A的行列式，
记作|A],即若
方阵A的行列式满足下列运算法则：
①|A'|=|A|; ②|kA|=k"|A|;
③|AB|=|A||B|
说明：此处内容考试中不考查计算大题和填空题，讲义中的其他题型是为了帮助同学们练习
和巩固知识点以及训练做题能力。
159-
第二篇 线性代数
【例】设A为3阶矩阵，|A=1,则|-2A|=_.
^②强化练习
1.设a,β均为三维列向量， ,则β'a=( ).
A.8 B.-8
C.9 D.-9
2.设α为三维列向量，a为α的转置.若 ,则a'a=( )
A.2 B.3
C.4 D.0
se加起4
则A3=( ).
4-
,则A=( ).
A.13"E B.13"1E
C.13"A D.13"?'A
5.设A,B,E为同阶方阵，下列命题中正确的是( ).
A.(A+B)2=A2+2AB+B2 B.A(A+B)=(A+B)A
C.A(A+E)=(A+E)A D.AB(A+E)=(A+E)BA
6.设A,B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B,(A-B)2=A+B,则必有( ).
A.AB=0,BA≠0 B.AB≠0,BA=0
160第二章 矩阵
C.AB=0,BA=0 D.AB≠0,BA≠0
7.设A,B,C为同阶方阵，下列命题中正确的是( ).
A.A2=0=A=0
B.若AB=AC,且A为可逆矩阵，则B=C
C.(A+B)2=A2+2AB+B2
D.A2=A=A=0或A=E
8.设A,B为n阶方阵，若AB=0,则下列结论中成立的是( )
A.A=0或B=0 B.|A|=0,|B|≠0
C.|AB|=0,|A|=0或|B|=0 D.A=E?B=0
第二节 逆矩阵
1.逆矩阵的定义
设矩阵A是一个n阶方阵，矩阵E是一个n阶单位矩阵.若存在一个n阶方阵B,
使AB=BA=E,则称B为A的逆矩阵，简称A的逆阵或逆，记作A',即A1=B.此
时称A为可逆矩阵，简称可逆阵.同理，B也是可逆矩阵，其逆矩阵是A,即B?1=A
也就是说，A与B互为逆矩阵
愠注意：
①并非任意非零矩阵都有逆矩阵.
②单位矩阵E是可逆矩阵，它的逆矩阵为其自身；零矩阵不是可逆矩阵，
③只有方阵才可能是可逆矩阵，且可逆矩阵的逆矩阵一定是方阵
2.伴随矩阵的定义
的行列式|A|中元素a的代数余子式A,所构成的
方阵 称为A的伴随矩阵，记作A
161第二篇 线性代数
3.逆矩阵的性质
①若A可逆，则A?1是唯一的；
②若A可逆，则A?1也可逆，且(A1)1=A;
③若A可逆，则A'也可逆，且(A)?1=(A?);
④若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)1=B1A1;
⑤设A,B是两个n阶方阵，则|AB|=|AHB|;
⑥若A可逆并且数k≠0,则kA也可逆，并且(kA)1=k1A1.
a-
4.对角阵的逆矩阵
设A
①AA=AA
②
5.逆矩阵的定理
定理1:设A为n阶方阵，若|A|≠0,则称A为非奇异矩阵；若|A|=0,则称A为
奇异矩阵.
A可逆的充分必要条件是A为非奇异方阵，即|A|≠0.
A=AA
定理2:若A为n阶方阵，且|A|≠0,则A可逆，且
162第二章 矩阵
【总结】矩阵的运算性质如下：
逆 转置 伴随
(A)2=A (A)'=A (A)=A2A(n≥2)
ko1=A1
(kA)'=kA (kA)°=k"?A
(AB)1=B1A1 (AB)2=B'A (AB)=BA
|A|=Ar |A'|=A| |A|=A?(n>2)
一般(A+B)1≠A'+B (A±B)1=A1±B 一般(A±B)≠A±B
-1,T,*,n四种符号可以互换：
(A)=(4),(4)=(4)',(A)=(4),(4)=(4)°
其他补充：|k4=k"|A|:|A"|=A|";|ABHBAHA||BHB||A|;(AB)°≠A"B";
|A±BAA|±|B|,
【例1]求A=ed)
的逆矩阵，其中ad-bc≠0.
4=8-2),
【例2】设矩阵A ,则A1=( ).
163第二篇 线性代数
【例3】判断下列矩阵是否可逆，
【例4】设A,B是n阶可逆矩阵，下列等式中正确的是( ).
A.(A+B)?1=A1+B B.(AB)1=A'B1
C.(A-B)1=A1-B1 D.(AB)1=B'A1
(A)+3d-_
|4--
【例5】设A为3阶矩阵， ,则
【例6】设A,B均为3阶矩阵，且A=2,|B|=-3,则3AB|=__。
①强化练习
4=(32)
1.矩阵 的伴随矩阵为( ).
A.x=[3-4 B.A=(4-3)
cx=(43) D.x=(24)
2.设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中不成立的是( ).
A.(A-A1)2=A2-2AA1+(A)2
B.(A-A1)2=A2-2AA1+(A1)2
C.(A-A)2=A2-2AA'+(A)2
D.(A-E)2=A2-2AE+E2
4=(23)
3.矩阵 的逆矩阵为( ).
164第二章 矩阵
A(23) B.(23)
c(273) D.(23
4.设A为n阶非零矩阵，且A3=0,则( ).
A.E-A和E+A都不可逆 B.E-A不可逆，E+A可逆
C.E-A和E+A都可逆 D.E-A可逆，E+A不可逆
5.设A为n阶矩阵，且A2+A-5E=0,则A+2E的逆矩阵为( ).
A.A-E B.A+E
c.(4-E) D.s(A+E)
4=。1)
6.设矩阵
,且AB-A2=E,则B=( ).
A({2) B.({2
c(22) D.(?2)
7.设矩阵A=(a)44满足A=A',其中A为A的伴随矩阵，A'为A的转置矩阵，
若a2,a,a,a?为四个相等的正数，则a?为( ).
B.
A.√2
D.
C.1
Rm
,矩阵B满足ABA=2BA+E,其中A为A的伴随矩阵，
E是单位矩阵，则|B|=( ).
B.
A.ò
c
D.
9.设A,B为n阶方阵，下列运算正确的是( ).
A.(AB)=A*B*
165第二篇 线性代数
B.B2-A2=(B-A)(B+A)
C.|-A|=-|A
D.若A可逆，且k≠0,则(kA)?1=k'A1
10.设A为3阶矩阵，|A=5,A为A的伴随矩阵，则(3A)1-2A|=( ).
A.亏×) B.亏()
D.-(3)
c.-5)
第三节 分块矩阵
分块矩阵的运算
设下列矩阵的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，则有：
4 A)+BB)=(+B,A+B.)
①加法运算：
CB)zw)-CX+Dz CY+DM)
②乘法运算：
CB)-)
③转置运算：
“
Q于分wm解
有以下结论：
a.|A|=|A||A?|…|A|;
⑤分块对角阵的逆矩阵：若A(i=1,2,…,m)均可逆，则矩阵A=
166u第二章 矩阵
◎0B-CB-0B=4BJ
⑦Bo-o-Bc=(-1)-AIB
①强化练习
则A1=( ).
B.
C.
2.设A,B均为2阶矩阵，A,B°分别为A,B的伴随矩阵，若|A|=2,|B|=3,
Bo
则分块矩阵 的伴随矩阵为( ),
^{236 B(320
c{2B3。 D.(20
167第二篇 线性代数
第四节 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换
1.初等变换
①交换矩阵的两行(列);
②用非零常数k乘以矩阵中某一行(列)的所有元素；
③把矩阵中某一行(列)的所有元素同乘以常数k后，再加到另一行(列)的对
应元素上.
楹注意：矩阵的初等变换与行列式的计算有本质区别.
①计算行列式是求值过程，前后用等号连接。
②变换前后的两个矩阵是不相等的，两者之间用箭号“→”连接变换前后的矩阵，
而且不需要将矩阵改号或提取公因数.
2.矩阵的等价
(1)概念
若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，即存在可逆矩阵
P和Q,使PAQ=B.
若矩阵A经过若干次初等变换变为B,则称A与B等价，记为A≌B
(2)矩阵A与B等价的充分必要条件
矩阵A与B同型且秩相同.
二、初等矩阵
1.定义
单位矩阵E经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵.
初等矩阵共三种：
①将单位矩阵E的i,j两行(列)互换得到的初等矩阵记为E,(k);
168第二章 矩阵
交换E的1,2两行，可得E
交换E的1,2两列，可得E
②将单位矩阵E的第1行(列)乘非零常数k得到的初等矩阵记为E,(k);
e)
e-
将E的第2行乘以2,可得L
将E的第2列乘以2,可得E
③以E,(k)左乘矩阵A,其结果相当于把A的第；行乘k加到第i行；
以E,(k)右乘矩阵A,其结果相当于把A的第i列乘k加到第；列，记为E,(k).
8
将E的第1行乘以5加到第2行，可得
2.初等矩阵的性质
①初等矩阵的转置还是初等矩阵。
EJ=E,E[(k)=E,(k),E/(k)=E,(k),
②E,|=-l≠0,|E,(k)|=k≠0,|E,(k)|=1≠0.
初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。
E'=E,,E'(k)=E(A).E'(A)=E,(-k)。
③若A是可逆矩阵，则A可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即A=PP?…P,其
中P,P?…,P是初等矩阵，
④初等矩阵“左行右列”的性质如下：
设A为任意一个矩阵，在A的左边乘一个初等方阵相当于对A作同类型的初等行
变换；
在A的右边乘一个初等方阵相当于对A作同类型的初等列变换；
初等方阵都是可逆矩阵，若干个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵。
169第二篇 线性代数
三、行阶梯形矩阵和行最简形矩阵
(1)行阶梯形矩阵
形如 的矩阵，称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画一条阶梯线，
线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；每一非零行的第一
个非零元素位于上一行第一个非零元的右侧.
(2)行最简形矩阵
形如 的阶梯形矩阵，称为行最简形矩阵，其特点是：它的非零行的
第一个非零元素全为1,并且这些非零元素所在的列的其余元素全为零
【例1】判断下列矩阵是否是阶梯形矩阵。
①
④
170第二章 矩阵
先化为行价赫形
【例2】试用矩阵的行初等变换将矩阵A
矩阵，再进一步化为行最简形矩阵
四、用初等行变换求逆矩阵
用初等行变换求逆矩阵的基本步骤：将方阵A和同阶的单位矩阵E写成一个长方
矩阵(A|E),对其施以矩阵的初等行变换，将竖线左边的A化为单位矩阵，竖线右边
的E则变成A的逆矩阵A1,即(A|E)→(E|A).
愠用初等变换求逆矩阵时，要始终作行变换，其间不能作任何列变换.
【总结】求逆矩阵的方法：
①二阶矩阵：若方阵A是非奇异矩阵，即|A|≠0,则A可逆，且A1=A
A|
②三阶及以上矩阵：初等变换法。
a.构造分块矩阵(A|E).
b.对矩阵(A|E)实施初等行变换，将(A|E)化为行最简形矩阵，
c.若A不能行等价于E,则矩阵A不可逆；若A能行等价于E,则A可逆，且E就
行等价于A1.
【例】判断下列矩阵是否可逆，若可逆，则求其逆矩阵。
171第二篇 线性代数
②强化练习
1.设n阶矩阵A与B等价，则必有( ).
A.当|A|=a(a≠0)时，|B|=a
B.当A|=a(a≠0)时，|B|=-a
C.当|A|≠0时，|B|=0
D.当|A|=0时，|B|=0
2.初等矩阵 左乘 矩阵A 相当于对A实施( ).
A.交换第2、3行 B.交换第1、2行
C.交换第2、3列 D.交换第1、2列
3.设A为n(n>2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得到矩阵B,A,
B°分别为A,B的伴随矩阵，则( ).
A.交换A的第1列与第2列得B°
^B.交换A的第1行与第2行得B°
C.交换A的第1列与第2列得-B
D.交换A的第1行与第2行得-B
4.设
,则必有( )
A.APP?=B B.AP?P=B
C.PP?A=B D.P?PA=B
5.设A是3阶方阵，将A的第一列与第二列交换得B,再把B的第二列加到第三
列得到C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q是( ).
172^
第二章 矩阵
^
6.设A.P均为3阶矩阵，且 若P=(a,a?,a?),Q=(a?+
a?,a?,a?),则QAQ=( ).
7.已知矩阵 矩阵B=PAQ,
则B1=( ).
e
第五节 矩阵的秩
1.定义
(1)k阶子式
在m×n矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n),位于这些行列交叉处的k2个
元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.
173第二篇 线性代数
(2)矩阵的秩
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)
全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作r(A).并
规定，零矩阵的秩等于0.
愠矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B,则r(A)=r(B)
【总结】求矩阵秩的一般方法：
用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，其非零行的行数即为矩阵的秩.
【611设
求r(A).
的秩。
2.常用结论
①若矩阵A≠0,则矩阵的秩r(A)>1.
②若矩阵A存在两行不成比例，则矩阵的秩r(A)>2.
③矩阵的行秩(行向量的秩)、矩阵的列秩(列向量的秩)、矩阵的秩三秩相等.
④对矩阵进行初等行(列)变换，不改变矩阵的秩.
174第二章 矩阵
⑤r(A)s,则( ).
A.向量组a,a?,…,a,必线性相关
B.向量组β,β?,…β,必线性相关
C.向量组a,α,…,a,必线性无关
D.向量组β,β?…β,必线性无关
3.设向量β可由向量组a,a,…a线性表示，则下列结论一定正确的是( ).
A.存在一组不全为零的常数k,k?,…,k,使得k,a?+k?a?+…+k,a=β
B.当且仅当实数k,k?,… k全为零，使得k,a?+k?a?+…+kma=β
C.存在唯一的一组常数k,,k?,…k,使得k,a?+k?a?+…+kam=β
D.a,a?…,a,β线性相关
则有( ).
A.当c=0时，a能由a,a?,a,线性表示，且表示式唯一
B.当c=0时，a能由a?,a?,a线性表示，且表示式不唯一
C.当c=1时，a能由a,a?,a?线性表示，且表示式唯一
D.当c=1时，a能由a,a?,a?线性表示，且表示式不唯一
185第二篇 线性代数
第四节 向量组的秩
1.极大线性无关组
设有向量组A,若其中的r个向量a,a?,…,a,满足：
①a,a?,…,a,线性无关；
②若A中任意一个另外的向量α,都使a,a?,…,a,a线性相关，则称
a,a,…,a,是向量组A的一个极大线性无关组，简称极大无关组
愠
极大线性无关组的概念理解：
①若向量组中的r个向量线性无关，且向量组中任何一个向量都可以由这r个向量
线性表示，则这r个向量称为该向量组的一个极大线性无关组；
②向量组的任何两个极大线性无关组是相互等价的；
③向量组的任何两个极大线性无关组所包含向量的个数是相等的；
④相互等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价；
⑤只由一个零向量构成的向量组不存在极大线性无关组，一个线性无关的向量组
的极大线性无关组就是它本身.
【例1】已知向量组a=(1,3,2)2,a?=(2,1,3)',a?=(3,2,12,a=(1,2,3)',
a,=(2,3,1T.
(1)该向量组的秩为( ).
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)写出3个极大线性无关组。
(3)选取一个极大线性无关组，试用该极大线性无关组表示其他向量.
186-
-
第三章 向量
则向量组α,a,a,,a
的一个极大线性无关组是()
A.a?,a B.a,a?,a,,a
C.a,a?,a, D.a,a?,a
2.向量组的秩与矩阵的秩
向量组a,a…,a的极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作
r(a,a?,…,am)
矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩.
愠①任一矩阵的行秩等于它的列秩；
②初等变换不改变矩阵的秩，
【总结】求向量组的秩的步骤：
①将向量组的各向量作为矩阵A的各列；
②对A作初等行变换化为阶梯形；
③该阶梯形矩阵非零行的行数即为向量组的秩.
【例1】求矩阵 的秩。
城全套保唯一衡信ijL8A53
187第二篇 线性代数
【例2】求向量组a?=(1,0,-1),a?=(-2,3,1),a=(2,1,-1),a?=(3,2,-4)
的秩.
①强化练习
1.向量组a?=(-1,-1,D,a?=(3,1,0)2,a?=(2,0,1的秩为( ).
A.0 B.1
C.2 D.3
2.给定向量组a=(1,1,0,1,0)2,a?=(0,1,1,0,1T,a,=(0,0,1,0,1)',a?=
(1,1,1,1,1),则其极大线性无关组为().
A.a,a? B.a,a?,a?
C.a,a,a4 D.a,a?,a?,a?
3.设n维向量组的秩r(a,a?,…,a?)=3,且满足a?+2a?-3a,=0,a?=2a,
则该向量组的一个极大线性无关组是( ).
A.a,a?,a? B.a,a?,a
C.az,a?,as D.a,a?,a,
4.设Ax=0的一个基础解系为，起：n,则下列各向量组仍为Ax=0的基础
解系的是().
小
A.min?-7"3-":/4-"
B.n+"?,I?+s,/s+//4+
C.n,"+I/?,"+"?+/s,"+?+7?+
D.h+/?,?+/s,3-4,/?-
188第三章 向量
第五节 向量空间
一、内积
1.概念
设有n维向量x=(x,x?,…,x),y=(yy?,…y),令(x,y)=x1y=
y1x=x,y?+x?V?+…+x,y。,称其为向量x与y的内积.特别地，若内积为零，则称
两个向量正交，
2.内积的运算性质(x,y,z为n维向量，k为常数)
①(x,y)=(y,x);
②(x+y,z)=(x,z)+(y,z);
③k(x,y)=(kx,y)=(x,ky);
④(x,x)=x1x=x2+x2+…+x2
3.向量的模
x|=√(x,x)=√x2+x2+…+x2叫做向量x的模，又叫做向量x的长度，
当|x|=1时，称x为单位向量。
岗
任一非零向量x都可单位化.事实上， 即是单位向量，
二、向量空间的基本概念
1.定义
设V是n维向量的集合，如果集合V非空，且对于向量的加法和数乘两种运算封闭，
即V中任意两个向量之和及实数乘V中向量所得到的向量仍属于V,则称V为向量空间，
2.基
V中的一个极大无关组就称为V的一个基
3.维数
向量空间V的一个基包含的向量的个数称为V的维数.
189第二篇 线性代数
4.坐标
设a,a?,…,a,是n维向量空间V的一个基，若V中任一向量α可唯一地表示为
α=x?a?+x?a?+…+x,a,则称(x,x?,…,x)为α在基a,az…,a,中的坐标.
三、正交向量组与正交矩阵
1.正交向量组
设a,a?,…,a。均为非零向量，若任意两个向量都正交，则称该向量组为正交向
量组.正交向量组线性无关.
2.标准(规范)正交向量组
(a,a)={0.7,
设a,a?,…,a,都是单位向量，且任意两个向量都正交，即( 其
中i,j=1,2,…,n,则称a,,a?,…,a,是标准(规范)正交向量组，
3.正交矩阵
若n阶矩阵A满足AA1=A'A=E,则称A为n阶正交矩阵，简称正交阵。
4.正交矩阵的性质
①若A为正交矩阵，则A?'也是正交矩阵；
②若A,B均为正交矩阵，则AB也是正交矩阵；
③若A是正交矩阵，则|A|=±1;
④A为正交矩阵的充要条件是A的任意两个行(列)向量都正交，且都是单位向量.
四、基变换与过渡矩阵
1.基变换公式
设a,a?,…,a,与β,β?…,β,都是n维向量空间V的基，且
则(β,β?,…β)=(a,a?,…a)C,其中C称为从基a,a?,…a。到基
190第三章 向量
β,β?,…,β的过渡矩阵。
2.坐标变换公式
设a∈V,若a在基a,a?,…a,中的坐标为(x,x?,…,x),α在基β,B?…,β
中的坐标为(y,y?,… y),(β,β?,…β)=(a,a?,…, a)C,则
di
其中，C是从基a,a?,…,a,到基β,β?,…β的过渡矩阵。
五、施密特(Schmidt)正交化
设a,a?,a,线性无关，取
β?=a,
B?=a()R,
B.=aR))
则β,β?,β,为两两正交的正交向量组.上述从线性无关向量组a,a?,a?导出正交向
量组ββ?β的过程称为施密特正交化过程。
① 强化练习
1.设A,B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是( ).
A.AB也是正交矩阵 B.A'B也是正交矩阵
C.A'B?'也是正交矩阵 D.A+B也是正交矩阵
A=-b).
2.设 且a>0,b>0.a2+b2=1,则A为( ).
A.正定矩阵 B.初等矩阵
C.正交矩阵 D.负定矩阵
3.设有R22的子空间W={A|A∈R22,A1=-A},则W的维数是( )
A.I B.2
191第二篇 线性代数
C.3 D.4
4.已知向量空间的基I:a=(1,1,1),a?=(1,0,-1)T,a,=(1,0,12,基Ⅱ:
R?=(1,2,1D,β?=(2,3,4),β?=(3,4,3)',则从基I到基Ⅱ的过渡矩阵P=( )
^B
c.
5.已知向量a在基a,=(1,0)',a?=(1,1)'中的坐标为(-2,1),则其在基β?=
(1,0),?=(0,2)'中的坐标为( ).
A.() B.(-.-)
c.(-) D.(1.-)
6.已知a?,a?,a?和β,β,β?是线性空间R3的两个基，且a?=P+B?-2β?,
a?=β-β?-β?,a?=B?+B?,,则向量y=6β?-β?-β?在基a,a?,a,下的坐标为( ).
A.-1,-2,3 B.1,-2,-3
C.1,2,3 D.-1,-2,-3
192-
第四章|线性方程组
第一节 齐次线性方程组
一、方程组的3种表示形式
1.一般形式
(1)
当b?=b?=…=b=0时，(1)式称为齐次线性方程组；当b,b?,…b不全为零
时，(1)式称为非齐次线性方程组.
2.矩阵形式
3.向量形式
x,a?+x?a?+…+x,a=b.
二、齐次线性方程组有非零解和只有零解的条件
设A是m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0.
①Ax=0有非零解的充要条件为r(A)m时仅有零解 B.当n>m时必有非零解
C.当m>n时仅有零解 D.当m>n时必有非零解
8.已知齐次线性方程组 有非零解，则( ).
A.λ=1 B.λ=2
C.λ=3 D.λ=4
则a+b=( ).
9.已知B为3阶非零矩阵，且AB=0.若
A.1 B.2
C.3 D.4
第二节 非齐次线性方程组
一、解的判定
①Axx=b有无穷多解?r(A)=r(A,b)0的个数为正惯性指数，d<0的个
数为负惯性指数，且正、负惯性指数唯一，
①强化练习
1二*()-(
的矩阵为( )
c
2.二次型f(x,X?,x?)=x?x?+xx?的秩为( ).
A.0 B.1
C.2 D.3
3.设二次型f(x,X?,x?)=ax2+2x2-2x}+2bx,x?(b>0)的矩阵A的特征值之和
为1,特征值之积为-12,则( ).
A.a=-1,b=2 B.a=1,b=2
208第六章 二次型
C.a=1,b=-2 D.a=-1,b=-2
4.已知二次型f(x,x?,x?)=ax2+3x2+3x}+2bx?x?可通过正交变换化成标准形
f=y2+2y2+5y2,则ab2=( ).
A.2 B.4
C.6 D.8
5.设A是3阶实对称矩阵，且A2+A=2E,|A=4,则二次型f=x1Ax的规范形
是( ).
A.y2+y2+y2 B.y2+y2-y3
C.y2-v2-y2 D.-y2-v2-
6.设A为4阶实对称矩阵，且A2+2A-3E=0,若r(A-E)=1,则二次型f=
x'Ax在正交变换下的规范形是( ).
A.y2+y2-y2-v2 B.y2-v2-y3-v2
C.y2+y2+y2+v2 D.y2+y2+y2-v2
第二节 化二次型为标准形
一、化二次型为标准形的方法
1.正交变换法
①把二次型表示为矩阵形式f=x1Ax;
②求出A的全部特征值λ,,…,2和对应的特征向量a,a2,…,a;
③将特征向量a,a?,…,a施密特正交化；
e=向
④利用 将所有正交化特征向量单位化；
⑤得到正交矩阵Q,所以Q'AQ=A;
⑥令x=Q,所以f=(Qy)'A(Qv)=y(Q'AQy=y'Ay即为所求，
2.配方法
①如果二次型中至少含有一个平方项，从其中任取一个，不妨设a≠0,则对所
209第二篇 线性代数
有含x,的项配方，使配方之后所剩的项中不含x?,再继续这样的配方，直到所有项都
包含在平方项中，
②如果二次型中不含平方项，则选定一个非零的混合项，不妨设a?≠0,令
x?=y?+y?,x?=y?-V?,x?=y,…,x=y,再重复(1)的过程。
二、合同矩阵
设A,B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C,使得B=C"AC,则称矩阵A与B
合同.
三、正定二次型和正定矩阵
1.正定二次型与正定矩阵的定义
若二次型f=x1Ax对任何x≠0都有f>0,则称/为正定二次型，正定二次型的
矩阵A称为正定矩阵。
2.判定二次型的正定性
①二次型f的矩阵A的特征值全大于零；
②二次型/的正惯性指数为n;
③存在可逆阵P,使PAP=E或A=PP;
④二次型/的矩阵A的各阶顺序主子式全大于零.
3.f=x1Ax正定的必要条件
①|A|>0;
②a>0(i=1,2,…,n).
①强化练习
1.与矩阵 既相似又合同的是( ).
2
^[
210第六章 二次型
P2』
2.矩阵
则A与B().
A.合同且相似 B.合同但不相似
C.不合同但相似 D.不合同也不相似
3.对于矩阵A,B,下列命题中不正确的是( ).
A.若A.B相似，则A.B等价
B.若A,B合同，则A,B等价
C.若A.B互为逆矩阵，则A.B等价
D.若A,B相似，则A.B合同
4.设A为满秩的实对称矩阵，A为A的伴随矩阵，则与x1Ax的正惯性指数及秩
均一定相同的是( ).
A.x'(A+λE)x B.x'(AA)x
C.x'A'x D.x'A"x
5.设二次型f(x,x?,x?)=a(x2+x?+x2)+2x?x?+2x?x?+2x?x的正、负惯性指数
分别为1,2,则( ).
A.a>1 B.a<-2
C.-29 B.-30;
②规范性：P(Ω2)=1;
③可列可加性：设事件A,A,…,A,…两两互斥，有P(4UA?U…UA,U…)=
P(A)+P(A?)+…+P(A,)+…,
则P(A)称为事件A的概率
二、概率的性质
①P()=0
②有限可加性：若事件A,A?,…,A,两两互斥，则P(AUA?U…UA)=P(A)+
P(A?)+…+P(A,).
③P(A)=1-P(A).
④有界性：对任意事件A,0P(B)=P(AB).
⑥加法公式：对于任意事件A,B,C,有
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),
P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).
◎强化练习
1.设A,B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是( ).
A.P(AUB)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P(AB)=P(BA) D.P(AB)=P(AB)
219第三篇 概率论与数理统计(仅数学1考)
2.若事件A,B及AUB的概率分别是0.4、0.3、0.6,则P(AB)=( ).
A.0.1 B.0.3
C.0.5 D.0.6
第四节 三大概型
一、古典概型
1.定义
样本空间2的元素只有有限个，且每个基本事件发生的可能性相同.
2.古典概型的计算
P(4)=N
对于古典概型，事件A的概率 ,其中N为事件A中包含的基本事件
数，N。为2中包含的基本事件总数.
二、几何概型
1.定义
试验的所有可能结果有无穷多个；试验的每一个可能出现的结果具有等可能性.
2.几何概型的计算
设样本空间可以表示成能度量的几何区域Ω(线段、平面区域、空间区域),
如果随机试验E是在区域2内任意取点，事件A对应的几何区域仍记为A,则
P(4)=m②)
,其中m(A),m(2)分别为事件A和Ω的几何度量，
三、n重伯努利概型
1.定义
如果随机试验E只有两种可能结果，且这两种结果在每次试验时发生的概率恒定，
则称此试验为伯努利概型；若将伯努利试验独立重复地进行n次，则称此试验为n重
伯努利概型.
220第一章 概率论的基本概念
2.n重伯努利概型的计算
设事件A在每次试验中发生的概率为p(00,称1 为在事件A发生的条件下
事件B发生的条件概率.
二、乘法公式
设P(A)>0,P(B)>0,则有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).
一般地，设A,A?,…,A为n个事件，且P(A?A…A)>0(n>2),则有
P(AA…A)=P(A)P(A?I?)P(A?IAA)…P(A|AA?…A)
三、全概率公式
若A,A?,…,A为一完备事件组，即事件两两互斥，其和A+A?+…+A=2,
且P(A)>0,i=1,2,…, n,则对任意事件B,有
P(B)=ZP(AB)=ZP(4)P(B|A).
四、贝叶斯公式
若A,A?,…,A为一完备事件组，且P(A)>0,i=1,2,…,n,P(B)>0,则有
,,2,…,n
a)PeA)
① 强化练习
甲、乙两人独立地对同一个目标进行射击，其命中率分别为0.6和0.5,现已知
目标被命中，则它是被甲命中的概率为( ).
B.5
A.0.6
D.6
C.0.75
222第一章 概率论的基本概念
第六节 事件的独立性
一、两个事件的独立性
1.定义
设A,B是两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立。
2.独立的充要条件
事件A与B相互独立的充要条件是P(B|A)=P(B)或P(B|A)=P(B|A)
3.性质
①概率为1的事件与任意随机事件A相互独立；
②概率为0的事件与任意随机事件A相互独立；
③若随机事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立
二、三个事件的独立性
1.定义
对于三个事件A,B,C,若满足下列四个等式：
则称事件A,B,C相互独立，
2.性质
①若事件A,B,C相互独立，则从A与A、B与B、C与C每对事件中任选一个事
件得到的三个事件仍然相互独立；
②若事件A,B,C相互独立，则A与BUC、A与B-C、A与BC也相互独立.
223第三篇 概率论与数理统计(仅数学1考)
三、独立与互斥的关系
独立 互斥(互不相容)
两个事件各自发生与否与另一个事件的发生与
两个事件不能同时发生
否没有关系
两次试验中的两个事件 一次试验中的两个事件
区别
P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=0
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(AUB)=P(A)+P(B)
联系 独立不互斥，互斥不独立
②强化练习
1.实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率
P=—;i=1,
为1 2,3),以X表示3个零件中合格品的个数，则P{X=2}=( ).
A2 B.
c.2
D.}
2.设A,B为随机事件，00,P(A|B)=1,则必有( ).
A.P(AUB)>P(A) B.P(AUB)>P(B)
C.P(AUB)=P(A) D.P(AUB)=P(B)
4.从数1,2,3,4中任取1个数，记为X,再从1,2,…,X中任取1个数，记
为Y,则P{Y=2}=( ).
A.4 B.45
c.
D.
224第一章 概率论的基本概念
5.已知P(4)=4P(B|4)=3,P(a|B)=
,则P(AB)=( ).
A. B.4
c.
D
P(AB)=P(C)=3
6.设A,B,C是随机事件，A与C互不相容，且 ,则
P(AB|C)=( ).
A2 B4
D.
c.号
7.设两两相互独立的三个事件A,B,C满足条件ABC=,P(A)=P(B)=
P(C<÷,且已知P(AUBUC)=6,则P(A)=( ).
B.4
A.4
c.4或 D.}
225第二章|随机变量及其分布
第一节 随机变量与分布函数
一、随机变量的分布函数
1.定义
设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}(-0a}=1-F(a);
③P{X0
若离散型随机变量X的分布律为
为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(2).
4.几何分布
若离散型随机变量X的分布律为P{X=k}=(l-p)?1p,k=1,2,…,其中0<
p<1,则称X服从参数为p的几何分布，记为X~G(p).
分布 公式 条件
0-1分布 P{X=}=p,P{X=0}=q p+q=1
二项分布
p+q=1
P=P{X=k}=Cp^q"*,k=0,1,2,…, n
X~B(n,p)
泊松分布
p=P(X=k)=,k=0,12,…
λ>0
X~P(A)
第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量及其概率密度
1.定义
如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在一个非负可积函数f(x),使得对于任
意实数x,有
228第二章 随机变量及其分布
F(x)=P{X≤x}=f(1)dr
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度，
2.概率密度函数f(x)的性质
①非负性：f(x)≥0(-∞00;
①p>0,k=1,2,…
基本
②正则性：
③F(x)右连续；
性质 ②=1
f(x)dx=1;
④lim F(x)=0;
③F'(x)=f(x)
lim F(x)=1
①P{X=a}=0;
②P{a0为常数，则
称连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布，记为X~E(2).
ra-{0.0的指数分布的分布函数为
3.正态分布
rx)-z0)是两个常数，则称连续型随机变量X服从参数为μ,σ的正态分布，记为
X~N(μ,o2).
230第二章 随机变量及其分布
①标准正态分布：当正态分布中μ=0,σ=1时，为标准正态分布，其概率密度函
p(x)=e,-o0时，P{x|0,则P{X<μ+o2}( ).
A.随μ的增大而增大，随σ的增大而减小
B.随μ的增大而减小，随σ的增大而增大
C.随μ的增大而增大，与σ无关
D.与μ无关，随σ的增大而增大
6.设X~N(μ,o2),φ(x)和Φ(x)分别表示标准正态分布的密度函数和分布函数，
则下列结论中不正确的是( ).
A.P(X-M>3o)=1-2Φ(3) B.P(μ-σ0,b>0)为概率密度，则a,b应满足( ).
A.2a+3b=4 B.3a+2b=4
C.a+b=1 D.a+b=2
232第二章 随机变量及其分布
第四节 随机变量的函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布
若X是一个离散型随机变量，则Y=g(X)也是一个离散型随机变量，且其分布律
可直接根据X的分布律得到.
二、连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
若X是一个连续型随机变量，X的概率密度函数为fx(x)(-0x,Y>y}=( ).
A.1-F(x,y)
B.1-Fx(x)-F,(y)
C.F(x,y)-Fx(x)-F(y)+1
D.F(x,y)+Fx(x)-Fy(y)-1
3.设随机变量X与Y相互独立，且P{X=1}=P{X=-1}=,P{Y=1}=
PIY=-1)=÷
,则P{X=Y}=( ).
B.4
A.0
D.
C.1
237第三篇 概率论与数理统计(仅数学1考)
第三节 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量的联合概率密度
如果存在二元非负可积函数f(x,y),使得二维随机变量(X,Y)的分布函数
F(x,y)对于任意x,y有F(x,y)=f(u,v)dvdu,则称(X,Y)为二维连续型随
机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y
的联合概率密度，
二、联合概率密度的性质
1.非负性：f(x,y)≥0.
2.规范性：f(x, y)dkdy=1.
三、二维连续型随机变量的边缘概率密度
1.关于X的边缘概率密度为fx(x)=?f(x,y)dy.
2.关于Y的边缘概率密度为ff(V)=?f(x,y)dx.
四、二维连续型随机变量的条件分布
A(l)=0
1.设f,(y)>0,则在Y=y条件下X的条件概率密度为
nx(lx)=)
2.设fx(x)>0,则在X=x条件下Y的条件概率密度为
五、两个常见的二维连续型随机变量的分布
1.二维均匀-分布 c
设D为平面上的一个有界区域，其面积为S>0.如果二维随机变量(X,Y)的
联合概率密度为 则称(X,Y)在D上服从均匀分布，记为
(X,Y)~U(D).
238第三章 多维随机变量及其分布
2.二维正态分布
rxcmsy
如果二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
则称(X,Y)服从参数为从，A?,o2,o2,p的二维正态分布，记为(X,r)~N(H,?,
o2,σ2,p),其中，X~N(u,o2),Y~N(H?,o?),且p为X与Y的相关系数。
【注】X与Y相互独立的充要条件是p=0.
六、二维随机变量的独立性
1.定义
设F(x,y)及F(x),F(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布
函数，若对于任意的实数x,y,有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y0,y>0.
3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则随
机变量Z=X+2Y的分布函数为( ).
A.Fe-i-c-°,2>0
B.Fa)-{i+2>0
242第三章 多维随机变量及其分布
C.Fa-1-e°>0
D.F(a-{e-220
4.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=7)=3(i=-1,0,D),Y的概
ro-{0.共他< p{z<'x=0}-()
率密度为 记Z=X+Y,则
B.
A}
c
D
5.设二维随机变量(X.Y)的联合概率密度函数为
r》-{0共他，sk2Y}=( ).
A.4 B.4
c? D.
x~(0.30.7),
,而Y的概率密度
6.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为
为f(y),则随机变量Z=X+Y的概率密度为( ).
A.0.3f(z-1)+0.7f(z-2) B.0.3f(z+1)+0.7f(z-2)
C.0.3f(z-1)+0.7f(2z) D.0.3f(z-1)+0.7f(z+2)
243第四章|随机变量的数字特征
第一节 数学期望与方差
一、一维随机变量的数学期望
1.一维离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量X的分布律为P{X=x}=p,k=1,2,….若级数 绝对
EX=2xD
收敛，则称该级数的和为X的数学期望，简称期望，记为E(X),即
2.一维连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分[xf(x)dx绝对收敛，则称该积
分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=[xf(x)dx.
二、一维随机变量函数的数学期望
①设X为离散型随机变量，其分布律为P{X=x}=P,k=1,2,…,且Y=g(X),
∑g(x)p
若级数 绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为
E(Y)=E[g(x]=∑8(x,)p·
8(x)f(x)dx
②设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),且Y=g(X),若积分
绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为
E(Y)=E[g(X)]=g(x)f(xxdx.
244第四章 随机变量的数字特征
三、二维随机变量的数学期望
1.二维离散型随机变量的数学期望
若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为p=P{X=x,Y=
v,}(i. j=1,2,…),则
E(X)=2xp-22xp,ECO)=2vn-2vPe
2.二维连续型随机变量的数学期望
若(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y),则
E(X)=Jx(x)dx=Jy(x,y)dydx,
E(Y)=?v,(V)dy=JV(x,y)dxdy.
四、二维随机变量函数的数学期望
1.二维离散型随机变量函数的数学期望
如果二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为p,=P{X=x,Y=y,,i,j=
Z∑8x,y)P,
1,2,…,且Z=g(X,Y),若级数】
,绝对收敛，则Z的数学期望为
E(Z)=EIg(X,rj=Z2g(x,y)P,
2.二维连续型随机变量函数的数学期望
如果二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),且Z=g(X,Y),
若积分8(x,y)f(x, y)dxdy绝对收敛，则Z的数学期望为
E(Z)=E[g(X,r]=8(x, y)f(x,y)dxdy.
五、方差
1.定义
设X为一个随机变量，若[X-E(X)}2的数学期望存在，则称E{[X-E(X)}为随
机变量X的方差，记作D(X)或Var(X),即D(X)=E[X-E(X)}2}.称√D(X)为X的
标准差(或均方差),记作σx
245第三篇 概率论与数理统计(仅数学1考)
2.方差的计算公式
D(X)=E(X2)-[E(X)}2
【总结】
离散型 连续性
期望 E(X)=∑xp E(X)=?xf(xdr
E(Y)=Eg(x)=28(x)p. E(Y)=E[g(X)]=?g(x)f(x)dx
函数的期望
方差
Dx)=2Lx-E(x)}p, D(x)=[[x-ECx]r(xdx
D(X)=E(x2)-[E(X)}
①强化练习
1.设随机变量X服从标准正态分布，则E(Xe2×)=( ).
A.2e2 B.e2
C.2e D.-2e2
2.设随机变量X的分布函数为Fx)=0.3Du)+0.701).
,其中Φ(x)为标准
正态分布的分布函数，则E(X)=( ).
A.0 B.0.3
C.0.7 D.1
第二节 数学期望与方差的性质
一、数学期望的性质
①常数的数学期望等于这个常数，即E(C)=C,其中C为常数.
②设X是一个随机变量，当a,b为常数时，有E(aX+b)=aE(X)+b.
③设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).
④若随机变量X与Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y).
246第四章 随机变量的数字特征
二、方差的性质
①常数的方差等于零，即D(C)=0,其中C为常数，
②设X是随机变量，当a,b为常数时，有D(aX+b)=a2D(X).
③设X,Y是两个随机变量，则有D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y).
④若随机变量X与Y相互独立，则有D(X±Y)=D(X)+DY).
三、常见随机变量的数学期望与方差
1.X服从参数为p的两点分布
E(X)=p,D(X)=p(l-p).
2.X~B(n,p)
E(X)=np,D(X)=np(l-p)
3.X~P(A)
E(X)=λ,D(X)=λ.
4.X~G(p)
E(x)=1.Dx)=-
5.X~U(a,b)
E(X)=ab,D(x)=b-2
6.X~E(λ)
E(X)=.Dx)=六
7.X~N(u,o2)
E(X)=μ,D(X)=σ2
247第三篇 概率论与数理统计(仅数学1考)
随机变量 分布 分布律或概率密度 期望 方差
X服从参数为p的 P{X=0}=q,P{X=1}=p;
P pq
0-1分布 00 λ λ
X~P(a)
a-b2
均匀分布 -他
X~U(a,b)
指数分布 rx)-{06x<(a>0) 12 正
连续型
X~E(λ)
正态分布 r)-0>0
μ o2
X~N(μo2)
②强化练习
1.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.7,D(X)=1.89,则二项分布的参
数n,p的值分别为( ).
A.n=9,p=0.7 B.n=9,p=0.3
C.n=6,p=0.45 D.n=6.p=0.55
2.设随机变量X,Y相互独立，且X~N(0,4),Y~B|9, ,则D(2X-3Y)=
( ).
A.8 B.16
C.28 D.34
3.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,2),Y~N(1,4),则D(XY)=( ).
A.6 B.8
C.14 D.15
248一第四章 随机变量的数字特征
4.设随机变量X,(i=1,2,…,32)独立同分布，且其概率密度函数均为
fa)={2.共他，记X=2x,R=P{X<16),P=P{X>12},则().
A.P=P B.P>P
C.P
0,D(Y)>0,则称，
xY,n
为X与Y的相关系数，
2.相关系数的性质
①|px|≤1;
②px|=1的充要条件是存在常数a(a≠0)与b,使得P{Y=aX+b}=1,其中当
Pr=1时，有a>0,当Pxy=-1时，有a<0;
③若Pxγ=0,则称X与Y不相关.
250第四章 随机变量的数字特征
三、常用结论
①若X与Y相互独立，则X与Y不相关，反之不一定成立，
②若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充要条件是p=0(p为(X.
Y)的概率密度的参数).
③若X与Y都服从0—1分布，则X与Y相互独立的充要条件是X与Y不相关.
④若D(X)与D(Y)都存在，则X与Y不相关 Cov(X,Y)=0?E(XY)=
E(X)E(Y)?D(X+Y)=D(X)+DY),
①强化练习
1.随机变量X,Y的相关系数为0是它们相互独立的( ).
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
2.对于任意两个随机变量X、Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则( ).
A.D(XY)=D(X)D(Y) B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C.X,Y相互独立 D.X,Y不相互5独立
3.设随机变量X与Y不相关，它们的概率分布分别为
则随机变量X与Y( ).
A.相互不独立 B.相互独立
C.不一定相互独立 D.没有关系
4.设随机变量X与Y相互独立，且方差均为正数，则( ).
A.X与X+Y一定相关 B.X与X+Y一定不相关
C.X与XY一定相关 D.X与XY一定不相关
5.设随机变量X,Y不相关，且E(X)=2,E(Y)=1,D(X)=3,则E[X(X+
Y-2)]=( ).
A.-3 B.3
C.-5 D.5
251第三篇 概率论与数理统计(仅数学1考)
6.设二维随机变量(X,Y)~N(μμ o2,σ2,0),则E(XY2)=( )
A.μ3+μo2 B.μ3-μa2
C.μ2+μo2 D.μ2-μo2
7.设随机变量X~N(0,D),Y~N(I,4),且相关系数Pxy=1,则( ).
A.P{Y=-2X-1}=1 B.P{Y=2X-1}=1
C.P{Y=-2X+1}=1 D.P{Y=2X+1}=1
P{X=0)=3
8.设随机变量X,Y的概率分布相同，X的概率分布为
Pn=
P{X=13=3,
,且X与Y的相关系数， ,则P{X+Y≤1}=( ).
A.
B.}
c.2 D.4
r=9 .z设x随,机变量x,X?,…,X,(n>1)独立同分布，且其方差均为o2>0,令
,则( ).
A.Cov(xpr)=°
B.Cov(X,Y)=o2
c.D(X+r)="±2。 D.D(X?-Y)="±1。2
10.已知随机变量X,Y相互独立，且P{X=1}=P{X=-1)=
Y服从参数为入
的泊松分布，Z=XY,则Cov(X,Z)=( ).
A.A2 B.-λ2
C.λ D.-λ
11.随机变量X与Y的方差相等且不为零，则X与Y的相关系数Pγ=1的充分必
要条件是( ).
A.Cov(X+Y,x)=0 B.Cov(X+Y,Y)=0
C.Cov(X+Y,X-Y)=0 D.Cov(X-Y,X)=0
252第五章|大数定律和中心极限定理
第一节 大数定律
一、切比雪夫不等式
设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)都存在，则对于任意的c>0,有
P{X-E(X)>}
