文档内容
目录
第1讲 整数计算综合.........................................................................................................................................1
第2讲 和差倍问题（三）.........................................................................................................................................9
内容概述..........................................................................................................................................................................9
典型问题..........................................................................................................................................................................9
第3讲还原问题与年龄问题....................................................................................................................................17
内容概述........................................................................................................................................................................17
典型问题........................................................................................................................................................................17
第4讲 数阵图初步.......................................................................................................................................24
内容概述........................................................................................................................................................................24
典型问题........................................................................................................................................................................24
第5讲 竖式问题.......................................................................................................................................32
内容概述........................................................................................................................................................................32
典型问题........................................................................................................................................................................32
第6讲 行程问题一.......................................................................................................................................40
内容概述........................................................................................................................................................................40
典型问题........................................................................................................................................................................40
(1) 甲从A走到B需要多长时间？............................................................................................................................41
(2) 两个人从出发到相遇需要多长时间？................................................................................................................41
第7讲 直线形计算一.......................................................................................................................................48
内容概述........................................................................................................................................................................48
典型问题........................................................................................................................................................................48
第8讲 抽屉原理一.......................................................................................................................................57
内容概述........................................................................................................................................................................57
典型问题........................................................................................................................................................................58
第9讲 多位数与小数.......................................................................................................................................65
第10 讲 平均数问题.......................................................................................................................................72
内容概述........................................................................................................................................................................72
典型问题........................................................................................................................................................................72
第11讲 几何图形剪拼.......................................................................................................................................80
内容概述........................................................................................................................................................................80
典型问题........................................................................................................................................................................80
第12讲 复杂竖式.......................................................................................................................................89
内容概述........................................................................................................................................................................89
典型问题........................................................................................................................................................................89
第13讲 横式问题.......................................................................................................................................98
内容概述........................................................................................................................................................................98
典型问题........................................................................................................................................................................98
第14讲 行程问题二.....................................................................................................................................106
内容概述......................................................................................................................................................................106
典型例题......................................................................................................................................................................106
第15讲加法原理与乘法原理................................................................................................................................113内容概述......................................................................................................................................................................113
典型例题......................................................................................................................................................................113
第16 讲 统筹与对策.....................................................................................................................................122
内容概述......................................................................................................................................................................122
典型问题......................................................................................................................................................................122
第17讲 数列与数表.....................................................................................................................................132
内容概述......................................................................................................................................................................132
典型问题......................................................................................................................................................................132
第18讲 行程问题三.....................................................................................................................................142
内容概述......................................................................................................................................................................142
典型问题......................................................................................................................................................................142
第19讲 格点与割补.....................................................................................................................................149
内容概述......................................................................................................................................................................149
典型问题......................................................................................................................................................................149
第20讲幻方与数阵图扩展....................................................................................................................................158
内容概述......................................................................................................................................................................158
典型问题......................................................................................................................................................................158
第21讲 排列组合.....................................................................................................................................167
内容概述......................................................................................................................................................................167
典型问题......................................................................................................................................................................167
第22讲 计数综合一.....................................................................................................................................174
内容概述......................................................................................................................................................................174
典型问题......................................................................................................................................................................174
第23讲 最值问题一.....................................................................................................................................182
第24讲 逻辑推理一.....................................................................................................................................190
内容概述......................................................................................................................................................................190
典型问题......................................................................................................................................................................190
参考答案...................................................................................................................................................................201
第一讲 整数计算综合............................................................................................................................................201
第二讲 和差倍问题三............................................................................................................................................202
提高篇..........................................................................................................................................................................202
拓展篇..........................................................................................................................................................................202
超越篇..........................................................................................................................................................................202
第三讲 还原与年龄问题........................................................................................................................................203
提高篇..........................................................................................................................................................................203
拓展篇..........................................................................................................................................................................203
超越篇..........................................................................................................................................................................203
第四讲 数阵图初步................................................................................................................................................204
提高篇..........................................................................................................................................................................204
拓展篇..........................................................................................................................................................................206
超越篇..........................................................................................................................................................................207
第五讲 竖式问题....................................................................................................................................................209
提高篇..........................................................................................................................................................................209
拓展篇..........................................................................................................................................................................209
1. 巧、学、英、语分别代表1、4、6、5；奥、林、匹、克................................................................................209
2.A=4，B=9，C=8......................................................................................................................................................209超越篇..........................................................................................................................................................................210
第六讲 行程问题一................................................................................................................................................210
第七讲 直线形计算一............................................................................................................................................211
提高篇..........................................................................................................................................................................211
拓展篇..........................................................................................................................................................................211
超越篇..........................................................................................................................................................................212
第八讲 抽屉原理一................................................................................................................................................212
第九讲 多位数与小数............................................................................................................................................213
第十讲 平均数问题................................................................................................................................................214
第十一讲 几何图形剪拼........................................................................................................................................214
第十二讲 复杂竖式................................................................................................................................................222
第十三讲 模式问题................................................................................................................................................223
第十四讲 行程问题二............................................................................................................................................225
第十五讲 加法原理与乘法原理............................................................................................................................225
提高篇..........................................................................................................................................................................225
拓展篇..........................................................................................................................................................................226
超越篇..........................................................................................................................................................................226
第十六讲 统筹与对策............................................................................................................................................226
提高篇..........................................................................................................................................................................226
拓展篇..........................................................................................................................................................................227
超越篇..........................................................................................................................................................................228
第十七讲 数列与数表............................................................................................................................................228
第十八讲 行程问题三............................................................................................................................................229
第十九讲 格点与割补............................................................................................................................................231
第二十讲 幻方与数阵图扩展................................................................................................................................232
提高篇..........................................................................................................................................................................232
拓展篇..........................................................................................................................................................................233
超越篇..........................................................................................................................................................................236
第二十一讲 排列组合............................................................................................................................................238
第二十二讲 计数综合一........................................................................................................................................239
第二十三讲 最值问题一........................................................................................................................................240
提高篇..........................................................................................................................................................................240
拓展篇..........................................................................................................................................................................240
超越篇..........................................................................................................................................................................241
第二十四讲 逻辑推理一........................................................................................................................................241第 1 讲 整数计算综合
内容概述
熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种
数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题
提高篇
1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×125
2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.
3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.
5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.
16. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).
7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.
8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成
的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”
是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”
在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？
8. 规定运算“”为：ab= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)810; (2) 108.
210. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：
(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)
拓展篇
1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121).
2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.
3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.
34. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.
5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.
6. 在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和. A与B
的差是多少？
7. 求图1-1中所有数的和.
48. 已知平方差公式：a2 b2 (ab)(ab)，计算：
202 192 182 172 162 152 22 12
9. 计算：951×949－52×48.
10. 规定运算“”为：ab=a+2b－2, 计算：(1) (87) 6; (2) 8(76)
511. 规定运算“”为：ab=(a+1) ×(b－2). 如果6 (5)=91, 那么方格内应该填入什么数？
12. 规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如：35=5，
35=3请计算：1234567…100.（运算的顺序是从左至右）
超越篇
1. 观察下面算式的规律：
2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最
后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？
62. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有
这样的乘积全部加起来，总和是多少？
3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－……+4950.
4. 已知平方差公式：a2 b2 (ab)(ab), 计算：
1002 992 982 972 962 952 942 932 42 32 22 12
75. ab表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：43=4+5+6=15, 54=5+6+7+8=26, 请
计算：(1) 415 (2) 在算式（ 7）11=1056中，方框里的数应该是多少？
6. 定义两种运算：ab=a－b+1,ab=a×b+1, 用“”、“”和括号填入下面的式子，使得等式成立
（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=2
7.现定义四种操作的规则如下：
①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1， 然后除以2. 例如从
16可以得到8，从27可以得到14.
②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从
408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）
③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数
字“8”，就将所有“8”移到最右边。例如从98707可以得到77908，从802可以得到28. （不含数字7
和8的自然数不能进行“七上八下”操作）
8④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成0. 例如从111可以得到110，从905可以得到900.(个位
是0的自然数不能进行“十全十美”操作)
(1) 请写出对4176依次进行③①③②④操作后的结果：
(2) 从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0？
(3) 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是
8. 求有多少个这样的三位数.
图1-2是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？
第 2 讲 和差倍问题（三）
内容概述
数量关系复杂，需要深入分析的和差倍问题；由于数量大小改变，而产生倍数关系变化的问题；需要利用
比较或分组的方法进行分析的问题。
典型问题
9提高篇
1. 有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的3倍. 将它们插入水塘中，插入水中的长度都是40
厘米，而露出水面部分的总长为160厘米. 请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？
2. 李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆.如果从甲堆中拿出15个放到乙堆中，则两
堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍. 问：甲堆原
来有零件多少个？李师傅这一天共生产零件多少个？
3. 一个六边形广场的边界上插有336面红旗和黄旗. 六边形的每个顶点处都插有红旗，每条边上的红旗
数目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗. 已知每条边上黄旗比红旗的2倍还多12面，那么
每两面红旗间插有几面共旗？
4. 爸爸和冬冬一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的3倍. 冬冬觉得自己搬的砖头太少了，又搬了24块
砖头，于是爸爸所搬的砖头数是科科的2倍. 请问：最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？
105. 四年级三班买来单价为5角的练习本若干. 如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得15本；如果
将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本. 请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到
多少本？此时每人应付多少钱？
6. 有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7
人. 如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？
7. 有三个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克. 问：其中最轻的箱
子重多少千克？
8. 小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅. 她们看中了两款，这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅
子.其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样. 第一款桌椅中有6把椅子，总价为700元；第二款桌
椅中有9把椅子，总价为970元. 请问：一张桌子的价钱是多少元？
9. 小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了. 小白兔当天吃了4
11个胡萝卜，小黑兔则一口气吃了12个胡萝卜. 小白免往后每天都吃4个胡萝卜；小黑兔因为第一天吃得
太多，往后每天只吃2个胡萝卜，最后它俩同时把自己的胡萝卜吃完. 小白兔与小黑兔一共采摘了多少个
胡萝卜？
10. 一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售. 福特汽车的数量是丰田汽车的3倍.如果每
周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车. 请问：原有丰田汽车和
福特汽车各多少辆？
拓展篇
1. 李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件的2倍，每件产品需要5个甲零件
和2个乙零件，生产30件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等，请问：李师傅还可以生产几件产品？
2. 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花. 其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的4倍，也是蓝花盆数
的3倍，如果蓝花比红花多20盆，请问：学校门口一共有多少盆花？
3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生. 如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，
则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20 粒，试问：现在将这些花生平均分给三群
12猴子，每只可得多少粒？
4. 养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的3倍. 一天有10只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数
是是东院的2倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？
5. 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头，父子二人发现，如果爸爸帮冬
冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬
冬的2倍. 请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？
6. 甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人. 问：甲班和丁班共多少人？
7. 小悦、冬冬、阿奇三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出60千克与90千克之间的重量，
因此他们三人只能两个两个称重. 如果小悦和冬冬一起称，总重量是73千克；冬冬和阿奇一起称，总重
量是80千克；阿奇和小悦一起称，总重量是75千克，三人的体重分别是多少千克？
138. 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个数的总人数是131人；不算丁班，其余三个班
的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人. 问：这四个班共有多少人？
9. 某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将给他一套工作服和70玩钱，但由于学校另
有安排，他工作了20天后便中止了合同，工厂只给他一套工作服和20元钱. 请问：这套工作服值多少元？
10. 小悦和冬冬看同一本小说，小悦打算第一天看50页，接着每天看15页；冬冬则打算每天看22页，
最后两人正好在同一天看完，这本小说一共多少页？
11. 某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍，该食堂每天消耗面粉20袋，大米60袋，几天后面粉全部用
完，大米还剩下200袋，这个食堂买来大米多少袋？
1412. 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗，售货员将这些糖
包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，最后巧克力糖全部装完，水里糖还剩下170
颗. 请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？
超越篇
1. 在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的. 前20道题中，小时做对了15道；余下的题中，他做对
的题仅是做错的一半，最后一共得了50分. 如果满分是100分，那么小明做对了多少道题？
2. 有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是多少？
3. 小伟和小杰两人玩游戏牌，第一轮过后，小伟赢了小杰13张牌，这时小伟的牌数是小杰的2倍少10
张；由于得意忘形，小伟在第二、三轮惨败，输了29张牌，结果小杰的牌数反而是小伟的7倍少10张. 求
小伟和小杰原来各有多少张牌？
154. 费叔叔买了一台电视机，购买时可以按以下两种方式付款：第一个月付款750元，以后每月付150元；
或前一半时间每月付300元，后一半时间每月付100元. 两种付款方式的付款总数及时间都相同.问：这
台电视机的价格是多少元？
5. 甲、乙、丙三人乘坐飞机，三人所带行李的重量都超过了免费重量，超出部分必须另付行李费. 甲付
20元，乙付40元，丙付60元. 三人的行李共重150千克，如果是一个人带这些行李出行，就需要支付
240元的超重费用. 请问：每人可以免费携带多少千克的行李？
6. 小楠的妈妈买回了若干个桔子和梨，其中桔子的个数是梨的3倍. 如果全家每天吃5个桔子和2个梨，
那么一星期后，桔子的个数是梨的4倍少5个. 原来桔子和梨分别有多少个？
7. 小真、小想和小看在讨论买《变形金刚》电影票的事，小真现有的钱数是小想的3倍，是小看的2倍.
小真说：“如果小想给我15元钱，我就可以买3张电影票
小想说：“如果我给小真15元钱，剩下的钱恰好能买3个一样的汉堡。”
小看说：“如果妈妈再给我35元钱，我就刚好能买2张电影票和2个汉堡
请问：小真原有多少元钱？他们要买的电影票每张多少元？一个汉堡多少元？
8. 现有三堆糖果，其中第一堆的块数比第二堆多，第二堆的块数比第三堆多. 如果从每堆糖果中各取出
一块，那么剩下的糖果中，第一堆的块数是第二堆的3倍；如果从每堆糖果中各取出同样多块，使得第一
16堆还剩下32块，则第二堆剩下的糖果数是第三堆的2倍. 问：原来三堆糖果总共最多有多少块？
第 3 讲 还原问题与年龄问题
内容概述
学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的
分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。
典型问题
提高篇
1. 某数加上6，再乘以6， 再减去6，再除以6， 其结果等于6，则这个数是多少？
172. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店
就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦
里的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？
3. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到
人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里
的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这
人身上有多少元？箱子里有多少元？
4. 三棵树上共有48只鸟. 后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第
三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树
上的鸟一样多. 问：一开始三棵树上各有几只鸟？
5. 1997年张伯伯45岁，小方9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍？
6. 今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍. 今年小明多少岁？
187. 今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍. 问：现在父子的年龄各是多少？
8. 兄弟两个年龄之和是32岁. 当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.求哥哥
现在的年龄.
9. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了.”
求老师和学生现在的年龄.
10. 今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多6岁, 多少年后，费叔叔的年龄将比他
们三人年龄的总和少6岁？
拓展篇
1. 有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11.这个数原
来是多少？
192. 果园里有一棵桃树. 有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了
三个桃子并摘下了剩下桃子的一半. 这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？
3. 地上有26地砖，兄弟二人争着去挑. 弟弟抢在前面，刚挑起一些砖， 哥哥赶到了，挑了剩下的砖. 哥
哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半. 弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半. 哥哥不服，弟弟只好再
给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，请问：最初弟弟准备挑多少块砖？
4. 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，
经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是多少？
5. 甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了2
倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了2倍，结果丙的钱最多；最
后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数和增加2倍，结果三人的钱数一样多，如果他们三人共有81
元，那么三人原来分别有多少钱？
206. 今年张明15岁，他父亲45岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年龄的2倍？多少年前，父亲年龄
是张明年龄的4倍？
7.12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍. 请问：多少年后父亲
年龄是女儿年龄的2倍？
8. 去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍. 求哥哥和弟弟现在的年龄。
9. 今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍, 当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好
等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？
10. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚5岁；当你像我这么大时，我已经50岁了。
“求老师和学生现在的年龄。
2111. 有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；9年后，老师年龄为甲、乙两
学生年龄之和；又过了3年，老师年龄为甲、丙学生年龄之和；再过3年，老师年龄为乙、丙两学生年龄
之和，求现在各人的年龄。
12. 1年前，父母的年龄和兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍，已
知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年多少岁？
超越篇
1. 口渴的三个和尚分别捧着一个水罐，最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝，于是，老和尚
把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；
然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚. 就这样，三人轮流谦让了一阵，结果太阳落山
时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐则装着20升水. 请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？
2. 甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；
经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
223. 哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿
园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍，求哥
哥获得博士学位的年龄是多少岁。
4. 小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才5岁呢.”小明对爷爷说：“我
的岁数是您现在的岁数时，我爸都89岁了.”请问：小明的爸爸今年多少岁？
5.1996年时，父母的年龄之和是78岁，兄弟二人的年龄之和是17岁；4年后，父亲年龄是弟弟年龄的4
倍，母亲年龄是哥哥年龄的3倍，试问：当父亲年龄是哥哥年龄的3倍时是公元多少年？
6. 全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁，4年前全家人的年龄之和是58岁，而现在是73
岁，问：现在各人的年龄分别是多少岁？
7. 老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，
如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159. 如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有
写过的数都是整数.请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
238. ；甲、乙、丙三人现在年龄的和是113岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，请问：乙现
在多少岁？
第 4 讲 数阵图初步
内容概述
各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况
下还需要考虑对称性。
典型问题
提高篇
1. 在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.
2. 请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.
243. 如图4-3所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。
4. 把1至8分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。
5. 把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。
6. 在如图4-6所示的3×3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的
三个数字之和都相等。
7. 把1至6分别填入图4-7的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.
258. 把1至6分别填入图4-8的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这个和最大是
多少？最小是多少？
9. 把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中
心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。
10.在图4-10的6个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么
最下面那个数最小是几？
拓展篇
1. 将1至9分别填入图4-11中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都
等于15. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.
262. 在图4-12中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如
果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。
3. 图4-13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、6、7、8这
八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。
4. 在图4-14中的方格内填入三个0、两个2、两个3、两个4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之
和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7.
5. 请在图4-15的每个小圆圈内填入1或2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少？
276. 把1至8分别填入图4-16的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不等于1.
7. 在图4-17的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的
已知数. 请问：标有★的圆圈内填的数是多少？
8. 小悦是8月11日15点整出生的，她想把1，2，3，4，5，6，7这七个数填入图4-18的七个方框里，
每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是8，11，15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是
多少？
9. 把1至6这六个数字填入图4-19六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最
小是多少？最大是多少？
2810. 把1至11填入图4-20中“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等。
11. 请将1至6填入图4-21的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。
12. 如图4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表.
为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？
武器 手枪 步枪 自动步枪 冲锋枪 轻机枪
威力数 1 2 3 4 5
武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮
威力数 6 7 8 9 10
29超越篇
1. 如图4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将1至12中的另六个数填入
其他区域内，使得每个圆中四个数之和都是28.
2. 如图4-24，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.
3. 把1至8填入图4-25中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数之和都相等。
4. 把1至12分别填入图4-26所示六角星图案的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等.现在
已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整。
305. 把1至8填入图4-27的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数
字之和是大正方形顶点的数字之和的一半。
6. 图4-28中一共有6条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是6）填入其中的九个圆圈内，使得每
条直线上圆圈内的数加起来都等于23.
7. 如图4-29，5×5的方格表被分成了五块，请你在每格中填入1、2、3、4、5中的一个（其中两个格子
已经分别填入1和2），使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等，请
问：ABCDE是多少？
8. 图4-30是奥林匹克五环标志，五个圆内共分成了九个部分，请在这九个部分中填入1至9这九个数，
使得每个圆环内的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？
31第 5 讲 竖式问题
内容概述
以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转
化为数字谜形式，便于直观地解决问题。
典型问题
提高篇
1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”
代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？
2. （1）在图5-2的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉
字各代表什么数字？
(2) 在图5-3的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各
代表什么数字？
3. 在图5-4的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果23+解+数+字+谜
=30，那么“ 数字谜 ”所代表的三位数是多少？
324. 图5-5所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“ ”代表
的四位数是多少？ 北京奥运
5. 已知图5-6所示的乘法竖式成立，那么ABCDE是多少？
6. (1) 在图5-7的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○
分别代表什么数字？
(2) 在图5-8的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别
代表什么数字？
7. 如图5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？
8. 在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.
339.在图5-12所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商是多少？
10. 有一个四位数，它乘以9后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数，求原
来的四位数.
拓展篇
1. 在图5-13和5-14中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值.
2. 如图5-15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么数字A、B、
C分别是多少？
343. 在图5-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且A
