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2022年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
x2
1. 双曲线 −y2=1的实轴长为 ．
9
2. 函数 的周期为 ．
f (x)=cos2x−sin2x+1
|a 1| |a 0|
3. 已知a∈R，行列式 的值与行列式 的值相等，则a＝ ．
3 2 4 1
4. 已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ．
5. x﹣y≤0，x+ y﹣1≥0，求z＝x+2y的最小值 ．
6. 二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的 倍，则 ．
(3+x) n x2 5 n＝
{a2x−1 x<0
7. 若函数 ，为奇函数，求参数 的值为 ．
f (x)= x+a x>0 a
0 x=0
8. 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的概率为 ．
9. 已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和，若 ，则 中不同的数值有
{a } S n S =0 S (i=0,1,2,…,100)
n n 5 i
个．
10. 若平面向量|→
a
|
=
|→
b
|
=
|→
c
|
=λ
，且满足→
a⋅
→
b=0
，→
a⋅
→
c=2
，→
b⋅
→
c=1
，则 λ＝ ．
11. 设函数 满足 ( 1 )对任意 都成立，其值域是 ，已知对任何满足上述条件
f (x) f (x)=f x∈[0,+∞) A
1+x f
的 都有 ，则 的取值范围为 ．
f (x) {y|y=f (x),0≤x≤a}=A a
f
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
1. 若集合A＝[﹣1,2)，B＝Z，则A∩B＝（ ）
A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{﹣1,0,1} C.{﹣1,0} D.{﹣1}
第1页 | 共5页2. 若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
a a
A.a+b>2❑√ab B.a+b<2❑√ab C. +2b>2❑√ab D. +2b<2❑√ab
2 2
3. 如图正方体ABCD−A B C D 中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC 、BB 、CD 的中点，
1 1 1 1 1
联结
A S，B D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A S、 B D上，则称MN两点可视，
1 1 1 1
则下列选项中与点D 可视的为（ ）
1
A.点P B.点B C.点R D.点Q
4. 设集合 Ω={ (x,y) | (x−k) 2+(y−k2) 2 =4 | k|,k∈Z }
①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（ ）
A.①成立②成立 B.①成立②不成立
C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.
1. 如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥体积V ；
P−ABC
（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．
2. ．
f (x)=log (a+x)+log (6−x)
3 3
（1）若将函数f (x)图像向下移m(m>0)后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a，m的值．
第2页 | 共5页（2）若a>﹣3且a≠0，求解不等式f (x)≤f (6﹣x)．
3. 如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，
∠DAB＝∠ABC＝120❑∘，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；
（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；
（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．
4. 设有椭圆方程 x2 y2 ，直线 ， 下端点为 ， 在 上，左、右焦点分
Γ: + =1(a>b>0) l:x+ y−4❑√2=0 Γ A M l
a2 b2
别为 、 ．
F (−❑√2,0) F (❑√2,0)
1 2
（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
3
（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F ，在△ABM中有一内角余弦值为 ，求b；
2 5
（3）在椭圆 上存在一点 到 距离为 ，使 ，随 的变化，求 的最小值．
Γ P l d |PF |+|PF |+d=6 a d
1 2
5. 数列 对任意 且 ，均存在正整数 ，满 ， ， ．
{a } n∈N∗ n≥2 i∈[1,n﹣1] a =2a −a a =1 a =3
n n+1 n i 1 2
（1）求a 可能值；
4
（2）命题p：若a ,a ,⋯,a 成等差数列，则a <30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是
1 2 8 9
真是假，说明理由；
第3页 | 共5页（3）若 ， 成立，求数列 的通项公式．
a =3m (m∈N∗) {a }
2m n
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