2026《中考数学45套》河南答案_45套中招_2025《中考数学45套》河南

９．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝４５°，ＡＢ＝６，点 Ｅ在边 ＢＣ上，连接 ＡＥ，将△ＡＢＥ沿 ＡＥ折叠，若点 Ｂ落在 ＢＣ ! 延长线上的点 Ｆ处，则 ＣＦ的长为 （Ｄ） 河南省 ２０２５年初中学业水平考试 Ａ．２ Ｂ．６－３槡２ Ｃ．２槡２ Ｄ．６槡２－６ 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．在学校足球比赛中，如果某班足球队进４个球记作＋４个，那么该队失３个球记作 （Ｂ） Ａ．＋３个 Ｂ．－３个 Ｃ．＋４个 Ｄ．－４个 ２．数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是 （Ｄ） （第９题） （第１０题） １０． !"# $%&’( 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车 速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速ｖ（ｋｍ／ｈ）之间的函数关系如图所示．下列说法 中错误的是 （Ｃ） 獉獉 Ａ．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为０．９ ３．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有０．００００７４ｍ／ｓ， Ｂ．当０≤ｖ≤６０时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 比蜗牛爬行的速度还慢．数据“０．００００７４”用科学记数法表示为 （Ｃ） Ｃ．要使这款轮胎的摩擦系数不低于０．７１，车速应不低于６０ｋｍ／ｈ Ａ．０．７４×１０－４ Ｂ．７．４×１０－４ Ｃ．７．４×１０－５ Ｄ．７４×１０－６ Ｄ．若车速从２５ｋｍ／ｈ增大到６０ｋｍ／ｈ，则这款轮胎的摩擦系数减小０．０４ ４．如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 二、填空题（每小题３分，共１５分） （Ｃ） １１．请写出一个使槡５－ｘ在实数范围内有意义的 ｘ的值： ５（答案不唯一，满足 ｘ≤５即可） ． Ａ．１００° Ｂ．１１０° Ｃ．１２０° Ｄ．１３０° １２．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取 ２０株进行测 量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为 ｓ２＝３．６，ｓ２ ＝５．８，则这两种小麦长势更整齐的是 甲 甲 乙 （填“甲”或“乙”）． １３．观察２ｘ，４ｘ２，６ｘ３，８ｘ４，…，根据这些式子的变化规律，可得第 ｎ个式子为 ． １４． !"# )%*+ 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研 究“割圆术”时的一个图形，ＡＢ （第４题） （第６题） （第８题） ５．一元二次方程 ｘ２－２ｘ＝０的根的情况是 （Ａ） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 ６．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为１，△ＡＢＣ的三个顶点均在网格线的交点上，点 Ｄ，Ｅ分 别是边 ＢＡ，ＣＡ与网格线的交点，连接 ＤＥ，则 ＤＥ的长为 （Ｂ） １ Ａ． Ｂ．１ Ｃ．槡２ Ｄ．槡３ ２ ｘ２－２ １ ７．化简 － 的结果是 （Ａ） ｘ－１ １－ｘ Ａ．ｘ＋１ Ｂ．ｘ Ｃ．ｘ－１ Ｄ．ｘ－２ ８．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美” “丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随 机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 （Ｂ） １ １ １ １ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １２ ６ ４ ２ 河南中考４５套汇编·数学 １— １ 河南中考４５套汇编·数学 １— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １— ３ 书书书 ) （２）原式＝ｘ２＋２ｘ＋１－ｘ２－２ｘ （３分） ＝１． （５分） １７．（９分）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生 “学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 ５０ 名学生进行测试，并对测试得分（１０分为满分，９分或 ９分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分 信息如下． 得分统计图 得分统计表 年级 统计量 七年级 八年级 平均数 ７．８６ ７．８６ 中位数 ａ ８ 众数 ７ ｂ 优秀率 ３８％ ｃ 根据以上信息，回答下列问题． （１）表格中的 ａ＝ ７．５ ，ｂ＝ ８ ，ｃ＝ ２２％ ． （２）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由． （１）７．５ ８ ２２％ （６分） （２）七年级的学生的掌握情况更好． （７分） 因为七、八年级学生得分的平均数相同，七年级学生的优秀率更高． （９分） （注：答案不唯一，合理即可） １８．（９分）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，其中 含３０°角的三角板ＯＡＢ的直角边ＯＡ在ｙ轴上，含４５°角的三角板ＯＡＣ的直角 ｋ 顶点Ｃ的坐标为（２，２），反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点 Ｃ． ｘ （１）求反比例函数的表达式． 所在圆的圆心为点 Ｏ，四边形 ＡＢＣＤ为矩形，边 ＣＤ与⊙Ｏ相切于点 Ｅ，连 （２）将三角板 ＯＡＢ绕点 Ｏ顺时针旋转 ９０°，ＡＢ边上的点 Ｄ恰好落在反比例 ４π 接 ＢＥ，∠ＡＢＥ＝１５°，连接 ＯＥ交 ＡＢ于点 Ｆ．若 ＡＢ＝４，则图中阴影部分的面积为 －２槡３ ． 函数图象上，求旋转前点 Ｄ的坐标． ３ ｋ （１）∵反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点Ｃ（２，２）， ｘ ｋ ∴２＝ ，∴ｋ＝４， ２ ４ ∴反比例函数的表达式是ｙ＝ ． （４分） ｘ （第１４题） （第１５题） （２）如图，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＯＡ，垂足为点Ｅ，则点Ｅ是ＯＡ ∴ＯＡ＝２ＯＥ＝４， １５． !,- ./01234356定义：有两个内角的差为９０°的三角形叫做“反直角三角形”．如图， ∴三角板ＯＡＢ旋转后，点Ｄ的横坐标为４． ２５ １１ 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝８，点Ｐ为边ＢＣ上一点，若△ＡＰＣ为“反直角三角形”，则ＢＰ的长为 或 ． ４ ４ ２ 把ｘ＝４代入ｙ＝ ，得ｙ＝１， ｘ 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） ∴三角板ＯＡＢ旋转后，点Ｄ的纵坐标为１， １６．（１０分）（１）计算：槡 ３ ８＋（π－１）０－ 槡３× 槡３； （２）化简：（ｘ＋１）２－ｘ（ｘ＋２）． ∴ＡＤ＝１， （８ ） （１）原式＝２＋１－３ （３分） ∴旋转前点Ｄ的坐标为（－１，４）． （９分） ＝０． （５分）１９．（９分）如图，四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，以 ＢＣ为直径的圆交 ＡＤ于点 Ｅ． ２２．（１０分）在二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２中，ｘ与 ｙ的几组对应值如下表所示． ２１．（９分） !,- 7(89:’( 焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈 （１）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 Ｏ（保留作图痕迹，不写作法）． 士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． ｘ … －２ ０ １ … （２）若点 Ｅ是 ＡＤ的中点，连接 ＯＡ，ＣＥ．求证：四边形 ＡＯＣＥ是平行四边形． ｙ … －２ －２ １ … 活动主题 测量纪念碑的高度 （１）如图（１），点Ｏ即为所求． （４分） （１）求二次函数的表达式． （２）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中 画出二次函数的图象． 实物图 （３）将二次函数的图象向右平移 ｎ个单位长度后，当０≤ｘ≤３时，若图象 和测量 对应的函数最大值与最小值的差为５，请直接写出 ｎ的值． 示意图 （１）把（－２，－２）和（１，１）代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２， {４ａ－２ｂ－２＝－２， 图（１） 图（２） 得 ａ＋ｂ－２＝１． （２）如图（２）．∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 如图，纪念碑ＡＢ位于有台阶的平台ＢＣ上，太阳光下，其顶端 Ａ的影子落在点 Ｄ处，同一时刻，竖直放置 {ａ＝１， 解方程组，得 ∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＥ∥ＯＣ． （６分） 测量说明 的标杆ＤＥ顶端Ｅ的影子落在点Ｆ处，位于点Ｍ处的观测者眼睛所在位置为点Ｎ，点Ｎ，Ｅ，Ａ在一条直线 ｂ＝２． ∵点Ｅ是ＡＤ的中点，∴ＡＥ＝ １ ＡＤ． 上，纪念碑底部点Ｂ在观测者的水平视线上． ∴二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－２． （３分） ２ （２）将ｙ＝ｘ２＋２ｘ－２配方，得ｙ＝（ｘ＋１）２－３， 测量数据 ＤＥ＝２．１ｍ，ＤＦ＝２．１ｍ，ＤＭ＝１ｍ，ＭＮ＝１．２ｍ． １ ∴二次函数图象的顶点坐标为（－１，－３）． （６分） ∵ＯＣ＝ ＢＣ，∴ＡＥ＝ＯＣ， （８分） ２ 备注 点Ｆ，Ｍ，Ｄ，Ｃ在同一水平线上． 画出图象如图（１）所示． （８分） ∴四边形ＡＯＣＥ是平行四边形． （９分） 根据以上信息，解决下列问题． ２０．（９分）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、 （１）由标杆的影子 ＤＦ的长和标杆 ＤＥ的长相等，可得 ＣＤ＝ＣＡ，请说明理由． 乙两种苹果．已知２箱甲种苹果和 ３箱乙种苹果的售价之和为 ４４０元；４箱甲种 （２）求纪念碑 ＡＢ的高度． 苹果和５箱乙种苹果的售价之和为８００元． （３）小红通过间接测量得到 ＣＤ的长，进而求出纪念碑 ＡＢ的高度约为 １８．５ｍ．查阅资料得知，纪念碑的 （１）求甲、乙两种苹果每箱的售价． 实际高度为１９．６４ｍ．请判断小红的结果和（２）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因 （２）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共 １２箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱 （写出一条即可）． 数．求该公司最少需花费多少元． （１）∵太阳光线是平行光线，∴∠ＥＦＤ＝∠ＡＤＣ． （１）设甲种苹果每箱的售价为ｘ元，乙种苹果每箱的售价为ｙ元． 又∠ＥＤＦ＝∠ＡＣＤ＝９０°，∴△ＥＦＤ∽△ＡＤＣ， 图（１） 图（２） {２ｘ＋３ｙ＝４４０， 根据题意，得 ４ｘ＋５ｙ＝８００． （３分） ∴ ＤＦ ＝ ＤＥ ． （３）４－ 槡５或１＋ 槡５． （１０分） ＣＤ ＣＡ 解法提示：平移后抛物线对应的表达式为ｙ＝（ｘ－ｎ）２＋２（ｘ－ｎ）－２，顶点坐标为（－１＋ｎ，－３）． {ｘ＝１００， 解方程组，得 ∵ＤＦ＝ＤＥ，∴ＣＤ＝ＣＡ． （２分） 当ｘ＝０时，ｙ＝ｎ２－２ｎ－２． ｙ＝８０． （２）记ＮＢ与ＤＥ的交点为Ｐ． 当ｘ＝３时，ｙ＝（３－ｎ）２＋２（３－ｎ）－２＝ｎ２－８ｎ＋１３． 答：甲种苹果每箱的售价为１００元，乙种苹果每箱的售价为８０元． （５分） 由题意知ＰＮ＝ＤＭ＝１，ＤＰ＝ＢＣ＝ＭＮ＝１．２，ＢＮ＝ＣＭ， 当０＜ｎ＜１时，最低点和最高点如图（２）所示， （２）第一步：设未知数（自变量、因变量） ＰＥ＝ＤＥ－ＤＰ＝２．１－１．２＝０．９． ５ 则ｎ２－８ｎ＋１３－（ｎ２－２ｎ－２）＝５，解得ｎ＝ （舍去）． 设购买甲种苹果ａ箱，则购买乙种苹果（１２－ａ）箱，设该公司需花费ｗ元， 设ＡＢ＝ｘ，则ＣＤ＝ＣＡ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ｘ＋１．２， ３ 第二步：列表达式———根据题干中的等量关系，建立一次函数模型（列一次函数表达式） ５ ∴ＢＮ＝ＣＭ＝ＣＤ＋ＤＭ＝ｘ＋１．２＋１＝ｘ＋２．２． （４分） 当１≤ｎ＜ 时，最低点和最高点如图（３）所示， 根据题意，得ｗ＝１００ａ＋８０（１２－ａ）＝２０ａ＋９６０． （６分） ２ ＰＥ ０．９ 在Ｒｔ△ＰＮＥ中，ｔａｎ∠ＰＮＥ＝ ＝ ＝０．９． 第三步：确定范围———根据题干中的不等关系，列出不等式，确定自变量的取值范围 ＰＮ １ 根据题意，得１２－ａ≤ａ， ＡＢ 在Ｒｔ△ＢＮＡ中，∵ｔａｎ∠ＢＮＡ＝ ＝０．９， 解得ａ≥６． （７分） ＢＮ 第四步：确定最值———根据函数的增减性，结合自变量的取值范围，确定函数的最值 ∴ＡＢ＝０．９ＢＮ，∴ｘ＝０．９（ｘ＋２．２）， ∵２０＞０，∴ｗ随ａ的增大而增大， 解得ｘ＝１９．８． ∴当ａ＝６时，ｗ有最小值，ｗ ＝２０×６＋９６０＝１０８０． 答：纪念碑ＡＢ的高度约为１９．８ｍ． （７分） 最小 第五步：作答 （３）小红的结果误差较大．原因可能是平台底部点 Ｃ不可直接到达，间接测量时产生了较大误差．（注：答案不唯 答：该公司最少需花费１０８０元． （９分） 一，合理即可） （９分） 图（３） 图（４） 河南中考４５套汇编·数学 １— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １— ６则ｎ２－８ｎ＋１３－（－３）＝５， （２）补全图形如图（２）所示． （４分） 解得ｎ＝４＋ 槡５（舍去），ｎ＝４－ 槡５． 不成立，正确结论为ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＧ． （５分） １ ２ ５ 方法一：如图（３），过点 Ｃ作 ＣＨ⊥ＯＡ，垂足为点 Ｈ． 当 ≤ｎ＜４时，最低点和最高点如图（４）所示， ２ 则ｎ２－２ｎ－２－（－３）＝５， 解得ｎ＝１＋ 槡５，ｎ＝１－ 槡５（舍去）． １ ２ 当ｎ≥４时，最低点和最高点如图（５）所示， 图（５） １０ 则ｎ２－２ｎ－２－（ｎ２－８ｎ＋１３）＝５，解得ｎ＝ （舍去）． ∵ＣＧ⊥ＤＥ，ＯＥ⊥ＤＥ，∴ＣＧ∥ＯＥ， ３ ＣＧ ＧＦ 综上可知，ｎ的值为４－ 槡５或１＋ 槡５． 图（５） ∴△ＣＧＦ∽△ＯＥＦ，∴ ＯＥ ＝ ＥＦ ＝３， ２３．（１０分）在∠ＡＯＢ中，点 Ｃ是∠ＡＯＢ的平分线上一点，过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＯＢ，垂足为点 Ｄ，过点 Ｄ作 图（３） 故可设 ＯＥ＝ｘ，ＣＧ＝３ｘ，∴ＯＤ＝４ｘ， ＤＥ⊥ＯＡ，垂足为点 Ｅ，直线 ＤＥ，ＯＣ交于点 Ｆ，过点 Ｃ作 ＣＧ⊥ＤＥ，垂足为点 Ｇ． ∵ＣＤ⊥ＯＢ，∴∠ＣＤＯ＝∠ＣＨＯ＝９０°． （１）观察猜想 ∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，∴∠１＝∠２． ∴ＤＥ＝槡（４ｘ）２－ｘ２＝ 槡１５ｘ． 如图（１），当∠ＡＯＢ为锐角时，用等式表示线段 ＣＧ，ＯＥ，ＯＤ的数量关系： ＣＧ＋ＯＥ＝ＯＤ ． ∵ＣＯ＝ＣＯ，∴△ＣＯＤ≌△ＣＯＨ（ＡＡＳ）， ∵∠４＋∠ＣＤＧ＝９０°，∠３＋∠ＣＤＧ＝９０°， （２）类比探究 ∴ＯＤ＝ＯＨ，∴ＯＤ＋ＯＥ＝ＯＨ＋ＯＥ＝ＨＥ． ∴∠４＝∠３． 如图（２），当∠ＡＯＢ为钝角时，请依据题意补全图形（不需要尺规作图），并判断（１）中的结论是 ∵ＤＥ⊥ＯＡ，ＣＧ⊥ＤＥ， 又∠ＤＥＯ＝∠ＣＧＤ，∴△ＤＯＥ∽△ＣＤＧ（-.(/0%123：0(45-/0%16).%）， 否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． ∴∠ＤＥＯ＝∠ＣＧＤ＝∠ＣＨＯ＝９０°， ＯＤ ＤＥ 槡１５ｘ 槡１５ ∴ ＝ ＝ ＝ ． ＤＣ ＣＧ ３ｘ ３ （３）拓展应用 ∴四边形 ＣＧＥＨ是矩形，∴ＨＥ＝ＣＧ， ②当∠ＡＯＢ为钝角时，如图（６），可知ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＧ． ＧＦ ＯＤ ∴ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＧ． （８分） 当０°＜∠ＡＯＢ＜１８０°，且∠ＡＯＢ≠９０°时，若 ＝３，请直接写出 的值． ＥＦ ＣＤ 方法二：如图（４），过点 Ｏ作 ＯＨ⊥ＣＧ，垂足为点 Ｈ， 图（１） 图（２） 图（６） 图（４） （１）ＣＧ＋ＯＥ＝ＯＤ （２分） ＣＧ ＧＦ ∴∠ＣＨＯ＝∠ＧＨＯ＝９０°． 同理可证 ＝ ＝３， 解法提示：如图（１），过点Ｃ作ＣＨ⊥ＯＡ于点Ｈ． ＯＥ ＥＦ ∵ＤＥ⊥ＯＡ，ＣＧ⊥ＤＥ， 又ＯＣ平分∠ＡＯＢ，ＣＤ⊥ＯＢ，∴ＣＨ＝ＣＤ!"#$%&’()*+,． 故可设ＯＥ＝ｘ，ＣＧ＝３ｘ，∴ＯＤ＝２ｘ，  ∴∠ＤＥＯ＝∠ＣＧＥ＝∠ＧＨＯ＝９０°， 又ＯＣ＝ＯＣ，∴Ｒｔ△ＯＨＣ≌Ｒｔ△ＯＤＣ（ＨＬ）， ∴ＤＥ＝槡（２ｘ）２－ｘ２＝ 槡３ｘ． ∴ＯＨ＝ＯＤ． ∴四边形 ＨＧＥＯ是矩形， 同理可证△ＤＯＥ∽△ＣＤＧ， ∵ＣＧ⊥ＤＥ，ＣＨ⊥ＯＡ，ＤＥ⊥ＯＨ， ∴ＣＧ∥ＥＡ，ＨＧ＝ＯＥ，∴∠ＨＣＯ＝∠ＡＯＣ． ∴四边形ＣＧＥＨ是矩形， ∵ＯＣ平分∠ＡＯＢ，∴∠ＡＯＣ＝∠ＤＯＣ， ∴ ＯＤ ＝ ＤＥ ＝ 槡３ｘ ＝ 槡３ ． ＤＣ ＣＧ ３ｘ ３ ∴ＨＥ＝ＣＧ． ∴∠ＨＣＯ＝∠ＤＯＣ． ∵ＨＥ＋ＯＥ＝ＯＨ，∴ＣＧ＋ＯＥ＝ＯＤ． ＯＤ 槡１５ 槡３ ∵ＣＤ⊥ＯＢ，∴∠ＣＤＯ＝∠ＣＨＯ＝９０°． 综上可知， 的值为 或 ． ＣＤ ３ ３ ∵ＯＣ＝ＯＣ，∴△ＣＤＯ≌△ＯＨＣ（ＡＡＳ）， ∴ＯＤ＝ＣＨ， ∴ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＨ＋ＨＧ，即 ＯＤ＋ＯＥ＝ＣＧ． （８分） 槡１５ 槡３ （３） 或 ． （１０分） ３ ３ 解法提示：分两种情况讨论． 图（１） 图（２） ①当∠ＡＯＢ为锐角时，如图（５），可知 ＯＥ＋ＣＧ＝ＯＤ． 河南中考４５套汇编·数学 １— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １— ９! ２０２４年河南省普通高中招生考试 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．如图，数轴上点 Ｐ表示的数是 （Ａ） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ ２．据统计，２０２３年我国人工智能核心产业规模达５７８４亿元．数据“５７８４亿”用科学记数法表示为 （Ｃ） Ａ．５７８４×１０８ Ｂ．５．７８４×１０１０ Ｃ．５．７８４×１０１１ Ｄ．０．５７８４×１０１２ ３．如图，乙地在甲地的北偏东５０°方向上，则∠１的度数为 （Ｂ） Ａ．６０° Ｂ．５０° Ｃ．４０° Ｄ．３０° （第３题） （第６题） （第８题） ４．如图是某种茶叶的包装盒，它的主视图为 （Ａ） ５．下列不等式中，与－ｘ＞１组成的不等式组无解的是 （Ａ） Ａ．ｘ＞２ Ｂ．ｘ＜０ Ｃ．ｘ＜－２ Ｄ．ｘ＞－３ ６．如图，在ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｅ为 ＯＣ的中点，ＥＦ∥ＡＢ交 ＢＣ于点 Ｆ．若 ＡＢ＝４，则 ＥＦ的长为 （Ｂ） １ ４ Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．２ ２ ３ ７．计算（ａ·ａ·…·ａ 河南中考４５套汇编·数学 ２— １ 河南中考４５套汇编·数学 ２— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２— ３ 书书书        ８．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如 图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随 机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为 （Ｄ） １ １ １ １ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ９ ６ ５ ３ ９．如图，⊙Ｏ是边长为４槡３的等边三角形ＡＢＣ的外接圆，Ｄ是 ＢＣ ）３的结果是 （Ｄ） ａ个 Ａ．ａ５ Ｂ．ａ６ Ｃ．ａａ＋３ Ｄ．ａ３ａ ) 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） ３ ａ＋１ １６．（１０分）（１）计算：槡２× 槡５０－（１－ 槡３）０； （２）化简：（ ＋１）÷ ． ａ－２ ａ２－４ （１）原式＝１０－１ （４分） ＝９． （５分） 的中点，连接ＢＤ，ＣＤ．以点Ｄ为圆心，ＢＤ的 ａ＋１ （ａ＋２）（ａ－２） （２）原式＝ · （４分） ａ－２ ａ＋１ 长为半径在⊙Ｏ内画弧，则阴影部分的面积为 （Ｃ） ＝ａ＋２． （５分） ８π １６π Ａ． Ｂ．４π Ｃ． Ｄ．１６π １７．（９分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八 ３ ３ 年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个 方面的统计结果如下． 技术统计表 平均每场 平均每场 平均每场 队员 图（１） 图（２） 得分 篮板 失误 （第９题） （第１０题） 甲 ２６．５ ８ ２ １０．把多个家用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐 患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流 Ｉ与使用电器的总功率 乙 ２６ １０ ３ Ｐ的函数关系的图象（如图（１）），插线板电源线产生的热量Ｑ与Ｉ的函数关系的图象（如图（２））．下列结 论中错误的是 （Ｃ） 根据以上信息，回答下列问题． 獉獉 Ａ．当 Ｐ＝４４０Ｗ时，Ｉ＝２Ａ Ｂ．Ｑ随 Ｉ的增大而增大 （１）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 甲 （填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为 ２７．５分，乙 Ｃ．Ｉ每增加１Ａ，Ｑ的增加量相同 Ｄ．Ｐ越大，插线板电源线产生的热量 Ｑ越多 队员得分的中位数为 ２９ 分． 二、填空题（每小题３分，共１５分） （２）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． １１．请写出２ｍ的一个同类项 ：ｍ（答案不唯一） ． （３）规定“综合得分”为：平均每场得分×１＋平均每场篮板×１．５＋平均每场失误×（－１），且综合得分越 １２．２０２４年３月是第 ８个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某 高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分（满分 １０分），得分情况如 （１）甲 ２９ （４分） 图，则得分的众数为 ９ 分． （２）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员的表现更好．（注：答案 不唯一，合理即可） （７分） （３）甲的综合得分：２６．５×１＋８×１．５＋２×（－１）＝３６．５． 乙的综合得分：２６×１＋１０×１．５＋３×（－１）＝３８． 因为３８＞３６．５，所以乙队员的表现更好． （９分） １８．（９分）如图，矩形ＡＢＣＤ的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角 （第１２题） （第１４题） （第１５题） ｋ 线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｅ，反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点 Ａ． １ １ ｘ １３．若关于 ｘ的方程 ｘ２－ｘ＋ｃ＝０有两个相等的实数根，则 ｃ的值为 ． ２ ２ （１）求这个反比例函数的表达式． １４．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ在 ｘ轴上，点 Ａ的坐标为（－２，０），点 Ｅ在边 ＣＤ上．将 （２）请先描出这个反比例函数图象上不同于点 Ａ的三个格点，再画出 △ＢＣＥ沿 ＢＥ折叠，点 Ｃ落在点 Ｆ处．若点 Ｆ的坐标为（０，６），则点 Ｅ的坐标为 （３，１０） ． 反比例函数的图象． １５．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＡ＝ＣＢ＝３，线段 ＣＤ绕点 Ｃ在平面内旋转，过点 Ｂ作 ＡＤ的垂线，交射 ９ （３）将矩形 ＡＢＣＤ向左平移，当点 Ｅ落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 ． 线 ＡＤ于点 Ｅ．若 ＣＤ＝１，则 ＡＥ的最大值为 ２槡２＋１ ，最小值为 ２槡２－１ ． ２ｋ （１）请仅就图（２）的情形证明∠ＡＰＢ＞∠ＡＤＢ． {７００ｘ＋９００ｙ＝４６００， （１）∵反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点Ａ（３，２）， 根据题意，得 （３分） ｘ （２）经测量，最大视角∠ＡＰＢ为３０°，在点Ｐ处看塑像顶部点Ａ的仰角∠ＡＰＥ为６０°，点Ｐ到塑像的水平距 １０ｘ＋１５ｙ＝７０， ｋ ∴２＝ ３ ， 离 ＰＨ为６ｍ．求塑像 ＡＢ的高（结果精确到０．１ｍ．参考数据：槡３≈１．７３）． 解得 {ｘ＝４， ｙ＝２． ∴ｋ＝６， 答：选用Ａ种食品４包，Ｂ种食品２包． （５分） ６ ∴这个反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （３分） （２）第一步：设未知数（自变量、因变量） ｘ 设选用Ａ种食品ａ包，则选用Ｂ种食品（７－ａ）包，设总热量为ｗｋＪ， （２）作图如图所示． （７分） 第二步：确定范围———根据题干中的不等关系，列出不等式，确定自变量的取值范围 根据题意，得１０ａ＋１５（７－ａ）≥９０， 图（１） 图（２） ∴ａ≤３． （７分） （１）如图，连接ＢＭ． 第三步：列表达式———根据题干中的等量关系，建立一次函数模型（列一次函数表达式） 则∠ＡＭＢ＝∠ＡＰＢ． 根据题意，得ｗ＝７００ａ＋９００（７－ａ）＝－２００ａ＋６３００． ∵∠ＡＭＢ＞∠ＡＤＢ， 第四步：确定最值———根据函数的增减性，结合自变量的取值范围，确定函数的最值 ∴∠ＡＰＢ＞∠ＡＤＢ． （３分） ９ ∵－２００＜０， （３） （９分） （２）在Ｒｔ△ＡＨＰ中，∠ＡＰＨ＝６０°，ＰＨ＝６． ２ ∴ｗ随ａ的增大而减小， ＡＨ ∵ｔａｎ∠ＡＰＨ＝ ， ＰＨ ∴当ａ＝３时，ｗ最小， １９．（９分）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边 ＡＢ上的中线，ＢＥ∥ＤＣ交 ＡＣ的延长 ∴７－ａ＝７－３＝４． ∴ＡＨ＝ＰＨ·ｔａｎ６０°＝６×３＝６３． ６ 线于点 Ｅ． 第五步：作答 ∵ （１）请用无刻度的直尺和圆规作∠ＥＣＭ，使∠ＥＣＭ ＝∠Ａ，且射线 ＣＭ交 ＢＥ 答：应选用Ａ种食品３包，Ｂ种食品４包． （９分） ∴ 于点 Ｆ（保留作图痕迹，不写作法）． ２２．（１０分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 ｈ（ｍ）满足关系式 ｈ＝－５ｔ２＋ｖｔ，其中 ｔ（ｓ）是物体 ０ 在 （２）证明（１）中得到的四边形 ＣＤＢＦ是菱形． 运动的时间，ｖ（ｍ／ｓ）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发 ０ （１）作图如图所示． （４分） 射小球． ∴ （８分） ｖ ０ （１）小球被发射后 ｓ时离地面的高度最大（用含 ｖ的式子表示）． ∴ＡＢ＝ＡＨ－ＢＨ＝６槡３－２槡３＝４槡３≈４×１．７３≈６．９（ｍ）． １０ ０ 答：塑像ＡＢ的高约为６．９ｍ． （９分） （２）若小球离地面的最大高度为２０ｍ，求小球被发射时的速度． ２１．（９分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备 （３）按（２）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间 了 Ａ，Ｂ两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为５０ｇ，营养成分表如下． 隔的时间为３ｓ．”已知实验楼高１５ｍ，请判断他的说法是否正确，并说明理由． ｖ ０ （１） （３分） （２）证明：由（１），得∠ＥＣＦ＝∠Ａ， １０ ∴ＣＦ∥ＡＢ． ｖ （２）根据题意，得当ｔ＝０ 时，ｈ＝２０， 又∵ＢＥ∥ＤＣ， １０ ∴四边形ＣＤＢＦ是平行四边形． （７分） ｖ ｖ ∴－５×（ ０ ）２＋ｖ×０＝２０， ∵ＣＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＢ上的中线， １０ ０ １０ ∴ＣＤ＝ＢＤ， ∴ｖ＝２０，即小球被发射时的速度为２０ｍ／ｓ． （６分） （１）若要从这两种食品中摄入４６００ｋＪ热量和７０ｇ蛋白质，应选用 Ａ，Ｂ两种食品各多少包？ ０ ∴ＣＤＢＦ是菱形． （９分） （３）小明的说法不正确． （７分） （２）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共 ７包，要使每份午 ２０．（９分）如图（１），塑像 ＡＢ在底座 ＢＣ上，点 Ｄ是人眼所在的位置．当点 Ｂ高于人的水平视线 ＤＥ时， 理由如下： 餐中的蛋白质含量不低于９０ｇ，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过 Ａ，Ｂ两点 由（２），得ｈ＝－５ｔ２＋２０ｔ． （１）设选用Ａ种食品ｘ包，Ｂ种食品ｙ包． 的圆与水平视线 ＤＥ相切时（如图（２）），在切点 Ｐ处感觉看到的塑像最大，此时∠ＡＰＢ为最大视角． 当ｈ＝１５时，１５＝－５ｔ２＋２０ｔ， 河南中考４５套汇编·数学 ２— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ２— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ２— ６解得ｔ＝１，ｔ＝３． （９分） 又∵ＡＢ＝ＡＤ， ４ ４ ３ ３ ４ ２１ １ ２ ∴ＣＮ＝ＣＭｃｏｓＣ＝１× ＝ ，ＭＮ＝ＣＭｓｉｎＣ＝１× ＝ ，∴ＡＮ＝５－ ＝ ． ５ ５ ５ ５ ５ ５ ∵３－１＝２（ｓ）， ∴△ＡＢＥ≌△ＡＤＣ， ２１ ３ ∴小明的说法不正确． （１０分） ∴∠Ｅ＝∠ＡＣＤ，ＡＥ＝ＡＣ， ＋ ＡＮ＋ＭＮ ５ ５ １２槡２ ２３．（１０分）综合与实践 ∴∠Ｅ＝∠ＡＣＢ， 由（２）可得ＢＮ＝ ＝ ＝ ． ２ｃｏｓ∠ＢＮＭ ２ｃｏｓ４５° ５ 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形” ∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ． （６分） ②当ＮＭ＝ＮＡ时，如图（４）， 进行研究． ②如图（１），过点Ａ作ＡＦ⊥ＥＣ，垂足为点Ｆ． ３ ∵ｔａｎＣ＝ ，∴设ＡＮ＝ＭＮ＝３ｘ，ＣＮ＝４ｘ， 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． ∵ＡＥ＝ＡＣ， ４ （１）操作判断 １ １ １ ｍ＋ｎ ∴ＣＭ＝５ｘ，ＡＣ＝７ｘ＝５， ∴ＣＦ＝ ＣＥ＝ （ＢＣ＋ＢＥ）＝ （ＢＣ＋ＤＣ）＝ ． ２ ２ ２ ２ ５ 用分别含有３０°和４５°角的直角三角形纸板拼出如图（１）所示的 ４个四边形，其中是邻等对补四 ∴ｘ＝ ， ∵∠ＢＣＤ＝２θ， ７ 边形的有 ②④ （填序号）． ２５ ２５ ３ ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝θ． ∴ＣＭ＝ ，∴ＢＭ＝４－ ＝ ． （２）性质探究 ７ ７ ７ ＣＦ 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 在Ｒｔ△ＡＦＣ中，ｃｏｓθ＝ ， ３ ＡＣ ３＋ 如图（２），四边形 ＡＢＣＤ是邻等对补四边形，ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ是它的一条对角线． ＡＢ＋ＢＭ ７ １２槡２ ＣＦ ｍ＋ｎ 由（２）可得ＢＮ＝ ＝ ＝ ． ∴ＡＣ＝ ＝ ． （８分） ２ｃｏｓ∠ＡＢＮ ２ｃｏｓ４５° ７ ①写出图（２）中相等的角，并说明理由； ｃｏｓθ ２ｃｏｓθ ②若 ＢＣ＝ｍ，ＤＣ＝ｎ，∠ＢＣＤ＝２θ，求 ＡＣ的长（用含 ｍ，ｎ，θ的式子表示）． 综上可知，ＢＮ的长为 １２槡２ 或 １２槡２ ． ５ ７ （３）拓展应用 如图（３），在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，分别在边 ＢＣ，ＡＣ上取点 Ｍ，Ｎ，使四边形 ＡＢＭＮ是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 ＢＮ的长． 图（１） １２槡２ １２槡２ （３） 或 ． （１０分） ５ ７ 图（４） 解法提示：∵四边形ＡＢＭＮ是邻等对补四边形，且∠ＡＢＭ＝９０°， ∴∠ＡＮＭ＝９０°． 图（１） 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝槡ＡＢ２＋ＢＣ２＝槡３２＋４２＝５． 当ＡＢ＝ＡＮ时，如图（２），连接ＡＭ． 在Ｒｔ△ＡＢＭ和Ｒｔ△ＡＮＭ中， ＡＭ＝ＡＭ，ＡＢ＝ＡＮ， ∴Ｒｔ△ＡＢＭ≌Ｒｔ△ＡＮＭ（ＨＬ）， ∴ＭＢ＝ＭＮ． 图（２） 图（３） 故在此种情况下，有两组邻边相等，不符合题意，舍去． （１）②④ （２分） （２）①∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ． （４分） 理由如下： 如图（１），延长ＣＢ至点Ｅ，使ＢＥ＝ＤＣ．连接ＡＥ． ∵四边形ＡＢＣＤ是邻等对补四边形， ∴∠ＡＢＣ＋∠Ｄ＝１８０°． 图（２） 图（３） 又∵∠ＡＢＣ＋∠ＡＢＥ＝１８０°， 分以下两种情况讨论． ∴∠ＡＢＥ＝∠Ｄ． ①当ＢＭ＝ＢＡ＝３时，如图（３），则ＣＭ＝４－３＝１， 河南中考４５套汇编·数学 ２— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ２— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ２— ９９．二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ的图象如图所示，则一次函数 ｙ＝ｘ＋ｂ的图象一定不经过 （Ｄ） １７．（９分）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递 ! Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙 ２０２３年河南省普通高中招生考试 两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了 １０家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整 理、描述、分析如下： 数 学 ａ．配送速度得分（满分１０分）： 甲：６ ６ ７ ７ ７ ８ ９ ９ ９ １０ （满分１２０分，考试时间１００分钟） 乙：６ ７ ７ ８ ８ ８ ８ ９ ９ １０ 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 图（１） 图（２） ｂ．服务质量得分统计图（满分１０分）： １．下列各数中最小的数是 （Ａ） （第９题） （第１０题） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．槡３ １０．如图（１），点Ｐ从等边三角形ＡＢＣ的顶点Ａ出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到 ２．北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价 ＰＢ 顶点 Ｂ．设点 Ｐ运动的路程为 ｘ， ＝ｙ，图（２）是点 Ｐ运动时 ｙ随 ｘ变化的关系图象，则等边三角形 ＡＢＣ ＰＣ 值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是 （Ａ） 的边长为 （Ａ） Ａ．主视图与左视图相同 Ｂ．主视图与俯视图相同 Ｃ．左视图与俯视图相同 Ｄ．三种视图都相同 Ａ．６ Ｂ．３ Ｃ．４槡３ Ｄ．２槡３ ｃ．配送速度和服务质量得分统计表： 二、填空题（每小题３分，共１５分） ３．２０２２年河南省出版的４．５９亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建 项目 配送速度得分 服务质量得分 １１．某校计划给每个年级配发 ｎ套劳动工具，则３个年级共需配发 ３ｎ 套劳动工具． 设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“４．５９亿”用科学记数法表示为 （Ｃ） 统计量 Ａ．４．５９×１０７ Ｂ．４５．９×１０８ Ｃ．４．５９×１０８ Ｄ．０．４５９×１０９ １２．方程组 {３ｘ＋ｙ＝５， 的解为 {ｘ＝１， ． 快递公司 平均数 中位数 平均数 方差 ｘ＋３ｙ＝７ ｙ＝２ ４．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，若∠１＝８０°，∠２＝３０°，则∠ＡＯＥ的度数为 （Ｂ） 甲 ７．８ ｍ ７ ｓ２ 甲 １３．某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的１０００棵该品种苗进行 Ａ．３０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．８０° 乙 ８ ８ ７ ｓ２ 抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度 ｘ（ｃｍ）的统计图，则此时该基地高度不低于 ３００ｃｍ的“无絮 乙 杨”品种苗约有 ２８０ 棵． 根据以上信息，回答下列问题： （１）表格中的 ｍ＝ ７．５ ；ｓ２ ＜ ｓ２（填“＞”“＝”或“＜”）． 甲 乙 Ａ．ｘ＜２００ （２）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． Ｂ．２００≤ｘ＜２５０ （３）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ Ｃ．２５０≤ｘ＜３００ （１）７．５ ＜ （４分） Ｄ．３００≤ｘ＜３５０ Ｅ．ｘ≥３５０ （２）选择乙公司．因为乙公司配送速度得分的平均数和中位数都比甲公司高，说明乙公司的整体配送速度 （第４题） （第６题） 较快． ａ－１ １ （第１３题） （第１４题） ５．化简 ＋ 的结果是 （Ｂ） （注：答案不唯一，合理即可） （８分） ａ ａ １４．如图，ＰＡ与⊙Ｏ相切于点 Ａ，ＰＯ交⊙Ｏ于点 Ｂ，点 Ｃ在 ＰＡ上，且 ＣＢ＝ＣＡ．若 ＯＡ＝５，ＰＡ＝１２，则 ＣＡ的长为 （３）收集快递公司的收费标准． Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．ａ Ｄ．ａ－２ １０ ． （注：答案不唯一，合理即可） （９分） ３ ６．如图，点 Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上，若∠Ｃ＝５５°，则∠ＡＯＢ的度数为 （Ｄ） １８．（９分）如图，△ＡＢＣ中，点 Ｄ在边 ＡＣ上，且 ＡＤ＝ＡＢ． １５．矩形 ＡＢＣＤ中，Ｍ为对角线 ＢＤ的中点，点 Ｎ在边 ＡＤ上，且 ＡＮ＝ＡＢ＝１．当以点 Ｄ，Ｍ，Ｎ为顶点的三角形 Ａ．９５° Ｂ．１００° Ｃ．１０５° Ｄ．１１０° （１）请用无刻度的直尺和圆规作出∠Ａ的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． ７．关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２＋ｍｘ－８＝０的根的情况是 （Ａ） 是直角三角形时，ＡＤ的长为 ２或槡２＋１ ． （２）若（１）中所作的角平分线与边 ＢＣ交于点 Ｅ，连接 ＤＥ．求证：ＤＥ＝ＢＥ． 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 （１）作图如图所示． （４分） Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 １６．（１０分）（１）计算：｜－３｜－ 槡９＋５－１； （２）化简：（ｘ－２ｙ）２－ｘ（ｘ－４ｙ）． １ ８．为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第 ４１批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的 （１）原式＝３－３＋ （３分） ５ 通知精神，某校七、八年级分别从 Ａ，Ｂ，Ｃ三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年 １ ＝ ． （５分） 级选择的影片相同的概率为 （Ｂ） ５ １ １ １ １ （２）原式＝ｘ２－４ｘｙ＋４ｙ２－ｘ２＋４ｘｙ （３分） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２ ３ ６ ９ ＝４ｙ２． （５分） 河南中考４５套汇编·数学 ３— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３— ３ 书书书（２）∵ＡＥ平分∠ＢＡＤ， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＥ． 又∵ＡＤ＝ＡＢ，ＡＥ＝ＡＥ， ∴△ＡＤＥ≌△ＡＢＥ， ∴ＤＥ＝ＢＥ． （９分） ｋ １９．（９分）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 ｙ＝ ｘ 图象上的点Ａ（槡３，１）和点Ｂ为顶点，分别作菱形ＡＯＣＤ和菱形ＯＢＥＦ，点Ｄ，Ｅ在ｘ轴上，以点Ｏ为圆 心，ＯＡ长为半径作 ＡＣ 河南中考４５套汇编·数学 ３— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ３— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ３— ６ ) ∴∠ＡＯＧ＝３０°， ２１．（９分）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． ∴∠ＡＯＣ＝２∠ＡＯＧ＝６０°． 活动一：所购商品按原价打八折； 综上，扇形ＡＯＣ的半径为２，圆心角的度数为６０°． （７分） 活动二：所购商品按原价每满３００元减 ８０元．（如：所购商品原价为 ３００元，可减 ８０元，需付款 ２２０ ·· ２π （３）３槡３－ ． （９分） 元；所购商品原价为７７０元，可减１６０元，需付款６１０元） ３ （１）购买一件原价为４５０元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． 解法提示：设ＯＥ，ＢＦ交于点Ｎ， （２）购买一件原价在５００元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一 ∵四边形ＯＢＥＦ是菱形， 件这种健身器材的原价． １ ∴ＯＥ⊥ＢＦ，ＢＮ＝ＦＮ，∴Ｓ ＝２Ｓ ＝２× ｜ｋ｜＝ 槡３． △ＯＢＦ △ＯＢＮ ２ （３）购买一件原价在９００元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合 ，连接 ＢＦ． １ 算？设一件这种健身器材的原价为 ａ元，请直接写出 ａ的取值范围． 又Ｓ ＝２Ｓ ＝２× ｜ｋ｜＝ 槡３＝Ｓ ， （１）求 ｋ的值； △ＯＡＣ △ＯＡＧ ２ △ＯＢＦ （１）选择活动一更合算．（注：若没写出判断结果，但后续说明正确，不扣分） （１分） （２）求扇形 ＡＯＣ的半径及圆心角的度数； ∴Ｓ ＝Ｓ －Ｓ ＝Ｓ －（Ｓ －Ｓ ）＝ 槡３×２－（ ６０π×２２ － 槡３ ×２２）＝３槡３－ ２π ． 理由： （３）请直接写出图中阴影部分面积之和． 阴影 菱形ＡＯＣＤ 弓形ＡＣ 菱形ＡＯＣＤ 扇形ＡＯＣ △ＡＯＣ ３６０ ４ ３ 选择活动一需付款：４５０×０．８＝３６０（元）， ２０．（９分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪 ＡＢＣＤ为正方形，ＡＢ＝３０ｃｍ， 选择活动二需付款：４５０－８０＝３７０（元）． 顶点 Ａ处挂了一个铅锤 Ｍ．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点 Ｄ，Ａ与树顶 Ｅ在一条直线上，铅垂 ∵３６０＜３７０， 线 ＡＭ交 ＢＣ于点 Ｈ．经测量，点 Ａ距地面１．８ｍ，到树 ＥＧ的距离 ＡＦ＝１１ｍ，ＢＨ＝２０ｃｍ．求树 ＥＧ的高度 ∴选择活动一更合算． （３分） （结果精确到０．１ｍ）． （２）设一件这种健身器材的原价为ｘ元． 当０＜ｘ＜３００时，选择活动一和选择活动二的付款金额不会相等． 当３００≤ｘ＜５００时，根据题意，得０．８ｘ＝ｘ－８０， 解得ｘ＝４００． ｋ 答：一件这种健身器材的原价为４００元． （７分） （１）∵点Ａ（槡３，１）在反比例函数ｙ＝ 的图象上， ｘ （３）３００≤ａ＜４００或６００≤ａ＜８００． （９分） ∴ｋ＝ 槡３×１＝ 槡３． （３分） 解法提示：易知ａ≥３００．分两种情况讨论． （２）如图，连接ＡＣ交ＯＤ于点Ｇ． ①若３００≤ａ＜６００，易知当３００≤ａ＜４００时，选择活动二比选择活动一更合算． ②若６００≤ａ＜９００，选择活动一，购买价格为０．８ａ元， ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，点Ｄ，Ａ，Ｅ在一条直线上， 选择活动二，购买价格为（ａ－１６０）元， ∴∠ＥＡＢ＝９０°． 令ａ－１６０＜０．８ａ，解得ａ＜８００， 由题意知，∠ＦＡＨ＝９０°， 故当６００≤ａ＜８００时，选择活动二比选择活动一更合算． ∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＨ， （２分） 综上，当３００≤ａ＜４００或６００≤ａ＜８００时，选择活动二比选择活动一更合算． ∴ｔａｎ∠ＥＡＦ＝ｔａｎ∠ＢＡＨ． ２２．（１０分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分 ＢＨ ２０ ２ 在Ｒｔ△ＡＢＨ中，ｔａｎ∠ＢＡＨ＝ ＝ ＝ ． ＡＢ ３０ ３ 析，下面是他对击球线路的分析． ∵四边形ＡＯＣＤ为菱形， ＥＦ ＥＦ 如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ，Ｃ在ｘ轴上，球网ＡＢ与ｙ轴的水平距离ＯＡ＝３ｍ，ＣＡ＝２ｍ，击球点 在Ｒｔ△ＥＡＦ中，ｔａｎ∠ＥＡＦ＝ ＝ ， ＡＦ １１ ∴ＡＣ⊥ＯＤ，∠ＡＯＣ＝２∠ＡＯＧ． Ｐ在 ｙ轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 ｙ（ｍ）与水平距离 ｘ（ｍ）近似满足一次函数关系 ｙ＝－０． ＥＦ ２ ２２ ∵点Ａ的坐标为（槡３，１）， ∴ ＝ ，∴ＥＦ＝ ． （７分） ４ｘ＋２．８；若选择吊球，羽毛球的飞行高度ｙ（ｍ）与水平距离ｘ（ｍ）近似满足二次函数关系ｙ＝ａ（ｘ－１）２ １１ ３ ３ ＋３．２． ∴ＯＧ＝ 槡３，ＡＧ＝１， 由题意知，ＦＧ＝１．８， （１）求点 Ｐ的坐标和 ａ的值． ∴ＯＡ＝槡ＯＧ２＋ＡＧ２＝槡（槡３）２＋１２＝２， ２２ ∴ＥＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＝ ＋１．８≈９．１． ３ （２）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到 Ｃ点的距离更近，请通过计 ＡＧ １ ∴ｓｉｎ∠ＡＯＧ＝ ＝ ， ＯＡ ２ 答：树ＥＧ的高度约为９．１ｍ． （９分） 算判断应选择哪种击球方式．直接写出 ＡＰ的长． 连接ＡＰ，易知ＡＰ＝ＡＰ，∠ＰＡＱ＝４５°， １ １ ２ １ ∴ＡＰ＝ＡＰ＝ 槡２ＡＱ＝ 槡２ＱＰ． １ １ 当ＰＰ∥ＡＤ时，如图（２），易知直线ＱＤ过ＰＰ的中点!"#$%&’(’)*+,-， ２ ３ １ ３  ∴点Ｈ，Ｄ重合． 易知∠ＡＤＰ＝３０°，∴ＤＱ＝ 槡３ＱＰ＝ 槡３ＡＱ， １ １ ∴ＡＱ＋ 槡３ＡＱ＝２槡３， （１）依题意知，点Ｐ为直线ｙ＝－０．４ｘ＋２．８与ｙ轴的交点． ∴ＡＱ＝３－ 槡３， 当ｘ＝０时，ｙ＝－０．４×０＋２．８＝２．８， ∴点Ｐ的坐标为（０，２．８）． （２分） 图（１） 图（２） 备用图 ∴ＡＰ＝ＡＰ １ ＝ 槡２ＡＱ＝３槡２－ 槡６． ∵抛物线ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋３．２经过点Ｐ， （１）１８０° ８ （２分） ∴２．８＝ａ（０－１）２＋３．２， （２）①β＝２α．（注：若没写出判断结果，但后续说明正确，不扣分） （３分） 解得ａ＝－０．４． （５分） 理由：如图（１），连接ＡＰ，ＰＰ，ＰＰ． １ １ １ ２ （２）∵ＯＡ＝３，ＣＡ＝２， ∵点Ｐ与点Ｐ关于直线ＡＢ对称， １ ∴ＯＣ＝５． ∴ＡＢ垂直平分ＰＰ， １ 若选择扣球，当ｙ＝０时，得－０．４ｘ＋２．８＝０， ∴ＡＰ＝ＡＰ， 图（２） １ 解得ｘ＝７， ∴∠１＝∠２． 当ＰＰ∥ＣＤ时，如图（３）， ２ ３ 此时，球的落地点到Ｃ点的距离为７－５＝２． （７分） 同理可得∠３＝∠４． 若选择吊球，由（１）知，ｙ＝－０．４（ｘ－１）２＋３．２． ∵α＝∠２＋∠３，β＝∠１＋∠２＋∠３＋∠４， 当ｙ＝０时，得－０．４（ｘ－１）２＋３．２＝０， ∴β＝２α． （５分） 解得ｘ＝２槡２＋１，ｘ＝－２槡２＋１（舍）， ②如图（１），过点Ｄ作ＤＧ⊥ＡＢ，垂足为Ｇ． １ ２ 此时球的落地点到Ｃ点的距离为５－（２槡２＋１）＝４－２槡２． （９分） 在Ｒｔ△ＡＧＤ中，ＤＧ＝ｍｓｉｎα． 设ＰＰ与ＡＢ的交点为Ｍ，连接ＰＰ交ＣＤ于点Ｎ． ∵４－２槡２＜２， １ １ ３ 图（３） ∵点Ｐ与点Ｐ关于直线ＣＤ对称， ∴应选择吊球． （１０分） １ ３ 同理可知点Ｑ，Ｄ重合， ∴ＣＤ垂直平分ＰＰ． ２３．（１０分）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问 １ ３ ∴ＡＰ＝ＡＰ＝ 槡２ＡＱ＝２槡６． １ 由①知，ＡＢ垂直平分ＰＰ． 题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． １ 综上可知，ＡＰ的长为３槡２－ 槡６或２槡６． 在ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ， （１）观察发现 ∴点Ｐ在直线ＰＰ上， 如图（１），在平面直角坐标系中，过点 Ｍ（４，０）的直线 ｌ∥ｙ轴，作△ＡＢＣ关于 ｙ轴对称的图形 ３ １ ∴ＭＮ⊥ＡＢ，ＰＰ＝ＰＰ＋ＰＰ＝２ＭＮ， ３ １ １ ３ △ＡＢＣ，再分别作△ＡＢＣ 关于 ｘ轴和直线 ｌ对称的图形△ＡＢＣ 和△ＡＢＣ，则△ＡＢＣ １ １ １ １ １ １ ２ ２ ２ ３ ３ ３ ２ ２ ２ ∴ＭＮ＝ＤＧ， 可以看作是△ＡＢＣ绕点 Ｏ顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 １８０° ；△ＡＢＣ 可以看作是 ３ ３ ３ ∴ＰＰ＝２ＤＧ＝２ｍｓｉｎα． （８分） ３ △ＡＢＣ向右平移得到的，平移距离为 ８ 个单位长度． （２）探究迁移 如图（２），ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝α（０°＜α＜９０°），Ｐ为直线 ＡＢ下方一点，作点 Ｐ关于直线 ＡＢ的对 称点 Ｐ，再分别作点 Ｐ 关于直线 ＡＤ和直线 ＣＤ的对称点 Ｐ 和 Ｐ，连接 ＡＰ，ＡＰ，请仅就图（２） １ １ ２ ３ ２ 的情形解决以下问题： ①若∠ＰＡＰ＝β，请判断 β与 α的数量关系，并说明理由； 图（１） ２ ②若 ＡＤ＝ｍ，求 Ｐ，Ｐ ３ 两点间的距离． （３）３槡２－ 槡６或２槡６． （１０分） （３）拓展应用 解法提示：连接ＰＰ交ＣＤ于点Ｈ，连接ＰＰ交ＡＤ于点Ｑ， １ ３ １ ２ 在（２）的条件下，若α＝６０°，ＡＤ＝２３，∠ＰＡＢ＝１５°，连接ＰＰ．当ＰＰ 与ＡＢＣＤ的边平行时，请 则点Ｑ为ＰＰ的中点，点Ｈ为ＰＰ的中点． ２ ３ ２ ３ １ ２ １ ３ 河南中考４５套汇编·数学 ３— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ３— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ３— ９９．如图，在平面直角坐标系中，边长为２的正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的中心与原点 Ｏ重 １５．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝２槡２，点Ｄ为ＡＢ的中点，点Ｐ在ＡＣ上，且 ＣＰ＝１，将 ＣＰ绕 ! 合，ＡＢ∥ｘ轴，交 ｙ轴于点 Ｐ．将△ＯＡＰ绕点 Ｏ顺时针旋转，每次旋转 ９０°，则第 ２０２２年河南省普通高中招生考试 点Ｃ在平面内旋转，点Ｐ的对应点为点Ｑ，连接ＡＱ，ＤＱ．当∠ＡＤＱ＝９０°时，ＡＱ的长为 槡５或槡１３ ． ２０２２次旋转结束时，点 Ａ的坐标为 （Ｂ） 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） 数 学 Ａ．（槡３，－１） １ ｘ２－１ １ １６．（１）（５分）计算：３２７－（ ）０＋２－１； （２）（５分）化简： ÷（１－ ）． Ｂ．（－１，－ 槡３） ３ ｘ ｘ （满分１２０分，考试时间１００分钟） Ｃ．（－ 槡３，－１） １ （１）原式＝３－１＋ （３分） 一、选择题（每小题３分，共３０分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． ２ Ｄ．（１，槡３） １ ５ １．－ 的相反数是 （Ａ） １０．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气 ＝ ． （５分） ２ ２ 敏电阻（图（１）中的Ｒ），Ｒ 的阻值随呼气酒精浓度Ｋ的变化而变化（如图（２）），血液酒精浓度Ｍ与呼气 １ １ １ １ （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ Ａ． Ｂ．２ Ｃ．－２ Ｄ．－ 酒精浓度 Ｋ的关系见图（３）．下列说法不正确的是 （Ｃ） （２）原式＝ · （３分） ｘ ｘ－１ ２ ２ ··· ＝ｘ＋１． （５分） ２．２０２２年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合，人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在 信息窗 某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是 １７．（９分）２０２２年３月２３日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志 Ｍ＝２２００×Ｋ×１０－３ｍｇ／１００ｍＬ （Ｄ） 刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为 （Ｍ为血液酒精浓度，Ｋ为呼气 Ａ．合 Ｂ．同 Ｃ．心 Ｄ．人 “最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取５０名学生进行测试，并对 酒精浓度） 成绩（百分制）进行整理，信息如下： 非酒驾（Ｍ＜２０ｍｇ／１００ｍＬ） 酒驾 （２０ｍｇ／１００ｍＬ≤ Ｍ＜ ａ．成绩频数分布表： ８０ｍｇ／１００ｍＬ） 成绩ｘ／分 ５０≤ｘ＜６０ ６０≤ｘ＜７０ ７０≤ｘ＜８０ ８０≤ｘ＜９０ ９０≤ｘ≤１００ 醉驾（Ｍ≥８０ｍｇ／１００ｍＬ） 频数 ７ ９ １２ １６ ６ 图（１） 图（２） 图（３） ｂ．成绩在７０≤ｘ＜８０这一组的是（单位：分）： Ａ．呼气酒精浓度 Ｋ越大，Ｒ的阻值越小 Ｂ．当 Ｋ＝０时，Ｒ的阻值为１００ １ １ ７０ ７１ ７２ ７２ ７４ ７７ ７８ ７８ ７８ ７９ ７９ ７９ Ｃ．当 Ｋ＝１０时，该驾驶员为非酒驾状态 Ｄ．当 Ｒ＝２０时，该驾驶员为醉驾状态 １ （第２题） （第３题） （第５题） （第７题） 二、填空题（每小题３分，共１５分） 根据以上信息，回答下列问题． ３．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，ＥＯ⊥ＣＤ，垂足为 Ｏ．若∠１＝５４°，则∠２的度数为 （Ｂ） １１．请写出一个 ｙ随 ｘ的增大而增大的一次函数的表达式 ：ｙ＝２ｘ＋３（答案不唯一） ． （１）在这次测试中，成绩的中位数是 ７８．５ 分，成绩不低于 ８０分的人数占测试人数的百分比为 Ａ．２６° Ｂ．３６° Ｃ．４４° Ｄ．５４° {ｘ－３≤０， ４４％ ． ４．下列运算正确的是 （Ｄ） １２．不等式组 ｘ 的解集为 ２＜ｘ≤３ ． （２）这次测试成绩的平均数是７６．４分，甲的测试成绩是７７分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲 ＞１ Ａ．２槡３－ 槡３＝２ Ｂ．（ａ＋１）２＝ａ２＋１ Ｃ．（ａ２）３＝ａ５ Ｄ．２ａ２·ａ＝２ａ３ ２ 的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． ５．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，点 Ｅ为 ＣＤ的中点．若 ＯＥ＝３，则菱形 ＡＢＣＤ的周 １３．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中 （３）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价． 长为 （Ｃ） １ 随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 ． （１）７８．５ ４４％ （４分） Ａ．６ Ｂ．１２ Ｃ．２４ Ｄ．４８ ６ （２）不正确．因为甲的成绩７７分低于中位数７８．５分，所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩． （７分） ６．一元二次方程 ｘ２＋ｘ－１＝０的根的情况是 （Ａ） １４．如图，将扇形ＡＯＢ沿ＯＢ方向平移，使点Ｏ移到ＯＢ的中点Ｏ′处，得到扇形Ａ′Ｏ′Ｂ′．若∠Ｏ＝９０°，ＯＡ＝２，则 （３）测试成绩不低于 ８０分的人数占测试人数的 ４４％，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好． Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．没有实数根 １ 槡３ 阴影部分的面积为 π＋ ． （注：答案不唯一，合理即可） （９分） Ｃ．有两个相等的实数根 Ｄ．只有一个实数根 ３ ２ ｋ ７．如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分 ５分），则所打分数的众 １８．（９分）如图，反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点 Ａ（２，４）和点 Ｂ，点 Ｂ在点 Ａ的下方，ＡＣ平分 ｘ 数为 （Ｂ） ∠ＯＡＢ，交 ｘ轴于点 Ｃ． Ａ．５分 Ｂ．４分 Ｃ．３分 Ｄ．４５％ ８．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：１亿＝１万× （１）求反比例函数的表达式． １万，１兆＝１万×１万×１亿．则１兆等于 （Ｃ） （２）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 ＡＣ的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用 ２Ｂ Ａ．１０８ Ｂ．１０１２ Ｃ．１０１６ Ｄ．１０２４ （第１４题） （第１５题） 铅笔作图） 河南中考４５套汇编·数学 ４— １ 河南中考４５套汇编·数学 ４— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ４— ３ 书书书（３）线段 ＯＡ与（２）中所作的垂直平分线相交于点 Ｄ，连接 ＣＤ．求证：ＣＤ∥ＡＢ． 在Ｒｔ△ＤＨＦ中，∠ＤＦＨ＝４５°， 恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． ∴ＦＨ＝ＤＨ＝ｘ． （４分） 在Ｒｔ△ＤＨＥ中，∠ＤＥＨ＝３４°， ＤＨ ｘ ∴ＥＨ＝ ＝ ． ｔａｎ３４°ｔａｎ３４° ｘ ∵ＥＦ＝１５，∴ＥＨ－ＦＨ＝１５，即 －ｘ＝１５， （７分） （１）由题意知，点（５，３．２）是抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ的顶点， ｔａｎ３４° ∴ｙ＝ａ（ｘ－５）２＋３．２． ∴ｘ≈３０．５， ｋ 又∵抛物线经过点（０，０．７），∴０．７＝ａ（０－５）２＋３．２， （１）∵反比例函数ｙ＝ 的图象经过点Ａ（２，４）， ∴ＤＣ＝３０．５＋１．５＝３２． ｘ 解得ａ＝－０．１， （４分） 答：拂云阁ＤＣ的高度约为３２ｍ． （９分） ∴ｋ＝２×４＝８， ∴抛物线的表达式为ｙ＝－０．１（ｘ－５）２＋３．２（或ｙ＝－０．１ｘ２＋ｘ＋０．７）． （５分） ２０．（９分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解， ８ （２）当ｙ＝１．６时，１．６＝－０．１（ｘ－５）２＋３．２， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （４分） ｘ ５ 市场上每捆Ａ种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用３００元在市场上购买的Ａ种菜苗比在菜苗基地购买的 解得ｘ＝１，ｘ＝９， （７分） １ ２ ４ （２）如图． ∴３－１＝２，９－３＝６． 少３捆． 答：小红与爸爸的水平距离为２ｍ或６ｍ． （９分） （１）求菜苗基地每捆 Ａ种菜苗的价格． ２２．（１０分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环 （２）菜苗基地每捆Ｂ种菜苗的价格是３０元．学校决定在菜苗基地购买Ａ，Ｂ两种菜苗共１００捆，且Ａ种菜 器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙Ｏ与水平地 苗的捆数不超过Ｂ种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对Ａ，Ｂ两种菜苗均提供九折优惠．求本 面相切于点 Ｃ，推杆 ＡＢ与铅垂线 ＡＤ的夹角为∠ＢＡＤ，点 Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一平面内．当推杆 ＡＢ与 次购买最少花费多少钱． （６分） 铁环⊙Ｏ相切于点 Ｂ时，手上的力量通过切点 Ｂ传递到铁环上，会有较好的启动效果． （１）设菜苗基地每捆Ａ种菜苗的价格为ｘ元，根据题意，得 （３）证明：∵ＡＣ平分∠ＯＡＢ，∴∠ＯＡＣ＝∠ＢＡＣ． （１）求证：∠ＢＯＣ＋∠ＢＡＤ＝９０°． ３００３００ ∵ＡＣ的垂直平分线交ＯＡ于点Ｄ， － ＝３， （３分） （２）实践中发现，切点 Ｂ只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 Ｂ是该区域内 ｘ ５ ｘ ∴ＤＡ＝ＤＣ，∴∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ， ４ ３ 最低位置，此时点 Ａ到地面的距离 ＡＤ最小，测得 ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝ ．已知铁环⊙Ｏ的半径为 ２５ｃｍ， ５ ∴∠ＤＣＡ＝∠ＢＡＣ， 解得ｘ＝２０， 推杆 ＡＢ的长为７５ｃｍ，求此时 ＡＤ的长． ∴ＣＤ∥ＡＢ． （９分） 经检验，ｘ＝２０是原方程的解． １９．（９分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的 答：菜苗基地每捆Ａ种菜苗的价格为２０元． （５分） 建筑．某数学小组测量拂云阁 ＤＣ的高度，如图，在 Ａ处用测角仪测得拂云阁顶端 Ｄ的仰角为 ３４°， （２）设购买Ａ种菜苗ａ捆，则购买Ｂ种菜苗（１００－ａ）捆，根据题意，得 沿 ＡＣ方向前进１５ｍ到达 Ｂ处，又测得拂云阁顶端 Ｄ的仰角为４５°．已知测角仪的高度为１．５ｍ，测 ａ≤１００－ａ，解得ａ≤５０． （６分） 量点Ａ，Ｂ与拂云阁ＤＣ的底部Ｃ在同一水平线上，求拂云阁ＤＣ的高度（结果精确到１ｍ．参考数据： 设本次购买花费ｗ元，则ｗ＝２０ａ×０．９＋３０（１００－ａ）×０．９＝－９ａ＋２７００． （１）证明： ｓｉｎ３４°≈０．５６，ｃｏｓ３４°≈０．８３，ｔａｎ３４°≈０．６７）． ∵－９＜０，∴ｗ随ａ的增大而减小， 方法一：如图（１），过点 Ｂ作 ＥＦ∥ＣＤ，交 ＡＤ于点 Ｅ，交 ＯＣ于点 Ｆ． ∴当ａ＝５０时，ｗ有最小值，ｗ ＝－４５０＋２７００＝２２５０． 最小 答：本次购买最少花费２２５０元． （９分） ２１．（９分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 Ｐ距地面０．７ｍ， 水柱在距喷水头 Ｐ水平距离５ｍ处达到最高，最高点距地面３．２ｍ；建立如图所示的平面直角坐标系，并 设抛物线的表达式为 ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ，其中 ｘ（ｍ）是水柱距喷水头的水平距离，ｙ（ｍ）是水柱距地面的 图（１） 高度． ∵ＣＤ与⊙Ｏ相切于点 Ｃ， 如图，延长ＥＦ交ＤＣ于点Ｈ，由题意知，ＥＨ⊥ＤＣ． （１）求抛物线的表达式． ∴∠ＯＣＤ＝９０°． 设ＤＨ＝ｘ． （２）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 Ｐ水平距离３ｍ．身高 １．６ｍ的小红在水柱下方走动，当她的头顶 ∵ＡＤ⊥ＣＤ，∴∠ＡＤＣ＝９０°． 河南中考４５套汇编·数学 ４— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ４— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ４— ６∵ＥＦ∥ＣＤ，∴∠ＯＦＢ＝９０°＝∠ＡＥＢ， ３ 理由如下： ∵ＡＢ＝７５，ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝ ，∴ＡＥ＝４５． （７分） ５ ∴∠ＢＯＣ＋∠ＯＢＦ＝９０°，∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＤ＝９０°． （３分） ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°． ∵ＡＢ为⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＢＡ＝９０°， ∵∠ＯＢＦ＝∠ＢＡＤ， 由轴对称性质，得ＢＭ＝ＡＢ，∠ＢＭＰ＝∠Ａ＝９０°， ∴∠ＯＢＦ＋∠ＡＢＥ＝９０°，∴∠ＯＢＦ＝∠ＢＡＤ， ∴ｃｏｓ∠ＯＢＦ＝ ３ ． ∴∠ＢＭＱ＝９０°＝∠Ｃ，ＢＭ＝ＢＣ． ５ 又∵ＢＱ是公共边， ∴∠ＢＯＣ＋∠ＢＡＤ＝９０°． （５分） 在 Ｒｔ△ＯＢＦ中， ∴Ｒｔ△ＭＢＱ≌Ｒｔ△ＣＢＱ， 方法二：如图（２），延长 ＯＢ交 ＣＤ于点 Ｍ． ∵ＯＢ＝２５，∴ＢＦ＝１５，∴ＯＦ＝２０． ∴∠ＭＢＱ＝∠ＣＢＱ． （８分） 又∵ＯＣ＝２５，∴ＣＦ＝５． （９分） ４０ ２４ （３） ｃｍ或 ｃｍ． （１０分） ∵∠ＯＣＤ＝∠ＡＤＣ＝∠ＣＦＥ＝９０°， １１ １３ 解法提示：由翻折的性质知ＡＰ＝ＰＭ，ＤＦ＝ＣＦ＝４． ∴四边形 ＣＤＥＦ为矩形，∴ＤＥ＝ＣＦ＝５， 由（２）可知，△ＭＢＱ≌△ＣＢＱ，∴ＭＱ＝ＣＱ． 图（２） ∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＥＤ＝５０ｃｍ． （１０分） 分两种情况讨论． ∵ＣＤ与⊙Ｏ相切于点 Ｃ， ２３．（１０分）综合与实践 ①当点Ｑ在ＥＦ下方时，如图（１）， ∴∠ＯＣＭ＝９０°， 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 则ＭＱ＝ＣＱ＝４－１＝３，ＤＱ＝４＋１＝５，ＰＱ＝ＡＰ＋３，ＰＤ＝８－ＡＰ． ∴∠ＢＯＣ＋∠ＢＭＣ＝９０°． （１）操作判断 由勾股定理，得ＰＤ２＋ＤＱ２＝ＰＱ２， ∵ＡＤ⊥ＣＤ，∴∠ＡＤＣ＝９０°． 操作一：对折矩形纸片 ＡＢＣＤ，使 ＡＤ与 ＢＣ重合，得到折痕 ＥＦ，把纸片展平； ４０ ∵ＡＢ为⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＢＡ＝９０°， 操作二：在 ＡＤ上选一点 Ｐ，沿 ＢＰ折叠，使点 Ａ落在矩形内部点 Ｍ处，把纸片展平，连接 ＰＭ，ＢＭ． ∴（８－ＡＰ）２＋５２＝（ＡＰ＋３）２，∴ＡＰ＝ ． １１ ∴∠ＡＢＭ＝９０°， （３分） 根据以上操作，当点 Ｍ在 ＥＦ上时，写出图（１）中一个 ３０°的角： ∠ＡＢＰ，∠ＰＢＭ，∠ＭＢＣ或∠ＢＭＥ ∴在四边形 ＡＢＭＤ中，∠ＢＡＤ＋∠ＢＭＤ＝１８０°． （注：任意写出一个即可） ． ∵∠ＢＭＣ＋∠ＢＭＤ＝１８０°，∴∠ＢＭＣ＝∠ＢＡＤ， （２）迁移探究 ∴∠ＢＯＣ＋∠ＢＡＤ＝９０°． （５分） 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下． 方法三：如图（３），过点 Ｂ作 ＢＮ∥ＡＤ， 将正方形纸片 ＡＢＣＤ按照（１）中的方式操作，并延长 ＰＭ交 ＣＤ于点 Ｑ，连接 ＢＱ． 图（１） ①如图（２），当点 Ｍ在 ＥＦ上时，∠ＭＢＱ＝ １５ °，∠ＣＢＱ＝ １５ °； ②当点Ｑ在ＥＦ上方时，如图（２）， ②改变点 Ｐ在ＡＤ上的位置（点Ｐ不与点Ａ，Ｄ重合），如图（３），判断∠ＭＢＱ与∠ＣＢＱ的数量关系，并 则ＭＱ＝ＣＱ＝４＋１＝５，ＤＱ＝４－１＝３，ＰＱ＝ＡＰ＋５，ＰＤ＝８－ＡＰ． 说明理由． 由勾股定理，得ＰＤ２＋ＤＱ２＝ＰＱ２， （３）拓展应用 ２４ 图（３） ∴（８－ＡＰ）２＋３２＝（ＡＰ＋５）２，∴ＡＰ＝ ． 在（２）的探究中，已知正方形纸片 ＡＢＣＤ的边长为８ｃｍ，当 ＦＱ＝１ｃｍ时，直接写出 ＡＰ的长． １３ 则∠ＮＢＡ＝∠ＢＡＤ． ∵ＣＤ与⊙Ｏ相切于点 Ｃ，∴∠ＯＣＤ＝９０°． ∵ＡＤ⊥ＣＤ，∴∠ＡＤＣ＝９０°， ∴ＡＤ∥ＯＣ，∴ＢＮ∥ＯＣ， ∴∠ＮＢＯ＝∠ＢＯＣ． （３分） 图（２） ∵ＡＢ为⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＢＡ＝９０°， 图（１） 图（２） 图（３） ４０ ２４ ∴∠ＮＢＯ＋∠ＮＢＡ＝９０°， （１）∠ＡＢＰ，∠ＰＢＭ，∠ＭＢＣ或∠ＢＭＥ（注：任意写出一个即可） （２分） 综上所述，ＡＰ的长为 ｃｍ或 ｃｍ． １１ １３ ∴∠ＢＯＣ＋∠ＢＡＤ＝９０°． （５分） （２）①１５ １５ （４分） ②∠ＭＢＱ＝∠ＣＢＱ． （５分） （注：本问有多种方法，其他方法请参照给分） （注：若没有写出判断结果，但后续证明正确，不扣分） （２）如图（１），在 Ｒｔ△ＡＢＥ中， 河南中考４５套汇编·数学 ４— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ４— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ４— ９! ２０２１年河南省普通高中招生考试 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 图（１） 图（２） 一、选择题（每小题３分，共３０分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． （第９题） （第１０题） １．－２的绝对值是 （Ａ） １０．如图（１），矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ为 ＢＣ的中点，点 Ｐ沿 ＢＣ从点 Ｂ运动到点 Ｃ，设 Ｂ，Ｐ两点间的距离为 ｘ， １ １ Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ． Ｄ．－ ＰＡ－ＰＥ＝ｙ，图（２）是点 Ｐ运动时 ｙ随 ｘ变化的关系图象，则 ＢＣ的长为 （Ｃ） ２ ２ Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ２．河南人民济困最“给力”！据报道，２０２０年河南人民在济困方面捐款达到 ２．９４亿元．数据“２．９４亿” 二、填空题（每小题３分，共１５分） 用科学记数法表示为 （Ｂ） １ Ａ．２．９４×１０７ Ｂ．２．９４×１０８ Ｃ．０．２９４×１０８ Ｄ．０．２９４×１０９ １１．若代数式 有意义，则实数 ｘ的取值范围是 ｘ≠１ ． ｘ－１ ３．如图是由８个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是 （Ａ） １２．请写出一个图象经过原点的函数的解析式： ｙ＝ｘ（答案不唯一） ． １３．某外贸公司要出口一批规格为２００克／盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，他们的价格相同，品质也 相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取１５盒进行检测，测得它们的平均质量均为 ２００克，每盒红枣的 质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是 甲 （填“甲”或“乙”）． ４．下列运算正确的是 （Ｃ） Ａ．（－ａ）２＝－ａ２ Ｂ．２ａ２－ａ２＝２ Ｃ．ａ２·ａ＝ａ３ Ｄ．（ａ－１）２＝ａ２－１ ５．如图，ａ∥ｂ，∠１＝６０°，则∠２的度数为 （Ｄ） Ａ．９０° Ｂ．１００° Ｃ．１１０° Ｄ．１２０° 图（１） 图（２） 图（３） （第１３题） （第１４题） （第１５题） （第５题） （第８题） １４．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为１，点 Ａ，Ｂ，Ｄ均在小正方形的顶点上，且点 Ｂ，Ｃ在 ＡＤ ６．关于菱形的性质，以下说法不正确的是 （Ｂ） 獉獉獉 Ａ．四条边相等 Ｂ．对角线相等 Ｃ．对角线互相垂直 Ｄ．是轴对称图形 ７．若方程 ｘ２－２ｘ＋ｍ＝０没有实数根，则 ｍ的值可以是 （Ｄ） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．槡３ ８．现有４张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这４张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽 取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是 （Ａ） １ １ １ １ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６ ８ １０ １２ ９．如图，ＯＡＢＣ的顶点 Ｏ（０，０），Ａ（１，２），点 Ｃ在 ｘ轴的正半轴上，延长 ＢＡ交 ｙ轴于点 Ｄ．将△ＯＤＡ绕 点Ｏ顺时针旋转得到△ＯＤ′Ａ′，当点Ｄ的对应点Ｄ′落在线段ＯＡ上时，Ｄ′Ａ′的延长线恰好经过点Ｃ，则 点 Ｃ的坐标为 （Ｂ） Ａ．（２槡３，０） Ｂ．（２槡５，０） Ｃ．（２槡３＋１，０） Ｄ．（２槡５＋１，０） 河南中考４５套汇编·数学 ５— １ 河南中考４５套汇编·数学 ５— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ５— ３ 书书书 ) 上， ∠ＢＡＣ＝２２．５°，则 ＢＣ ) ｘ－１ ｘ２ （２）原式＝ · （３分） ｘ ２（ｘ－１） ｘ ＝ ． （５分） ２ １７．（９分）２０２１年４月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生 每天睡眠时间应达到９小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取 ５００ 名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 调查问卷 １．近两周你平均每天睡眠时间大约是 小时． 如果你平均每天睡眠时间不足 ９小时，请回 答第２个问题． ２．影响你睡眠时间的主要原因是 （单 选）． Ａ．校内课业负担重 Ｂ．校外学习任务重 Ｃ．学习效率低 Ｄ．其他 平均每天睡眠时间 ｘ（小时）分为５组：①５≤ｘ＜６；②６≤ｘ＜７；③７≤ｘ＜８；④８≤ｘ＜９；⑤９≤ｘ＜１０． 根据以上信息，解答下列问题： （１）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 ③ （填序号）组，达到 ９小时的学生人数占被 调查人数的百分比为 １７％ ； （２）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． （１）③ １７％ （６分） （２）多数学生平均每天的睡眠时间没有达到９小时．建议学校加强管理，减轻学生的校内课业负担；建议家长 不要给孩子增加过多的校外学习任务．（注：答案不唯一，合理即可） （９分） １８．（９分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点 Ｏ重 ５π ｋ 的长为 ． 合，边分别与坐标轴平行，反比例函数 ｙ＝ 的图象与大正方形的一边交 ４ ｘ １５．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图（１），在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝１．第一 于点 Ａ（１，２），且经过小正方形的顶点 Ｂ． 步，在 ＡＢ边上找一点 Ｄ，将纸片沿 ＣＤ折叠，点Ａ落在Ａ′处，如图（２）；第二步，将纸片沿ＣＡ′折叠，点Ｄ落 （１）求反比例函数的解析式； １ （２）求图中阴影部分的面积． 在 Ｄ′处，如图（３）．当点 Ｄ′恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段 Ａ′Ｄ′的长为 或２－ 槡３ ． ２ ｋ （１）∵反比例函数ｙ＝ 的图象经过点Ａ（１，２）， 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） ｘ １ １ ２ｘ－２ ∴ｋ＝１×２＝２， （３分） １６．（１０分）（１）计算：３－１－ 槡９ ＋（３－ 槡３）０； （２）化简：（１－ ｘ ）÷ ｘ２ ． ２ ∴反比例函数的解析式为ｙ＝ ． （４分） １ １ ｘ （１）原式＝ － ＋１ （３分） ３ ３ ２ （２）如图，∵反比例函数ｙ＝ 的图象过点Ｂ， ＝１． （５分） ｘ２０ （２）若⊙Ｏ的半径为５，ＡＰ＝ ，求 ＢＰ的长． 类别 ３ 价格 Ａ款玩偶 Ｂ款玩偶 进货价／（元／个） ４０ ３０ 销售价／（元／个） ５６ ４５ （１）第一次小李用１１００元购进了 Ａ，Ｂ两款玩偶共３０个，求两款玩偶分别购进多少个． （２）第二次小李进货时，网店规定 Ａ款玩偶进货数量不得超过 Ｂ款玩偶进货数量的一半．小李计划 ∴正方形ＯＣＢＤ的面积为２． （６分） 图（１） 图（２） 购进两款玩偶共３０个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 由图可知，ＯＥ＝２， （１）证明：如图，连接ＯＰ． （１分） （３）小李第二次进货时采取了（２）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度 ∴正方形ＯＥＦＧ的面积为２×２＝４， （８分） !"#$%&’(%)*+,)-./ 分析，对于小李来说哪一次更合算？ ∴阴影部分的面积为４×（４－２）＝８． （９分） ∵ＡＰ是⊙Ｏ的切线， 利润 （注：利润率＝ ×１００％） １９．（９分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像． ∴ＯＰ⊥ＡＰ，∴∠ＯＰＡ＝９０°， 成本 某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点 Ａ与佛像 ＢＤ的底 ∴∠ＰＡＯ＋∠ＰＯＡ＝９０°． （１）设Ａ款玩偶购进ｘ个，Ｂ款玩偶购进ｙ个， （１分） 部 Ｄ在同一水平线上．已知佛像头部 ＢＣ为 ４ｍ，在 Ａ处测得佛像头顶部 Ｂ的仰角为 ４５°，头底部 Ｃ ∵ＯＡ⊥ＯＢ， {ｘ＋ｙ＝３０， 根据题意，得 ∴∠ＰＯＡ＋∠１＝９０°， ４０ｘ＋３０ｙ＝１１００， 的仰角为 ３７．５°，求佛像 ＢＤ的高度（结果精确到 ０．１ｍ．参考数据：ｓｉｎ３７．５°≈０．６１，ｃｏｓ３７．５°≈ ∴∠ＰＡＯ＝∠１． {ｘ＝２０， ０７９，ｔａｎ３７．５°≈０．７７）． 解得 ∵ＯＰ＝ＯＢ， ｙ＝１０． ∴∠ＯＰＢ＝∠ＯＢＰ， 答：Ａ款玩偶购进２０个，Ｂ款玩偶购进１０个． （４分） ∴∠１＝２∠ＰＢＯ， １ （２）设Ａ款玩偶购进ａ个，则Ｂ款玩偶购进（３０－ａ）个，根据题意，得ａ≤ （３０－ａ）， ∴∠ＰＡＯ＝２∠ＰＢＯ． （５分） ２ （２）如图，过点Ｐ作ＰＣ⊥ＯＮ，垂足为Ｃ． （６分） 解得ａ≤１０． （６分） 设利润为ｗ元，则ｗ＝（５６－４０）ａ＋（４５－３０）（３０－ａ）＝ａ＋４５０． ∵１＞０，∴ｗ随ａ的增大而增大， 设ＢＤ＝ｘ，在Ｒｔ△ＢＤＡ中，∠ＢＤＡ＝９０°，∠ＢＡＤ＝４５°， ∴当ａ＝１０时，ｗ取最大值，ｗ ＝１０＋４５０＝４６０． 最大 ∴ＡＤ＝ＢＤ＝ｘ． （３分） ３０－ａ＝３０－１０＝２０． 在Ｒｔ△ＣＤＡ中，∠ＣＡＤ＝３７．５°， ２０ 答：应购进Ａ款玩偶１０个，Ｂ款玩偶２０个才能获得最大利润，最大利润为４６０元． （８分） 在Ｒｔ△ＰＯＡ中，ＯＰ＝５，ＡＰ＝ ， ３ ∴ＣＤ＝ＡＤ·ｔａｎ３７．５°≈０．７７ｘ． （６分） （３）∵第一次销售利润为（５６－４０）×２０＋（４５－３０）×１０＝４７０（元）， ３ ∵ＢＣ＝４，∴ＢＤ－ＣＤ＝４，即ｘ－０．７７ｘ＝４， ∴ｔａｎ∠ＰＡＯ＝ ． ４７０ ４ ∴利润率为 ×１００％≈４３％． １１００ 解得ｘ≈１７．４． ∵∠１＝∠ＰＡＯ， ４６０ 答：佛像ＢＤ的高度约为１７．４ｍ． （９分） ＰＣ ３ ∵第二次销售利润率为 ×１００％＝４６％， ∴ｔａｎ∠１＝ ＝ ． １０×４０＋２０×３０ ＯＣ ４ ２０．（９分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”， ４３％＜４６％， 设ＰＣ＝３ｘ，ＯＣ＝４ｘ，则ＯＰ＝槡ＯＣ２＋ＰＣ２＝５ｘ， 推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”． ∴从利润率的角度分析，第二次更合算． （９分） ∴ｘ＝１， 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图（１），两个固定长度的“连杆”ＡＰ，ＢＰ的连接点 ２２．（１０分）如图，抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｍｘ与直线 ｙ＝－ｘ＋ｂ交于点 Ａ（２，０）和点 Ｂ． ∴ＰＣ＝３，ＯＣ＝４， Ｐ在⊙Ｏ上，当点 Ｐ在⊙Ｏ上转动时，带动点 Ａ，Ｂ分别在射线 ＯＭ，ＯＮ上滑动，ＯＭ⊥ＯＮ．当 ＡＰ与 ∴ＢＣ＝５＋４＝９． （１）求 ｍ和 ｂ的值； ⊙Ｏ相切时，点 Ｂ恰好落在⊙Ｏ上，如图（２）． （２）求点 Ｂ的坐标，并结合图象写出不等式 ｘ２＋ｍｘ＞－ｘ＋ｂ的解集； 在Ｒｔ△ＰＢＣ中，ＢＰ＝槡ＰＣ２＋ＢＣ２＝槡３２＋９２＝３槡１０． （９分） 请仅就图（２）的情形解答下列问题． ２１．（９分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中 Ａ，Ｂ两款猕猴玩偶， （３）点Ｍ是直线ＡＢ上的一个动点，将点Ｍ向左平移３个单位长度得到点Ｎ，若线段ＭＮ与抛物线只 （１）求证：∠ＰＡＯ＝２∠ＰＢＯ； 决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 有一个公共点，直接写出点 Ｍ的横坐标 ｘ 的取值范围． Ｍ 河南中考４５套汇编·数学 ５— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ５— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ５— ６∴ＰＦ＝ＰＥ． ∠ＰＯＨ，即射线 ＯＰ是∠ＡＯＢ的平分线． 又∵ＯＰ＝ＯＰ，ＯＦ＝ＯＥ， 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图（２），（１）分别 ∴△ＦＯＰ≌△ＥＯＰ， 在射线 ＯＡ，ＯＢ上截取 ＯＣ＝ＯＤ，ＯＥ＝ＯＦ（点 Ｃ，Ｅ不重合）；（２）连接 ＤＥ，ＣＦ，交点为 Ｐ；（３）作射 ∴∠ＦＯＰ＝∠ＥＯＰ，即射线ＯＰ是∠ＡＯＢ的平分线． （８分） 线 ＯＰ．射线 ＯＰ即为∠ＡＯＢ的平分线． （３）２或２＋ 槡３． （１０分） …… 解法提示：连接ＥＦ，∵ＯＥ＝ＯＦ，∠ＥＯＦ＝６０°， ∴△ＯＥＦ是等边三角形，∴∠ＯＥＦ＝６０°． （１）抛物线ｙ＝ｘ２＋ｍｘ经过点Ａ（２，０）， 作射线ＯＰ，由（２）可知，射线ＯＰ是∠ＡＯＢ的平分线，ＰＥ＝ＰＦ， ∴４＋２ｍ＝０，∴ｍ＝－２． （２分） ∴∠ＡＯＰ＝３０°． 分两种情况讨论． ∵直线ｙ＝－ｘ＋ｂ经过点Ａ（２，０）， ①当点Ｃ在点Ｅ下方时，如图（１），过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＡ于点Ｍ． ∴－２＋ｂ＝０，∴ｂ＝２． （４分） ∵∠ＣＰＥ＝３０°，ＰＥ＝ＰＦ， （２）当ｘ２－２ｘ＝－ｘ＋２时，ｘ＝－１，ｘ＝２， １ ２ ∴∠ＰＥＦ＝∠ＰＦＥ＝１５°，∴∠ＯＥＰ＝４５°， ∴点Ｂ的坐标为（－１，３）． （６分） 图（１） 图（２） ∴ＭＥ＝ＭＰ． 结合图象可知，不等式ｘ２＋ｍｘ＞－ｘ＋ｂ的解集为ｘ＜－１或ｘ＞２． （８分） （３）－１≤ｘ＜２或ｘ＝３． （１０分） 在Ｒｔ△ＯＭＰ中，∠ＭＯＰ＝３０°，∴ＯＭ＝ 槡３ＭＰ． Ｍ Ｍ 任务： 解法提示：将直线ＡＢ向左平移３个单位长度得到直线ｌ，易知直线ｌ的解析式为ｙ＝－ｘ－１． 又ＯＥ＝ＯＭ＋ＭＥ＝ 槡３＋１，∴槡３ＭＰ＋ＭＰ＝ 槡３＋１， （１）小明得出 Ｒｔ△ＰＧＯ≌Ｒｔ△ＰＨＯ的依据是 ⑤ （填序号）． ∴ＭＰ＝１，∴ＯＰ＝２． 令－ｘ－１＝ｘ２－２ｘ，整理，得ｘ２－ｘ＋１＝０，易知该方程没有实数根， ①ＳＳＳ ②ＳＡＳ ③ＡＡＳ ④ＡＳＡ ⑤ＨＬ ∵∠ＯＣＰ＝∠ＯＥＰ＋∠ＣＰＥ＝７５°， 故直线ｌ与抛物线没有公共点，如图． （２）小军作图得到的射线 ＯＰ是∠ＡＯＢ的平分线吗？请判断并说明理由． ∴∠ＯＰＣ＝１８０°－∠ＣＯＰ－∠ＯＣＰ＝７５°＝∠ＯＣＰ， 易知抛物线的顶点坐标为（１，－１），过点（１，－１）作ｘ轴的平行线，交直线ＡＢ于点Ｃ． （３）如图（３），已知∠ＡＯＢ＝６０°，点 Ｅ，Ｆ分别在射线 ＯＡ，ＯＢ上，且 ＯＥ＝ＯＦ＝ ３＋１．点 Ｃ，Ｄ分别为射线 ∴ＯＣ＝ＯＰ＝２． 当点Ｍ在线段ＡＢ上（不与点Ａ重合）时，线段ＭＮ与抛物线只有一个公共点，此时－１≤ｘ＜２． Ｍ ＯＡ，ＯＢ上的动点，且 ＯＣ＝ＯＤ，连接 ＤＥ，ＣＦ，交点为 Ｐ，当∠ＣＰＥ＝３０°时，直接写出线段 ＯＣ的长． 当点Ｍ在线段ＡＣ上（不与点Ｃ重合）时，线段ＭＮ与抛物线有两个公共点． 当点Ｍ与点Ｃ重合时，线段ＭＮ与抛物线只有一个公共点，此时ｙ＝－１，代入ｙ＝－ｘ＋２，得ｘ＝３． Ｍ Ｍ Ｍ Ｍ 综上可知，点Ｍ的横坐标ｘ的取值范围为－１≤ｘ＜２或ｘ＝３． Ｍ Ｍ Ｍ 图（１） 图（２） ②当点Ｃ在点Ｅ上方时，如图（２），过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＡ于点Ｍ． 图（３） ∵∠ＣＰＥ＝３０°，ＰＥ＝ＰＦ， （１）⑤ （２分） ∴∠ＰＥＦ＝∠ＰＦＥ＝１５°， （２）是．（注：若没写出判断结果，但后续证明正确，不扣分） （３分） ∴∠ＯＣＰ＝∠ＯＥＦ－∠ＰＦＥ＝４５°， 理由如下： ∴ＣＭ＝ＰＭ． 由作图可知，ＯＣ＝ＯＤ，ＯＦ＝ＯＥ． ２３．（１０分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完 ∵∠ＯＥＰ＝∠ＯＥＦ＋∠ＰＥＦ＝７５°， 又∵∠ＣＯＦ＝∠ＤＯＥ， 成相应的任务． ∴∠ＯＰＥ＝１８０°－∠ＣＯＰ－∠ＯＥＰ＝７５°＝∠ＯＥＰ， ∴△ＣＯＦ≌△ＤＯＥ， ∴ＯＰ＝ＯＥ＝ 槡３＋１， 小明：如图（１），（１）分别在射线 ＯＡ，ＯＢ上截取 ＯＣ＝ＯＤ，ＯＥ＝ＯＦ（点 Ｃ，Ｅ不重合）；（２）分 ∴∠ＯＦＣ＝∠ＯＥＤ． （５分） ３＋ 槡３ 槡３＋１ 别作线段 ＣＥ，ＤＦ的垂直平分线 ｌ，ｌ，交点为 Ｐ，垂足分别为点 Ｇ，Ｈ；（３）作射线 ＯＰ．射线 ＯＰ即 连接ＥＦ． ∴ＯＭ＝ＯＰｃｏｓ３０°＝ ，ＭＰ＝ＯＰｓｉｎ３０°＝ ， １ ２ ２ ２ 为∠ＡＯＢ的平分线． ∵ＯＦ＝ＯＥ， ３＋ 槡３槡３＋１ 简述理由如下： ∴∠ＯＦＥ＝∠ＯＥＦ， ∴ＯＣ＝ＯＭ＋ＣＭ＝ＯＭ＋ＰＭ＝ ２ ＋ ２ ＝２＋ 槡３． 由作图知，∠ＰＧＯ＝∠ＰＨＯ＝９０°，ＯＧ＝ＯＨ，ＯＰ＝ＯＰ，所以 Ｒｔ△ＰＧＯ≌Ｒｔ△ＰＨＯ，则∠ＰＯＧ＝ ∴∠ＰＦＥ＝∠ＰＥＦ， 综上可知，线段ＯＣ的长为２或２＋ 槡３． 河南中考４５套汇编·数学 ５— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ５— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ５— ９８．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，如图为某辆共享单车的示意图，ＡＢ与地面平行，坐垫 Ｃ ＝０． （５分） ! 河南省实验中学 ２０２５年九年级学业诊断（三） 可沿射线 ＢＥ方向调节．已知∠ＡＢＥ＝８０°，车轮半径为 ３０ｃｍ，当 ＢＣ＝７０ｃｍ时，小明体验后觉得骑着比较 ａ＋２ ａ（ａ＋１） （２）原式＝１－ · （２分） ａ （ａ＋２）（ａ－２） 舒适，此时坐垫Ｃ离地面的高度约为（结果精确到１ｃｍ．参考数据：ｓｉｎ８０°≈０．９８，ｃｏｓ８０°≈０．１７，ｔａｎ８０°≈ ａ＋１ ５．６７） （Ａ） ＝１－ （３分） 数 学 ａ－２ Ａ．９９ｃｍ Ｂ．９０ｃｍ Ｃ．８０ｃｍ Ｄ．６９ｃｍ ａ－２ａ＋１ ＝ － （４分） （满分１２０分，考试时间１００分钟） ａ－２ａ－２ 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） ３ ＝－ ． （５分） ａ－２ １．我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园———吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为－８１米．－８１的 １７．（９分）某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加人工 绝对值是 （Ａ） 智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取 １０人，记录下他们的测试得分并进行整理和分析（得分 １ １ Ａ．８１ Ｂ． Ｃ．－８１ Ｄ．－ 用 ｘ表示且均为整数，共分为四组：Ａ．９０≤ｘ≤１００；Ｂ．８０≤ｘ＜９０；Ｃ．７０≤ｘ＜８０；Ｄ．ｘ＜７０），下面给出了 ８１ ８１ （第８题） （第９题） 部分信息： ９．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝３０°，ＡＣ＝３，Ｄ为直角边 ＢＣ上的一点，以点 Ｄ为圆心，ＣＤ为半 ２．根据河南省文化和旅游厅数据显示，２０２５年“五一”５天假期，河南省接待游客 ６４５０．３万人次，同比 七年级１０人的得分为４７，５６，６８，７１，８３，８３，８５，９０，９１，９４； 径作半圆 Ｄ，斜边 ＡＢ与半圆 Ｄ相切于点 Ｅ，则图中阴影部分的面积为 （Ｂ） 增长４．６％．数据“６４５０．３万”用科学记数法表示为 （Ｂ） 八年级１０人的得分在 Ｂ组中的分数为８３，８４，８４，８７． ３槡３ π ３槡３ π 槡３ π 槡３ π Ａ．６．４５０３×１０６ Ｂ．６．４５０３×１０７ Ｃ．６４．５０３×１０６ Ｄ．０．６４５０３×１０８ Ａ． ＋ Ｂ． － Ｃ． ＋ Ｄ． － ２ ２ ２ ２ ２ ６ ２ ６ 八年级得分等级扇形统计图 ３．如图，将木条 ａ，ｂ与 ｃ钉在一起，∠１＝７５°，∠２＝６０°，要使木条 ａ与 ｂ平行，则木条 １０． !)* +,-./0123 已知二次函数 ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋３（ａ为常数，且 ａ≠０），当 １≤ｘ≤４时，函 ａ旋转的度数至少为 （Ａ） 数的最大值与最小值之差为８，则 ａ的值为 （Ｃ） Ａ．１５° Ｂ．２０° Ａ．４或－４ Ｂ．３或－３ Ｃ．２或－２ Ｄ．１或－１ Ｃ．２５° Ｄ．３０° 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１． !45 67893 请写出一个当 ｘ＞０时，ｙ随 ｘ的增大而增大的函数表达式： ｙ＝ｘ（答案不唯 ４． !"# $%&’( 如图是“古荥对花鼓”的立体图形，该立体图形的左视图是 （Ｄ） 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示． 一） ． 年级 平均数 中位数 众数 １２．开封是全国知名的文化旅游城市，七年级学生小明和小亮两个家庭均在 ２０２５年“五一”假期去开封游 七 ７６．８ ８３ ａ 玩，并约定好于５月２号上午在“清明上河园、龙亭公园、开封府、万岁山”四个景区中随机选择一个作为 八 ７６．８ ｂ ８４ １ 游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为 ． 根据以上信息，解答下列问题： ４ {ｘ＜２ｘ－１， （１）填空：ａ＝ ８３ ，ｂ＝ ８３．５ ，ｍ＝ ２０ ； ５．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 （Ｃ） １ １３．关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２＋ｘ＋ｋ＝０有两个相等的实数根，则 ｋ的值为 ． ３ｘ≤６ ４ （２）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； １４．如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，正方形 ＡＢＣＤ的顶点 Ａ（０，１２），Ｂ（５，０），过点 Ｄ （３）若七年级有２０００人参与测试，八年级有 １８００人参与测试，请估计七、八两个年级得分在 Ａ组 作 ＤＦ⊥ｘ轴交 ＡＣ于点 Ｅ，连接 ＢＥ，则 ＢＥ＋ＥＦ的值为 １７ ． 的共有多少人． １５．矩形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ长为 １，∠ＢＡＤ的平分线交边 ＢＣ于点 Ｅ（点 Ｅ不与点 Ｃ重 （１）８３ ８３．５ ２０ （３分） ６．下列说法一定正确的是 （Ｃ） （２）八年级在此次人工智能科普测试中表现更好． （４分） 合），连接 ＤＥ，若△ＡＤＥ的形状为等腰三角形，则 ＢＣ边的长为 槡２或２ ． Ａ．平行四边形的对角线互相垂直 Ｂ．对角线互相垂直的四边形是菱形 理由：两个年级的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级在此次人工智能科普测 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） 试中表现更好．（答案不唯一，回答合理即可） （６分） Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ａ＋２ａ２－４ １６．（１０分）（１）计算：２０２５０＋ 槡 ３－８＋ｔａｎ４５°； （２）化简：１－ ÷ ． ａ ａ２＋ａ ３ ７．下列运算正确的是 （Ｄ） （３）∵２０００× ＝６００（人），１８００×２０％＝３６０（人）， １０ （１）原式＝１－２＋１ （３分） Ａ．（ａ２）３＝ａ５ Ｂ．３ａ３·２ａ２＝６ａ６ Ｃ．（－２ａ）３＝－６ａ３ Ｄ．ａ６÷ａ５＝ａ ∴估计七、八两个年级得分在Ａ组的共有６００＋３６０＝９６０（人）． （９分） 河南中考４５套汇编·数学 ６— １ 河南中考４５套汇编·数学 ６— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ６— ３ 书书书１８．（９分）如图所示，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ为斜边 ＡＢ上的中线． １ 方法二：如图（２），连接 ＣＯ． （１）∵点Ａ的横坐标为－２，且点Ａ在一次函数ｙ＝－ ｘ＋２的图象上， １ ２ （１）用无刻度的直尺和圆规在ＡＣ下方作∠ＣＡＭ，使得∠ＣＡＭ＝∠ＢＡＣ，在射线ＡＭ上截取ＡＥ＝ＡＤ，连 １ 接 ＣＥ（不写作法，保留作图痕迹）； ∴ｙ＝－ ×（－２）＋２＝３，∴Ａ（－２，３）． １ ２ （２）请判断四边形 ＡＤＣＥ的形状，并说明理由． ｋ ∵点Ａ在反比例函数ｙ＝ 的图象上， ２ ｘ ∴ｋ＝－２×３＝－６． （４分） （２）ｘ＜－２或０＜ｘ＜６． （６分） （３）∵Ａ（－２，３），∴ＡＣ＝３， 图（２）  １ 在△ＡＢＯ和△ＡＣＯ中， ｙ＝－ ｘ＋２， （１）如图所示． （４分）   ２ {ｘ＝－２， {ｘ＝６， ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＯ＝ＡＯ，ＢＯ＝ＣＯ， 解方程组 得 或  ｙ＝－ ６ ， ｙ＝３ ｙ＝－１， ∴△ＡＢＯ≌△ＡＣＯ（ＳＳＳ），∴∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＯ．  ｘ ∵ＡＯ＝ＢＯ，∴∠ＢＡＯ＝∠ＡＢＯ， ∴Ｂ（６，－１）， ∴∠ＣＡＯ＝∠ＡＢＯ． １ ∴Ｓ △ＡＢＣ ＝ ２ ×［６－（－２）］×３＝１２． （９分） 又∵∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＯ，∴∠ＣＡＯ＝∠ＡＣＤ， ２０．（９分）如图，三角形 ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ＝ＡＣ，连接 ＢＯ并延长交⊙Ｏ于点 Ｄ，连接 ＡＯ，ＡＤ，ＣＤ． ∴ＯＡ∥ＣＤ． （９分） （１）求证：∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ； ２１．（９分）文化路某文具店准备购进甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表： （２）菱形． （５分） （２）猜想 ＯＡ与 ＣＤ的位置关系，并说明理由． 甲水笔 乙水笔 理由如下： 每支进价／元 ａ ａ＋５ ∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ为斜边ＡＢ上的中线， 每支利润／元 ２ ３ ∴ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ． 已知花费４００元购进甲水笔的数量和花费８００元购进乙水笔的数量相等． ∵∠ＣＡＭ＝∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＭ＝∠ＤＣＡ， （１）求甲、乙两种水笔每支进价分别为多少元． ∴ＣＤ∥ＡＥ． （２）若该文具店准备拿出１０００元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数 ∵ＡＥ＝ＡＤ，ＡＤ＝ＣＤ，∴ＣＤ＝ＡＥ， 量不超过乙种水笔数量的４倍，则该文具店如何进货能使总利润最大？最大总利润为多少元？ （１）证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ． ∴四边形ＡＤＣＥ为平行四边形． ４００ ８００ ∵∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ． （３分） （１）根据题意，得 ＝ ， （２分） ａ ａ＋５ ∵ＡＥ＝ＡＤ，∴四边形ＡＤＣＥ为菱形． （９分） （２）平行． （４分） 解得ａ＝５， １ ｋ １９．（９分）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，一次函数 ｙ＝－ ｘ＋２与反比例函数 ｙ＝ 的图象交于点 Ａ， 理由：方法一：如图（１），连接 ＯＣ，则 ＯＢ＝ＯＣ． １ ２ ２ ｘ 经检验，ａ＝５是所列分式方程的解，且符合题意， 延长 ＡＯ交 ＢＣ于点 Ｈ， Ｂ，其中点 Ａ的横坐标为－２． ∴５＋５＝１０（元）． ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＯＢ＝ＯＣ， 答：甲种水笔每支进价为５元，乙种水笔每支进价为１０元． （４分） （１）求 ｋ的值； ∴ＡＨ垂直平分线段 ＢＣ!"#$%&’()*%+,-.．  １０００－１０ｘ （２）根据图象，直接写出不等式 ｙ＞ｙ的解集； （２）设购进乙种水笔ｘ支，则购进甲种水笔 支，即（２００－２ｘ）支， １ ２ ∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＣＤ＝９０°， ５ （３）过点 Ａ作 ＡＣ⊥ｘ轴于点 Ｃ，连接 ＢＣ，求△ＡＢＣ的面积． ∴ＣＤ⊥ＢＣ，∴ＯＡ∥ＣＤ． （９分） 根据题意，得２００－２ｘ≤４ｘ， １ 解得ｘ≥３３ （ｘ为正整数）． （６分） ３ 设总利润为ｗ元， 根据题意，得ｗ＝２（２００－２ｘ）＋３ｘ＝－ｘ＋４００， （７分） ∵－１＜０，∴ｗ随ｘ的增大而减小， ∴当ｘ＝３４时，ｗ最大，最大值为３６６，此时２００－２ｘ＝１３２． 图（１） 答：购进甲种水笔１３２支、乙种水笔３４支能使总利润最大，最大总利润为３６６元． （９分） 河南中考４５套汇编·数学 ６— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ６— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ６— ６ 书书书１ ２２．（１０分） !:; <=>? 某农户用喷枪给斜坡 ＯＡ上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条 当ｘ＝５时，ｙ＝－ （５－４）２＋５＝４．７５． ４ 抛物线．经测量，Ｐ处的喷水头距地面 １ｍ，水柱在距喷水头水平距离 ４ｍ处达到最高，最高点与水 ∵４．９＞４．７５， 平线 ＯＢ的距离为５ｍ，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为 ｘ（ｍ），水柱距水 ∴从Ｐ处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． （１０分） 平线的高度是ｙ（ｍ）． ２３．（１０分）综合与探究 （１）求 ｙ与 ｘ之间的函数关系式； ８槡３ 已知在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＡＢ边的中点，连接 ＤＥ． （３）ＡＢ的长度为 或８槡３． （１０分） ３ （２）若斜坡 ＯＡ的坡比为２∶５，即图中 ＡＢ∶ＯＢ＝２∶５，斜坡 ＯＡ上有一棵２．９ｍ高的树 ＥＣ，它与喷水头 【动手操作】 解法提示：∵△ＦＡＢ是直角三角形， 的水平距离为５ｍ，请判断从 Ｐ处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 如图（１），将四边形 ＢＣＤＥ沿 ＤＥ折叠，得到四边形ＦＧＤＥ，点Ｂ的对应点为点Ｆ，点Ｃ的对应点为点Ｇ，连 ∴分以下两种情况讨论． 接 ＦＡ，ＦＢ，如图（２）所示． 若∠ＦＡＢ＝６０° 若∠ＦＢＡ＝６０° 【问题解决】 （１）请直接写出图（２）中△ＦＡＢ的形状： 直角三角形 ． （２）判断图（２）中∠ＦＡＥ和∠ＥＤＧ的数量关系，并说明理由． 图示 【拓展探究】 （１）由题可知，其图象顶点坐标为（４，５）， （３）如图（３），若在平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９０°且 ＡＤ＝４，当△ＡＢＦ的某一个内角的度数为 ６０°时， 设ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ， 请直接写出 ＡＢ的长度． ∴ｙ＝ａ（ｘ－４）２＋５． 又∵抛物线ｙ＝ａ（ｘ－４）２＋５过点Ｐ（０，１）， ∠ＣＤＥ＝∠ＥＤＧ＝∠ＦＡＥ＝６０°，∴∠ＡＤＥ＝３０°， １ ∠ＣＤＥ＝∠ＥＤＧ＝∠ＦＡＥ＝９０°－６０°＝３０°，∴∠ＡＤＥ＝ ∴１＝ａ（０－４）２＋５，∴ａ＝－ ． ４ 分析 槡３ ４槡３ ８槡３ ∴ＡＥ＝ ＡＤ＝ ，∴ＡＢ＝ ． ６０°，∴ＡＥ＝ 槡３ＡＤ＝４槡３，∴ＡＢ＝８槡３． ３ ３ ３ １ ∴ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝－ （ｘ－４）２＋５． （５分） ４ 图（１） 图（２） 图（３） （２）不能． （６分） ８槡３ 理由如下： （１）直角三角形 （２分） 综上可知，ＡＢ的长度为 ３ 或８槡３． （２）∠ＦＡＥ＝∠ＥＤＧ． （３分） 如图，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＯＢ于点Ｈ． 理由：如图，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ∥ＣＤ，∴∠３＝∠４． 由折叠的性质、Ｅ为ＡＢ的中点， 得∠４＝∠ＥＤＧ，ＥＡ＝ＥＢ＝ＥＦ， ∴∠３＝∠ＥＤＧ，∠１＝∠ＦＡＥ， ∴∠２＝１８０°－２∠ＦＡＥ． 由题意得点Ｅ，Ｃ，Ｈ的横坐标为５，即 ∵四边形ＦＧＤＥ是由四边形ＢＣＤＥ翻折得到的， ∵斜坡ＯＡ的坡比为２∶５， ∴ＥＦ∥ＤＧ，∴∠ＦＥＤ＋∠ＥＤＧ＝１８０°， ＣＨ ２ ∴ ＝ ，∴ＣＨ＝２ｍ． ＯＨ ５ ∴１８０°－２∠ＦＡＥ＋∠３＋∠ＥＤＧ＝１８０°， ∵ＣＥ＝２．９ｍ，∴ＥＨ＝ＣＥ＋ＣＨ＝２．９＋２＝４．９（ｍ）． ∴∠ＦＡＥ＝∠ＥＤＧ． （８分） 河南中考４５套汇编·数学 ６— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ６— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ６— ９９．如图，扇形 ＤＯＥ的半径为２槡３，菱形 ＯＡＢＣ的顶点 Ａ，Ｃ，Ｂ分别在 ＯＤ，ＯＥ，ＤＥ ! 河南省实验中学 ２０２５年九年级学业诊断（四） 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各 数中，最小的负数是 （Ｄ） Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ．－３ Ｄ．－４ ２．电解铜箔被称为现代工业的“隐形骨骼”．厚度仅４微米的电解铜箔，相当于一张 Ａ４纸厚度的二十分 之一．已知１微米＝０．０００００１米，则４微米用科学记数法可表示为 （Ｂ） Ａ．４×１０６米 Ｂ．４×１０－６米 Ｃ．０．４×１０－５米 Ｄ．４０×１０－７米 ３．如图，直线 ａ∥ｂ，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＣ于点 Ｄ，若∠ＣＢＤ＝２０°，则∠１的度数为 （Ｃ） Ａ．５０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° （第３题） （第６题） （第８题） （第９题） ４．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 （Ｃ） ５．下列计算正确的是 （Ｄ） Ａ．ｘ５－ｘ２＝ｘ３ Ｂ．（ｘ－２）２＝ｘ２－４ Ｃ．（－３ｘ２）３＝－９ｘ６ Ｄ．３ｘ２ｙ÷３ｘｙ＝ｘ ６．已知关于 ｘ的不等式２ｘ－ａ＞－３的解集在数轴上表示如图所示，则 ａ的值为 （Ｂ） Ａ．２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．１ ７．在某次气候研讨峰会上，设有“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题，供与会代表 讨论．甲、乙两个与会代表需从这四个议题中随机选择一个议题进行投票．每个议题被选择的可能性 相同，且两个代表的选择相互独立．甲、乙两个代表选择同一议题的概率是 （Ｂ） １ １ １ １ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２ ４ ６ ８ ８．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＣ＝２ＢＣ，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点，若ＢＣ＝２，则四边形ＡＥＣＦ的周 长是 （Ｄ） Ａ．２ Ｂ．２槡５ Ｃ．４ Ｄ．４槡５ 河南中考４５套汇编·数学 ７— １ 河南中考４５套汇编·数学 ７— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ７— ３ 书书书 ) 上，若 ＯＡ＝２，则图中阴影部 组：４０≤ｘ≤４９，Ｂ组：５０≤ｘ≤５９，Ｃ组：６０≤ｘ≤６９，Ｄ组：７０≤ｘ≤７９，Ｅ组：８０≤ｘ≤８９，Ｆ组：９０≤ｘ≤ 分的面积为 （Ｃ） １００．体质健康测试成绩在８０分及以上为体质健康优秀，７０～７９分为体质健康良好，６０～６９分为体质 健康合格，６０分以下为体质健康不合格． π－ 槡３ ２π－ 槡３ Ａ． Ｂ． Ｃ．２π－２槡３ Ｄ．π－ 槡３ ４ ４ 【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图表． １０．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ＯＡＢＣ的顶点 Ｏ在原点上，ＯＡ边在 ｘ轴的正 九年级抽取的学生测试成绩条形统计图 八年级抽取的学生测试成绩统计表 半轴上，ＡＢ⊥ｘ轴，ＡＢ＝ＣＢ＝２，ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＣ＝６０°，将四边形 ＯＡＢＣ绕点 Ｏ顺 组别 人数 时针旋转，每次旋转９０°，则第２０２６次旋转结束时，点 Ｃ的坐标为 （Ａ） Ａ ０ Ｂ ０ Ａ．（－ 槡３，－３） Ｂ．（－３，槡３） Ｃ ａ Ｃ．（－ 槡３，１） Ｄ．（１，－ 槡３） Ｄ １１ 二、填空题（每小题３分，共１５分） Ｅ ｂ Ｆ １ ｘ １１．若分式 的值为正数，则实数 ｘ的取值范围是 ｘ＞０ ． ｘ２＋２ 【分析数据】两组样本数据平均数、中位数、众数、方差如下表所示： １２． !"# $%&’( 已知关于 ｘ的方程 ｘ２－３ｘ＋２ｋ＝０有两个不相等的实数根，请你写出一个符合 年级 平均数 中位数 众数 方差 条件的整数 ｋ的值： １（答案不唯一） ． 八年级 ７８．３ ｃ ｄ ３３．６ １３．下列三项调查：①了解一批灯泡的使用寿命；②学校招聘教师，对应聘人员的面试；③对进入地铁站的旅 客携带的包进行安检． 九年级 ７８ ８０．５ ７６ ５２．１ 其中适合采用全面调查方式的是 ②③ （填序号）． 根据以上信息，解答下列问题： １４．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｍ为 ＢＣ的中点，ＢＤ与 ＡＭ相交于点 Ｎ．若 ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，则 ＢＮ的 （１）填空：ａ＝ １ ，ｂ＝ ７ ，ｃ＝ ７７．５ ，ｄ＝ ７５ ； ５ （２）估计九年级体质健康优秀的学生人数为 ２４０ ； 长为 ． ３ （３）请至少从两个不同的角度说明哪个年级学生的体质健康情况更好一些． １５． !() *+( 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝２，Ｄ是 ＢＣ的中 （１）１ ７ ７７．５ ７５ （４分） 点，Ｅ是边ＡＢ上一动点，沿ＤＥ所在直线把△ＢＤＥ翻折到△Ｂ′ＤＥ的位置，连接ＡＢ′． （２）２４０ （６分） （１）ＡＢ′的最小值是 槡７－ 槡３ ； （３）答案不唯一，如：从两个年级的平均数和方差数据来看，八年级的平均数比九年级的大，八年级成绩的稳 ６ 定性比九年级的好，所以八年级学生的体质健康情况更好一些． （９分） （２）设 Ｂ′Ｄ交 ＡＢ于点 Ｆ，若△ＡＢ′Ｆ为直角三角形，则 ＢＥ的长为 １或 ． ５ １８．（９分）如图，⊙Ｏ为△ＡＢＤ的外接圆，且 ＡＢ为⊙Ｏ的直径． 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） （１）请用无刻度的直尺和圆规过点 Ｂ作⊙Ｏ的切线，交 ＡＤ的延长线于点 Ｃ．（不写 １ 作法，保留作图痕迹） １６．（１０分）（１）计算：槡 ３ ２７＋｜－３｜－（ ）－１； （２）化简：（ａ＋３ｂ）（ａ－３ｂ）－ｂ（ａ－９ｂ）． ２ （２）若 ＡＤ （１）原式＝３＋３－２ （４分） ＝４． （５分） （２）原式＝ａ２－９ｂ２－ａｂ＋９ｂ２ （３分） ＝ａ２－ａｂ． （５分） １７．（９分）某学校八、九年级各有学生 ４００人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，学校进行了抽样调 查，过程如下： 【收集数据】从八、九年级各随机抽取２０名学生进行体质健康测试，其中八年级测试成绩（百分制）如下： ７８，８６，７４，８１，７５，７６，８７，７０，７５，９０，７５，７９，８１，７０，７４，８０，８６，６９，８３，７７． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ六组（用 ｘ表示测试成绩），Ａ ) ＝ＢＤ ) ，试判断△ＢＣＤ的形状，并说明理由． （１）如图所示，直线ＢＣ即为所求． （４分） （２）△ＢＣＤ为等腰直角三角形． （５分） 理由如下：∵ＡＤ 河南中考４５套汇编·数学 ７— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ７— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ７— ６ ) ＝ＢＤ ) ４ ，∴ＡＤ＝ＢＤ． 故反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （４分） ｘ ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°＝∠ＢＤＣ， 设直线ＯＣ的表达式为ｙ＝ｍｘ， ∴∠Ａ＝∠ＡＢＤ＝４５°． （６分） 将Ｃ（４，１）代入，得１＝４ｍ， ∵ＢＣ为⊙Ｏ的切线，∴∠ＡＢＣ＝９０°， （７分） １ 解得ｍ＝ ， ∴∠ＣＢＤ＝４５°＝∠ＤＣＢ，∴ＢＤ＝ＣＤ， （８分） ４ ∴△ＢＣＤ为等腰直角三角形． （９分） １ 则四边形ＡＢＧＨ是矩形， 故直线ＯＣ的表达式为ｙ＝ ｘ． （５分） ４ ｋ ∴ＧＨ＝ＡＢ＝３．２４米，ＢＧ∥ＡＨ， １９．（９分）如图，已知坐标轴上两点 Ａ（０，４），Ｂ（２，０），连接 ＡＢ，过点 Ｂ作 ＢＣ⊥ＡＢ，交反比例函数 ｙ＝ ３ ｘ （２）∵直线ＯＣ向上平移 ２ 个单位长度得到直线ｌ， ∴∠ＧＢＣ＝∠ＡＣＢ＝３３°， 在第一象限的图象于点 Ｃ（ａ，１）． １ ３ ∴∠ＤＢＧ＝∠ＤＢＥ－∠ＧＢＣ＝３３°． （６分） ∴直线ｌ的表达式为ｙ＝ ｘ＋ ． （６分） （１）求反比例函数和直线 ＯＣ的表达式； ４ ２ 在Ｒｔ△ＢＤＧ中，ＤＧ＝ＢＤ·ｓｉｎ∠ＤＢＧ≈７．８×０．５４＝４．２１２（米）， （７分） １ ３ ４ ３ 由题意，得 ｘ＋ ＝ ， ∴ＤＨ＝ＧＨ＋ＤＧ＝３．２４＋４．２１２＝７．４５２≈７（米）， （８分） （２）将直线 ＯＣ向上平移 个单位长度，得到直线 ｌ，请求出直线 ｌ与反比例函数图象的交点坐标． ４ ２ ｘ ２ ∴斜杆ＢＤ的顶端Ｄ到地面ＡＭ的距离约为７米． （９分） 解得ｘ＝－８，ｘ＝２， １ ２ ２１．（９分） !() ,-./( 某市计划购买８０辆新能源公交车投入运营． １ ∴ｙ＝－ ，ｙ＝２． （８分） １ ２ ２ 【素材呈现】 １ ∴直线ｌ与反比例函数图象的交点坐标为（－８，－ ）和（２，２）． （９分） 素材一：有 Ａ，Ｂ两种型号公交车可供选择，Ａ型公交车的单价比 Ｂ型公交车的单价低２０万元； ２ 素材二：用２４０万元购买 Ａ型公交车的数量与用３２０万元购买 Ｂ型公交车的数量相同； ２０．（９分）如图（１）是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示 １ 意图如图（２），经过测量，支架的立柱 ＡＢ与地面 ＡＭ垂直，ＡＢ＝３．２４米，点 Ａ，Ｃ，Ｍ在同一水平线上，斜杆 素材三：Ａ型公交车的数量不超过 Ｂ型公交车数量的 ． ４ ＢＣ与水平线 ＡＣ的夹角∠ＡＣＢ＝３３°，支撑杆 ＤＥ⊥ＢＣ，垂足为 Ｅ，斜杆 ＢＤ与斜杆 ＢＣ的夹角∠ＤＢＥ＝６６°， 【问题解决】 （１）如图，过点Ｃ作ＣＤ⊥ｘ轴于点 Ｄ!"#$：%&’()*+：,-./012ＡＢＣ32ＡＯＢ）4567#/  又测得 ＣＥ＝２．８米．（参考数据：ｓｉｎ３３°≈０．５４，ｓｉｎ６６°≈０．９１，ｃｏｓ３３°≈０．８４，ｃｏｓ６６°≈０．４１，ｔａｎ３３°≈ 问题一：求 Ａ，Ｂ两种型号公交车的单价． 08， ０．６５，ｔａｎ６６°≈２．２５） 则∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ＝９０°． 问题二：设购买 ａ辆 Ａ型公交车，购买总费用为 ｗ万元，求 ｗ与 ａ之间的函数关系式，并求出费用最 （１）求斜杆 ＢＣ的长； 少时的购买方案． （２）求斜杆 ＢＤ的顶端 Ｄ到地面 ＡＭ的距离．（结果精确到１米） 问题三：实际购买时，商家调整了公交车价格，Ａ型公交车每辆降价 ｍ万元，Ｂ型公交车每辆涨价 １ ｍ万元，按“问题二”的购买方案需花费６１４４万元，直接写出 ｍ的值． ２ 问题一：设Ｂ型公交车的单价为ｘ万元，则Ａ型公交车的单价为（ｘ－２０）万元， ２４０ ３２０ 根据题意，得 ＝ ， ｘ－２０ ｘ ∵ＢＣ⊥ＡＢ，∴∠ＣＢＤ＋∠ＡＢＯ＝９０°， 解得ｘ＝８０， 图（１） 图（２） ∴∠ＢＣＤ＝∠ＡＢＯ． 经检验，ｘ＝８０是方程的解，且符合题意， 又∠ＢＤＣ＝∠ＡＯＢ＝９０°， （１）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＣＢ＝３３°，ＡＢ＝３２４米， ∴ｘ－２０＝６０． ∴△ＢＤＣ∽△ＡＯＢ1"9$：:;*+<， ＡＢ ３．２４  ∴ＢＣ＝ ≈ ＝６（米）， （２分） 答：Ａ，Ｂ两种型号公交车的单价分别为６０万元、８０万元． （３分） ＣＤ ＢＤ ｓｉｎ∠ＡＣＢ ０．５４ ∴ ＝ 1"=$：>?@ABC<． （２分） ＯＢ ＡＯ 问题二：由题意，得ｗ＝６０ａ＋８０（８０－ａ）＝－２０ａ＋６４００． （５分）  ∴斜杆ＢＣ的长为６米． （３分） ∵Ａ（０，４），Ｂ（２，０），Ｃ（ａ，１）， １ 由题意可知ａ≤ （８０－ａ）， ∴ＯＡ＝４，ＯＢ＝２，ＣＤ＝１， （２）∵ＣＥ＝２．８米， ４ １ ＢＤ ∴ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝６－２．８＝３．２（米）． 解得ａ≤１６． （６分） ∴ ＝ ，∴ＢＤ＝２， ２ ４ ＢＥ ３．２ ∵－２０＜０，∴ｗ随ａ的增大而减小， ∴ａ＝２＋２＝４，∴Ｃ（４，１）． （３分） 在Ｒｔ△ＤＥＢ中，ＢＤ＝ ≈ ≈７．８（米）． （５分） ｃｏｓ∠ＤＢＥ ０．４１ ∴当ａ＝１６时，ｗ最小，此时８０－ａ＝６４． ｋ 将Ｃ（４，１）代入ｙ＝ ，得ｋ＝４， ｘ 如图，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＭ于点Ｈ，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＤＨ于点Ｇ， 答：ｗ与ａ之间的函数关系式为ｗ＝－２０ａ＋６４００，费用最少时的购买方案为购买１６辆Ａ型公交车、６４辆Ｂ型公交车． （７分） １ 在菱形ＡＣＦＧ和菱形ＡＢＤＥ中，ＡＣ＝ＡＧ，ＡＥ＝ＡＢ，∠ＣＡＧ＝∠ＢＡＥ＝６０°， （２）令ｖ＝０，得－ ｘ＋１０＝０，解得ｘ＝２０． ２ 问题三：ｍ＝４． （９分） ∴∠ＣＡＧ＋∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＥ＋∠ＢＡＣ，即∠ＧＡＢ＝∠ＣＡＥ． １ １ 将ｘ＝２０代入ｙ＝－ ｘ２＋１０ｘ，得ｙ＝１００， 在△ＢＡＧ和△ＥＡＣ中1DED*+．FD：GＧ，Ｂ；HD：GＣ，Ｅ；EDI：ＧＢ，ＣＥ<， 解法提示：由题意，可得１６（６０－ｍ）＋６４（８０＋ ｍ）＝６１４４，解得ｍ＝４． ４  ２ {ＡＢ＝ＡＥ， ∴当小球在水平木板上停下来时，其运动距离为１００ｃｍ． （７分） ２２．（１０分） !"# 01234 ∠ＧＡＢ＝∠ＣＡＥ，∴△ＢＡＧ≌△ＥＡＣ（ＳＡＳ）， （５分） １ 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” （３）由题意，可知－ ｘ２＋１０ｘ＜４ｘ＋ｎ恒成立， （８分） ＡＧ＝ＡＣ， ４ 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间 ∴ＢＧ＝ＥＣ，∠ＡＢＧ＝∠ＡＥＣ，即∠ＯＢＮ＝∠ＡＥＮ． １ 即－ （ｘ－１２）２＋３６＜ｎ恒成立． ∵∠ＯＢＮ＋∠ＢＮＯ＋∠ＢＯＥ＝∠ＡＥＮ＋∠ＥＮＡ＋∠ＢＡＥ＝１８０°，∠ＢＮＯ＝∠ＥＮＡ， 的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进 ４ ∴∠ＢＯＥ＝∠ＢＡＥ＝６０°，即ＢＧ，ＣＥ所夹锐角为６０°， 一步应用． １ ∵－ （ｘ－１２）２＋３６≤３６，∴ｎ＞３６． （１０分） ４ ∴四边形ＢＣＧＥ是强等线四边形． （７分） 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点 Ａ处 开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间 ｘ（单位：ｓ）、运动速度 ｖ（单位： ２３．（１０分） !56 !789:;<=>?@综合与实践 ②ＰＱ＝ 槡７． （１０分） ｃｍ／ｓ）、运动距离 ｙ（单位：ｃｍ）的数据． 【了解概念】 解法提示：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝４，∠ＢＡＣ＝３０°， 任务一：数据收集 定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为 ６０°的等线四边形叫做强等 ∴ＡＣ＝ＡＢ·ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝４× 槡３ ＝２槡３． ２ 记录的数据如下： 线四边形． 【理解运用】 在菱形ＡＣＦＧ和菱形ＡＢＤＥ中，ＡＣ＝ＡＧ＝２槡３，ＡＥ＝ＡＢ＝４，∠ＣＡＧ＝∠ＢＡＥ＝６０°， 运动时间ｘ／ｓ ０ ２ ４ ６ ８ １０ … ∴△ＡＣＧ，△ＡＢＥ都是等边三角形， （１）下列四边形中，一定是等线四边形的是 ②④ （只填序号）． 运动速度ｖ／（ｃｍ／ｓ） １０ ９ ８ ７ ６ ５ … ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． ∴∠ＧＡＥ＝∠ＣＡＧ＋∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＥ＝１５０°，ＣＧ＝ＡＣ＝２槡３，ＢＥ＝ＡＢ＝４，∠ＡＧＣ＝∠ＡＥＢ＝６０°， 运动距离ｙ／ｃｍ ０ １９ ３６ ５１ ６４ ７５ … ∴∠ＡＧＥ＋∠ＡＥＧ＝１８０°－∠ＧＡＥ＝３０°， 【拓展提升】 任务二：观察分析 ∴∠ＣＧＥ＋∠ＢＥＧ＝∠ＡＧＣ＋∠ＡＥＢ－（∠ＡＧＥ＋∠ＡＥＧ）＝９０°． （２）如图（１），在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，分别以 ＡＣ，ＡＢ为边向△ＡＢＣ外作菱形 ＡＣＦＧ和菱形 ＡＢＤＥ，且 （１）根据 ｖ，ｙ随 ｘ的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择 连接ＣＥ，取ＣＥ的中点Ｍ，连接ＰＭ，ＱＭ1JKLMNG，67NOI<，如图（２）． ∠ＣＡＧ＝∠ＢＡＥ＝６０°，连接 ＣＧ，ＢＥ，ＧＥ．  适当的函数模型，分别求出 ｖ，ｙ与 ｘ之间的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） ①求证：四边形 ＢＣＧＥ是强等线四边形； 任务三：问题解决 ②如图（２），若 ＡＢ＝４，∠ＢＡＣ＝３０°，Ｐ，Ｑ分别是 ＢＣ，ＧＥ的中点，连接 ＰＱ，直接写出 ＰＱ的长． （２）当小球在水平木板上停下来时，求小球的运动距离； （３）当小球运动到点Ａ处时，在点Ａ的右侧ｎｃｍ处有一辆电动小车，以４ｃｍ／ｓ的速度匀速向右直线 运动，若小球不能撞上小车，求 ｎ的取值范围． 图（２） ∵Ｐ，Ｑ分别是 ＢＣ，ＧＥ的中点， ∴ＰＭ，ＱＭ分别是△ＢＣＥ，△ＣＧＥ的中位线， （１）设ｖ＝ｋｘ＋ｈ，将（０，１０），（２，９）分别代入， 图（１） 图（２） １ １ { １ ∴ＰＭ＝ ＢＥ＝２，ＰＭ∥ＢＥ，ＱＭ＝ ＣＧ＝ 槡３，ＱＭ∥ＣＧ， {ｈ＝１０， ｋ＝－ ， ２ ２ 得 解得 ２ （１）②④ （２分） ２ｋ＋ｈ＝９， ∴∠ＣＭＰ＝∠ＣＥＢ，∠ＭＱＥ＝∠ＣＧＥ． ｈ＝１０， （２）① ∵∠ＣＭＱ＝∠ＭＱＥ＋∠ＣＥＧ， １ 证明：连接ＢＧ，ＣＥ，交于点Ｏ，设ＣＥ交ＡＢ于点Ｎ，如图（１）． ∴ｖ＝－ ｘ＋１０． （２分） ２ ∴∠ＣＭＱ＝∠ＣＧＥ＋∠ＣＥＧ， 设ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，将（２，１９），（４，３６）分别代入， ∴∠ＣＭＱ＋∠ＣＭＰ＝∠ＣＧＥ＋∠ＣＥＧ＋∠ＣＥＢ＝９０°， { １ ∴∠ＰＭＱ＝９０°． {４ａ＋２ｂ＝１９， ａ＝－ ， 得 解得 ４ 在 Ｒｔ△ＰＱＭ中，由勾股定理， １６ａ＋４ｂ＝３６， ｂ＝１０， 得 ＰＱ＝槡ＰＭ２＋ＱＭ２＝槡２２＋（槡３）２＝ 槡７， １ ∴ｙ＝－ ｘ２＋１０ｘ． （４分） ４ 图（１） 即 ＰＱ的长为槡７． 河南中考４５套汇编·数学 ７— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ７— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ７— ９９．如图，△ＡＰＢ是⊙Ｏ的内接三角形，直径ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ．如果ＡＢ＝１０槡３，∠Ｐ＝６０°，那么ＣＥ的长为 （Ｃ） １７．（９分）国务院印发的《２０２４—２０２５年节能降碳行动方案》提到加快淘汰老旧机动车，提高营运车辆 ! 能耗限值准入标准，逐步取消各地新能源汽车购买限制，并落实便利新能源汽车通行等支持政策． 郑州外国语中学 ２０２５年九年级学情诊断（三） Ａ．１０ Ｂ．５槡３ Ｃ．１５ Ｄ．５ 随着绿色出行、节能减排、低碳环保的理念不断深入人心，新能源汽车也越来越受到人们的青睐．小 月家准备购买一辆新能源汽车，在预算范围内，收集了 Ａ，Ｂ两款汽车在 ２０２４年 ９月至 ２０２５年 ３月 数 学 期间的月销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据，并整理、 描述、分析如下： （满分１２０分，考试时间１００分钟） ２０２４年９月至２０２５年３月Ａ，Ｂ两款 新能源汽车月销售量（辆）统计图 Ａ，Ｂ两款新能源汽车网友评分数据统计表 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 图（１） 图（２） １．如图，有理数 ａ在数轴上对应的数可能是 （Ａ） Ａ款 Ｂ款 （第９题） （第１０题） 外观造型 ７２分 ７０分 ４ １ １ ４ １０． !"# $%&’()*+, 如图（１），在等腰直角三角形 ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＡ＝ＢＣ，点 Ｄ为 Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． 舒适程度 ７０分 ７１分 ３ ２ ２ ３ 直角边ＡＢ上一动点，连接ＣＤ，作ＢＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，连接ＡＥ，ＡＤ与ＡＥ的长度关系如图（２）所示（当点Ａ，Ｄ 操控性能 ６７分 ７０分 ２．２０２５年３月２５日，郑许高速公路项目取得了阶段性突破，高速主线全长约 ６４３００米，该项目对加快 重合时，不妨设 ＡＤ＝０），则 ＡＥ的最小值为 （Ｄ） 中原城市群建设、完善郑州都市圈交通一体化布局具有重大意义，６４３００这个数据可以用科学记数 Ａ．槡５ Ｂ．１ Ｃ．２槡５－２ Ｄ．槡５－１ 售后服务 ６４分 ６８分 法表示为 （Ｂ） 二、填空题（每小题３分，共１５分） Ａ．６．４３×１０３ Ｂ．６．４３×１０４ Ｃ．０．６４３×１０４ Ｄ．０．６４３×１０５ １１．因式分解：ｘ２－４ｙ２＝ （ｘ－２ｙ）（ｘ＋２ｙ） ． （１）Ｂ款新能源汽车在２０２４年９月至２０２５年３月期间月销售量的中位数为 ４６６７ 辆． ３．如图，若“马”的坐标是（－１，０），“士”的坐标是（１，－３），则“帅”的坐标是 （Ｄ） １２．我校为了解学生的消防安全意识，从九年级中随机抽取５０位同学进行消防安全知识问答，整理成绩如下 （２）若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据按１∶３∶３∶３的比例统计，分别 Ａ．（３，０） Ｂ．（１，－３） Ｃ．（１，３） Ｄ．（２，－３） 表，则得分的中位数为 ９ ． 求出 Ａ，Ｂ款新能源汽车四项评分数据的平均数． （３）请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小月 分数 ６ ７ ８ ９ １０ 家购买哪款汽车．说说你的理由． 频数 ２ ７ １５ １６ １０ （１）４６６７ （２分） １３．如果关于 ｘ的方程 ｘ２－２ｘ－ｋ＝０有两个实数根，那么 ｋ的最小整数值是 －１ ． １×７２＋３×７０＋３×６７＋３×６４ （２）Ａ款车的平均数是： ＝６７．５（分）； （４分） １４．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ＡＯＢＣ的边ＯＡ，ＯＢ在坐标轴上，顶点Ｃ的坐标为（４，２），将△ＢＣＡ沿ＢＡ １＋３＋３＋３ （第３题） （第６题） １２ ６ １×７０＋３×７１＋３×７０＋３×６８ ４．笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台， 翻折得到△ＢＤＡ，则点 Ｄ的坐标为 （ ，－ ） ． Ｂ款车的平均数是： ＝６９．７（分）． （６分） ５ ５ １＋３＋３＋３ 它的俯视图是 （Ｃ） （３）答案合理即可，比如：１∶１∶１∶２，则Ａ款车四项评分的平均数为６７．４分，Ｂ款车为６９．４分，６９．４＞６７．４． 从销量上来看，Ｂ款车这７个月的总销量更高，所以我建议购买Ｂ款车． （９分） ｋ １８．（９分）如图，一次函数 ｙ＝ｍｘ＋ｎ（ｍ≠０）的图象与反比例函数 ｙ＝ ｘ {ｘ＞ａ， （ｋ≠０）的图象交于点 Ａ（－３，ａ），Ｂ（１，３），且一次函数与 ｘ轴，ｙ轴分别 ５．若关于 ｘ的一元一次不等式组 无解，则 ａ的取值范围为 （Ｃ） ｘ≤２ 交于点 Ｃ，Ｄ． （第１４题） （第１５题） Ａ．ａ＜２ Ｂ．ａ≤２ Ｃ．ａ≥２ Ｄ．ａ＞２ （１）求反比例函数和一次函数的表达式； ６．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ为边 ＣＤ上靠近 Ｃ的三等分点，连接 ＡＥ交 ＢＤ于点 Ｆ，若 Ｓ ＝ １５． !"# -./0123 如图，菱形 ＡＢＣＤ的边长为 ６，∠Ａ＝４５°，点 Ｅ是直线 ＢＣ上的一个动点 ｋ △ＤＥＦ （２）根据图象直接写出不等式 ｍｘ＋ｎ＜ 的解集； ８，则△ＡＢＦ的面积为 （Ｂ） （不与点 Ｂ，Ｃ重合），连接 ＤＥ，将线段 ＤＥ绕点 Ｄ逆时针旋转１３５°得到线段 ＤＦ，在平面内存在一点 Ｇ，若 ｘ Ａ．９ Ｂ．１８ Ｃ．３２ Ｄ．３６ 以点 Ｃ，Ｆ，Ｄ，Ｇ为顶点的四边形也是菱形，则此时线段 ＢＥ的长为 ６槡２，６槡２－６或３槡２－３ ． （３）在第三象限的反比例函数图象上有一点 Ｐ，使得 Ｓ ＝２Ｓ ，求 △ＯＣＰ △ＯＢＤ ７．下面的计算中不正确的是 （Ｄ） 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） 点 Ｐ的坐标． Ａ．５ａ３＋ａ３＝６ａ３ Ｂ．２ｍ×３ｍ＝６ｍ Ｃ．（－ａｍ）２＝ａ２ｍ Ｄ．－ａ２×（－ａ）３＝－ａ５ １ １ ｘ＋２ ｋ ８．来河南，一定要打卡“非遗里的河南”．朵朵和果果在假期来到河南体验有声、有色、有趣、有滋味的河 １６．（１０分）（１）计算：（－３）２－ 槡２× 槡８＋（槡２－１）０； （２）化简：（ ＋ ）÷ ． （１）∵一次函数ｙ＝ｍｘ＋ｎ（ｍ≠０）的图象与反比例函数ｙ＝ 的图象交于点Ａ（－３，ａ），Ｂ（１，３）， ｘ－１ｘ＋１ ｘ２－１ ｘ 南非遗，他们分别从以下三项非遗里选一项进行体验，则两人选择的非遗体验相同的概率为 （Ｂ） （１）原式＝９－４＋１ （３分） ∴ｋ＝１×３＝－３×ａ， ＝６． （５分） ∴ｋ＝３，ａ＝－１， ｘ＋１＋ｘ－１ （ｘ＋１）（ｘ－１） ３ （２）原式＝ · （３分） ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （２分） （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ＋２ ｘ ２ｘ ∵一次函数ｙ＝ｍｘ＋ｎ的图象过Ａ（－３，－１），Ｂ（１，３）， ＝ ． （５分） １ １ １ １ ｘ＋２ {－３ｍ＋ｎ＝－１， {ｍ＝１， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ∴ 解得 ２ ３ ６ ９ ｍ＋ｎ＝３， ｎ＝２， 河南中考４５套汇编·数学 ８— １ 河南中考４５套汇编·数学 ８— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ８— ３ 书书书∴一次函数的表达式为ｙ＝ｘ＋２． （４分） 地面上 Ｃ点测得屋顶 Ａ的仰角为 ３７°，此时地面上 Ｃ点、屋檐上 Ｅ （１）设Ｂ种书架的单价是ｘ元，则Ａ种书架的单价是（１＋２０％）ｘ元， （２）０＜ｘ＜１或ｘ＜－３． （６分） 点、屋顶上Ａ点三点恰好共线，继续向房屋方向走６ｍ到达点Ｄ时， １８０００ ９０００ 根据题意，得 － ＝６， （３）在一次函数ｙ＝ｘ＋２中，当ｘ＝０时，ｙ＝２；当ｙ＝０时，ｘ＝－２， 又测得屋檐 Ｅ点的仰角为 ６３．４°．房屋的顶层横梁 ＥＦ＝８ｍ，ＥＦ∥ （１＋２０％）ｘ ｘ １ ＣＢ，ＡＢ交 ＥＦ于点 Ｇ（点 Ｃ，Ｄ，Ｂ在同一水平线上）．（参考数据： 解得ｘ＝１０００， ∴Ｃ（－２，０），Ｄ（０，２），∴Ｓ ＝ ×２×１＝１， △ＯＢＤ ２ ｓｉｎ３７°≈０．６，ｃｏｓ３７°≈０．８，ｔａｎ３７°≈０．７５，ｓｉｎ６３．４°≈０．８９， 经检验，ｘ＝１０００是所列方程的解，且符合题意， ∴Ｓ ＝２Ｓ ＝２． △ＯＣＰ △ＯＢＤ ｃｏｓ６３．４°≈０．４５，ｔａｎ６３．４°≈２．００） ∴（１＋２０％）ｘ＝（１＋２０％）×１０００＝１２００． ３ 设点Ｐ的坐标为（ｍ， ）， （１）求屋顶到横梁的距离 ＡＧ； 答：Ａ种书架的单价是１２００元，Ｂ种书架的单价是１０００元． （４分） ｍ （２）求房屋的高 ＡＢ（结果精确到１ｍ）． （２）第一步：设未知数（自变量、因变量） １ －３ ３ ∴ ×２× ＝２，解得ｍ＝－ ， １ 设购进Ａ种书架ａ个，则购进Ｂ种书架（１５－ａ）个，设总费用为ｗ元， ２ ｍ ２ （１）由题意得，ＡＧ⊥ＥＦ，ＥＧ＝ ＥＦ＝４ｍ，∠ＡＥＧ＝∠ＡＣＢ＝３７°，ＣＤ＝６ｍ． ２ 第二步：列表达式，根据题干中的等量关系，建立一次函数模型（列一次函数表达式） ３ ∴点Ｐ的坐标为（－ ，－２）． （９分） ２ 在Ｒｔ△ＡＥＧ中，ｔａｎ３７°＝ ＡＧ ＝ ＡＧ ≈０．７５， 由题意可得ｗ＝１２００ａ＋１０００（１５－ａ）＝２００ａ＋１５０００． （６分） ＥＧ ４ １９．（９分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝９０°，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，ＢＤ＝２槡５． 第三步：确定范围———根据题干中的不等关系，列出不等式，确定自变量的取值范围 ∴ＡＧ＝３ｍ， ２ （１）求证：ＢＤ⊥ＣＤ． ∴屋顶到横梁的距离ＡＧ约为３ｍ． （３分） 根据题意，得ａ≥ （１５－ａ）， ３ （２）请用不带刻度的直尺和圆规作△ＢＣＤ的外接圆⊙Ｏ（不必写作法，但要保留作 （２）如图，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＢＣ于点Ｈ， （４分） 解得ａ≥６． （７分） 图痕迹），作图后判断 ＡＤ是否为⊙Ｏ的切线，并说明理由． 由题意得，四边形ＥＧＢＨ为矩形， 第四步：确定最值———根据函数的增减性，结合自变量的取值范围，确定函数的最值 （１）证明：∵ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，ＢＤ＝２槡５， ∵２００＞０，∴ｗ随ａ的增大而增大， ＡＢ ＢＤ ２槡５ ∴ ＝ ＝ ． ∴当ａ＝６时，ｗ取得最小值，ｗ ＝２００×６＋１５０００＝１６２００． ＢＤ ＢＣ ５ 最小 此时１５－ａ＝９． ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ， 第五步：作答 ∴△ＡＢＤ∽△ＤＢＣ． 又∵∠Ａ＝９０°， 答：费用最少的购买方案为购买６个Ａ种书架，９个Ｂ种书架． （９分） ∴∠ＢＤＣ＝∠Ａ＝９０°，即ＢＤ⊥ＣＤ． （４分） ２２．（１０分）已知抛物线 ｙ＝－ｘ２＋２ｍｘ－２ｍ＋１（ｍ为常数）． （２）如图（１），⊙Ｏ即为所求． （６分） ∴ＢＧ＝ＥＨ． （１）当 ｍ＝１时， 设ＤＨ＝ｘｍ，则ＣＨ＝ＣＤ＋ＤＨ＝（６＋ｘ）ｍ． ①直接写出该抛物线与 ｙ轴的交点 Ｃ的坐标： （０，－１） ； ＥＨ ②求此时抛物线的顶点 Ｐ的坐标； 在Ｒｔ△ＤＥＨ中，ｔａｎ∠ＥＤＨ＝ｔａｎ６３．４°＝ ≈２．００， ＤＨ ③点 Ｑ也是该抛物线上的点，如果△ＣＰＱ是直角三角形，求出此时点 Ｑ的坐标． ＥＨ （２）当２≤ｘ≤６时，所对应的函数值 ｙ总大于－５，直接写出 ｍ的取值范围． 即 ＝２，∴ＥＨ＝２ｘｍ． ｘ （１）①（０，－１） （１分） ＥＨ ②ｍ＝１时，ｙ＝－ｘ２＋２ｘ－１＝－（ｘ－１）２，则抛物线的顶点Ｐ的坐标为（１，０）． （４分） 在Ｒｔ△ＣＥＨ中，ｔａｎ∠ＥＣＨ＝ｔａｎ３７°＝ ≈０．７５， 图（１） ＣＨ ③∵△ＣＰＱ是直角三角形， 证明：如图（２），连接ＯＤ， ２ｘ 即 ＝０．７５， （６分） ∴分∠ＣＰＱ＝９０°，∠ＰＣＱ＝９０°，∠ＣＱＰ＝９０°三种情况讨论． ∵ＯＢ＝ＯＤ，∴∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢ． ６＋ｘ Ａ．若∠ＣＰＱ＝９０°，如图（１）， 又∠ＡＢＤ＝∠ＯＢＤ， 解得ｘ＝３．６， ∵ＯＰ＝ＯＣ＝１，∴∠ＯＣＰ＝∠ＯＰＣ＝４５°， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＯＤＢ，∴ＡＢ∥ＯＤ， 经检验，ｘ＝３．６是原方程的解且符合题意， （７分） 易证得∠ＰＣＱ＝∠ＰＱＣ＝４５°， ∴∠ＡＤＯ＝∠Ａ＝９０°． ∴ＥＨ＝２×３．６＝７．２（ｍ）， ∴∠ＯＣＱ＝９０°，即ＣＱ⊥ｙ轴， 又∵ＯＤ为⊙Ｏ的半径，∴ＡＤ是⊙Ｏ的切线． （９分） ∴ＢＧ＝７．２ｍ， ∴ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝３＋７．２＝１０．２≈１０（ｍ）， （８分） ∴ＣＱ＝ 槡２ＣＰ＝ 槡２× 槡２ＯＣ＝２， ∴房屋的高ＡＢ约为１０ｍ． （９分） ∴Ｑ（２，－１）． （６分） ２１．（９分）２０２５年４月２３日是第３０个“世界读书日”，某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区 Ｂ．若∠ＰＣＱ＝９０°，如图（２），过点Ｑ作ＱＤ⊥ｙ轴于点Ｄ， 图书馆．现有 Ａ，Ｂ两种书架可供选择，Ａ种书架的单价比 Ｂ种书架单价高 ２０％；用 １８０００元购买 Ａ种书 则∠ＤＣＱ＝４５°，∴可设直线ＣＱ的表达式为ｙ＝－ｘ＋ｄ， 架的数量比用９０００元购买 Ｂ种书架的数量多６个． ∵Ｃ（０，－１），∴ｄ＝－１，∴ｙ＝－ｘ－１． （１）请求出 Ａ，Ｂ两种书架的单价； 令－ｘ－１＝－ｘ２＋２ｘ－１，解得ｘ＝０，ｘ＝３， １ ２ 图（２） ２ ∴Ｑ（３，－４）． （２）该小区现需购进１５个书架用于摆放书籍，且 Ａ种书架数量不少于 Ｂ种书架数量的 ，请设计费用最 ２０．（９分）开森和希宝两位同学开展实际测量活动，他们选择测量郊区一新建房屋的高度，如图是房屋 ３ Ｃ．若∠ＣＱＰ＝９０°，易知点Ｑ在以ＰＣ为直径的圆上，故不存在这样的点Ｑ． 的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 ＡＢ所在的直线．为了测量房屋的高度，在 少的购买方案． 综上可知，点Ｑ的坐标为（２，－１）或（３，－４）． （８分） 河南中考４５套汇编·数学 ８— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ８— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ８— ６１ １ ∵Ｓ ＝ ＣＤ·Ｄ′Ｈ＝ ＤＤ′·ＣＮ， △ＣＤＤ′ ２ ２ ∴１０×６＝２槡１０ＣＮ，∴ＣＮ＝３槡１０． 连接ＣＭ． ∵ＥＭ＝Ｅ′Ｍ，ＣＥ＝ＣＥ′， １ 图（１） 图（２） ∴∠１３＝ ∠ＥＣＥ′． ２ （２）ｍ＞３． （１０分） 图（１） 图（２） 易证△ＣＤＤ′∽△ＣＥＥ′，∴∠ＤＣＤ′＝∠ＥＣＥ′， ２３．（１０分）【特例分析】媛媛和早早在共同学习探究平移和旋转的过程中发现了有趣的事情： 【深入探究】４５ （３分） ∴∠１２＝∠１３，∴∠ＭＣＮ＝∠ＥＣＤ， 如图（１），△ＡＢＣ是等边三角形，将△ＡＢＣ绕顶点 Ｃ顺时针旋转 α（０°＜α≤３６０°）得到△Ａ′Ｂ′Ｃ，连接 解法提示：如图（２），∵∠ＡＣＢ＝∠Ａ′ＣＢ′＝４５°， ∴ｔａｎ∠ＭＣＮ＝ｔａｎ∠ＥＣＤ， ＡＡ′和 ＢＢ′，直线 ＡＡ′和 ＢＢ′交于点 Ｍ，那么在旋转的过程中，∠Ａ′ＭＢ的度数始终等于 １２０ °，特别 ∴∠１＝∠２． １００ ＣＢ ＣＢ′ 地，当 α＝３０°时， ＢＢ′ ＝ 槡３ ． 又 ＣＡ ＝ ＣＡ′ ＝ 槡２，∴△ＣＢＢ′∽△ＣＡＡ′， ∴ ＭＮ ＝ ＥＤ ，即 ＭＮ ＝ ９ ，∴ＭＮ＝ １０槡１０ ， ＭＢ′ ＣＮ ＣＤ ３槡１０ １０ ３ ∴∠３＝∠４． 【深入探究】如图（２），媛媛继续探究，如果△ＡＢＣ是等腰直角三角形，其中∠ＢＡＣ＝９０°，且 ＡＢ＝ＡＣ，同 １０槡１０ １３槡１０ 又∠５＝∠６，∴∠７＝∠Ａ′ＣＢ′＝４５°， ∴ＤＭ＝ ＋ 槡１０＝ ． 样将△ＡＢＣ绕顶点Ｃ顺时针旋转α（０°＜α≤３６０°）得到△Ａ′Ｂ′Ｃ，直线ＡＡ′和ＢＢ′交于点Ｍ，则直线ＡＡ′和 ３ ３ 即直线ＡＡ′和直线ＢＢ′所夹锐角的度数是４５°． 直线ＢＢ′所夹锐角的度数是 ４５ °，请猜想线段ＢＭ与Ｂ′Ｍ的数量关系，并就图（２）说明理由． ②当Ｂ，Ｄ′，Ｅ′三点共线，且点Ｄ′在点Ｂ，Ｅ′之间时，如图（５）， 线段ＢＭ与Ｂ′Ｍ的数量关系为相等． （４分） ５０ 【实践应用】早早在媛媛的探究下继续思考并提出问题：如图（３），在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＢＣ＝ ， 理由：如图（３），过点Ｂ′作Ｂ′Ｈ∥ＡＢ，交ＡＭ的延长线于点Ｈ，连接ＨＢ，Ｂ′Ａ， ３ 则∠１０＝∠１１． 点 Ｅ是ＡＤ边上靠近顶点Ａ的三等分点，连接ＣＥ，将△ＣＤＥ绕顶点Ｃ顺时针旋转α（０°＜α≤３６０°）得 ∵ＣＡ＝ＣＡ′，∴∠４＝∠８． 到△ＣＤ′Ｅ′，连接 ＤＤ′和 ＥＥ′，直线 ＤＤ′交线段 ＥＥ′于点 Ｍ，在旋转的过程中，当 Ｂ，Ｄ′，Ｅ′三点共线时， ∵∠４＋∠９＝９０°，∠８＋∠１０＝１８０°－９０°＝９０°， 直接写出此时 ＤＭ的长． ∴∠９＝∠１０，∴∠９＝∠１１， ∴Ｂ′Ｈ＝Ｂ′Ａ′＝ＡＢ， ∴四边形ＡＢＨＢ′是平行四边形， ∴ＢＭ＝Ｂ′Ｍ． （８分） 图（５） 连接ＢＤ′，过点Ｄ′作Ｄ′Ｈ⊥ＣＤ，交ＤＣ延长线于点Ｈ，过点Ｃ作ＣＮ⊥ＤＤ′于点Ｎ， 同①可求得Ｄ′Ｎ＝ＤＮ＝３槡１０，ＣＮ＝ 槡１０． 连接ＣＭ． 图（１） 图（２） 图（３） 第一步：找要素（直角、定线段）、构“隐圆” 【特例分析】１２０ 槡３ （２分） 图（３） 图（４） ∵ＥＭ＝Ｅ′Ｍ，ＣＥ＝ＣＥ′，∴ＣＭ⊥ＥＥ′， 解法提示：如图（１），∵∠ＡＣＢ＝∠Ａ′ＣＢ′＝６０°， １３槡１０ ３７槡１０ ∴∠ＥＭＣ＝∠ＥＤＣ＝９０°（!"#）． 【实践应用】 或 ． （１０分）  ∴∠１＝∠２． ３ ９ 又ＣＥ的长度一定（!$%&），  又ＣＢ＝ＣＡ，ＣＢ′＝ＣＡ′，∴△ＣＢＢ′≌△ＣＡＡ′， 解法提示：同【深入探究】可证ＥＭ＝Ｅ′Ｍ． ∴点Ｍ，Ｄ均在以ＣＥ为直径的圆上， ∴∠３＝∠ＡＡ′Ｃ． ５０ ２ １００ 第二步：利用“圆”解题 易知ＤＥ＝ × ＝ ． ∵∠３＋∠ＭＢ′Ｃ＝１８０°，∴∠ＡＡ′Ｃ＋∠ＭＢ′Ｃ＝１８０°， ３ ３ ９ 则∠ＣＭＤ＝∠ＣＥＤ， ∴∠Ａ′ＭＢ＋∠Ａ′ＣＢ′＝１８０°，∴∠Ａ′ＭＢ＝１２０°． 分以下两种情况讨论． ∴ｔａｎ∠ＣＭＤ＝ｔａｎ∠ＣＥＤ， 连接ＡＢ′，∵ＣＡ＝ＣＡ′，∴∠４＝∠ＡＡ′Ｃ， ①当Ｂ，Ｄ′，Ｅ′三点共线，且点Ｅ′在点Ｂ，Ｄ′之间时，如图（４）， ＣＮ ＣＤ 槡１０ １０ １０槡１０ ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ＭＮ＝ ， ∴∠３＝∠４，∴∠ＭＢ′Ｃ＝∠ＭＡＣ． 连接ＢＥ′，过点Ｄ′作Ｄ′Ｈ⊥ＣＤ于点Ｈ，则∠ＣＤ′Ｈ＝∠Ｄ′ＣＢ， ＭＮ ＥＤ ＭＮ １００ ９ ∵ＣＢ′＝ＣＡ′＝ＣＡ，∴∠ＣＢ′Ａ＝∠ＣＡＢ′， Ｄ′Ｈ ＣＤ′ Ｄ′Ｈ １０ ９ ∴ｃｏｓ∠ＣＤ′Ｈ＝ｃｏｓ∠Ｄ′ＣＢ，∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴∠ＭＢ′Ａ＝∠ＭＡＢ′＝３０°． ＣＤ′ ＢＣ １０ ５０ １０槡１０ ３７槡１０ ３ ∴ＤＭ＝ ＋３槡１０＝ ． 槡３ ９ ９ 过点Ｍ作ＭＤ⊥ＡＢ′于点Ｄ，则Ｂ′Ｄ＝ＡＤ＝ ＭＢ′， ２ ∴Ｄ′Ｈ＝６，∴ＣＨ＝槡１０２－６２＝８，∴ＤＨ＝１０－８＝２， １３槡１０ ３７槡１０ 综上可知，ＤＭ的长为 或 ． ∴ＡＢ′＝ 槡３ＭＢ′． ∴ＤＤ′＝槡６２＋２２＝２槡１０． ３ ９ 当α＝３０°时，∠１＝∠５＝∠２＝３０°，∴ＣＢ′垂直平分线段ＡＢ， 过点Ｃ作ＣＮ⊥ＤＤ′于点Ｎ， ＢＢ′ ＡＢ′ １ ∴ＢＢ′＝ＡＢ′，∴ ＝ ＝ 槡３． ∵ＣＤ＝ＣＤ′，∴∠１２＝ ∠ＤＣＤ′，Ｄ′Ｎ＝ＤＮ＝ 槡１０． ＭＢ′ＭＢ′ ２ 河南中考４５套汇编·数学 ８— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ８— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ８— ９铅直高度 ＢＣ ! ６．如图，某水库横截面迎水坡 ＡＢ的坡度 ｉ＝１∶２（坡度 ｉ＝ ），若坡高 ＢＣ＝２０ｍ，则坡面 ＡＢ的长度 水平宽度 ＡＣ 郑州外国语中学 ２０２５年九年级学情诊断（四） 约为（参考数据：槡２≈１．４１，槡３≈１．７３，槡５≈２．２４） （Ｃ） Ａ．２８ｍ Ｂ．３５ｍ Ｃ．４５ｍ Ｄ．６７ｍ 数 学 ７．若关于 ｘ的方程 ｘ２－ｘ＋ｍ＝０没有实数根，则 ｍ的值可以为 （Ｄ） （满分１２０分，考试时间１００分钟） １ （第１３题） （第１４题） （第１５题） Ａ．－１ Ｂ． Ｃ．０ Ｄ．１ 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） ４ １４．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ＡＢ １．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： ８．有４张分别印有以下人物的卡片：Ａ哪吒；Ｂ敖丙；Ｃ太乙真人；Ｄ无量仙翁．现将这４张卡片（卡片的形状、 大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 １张卡片，记录后不放回，再从中任意取出 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 １张卡片，两次取出的卡片中图案为“Ａ哪吒”“Ｂ敖丙”的概率为 （Ａ） 液化温度／℃ －２６９ －２５３ －１９６ －１８３ １ １ ７ ３ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 其中液化温度最低的气体是 （Ａ） ６ ４ １６ ８ Ａ．氦气 Ｂ．氢气 Ｃ．氮气 Ｄ．氧气 ｋ ９．如图，ＯＡＢＣ的一边 ＯＡ在 ｙ轴上，反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象过ＯＡＢＣ的顶点 Ｃ和对角线 ＯＢ的中 ２．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个 ｘ 方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图 点 Ｄ，已知点 Ｂ的坐标为（４，８），则点 Ａ的坐标为 （Ｃ） 是从上面看到的图形的是 （Ｂ） Ａ．（０，４） Ｂ．（０，５） Ｃ．（０，６） Ｄ．（０．８） ３．课堂上老师在黑板上布置了如下所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道 题目吗？ （Ｃ） 用平方差公式分解下列各式： （第９题） （第１０题） （１）ａ２－ｂ２ （２）ｘ２－１ （３）－ｘ２－ｙ２ （４）４ｍ２－２５ｎ２ ｂｘ １０．兴趣小组同学借助数学软件探究函数 ｙ＝ 的图象，输入了一组 ａ，ｂ的值，得到了它的函数图象，如 （ｘ＋ａ）２ Ａ．第（１）道题 Ｂ．第（２）道题 Ｃ．第（３）道题 Ｄ．第（４）道题 图，借助学习函数的经验，可以推断输入的 ａ，ｂ的值应满足 （Ｄ） ４．下列调查中，调查方式最合理的是 （Ｂ） Ａ．ａ＜０，ｂ＞０ Ｂ．ａ＞０，ｂ＜０ Ｃ．ａ＞０，ｂ＞０ Ｄ．ａ＜０，ｂ＜０ Ａ．为了解郑州市初中生每天使用手机的时间，选择全面调查 二、填空题（每小题３分，共１５分） Ｂ．为了解一批护眼灯的使用寿命，选择抽样调查 ２ Ｃ．为了解乘坐飞机的乘客是否携带管制刀具，选择抽样调查 １１．长方形的一边长为 ｘ，面积为１，则它的周长等于 ２ｘ＋ ． ｘ Ｄ．为了解长江水域被污染的情况，选择全面调查 １２．我国科学家选取嫦娥六号月球样品中的玄武岩岩屑开展月幔源区水含量研究．结果显示，嫦娥六号玄武 ５．如图，下列条件中，不能使ＡＢＣＤ成为菱形的是 （Ｃ） 岩的月幔源区水含量仅为１至１．５微克／克，是已报道数据中的最低值，表明嫦娥六号玄武岩的月幔源区 Ａ．ＡＢ＝ＢＣ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．ＡＣ＝ＢＤ Ｄ．ＡＣ平分∠ＤＡＢ 比月球正面月幔更“干”．已知 １微克＝０．０００００１克，则 １．５微克等于 １．５×１０－６ 克．（用科学记数法 表示） ４ １３．某抛物线形桥拱如图所示，已知该抛物线的函数表达式为ｙ＝－ ｘ２＋１０，为了给行人提供安全保障，在该桥拱上 ２５ （第５题） （第６题） 距水面ＡＢ高为６米的点Ｅ，Ｆ处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离ＥＦ为 １０ 米． 河南中考４５套汇编·数学 ９— １ 河南中考４５套汇编·数学 ９— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ９— ３ 书书书 ) 且线段 ＡＣ，ＢＤ分别与 ＡＢ ) 相切，Ａ，Ｂ是切点，若 ＡＢ＝ １８０槡２ｍ，∠ＡＢＤ＝１３５°，则 ＡＢ ) 的长为 ９０π ｍ． １５．如图，正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝２槡３，点Ｅ是边ＡＢ上的一动点（不与点 Ａ，Ｂ重合）．将△ＡＤＥ沿 ＤＥ折叠， 点Ａ的对应点为点Ｐ，连接ＡＰ，ＢＰ．当△ＡＰＢ是等腰三角形时，ＡＥ的长为 ４槡３－６或２ ． １ （温馨提示：∵（２＋ 槡３）（２－ 槡３）＝１，∴ ＝２－ 槡３） ２＋ 槡３ 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） １ ａ２－４ １ １６．（１０分）（１）计算：－ 槡 ３ ２７＋（－ ）－１＋（π－３．１４）０； （２）化简： ·（１－ ）． ２ ａ－３ ａ－２ （１）原式＝－３＋（－２）＋１ （３分） ＝－４． （５分） （ａ＋２）（ａ－２） ａ－２－１ （２）原式＝ · （２分） ａ－３ ａ－２ （ａ＋２）（ａ－２） ａ－３ ＝ · （３分） ａ－３ ａ－２ ＝ａ＋２． （５分） １７．（９分）近年来，各地以“大阅读”行动为抓手，创新搭建丰富多彩的阅读平台，积极策应全民阅读、书 香城市建设．开展“大阅读”行动之后，某学校随机调查了本校七（１）班 ６名学生在行动后第一周课 外阅读情况，具体调查结果如图． （１）调查的这６名学生在行动后第一周课外阅读次数的中位数是 ４．５ 次，调查的这 ６名学生在行 动后第一周平均每次课外阅读时长的众数是 ０．５ ｈ； （２）开展“大阅读”活动之后，学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到 ３ｈ．请计算这 ６ 名学生在行动后第一周人均课外阅读总时长，并估计七（１）班在行动后第一周人均课外阅读总 时长能否达到学校目标． （１）４．５ ０．５ （４分）１ （２）在（１）的条件下判断 ＡＥ与 ＣＤ的数量关系，并证明． ２１．（９分）某实践活动小组阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后，他们欲测量球罐外斜梯的长度，实 （２）这６名学生在行动后第一周人均课外阅读总时长为 ×（３×１＋４×０．５＋４×１＋５×０．５＋６×１．５＋７×０．５）＝ ６ 施了如下方案：先测得球罐最低处 Ｂ离地面的高度 ＡＢ＝１．５米，接着一人站在球罐最高点 Ｃ处，眼 ４（ｈ）． （６分） 睛 Ｄ看到斜梯末端 Ｆ处恰好被斜梯顶端 Ｅ遮挡（此时 ＥＦ与⊙Ｏ相切），已知过切点 Ｂ恰有一水平 ∵学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到３ｈ， 横梁与斜梯交于末端 Ｆ处． ∴估计七（１）班在行动后第一周人均课外阅读总时长能达到学校目标． （９分） （１）连接 ＯＥ，求证：∠ＤＯＥ＝∠ＢＦＤ． １８．（９分） !"# $%&’()*+, 科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自 ２０２５年 １ ４ 月开始限产进行技术改造，月利润 ｙ（万元）与月份 ｘ之间的函数关系的图象如图所示，其中技术改 （２）若眼睛 Ｄ到点 Ｃ的距离为１．５米，ｓｉｎＤ＝ ，求斜梯 ＥＦ的长． （１）如图（１），∠ＡＤＥ即为所求作． （４分） ５ 造前期是反比例函数图象的一部分，技术改造后期是一次函数图象的一部分． （１）求反比例函数和一次函数的表达式． （２）求当月利润不高于１００万元时共经历了多少个月． 图（１） 图（２） （２）ＡＥ＝ＣＤ． （５分） （１）证明：由题意得ＢＦ，ＥＦ均与⊙Ｏ相切， 证明：如图（２），∵∠１＝∠２，∠１＝∠３， ∴∠ＯＥＦ＝∠ＯＢＦ＝９０°． ∴∠２＝∠３，∴ＤＥ∥ＡＣ， 又四边形ＯＢＦＥ的内角和为３６０°， （１）根据图象可知，反比例函数的图象经过点（１，２００）． ＡＥ ＣＤ ∴ ＝ ． ∴∠ＢＯＥ＋∠ＢＦＤ＝１８０°． ｋ ＡＢ ＣＢ 设反比例函数的表达式为ｙ＝ （ｋ≠０）， ｘ 又∠ＢＯＥ＋∠ＤＯＥ＝１８０°， 又ＡＢ＝ＣＢ，∴ＡＥ＝ＣＤ． （９分） ｋ ∴∠ＤＯＥ＝∠ＢＦＤ． （４分） 则 ＝２００，∴ｋ＝２００， ２０．（９分）在某校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（１）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护． １ （２）设⊙Ｏ的半径为ｒ米， 同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多 ５元，且用 ２００元购买绿萝的盆 ２００ ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ （１≤ｘ≤４且ｘ为整数）． （３分） ＯＥ ｘ 在Ｒｔ△ＤＯＥ中，ｓｉｎＤ＝ ， 数与用３００元购买吊兰的盆数相同． ＯＤ ２００ 把ｘ＝４代入ｙ＝ ，得ｙ＝５０． （１）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元． ４ ｘ ∴ＯＥ＝ＯＤ·ｓｉｎＤ，即ｒ＝ （ｒ＋１．５）， ５ （２）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过６００元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 设一次函数的表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｂ（ｍ≠０）， 解得ｒ＝６， （６分） （１）设购买绿萝的单价为ｘ元，则购买吊兰的单价为（ｘ＋５）元， ∵一次函数的图象经过点（４，５０），（６，１１０）， ∴ＢＤ＝１．５＋６＋６＝１３．５（米）． ２００ ３００ {５０＝４ｍ＋ｂ， {ｍ＝３０， 由题意得 ＝ ， （３分） ∴ 解得 ｘ ｘ＋５ ４ ４ １１０＝６ｍ＋ｂ， ｂ＝－７０． 在Ｒｔ△ＤＢＦ中，ｓｉｎＤ＝ ，∴ｔａｎＤ＝ ， ５ ３ 解得ｘ＝１０， ∴一次函数的表达式为ｙ＝３０ｘ－７０（ｘ＞４且ｘ为整数）． （６分） ∴ＢＦ＝ＢＤ·ｔａｎＤ＝１８米． 经检验，ｘ＝１０是原分式方程的解，且符合题意， （２）对于ｙ＝３０ｘ－７０，当ｘ＝５时，ｙ＝８０＜１００． 根据切线长定理可知ＥＦ＝ＢＦ＝１８米． （９分） 则ｘ＋５＝１５． 当ｘ＝６时，ｙ＝１１０＞１００． ２２．（１０分）已知抛物线 ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋３ａ（ａ≠０）． 答：购买绿萝的单价为１０元，购买吊兰的单价为１５元． （５分） ２００ 对于ｙ＝ ，当ｙ＝１００时，ｘ＝２． （１）该抛物线的顶点坐标（用含 ａ的式子表示）为 （２，－ａ） ；抛物线与 ｘ轴的交点坐标为 （１，０）， ｘ （２）设购买吊兰的数量为ｍ盆，则购买绿萝的数量为２ｍ盆， （３，０） ． 由此可知，２，３，４，５月的月利润不高于１００万元， 由题意得１５ｍ＋１０×２ｍ≤６００， （７分） 故当月利润不高于１００万元时共经历了４个月． （９分） （２）若该抛物线开口向上，当－１≤ｘ≤４时，ｙ的最大值是４，求抛物线的表达式． １２０ 解得ｍ≤ ． １９．（９分）如图，在△ＡＢＣ中，ＢＡ＝ＢＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交 ＢＣ于点 Ｄ． ７ （３）已知 Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ）两点均在抛物线 ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋３ａ（ａ＜０）上，若当 ｔ≤ｘ≤ｔ＋１，ｘ≥５时， １ １ ２ ２ １ ２ （１）请用无刻度的直尺和圆规作∠ＡＤＥ，使得∠ＡＤＥ＝∠ＢＡＤ，且射线 ＤＥ交边 ＡＢ于点 Ｅ（保留作图 ∵ｍ为正整数，∴ｍ的最大值为１７． 恒有 ｙ≥ｙ，求 ｔ的取值范围． １ ２ 痕迹，不写作法）． 答：购买吊兰的数量最多是１７盆． （９分） （１）（２，－ａ） （１，０），（３，０） （２分） 河南中考４５套汇编·数学 ９— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ９— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ９— ６ 书书书－４ａ ②若 ＡＣ＝ １０，求 ＡＤ·ＡＢ的值． ∴∠１＝∠２． 解法提示：抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ＝２， ２ａ （３）在（２）的条件下，若∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ １０，如图（３），在 ＡＤ边上取一点 Ｅ，使 ＡＤ∶ＡＥ＝ ５∶２，过点 Ｅ作 由题图（３）可知，ＥＦ∥ＤＣ，ＡＤ∶ＡＥ＝ 槡５∶槡２，ＡＣ＝ 槡１０， 将ｘ＝２代入ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋３ａ，得ｙ＝－ａ， ＥＦ∥ＣＤ交 ＡＣ于点 Ｆ．将△ＡＥＦ绕点 Ａ旋转，连接 ＣＥ，ＢＦ，如图（４）．当 ＣＥ所在的直线与 ＡＦ垂直时， ∴∠ＡＥＦ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＥ＝ 槡２， ∴抛物线的顶点坐标为（２，－ａ）． ＢＦ的长为 ２槡２或４槡２ ． ＡＥ 槡２ ＡＣ 令ｙ＝０，得ａｘ２－４ａｘ＋３ａ＝０， ∴ ＝ ＝ ， ＡＦ ２ ＡＢ 转化为ｘ２－４ｘ＋３＝０，解得ｘ＝１，ｘ＝３， １ ２ ∴ＡＦ＝２，△ＡＢＦ∽△ＡＣＥ!"#"$%．&"’(Ｅ)Ｃ*+"’(Ｆ)Ｂ*#",’ＥＣ)ＦＢ-，  ∴抛物线与ｘ轴的交点坐标为（１，０），（３，０）． ＣＥ ＡＣ 槡２ （２）由（１）知抛物线的对称轴为直线ｘ＝２． ∴ ＝ ＝ ，∴ＢＦ＝ 槡２ＣＥ． ＢＦ ＡＢ ２ ∵抛物线的开口向上，且２－（－１）＝３，４－２＝２， ∴当ｘ＝－１时，ｙ有最大值，最大值为４， 图（１） 图（２） 即ａ＋４ａ＋３ａ＝４， １ 解得ａ＝ ， ２ 图（２） 图（３） ∴抛物线的表达式为ｙ＝ １ ｘ２－２ｘ＋ ３ ． （６分） 过点 Ｅ作 ＥＧ⊥ＡＦ于点 Ｇ，则 ＡＧ＝ＦＧ＝ＥＧ＝１． ２ ２ 图（３） 图（４） 当直线 ＣＥ⊥ＡＦ，且点 Ｅ在 ＡＤ右侧时，如图（３），此时点 Ｃ，Ｅ，Ｇ共线， （３）示意图如图所示，设抛物线上有一点Ｍ，其横坐标为５，过点Ｍ作直线ｌ∥ｘ轴，交抛物线于另一点Ｎ，易知 点Ｎ的横坐标为－１． （１）如图（１）所示（找出一个点Ｄ即可）． （２分） ∴ＣＧ＝槡ＡＣ２－ＡＧ２＝槡（槡１０） ２ －１２＝３， ∴ＣＥ＝３－１＝２，∴ＢＦ＝２槡２． 图（４） 图（１） 当直线 ＣＥ⊥ＡＦ，且点 Ｅ在 ＡＤ左侧时，如图（４），此时点 Ｃ，Ｅ，Ｇ共线， 由图象可知，当ｘ≥５时，点Ｑ（ｘ，ｙ）在点Ｍ右侧的抛物线上（含点Ｍ）， （２）①１３５ （３分） ２ ２ ２ 若使ｙ≥ｙ恒成立，则需点Ｐ在直线ｌ上方的抛物线上（含点Ｍ，Ｎ）． 对角线ＡＣ是四边形ＡＢＣＤ的“亲子线”． （４分） ∴ＣＧ＝槡ＡＣ２－ＡＧ２＝槡（槡１０） ２ －１２＝３， １ ２ 又ｔ≤ｘ≤ｔ＋１，∴ｔ≥－１且ｔ＋１≤５， 理由：∵∠ＤＣＢ＝１３５°，∴∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＢ＝１３５°． ∴ＣＥ＝３＋１＝４，∴ＢＦ＝４槡２． １ ∴－１≤ｔ≤４． （１０分） 又∠ＡＣＤ＋∠ＡＤＣ＝１３５°，∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ． 综上可知，ＢＦ的长为２槡２或４槡２． ∵ＡＣ平分∠ＤＡＢ，∴∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ， ２３．（１０分） !"# -./01(23456定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边 ∴△ＤＡＣ∽△ＣＡＢ， 形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的 ∴对角线ＡＣ是四边形ＡＢＣＤ的“亲子线”． （６分） “亲子线”． ＡＤ ＡＣ （１）如图（１），△ＡＢＣ的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形 ＡＢＣＤ是以 ＡＣ为“亲子线” ②∵△ＤＡＣ∽△ＣＡＢ，∴ ＝ ， ＡＣ ＡＢ 的四边形，请只用无刻度的直尺，在图（１）中找出满足条件的点 Ｄ，并画出这个四边形．（找出一 ∴ＡＤ·ＡＢ＝ＡＣ２＝１０． （８分） 个点 Ｄ即可，保留画图痕迹） （３）２槡２或４槡２ （１０分） （２）如图（２），在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝９０°，∠ＤＣＢ＝１３５°，对角线 ＡＣ平分∠ＤＡＢ． 解法提示：如图（２），∵∠ＡＣＢ＝∠Ｄ＝９０°，∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ＝４５°， ①∠ＡＣＤ＋∠ＡＤＣ＝ １３５ °，此时对角线 ＡＣ是四边形 ＡＢＣＤ的“亲子线”吗？请作出判断，并说 ＡＣ 槡２ ∴ ＝ ，∠ＥＡＦ＝４５°， 明理由． ＡＢ ２ 河南中考４５套汇编·数学 ９— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ９— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ９— ９!" 郑州市 ２０２５年中招第一次适应性测试 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．检测４个篮球，其中超过标准的质量记为正数，不足的质量记为负数．从轻重的角度看，下列数据更接 近标准的是 （Ｂ） Ａ．－２．５ｇ Ｂ．－０．７ｇ Ｃ．＋０．８ｇ Ｄ．＋３．２ｇ ２．图（１）是古代必备的粮食度量用具，叫“斗”，图（２）是它的示意 图，则该“斗”的三视图中，图形相同的是 （Ａ） Ａ．左视图与主视图 Ｂ．主视图与俯视图 Ｃ．左视图与俯视图 图（１） 图（２） Ｄ．左视图、主视图与俯视图 ３．２０２５年５月５日，记者从省商务厅获悉，“五一”假期期间，全省重点监测的零售和餐饮企业累计实现 销售总额１８．７亿元，比上年同期增长４．５％，其中１８．７亿用科学记数法可表示为 （Ｃ） Ａ．１９×１０８ Ｂ．１８．７×１０８ Ｃ．１．８７×１０９ Ｄ．０．１８７×１０１０ ４．下列计算正确的是 （Ｄ） Ａ．ａ２＋ａ３＝ａ５ Ｂ．（ａ２）３＝ａ５ Ｃ．ａ６÷ａ２＝ａ３ Ｄ．ａ２·ａ３＝ａ５ ５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，点 Ｄ是 ＡＢ边的中点，ＤＥ∥ＡＣ，交 ＢＣ于点 Ｅ．若∠Ａ＝４０°，则∠ＣＤＥ的度 数是 （Ａ） Ａ．５０° Ｂ．４５° Ｃ．４０° Ｄ．３５° （第５题） （第６题） （第７题） ６．某中学为了解七年级学生一分钟仰卧起坐的成绩，对随机选取的３０名七年级学生进行了测试．将完成 的次数ｘ按照２０＜ｘ≤３０，３０＜ｘ≤４０，４０＜ｘ≤５０，５０＜ｘ≤６０的分组绘制频数分布直方图，如图所示．已知该 校七年级共有６００名学生，则估计其中一分钟仰卧起坐的次数超过４０的人数是 （Ｄ） Ａ．１００ Ｂ．２４０ Ｃ．２６０ Ｄ．３４０ ７．如图，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，若 ＡＢ＝ＣＤ，则下列结论不一定成立的是 （Ｃ） Ａ．ＡＢ 河南中考４５套汇编·数学 １０— １ 河南中考４５套汇编·数学 １０— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １０— ３ 书书书 ) ＝ＣＤ ) 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） ８． !"# $%&’( 硫酸钠（ＮａＳＯ）是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥 ２ ４ 重要作用．硫酸钠在１００ｇ水中的溶解度 ｙ（ｇ）与温度 ｔ（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中正确 １６．（１０分）（１）计算：槡 ３ ２７－（ １ ）０＋２－２； （２）化简： ｘ２－４ ÷（１－ ２ ）． ３ ｘ ｘ 的是 （Ｃ） １ Ａ．当温度为０℃时，硫酸钠在水中不溶解 （１）原式＝３－１＋ （３分） ４ Ｂ．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 ９ ＝ ． （５分） Ｃ．０℃～２０℃时，温度每升高１℃，硫酸钠溶解度的增加量不相同 ４ Ｄ．要使硫酸钠的溶解度不低于４３．７ｇ，温度应控制在４０℃～８０℃ （ｘ＋２）（ｘ－２） ｘ （２）原式＝ · （３分） ｘ ｘ－２ ＝ｘ＋２． （５分） １７．（９分）小明家安排家庭旅行，计划从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行 程为２１０ｋｍ．该公司有 Ａ，Ｂ，Ｃ三种型号的电动汽车，每辆车每天的费用分别为 ３６０元、４５０元、 ６００元．小明为了选择合适型号的汽车，进行网络调查，获得了这三种型号汽车充满电后行驶里程的 数据，如图所示． （第８题） （第９题） （第１２题） （第１３题） Ａ，Ｂ，Ｃ三种型号电动汽车充满电后能行驶里程的统计图 ９．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点 Ａ，Ｂ，Ｃ有一条圆弧，如果一条直线 与这条圆弧所在圆相切于点 Ｂ，则这条直线可以经过 （Ｃ） Ａ．点（０，３） Ｂ．点（６，０） Ｃ．点（１，３） Ｄ．点（６，１） １０．已知二次函数 ｙ＝ａｘ２－２ａｘ（ａ＞０）的图象经过点 Ａ（ｍ，ｙ），Ｂ（ｍ＋１，ｙ），若 ｙ＜ｙ＜０，则 ｍ的取值范围是 １ ２ １ ２ （Ｂ） １ １ １ Ａ．ｍ＞ Ｂ． ＜ｍ＜１ Ｃ． ＜ｍ＜２ Ｄ．１＜ｍ＜２ ２ ２ ２ 小明对数据进行分析，得到三种型号汽车的续航里程的统计量如下表所示． 二、填空题（每小题３分，共１５分） 型号 平均数／ｋｍ 中位数／ｋｍ 众数／ｋｍ 方差／ｋｍ２ １１．若关于 ｘ的方程 ｘ２－２ｘ＋ｃ＝０有实数根，则 ｃ的值可以是 ０（答案不唯一，满足 ｃ≤１即可） ．（写出一个即 Ａ ２００ ２００ ２０５ ３７．５ 可） Ｂ ２１６ ２１５ ２２０ ３１．５ １２．如图，某地铁站的进站口共有３个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从 Ｃ ２２７．５ ２２７．５ ２２５ ２８．７５ ４ 相邻的闸机检票进站的概率是 ． ９ 小明既想尽可能地避免行程中充电耽误时间，又想减少租车费用，应租借哪种型号的电动汽车？请 １３．如图，直线 ｌ经过正方形ＡＢＣＤ的中心Ｏ，分别与ＢＣ和ＡＤ相交于点Ｅ和点Ｆ，交ＣＤ的延长线于点Ｇ．正 结合统计图、统计表等信息综合分析并给出合理的建议． 方形 ＡＢＣＤ的面积是１６，若 ＢＥ＝１，则△ＧＤＦ的面积为 １ ． 答案不唯一，如：选择Ｂ型号汽车． （２分） １４． !"# )*+, 分解因式 ａ３－ａ＝ ａ（ａ＋１）（ａ－１） ；若 ａ是整数，则 ａ３－ 理由：Ａ型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于 ２１０ｋｍ，且只有 １０％的车辆能达到行程要求，故不建议 ａ一定能被整数 ｋ整除，整数 ｋ的最大值是 ６ ． 选择；Ｂ，Ｃ型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过 ２１０ｋｍ，其中 Ｂ型号汽车有 ９０％的车辆符合行程要 求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且Ｂ型号汽车比Ｃ型号汽车更经济实惠，故建议选择 Ｂ型号 １５． !-. /012345678( 如图，在平面直角坐标系中，点 Ｂ的坐 标为（２，０），点 Ｍ为 ｘ轴上方一动点，且 ＯＭ＝２，连接 ＭＢ，将 ＭＢ绕点 Ｍ逆时针 汽车． （９分） 可分层赋分． 旋转９０°，得到ＭＰ．连接ＯＰ，当线段ＯＰ取最大值时，ＯＰ的长度为 ２＋２槡２ ，点Ｍ 【Ａ等级】合理选择，综合分析，可给９分； 的坐标为 （－ 槡２，槡２） ． Ｂ．ＡＣ＝ＢＤ Ｃ．ＡＤ＝ＢＤ Ｄ．∠ＡＤＣ＝∠ＢＡＤ 【Ｂ等级】合理选择，片面分析，可给７分；【Ｃ等级】只有选择，没有分析，可给２分． ｋ （１）∵Ｐ（１，２）在反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象上， ｘ １８．（９分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，ＡＯ＝ＣＯ． ∴ｋ＝１×２＝２， （１）找出图中与∠ＤＡＣ相等的角，并说明理由． ２ （２）已知 ＡＤ＞ＡＢ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形 ＢＥＤＦ，其中点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ，ＡＤ上（保留作 ∴该反比例函数的表达式为ｙ＝ （ｘ＞０）． （３分） ｘ 图痕迹，不写作法）． （２）∵Ｑ（ｍ，ｎ），∴ＡＣ＝ｍ－１，ＣＱ＝ｎ， ∴Ｓ＝ＡＣ·ＣＱ＝（ｍ－１）ｎ＝ｍｎ－ｎ． ２ ∵Ｑ（ｍ，ｎ）在反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象上， ｘ ∴ｍｎ＝２，∴Ｓ＝２－ｎ． （７分） （１）∠ＡＣＢ． （１分） （３）∵ｎ随ｍ的增大而减小， 理由如下： ∴Ｓ随ｍ的增大而增大． （９分） ∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ，∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＯ． ２０．（９分） !"# $%&’( 如图，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的四个点，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ交 ＢＣ于点 Ｅ，ＡＥ＝２， 又∵ＡＯ＝ＣＯ，∴△ＡＢＯ≌△ＣＤＯ（ＡＡＳ）， （３分） ＥＤ＝４． ∴ＡＢ＝ＣＤ． （１）求 ＡＢ的长． 又∵ＡＢ∥ＣＤ，∴四边形ＡＢＣＤ为平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＣ． （６分） （２）若证明 ＡＣ∥ＢＤ，需要添加一个条件．请从①ＡＣ （２）如图，四边形ＢＥＤＦ即为所求．（作法不唯一） （９分） ｋ １９．（９分）如图，点 Ｐ（１，２），Ｑ（ｍ，ｎ）在反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象上．当 ｍ＞１时，过点 Ｐ作 ｘ轴、 ｘ ｙ轴的垂线，垂足分别为点Ａ，Ｂ，过点Ｑ作ｘ轴、ｙ轴的垂线，垂足分别为点Ｃ，Ｄ，ＱＤ交ＰＡ于点Ｅ．设 四边形 ＡＣＱＥ的面积为 Ｓ． （１）求这个反比例函数的表达式． （２）求 Ｓ与 ｎ之间的关系式． （３）随着 ｍ的增大，四边形 ＡＣＱＥ的面积 Ｓ如何变化？请简要说明理由． 河南中考４５套汇编·数学 １０— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １０— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １０— ６ 书书书 ) ＝ＣＤ ) ，②ＢＤ是⊙Ｏ的直径，③∠ＡＣＢ＝４５°中选择一个 作为添加条件，并写出相应的证明过程． （１）∵ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＢ ) ＝ＡＣ ) ＡＢ 槡３ ∴在Ｒｔ△ＢＡＤ中，ｔａｎ∠ＢＤＡ＝ ＝ ． ＡＤ ３ ∴∠Ｄ＝３０°，∠ＡＢＤ＝６０°，∴∠Ｃ＝３０°． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝３０°， ∴∠ＣＢＤ＝６０°－３０°＝３０°， ∴∠ＣＢＤ＝∠Ｃ， ∴ＡＣ∥ＢＤ． （９分） ２１．（９分）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排 ３０ 个深蹲，２０个开合跳，健身软件显示消耗热量３４千卡；第二组安排 ２０个深蹲，４０个开合跳，健身软 件显示两组运动共消耗热量７０千卡． （１）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ （２）小亮想设计一个１０分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合 跳的数量．每个深蹲用时４秒，每个开合跳用时２秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ （１）设小亮每做一个深蹲消耗热量ｘ千卡，每做一个开合跳消耗热量ｙ千卡， {３０ｘ＋２０ｙ＝３４， 由题意，得 （３分） ２０ｘ＋４０ｙ＝７０－３４． {ｘ＝０．８， 解得 ｙ＝０．５． 答：小亮每做一个深蹲消耗热量０．８千卡，每做一个开合跳消耗热量０．５千卡． （５分） （２）第一步：确定范围 设小亮安排ａ个深蹲， ６００－４ａ 则ａ≥ ，解得ａ≥１００． （７分） ２ ， 第二步：列表达式 ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｄ． 设共消耗热量ｗ千卡， 又∵∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＢ， ６００－４ａ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＤＢ， （３分） 则ｗ＝０．８ａ＋０．５× ＝－０．２ａ＋１５０． ２ ＡＥ ＡＢ ∴ ＝ ． 第三步：确定最值 ＡＢ ＡＤ ∵－０．２＜０， ∵ＡＥ＝２，ＥＤ＝４，∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＥＤ＝２＋４＝６， ∴ｗ随ａ的增大而减小，即当ａ＝１００时ｗ最大． ２ ＡＢ ∴ ＡＢ ＝ ６ ，∴ＡＢ＝２槡３． （５分） 第四步：作答 （２）（答案不唯一，选择①或②均可） 答：小亮安排１００个深蹲消耗的热量最多． （９分） 例如：选择②． （６分） ２２．（１０分） !)* +,-./01234567( 综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒． 证明：∵ＢＤ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＤ＝９０°． 如图（１），正方形纸片 ＡＢＣＤ的边长为１２，在正方形 ＡＢＣＤ内部作等边三角形 ＡＢＥ，连接 ＤＥ，ＣＥ． 由（１）知，ＡＢ＝２槡３，ＡＤ＝６， （１）求证：ＤＥ＝ＣＥ．（２）如图（２），在等边三角形 ＡＢＥ的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折 ∵ＡＣ＝ＡＦ，∴ＦＧ＝ＣＧ，∴ＦＨ＝ＨＥ＝２， 起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）． ∴ＣＨ＝ＥＨ＝２，∴ＡＨ＝槡ＡＥ２＋ＥＨ２＝槡３２＋２２＝ 槡１３． ①设该纸盒的高为 ｘ，用含 ｘ的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定 ｘ的取值范围． 设ＣＧ＝ｘ，则ＣＦ＝２ｘ． ②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 在Ｒｔ△ＣＨＧ和Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＨ２－ＨＧ２＝ＣＧ２＝ＡＣ２－ＡＧ２， ４槡１３ ∴２２－ＨＧ２＝５２－（槡１３＋ＨＧ）２，∴ＨＧ＝ ， １３ 图（１） 图（２） 备用图（１） 备用图（２） ３ ４槡１３ ６槡１３ （１）△ＡＢＥ，△ＡＣＦ （３分） ∴ＣＧ＝槡ＣＨ２－ＨＧ２＝ 槡 ２２－（ ）２＝ ， ５ １３ １３ （２）∵在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４， １２槡１３ ∴ＣＦ＝２ＣＧ＝ ． 图（１） 图（２） １３ ∴∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ＝槡３２＋４２＝５． （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，△ＡＢＥ是等边三角形， １２槡１３ ∵△ＡＥＦ≌△ＡＢＣ，点Ｅ落在对角线ＡＣ上， 综上可知，ＣＦ的长为６或 ． ∴ＡＥ＝ＢＥ＝ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ，∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝∠ＡＤＣ＝９０°，∠ＥＡＢ＝∠ＥＢＡ＝６０°， １３ ∴ＡＥ＝ＡＢ＝３，ＥＦ＝ＢＣ＝４，ＡＦ＝ＡＣ＝５，∠ＡＥＦ＝∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＥＢＣ＝３０°， ∴ＥＣ＝２，∠ＣＥＦ＝９０°，∴ＣＦ＝槡２２＋４２＝２槡５． （６分） ∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ＝７５°， ＡＢ ＡＣ ＡＢ ＡＥ ∴∠ＣＤＥ＝∠ＤＣＥ＝１５°，∴ＤＥ＝ＣＥ． （４分） ∵ ＝ ＝１，∴ ＝ ． ＡＥ ＡＦ ＡＣ ＡＦ （２）①如图，连接ＥＦ，易知ＦＩ⊥ＢＥ，∠ＦＥＩ＝３０°． ＢＥ ＡＢ ３ 又∵∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ，∴△ＡＢＥ∽△ＡＣＦ．∴ ＝ ＝ ， ∵高ＦＩ＝ｘ，∴ＥＦ＝２ｘ，ＥＩ＝ 槡３ｘ， ＣＦ ＡＣ ５ ６槡５ ∴ＢＥ＝ ． （８分） ５ １２槡１３ （３）能．ＣＦ的长为６或 ． （１０分） １３ 解法提示：分两种情况讨论． ∴底边长ＦＧ＝ＨＩ＝１２－２槡３ｘ． ①当∠ＥＦＣ＝９０°时，如图（１）， 过点Ａ作ＡＭ⊥ＣＦ于点Ｍ， ∵１２－２槡３ｘ＞０，∴ｘ＜２槡３， ∵ＡＣ＝ＡＦ，∴ＦＭ＝ＣＭ!"#$%&’()*’+,-./． 又∵ｘ＞０，∴０＜ｘ＜２槡３． （７分）  ∵∠ＡＥＦ＝∠ＥＦＭ＝∠ＡＭＦ＝９０°， ②存在．根据题意，得该纸盒的侧面积为３Ｓ ＝３ｘ（１２－２槡３ｘ）＝－６槡３ｘ２＋３６ｘ＝－６槡３（ｘ－ 槡３）２＋１８槡３． 矩形ＦＧＨＩ ∴四边形ＡＥＦＭ是矩形， ∵－６槡３＜０，０＜ｘ＜２槡３， ∴ＦＭ＝ＡＥ＝３，∴ＣＦ＝２ＦＭ＝６． ∴当ｘ＝ 槡３时，该纸盒的侧面积最大，最大值为１８槡３． （１０分） ２３．（１０分）如图（１），在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，连接 ＡＣ，旋转△ＡＥＦ能与△ＡＢＣ重合．现将△ＡＥＦ 绕点 Ａ顺时针方向旋转，连接 ＢＥ，ＣＦ． ＢＥ ３ （１）旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有 △ＡＢＥ，△ＡＣＦ ， 的值为 ． ＣＦ ５ （２）如图（２），当点 Ｅ落在对角线 ＡＣ上时，求 ＢＥ的长． 图（１） 图（２） （３）连接 ＣＥ．试探究能否构成以 ＣＦ为直角边的△ＣＥＦ．若能，直接写出线段 ＣＦ的长；若不能，请说 ②当∠ＥＣＦ＝９０°时，如图（２）， 明理由． 过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＦ于点Ｇ，交ＥＦ于点Ｈ，连接ＣＨ，则ＡＧ∥ＥＣ． 河南中考４５套汇编·数学 １０— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １０— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １０— ９!! ８．如图，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为⊙Ｏ上的点，四边形 ＯＡＢＣ为菱形，点 Ｄ在 ＡＤＣ 郑州市 ２０２５年中招第二次适应性测试 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．课堂上，地理老师给同学们呈现了某月四个城市的平均气温，其中气温最低的是 （Ａ） Ａ．乌鲁木齐－４℃ Ｂ．郑州６℃ Ｃ．呼和浩特－３℃ Ｄ．成都１０℃ ２．２０２４年河南粮食总产量达１３４３．９亿斤（注：１斤＝０．５千克），同比增长１．４％，连续８年稳定在１３００ 亿斤以上．数据“１３４３．９亿”用科学记数法表示为 （Ｃ） Ａ．０．１３４３９×１０１１ Ｂ．１．３４３９×１０１ Ｃ．１．３４３９×１０１１ Ｄ．１．３４３９×１０１０ ３．一个直四棱柱的俯视图如图所示，则它的主视图是 （Ｄ） ４．若关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２＋ｍｘ－３＝０的一个根等于３，则另一个根为 （Ｂ） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．－２ ５．从电动伸缩门可以抽象出如图所示的几何图形，已知ＡＤ∥ＢＣ，ＢＥ∥ＤＣ，ＢＦ平分∠ＥＢＣ，交ＡＤ于点Ｇ． 若∠１＝７０°，则∠２的度数为 （Ｂ） Ａ．３０° Ｂ．３５° Ｃ．４０° Ｄ．４５° （第５题） （第７题） （第８题） １ ２ ６．化简 ＋ 的结果为 （Ｄ） ｘ－１１－ｘ２ ３ １ １ Ａ．ｘ－１ Ｂ． Ｃ． Ｄ． ｘ２－１ ｘ－１ ｘ＋１ ７．小新和小颖做游戏，游戏规则如下：每人从１，２，３，…，１０中任意选择一个数，然后两人各转动一次转 盘（如图），谁选择的数等于两人转得的数字之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于转得的数字 之和就再做一次上述游戏，直至决出胜负．如果小新想要获胜的机会大一些，那么他应选择的数为 （Ｂ） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ 河南中考４５套汇编·数学 １１— １ 河南中考４５套汇编·数学 １１— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １１— ３ 书书书 ) 上，则∠Ｄ的度数为 （Ｃ） １５．如图，已知等腰直角三角形 ＡＢＣ和等腰直角三角形 ＡＤＥ的直角顶点 Ａ重合，ＡＢ＝ＡＣ＝３槡２，ＡＤ＝ Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ＡＥ＝２．将△ＡＤＥ绕点 Ａ在平面内旋转，连接 ＢＥ，ＣＤ，已知点 Ｍ是 ＢＥ的中点，连接 ＡＭ，当 Ｅ，Ｄ，Ｃ三 ９．将抛物线ｙ＝－ｘ２＋１向上平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度后，与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，若ＡＢ＝４，则ｍ的值为 （Ｂ） 槡２ 槡２ 点共线时，线段 ＡＭ的长为 ２＋ 或２－ ． ２ ２ Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） １０． !"# $%&’()*+,-. 如图，等边三角形 ＯＡＢ的顶点 Ｏ（０，０）， １ Ｂ（６，０），点 Ａ在第一象限内，点 Ｃ在边 ＯＢ上且 ＢＣ＝２，点 Ｄ为边 ＡＢ上一动点（不 １６．（１０分）（１）计算：６ｓｉｎ４５°－ 槡１８＋（ ）－１－（π－２）０； （２）化简：（ａ＋２ｂ）２－ｂ（４ａ－ｂ）． ２ 与点 Ｂ重合），连接 ＣＤ，将△ＢＣＤ沿 ＣＤ折叠得到△ＥＣＤ，连接 ＡＥ，ＥＯ．当△ＡＯＥ 槡２ 的面积最小时，点 Ｅ的坐标为 （Ｃ） （１）原式＝６× －３槡２＋２－１ （４分） ２ ４ Ａ．（３，槡３） Ｂ．（４－ 槡３，１） Ｃ．（４－ 槡３，１） Ｄ．（２，槡３） ＝１． （５分） ３ （２）原式＝ａ２＋４ａｂ＋４ｂ２－４ａｂ＋ｂ２ （４分） 二、填空题（每小题３分，共１５分） ＝ａ２＋５ｂ２． （５分） １１．若一次函数 ｙ＝ｋｘ－２的值随 ｘ值的增大而减小，则 ｋ的值可以是 －１（答案不唯一，ｋ＜０即可） ．（写出一 个即可） １７．（９分）某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿度、光照传感器，结 １２．某公司２０２３～２０２４年的总支出情况如图所示，该公司 ２０２３年的工资支出占总支出的 ６０％，２０２４年与 合 ＡＩ算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质．为了解改良效果，在相同条件下，随机抽取了甲、乙 ２０２３年相比在工资方面的支出金额的变化情况是 变多了 ．（填“变多了”“变少了”或“不变”） 两种草莓各１０个样品，对质量（单位：ｇ）、糖度（单位：Ｂｒｉｘ）进行测评，并对数据进行整理、描述和 某公司２０２３～２０２４年的总支出情况 某公司２０２４年总支出的分配情况 分析： 甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表 编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 质量 ２４．１ ２５．３ ２２．５ ２３．９ ２６．０ ２１．２ ２４．７ ２５．８ ２０．７ ２３．４ 糖度 ９．５ １０．３ ８．８ ９．７ １０．６ ８．９ １１．０ １０．２ ９．１ １０．４ 乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表 {ｘ＞３， 编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １３．若 ｘ＝４是一元一次不等式组 的一个整数解，则 ｍ的取值范围是 ｍ＜４ ． ｘ＞ｍ 质量 １９．５ ２１．０ １８．３ ２０．６ ２２．１ １７．８ ２０．２ １９．１ ２１．５ １８．４ １４．如图，已知点 Ｐ在直线 ｌ外，利用如下方法可以作出过点 Ｐ与直线 ｌ平行的直线：在直线 ｌ上任取一点 Ａ， 糖度 １１．７ １０．９ １２．０ １１．３ １０．６ １２．２ １１．５ １０．８ １２．１ １１．２ 以点 Ａ为圆心，以ＡＰ的长为半径作弧，交直线ｌ于点Ｂ；以点Ｐ为圆心，以ＰＡ的长为半径作弧；以点Ａ为 甲、乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数、中位数、方差如下： 圆心，以 ＰＢ的长为半径作弧，在点 Ｐ的同侧交前弧于点 Ｃ；作直线 ＰＣ，则 ＰＣ∥ｌ．连接 ＢＰ，ＡＣ，若直线 ＰＣ 平均数 中位数 方差 与 ｌ之间的距离为槡２，ＰＡ＝２，则图中阴影部分的面积为 π－２槡２ ． 甲 ２３．７６ ２３．６５ ３．０２０４ 质量 乙 １９．８５ １９．３ １．９１８５ 甲 ９．８５ ９．６ ０．５２２５ 糖度 乙 １１．４３ １１．２５ ０．２８８１ （１）如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓？ （第１４题） （第１５题） （２）在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良，请给出改良意见．（１）从平均数和中位数角度来看，甲种草莓的单果质量大于乙种草莓的单果质量，但甲种草莓的糖度低于乙 ６ 有氧运动的控制阈值： ∴点Ｂ没有落在反比例函数ｙ＝ 的图象上． （９分） ２ ｘ 种草莓的糖度；从方差角度来看，甲种草莓单果质量的方差和糖度的方差均大于乙种草莓，说明甲种草莓的 组别 跑步速度／（ｍ／ｓ） 心率／ｂｐｍ 摄氧量／［ｍＬ／（ｋｇ·ｍｉｎ）］ 运动强度 １９．（９分）在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝１２． 单果质量不均匀，糖度的大小波动比较大．由于人们对草莓口感的要求会比较高，所以我建议推广种植乙种 第１组 ３．０ １１５ ３２ 低强度有氧 （１）如图（１），点 Ｅ为矩形 ＡＢＣＤ内一点，请过点 Ｅ作一条直线，将矩形 ＡＢＣＤ的面积平分，并说明理由； 草莓．（合理即可） （６分） 第２组 ３．２ １２２ ３５ 有氧区间 （２）由于乙种草莓的单果质量比较小，所以技术人员需要运用种植技术提高乙种草莓的单果质量． （９分） １ （２）如图（２），若点Ｅ为对角线ＡＣ上一点，且ＡＥ＝ ＡＣ，点Ｆ为边ＡＢ上一点，作直线ＥＦ交边ＡＤ于点Ｇ， 第３组 ３．４ １２８ ３８ 有氧区间 ４ ３ ｋ １８．（９分）如图，已知一次函数 ｙ＝ ｘ与反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠０）的图象相交于点 Ａ（ｍ，３）． 第４组 ３．６ １３５ ４２ 有氧区间 １ ２ ２ ｘ 直接写出△ＡＦＧ面积的最小值． 第５组 ３．８ １４２ ４６ 有氧区间 （１）ｍ的值为 ２ ，ｋ的值为 ６ ； 第６组 ４．０ １４８ ４９ 有氧阈值 （２）直接写出 ｙ＞ｙ时自变量 ｘ的取值范围； １ ２ 第７组 ４．２ １５５ ５２ 有氧峰值 ｋ （３）以ＯＡ为边，在直线ＯＡ的下方作正方形ＯＡＢＣ，请通过计算判断点Ｂ是否落在反比例函数ｙ＝ 第８组 ４．３ １６２ ５３ 混合代谢 ２ ｘ 第９组 ４．４ １６８ ５３ 无氧过渡 （ｋ≠０）的图象上． 图（１） 图（２） 第１０组 ４．５ １７５ ５３ 无氧运动 （１）如图（１），连接ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，直线ＥＯ即为所求． （２分） 第１１组 ４．６ １７８ ５３ 无氧运动 理由如下： 第１２组 ４．７ １８２ ５３ 无氧运动 设直线ＥＯ分别交ＡＤ，ＢＣ于点Ｎ，Ｍ． 第１３组 ４．８ １８５ ５３ 无氧运动 ∵四边形ＡＢＣＤ为矩形， 第１４组 ４．９ １８８ ５３ 无氧运动 ∴ＡＯ＝ＣＯ，ＡＤ∥ＢＣ， 第１５组 ５．０ １９２ ５３ 无氧运动 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ． （１）２ ６ （２分） 用 ｘ表示跑步速度，用 ｙ表示心率，同学们运用信息技术描出数据散点图，如图，发现速度在 ３．０～ ∵∠ＡＯＮ＝∠ＣＯＭ，∴△ＡＯＮ≌△ＣＯＭ（ＡＳＡ）． （２）－２＜ｘ＜０或ｘ＞２ （５分） ４．２ｍ／ｓ时可用一次函数模型近似刻画跑步速度与心率的关系． １ （３）如图，过点Ａ作ＡＤ⊥ｙ轴于点Ｄ， ∴Ｓ ＝Ｓ ＋Ｓ ＝Ｓ ＋Ｓ ＝Ｓ ＝ Ｓ ． （６分） 四边形ＡＢＭＮ △ＡＯＮ 四边形ＡＢＭＯ 四边形ＡＢＭＯ △ＣＯＭ △ＡＢＣ ２ 矩形ＡＢＣＤ （１）不妨取表中第１组和第６组数据代入函数模型，求出 ｙ关于 ｘ的函数表达式． （２）某位同学跑完１０００ｍ用时２４４ｓ，请通过计算判断该同学的运动强度． （３）１０００ｍ跑属于中长跑项目，它是一个需要耐力、速度和意志力的综合性项目，极限时间内身体 从有氧向无氧代谢过渡．研究表明，初中男生的肌肉爆发力与心肺耐力处于快速成长期，满分标 准需兼顾激励性与可达性，请你结合所给信息，制定该年级男生 １０００ｍ跑的满分标准，并解释 图（１） 图（２） 其合理性． （２）△ＡＦＧ面积的最小值为９． （９分） 过点Ｂ作ＢＥ⊥ＤＡ，交ＤＡ的延长线于点Ｅ，则∠ＯＤＡ＝∠Ｅ＝９０°． 解法提示：如图（２），过点Ｏ作ＯＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，ＯＮ⊥ＡＤ于点Ｎ，则四边形ＡＭＯＮ是矩形． ∵四边形ＯＡＢＣ为正方形， ∴ＯＡ＝ＡＢ，∠ＯＡＢ＝９０°，∴∠ＤＡＯ＋∠ＥＡＢ＝９０°． １ １ ∵ＯＡ＝ ＡＣ，ＡＥ＝ ＡＣ，∴ＡＥ＝ＥＯ， ２ ４ 又∠ＤＡＯ＋∠ＤＯＡ＝９０°，∴∠ＥＡＢ＝∠ＤＯＡ， ∴点Ｅ为矩形ＡＭＯＮ对角线的交点， ∴△ＯＤＡ≌△ＡＥＢ!"#$%&’()*+,-"#.，  ∴直线ＧＦ平分矩形ＡＭＯＮ的面积． ∴ＡＥ＝ＯＤ，ＢＥ＝ＡＤ． ∴当点Ｆ与点Ｍ重合，点Ｇ与点Ｎ重合时，△ＡＦＧ的面积最小， ∵点Ａ的坐标为（２，３）， １ １ １ １ １ （１）设ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， ∴ＡＥ＝ＯＤ＝３，ＢＥ＝ＡＤ＝２． 最小值为 Ｓ ＝ × Ｓ ＝ × ×１２×６＝９． ２ 矩形ＡＭＯＮ ２ ４ 矩形ＡＢＣＤ ２ ４ 将（３，１１５），（４，１４８）代入， ∴点Ｂ的坐标为（５，１）． ２０．（９分） !/0 12345 在“体育与心率”综合实践活动课上，研究小组选取九年级部分男同 {１１５＝３ｋ＋ｂ， {ｋ＝３３， ６ ６ 当ｘ＝５时，ｙ＝ ＝ ≠１． 得 解得 ２ ｘ ５ 学，通过佩戴同样的运动手环进行运动中即时速度、心率和摄氧量的测量，收集到如下１５组数据，并给出 １４８＝４ｋ＋ｂ， ｂ＝１６， 河南中考４５套汇编·数学 １１— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １１— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １１— ６∴ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝３３ｘ＋１６． （４分） （２）∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ． １ ①若点 Ｐ在△ＡＢＣ的中心，如图（２），此时 ｌ与 ｃ的关系为 ｌ＝ ｃ ； ２ １０００ ∵∠ＡＦＤ＝∠ＡＢＣ，∴∠ＡＦＤ＝∠ＡＤＣ， （２）由题意可得，跑步的速度为 ≈４．１（ｍ／ｓ）， ２４４ ∴ＡＦ＝ＡＤ＝ＢＣ． （７分） ②若点 Ｐ在△ＡＢＣ的一条高 ＡＧ上，如图（３），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． ∴该同学的运动强度处于有氧阈值和有氧峰值之间． （６分） 设ＯＥ＝ｘ， （２）若点 Ｐ不在△ＡＢＣ的高上，如图（１），我们可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决 １０００ ∵ＡＢ２－ＡＥ２＝ＯＢ２－ＯＥ２， 过程． （３）当运动强度达到有氧阈值时的跑步时间为 ＝２５０（ｓ）． ４ ∴（４槡５）２－（ｘ＋５）２＝５２－ｘ２，解得ｘ＝３． １０００ 当运动强度达到无氧运动时的跑步时间为 ≈２２２（ｓ）． ∵在Ｒｔ△ＯＥＢ中，ＯＢ＝５，ＯＥ＝３，∴ＢＥ＝４，∴ＢＣ＝８， ４．５ ∴ＡＦ＝ＢＣ＝８，即ＡＦ的长为８． （９分） ∴满分标准定在２２２ｓ和２５０ｓ之间都是合理的．（学生只需解释自己制定的满分标准在有氧向无氧运动的 ２２．（１０分） !"# 67*89& 某公园计划建造一个直径为 ２０ｍ的圆形喷水池，在喷水池的周边 区间，突出激励性与可达性即可） （９分） ２１．（９分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，过点 Ａ作⊙Ｏ的切线 ＡＭ，在 ＡＭ上截取 安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形状，且喷出的水柱距池中心 ４ｍ处达到最高，高度为 ６ｍ．如图， 图（１） 图（２） 图（３） ＡＤ＝ＢＣ，连接 ＣＤ交⊙Ｏ于点 Ｆ． 以水平方向为 ｘ轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐标系． １ （１）①ｌ＝ ｃ （２分） ２ （１）求抛物线的表达式． （１）判断四边形 ＡＢＣＤ的形状，并说明理由； ②成立． （３分） （２）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为 （２）连接 ＡＦ，若⊙Ｏ的半径为５，ＡＢ＝４槡５，求 ＡＦ的长． ∵ＡＧ是△ＡＢＣ的高，ＡＢ＝ＡＣ， 多高？ ∴∠ＦＡＤ＝∠ＥＡＤ，ＢＤ＝ＣＤ． （３）由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱距池中心 ４ｍ处达到最 ∵ＰＦ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥ＡＣ，∴∠ＡＦＰ＝∠ＡＥＰ＝９０°． 高，且高度不变，此时，抛物线的表达式为 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），若（１）中抛物线表达式为 ｙ＝ａｘ２＋ ２ ２ ２ ２ １ ∵ＡＰ＝ＡＰ，∴△ＡＦＰ≌△ＡＥＰ（ＡＡＳ）． ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），则 ａ ＜ ａ，ｂ ＞ ｂ，ｃ ＜ ｃ．（填“＞”“＜”或“＝”） １ １ １ ２ １ ２ １ ２ １ ∴ＡＦ＝ＡＥ，∴ｌ＝ＡＥ＋ＣＤ＋ＣＥ＝ ｃ． （６分） ２ （２）如图，过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，交ＰＥ于点Ｈ，过点Ｈ作ＨＫ⊥ＡＢ于点Ｋ，过点Ｐ分别作ＰＮ⊥ＨＫ于点Ｎ， ＰＭ⊥ＡＧ于点Ｍ， （１）四边形ＡＢＣＤ为平行四边形． （１分） １ 理由如下： 由上可得ＡＫ＋ＢＧ＋ＣＥ＝ ｃ． （７分） ２ 如图，连接ＡＯ并延长，交ＢＣ于点Ｅ，连接ＯＢ，ＯＣ， 由图可得四边形ＫＮＰＦ和四边形ＰＭＧＤ都是矩形， （１）由题意得抛物线的顶点坐标为（４，６）， ∴∠ＦＰＮ＝∠ＭＰＤ＝９０°，ＦＫ＝ＰＮ，ＰＭ＝ＤＧ． （８分） ∴设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－４）２＋６， （１分） ∵△ＡＢＣ为等边三角形，∴∠ＢＡＣ＝∠Ｃ＝６０°， 将（１０，０）代入ｙ＝ａ（ｘ－４）２＋６， ∴∠ＦＰＥ＝∠ＥＰＤ＝１２０°，∴∠ＨＰＮ＝∠ＭＰＨ＝３０°， １ 得０＝ａ（１０－４）２＋６，∴ａ＝－ ， ∴△ＰＮＨ≌△ＰＭＨ（ＡＡＳ），∴ＰＭ＝ＰＮ， ６ ∴ＦＫ＝ＤＧ， １ ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ （ｘ－４）２＋６． （４分） ６ ∴ＡＦ＋ＢＤ＝ＡＫ＋ＦＫ＋ＢＤ＝ＡＫ＋ＤＧ＋ＢＤ＝ＡＫ＋ＢＧ， １ １０ １ ∵ＯＢ＝ＯＣ，∴点Ｏ在ＢＣ的垂直平分线上． （２）当ｘ＝０时，ｙ＝－ ×（０－４）２＋６＝ ， ∴ｌ＝ＡＦ＋ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＫ＋ＢＧ＋ＣＥ＝ ｃ． （１０分） ６ ３ ２ ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴点Ａ在ＢＣ的垂直平分线上， １０ ∴这个装饰物应设计为 ｍ高． （７分） ∴ＡＥ⊥ＢＣ． （２分） ３ ∵ＡＭ是⊙Ｏ的切线，点Ａ在圆上， （３）＜ ＞ ＜ （１０分） ∴ＡＭ⊥ＡＥ，∴ＡＭ∥ＢＣ． （４分） ２３．（１０分）如图（１），点 Ｐ是等边三角形 ＡＢＣ内的任意一点，过点 Ｐ向三边作垂线，垂足分别为 Ｄ，Ｅ，Ｆ．记 ∵ＡＤ＝ＢＣ， ｌ＝ＡＦ＋ＢＤ＋ＣＥ，ｃ＝△ＡＢＣ的周长．试探究 ｌ与 ｃ的关系． ∴四边形ＡＢＣＤ为平行四边形． （５分） （１）从特殊情形入手： 河南中考４５套汇编·数学 １１— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １１— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １１— ９!" 洛阳市 ２０２５年中招模拟考试（一） 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．如图，数轴上点 Ｐ表示的实数可能是 （Ｂ） Ａ．－２．４ Ｂ．－１．６ Ｃ．２．４ Ｄ．１．６ ２．《实景三维河南建设总体实施方案（２０２３—２０２５年）》提出到２０２５年实现地形级实景三维全省域覆盖．截至 目前，全省已建成１４．２万平方千米的三维地理场景．数据“１４．２万”用科学记数法表示为 （Ｂ） Ａ．１４．２×１０４ Ｂ．１．４２×１０５ Ｃ．１．４２×１０６ Ｄ．０．１４２×１０６ ３．如图是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，现将小正方体 Ａ移到 Ｂ的正上方后，这个几何体三 视图发生改变的是 （Ｃ） Ａ．主视图 Ｂ．俯视图 Ｃ．左视图 Ｄ．主视图和左视图 （第３题） （第４题） （第６题） ４．如图，Ｏ是量角器的中心，直尺 ＡＢＣＤ的一边 ＢＣ与量角器的零刻度线重合，ＯＱ与 ＡＤ相交于点 Ｐ．若 量角器上显示∠ＣＯＱ的读数为５０°，则∠ＡＰＱ的度数为 （Ｃ） Ａ．５０° Ｂ．１１０° Ｃ．１３０° Ｄ．１４０° ５．下列计算，结果正确的是 （Ａ） Ａ．ａ６÷ａ２＝ａ４ Ｂ．（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋ｂ２ Ｃ．（ａｂ）３＝ａｂ３ Ｄ．ａ２＋ａ３＝ａ５ ６．如图，已知 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是同一圆上的点，ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｅ，ＡＢ 河南中考４５套汇编·数学 １２— １ 河南中考４５套汇编·数学 １２— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １２— ３ 书书书 ) ＝ＣＤ ) ８．图（１）是两个完全相同的含３０°角的直角三角板拼成的图形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） 边向右上方移动，当四边形 ＡＢＣＤ是菱形（如图（２）），且长直角边 ＡＢ＝３时，平移距离 ＢＦ的长是 （Ｄ） ａ２＋ａ－１ ａ－１ １６．（１０分）（１）计算：槡８÷ 槡２＋（－４）０－２－１； （２）化简：（ －１）÷ ． ａ ａ 槡３ ３ Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．槡３ ３ ２ １ （１）原式＝２＋１－ （３分） ９．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｏ是 ＡＢ上一点，且 ＯＢ＝２ＯＡ，以点 Ｏ为圆心，ＯＡ为半径的圆与 ＢＣ相切于点 ２ Ｄ，与 ＡＣ相交于点 Ｅ，若 ＣＥ＝１，则图中阴影部分的面积是 （Ｂ） ５ ＝ ． （５分） ２ １ ２ ２ １ Ａ．槡２－ ３ π Ｂ．２槡３－ ３ π Ｃ．４槡３－ ３ π Ｄ．槡３－ ３ π ａ２＋ａ－１ ａ ａ （２）原式＝（ － ）× ａ ａ ａ－１ ａ２－１ ａ ＝ × ａ ａ－１ （ａ＋１）（ａ－１） ａ ＝ × （３分） ａ ａ－１ ＝ａ＋１． （５分） （第９题） （第１０题） （第１４题） （第１５题） １７．（９分）某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两 １０． !"# $%&’( 在一定温度下，某固态物质在１００ｇ溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质 班抽取的人数相同，测试成绩分为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个等级，其中各等级的得分分别记为 １０分、８分、 量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中 ６分、４分．现将甲、乙两个班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表： 的溶解度Ｓ（ｇ）与温度Ｔ（℃）之间的对应关系如图所示，相关信息见下表，则下列说法正确的是 （Ｄ） 甲班成绩统计图 乙班成绩统计图 信息窗 １．溶质质量＋溶剂质量＝溶液质量． ２．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液， 还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． Ａ．甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 Ｂ．在温度从０℃升高至１５℃的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 班级 平均数 中位数 众数 Ｃ．将３０℃时乙物质的饱和溶液降温至１５℃时，仍是饱和溶液 甲班 ７．８ ｂ １０ Ｄ．当温度高于１５℃时，用等质量的甲、乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多 乙班 ａ ８ ｃ 二、填空题（每小题３分，共１５分） ，则下列结论不正确的是 （Ｃ） Ａ．∠Ａ＝∠Ｄ Ｂ．ＡＤ∥ＢＣ Ｃ．ＡＤ＝ＢＣ Ｄ．ＡＣ＝ＢＤ {ｘ＋ｙ＝１， {ｘ＝１， 根据以上信息，回答下列问题： １１．方程组 的解是 ． ３ｘ－ｙ＝３ ｙ＝０ ７．甲、乙两人在相同条件下各射击１０次．两人的成绩（单位：环）如图所示．给出下列４个结论： （１）表中 ａ的值为 ７．８ ，ｂ的值为 ９ ，ｃ的值为 ８ ． ①甲的成绩更稳定；②乙的成绩更稳定；③乙的平均成绩更高；④每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高． １２． !"# )*+’( 若关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２＋３ｘ－ｍ＝０有两个不相等的实数根，则 ｍ的值可 （２）学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级 其中正确的是 （Ａ） 以是 －２（答案不唯一） （写出一个即可）． 参加？请说明理由． Ａ．①③ Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④ １３．学校开展红色歌曲演唱活动，提供了《映山红》《红梅赞》《十送红军》《保卫黄河》这 ４首歌曲．要求每个 （３）从甲班抽取的数据中选取 ｎ个，与乙班抽取的全部数据组成一组新数据，若这组新数据的中位 １ 班从中随机抽取２首进行排练，则某班抽到《映山红》和《保卫黄河》的概率是 ． 数大于原乙班数据的中位数，则 ｎ的最小值为 ８ ． ６ （１）７．８ ９ ８ （３分） １４．如图，在平面直角坐标系中，正方形ＯＡＢＣ的边ＯＡ在ｘ轴上，ＯＣ在ｙ轴上，点 Ｂ的坐标为（２，２），点 Ｄ在边 （２）推荐甲班参加． （４分） ２ ４ ＯＡ上，其坐标为（１，０），连接ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｅ，点Ｆ在ＡＣ上，且ＢＦ＝ＢＥ，则点Ｆ的坐标为 （ ， ） ． ３ ３ 理由：甲、乙两个班级的平均数虽然都是７．８分，但是甲班的中位数是９分，众数是１０分，大于乙班的中位数 图（１） 图（２） １５．如图，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ为 ＡＢ上一定点，ＢＤ＝３，ＢＣ＝５，Ｅ为射线 ＤＡ上一动点，△ＣＢＥ关于 ＣＥ对称的图形 和众数，所以推荐甲班参加． （７分） （第７题） （第８题） 为△ＣＦＥ（点 Ｂ的对称点为点 Ｆ），连接 ＤＦ．若△ＤＥＦ是直角三角形，则 ＤＥ的长为 ２或１２ ． （３）８ （９分）１８．（９分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ为对角线，∠Ｄ＝２∠Ｂ． ６ （２）若购物金额为 ｘ（０＜ｘ＜２００）元，请分别写出在 Ａ，Ｂ两超市购物时的实付金额 ｙ（元）与购物金额 ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （３分） ｘ （１）用无刻度直尺和圆规在线段ＢＣ上求作一点Ｅ，使得ＡＥ＝ＢＥ，连接ＡＥ；（保留作图痕迹，不写作法） ｘ（元）之间的函数关系式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱． （２）根据题意可知，点Ｃ的坐标为（２，１）． （２）若∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＢ，请证明（１）中得到的四边形 ＡＥＣＤ是平行四边形． （１）Ａ Ｂ （２分） 将此教具沿ｘ轴正方向平移ｍ个单位长度时，点Ｃ的对应点的坐标为（２＋ｍ，１）． （５分） （２）在Ａ超市购物时ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝０．８ｘ（０＜ｘ＜２００）． （３分） ６ ６ 当反比例函数ｙ＝ 的图象经过点（２＋ｍ，１）时，１＝ ， 在Ｂ超市购物时ｙ与ｘ之间的函数关系式为 ｘ ２＋ｍ {ｘ（０＜ｘ＜１００）， ∴ｍ＝４． （７分） ｙ＝ （５分） ｘ－３０（１００≤ｘ＜２００）． ∵此教具边的ＣＤ与反比例函数图象始终有交点， （１）作图如下． 当０＜ｘ＜１００时，Ａ超市八折优惠，Ｂ超市不优惠， ∴０≤ｍ≤４． （９分） ∴选择Ａ超市更省钱； （６分） ２０．（９分）在某游乐场中，矗立着一座摩天轮，如图，其座舱围绕摩天轮的轴心 Ｏ做圆周运动．当座舱从最低 当０．８ｘ＜ｘ－３０，即１５０＜ｘ＜２００时，选择Ａ超市更省钱； 点 Ａ开始转动，转动到位置 Ｂ时，过点 Ｂ作 ＢＤ⊥ＯＡ于点 Ｄ，此时测得∠ＢＯＡ＝４５°，ＢＤ＝２０ｍ；当座舱继 当０．８ｘ＝ｘ－３０，即ｘ＝１５０时，Ａ，Ｂ两超市花费一样多； 续转动到位置 Ｃ时，过点 Ｃ作 ＣＥ⊥ＯＡ于点 Ｅ，此时∠ＣＯＡ＝６７°（所有点都在同一平面内，忽略座舱大 （３分） 当０．８ｘ＞ｘ－３０，即１００≤ｘ＜１５０时，选择Ｂ超市更省钱． （９分） 小）．求 ＡＥ的长．（结果精确到０．１ｍ．参考数据：ｓｉｎ６７°≈０．９２，ｃｏｓ６７°≈０．３９，ｔａｎ６７°≈２３６，槡２≈１．４１） （２）证明：∵ＡＥ＝ＢＥ，∴∠Ｂ＝∠ＢＡＥ， ２２．（１０分） !34 56789:;<=>0?@ 学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自 ∵∠ＡＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ，∴∠ＡＥＣ＝２∠Ｂ． 行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为 ２５米，其余部分用总长 ３６米的铝合金 ∵∠Ｄ＝２∠Ｂ，∴∠Ｄ＝∠ＡＥＣ． （５分） 材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个１米宽的通道（通道不用铝合金材料）． 又∵∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＢ，ＡＣ＝ＣＡ， （１）设自行车车棚的面积为 Ｓ平方米，车棚的宽度 ＡＢ为 ｘ米，求 Ｓ与 ｘ之间的函数关系式，并直接 ∴△ＣＤＡ≌△ＡＥＣ（ＡＡＳ）， （７分） 写出自变量 ｘ的取值范围． ∴ＡＤ＝ＣＥ，ＣＤ＝ＡＥ， （２）若车棚面积需达到１０８平方米，求此时自行车车棚的长和宽． ∴四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． （９分） ∵ＢＤ⊥ＯＡ，∴∠ＯＤＢ＝９０°． （３）学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用及未来的使用便捷性，经过测量与讨论， １９．（９分） !,- ./012 数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为 １的正方形组成的教 在Ｒｔ△ＯＤＢ中，∠ＢＯＡ＝４５°． 发现当车棚的宽度 ＡＢ为８米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充 具（图（１）），将它放入如图（２）的平面直角坐标系中．顶点 Ａ，Ｏ，Ｂ分别落在坐标轴上，点 Ｄ恰好落 ＢＤ ＢＤ 电区域划分需求．已知此时停车区的宽度（ＡＥ）是充电区宽度（ＤＥ）的１．５倍，停车区和充电区的 ∵ｓｉｎ∠ＢＯＡ＝ ，∴ＯＢ＝ ＝２０槡２， （３分） ＯＢ ｓｉｎ∠ＢＯＡ ｋ 面积各是多少？ 在反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象上． ｘ ∴ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝２０槡２，２０槡２≈２８．２． （１）求反比例函数的表达式； ∵ＣＥ⊥ＯＡ，∴∠ＯＥＣ＝９０°． （２）将此教具沿 ｘ轴正方向平移 ｍ个单位长度，在平移的过程中，若此教具的边 ＣＤ与反比例函数 在Ｒｔ△ＯＥＣ中，∠ＣＯＡ＝６７°． 图象始终有交点，求 ｍ的取值范围． ＯＥ ∵ｃｏｓ∠ＣＯＡ＝ ， ＯＣ １４ （１）Ｓ＝ｘ（３６＋３－３ｘ）＝－３ｘ２＋３９ｘ（ ≤ｘ＜１３）． （３分） ３ ∴ＯＥ＝ＯＣ×ｃｏｓ∠ＣＯＡ≈２８．２×０．３９≈１１， （７分） （２）当Ｓ＝１０８时，－３ｘ２＋３９ｘ＝１０８， ∴ＡＥ＝ＯＡ－ＯＥ＝２８．２－１１＝１７．２． 解得ｘ＝４（舍），ｘ＝９． １ ２ 答：ＡＥ的长约为１７．２ｍ． （９分） 当ｘ＝９时，３９－３ｘ＝１２． ２１．（９分）随着端午节的临近，Ａ，Ｂ两超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： 答：此时自行车车棚的长和宽分别是１２米和９米． （６分） 图（１） 图（２） Ａ超市 Ｂ超市 （３）当ｘ＝８时，Ｓ＝－３×８２＋３９×８＝１２０， （１）根据题意可知，点Ｄ的坐标为（２，３）． 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满１００元返３０元 ∵ＡＥ＝１．５ＤＥ，∴Ｓ ＝１．５Ｓ ， ｋ ｋ 四边形ＡＢＦＥ 四边形ＤＣＦＥ ∵反比例函数ｙ＝ 的图象经过点Ｄ（２，３），∴３＝ ， ｘ ２ （１）当购物金额为８０元时，选择 Ａ （填“Ａ”或“Ｂ”）超市更省钱；当购物金额为 １３０元时，选择 Ｂ （填 ∴２．５Ｓ ＝１２０，∴Ｓ ＝４８，∴Ｓ ＝７２． 四边形ＤＣＦＥ 四边形ＤＣＦＥ 四边形ＡＢＦＥ 解得ｋ＝６， “Ａ”或“Ｂ”）超市更省钱； 答：停车区和充电区的面积分别是７２平方米和４８平方米． （１０分） 河南中考４５套汇编·数学 １２— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １２— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １２— ６２３．（１０分）综合与实践 ∴ＯＰ＝ＢＰ－ＯＢ＝２－ 槡２． ②当点Ｑ在ＢＤ上方时，如图（４），过点Ｑ作ＱＨ⊥ＢＤ，交ＢＤ的延长线于点Ｈ． （１）【提出问题】 由（１）可知△ＡＤＱ∽△ＡＯＰ， 同理可求得ＤＨ＝ 槡２，ＰＨ＝６， 如图（１），在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝１２０°，Ｐ是对角线 ＢＤ上一动点，连接 ＡＰ，将 ＡＰ绕点 Ｐ顺时 ∴ ＤＱ ＝ ＡＱ ＝ 槡２， ∴ＢＰ＝ＢＤ＋ＤＨ－ＰＨ＝８＋ 槡２－６＝２＋ 槡２． ＯＰ ＡＰ 针旋转６０°得到 ＰＱ，连接 ＡＱ，ＤＱ，则∠ＡＤＱ的度数为 ６０ °． 综上可知，ＢＰ的长为２－ 槡２或２＋ 槡２． （２）【类比探究】 ∴ＤＱ＝ 槡２ＯＰ＝ 槡２×（２－ 槡２）＝２槡２－２． （８分） 如图（２），在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｐ是对角线 ＢＤ上一动点，且 ＢＰ＞ＤＰ，连接 ＡＰ，将 ＡＰ绕点 Ｐ顺时 针旋转９０°得到 ＰＱ，连接 ＡＱ，ＤＱ． ①求∠ＡＤＱ的度数； ②当 ＢＰ＝ＢＡ＝２时，求 ＤＱ的长． （３）【迁移运用】 图（１） 图（２） 如图（３），在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∠ＡＤＢ＝３０°，Ｐ是对角线ＢＤ上一动点，连接ＡＰ，以ＡＰ为边在 （３）ＢＰ的长为２－ 槡２或２＋ 槡２． （１０分） ＡＰ的右边作 Ｒｔ△ＡＰＱ，且∠ＡＰＱ＝９０°，∠ＡＱＰ＝３０°，当点 Ｑ到 ＢＤ的距离为 ６时，请直接写出 解法提示：如图（２），连接ＤＱ，过点Ａ作ＡＭ⊥ＢＤ于点Ｍ． ＢＰ的长． ∵∠ＡＱＰ＝∠ＡＤＭ＝３０°， ＡＰ ＡＭ １ ∴ ＝ ＝ ，∠ＭＡＤ＝∠ＰＡＱ＝６０°， ＡＱ ＡＤ ２ ∴∠ＭＡＰ＝∠ＤＡＱ，∴△ＡＭＰ∽△ＡＤＱ!"#$%&’&()*"#+，  ∴∠ＡＤＱ＝∠ＡＭＰ＝９０°，∴点Ｑ，Ｄ，Ｃ共线． 易知ＡＤ＝ 槡３ＡＢ＝４槡３，ＢＤ＝２ＡＢ＝８． 分以下两种情况讨论． 图（１） 图（２） 图（３） ①当点Ｑ在ＢＤ下方时，如图（３），过点Ｑ作ＱＨ⊥ＢＤ于点Ｈ． （１）６０° （２分） ∵ＱＨ＝ 槡６，∠ＨＤＱ＝６０°， （２）①如图（１），连接ＡＣ，与ＢＤ相交于点Ｏ， 槡３ ＱＨ ∴ＤＨ＝ ＱＨ＝ 槡２，ＤＱ＝ ＝２槡２， ∵在正方形ＡＢＣＤ中，ＯＡ＝ＯＤ，ＯＡ⊥ＯＤ， ３ 槡３ ２ ∴△ＡＯＤ是等腰直角三角形， ＡＤ ∴ＡＱ＝槡ＡＤ２＋ＤＱ２＝槡（４槡３）２＋（２槡２）２＝２槡１４， ∴∠ＯＡＤ＝４５°， ＝ 槡２． ＡＯ 槡３ ∵将ＡＰ绕点Ｐ顺时针旋转９０°得到ＰＱ， ∴ＰＱ＝ ＡＱ＝ 槡４２， ２ ∴△ＡＰＱ是等腰直角三角形， ∴ＰＨ＝槡ＰＱ２－ＱＨ２＝槡（槡４２）２－（槡６）２＝６， ＡＱ ∴∠ＰＡＱ＝４５°， ＡＰ ＝ 槡２， （４分） ∴ＢＰ＝ＢＤ－ＤＨ－ＰＨ＝８－ 槡２－６＝２－ 槡２． ∴∠ＰＡＱ－∠ＰＡＤ＝∠ＯＡＤ－∠ＰＡＤ，∴∠ＤＡＱ＝∠ＯＡＰ． ＡＤ ＡＱ 又∵ ＝ ＝ 槡２， ＡＯ ＡＰ ∴△ＡＤＱ∽△ＡＯＰ，∴∠ＡＤＱ＝∠ＡＯＰ＝９０°． （６分） ②∵△ＡＯＢ是等腰直角三角形，∴ＢＡ＝ 槡２ＯＢ． ∵ＢＰ＝ＢＡ＝２，∴ＯＢ＝ 槡２， 图（３） 图（４） 河南中考４５套汇编·数学 １２— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １２— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １２— ９７．如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 ＡＰ是∠ＢＡＣ的平分线的有 （Ｂ） !" 开封市 ２０２５年中招第一次模拟考试 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．①④ Ｄ．①②③ 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．下列选项记录了我省四个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的是 （Ｃ） ８．如图是完全展开的扇形纸扇，ＡＢ，ＡＣ夹角为１２０°，ＡＢ的长为３０ｃｍ，ＤＥ ２．人工智能大模型 ＤｅｅｐＳｅｅｋ是深度求索公司开发的人工智能助手，其使用的电子元件中，有一种是中 国自主研发并生产制造的２８纳米芯片，其中１纳米＝０．００００００００１米，２８纳米用科学记数法表示为 （Ａ） Ａ．２．８×１０－８米 Ｂ．０．２８×１０－８米 Ｃ．２．８×１０－９米 Ｄ．２８×１０－７米 ３．如图是开封博物馆陈列的宋龙泉窑高足瓷碗，该文物的三视图中，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 （Ｃ） Ａ．主视图 Ｂ．左视图 Ｃ．俯视图 Ｄ．不存在 ４．下列运算正确的是 （Ｂ） Ａ．（ｍ２）３＝ｍ５ Ｂ．３ｍｎ－ｎｍ＝２ｎｍ Ｃ．（－２ｍ３ｎ）３＝－８ｍ９ｎ Ｄ．（－ｍ＋ｎ）（ｍ＋ｎ）＝ｍ２－ｎ２ ５．数学文化的学习有利于激发学生学习数学的兴趣．某校为了解学生对数学文化知识的掌握情况，以 班级为单位组织七、八年级学生开展了数学文化知识竞赛活动，其中甲、乙、丙、丁四个班的成绩较为 突出，部分数据如下表： 甲 乙 丙 丁 ｘ ８７ ８７ ８２ ８５ ｓ２ ０．１２ ０．６７ ０．１６ ０．８５ 根据表中数据，成绩较好且较为稳定的班级是 （Ａ） Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．丁 ６． !"# $%&’ 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，其中记录了 很多有趣的数学问题，著名的“鸡兔同笼”问题就是其中之一．该问题记载为：“今有雉、兔同笼，上有三 十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何．”其大意为：现在有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有 ３５个头，从下面数，有９４只脚．问鸡和兔各有多少只．设鸡有ｘ只，兔有ｙ只，则可列方程组为 （Ｄ） {ｘ＋ｙ＝９４， {ｘ＋ｙ＝３５， {ｘ＋ｙ＝９４， {ｘ＋ｙ＝３５， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４ｘ＋２ｙ＝３５ ４ｘ＋２ｙ＝９４ ２ｘ＋４ｙ＝３５ ２ｘ＋４ｙ＝９４ 河南中考４５套汇编·数学 １３— １ 河南中考４５套汇编·数学 １３— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １３— ３ 书书书 ) １４．如图，两张宽度为１∶２的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为 ６０°，重合部分构成的ＡＢＣＤ的周长 为１２ｃｍ，则该ＡＢＣＤ的面积为 ４槡３ ｃｍ２． （第１４题） （第１５题） 的长为８πｃｍ，则扇面（阴影部分） １５． !,- ./012+34 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，点Ｄ为ＡＢ的中点， 的面积为 （Ａ） 点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＣ，ＢＣ上的动点，且ＥＦ＝３，点Ｇ是ＥＦ的中点，连接ＡＧ，ＤＧ，点Ｅ，Ｆ在运动的过程 Ａ．２５２πｃｍ２ Ｂ．２４８πｃｍ２ Ｃ．２４πｃｍ２ Ｄ．１２πｃｍ２ ３槡３ 中，ＧＤ的最小值为 １ ，当∠ＣＡＧ最大时，线段 ＢＦ的长为 ４－ ． ２ 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） ｘ＋１ ４ｘ １６．（１０分）（１）计算：槡 ３ ８－２－１＋｜２－ 槡２｜； （２）化简： － ． ｘ－１ｘ２－１ 图（１） 图（２） １ （１）原式＝２－ ＋２－ 槡２ （３分） ２ （第８题） （第９题） （第１０题） ７ ９．加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求．体育课上，一名男生 ＝ － 槡２． （５分） ２ 掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度 ｙ（单位：ｍ）与水平距离 ｘ（单位：ｍ）的函 （ｘ＋１）２ ４ｘ （２）原式＝ － （１分） 数关系式为 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）．如图所示，Ａ，Ｂ，Ｃ三点在抛物线上，当实心球行进到最高点时，推断所对 （ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－１） 应的水平距离 ｘ可能为 （Ｃ） ｘ２＋２ｘ＋１－４ｘ ＝ （２分） （ｘ＋１）（ｘ－１） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ （ｘ－１）２ １０．在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定 ＝ （４分） （ｘ＋１）（ｘ－１） 义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图（１），正方形ＡＢＣＤ的 ｘ－１ ＝ ． （５分） 边长为２，中心为点Ｏ，在该正方形外有一点Ｐ，ＰＯ∥ＡＢ，且ＰＯ＝２．当点Ｐ绕着点Ｏ顺时针旋转时，设旋转 ｘ＋１ 角的度数为 ｘ°，点 Ｐ到正方形的距离为 ｙ，如图（２）是点 Ｐ在旋转过程中，ｙ随 ｘ的变化而变化的函数图 １７．（９分）《２０２４全国科普日百科知识数据报告》显示，２０２４年青少年在科普方面表现出浓厚兴趣，自 象，则 ａ＋ｂ的值为 （Ｃ） 然科学与天文地理、心理健康与人格探索、前沿科技与创新、动物科普与宠物养护、数学与基础科学 等都是一些受关注的话题．某校为了普及科普知识，发展科学兴趣，在该校七、八年级学生中各随机 Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．３－ 槡２ Ｄ．２ 抽取２０名学生参加了科普知识竞赛，并对成绩进行整理、描述和分析，把分数 ｘ（满分为 １００分，成 二、填空题（每小题３分，共１５分） 绩均不低于６０分）分成四个等级（Ｄ．６０≤ｘ＜７０，Ｃ．７０≤ｘ＜８０，Ｂ．８０≤ｘ＜９０，Ａ．９０≤ｘ≤１００），下面给 １１．－２０２５的相反数为 ２０２５ ． 出了部分信息： ９ １２．关于 ｘ的一元二次方程－ｘ２＋３ｘ＝ｍ有两个不相等的实数根，则 ｍ的取值范围是 ｍ＜ ． ４ 七年级抽取的２０名学生成绩为 Ａ，Ｂ等级的分数为： ８５，８５，８７，８７，８７，８７，８７，８８，９８，１００，１００，１００． １３． !"# (%)*+ 编号为１，２，３，４的试管分别装有４种溶液，１号试管溶液呈红色；２号试管溶 八年级抽取的２０名学生成绩为 Ａ等级的人数与 Ｂ等级的一样多，其中成绩为 Ｂ等级的分数是： １ 液呈蓝色；３号、４号试管溶液呈紫色．随机选择２个试管，溶液都为紫色的概率是 ． ６ ８１，８３，８３，８５，８７，８８，８８，８８．七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 ８４ ８６ ａ 八年级 ８４ ｂ ９０ 根据以上信息，解答下列问题： （１）填空：ｍ＝ ２０ ，ａ＝ ８７ ，ｂ＝ ８８ ． （２）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科普知识掌握较好？并说明理由（写出一 条理由即可）． （３）该校七年级学生有１０００人，八年级学生有 ９６０人．估计该校七、八年级学生中科普知识竞赛成 绩为“优秀”（ｘ≥９０）的总人数． （１）２０ ８７ ８８ （３分） （２）我认为八年级学生科普知识掌握较好． 理由：八年级学生竞赛成绩的中位数为８８分，高于七年级学生竞赛成绩的中位数，因此，八年级学生科普知 识掌握较好．（答案不唯一，合理即可） （６分） ４ ８ （３）１０００× ＋９６０× ＝５８４（人）． ２０ ２０ 答：七、八年级学生中科普知识竞赛成绩为“优秀”的总人数约为５８４人． （９分） １８．（９分）如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点Ｃ在⊙Ｏ上，点Ｐ是ＢＡ的延长线上一点， Ｅ是 ＡＢ 河南中考４５套汇编·数学 １３— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １３— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １３— ６ ) 的中点，连接 ＰＣ并延长，交 ＯＥ的延长线于点 Ｄ，连接 ＢＣ交 ＯＥ于 点 Ｆ，已知 ＤＣ＝ＤＦ． （１）在不添加辅助线的情况下，写出一个与∠ＤＣＦ相等的角： ∠ＤＦＣ（或 ∠ＢＦＯ） ； （２）求证：ＰＣ是⊙Ｏ的切线； １ （３）若 ｔａｎ∠ＯＢＦ＝ ，ＤＥ＝１，求 ＰＡ的长． ２ （１）∠ＤＦＣ（或∠ＢＦＯ） （２分） （２）证明：如图，连接ＯＣ，∵ＡＢ为直径，Ｅ是ＡＢ ) 则ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＥ＝ｒ． ∴∠ＣＡＢ＝９０°－３０°＝６０°． １ １ １ ∵∠ＥＢＣ＝１５°，∴∠ＣＢＡ＝９０°－１５°＝７５°． ∵ｔａｎ∠ＯＢＦ＝ ，∴ＯＦ＝ ｒ，ＯＤ＝ｘ＋ ｒ． ２ ２ ２ ∵∠ＡＨＢ＝９０°，∴∠ＡＢＨ＝３０°，∴∠ＣＢＨ＝４５°， 在Ｒｔ△ＯＣＤ中，由勾股定理得ＯＣ２＋ＣＤ２＝ＯＤ２， ∴∠ＣＢＨ＝∠ＢＣＨ＝４５°，∴ＢＨ＝ＣＨ． １ 即ｒ２＋ｘ２＝（ｘ＋ ２ ｒ）２， ∵ＡＢ＝２，∴ＡＨ＝１，∴ＢＨ＝ＣＨ＝ 槡３， （３分） ３ ∴ＡＣ＝ＡＨ＋ＣＨ＝１＋ 槡３， （４分） ∴ｘ＝ ｒ． ４ １＋ 槡３ 槡３＋３ ∴ＣＧ＝ ，ＡＧ＝ ≈２．３７． （５分） １ ３ ５ ２ ２ ∵ＤＥ＝１，ＤＥ＋ＯＥ＝ＯＤ，ＯＤ＝ＯＦ＋ＤＦ＝ ｒ＋ ｒ＝ ｒ， ２ ４ ４ ∵ＡＤ∥ＣＦ，∴∠ＤＣＦ＝∠Ｄ＝５３°． ５ ∴１＋ｒ＝ ｒ，∴ｒ＝４，ｘ＝３，∴ＯＣ＝ＯＡ＝４，ＯＤ＝５． ＣＧ ４ ４ 在Ｒｔ△ＣＤＧ中，ｔａｎ∠Ｄ＝ｔａｎ５３°＝ ≈ ， ＤＧ ３ ＯＤ ＣＤ ５ ３ 易证Ｒｔ△ＯＣＤ∽Ｒｔ△ＰＣＯ，∴ ＰＯ ＝ ＣＯ ，∴ ＰＡ＋４ ＝ ４ ， ∴ ４ ＤＧ＝ １＋ 槡３ ，解得ＤＧ≈１．０２， （７分） ３ ２ ８ ∴ＰＡ＝ ． （９分） ３ ∴ＡＤ＝ＡＧ＋ＤＧ≈２．３７＋１．０２≈３．４， ∴ＡＤ的长约为３．４千米． （９分） ２０．（９分） !"# (%)*+ 物理学中 Ｆ，Ｌ分别表示动力和动力臂，Ｆ，Ｌ分别表示阻力和 １ １ ２ ２ 阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，ＦＬ＝ＦＬ． １ １ ２ ２ 如图（１），某兴趣小组取一根长４０ｃｍ的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 Ｏ处并将其吊起来．在中 点 Ｏ左侧且与Ｏ相距１０ｃｍ处挂一个重５Ｎ的物体，在中点Ｏ右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不 计）并用手向下拉，使木杆处于平衡状态．当弹簧测力计与中点 Ｏ的距离 Ｌ（单位：ｃｍ）改变时，弹簧 测力计的拉力 Ｆ（单位：Ｎ）也随之改变． １９．（９分）作为历史文化名城，开封依托其丰富的旅游资源，独特的民俗文化，以及精 （１）当 Ｌ＝４ｃｍ时，Ｆ＝ １２．５ Ｎ． 彩纷呈的节庆活动，吸引了来自全国各地的大量游客．２０２５年开封清明文化节期 （２）在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为 ４ｃｍ，弹簧测力计的拉力 Ｆ（Ｎ）是弹簧伸长的长度 间，仅万岁山大宋武侠城景区，三天接待的游客约５２万人次．如图，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别 ｘ（ｃｍ）的正比例函数，如图（２）所示．求出 Ｌ与 ｘ之间的函数关系式（写出 ｘ的取值范围），并在 是万岁山大宋武侠城景区中的四个景点．Ｂ在 Ａ的正东方向，Ｃ在 Ａ的北偏东 ３０° 图（３）中画出此函数图象． 方向，且在 Ｂ的北偏西 １５°方向，Ｄ在 Ａ的正北方向，且在 Ｃ的北偏西 ５３°方向， ＡＢ＝２千米．求 ＡＤ的长度．（结果精确到０．１千米．参考数据：槡３≈１．７３，ｓｉｎ５３°≈ ４ ３ ４ ，ｃｏｓ５３°≈ ，ｔａｎ５３°≈ ） ５ ５ ３ 如图，过点Ｂ作ＢＨ⊥ＡＣ于点Ｈ，过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＤ于点Ｇ． （１分） 的中点， ∴∠ＥＯＡ＝∠ＥＯＢ＝９０°， ∴∠ＯＦＢ＋∠ＯＢＣ＝１８０°－∠ＥＯＢ＝９０°． 图（１） 图（２） 图（３） ∵ＯＢ＝ＯＣ，∴∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ． （１）１２．５ （３分） ∵ＤＣ＝ＤＦ，∴∠ＤＣＦ＝∠ＤＦＣ． （２）设Ｆ与ｘ的关系式为Ｆ＝ｋｘ（０≤ｘ≤４）， ∵∠ＤＦＣ＝∠ＯＦＢ，∴∠ＤＣＦ＝∠ＯＦＢ， 由题图（２）可知图象经过点（１，２），∴ｋ＝２，∴Ｆ＝２ｘ（０≤ｘ≤４）． ∴∠ＤＣＦ＋∠ＯＣＢ＝∠ＯＦＢ＋∠ＯＢＣ＝９０°，即∠ＤＣＯ＝９０°，∴ＯＣ⊥ＤＰ． ∵ＦＬ＝１０×５， ∵点Ｃ在⊙Ｏ上，ＯＣ为半径，∴ＰＣ是⊙Ｏ的切线． （６分） ２５ ∴２ｘＬ＝５０，∴Ｌ＝ ． （３）设ＤＣ＝ＤＦ＝ｘ，⊙Ｏ的半径为ｒ， 由已知可得∠ＤＡＢ＝９０°，∠ＤＡＣ＝３０°， ｘ５ ５ １ １ 又∵ＦＧ⊥ＤＧ，∴∠ＤＧＦ＝９０°， ∵Ｌ≤２０，∴ｘ≥ ，∴ ≤ｘ≤４． （７分） ∴ｂ＝１０，１６ｋ＋ｂ＝６，解得 ｋ＝－ ，∴ｙ＝－ ｘ２＋１０． （５分） ４ ４ ４ ４ ∴△ＤＦＧ是等腰直角三角形． 图象如图所示． （９分） 任务二：８－１－１＝６，６÷３＝２， 又∵△ＢＤＣ是等腰直角三角形， ∴４个射灯的横坐标分别为－３，－１，１，３． ∴∠ＦＤＧ＝∠ＢＤＣ＝４５°，△ＤＦＧ∽△ＤＢＣ， ３９ ∴∠ＦＤＧ－∠ＦＤＣ＝∠ＢＤＣ－∠ＦＤＣ，即∠ＣＤＧ＝∠ＢＤＦ， 当 ｘ＝１和－１时，ｙ＝ ， ４ ＤＦ ＤＢ ＝ ，∴△ＤＣＧ∽△ＤＢＦ， ＤＧ ＤＣ ３１ 当 ｘ＝３和－３时，ｙ＝ ， ∴∠ＤＧＣ＝∠ＤＦＢ＝１３５°， ４ ∴∠ＦＤＧ＋∠ＤＧＣ＝４５°＋１３５°＝１８０°， ３１ ３９ ３９ ３１ ∴四个射灯的位置坐标分别为（－３， ），（－１， ），（１， ），（３， ）． （１０分） ∴ＤＦ∥ＧＣ． （８分） ４ ４ ４ ４ ２１．（９分）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． ２３．（１０分）综合实践课上，同学们以线段的旋转，结合正方形进行了数学探究活动． ４槡１０ （３） 或４槡２． （１０分） 活动一：所购商品均按原价八折出售． ５ 问题情境： 解法提示：当点Ｇ在ＡＤ下方，且四边形ＤＦＣＧ是平行四边形时，如图（２），连接ＢＤ， 活动二：所购商品按原价每满２００元减５０元． 在边长为４的正方形 ＡＢＣＤ中，以点 Ａ为旋转中心，将边 ＡＢ逆时针旋转得到 ＡＦ，旋转角为 α（０°＜α≤ 獉獉 （１）若购买原价为３２０元的该商品，选择活动一时需付 ２５６ 元，选择活动二时需付 ２７０ 元． 槡２ 槡２ １８０°），连接 ＤＦ，过点 Ｄ作 ＢＦ的垂线交 ＢＦ的延长线于点 Ｇ． 则ＣＦ＝ＤＧ＝ ＤＦ＝ ＣＧ． ２ ２ （２）若设某商品原价为 ｘ元，当 ４００＜ｘ＜６００时，请分别写出选择这两种活动的实付金额 ｙ（元）与原 问题探究： 由（２）可知△ＤＣＧ∽△ＤＢＦ， 价 ｘ（元）之间的函数关系式，并说明选择哪种活动更省钱． （１）当 α＝３０°时，如图（１），∠ＤＦＧ＝ ４５ °，ＤＧ＝ ２槡２ ． （１）２５６ ２７０ （２分） （２）当０°＜α≤１８０°时，连接 ＣＧ，判断 ＦＤ，ＣＧ的位置关系，并仅就图（２）所示的情形说明理由． ∴ Ｃ Ｂ Ｇ Ｆ ＝ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ ＝ 槡 ２ ２ ，∴ＢＦ＝ 槡２ＣＧ． （２）活动一：ｙ＝０．８ｘ． （４分） １ 拓展延伸： 易知∠ＢＦＣ＝９０°，∴ＢＦ２＋ＣＦ２＝ＢＣ２， 活动二：ｙ＝ｘ－１００． （６分） ２ 当ｙ １ ＜ｙ ２ 时，０．８ｘ＜ｘ－１００，ｘ＞５００； （３）当以 Ｄ，Ｆ，Ｃ，Ｇ为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 ＣＧ的长． ∴（槡２ＣＧ）２＋（ 槡２ ＣＧ）２＝４２， ２ 当ｙ＝ｙ时，０．８ｘ＝ｘ－１００，ｘ＝５００； １ ２ 当ｙ＞ｙ时，０．８ｘ＞ｘ－１００，ｘ＜５００． ∴ＣＧ＝ ４槡１０ ． １ ２ ５ 答：当４００＜ｘ＜５００时，选择活动二更省钱； 当点Ｇ在ＡＤ上方时，如图（３），连接ＢＤ， 当ｘ＝５００时，两种活动实付金额一样； ∵ＡＢ＝ＡＦ＝ＡＤ，∠ＢＡＦ＝α， 当５００＜ｘ＜６００时，选择活动一更省钱． （９分） 图（１） 图（２） 备用图 １８０°－α １ １８０°－（α－９０°） １ ２２．（１０分） !56 789:;<= 某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数 （１）４５° ２槡２ （２分） ∴∠ＡＦＢ＝ ２ ＝９０°－ ２ α，∠ＡＦＤ＝ ２ ＝１３５°－ ２ α， 学问题． （２）ＦＤ∥ＣＧ． （４分） １ １ ∴∠ＧＦＤ＝（１３５°－ α）－（９０°－ α）＝４５°， 项目背景 理由如下： ２ ２ 在一座大楼的外立面上，有一块大型广告牌，如图（１），其顶部为抛物线拱形，拱高为 ４ｍ，底部是长 如图（１），连接ＢＤ． ∴△ＦＧＤ是等腰直角三角形． 方形，长方形的长为８ｍ，宽为６ｍ． ∵ＡＢＣＤ为正方形，∴ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝９０°． 当四边形ＧＣＤＦ是平行四边形时，如图（４），ＧＣ＝ＦＤ＝ 槡２ＦＧ＝ 槡２ＣＤ＝４槡２． 任务一：建立数学模型 ∵ＡＢ＝ＡＦ，∴ＡＤ＝ＡＦ． 以长方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ的中点 Ｏ为原点，以 ＡＢ所在的 １ １ ∵∠ＢＡＦ＝α，∴∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ＝ （１８０°－α）＝９０°－ α，∠ＤＡＦ＝９０°－α， ２ ２ 直线为 ｘ轴，竖直方向为 ｙ轴，建立如图（２）所示的平面 １ １ １ 直角坐标系，求抛物线的表达式． ∴∠ＡＦＤ＝∠ＡＤＦ＝ （１８０°－９０°＋α）＝ （９０°＋α）＝４５°＋ α， ２ ２ ２ 任务二：确定射灯位置 １ １ 为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告 ∴∠ＤＦＧ＝１８０°－（９０°－ α）－（４５°＋ α）＝４５°，∴∠ＤＦＢ＝１３５°． ２ ２ 牌顶部边缘（抛物线拱形边缘）安装 ４个射灯，其间的水 平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水 图（３） 图（４） 平距离均为１ｍ，请用坐标表示这４个射灯的位置． 图（１） 图（２） ４槡１０ 综上可知，ＣＧ的长为 或４槡２． 任务一：设抛物线的表达式为 ｙ＝ｋｘ２＋ｂ， ５ ∵抛物线经过 Ｆ（０，１０）和 Ｃ（４，６）， 图（１） 图（２） 河南中考４５套汇编·数学 １３— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １３— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １３— ９９．如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ的坐标为（－１，槡３），点 Ｂ的坐标为（２，０），连接 ＯＡ并延长，得到射线 ＯＣ， 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） !" 新乡市 ２０２５年九年级学业水平模拟测评 连接 ＡＢ，将△ＯＡＢ沿射线 ＯＣ方向平移，平移的距离为 ＡＢ的长，则平移后点 Ｂ的坐标为 （Ａ） １６．（１０分）（１）计算：（－１）２０２５－｜－ 槡３｜＋（ １ ）－１； （２）化简：（３ｘ－ｙ）２＋２ｘ（ｘ－ｙ）－ｙ２． ２ Ａ．（２－ 槡３，３） Ｂ．（－２－ 槡３，３） Ｃ．（１－ 槡３，２） Ｄ．（－１－ 槡３，２） （１）原式＝－１－ 槡３＋２ （３分） 数 学 ＝１－ 槡３． （５分） （满分１２０分，考试时间１００分钟） （２）原式＝９ｘ２－６ｘｙ＋ｙ２＋２ｘ２－２ｘｙ－ｙ２ （３分） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） ＝１１ｘ２－８ｘｙ． （５分） ４ １．在实数０，－ ，槡３，－１中，最小的数是 （Ｂ） １７．（９分）人工智能（Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌｌｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ），英文缩写为 ＡＩ，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动 ３ 图（１） 图（２） 力量．ＤｅｅｐＳｅｅｋ、智谱清言、讯飞星火认知等 ＡＩ模型的发布，给人们的生活工作带来极大的便利．某 ４ Ａ．槡３ Ｂ．－ Ｃ．０ Ｄ．－１ （第９题） （第１０题） 校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织全校 ３０００名学生进行了人工智能 ３ １０．如图（１），在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，Ｅ，Ｆ分别为 ＡＤ，ＡＢ的中点，Ｇ是线段 ＢＤ上一动点，设 ＤＧ＝ｘ，△ＥＦＧ 知识测试，从中随机抽取了部分学生的测试成绩（满分１００），并将成绩统计整理，绘制成如下图表： ２．汝瓷，始于唐朝中期，盛名于北宋，位居宋代“五大名瓷”之首．如图是故宫博物 的周长为 ｙ，图（２）是 ｙ关于 ｘ的函数关系图象，其中 Ｐ是图象上的最低点，则 ａ的值为 （Ｃ） 成绩统计表 成绩条形统计图 院收藏的宋汝窑天青釉圆洗，其造型规整，胎质细腻．关于它的三视图，下列说 法正确的是 （Ａ） Ａ．３＋２槡３ Ｂ．２槡３ Ｃ．槡３＋ 槡５１ Ｄ． 槡５１ 成绩ｘ／分 百分比 ３ ３ Ａ．主视图与左视图相同 Ｂ．主视图与俯视图相同 Ａ组 ０≤ｘ＜６０ １０％ 二、填空题（每小题３分，共１５分） Ｃ．左视图与俯视图相同 Ｄ．三种视图都相同 Ｂ组 ６０≤ｘ＜７０ ｎ １１．点 Ａ（－１，－３）关于 ｘ轴对称的点在第 二 （填“一”“二”“三”或“四”）象限． Ｃ组 ７０≤ｘ＜８０ ２５％ ３． !"# $ ＤＮＡ%&’ 小 ＤＮＡ病毒科（Ｐａｒｖｏｖｉｒｉｄａｅ），又称“细小病毒科”，该科包括的病毒是 槡ｘ＋１ Ｄ组 ８０≤ｘ＜９０ ３０％ 最小且最简单的 ＤＮＡ病毒，其中一种小 ＤＮＡ病毒粒是直径约为 ０．０００００００２１米的二十面体，无囊 １２．若 在实数范围内有意义，则实数 ｘ的取值范围是 ｘ≥－１且 ｘ≠０ ． ｘ Ｅ组 ９０≤ｘ≤１００ １５％ 膜，等轴对称．数据“０．０００００００２１”用科学记数法可表示为 （Ｂ） １３．某市教育局要从甲、乙两名优秀的数学教师中选择一名代表市里参加省级优质课大赛，下表是两名数学 Ａ．０．２１×１０－８ Ｂ．２．１×１０－８ Ｃ．２１×１０－７ Ｄ．２．１×１０－７ 根据所给信息，解答下列问题： 教师说课、讲课和学科知识三项测试的成绩（单位：分）： ４．如图，已知 ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｄ＝８１°，∠Ｅ＝４３°，则∠Ｂ的度数是 （Ｄ） （１）成绩统计表中的 ｎ＝ ２０％ ，并补全条形统计图． 说课 讲课 学科知识 Ａ．８１° Ｂ．４３° Ｃ．２８° Ｄ．３８° （２）抽取学生的测试成绩的中位数在 Ｃ （填“Ａ”“Ｂ”“Ｃ”“Ｄ”或“Ｅ”）组． 甲 ８５ ９３ ９０ ５．下列运算正确的是 （Ａ） （３）请估计该校参加测试的所有学生中测试成绩在９０分及以上的人数． 乙 ８０ ９５ ９０ Ａ．（３ａ－２）（２＋３ａ）＝９ａ２－４ Ｂ．（ｍ２－ｍｎ）÷ｍ＝ｍ－ｍｎ （１）２０％ （２分） 根据实际需要，教育局将说课、讲课和学科知识三项测试得分按３∶５∶２的比例确定两人的最终成绩，选择 Ｃ．（ｙ＋１）２＝ｙ２＋１ Ｄ．ｎ１２÷ｎ４＝ｎ３ 补全的条形统计图如图所示． 成绩较高者参加大赛，则应选择 甲 （填“甲”或“乙”）． ６．一副扑克牌共５４张，除大小王外有红桃、黑桃、方块、梅花四种花色．在一个不透 １４．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，以ＡＢ为直径作⊙Ｏ，交ＢＣ于点Ｅ，过点Ａ作⊙Ｏ的切线ＡＦ，交ＣＤ于点Ｆ， 明的盒子中，有４张扑克牌（如图），分别是红桃Ａ、黑桃Ａ、方块Ａ、梅花Ａ，将牌洗 连接 ＢＦ，ＡＥ，若∠ＥＡＦ＝６０°，则 ＢＦ的长为 ２槡７ ． 匀，从中随机摸一张牌，记下花色后，放回洗匀，再从中随机摸一张牌，则两次都摸 到桃心 Ａ（黑桃 Ａ或红桃 Ａ）的概率是 （Ｃ） １ ３ １ ９ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２ ８ ４ １６ ７．下列方程有两个不相等的实数根的是 （Ｄ） （第１４题） （第１５题） （４分） Ａ．ｘ２－４ｘ＋４＝０ Ｂ．ｘ２＋１６＝０ Ｃ．ｘ２＋６ｘ＋９＝０ Ｄ．ｘ２－５ｘ－９＝０ １５．如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＣＤ的中点，连接ＡＥ，线段ＡＥ的垂线分别交ＢＣ，ＡＥ，ＡＤ于点Ｎ，Ｆ，Ｍ．已知∠Ｃ＝ （２）Ｃ （６分） ８．一次函数 ｙ＝（ｋ＋１）ｘ－ｋ－２（ｋ为常数）的图象经过第二、三、四象限，则 ｋ的取值范围是 （Ｂ） （３）３０００×１５％＝４５０（人）． ４ ４５°，ＡＢ＝４，ＡＤ＝ 槡２ＡＢ，则线段 ＭＮ的长为 槡１３ ． Ａ．ｋ＜－１ Ｂ．－２＜ｋ＜－１ Ｃ．ｋ＞－２ Ｄ．－２＜ｋ＜１ ５ 答：该校参加测试的所有学生中测试成绩在９０分及以上的人数约为４５０人． （９分） 河南中考４５套汇编·数学 １４— １ 河南中考４５套汇编·数学 １４— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １４— ３ 书书书ｋ （１）如图，线段ＯＥ，射线ＯＤ即为所求作． （４分） ∴∠ＧＣＩ＝９０°，ＧＥ＝ＣＦ． １８．（９分） !() *+,-./012345 如图，反比例函数 ｙ＝ 的图象与正比例函数 ｘ ∵∠ＡＤＣ＝７５°，∴∠ＤＣＦ＝９０°－∠ＡＤＣ＝１５°． ３ ｙ＝－ ｘ的图象相交于点 Ａ（－２，ｍ），Ｂ． ∵∠ＢＣＤ＝１４０°， ２ ∴∠ＢＣＧ＝∠ＢＣＤ－∠ＧＣＩ－∠ＤＣＦ＝３５°， （１）求 ｋ的值和点 Ｂ的坐标． ∴∠ＣＢＧ＝９０°－∠ＢＣＧ＝５５°． （２）证明：如图，∵ＰＣ∥ＯＢ，∴∠ＰＤＯ＝∠ＥＯＤ． ｋ ３ （２）不等式 ＜－ ｘ的解集是 ｘ＜－２或０＜ｘ＜２ ． ∵ＢＥ＝４．１ｍ，ＣＦ＝０．９７ｍ， ∵ＯＤ平分∠ＡＯＢ，∴∠ＰＯＤ＝∠ＥＯＤ， ｘ ２ ∴ＢＧ＝ＢＥ－ＣＦ＝４．１－０．９７＝３．１３（ｍ）． （７分） ∴∠ＰＯＤ＝∠ＰＤＯ，∴ＯＰ＝ＰＤ． （３）以 ＡＢ为边作正方形 ＡＢＣＤ，再以 ＡＢ为直径作弧，以点 Ｂ为圆心，ＡＢ长为半径作弧，求阴影部分 ＢＧ ３．１３ ３．１３ ∵ＯＥ＝ＯＰ，∴ＰＤ＝ＯＥ． （７分） 的面积． 在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＢＣ＝ ＝ ≈ ≈５．５（ｍ）． ｃｏｓ∠ＣＢＧ ｃｏｓ５５° ０．５７ 又∵ＰＤ∥ＯＥ， 答：伸展臂ＢＣ的长度约为５．５ｍ． （９分） ∴四边形ＯＰＤＥ是平行四边形（45：67289:;<=*>8?@9:>8?）．  ２１．（９分）某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动．某安全用品商店 又∵ＯＥ＝ＯＰ， 准备购进 Ａ，Ｂ两种头盔．已知：若购进 １６个 Ａ种头盔和 ２０个 Ｂ种头盔需要花费 １８４０元；若购进 ∴四边形ＯＰＤＥ是菱形（45：67A8<=*9:>8?@B?）． （９分）  ３０个 Ａ种头盔和１５个 Ｂ种头盔需要花费２１００元． ２０．（９分）图（１）是某型号的挖掘机，该挖掘机由基座、主臂、伸展臂和钻头组成．图（２）是挖掘机在某种工作 （１）请分别求出每个 Ａ种头盔和 Ｂ种头盔的进价． 状态下的侧面结构示意图，ＭＮ为水平地面，钻头 Ｄ点和基座 Ａ点在同一水平线上，连接 ＡＤ，基座 ＡＯ高 （２）该商店的每个 Ａ种头盔售价为５５元，每个 Ｂ种头盔售价为 ８０元．商店计划购进 Ａ种头盔和 Ｂ １ｍ，主臂 ＡＢ长５ｍ，钻头 ＣＤ长１ｍ，用测角仪测得∠ＢＡＤ＝５５°，∠ＡＤＣ＝７５°，∠ＢＣＤ＝１４０°．（参考数据： 种头盔共１２０个，要保证销售完这些头盔后获得的利润不低于 ２１００元，Ａ种头盔最多购进多 ３ ３ ｓｉｎ５５°≈０．８２，ｃｏｓ５５°≈０．５７，ｔａｎ５５°≈１．４３，ｓｉｎ７５°≈０．９７，ｃｏｓ７５°≈０．２６，ｔａｎ７５°≈３．７３） （１）将Ａ（－２，ｍ）代入ｙ＝－ ｘ，得ｍ＝－ ×（－２）＝３， ２ ２ 少个？ （１）分别求点 Ｂ和点 Ｃ到地面 ＭＮ的距离． ∴Ａ（－２，３）． （１）设每个Ａ种头盔的进价为ｘ元，每个Ｂ种头盔的进价为ｙ元， （２）求伸展臂 ＢＣ的长度．（结果保留一位小数） ｋ ｋ {１６ｘ＋２０ｙ＝１８４０， 将Ａ（－２，３）代入ｙ＝ ，得３＝ ，解得ｋ＝－６． （２分） 根据题意，得 （２分） ｘ －２ ３０ｘ＋１５ｙ＝２１００， ∵点Ａ与点Ｂ关于原点对称（!"：#$%&’()$%&’*+,-./0123），  {ｘ＝４０， 解得 （４分） ∴点Ｂ的坐标为（２，－３）． （４分） ｙ＝６０． （２）ｘ＜－２或０＜ｘ＜２． （６分） 答：每个Ａ种头盔的进价为４０元，每个Ｂ种头盔的进价为６０元． （５分） （３）∵Ａ（－２，３），Ｂ（２，－３）， 图（１） 图（２） （２）设Ａ种头盔购进ｎ个，则Ｂ种头盔购进（１２０－ｎ）个， ∴ＡＢ＝槡（－２－２）２＋（３＋３）２＝２槡１３， （１）如图，过点Ｂ作ＢＨ⊥ＭＮ于点Ｈ，交ＡＤ于点Ｅ，过点Ｃ作ＣＩ⊥ＭＮ于点Ｉ，交ＡＤ于点Ｆ． 根据题意，得（５５－４０）ｎ＋（８０－６０）（１２０－ｎ）≥２１００， （７分） １ ∵ＡＤ∥ＭＮ，∴ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＡＤ，ＦＩ＝ＥＨ＝ＡＯ＝１ｍ． 解得ｎ≤６０． ∴ＯＡ＝ＯＢ＝ ＡＢ＝ 槡１３， ２ 在Ｒｔ△ＡＥＢ中，ＢＥ＝ＡＢ·ｓｉｎ∠ＢＡＤ＝５×ｓｉｎ５５°≈５×０．８２＝４．１（ｍ）， 答：Ａ种头盔最多购进６０个． （９分） １ １ １３ ∴Ｓ 阴影 ＝Ｓ 扇形ＡＢＣ －Ｓ 半圆Ｏ ＝ ４ π×（２槡１３）２－ ２ π×（槡１３）２＝ ２ π． （９分） ∴ＢＨ＝ＢＥ＋ＥＨ＝４．１＋１＝５．１（ｍ）． （３分） ２２．（１０分） !67 89:;<=>? 乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于 在Ｒｔ△ＤＣＦ中，ＣＦ＝ＣＤ·ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝１×ｓｉｎ７５°≈１×０．９７＝０．９７（ｍ）， １９．（９分）如图，∠ＡＯＢ的边上有一点 Ｐ，过点 Ｐ作 ＰＣ∥ＯＢ． 一体的综合性运动，在２０２４年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部 ５块金牌．运动员常使 ∴ＣＩ＝ＣＦ＋ＦＩ＝０．９７＋１＝１．９７（ｍ）． （１）请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在 ＯＢ上截取 ＯＥ，使 ＯＥ＝ＯＰ，作∠ＡＯＢ的平分线 用乒乓球发球机［如图（１）］进行日常训练．Ｏ点在球台中轴线上，发球机的出球口 Ａ在 Ｏ点正上方 答：点Ｂ到地面ＭＮ的距离约为５．１ｍ，点Ｃ到地面ＭＮ的距离约为１．９７ｍ． （５分） 交 ＰＣ于点 Ｄ（保留作图痕迹，不写作法）． ０．３ｍ处，以球台的中轴线为 ｘ轴，ＯＡ所在直线为 ｙ轴，建立如图（２）所示的平面直角坐标系，把球 （２）在（１）所作的图形中，连接 ＤＥ，求证：四边形 ＯＰＤＥ是菱形． 看成点，球从 Ａ点射出，其运行的高度 ｙ（ｍ）与运行的水平距离 ｘ（ｍ）满足函数关系式 ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ ０．６．已知球网与 Ｏ点的水平距离为１．２ｍ，高度为０．１５ｍ，球台边界距 Ｏ点的水平距离为２．６ｍ． （１）求 ｙ与 ｘ的函数关系式． （２）如图，过点Ｃ作ＣＧ⊥ＢＨ于点Ｇ，则四边形ＧＥＦＣ是矩形， （２）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 河南中考４５套汇编·数学 １４— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １４— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １４— ６（３）保持发球角度、速度不变情况下，将发球机调低 ０．１ｍ后（抛物线形状不变），球从 Ｂ点射出，球 （１）△ＥＢＪ≌△ＣＤＨ，△ＡＪＧ≌△ＦＨＧ（需字母一一对应）［或△ＪＢＥ和△ＨＤＣ，△ＡＪＧ和△ＦＨＧ（不用字母一一对 在Ｒｔ△ＣＨＦ中，ＣＦ２＝ＣＨ２＋ＦＨ２＝（槡２）２＋（４＋ 槡２）２＝２０＋８槡２． 越过球网且没有出界，求此时球的落点与 Ｏ点的水平距离． 应）］ （２分） （２）如图（１），过点Ｅ作ＥＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，过点Ｆ作ＦＮ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长线于点Ｎ， （３分） 则∠ＥＭＤ＝∠ＤＮＦ＝９０°，∴∠ＭＥＤ＋∠ＥＤＭ＝９０°． ∵△ＥＤＦ是等腰直角三角形，∠ＥＤＦ＝９０°， ∴ＥＤ＝ＤＦ，∠ＥＤＭ＋∠ＮＤＦ＝９０°，∴∠ＭＥＤ＝∠ＮＤＦ， 图（１） 图（２） ∴△ＥＭＤ≌△ＤＮＦ（!"S：6TUVWXY=Z[）， （５分）  图（３） （１）∵ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋０．６，点Ａ（０，０．３）在该抛物线上， ∴ＥＭ＝ＤＮ，ＭＤ＝ＮＦ． ∴０．３＝ａ（０－１）２＋０．６，解得ａ＝－０．３， 易知∠ＥＣＭ＝４５°，∴ＥＭ＝ＣＭ， ∴ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－０．３（ｘ－１）２＋０．６． （３分） ∴ＣＭ＝ＤＮ， （２）球能越过球网，球不会出界． （４分） ∴ＣＭ－ＣＤ＝ＤＮ－ＣＤ，即ＭＤ＝ＣＮ， （７分） 理由：当ｘ＝１．２时，ｙ＝－０．３×（１．２－１）２＋０．６＝０．５８８＞０．１５， ∴ＣＮ＝ＮＦ． ∴球能越过球网． （５分） 又∵∠ＣＮＦ＝９０°，∴∠ＦＣＮ＝∠ＣＦＮ＝４５°， 当ｘ＝２．６时，ｙ＝－０．３×（２．６－１）２＋０．６＝－０．１６８＜０， ∴∠ＥＣＦ＝１８０°－∠ＥＣＭ－∠ＦＣＮ＝９０°． （８分） ∴球不会出界（CDEF：GHIｙ＝０JKLMNOP*ｘ＝１＋槡２＜２．６QR）． （７分）  （３）∵抛物线的形状不变，∴ａ＝－０．３保持不变， ∴设ｙ＝－０．３（ｘ－１）２＋ｈ． ∵０．３－０．１＝０．２，∴点Ｂ（０，０．２）． 将Ｂ（０，０．２）代入ｙ＝－０．３（ｘ－１）２＋ｈ， 图（１） 得０．２＝－０．３（０－１）２＋ｈ，解得ｈ＝０．５， （３）２０－８槡２或２０＋８槡２． （１０分） ∴ｙ＝－０．３（ｘ－１）２＋０．５． （９分） 解法提示：分析可知，分两种情况讨论． 令ｙ＝０，则－０．３（ｘ－１）２＋０．５＝０， ①当点Ｆ在ＢＣ上方时，如图（２）， 槡１５ 槡１５ 解得ｘ＝１＋ ，ｘ＝１－ （不合题意，舍去）， １ ３ ２ ３ 槡１５ ∴此时球的落点与Ｏ点的水平距离为（１＋ ）ｍ． （１０分） ３ ２３．（１０分）已知△ＡＢＣ和△ＥＤＦ为两个全等的等腰直角三角形，ＡＢ＝４，∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＦ＝９０°，Ｄ为 ＢＣ 图（２） 的中点，ＡＢ交 ＥＦ于点 Ｊ，ＡＣ分别交 ＥＦ，ＦＤ于 Ｇ，Ｈ两点，以点 Ｄ为旋转中心，旋转△ＥＤＦ． ∵ＤＦ⊥ＡＣ，∴∠ＤＨＣ＝∠ＣＨＦ＝９０°． （１）如图（１），当∠ＦＤＣ＝９０°时，写出除△ＡＢＣ和△ＥＤＦ全等外的其他全等三角形： △ＥＢＪ≌ ∵∠ＡＣＢ＝４５°，∴△ＣＨＤ为等腰直角三角形， △ＣＤＨ，△ＡＪＧ≌△ＦＨＧ（需字母一一对应）［或△ＪＢＥ和△ＨＤＣ，△ＡＪＧ和△ＦＨＧ（不用字母一一对应）］ ． 槡２ 槡２ （２）如图（２），当点 Ｅ恰好落在边 ＡＣ上时，连接 ＣＦ，求∠ＥＣＦ的度数． ∴ＣＨ＝ＤＨ＝ ＣＤ＝ ×２＝ 槡２， ２ ２ （３）如图（３），旋转过程中，当 ＤＦ所在的直线与边 ＡＣ垂直时，请直接写出 ＣＦ２的值． ∴ＦＨ＝ＤＦ－ＤＨ＝４－ 槡２． 在Ｒｔ△ＣＨＦ中，ＣＦ２＝ＣＨ２＋ＦＨ２＝（槡２）２＋（４－ 槡２）２＝２０－８槡２． ②当点Ｆ在ＢＣ下方时，如图（３）． 同理①可得ＣＨ＝ＤＨ＝ 槡２， 图（１） 图（２） 图（３） 备用图 ∴ＦＨ＝ＤＦ＋ＤＨ＝４＋ 槡２． 河南中考４５套汇编·数学 １４— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １４— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １４— ９ｋ !" ９．如图，ＯＡＢＣ的一边 ＯＡ在 ｙ轴上，反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象过ＯＡＢＣ的顶点 Ｃ和对角线 ＯＢ的中 ｘ 许昌市 ２０２５年第二次中招模拟考试 点 Ｄ，已知点 Ｂ的坐标为（４，８），则点 Ａ的坐标为 （Ｃ） Ａ．（０，４） Ｂ．（０，５） Ｃ．（０，６） Ｄ．（０，８） 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的是 （Ａ） Ａ．北京－４．６℃ Ｂ．上海５．８℃ Ｃ．天津－３．２℃ Ｄ．重庆８．１℃ ２．如图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为 （Ｂ） （第９题） （第１０题） １０． !() *+,-.( 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面２０ｍ高的楼顶起飞，两架无人 机同时匀速上升１０ｓ．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 ｙ（单位：ｍ）与无人机上升的时间 ｘ（单位：ｓ）之间的关系如图所示．有下列说法：①甲无人机上升的速度为 ８ｍ／ｓ；② ５ｓ时，两架无人机都 ３．分解因式：４ａ２－１＝ （Ｃ） 上升了４０ｍ；③ ８ｓ时，乙无人机距离地面的高度是 ６４ｍ；④１０ｓ时，两架无人机的高度差为 ２０ｍ．以上 Ａ．（ａ－４）（ａ＋１） Ｂ．（ａ－２）（ａ＋２） 说法正确的是 （Ｂ） Ｃ．（２ａ－１）（２ａ＋１） Ｄ．（４ａ－１）（ａ＋１） Ａ．①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④ ４．以下调查中，适宜全面调查的是 （Ｄ） 二、填空题（每小题３分，共１５分） Ａ．调查河南省中学生的视力情况 Ｂ．调查某批次汽车的抗撞击能力 Ｃ．调查２０２５年春节联欢晚会的收视率 Ｄ．了解全班男生每周体育锻炼的时间 １１．计算槡２×（槡２－１）的结果为 ２－ 槡２ ． ５．如图，要使ＡＢＣＤ成为菱形，则可添加一个条件是 （Ａ） １２．自然界的可见光中，红光的波长最长，因其穿透力较强，可深入皮肤的真皮层，经常被用于皮肤的康复治 Ａ．ＡＢ＝ＡＤ Ｂ．ＡＢ⊥ＡＤ Ｃ．ＡＤ＝ＢＣ Ｄ．ＡＣ＝ＢＤ 疗，它的平均波长为０．００００００６９米左右，数据“０．００００００６９”用科学记数法表示为 ６．９×１０－７ ． １３．如图，运动员投掷标枪时，标枪的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为 ｘ轴，过最高点 Ｃ且 垂直于地面的直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系，则该标枪运动轨迹的函数关系式为 ｙ＝－０．０１１ｘ２＋９．９，已 知运动员出手点Ａ距离最高点Ｃ的水平距离为２７ｍ，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ５７ ｍ． （第５题） （第６题） ６． !"# $%&’( 一块梯形的木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 Ｇ的方向竖直 向下，支持力 Ｆ的方向与斜面垂直，摩擦力 Ｆ 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 α＝２７°，则摩擦力 １ ２ Ｆ与重力 Ｇ方向的夹角 β的度数为 （Ｂ） ２ １４．如图，ＡＢ为⊙Ｏ的切线，Ｂ为切点，ＡＯ交⊙Ｏ于点 Ｃ．点 Ｄ在⊙Ｏ上，连接 ＣＤ，若∠ＯＣＤ＝３０°，∠Ａ＝４５°， Ａ．１５３° Ｂ．１１７° Ｃ．１１３° Ｄ．６３° ７．已知关于 ｘ的方程 ｘ２＋３ｘ＋ｋ＝０有两个不相等的实数根，则 ｋ的值可能是 （Ａ） ＡＣ＝ 槡２－１，则 ＢＤ ９ Ａ．０ Ｂ． Ｃ．３ Ｄ．４ ４ ８．对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联． 小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是 （Ｂ） １ １ １ ２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４ ３ ２ ３ 河南中考４５套汇编·数学 １５— １ 河南中考４５套汇编·数学 １５— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １５— ３ 书书书 ) １５．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为４，Ｇ为边 ＡＢ上的动点（不与点 Ａ，Ｂ重合），将△ＡＤＧ沿 ＤＧ折叠，点 Ａ ４槡３ 的对应点为点 Ｈ，连接 ＢＨ，ＣＨ，若△ＢＣＨ为等腰三角形，则 ＡＧ的长为 ８－４槡３或 ． ３ 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） {２ｘ－ｙ＝５， １６．（１０分）（１）化简：ｘ（ｘ＋２）＋（ｘ－１）２； （２）解方程组： ４ｘ＋３ｙ＝－１０． （１）原式＝ｘ２＋２ｘ＋ｘ２－２ｘ＋１ （３分） ＝２ｘ２＋１． （５分） {２ｘ－ｙ＝５，① （２） ４ｘ＋３ｙ＝－１０．② ①×３＋②，得１０ｘ＝５， （２分） １ 解得ｘ＝ ． （３分） ２ １ 把ｘ＝ 代入①，得１－ｙ＝５， ２ 解得ｙ＝－４． （４分） { １ ｘ＝ ， 所以方程组的解是 ２ （５分） ｙ＝－４． １７．（９分）“出门看星（级），消费看评（价）”俨然成了新时代人们的消费态度．近期，小明一家计划自驾 到许昌游玩，为了选择一个合适的饭店，小明对某平台推荐的 Ａ，Ｂ两个饭店进行了调查与评估，他 依据网友对饭店从“味道赞”“服务好”“装修精美”“停车方便”四个方面的评分（１０分制），制成 下表： 方面 味道赞 服务好 装修精美 停车方便 饭店 Ａ ７ ８ ８ ６ Ｂ ９ ７ ７ ７ （１）根据表格得出 Ａ饭店各方面评分的中位数是 ７．５ ，Ｂ饭店各方面评分的众数是 ７ ； （２）小明想选一个综合得分高的饭店，若四个方面的评分的权重如图所示，请通过计算回答小明会 ５π 选择哪个饭店． 的长是 ． １２ （第１４题） （第１５题）（１）７．５ ７ （４分） ∴∠Ｃ＝∠Ｅ＝９０°!"#：$%&’()*+,$+-． （６分） ∴ＤＡ＝ＤＥ－ＡＥ＝１４－８  （２）Ａ饭店的综合得分为７×４０％＋８×３０％＋８×２０％＋６×１０％＝７．４， （６分） 又∵∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＥ，ＤＡ＝ＤＢ， （７分） 即线段ＤＥ （５分） Ｂ饭店的综合得分为９×４０％＋７×３０％＋７×２０％＋７×１０％＝７．８． （８分） ∴△ＡＣＤ≌△ＢＥＤ． （９分） （２）如图，过点Ｂ作 因为７．４＜７．８，所以小明会选择Ｂ饭店． （９分） ２０．（９分）“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软笔头———钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔 的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行 １８．（９分） !"# $%&’( 社团活动中，同学们用自制密度计测量液体的密度（如图），密度 计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 ｈ（单位：ｃｍ）是液体的密度 ρ（单位：ｇ／ｃｍ３）的反比例 销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔的进价少 ４元，且用 ４８０元购进甲种钢笔式毛笔 函数，当密度计悬浮在密度为１ｇ／ｃｍ３的水中时，ｈ＝２０ｃｍ． 的数量是用３６０元购进乙种钢笔式毛笔数量的２倍． ∴ＢＭ＝ＡＥ＝８，ＥＭ＝ＡＢ． （１）求这两种钢笔式毛笔每套的进价分别为多少元． （１）求 ｈ关于 ρ的函数表达式； 在Ｒｔ△ＢＭＦ中，∠ＢＦＨ＝２１．８°， （２）若购进的甲、乙两种钢笔式毛笔的总数量为 ５０套，且总费用不超过 ５００元，则甲种钢 （２）当密度计悬浮在另一种液体中时，ｈ＝２５ｃｍ，求该液体的密度 ρ． ＢＭ 笔式毛笔至少购进多少套？ ∴ｔａｎ∠ＢＦＨ＝ｔａｎ２１．８°＝ ≈０．４０， （６分） ＦＭ （１）设甲种钢笔式毛笔每套的进价为ｘ元，则乙种钢笔式毛笔每套的进价为（ｘ＋４）元， （１分） ８ ∴ＦＭ≈ ＝２０， （７分） ４８０ ３６０ ０．４０ 根据题意，得 ＝２× ，解得ｘ＝８． （３分） ｘ ｘ＋４ ∴ＡＢ＝ＭＥ＝ＦＭ－ＦＥ＝２０－８＝１２， （８分） 经检验，ｘ＝８是原分式方程的解，且符合实际意义， ｋ ∴ＡＢ×ＡＤ＝１２×６＝７２， （１）设ｈ关于ρ的函数表达式为ｈ＝ ， （１分） ρ 所以ｘ＋４＝１２． 即矩形ＡＢＣＤ的面积约为７２平方米． （９分） 把ρ＝１，ｈ＝２０代入表达式，得ｋ＝１×２０＝２０， （３分） 答：甲、乙两种钢笔式毛笔每套的进价分别为８元、１２元． （５分） ２２．（１０分）已知抛物线 ｙ＝ｘ２－２ｍｘ＋２ｍ－４的顶点为 Ｐ，点 Ａ（ｘ，ｙ），Ｂ（ｘ，ｙ）是抛物线上的任意两点． １ １ ２ ２ ２０ （２）设甲种钢笔式毛笔购进ａ套，则乙种钢笔式毛笔购进（５０－ａ）套， ∴ｈ关于ρ的函数表达式为ｈ＝ ． （５分） （１）当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； ρ 根据题意，得８ａ＋１２（５０－ａ）≤５００， （７分） ２０ ２０ （２）求点 Ｐ到 ｘ轴距离的最小值； （２）把ｈ＝２５代入ｈ＝ ，得２５＝ ， （７分） 解得ａ≥２５． ρ ρ （３）若对于－１≤ｘ≤０，３≤ｘ≤４，总有 ｙ＞ｙ，请直接写出 ｍ的取值范围． １ ２ １ ２ 答：甲种钢笔式毛笔至少购进２５套． （９分） 解得ρ＝０．８． （１）∵抛物线经过原点，∴把（０，０）代入，可得ｍ＝２， （２分） 答：该液体的密度ρ为０．８ｇ／ｃｍ３． （９分） ２１．（９分）某数学研究小组在老师的指导下，利用课余时间测量湖中亭子的边长．已知亭子的底座为矩形 ∴抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２－４ｘ． （３分） １９．（９分）如图，已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ为⊙Ｏ的直径． ＡＢＣＤ，在湖外取一点 Ｅ，使得 Ｄ，Ａ，Ｅ在同一条直线上，过点 Ｅ作 ＧＨ⊥ＤＥ，沿 ＥＧ方向前进到点 Ｆ，测得 （２）∵ｙ＝ｘ２－２ｍｘ＋２ｍ－４＝（ｘ－ｍ）２－ｍ２＋２ｍ－４， （１）请用无刻度的直尺和圆规，在线段 ＢＣ上找一点 Ｄ，使得 ＤＡ＝ＤＢ（保留作图痕迹，不写作法）． ＥＦ＝８米，并用测角仪测得∠ＤＦＨ＝６０．３°，∠ＡＦＥ＝４５°，∠ＢＦＨ＝２１．８°．（参考数据：ｓｉｎ６０．３°≈０．８７， ∴抛物线的顶点Ｐ的坐标为（ｍ，－ｍ２＋２ｍ－４）． （５分） （２）在（１）的条件下，连接 ＡＤ并延长，交⊙Ｏ于点 Ｅ，连接 ＢＥ，求证：△ＡＣＤ≌△ＢＥＤ． ｃｏｓ６０．３°≈０．５０，ｔａｎ６０．３°≈１．７５，ｓｉｎ２１．８°≈０．３７，ｃｏｓ２１．８°≈０．９３，ｔａｎ２１．８°≈０４０） ∵－ｍ２＋２ｍ－４＝－（ｍ－１）２－３， （１）求线段 ＤＥ，ＤＡ的长； ∴点Ｐ的纵坐标的最大值为－３， （７分） （２）求矩形 ＡＢＣＤ的面积． ∴｜ｙ｜≥３， Ｐ 即点Ｐ到ｘ轴距离的最小值为３． （８分） （２）ｍ＞２． （１０分） （１）如图，点Ｄ即为所求． （４分） 解法提示：∵ｙ＝ｘ２－２ｍｘ＋２ｍ－４＝（ｘ－ｍ）２－ｍ２＋２ｍ－４， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线ｘ＝ｍ， （１）在Ｒｔ△ＤＥＦ中，∵ＧＨ⊥ＤＥ，ＥＦ＝８，∠ＤＦＨ＝６０．３°， ∴当ｘ＜ｍ时，ｙ随ｘ的增大而减小，当ｘ＞ｍ时，ｙ随ｘ的增大而增大． ＤＥ ∴ｔａｎ∠ＤＦＨ＝ｔａｎ６０．３°＝ ≈１．７５， （２分） ＦＥ 又∵对于－１≤ｘ≤０，３≤ｘ≤４，总有ｙ＞ｙ， １ ２ １ ２ ∴ＤＥ≈１．７５×８＝１４． （３分） ∴ｍ－０＞４－ｍ， （２）证明：如图，∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径， 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，∵∠ＡＦＥ＝４５°，∴ＡＥ＝ＥＦ＝８， （４分） 解得ｍ＞２． 河南中考４５套汇编·数学 １５— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １５— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １５— ６２３．（１０分）如图（１），在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＢＣ＝８，Ｄ，Ｅ分别是 ＢＣ，ＡＢ的中点，连接 ＤＥ．将 ７ ２５ 即（８－ｘ）２＝ｘ２＋６２，解得ｘ＝ ， 即ａ２＝（４－ａ）２＋３２，解得ａ＝ ， ４ ８ △ＢＤＥ绕点 Ｅ逆时针旋转得到△ＭＮＥ，点 Ｂ，Ｄ的对应点分别是 Ｍ，Ｎ，直线 ＭＮ与边 ＢＣ交于点 Ｐ ７ ２５ １５ （不与点 Ｂ，Ｃ重合）． 即ＣＰ的长为 ． （８分） ∴ＰＦ＝ＭＦ＝ＭＥ－ＥＦ＝５－ ＝ ． ４ ８ ８ （１）观察发现 ３ １５ ３ １５ （３）ＰＦ＝ 或 ． （１０分） 综上所述，ＰＦ的长为 或 ． 线段 ＤＥ的长为 ３ ，在△ＢＤＥ绕点 Ｅ旋转的过程中，ＤＰ与 ＮＰ的数量关系为 ＤＰ＝ＮＰ ； ４ ８ ４ ８ 解法提示：分析可知，分两种情况讨论． （２）探究迁移 ①当ＭＮ∥ＡＣ时，如图（２），则ＭＮ⊥ＢＣ． 当 Ｍ，Ｎ，Ａ三点共线时，如图（２），求 ＣＰ的长； （３）拓展应用 在△ＢＤＥ绕点 Ｅ旋转的过程中，ＥＭ与边 ＢＣ交于点 Ｆ，当 ＭＮ与 Ｒｔ△ＡＢＣ的一边平行时，请直 接写出 ＰＦ的长． 图（２） ∵∠ＭＮＥ＝９０°，∠ＰＤＥ＝９０°， ∴四边形ＰＤＥＮ是矩形． 又∵ＮＥ＝ＤＥ，∴四边形ＰＤＥＮ是正方形， 图（１） 图（２） 备用图 方法一：∴ＰＤ＝ＤＥ＝３，ＭＮ∥ＤＥ，∴∠Ｍ＝∠ＦＥＤ． （１）３ ＤＰ＝ＮＰ （２分） 又∵∠Ｍ＝∠Ｂ，∴∠ＦＥＤ＝∠Ｂ， （２）如图（１），连接ＰＥ， ＦＤ ＡＣ ３ ∴ｔａｎ∠ＦＥＤ＝ｔａｎＢ，∴ ＝ ＝ ， ＤＥ ＢＣ ４ ３ ９ ∴ＦＤ＝ ＥＤ＝ ， ４ ４ ９ ３ ∴ＰＦ＝ＰＤ－ＦＤ＝３－ ＝ ． ４ ４ 图（１） 方法二：∴ＰＮ＝ＰＤ＝ＤＥ＝３，ＭＮ∥ＤＥ， ∵Ｄ，Ｅ分别是ＢＣ，ＡＢ的中点， １ １ ∴ＭＰ＝ＭＮ－ＰＮ＝１，△ＭＰＦ∽△ＥＤＦ（;<=7Ｘ:<>?;<），  ∴ＢＤ＝ＣＤ＝ ＢＣ＝４，ＡＥ＝ＢＥ＝ ＡＢ＝５，ＤＥ∥ＡＣ!"#：.+/01234-， ２ ２  ＰＦ ＭＰ １ １ ３ ∴ ＝ ＝ ，∴ＰＦ＝ ＰＤ＝ ． ＤＦ ＥＤ ３ ４ ４ ∴∠ＥＤＢ＝∠Ｃ＝９０°． ②当ＭＮ∥ＡＢ时，如图（３），则∠Ｍ＝∠ＦＥＢ，∠ＭＰＦ＝∠Ｂ． ∵△ＢＤＥ绕点Ｅ逆时针旋转得到△ＭＮＥ， ∴∠ＭＮＥ＝∠ＢＤＥ＝９０°，ＭＮ＝ＢＤ＝４，ＥＭ＝ＥＢ，ＥＮ＝ＥＤ． 又∵ＰＥ＝ＰＥ，∴Ｒｔ△ＰＮＥ≌Ｒｔ△ＰＤＥ（ＨＬ）， ∴ＰＮ＝ＰＤ． ∵ＥＭ＝ＥＢ＝ＥＡ，∠ＭＮＥ＝９０°， 图（３） ∴ＡＮ＝ＭＮ＝４!"#：56.+/7.289:-． ∵∠Ｍ＝∠Ｂ，∴∠ＭＰＦ＝∠Ｍ＝∠ＦＥＢ＝∠Ｂ，  ∵∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＢＣ＝８，∴ＡＣ＝６． ∴ＢＦ＝ＥＦ，ＦＰ＝ＦＭ． 设ＰＣ＝ｘ，则ＰＮ＝ＰＤ＝４－ｘ，ＡＰ＝８－ｘ． 设ＢＦ＝ＥＦ＝ａ，则ＤＦ＝ＤＢ－ＢＦ＝４－ａ． 在Ｒｔ△ＡＣＰ中，ＡＰ２＝ＰＣ２＋ＡＣ２， 在Ｒｔ△ＤＥＦ中，ＥＦ２＝ＤＦ２＋ＤＥ２， 河南中考４５套汇编·数学 １５— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １５— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １５— ９９．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝４，∠Ａ＝１２０°，以 ＢＣ的中点为圆心的⊙Ｏ与 ＡＢ，ＡＣ分 ＝５－１＋２ !" ２０２５年焦作市九年级第二次模拟测试 别相切于点 Ｄ，Ｅ．连接 ＯＤ，ＯＥ，则阴影部分的面积为 （Ｂ） ＝６． （５分） π π ａ＋２ １ ａ＋１ Ａ． Ｂ． Ｃ．２π Ｄ．３π （２）原式＝（ － ）÷ （２分） ３ ２ ａ＋２ａ＋２ （ａ＋２）（ａ－２） 数 学 ａ＋１ （ａ＋２）（ａ－２） １０． !"# $%&’ 音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一 ＝ · （４分） ａ＋２ ａ＋１ （满分１２０分，考试时间１００分钟） 音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如 ｃ１到 ｃ２、ｇ到 Ｇ．以频率来表示，相邻 ＝ａ－２． （５分） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为 ２∶１．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出 ａ１的 １７．（９分）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 ８０周年，某校通过笔试和面试环节从全 １ １．－ 到原点的距离是 （Ａ） 振动频率是 Ａ １ 的 （Ｂ） ３ 校学生中挑选一批志愿者参与相关活动．为了了解学生的笔试水平，随机抽取 ５０名学生的笔试成 １ １ 绩，并整理、描述、分析如下： Ａ． Ｂ．－ Ｃ．３ Ｄ．－３ ３ ３ ａ．笔试成绩频数分布表 ２．焦作市２０２４年外贸进出口总值为２２３．４亿元人民币．数据“２２３．４亿”用科学记数法表示为 （Ｃ） 笔试ｘ／分 ５０≤ｘ＜６０ ６０≤ｘ＜７０ ７０≤ｘ＜８０ ８０≤ｘ＜９０ ９０≤ｘ≤１００ Ａ．２２．３４×１０９ Ｂ．２．２３４×１０９ Ｃ．２．２３４×１０１０ Ｄ．０．２２３４×１０１１ 频数 ７ ９ １２ ｍ ６ ３．如图，坡角为２５°的山坡上有一电线杆（与水平地面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为 （Ｃ） Ａ．４倍 Ｂ．８倍 Ｃ．１２倍 Ｄ．１６倍 ｂ．笔试成绩在７０≤ｘ＜８０这一组的成绩是 Ａ．２５° Ｂ．５５° Ｃ．６５° Ｄ．１１５° 二、填空题（每小题３分，共１５分） ７０ ７１ ７２ ７２ ７４ ７７ ７８ ７８ ７８ ７９ ７９ ７９ ２ １１．若代数式 有意义，请写出一个符合条件的 ｘ的值 ：ｘ＝０（答案不唯一，ｘ≠±１即可） ． 根据以上信息，回答下列问题： ｘ２－１ （１）这５０名学生笔试成绩的中位数是 ７８．５ 分；ｍ＝ １６ ． １２．某地发生地震后，某校组织同学进行献爱心活动，积极向灾区捐款．依据同学们捐款情况绘制的扇形统计 （２）请估计全校１０００名学生中成绩不低于８０分的学生人数． 图如图所示，则捐款的众数为 １００ 元． （第３题） （第４题） （第５题） （３）根据活动要求，综合成绩按照笔试占 ６０％，面试占 ４０％计算，综合成绩超过 ９２分的同学入选为 ４．灯笼又称灯彩，是我国年俗文化的重要组成部分．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是 志愿者．某班甲、乙两名同学的笔试、面试成绩如下表，请判断哪位同学可以入选，并说明理由． （Ａ） 笔试 面试 Ａ．主视图与左视图相同 Ｂ．主视图与俯视图相同 甲 ９０ ９５ Ｃ．左视图与俯视图相同 Ｄ．三种视图都相同 乙 ９４ ９０ ５．如图，在ＡＢＣＤ中，点 Ｇ是 ＣＤ的中点，对角线 ＡＣ交 ＢＧ于点 Ｅ，ＥＦ∥ＡＢ交 ＢＣ于点 Ｆ，若 ＥＦ＝１，则 （１）７８．５ １６ （４分） （第１２题） （第１３题） （第１４题） （第１５题） ＡＢ的长为 （Ｂ） １６＋６ Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．６ １３．如图，点 Ｐ是数轴上 Ａ，Ｂ之间的一个动点（不与 Ａ，Ｂ重合），则 ｘ的取值范围是 －４＜ｘ＜２ ． （２）因为１０００× ＝４４０（人）， ５０ ６．已知 ａ＝２１５，ｂ＝３１０，ｃ＝７５，则 ａ，ｂ，ｃ的大小关系是 （Ｃ） １４．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ＯＡＢＣ的边 ＯＣ在 ｘ轴上，点 Ｄ是边 ＯＣ上的一点，坐标为（２，０），将 所以估计全校１０００名学生中成绩不低于８０分的有４４０人． （６分） １８６ Ａ．ａ＞ｂ＞ｃ Ｂ．ａ＞ｃ＞ｂ Ｃ．ｂ＞ａ＞ｃ Ｄ．ｂ＞ｃ＞ａ △ＯＡＤ沿 ＡＤ折叠，点 Ｏ落在点 Ｅ处．若 ＤＥ的延长线交 ＢＣ于 Ｆ，且 ＣＦ＝３，则点 Ｅ的坐标为 （ ， ） ． （３）乙同学可以入选．理由如下： ５ ５ ７．若 ｑ＞０，则下列关于 ｘ的方程一定有两个不相等的实数根的是 （Ｄ） ９０×６０％＋９５×４０％ １５． !() *+,-.如图，在等边三角形 ＡＢＣ中，ＡＢ＝３，Ｄ是平面内一点，线段 ＡＤ绕点 Ａ逆时针旋 甲的成绩： ＝９２（分）， Ａ．ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０ Ｂ．ｘ２－ｐｘ＋ｑ＝０ Ｃ．ｘ２－ｑｘ＋ｐ＝０ Ｄ．ｘ２＋ｐｘ－ｑ＝０ ６０％＋４０％ ８．ＤｅｅｐＳｅｅｋ在回答“焦作有哪些非遗项目？”时，列出焦作部分非物质文化遗产代表项目：①陈氏太极 转６０°至 ＡＥ，直线 ＢＤ与 ＣＥ交于点 Ｆ，若 ＡＤ＝ 槡３，则 ＢＦ的最大值是 ２槡３ ，最小值是 槡６－１ ． ９４×６０％＋９０×４０％ 乙的成绩： ＝９２．４（分）， ６０％＋４０％ 拳；②怀梆；③当阳峪绞胎瓷烧制技艺；④董永传说．若小航从这四个代表项目中随机选择两个进行 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） １ ａ＋１ 因为９２．４＞９２，所以乙同学可以入选． （９分） 宣讲，则所选两个代表项目中恰好有“陈氏太极拳”的概率为 （Ａ） １６．（１０分）（１）计算：槡５０÷ 槡２－（槡３）０＋｜－２｜； （２）化简：（１－ ）÷ ． ａ＋２ ａ２－４ １８．（９分）如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ． １ １ １ １ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２ ３ ４ ６ （１）原式＝ 槡２５－１＋２ （３分） （１）请用无刻度的直尺和圆规作 ＡＥ⊥ＢＣ于点 Ｅ；（保留作图痕迹，不写作法） 河南中考４５套汇编·数学 １６— １ 河南中考４５套汇编·数学 １６— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １６— ３ 书书书（２）连接 ＯＥ，求证：∠ＡＥＯ＝∠ＡＤＯ． ２１．（９分）“滨滨”和“妮妮”是 ２０２５年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮” 摆件，销售情况如下表所示． 销售量／个 销售额／元 滨滨 妮妮 第１周 ２５ １０ ３０８０ （１）如图所示，直线ＡＥ即为所求． （４分） 第２周 ４０ １５ ４８４０ 与矩形ＡＢＣＤ边的交点坐标是（２，２），（５，５）． （６分） （１）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格． （３）２槡６－２槡２ （９分） （２）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件 １００个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆 ２０．（９分）焦作市修武县境内的胜果寺塔，是一座有千年历史的古塔，也是国家重点文物保护单位．某数学活 件数量的２倍．若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是６８元／个和 ５８元／个，设购进“滨滨”摆件 动小组利用无人机测量胜果寺塔的高度．如图，无人机飞行至距地面高２０ｍ的Ｐ处测得塔顶Ｂ的仰角为 ｍ个，两种摆件全部售完时所获的利润为 ｗ元． ２８°，然后无人机沿ＰＦ方向飞行，飞行方向和水平方向的夹角∠ＦＰＤ＝６０°，当到达塔身 ＢＣ的正上方 Ｅ处， ①求 ｗ与 ｍ的函数关系式； （２）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， 测得ＢＥ＝１６ｍ，求胜果寺塔的高度 ＢＣ．（精确到 １ｍ．参考数据：ｓｉｎ２８°≈０．４７，ｃｏｓ２８°≈０．８８，ｔａｎ２８°≈ ②该商家如何进货才能获得最大利润？最大利润为多少元？ ∴ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＤ＝９０°． ０．５３，槡３≈１．７３） （１）设“滨滨”摆件的零售价格为ｘ元／个，“妮妮”摆件的零售价格为ｙ元／个． １ ∵ＡＥ⊥ＢＣ，∴ＯＥ＝ ＡＣ＝ＯＣ，∴∠ＯＥＣ＝∠ＯＣＥ． （６分） ２ {２５ｘ＋１０ｙ＝３０８０， 根据题意，得 （２分） ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＯＣＥ＝∠ＯＡＤ，∴∠ＯＥＣ＝∠ＯＡＤ． ４０ｘ＋１５ｙ＝４８４０， 在Ｒｔ△ＡＯＤ中，∠ＯＡＤ＋∠ＡＤＯ＝９０°． {ｘ＝８８， 解得 在Ｒｔ△ＡＥＣ中，∠ＯＥＣ＋∠ＡＥＯ＝９０°，∴∠ＡＥＯ＝∠ＡＤＯ． （９分） ｙ＝８８． ｋ 答：“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格都为８８元／个． （４分） １９．（９分）如图，矩形 ＡＢＣＤ的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经 ｘ （２）①设购进“滨滨”摆件ｍ个，则购进“妮妮”摆件（１００－ｍ）个， 过点 Ｄ． 如图，延长ＰＤ交ＢＣ于点Ｇ， 根据题意，得ｗ＝（８８－６８）ｍ＋（８８－５８）（１００－ｍ）＝－１０ｍ＋３０００， （１）求反比例函数的表达式； 则四边形ＡＣＧＰ为矩形，∴ＣＧ＝ＡＰ＝２０． ∴ｗ与ｍ的函数关系式为ｗ＝－１０ｍ＋３０００． （６分） （２）在图中画出一次函数 ｙ＝ｘ（ｘ≥０）的图象，并直接写出它与矩形 ＡＢＣＤ边的交点坐标； 在Ｒｔ△ＢＰＧ中，∠ＢＰＧ＝２８°，设ＢＧ＝ｘ，则ＰＧ＝ ｘ ≈ ｘ ． （３分） ②∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的２倍， ｔａｎ２８° ０．５３ （３）将矩形ＡＢＣＤ沿射线ｙ＝ｘ（ｘ≥０）平移，当点Ａ落在反比例函数图象上时，平移的距离为 ２槡６－２槡２ ． ２００ ＥＧ ｘ＋１６ ∴ｍ≥２（１００－ｍ），解得ｍ≥ ． 在Ｒｔ△ＥＰＧ中，∠ＥＰＧ＝６０°，∴ｔａｎ∠ＥＰＧ＝ ，∴ ≈１．７３， ３ ＰＧ ｘ ０．５３ 由①知，ｗ＝－１０ｍ＋３０００， 解得ｘ≈７．１， （７分） ∵－１０＜０，∴ｗ随ｍ的增大而减小． ∴ＢＣ＝ＣＧ＋ＢＧ＝２０＋７．１≈２７（ｍ）． （８分） 又ｍ为整数，∴当ｍ取最小值６７时，ｗ有最大值，最大值为２３３０．此时１００－ｍ＝１００－６７＝３３． 答：胜果寺塔的高度约为２７ｍ． （９分） ∴购进“滨滨”摆件６７个，“妮妮”摆件３３个时才能获得最大利润，最大利润为２３３０元． （９分） ２２．（１０分） !"# $%&’( 如图，质量为 ｍ的小球从高处由静止开始下落到竖直放置的弹 ｋ 簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为１２ｃｍ）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将 （１）∵反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点Ｄ（６，２）， ｘ 弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度 ｋ ∴２＝ ，解得ｋ＝１２， ｙ（ｃｍ／ｓ）和弹簧被压缩的长度 ｘ（ｃｍ）之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表： ６ １２ 弹簧被压缩的长度ｘ／ｃｍ ０ １．５ ２ ２．５ ４ ６ ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （３分） ｘ ６３ ６３ 小球的速度ｙ／（ｃｍ／ｓ） ３ ４ ３ ０ （２）ｙ＝ｘ（ｘ≥０）的图象如图所示， １６ １６ 河南中考４５套汇编·数学 １６— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １６— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １６— ６ 书书书根据上述数据回答下列问题： ＡＢＭＮ是筝形，请直接写出筝形 ＡＢＭＮ的面积． 则ＤＭ＝ 槡３ＢＤ． （１）小球的速度最大时，弹簧的长度为 １０ ｃｍ；小球下落至最低点时，弹簧的长度为 ６ ｃｍ． 易知∠ＢＡＭ＝４５°，则ＡＤ＝ＤＭ＝ 槡３ＢＤ． （２）求小球的速度 ｙ（ｃｍ／ｓ）和弹簧被压缩的长度 ｘ（ｃｍ）（０≤ｘ≤６）的函数关系式． ∵ＡＢ＝ 槡３，∴槡３ＢＤ＋ＢＤ＝ 槡３， １５ ３－ 槡３ ３槡３－３ （３）小航说：“当小球的速度为 ｃｍ／ｓ时，弹簧被压缩的长度为 ３ｃｍ．”请判断他的说法是否正确， ∴ＢＤ＝ ，∴ＤＭ＝ ， ４ ２ ２ 图（１） 图（２） 图（３） 备用图 并说明理由． １ ３槡３－３ ９－３槡３ ∴Ｓ ＝２Ｓ ＝２× × 槡３× ＝ ． （１）如图（１），筝形ＡＢＤＣ即为所求．（左图画法不唯一） （２分） 筝形ＡＢＭＮ △ＡＢＭ ２ ２ ２ ９－３槡３ 综上可知，筝形ＡＢＭＮ的面积为槡３或 ． ２ （１）１０ ６ （２分） （２）设ｙ和ｘ的函数关系式为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋４， 图（１） １ 把ｘ＝０，ｙ＝３代入，得３＝４ａ＋４，解得ａ＝－ ， （２）①ＡＣ垂直平分ＢＤ （４分） ４ ②设ＡＣ，ＢＤ交于点Ｅ．∵ＡＣ⊥ＢＤ， １ ∴ｙ和ｘ的函数关系式为ｙ＝－ （ｘ－２）２＋４． （６分） １ １ １ ４ ∴Ｓ ＝Ｓ ＋Ｓ ＝ ＡＣ·ＢＥ＋ ＡＣ·ＥＤ＝ ＡＣ·ＢＤ， 筝形 △ＡＢＣ △ＡＣＤ ２ ２ ２ （３）小航的说法不正确，理由如下： １ ∴Ｓ ＝ ｍｎ． （６分） １５ １５ １ 筝形 ２ 由题意，令ｙ＝ ，则 ＝－ （ｘ－２）２＋４， ４ ４ ４ ９－３槡３ 解得ｘ＝１，ｘ＝３， （３）槡３或 ２ ． （１０分） １ ２ １５ 解法提示：分两种情况讨论． ∴当小球的速度为 ｃｍ／ｓ时，弹簧被压缩的长度为３ｃｍ或１ｃｍ． ４ ①当直线ＢＮ为筝形ＡＢＭＮ的对称轴时，如图（２）， ∴小航的说法不正确． （１０分） ２３．（１０分） !56 *7,.89: 综合与实践 对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义、性质、判定、应用等 方面的内容．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 图（２） １ 定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形． 则∠ＡＢＮ＝ ×６０°＝３０°， ２ （１）理解运用 槡３ ∴ＡＮ＝ ＡＢ＝１， 如图（１），正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点．点 Ａ，Ｂ，Ｃ在格点上，请在图（１）所给的两 ３ 个网格中分别画出一个筝形 ＡＢＤＣ，要求 Ｄ在格点上． １ ∴Ｓ ＝２Ｓ ＝２× × 槡３×１＝ 槡３． 筝形ＡＢＭＮ △ＡＢＮ ２ （２）性质探究 ②当直线ＡＭ为筝形ＡＢＭＮ的对称轴时，如图（３），过点Ｍ作ＭＤ⊥ＡＢ于点Ｄ， 根据定义可得出筝形边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图（２），四边形 ＡＢＣＤ是筝形．对角线 ＡＣ所在的直线是它的对称轴． ①连接 ＢＤ，ＡＣ与 ＢＤ的位置关系是 ＡＣ垂直平分 ＢＤ ； ②若 ＡＣ＝ｍ，ＢＤ＝ｎ，求筝形 ＡＢＣＤ的面积．（用含 ｍ，ｎ的式子表示） （３）拓展延伸 如图（３），在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝ ３，分别在边 ＢＣ，ＡＣ上取点 Ｍ，Ｎ，使四边形 图（３） 河南中考４５套汇编·数学 １６— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １６— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １６— ９９．如图，已知四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＣ＝４，Ａ（０，２），Ｃ（２，０），点 Ｍ是 ＡＤ １４．如图，在⊙Ｏ中，弦 ＡＢ的长为８，ＯＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，且 ＯＥ＝３，弦 ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｆ．如果 ＥＦ＝２，那么 ＣＤ !" 安阳市 ２０２５年中考模拟考试（二） 上一动点，Ｎ为 ＡＢ的中点，连接 ＭＮ，ＭＣ，当 ＭＮ＝ＭＣ时，点 Ｍ的坐标为 的长为 ２槡２１ ． （Ｄ） 数 学 槡２ Ａ．（１，槡２） Ｂ．（ ，２） ２ （满分１２０分，考试时间１００分钟） Ｃ．（槡２，２） Ｄ．（１，２） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １０． !() *+,-( 阅读材料：意大利著名画家达·芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股 １．在槡３，０，－５，６这四个数中，绝对值最小的数是 （Ａ） 定理．第一步：在一张长方形纸板上画两个边长分别为 ａ，ｂ的正方形 ＡＢＯＦ和正方形 ＣＤＥＯ，连接 ＢＣ， Ａ．０ Ｂ．槡３ Ｃ．－５ Ｄ．６ （第１４题） （第１５题） ＥＦ，得到以 ＡＤ为对称轴的六边形 ＡＢＣＤＥＦ，如图（１）． ２．“一片甲骨惊天下”，安阳殷墟出土的甲骨文是我国目前发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的 １５．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ａ，Ｂ在 ｘ轴上，点 Ｃ的坐标为（４，６），Ｅ是平面内一动点，且始终满足 第二步：将长方形纸板沿 ＡＤ折叠，沿四边形 ＡＢＣＤ的边剪下六边形 ＡＢＣＤＥＦ，再沿 ＡＤ把剩余的纸板剪 源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文字是轴对称图形的是 （Ｂ） 开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图（２）． ＡＥ⊥ＣＥ，连接 ＯＥ，则线段 ＯＥ的最大值为 ３槡２＋ 槡１０ ，最小值为 ３槡２－ 槡１０ ． 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板Ⅰ拼成如图（３）所示的图形，其中 Ｂ′Ｃ′Ｅ′Ｆ′是一个正方形． １ １ ４ ａ＋２ 第四步：比较图（１）中的六边形ＡＢＣＤＥＦ和图（３）中的六边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′Ｆ′，由它们的面积相等可得结论． １６．（１０分）（１）计算：（２０２５－π）０－｜２－ 槡８｜＋（ ）－１； （２）化简：（ ＋ ）÷ ． ２ ａ＋２ａ２－４ ａ２－４ａ＋４ 解决问题：若设图（１）中六边形 ＡＢＣＤＥＦ的面积为 Ｓ，图（３）中六边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′Ｆ′的面积为 Ｓ，ＢＣ＝ １ ２ （１）原式＝１－｜２－２槡２｜＋２ （２分） ３．下列运算正确的是 （Ｄ） ＥＦ＝ｃ．小强同学得出了以下四个结论： ＝１－２槡２＋２＋２ （４分） Ａ．ａ３＋ａ５＝ａ８ Ｂ．（ａ２）３＝ａ５ Ｃ．ａ６·ａ２＝ａ１２ Ｄ．３ａ９÷ａ４＝３ａ５ １ ①Ｓ＝ａ２＋ｂ２＋２ａｂ；②Ｓ＝ｃ２＋ ａｂ；③Ｓ＝Ｓ；④ａ２＋ｂ２＝ｃ２．则其中正确的是 （Ｂ） ＝５－２槡２． （５分） １ ２ ２ １ ２ ４．《２０２５年国务院政府工作报告》指出国家奖助学金提标扩面、助学贷款提额降息，惠及学生 ３４００多 １ ４ ａ＋２ （２）原式＝［ ＋ ］÷ （２分） 万人次．将数据“３４００万”用科学记数法表示为 （Ａ） ａ＋２（ａ＋２）（ａ－２） （ａ－２）２ Ａ．３．４×１０７ Ｂ．０．３４×１０９ Ｃ．３．４×１０６ Ｄ．３４００×１０４ ａ＋２ （ａ－２）２ ＝ · （４分） （ａ＋２）（ａ－２） ａ＋２ ５．下列调查中，适宜用抽样调查的是 （Ｄ） ａ－２ Ａ．企业招聘，对应聘人员进行面试 Ｂ．神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查 ＝ ． （５分） ａ＋２ Ｃ．了解某班学生的视力情况 Ｄ．调查市面上预制菜的卫生情况 图（１） 图（２） 图（３） １７．（９分）中招体育考试前，某校对九年级学生进行了一次体育模拟测试，为了解该年级学生体育模拟 ６． !"# $%&’( 据晋代张华的《博物志》记载：“削冰令圆，举以向日， Ａ．①② Ｂ．③④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④ 测试情况，随机抽取了５０名男生和５０名女生的体育测试成绩，并将数据进行整理分析，得到如下信 以艾承其影，则得火．”如图是冰块制成的凸透镜在太阳光下形成的光路图，与主 二、填空题（每小题３分，共１５分） 息． 光轴平行的太阳光经过折射后均交于点 Ｆ，若∠１＝１５０°，∠２＝１６０°，则∠３的度 １１．请写出一个以 ｙ轴为对称轴的抛物线的表达式： ｙ＝ｘ２（答案不唯一） ． 信息一：将抽取的学生成绩 ｘ（单位：分）分为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个等级． 数为 （Ｄ） １２．若关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－２ｘ＋ｋ＝０有两个不相等的实数根，则 ｋ的取值范围是 ｋ＜１ ． Ａ：６５＜ｘ≤７０ Ｂ：６０＜ｘ≤６５ Ｃ：５５＜ｘ≤６０ Ｄ：０≤ｘ≤５５ Ａ．５０° Ｂ．１１０° Ｃ．１２０° Ｄ．１３０° 其中男生成绩在 Ｂ等级前１０名考生的分数为６５，６５，６５，６４，６４，６４，６３．５，６３．５，６３，６３． １３．造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张 ７．不等式６ｘ－１≥８ｘ－５的解集在数轴上表示正确的是 （Ｂ） 信息二：抽取的５０名男生成绩和５０名女生成绩统计信息如下． 卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正 男生成绩统计图 女生成绩统计图 男生、女生成绩统计表 １ 面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是 ． ６ 平均数／分 中位数／分 众数／分 ８．某校九（１）班部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间．如果每间宿舍住 ４人，那么有 ２ 男生 ６４ ａ ６６．５ 人没有宿舍住；如果每间宿舍住６人，那么会空出一间宿舍．设宿舍有 ｘ间，学生有 ｙ人，则可列出方 女生 ６４ ６４ ６６ 程组为 （Ｃ） {４ｘ＝ｙ－２， {４ｘ＝ｙ＋２， {４ｘ＝ｙ－２， {４ｘ＝ｙ＋２， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６（ｘ＋１）＝ｙ ６（ｘ－１）＝ｙ ６（ｘ－１）＝ｙ ６（ｘ＋１）＝ｙ 河南中考４５套汇编·数学 １７— １ 河南中考４５套汇编·数学 １７— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １７— ３ 书书书根据以上信息，解答下列问题： 一水平线上，求文王雕像 ＡＢ的高度．（结果保留整数．参考数据：ｓｉｎ１４°≈０．２４，ｃｏｓ１４°≈０．９７， （１）填空：ａ＝ ６４．５ ，ｂ＝ ４４ ，并补全条形统计图． ｔａｎ１４°≈０．２５，ｓｉｎ５３°≈０．８０，ｃｏｓ５３°≈０．６０，ｔａｎ５３°≈１．３３） （２）在这次模拟测试中，你觉得男生与女生的成绩哪个更好一点？试说明理由． （３）若该年级有４００名男生、３５０名女生，请估计该年级所有参加体育模拟测试的考生中，成绩为 Ａ 等级的考生人数． （１）６４．５ ４４ （２分） 补全条形统计图如图所示． （３分） 男生成绩统计图 （３）６ （９分） １９．（９分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＢ＝２ＡＤ． 图（１） 图（２） （１）请用无刻度的直尺和圆规作∠ＤＡＰ，使∠ＤＡＰ＝∠Ｃ，且射线 ＡＰ交 ＢＣ于点 Ｍ（保留作图痕迹，不写作 由题意得，ＭＮ＝２，ＢＣ＝３．５，ＤＭ＝ＥＮ＝ＦＣ＝１．５， 法）． ∴ＢＦ＝ＢＣ－ＦＣ＝２． （２分） （２）连接 ＤＭ，证明四边形 ＡＢＭＤ是菱形． ＢＦ 在Ｒｔ△ＢＤＦ中，∠ＢＤＦ＝１４°，ｔａｎ∠ＢＤＦ＝ ， ＤＦ （２）男生的成绩更好一点．理由：男生、女生成绩的平均数相同，但男生成绩的中位数与众数都高于女生． ＢＦ ２ ∴ＤＦ＝ ≈ ＝８， （４分） ｔａｎ∠ＢＤＦ ０．２５ （注：答案不唯一，解释合理即可） （６分） ∴ＥＦ＝８－２＝６． （５分） １４４ ２２ （３） ×１００％＝４０％，４００× ＋３５０×４０％＝３１６（人）． ３６０ ５０ ＡＦ 在Ｒｔ△ＡＥＦ中，∠ＡＥＦ＝５３°，ｔａｎ∠ＡＥＦ＝ ， （１）如图（１）． （４分） ＥＦ 答：成绩为Ａ等级的考生人数约是３１６人． （９分） ∴ＡＦ＝ＥＦ·ｔａｎ５３°≈６×１．３３＝７．９８， （７分） ｋ １８．（９分）如图，点 Ａ，Ｂ，Ｄ都在格点（网格线的交点）上，ＣＤ是 Ｒｔ△ＯＡＢ的中位线，反比例函数 ｙ＝ ｘ ∴ＡＢ＝ＡＦ－ＢＦ＝７．９８－２≈６． （ｘ＞０）的图象经过点 Ｃ（４，２）． 答：文王雕像ＡＢ的高度约为６ｍ． （９分） （１）求反比例函数的表达式． ２１．（９分）本学期开始，我省义务教育阶段学校需每天开展两小时综合体育活动．为更好地满足学生体 （２）请先描出这个反比例函数图象上不同于点 Ｃ的三个点，再画出反比例函数的图象． 图（１） 图（２） 育活动需要，某中学计划购进一批足球和排球．据了解，某体育用品店每个足球比排球贵 ３０元，若 （３）将点 Ａ向左平移，当平移距离等于 ６ 时，点 Ａ恰好落在这个反比例函数的图象上． （２）证明：如图（２），由（１）得∠ＤＡＭ＝∠Ｃ． 用１６００元购买足球的数量与用１０００元购买排球的数量相等． ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＭ＝∠ＡＭＢ， （１）求每个足球和每个排球各多少元． ∴∠ＡＭＢ＝∠Ｃ，∴ＡＭ∥ＤＣ， １ （２）该学校计划购进足球和排球共 １２０个，且购买足球的数量不少于排球数量的 ，怎样购买才能 ∴四边形ＡＭＣＤ是平行四边形， （６分） ３ ∴ＡＤ＝ＭＣ． 使总费用最少？并求出最少总费用． ∵ＢＣ＝２ＡＤ，∴ＢＣ＝２ＭＣ． （１）设每个足球的价格是ｘ元，则每个排球的价格是（ｘ－３０）元， ∵ＢＣ＝ＢＭ＋ＭＣ， １６００ １０００ 依题意得 ＝ ， （１分） ｘ ｘ－３０ ∴ＢＭ＝ＭＣ＝ＡＤ． 解得ｘ＝８０． （２分） 又ＢＭ∥ＡＤ，∴四边形ＡＢＭＤ是平行四边形． （８分） 经检验，ｘ＝８０是原分式方程的解且符合题意， （３分） ｋ ｋ （１）将Ｃ（４，２）代入ｙ＝ ，得２＝ ， 又ＡＢ＝ＡＤ，∴ＡＢＭＤ是菱形． （９分） ｘ ４ ∴ｘ－３０＝５０． ２０．（９分）里城又称文王庙，是周易文化发祥地．里城遗址内耸立着一尊花岗岩文王雕像（如图（１））．某 解得ｋ＝８， （２分） 答：每个足球的价格是８０元，每个排球的价格是５０元． （４分） 数学兴趣小组利用测角仪和卷尺测量文王雕像 ＡＢ的高度（如图（２）），在点 Ｍ处用测角仪测得雕像底部 ８ （２）设购进足球ｍ个，则购进排球（１２０－ｍ）个，购买总费用是ｗ元， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （３分） ｘ Ｂ的仰角∠ＢＤＦ＝１４°，沿 ＭＣ方向前进２ｍ到达点Ｎ处，又测得雕像顶端Ａ的仰角∠ＡＥＦ＝５３°．已知雕像 １ 依题意得ｍ≥ （１２０－ｍ）， （５分） （２）描点并画出反比例函数图象如图． （７分） 底部 Ｂ距离水平地面的高度ＢＣ为３．５ｍ，测角仪ＤＭ和ＥＮ的高度均为１．５ｍ，测量点Ｍ，Ｎ与点Ｃ在同 ３ 河南中考４５套汇编·数学 １７— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １７— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １７— ６解得ｍ≥３０． （６分） （１）观察思考 ∴ＢＥ＝ＡＢ－ＡＥ＝ｎ 依题意得ｗ＝８０ｍ＋５０（１２０－ｍ）＝３０ｍ＋６０００， （７分） ＢＤ 槡３ 如图（１），在双直四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°，若∠ＣＢＤ＝６０°，则 的值为 ． ∵３０＞０，∴ｗ随ｍ的增大而增大， ＡＢ ２ （４）ＡＥ的长为４槡 ∴当ｍ＝３０时，ｗ取得最小值，最小值为６９００， （８分） （２）初步探究 解法提示：如图（１ 此时１２０－ｍ＝９０． 如图（２），在双直四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＣＤ交 ＡＢ于点 Ｅ．若∠Ａ＝ ∵∠ＣＦＥ＝∠ＣＤＥ 答：当购买足球３０个、排球９０个时，总费用最少，最少总费用为６９００元． （９分） ４５°，试猜想 ＡＥ和 ＢＣ之间的数量关系，并说明理由． ∴点Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｂ，Ｆ ２２．（１０分）某小型汽车开始刹车后行驶的距离 ｓ（ｍ）关于行驶时间 ｔ（ｓ）的函数表达式为 ｓ＝－６ｔ２＋ｖｔ，ｖ （３）类比探究 ０ ０ 由（２）可知，△ 是刹车前的行驶速度（假设开始刹车前小型汽车匀速行驶）． 如图（３），在双直四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＣＤ交 ＡＢ于点 Ｅ．若∠Ａ＝α， 又根据对称可得 ｖ ＢＣ＝ｍ，ＡＢ＝ｎ，求 ＢＥ的长（用含 ｍ，ｎ，α的代数式表示）． ０ （１）小型汽车完全停下来所用的时间为 ｓ．（用含 ｖ的式子表示） ∴四边形ＣＤＥＦ １２ ０ （４）拓展应用 ∴∠ＦＥＣ＝４５°，∠ ７５ 如图（４），在双直四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ａ＝４５°，ＡＤ＝６，Ｅ为线段 ＡＢ上一动点，且 （２）若小型汽车开始刹车后前进 ｍ停下，求开始刹车前小型汽车的行驶速度． ∴∠ＦＢＣ＝４５°，∠ ８ ＣＤ⊥ＤＥ，连接ＣＥ，作点Ｄ关于直线ＣＥ的对称点Ｆ，连接ＣＦ，ＥＦ，ＢＦ．若ＢＦ＝２，请直接写出ＡＥ的长． （３）某段公路对小型汽车限速 ６０ｋｍ／ｈ，驾驶员发现前方有交通事故后紧急刹车，小型汽车行驶 １２ｍ完全停下，从紧急刹车到小型汽车完全停下所用的时间为 ３ｓ（其他因素忽略不计）．请判 断该车是否超速，并说明理由． ｖ ０ （１） （３分） １２ 图（１） 图（２） 图（３） 图（４） 当点Ｆ在ＢＣ ｖ ｖ２ 解法提示：ｓ＝－６ｔ２＋ｖｔ＝－６（ｔ－０ ）２＋０ ， ０ １２ ２４ ∵－６＜０， ｖ ∴当ｔ＝０ 时，ｓ取得最大值， １２ ｖ 备用图 ０ ∴小型汽车完全停下来所用的时间为 ｓ． １２ （１） 槡３ （２分） 则ＦＤ＝槡ＢＦ２＋ＢＤ ｖ２ ２ ０ （２）由（１）得，小型汽车完全停下来的行驶距离为 ２４ ｍ， （２）ＡＥ＝ＢＣ． （３分） ∴ＤＥ＝ 槡２ ＦＤ＝２槡５， ２ ∴ ｖ２ ０＝ ７５ ，∴ｖ＝１５（负值已舍去）， 理由：∵∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ａ＝４５°， ２４ ８ ０ ∴ＥＨ＝槡ＤＥ２－ＤＨ２＝槡（２槡５）２－（３槡 ∴∠ＡＢＤ＝４５°，∴∠ＣＢＤ＝４５°， 即开始刹车前小型汽车的行驶速度为１５ｍ／ｓ． （６分） ∴ＡＥ＝ 槡２＋３槡２＝４槡２． ∴∠Ａ＝∠ＣＢＤ，ＡＤ＝ＢＤ． （４分） （３）超速． （７分） 当点Ｆ在ＢＣ右侧，且ＢＦ＝２ ∵ＣＤ⊥ＤＥ，∴∠ＣＤＥ＝９０°． 理由：由题意得－６×３２＋３ｖ ０ ＝１２，解得ｖ ０ ＝２２． ∵∠ＢＤＣ＋∠ＢＤＥ＝９０°，∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ＝９０°， 同理可求得ＡＥ＝２槡２． ∵２２ｍ／ｓ＝７９．２ｋｍ／ｈ＞６０ｋｍ／ｈ， ∴∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＣ，∴△ＡＤＥ≌△ＢＤＣ（!"#"$%&’(．)"：*Ｃ+Ｂ；,"：*Ｅ，Ａ；#"-：ＣＢ+ＥＡ）， 综上可知，ＡＥ的长为４槡２或２槡２．  ∴该车超速． （１０分） ∴ＡＥ＝ＢＣ． （５分） ２３．（１０分）综合与实践 （３）∵∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＥ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＣ． 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“双直四边形”进行 又易知∠Ａ＝∠ＣＢＤ，∴△ＢＤＣ∽△ＡＤＥ（!"#"$./’(．)"：*Ｃ+Ｂ；,"：*Ｅ，Ａ；#"-：ＣＢ+ＥＡ），  研究． （７分） 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把该直角的对角分成的 ＢＤ ＢＣ ＢＣ ｍ 图（３） ∴ ＝ ＝ｔａｎα，∴ＡＥ＝ ＝ ， 两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． ＡＤ ＡＥ ｔａｎα ｔａｎα 河南中考４５套汇编·数学 １７— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １７— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １７— ９８． !"# $%&’ 若 ｋ为任意整数，则（ｋ＋３）２－（ｋ－２）２的值总能 （Ｃ） !" Ａ．被２整除 Ｂ．被３整除 Ｃ．被５整除 Ｄ．被７整除 ２０２５年南阳市初中毕业班第一次调研测试 ９．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２槡２，ＢＣ＝８．以 ＢＣ的中点 Ｏ为圆心，ＯＢ长为半径作 ＢＣ 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是 （Ｂ） Ａ．－３ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ２．在万亩茶海拍照打卡、品尝信阳毛尖冰激凌、体验非遗炒茶技艺……刚刚过去的“五一”假期，某 ４Ａ 级茶主题景区，吸引了超过１６万人次游客．将数据１６万用科学记数法表示为 （Ｂ） Ａ．１６×１０４ Ｂ．１．６×１０５ Ｃ．０．１６×１０６ Ｄ．１．６×１０６ ３．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是 圆锥体），它的主视图是 （Ａ） ４．如图，直线 ａ∥ｂ，直线 ｌ与 ａ，ｂ分别交于点 Ａ，Ｂ，过点 Ａ作 ＡＣ⊥直线 ｂ于点 Ｃ，若∠１＝６２°，则∠２的度 数为 （Ｄ） Ａ．３８° Ｂ．３２° Ｃ．３０° Ｄ．２８° （第４题） （第５题） （第６题） {ｘ＋２＞０， ５．实数 ｍ对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组 的解集为 （Ｃ） ｘ－ｍ≤０ Ａ．ｘ＞－２ Ｂ．ｘ≤ｍ Ｃ．－２＜ｘ≤ｍ Ｄ．－２＜ｘ＜ｍ ６．如图，Ｃ是⊙Ｏ中优弧 ＡＢ上一点，从点 Ｐ引出的两条切线 ＰＡ，ＰＢ的夹角∠ＡＰＢ＝８０°，Ａ，Ｂ为切点，则 ∠ＡＣＢ的度数是 （Ｂ） Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．８０° ７．假日出游已成为生活新潮，数学活动课上某班同学搜集了南阳四个景区的图片，制成四张卡片（除内 容外，其余均相同）．将这四张卡片背面朝上，从中随机抽取两张，恰好选中“武侯祠”和“南阳府衙” 两张卡片的概率是 （Ｄ） １ １ １ １ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２ ３ ４ ６ 河南中考４５套汇编·数学 １８— １ 河南中考４５套汇编·数学 １８— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １８— ３ 书书书 ) １９ ＝ ． （５分） ２ ａ＋２－１ （ａ＋１）２ （２）原式＝ ÷ （３分） ，则阴影部分的面积为 ａ＋２ （ａ＋２）（ａ－２） （Ａ） ａ＋１ （ａ＋２）（ａ－２） ＝ · （４分） Ａ．４π－８ Ｂ．８－４π Ｃ．４π－４ Ｄ．２π－４ ａ＋２ （ａ＋１）２ ａ－２ ＝ ． （５分） ａ＋１ １７．（９分）汽车“以旧换新”正在各地如火如荼地进行．小林爸爸准备趁着国家的好政策换购一辆新能 源汽车．在预算范围内，他打算从 Ａ，Ｂ两款汽车中换购一辆．为此，小林和爸爸收集了 １０名消费者 对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下表： 表一：Ａ，Ｂ两款汽车的四项指标得分统计表（满分１０分） 图（１） 图（２） （第９题） （第１０题） 外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务 １０．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图（１）是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门 Ａ款 ６ ７ ８ ８ 口出发，准备给同一个客人送餐（送到客人处即停止行走），聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出 Ｂ款 ７ ８ ６ ７ 发一段时间后将速度提高到原来的 ２倍．设聪聪行走的时间为 ｘ（ｓ），聪聪和慧慧行走的路程分别为 表二：Ａ，Ｂ两款汽车的满意度得分统计表（满分１０分） ｙ（ｃｍ），ｙ（ｃｍ），ｙ，ｙ与 ｘ的函数图象如图（２）所示，则下列说法不正确的是 （Ｃ） １ ２ １ ２ Ａ．客人距离厨房门口４５０ｃｍ Ａ款 ５ ５ ６ ６ ７ ８ ８ ８ ８ ９ Ｂ．慧慧比聪聪晚出发１５ｓ Ｂ款 ５ ６ ６ ７ ７ ７ ７ ８ ８ ９ Ｃ．聪聪的速度为１５ｃｍ／ｓ 根据以上信息，解答下列问题： Ｄ．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距１５０ｃｍ （１）若爸爸认为汽车四项指标的重要程度有所不同，且给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售 二、填空题（每小题３分，共１５分） 后服务”四项指标得分的占比为 ２∶３∶３∶２，请你帮爸爸计算 Ａ，Ｂ两款汽车四项指标得分的平 ３ １１． !"# ()*+, 写出一个一次函数，使它的图象经过点（－２，３）： 答案不唯一，如 ｙ＝－ ｘ， 均分． ２ （２）Ａ款汽车满意度得分的众数为 ８ ，中位数为 ７．５ ；Ｂ款汽车满意度得分的众数为 ７ ，中位数 ｙ＝－２ｘ－１，ｙ＝ｘ＋５等 ． 为 ７ ． １２．若关于ｘ的一元二次方程（ｋ＋１）ｘ２－２ｘ－１＝０有两个不相等的实数根，则实数ｋ的取值范围是 ｋ＞－２且ｋ≠－１ ． （３）结合（１）（２）的结果，你建议小林爸爸换购哪款汽车？简要说明理由． １３．某校为了进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目．为此校学生会对该校 ６×２＋７×３＋８×３＋８×２ ６００名初中学生最喜爱的体育项目（从乒乓球、篮球、足球、羽毛球 ４种体育项目中选择，每人只选一种） （１）ｘ＝ ＝７．３（分）， Ａ ２＋３＋３＋２ 进行了随机抽查，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图，根据图中信息可知，该校约有 ２４０ 名初 ７×２＋８×３＋６×３＋７×２ 中学生最喜爱足球． ｘ＝ ＝７（分）． （４分） Ｂ ２＋３＋３＋２ （２）８ ７．５ ７ ７ （７分） （３）因为Ａ款汽车满意度得分的众数、中位数均高于Ｂ款汽车，且Ａ款汽车四项指标得分的平均分也高于 Ｂ 款，所以建议小林爸爸换购Ａ款汽车． （９分） ｋ １８．（９分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象与直线ＯＡ交于点Ａ（８，４），过点Ａ ｘ （第１３题） （第１４题） （第１５题） 作 ＡＢ⊥ｙ轴于点 Ｂ． １４．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＤＦ＝１，ＤＥ，ＡＦ交于点 Ｇ，Ｈ是 ＡＥ的中点，连接 ＧＨ，则 ＧＨ的长为 （１）求 ｋ的值． ２．５ ． （２）请用无刻度的直尺和圆规作出线段ＡＯ的垂直平分线．（要求：不写 １５．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝２槡２，Ｄ是 ＡＣ的中点，连接 ＢＤ，将△ＢＣＤ绕点 Ｂ旋转，得到 作法，保留作图痕迹） △ＢＥＦ．连接 ＣＦ，当 ＣＦ∥ＡＢ时，ＣＦ＝ ２＋ 槡６或槡６－２ ． （３）设（２）中所作的垂直平分线分别与 ＡＢ交于点 Ｃ、与 ＡＯ交于点 Ｅ、 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） 与 ｘ轴交于点 Ｄ，连接 ＯＣ，ＡＤ，求证：四边形 ＯＣＡＤ是菱形． １ ａ２＋２ａ＋１ ｋ １６．（１０分）（１）计算：（－２０２５）０＋ 槡４－２－１＋｜－７｜； （２）化简：（１－ ａ＋２ ）÷ ａ２－４ ． （１）∵点Ａ（８，４）在反比例函数ｙ＝ ｘ （ｘ＞０）的图象上， ｋ １ ∴４＝ ，∴ｋ＝３２． （２分） （１）原式＝１＋２－ ＋７ （３分） ８ ２（２）如图（１）． （２）若 ＢＣ＝１０ｃｍ，ＣＤ＝３０ｃｍ，求⊙Ｏ的半径． 解决问题：根据以上信息，求 ＤＥ的长． （参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５） ＢＤ 在Ｒｔ△ＢＯＤ中，∠ＢＯＤ＝６０°，ｔａｎ∠ＢＯＤ＝ ， ＯＤ ＢＤ ５槡３ ５槡３ ∴ＯＤ＝ ＝ ＝ ＝５． （３分） ｔａｎ∠ＢＯＤ ｔａｎ６０° 槡３ ＢＤ 在Ｒｔ△ＢＯＤ中，ｓｉｎ∠ＢＯＤ＝ ， ＯＢ （１）证明：如图，连接ＯＤ． ∵ＤＥ切⊙Ｏ于点Ｄ，∴ＯＤ⊥ＤＥ． ＢＤ ５槡３ ５槡３ 图（１） ∴ＯＢ＝ ＝ ＝ ＝１０． （５分） ∵ＡＥ⊥ＤＥ，∴ＯＤ∥ＡＥ， ｓｉｎ∠ＢＯＤ ｓｉｎ６０° 槡３ （５分） ２ ∴∠ＯＤＡ＝∠ＥＡＤ． （３分） （３）证明： ∴ＯＣ＝ＯＢ＝１０． ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ， 证法一：如图（２），∵ＡＢ⊥ｙ轴，ｘ轴⊥ｙ轴， ＯＥ 在Ｒｔ△ＣＯＥ中，∠ＣＯＥ＝３７°，ｃｏｓ∠ＣＯＥ＝ ， ∴ＡＢ∥ｘ轴，∴∠ＣＡＥ＝∠ＤＯＥ． ∴∠ＯＡＤ＝∠ＥＡＤ，∴ＡＤ平分∠ＣＡＥ． （５分） ＯＣ 由作图可知 ＣＤ垂直平分 ＯＡ，∴ＡＥ＝ＯＥ． ∴ＯＥ＝ＯＣ·ｃｏｓ∠ＣＯＥ＝１０×ｃｏｓ３７°≈１０×０．８０＝８， （８分） ∴ＤＥ＝ＯＥ－ＯＤ＝８－５＝３（ｃｍ）． 又∵∠ＡＥＣ＝∠ＯＥＤ＝９０°， 答：ＤＥ的长约为３ｃｍ． （９分） ∴△ＡＥＣ≌△ＯＥＤ（ＡＳＡ）， （７分） ２１．（９分）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工 ∴ＣＥ＝ＤＥ（或 ＡＣ＝ＯＤ）， 厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： ∴四边形 ＯＣＡＤ是平行四边形． （８分） 又∵ＣＤ⊥ＯＡ，∴四边形 ＯＣＡＤ是菱形． （９分） （２）设⊙Ｏ的半径为ｒ，则ＯＢ＝ＯＤ＝ｒ． 短款 长款 在Ｒｔ△ＯＣＤ中，ＯＤ２＋ＣＤ２＝ＯＣ２，ＯＤ＝ｒ，ＣＤ＝３０，ＯＣ＝ｒ＋１０， 进货价／（元／件） ８０ ９０ ∴ｒ２＋３０２＝（ｒ＋１０）２， 销售价／（元／件） １００ １２０ 解得ｒ＝４０，即⊙Ｏ的半径为４０ｃｍ． （９分） （１）该服装店第一次用４３００元购进长、短两款服饰共５０件，求两款服饰分别购进的件数． ２０．（９分） !"# -./01 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进 （２）第一次购进的两款服饰售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服饰共 ２００件（进货价和销售 行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 价都不变），且第二次进货总价不高于１６８００元．服装店第二次应如何设计进货方案，才能获得 最大销售利润？最大销售利润是多少？ 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 （１）设短款服饰购进ｘ件，长款服饰购进ｙ件，根据题意得 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 图（２） {ｘ＋ｙ＝５０， （３分） 如图（１），在支架的横杆点Ｏ处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的 ８０ｘ＋９０ｙ＝４３００， 证法二：如图（２），由作图可知 ＣＤ垂直平分 ＯＡ， 长度变化忽略不计） {ｘ＝２０， ∴ＯＣ＝ＡＣ，ＯＤ＝ＡＤ，∴∠ＣＯＡ＝∠ＣＡＯ． 实验说明 解得 如图（２），摆球静止时的位置为点Ａ，拉紧摆线将摆球拉至点 Ｂ处，ＢＤ⊥ＯＡ，∠ＢＯＡ＝６０°，ＢＤ＝５槡３ｃｍ； ｙ＝３０． ∵ＡＢ⊥ｙ轴，ｘ轴⊥ｙ轴，∴ＡＢ∥ｘ轴， 当摆球运动至点Ｃ时，∠ＣＯＡ＝３７°，ＣＥ⊥ＯＡ．（点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ在同一平面内） 答：长款服饰购进３０件，短款服饰购进２０件． （５分） ∴∠ＣＡＯ＝∠ＡＯＤ，∴∠ＣＯＡ＝∠ＡＯＤ． （２）设第二次购进ｍ件短款服饰，则购进（２００－ｍ）件长款服饰． 又∵ＯＥ＝ＯＥ，∠ＣＥＯ＝∠ＤＥＯ＝９０°， 由题意得８０ｍ＋９０（２００－ｍ）≤１６８００， ∴△ＯＣＥ≌△ＯＤＥ（ＡＳＡ）， （７分） 解得ｍ≥１２０． （６分） ∴ＯＣ＝ＯＤ，∴ＯＣ＝ＡＣ＝ＡＤ＝ＯＤ， （８分） 设销售利润为ｗ元， 实验图示 ∴四边形 ＯＣＡＤ是菱形． （９分） 则ｗ＝（１００－８０）ｍ＋（１２０－９０）（２００－ｍ）＝－１０ｍ＋６０００． １９．（９分）如图，ＤＥ与⊙Ｏ切于点 Ｄ，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，射线 ＡＢ与射线 ＥＤ交于点 Ｃ，ＡＥ⊥ＤＥ于点 Ｅ， ∵－１０＜０，∴ｗ随ｍ的增大而减小， 连接 ＡＤ． ∴当ｍ＝１２０时，ｗ最大，最大为－１０×１２０＋６０００＝４８００．此时２００－ｍ＝８０． 图（１） 图（２） （１）求证：ＡＤ平分∠ＣＡＥ． 答：当购进１２０件短款服饰，８０件长款服饰时能获得最大销售利润，最大销售利润是４８００元． （９分） 河南中考４５套汇编·数学 １８— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １８— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １８— ６２２．（１０分） !23 456 根据以下素材，完成探究任务． 【初步探究】 分两种情况：①如图（１），当点Ｄ的对应点Ｆ在ＡＢ的上方时， 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ ＡＤ 槡３ （１）如图（１），在“双垂四边形 ＡＢＣＤ”中，若∠Ａ＝６０°，则∠ＣＢＤ＝ ６０ °， ＝ ． ＢＤ ３ 【素材１】图（１）是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【问题解决】 【素材２】如图（２），防守方的护城墙 ＢＤ垂直于地面 ＡＢ，墙高 ＢＤ＝１０ｍ，进攻方把“发石车”放置在 （２）如图（２），在“双垂四边形 ＡＢＣＤ”中，∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ａ＝３０°，Ｅ为线段 ＡＢ上一点，且 ＣＤ⊥ 距 Ｂ处９０ｍ的Ａ处，石块从Ａ处竖直方向上的Ｃ处被投出，当石块在空中飞行到与ＡＣ的水平距离 ＡＥ 为５０ｍ处时，石块离地面 ＡＢ的高度最大，最大高度为２７ｍ．已知 ＡＣ＝２ｍ． ＤＥ，求 的值． 图（１） 图（２） ＢＣ 【解决问题】 ∵∠ＥＤＦ＝∠ＢＤＰ＝４５°， 【拓展应用】 （１）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的表达式． ＤＰ ＤＥ 槡２ （３）如图（３），在“双垂四边形 ＡＢＣＤ”中，∠Ａ＝４５°，ＡＤ＝６，Ｅ为线段 ＡＢ上一动点，且 ＣＤ⊥ＤＥ，连接 ＣＥ， ∴ ＝ ＝ ，∠ＰＤＥ＝∠ＢＤＦ， ＤＢ ＤＦ ２ （２）进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不 将△ＣＤＥ沿 ＣＥ翻折，得到△ＣＦＥ，连接 ＢＦ．若 ＢＦ＝２，请直接写出△ＢＤＥ的面积． 进防守方城墙？若不能，请说明理由． ∴△ＰＤＥ∽△ＢＤＦ，∴ ＥＰ ＝ ＤＰ ＝ 槡２ ． ＢＦ ＤＢ ２ 槡２ ∵ＢＦ＝２，∴ＥＰ＝ ＢＦ＝ 槡２， ２ ∴ＢＥ＝ＢＰ－ＰＥ＝３槡２－ 槡２＝２槡２， １ １ 图（１） 图（２） ∴Ｓ ＝ ＢＥ·ＤＰ＝ ×２槡２×３槡２＝６． △ＢＤＥ ２ ２ 图（１） 图（２） 图（３） （１）如图，以点Ａ为原点，ＡＢ所在直线为ｘ轴建立平面直角坐标系， （１分） ②如图（２），当点Ｄ的对应点Ｆ在ＡＢ的下方时， 槡３ 则抛物线顶点坐标为（５０，２７）， （１）６０° （４分） ３ 同理可得ＢＥ＝ＢＰ＋ＰＥ＝３槡２＋ 槡２＝４槡２， ∴设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－５０）２＋２７， （３分） 解法提示：∵∠Ａ＝６０°，∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＡＢＤ＝３０°， １ １ 将点Ｃ（０，２）代入，得２＝ａ（０－５０）２＋２７， ∴Ｓ △ＢＤＥ ＝ ２ ＢＥ·ＤＰ＝ ２ ×４槡２×３槡２＝１２． ＡＤ 槡３ ∴ ＝ｔａｎ∠ＡＢＤ＝ｔａｎ３０°＝ ，∠ＣＢＤ＝∠ＣＢＡ－∠ＡＢＤ＝９０°－３０°＝６０°． 即２＝２５００ａ＋２７， ＢＤ ３ 综上可得，△ＢＤＥ的面积为６或１２． 解得ａ＝－０．０１， （５分） （２）∵∠ＡＤＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，∴∠ＡＢＤ＝６０°． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠ＣＢＤ＝３０°， ∴∠ＣＢＤ＝∠Ａ． ∵ＣＤ⊥ＤＥ，∴∠ＣＤＢ＋∠ＢＤＥ＝９０°． ∵∠ＢＤＥ＋∠ＥＤＡ＝９０°，∴∠ＣＤＢ＝∠ＥＤＡ， ∴抛物线的表达式为ｙ＝－０．０１（ｘ－５０）２＋２７． （６分） ∴△ＢＣＤ∽△ＡＥＤ， （２）能． （７分） ＡＥ ＡＤ 由题意知，Ｄ（９０，１０）． ∴ ＝ ＝ｔａｎ∠ＡＢＤ＝ｔａｎ６０°＝ 槡３． （８分） ＢＣ ＢＤ 令ｘ＝９０，则ｙ＝－０．０１×（９０－５０）２＋２７＝１１＞１０， （３）△ＢＤＥ的面积为６或１２． （１０分） ∴进攻方的石块能飞进防守方的城墙． （９分） 解法提示：过点Ｄ作ＤＰ⊥ＡＢ于点Ｐ， １１－１０＝１（ｍ）， １ 由题意得ＡＤ＝ＢＤ＝６，∴∠ＢＤＰ＝ ∠ＡＤＢ＝４５°． ∴城墙应加建１ｍ以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方的城墙． （１０分） ２ ２３．（１０分） !78 9:;<=>?@A综合与实践 槡２ ∵∠Ａ＝４５°，∴ＢＰ＝ＤＰ＝ ＢＤ＝３槡２． ２ 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊 易证△ＡＤＥ≌△ＢＤＣ，∴ＣＤ＝ＤＥ， 四边形进行研究． 由折叠的性质可知四边形ＣＤＥＦ为正方形， 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直 槡２ 角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 连接ＤＦ，则ＤＥ＝ ＤＦ，∠ＥＤＦ＝∠ＢＤＰ＝４５°． ２ 河南中考４５套汇编·数学 １８— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １８— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １８— ９９．将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接 ＡＢ，则 ｔａｎ∠１＝ （Ｄ） 形的“随影平行四边形”，则该矩形的面积为 槡３或４槡３ ． !" ２０２６年河南省中考命题信息原创卷（一） 槡３ 槡３ 槡３ 槡３ 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２ ３ ４ ５ １ １６．（１０分）（１）计算：１２－｜－１｜＋（ ）－２＋（２０２６＋π）０． ２ 数 学 ｘ ｘ ｘ２－１ （满分１２０分，考试时间１００分钟） （２）化简：（ ＋ ）· ．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程． ｘ＋１ｘ－１ ｘ 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．实数 ａ的值介于－１与－２之间，则实数 ａ可能是 （Ｂ） ｘ（ｘ－１） ｘ（ｘ＋１） ｘ２－１ ｘ ｘ２－１ ｘ ｘ２－１ 解：原式＝［ ＋ ］· 解：原式＝ · ＋ · ３ ３ 甲： （ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ－１）（ｘ＋１） ｘ 乙： ｘ＋１ ｘ ｘ－１ ｘ Ａ．－π Ｂ．－ Ｃ．０ Ｄ． （第９题） （第１０题） （第１３题） … … ２ ２ １０． !*+ ,-&./ ＫＣｌ，ＭｇＳＯ，ＭｇＣｌ三种物质在水中的溶解度随温度变化的曲线如图所示． ２．图（１）所示的鲁班锁是中国传统益智玩具，图（２）是鲁班锁其中一个组件的示意图，则该组件的左视 ４ ２ ①甲同学解法的依据是 ｂ ，乙同学解法的依据是 ｃ ．（填序号） 图是 （Ａ） 信息框 ａ．等式的基本性质；ｂ．分式的基本性质；ｃ．乘法分配律；ｄ．乘法交换律． ①溶解度：在一定温度下，某固态物质在１００ｇ溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫作这种物质在这 ②请选择一种解法，写出完整的解答过程． 种溶剂中的溶解度． ②饱和溶液、不饱和溶液：在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶 （１）原式＝２槡３－１＋４＋１ （４分） 液叫作这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的溶液，叫作这种溶质的不饱和溶液． ＝２槡３＋４． （５分） 图（１） 图（２） 下列说法错误的是 （Ｃ） （２）①ｂ ｃ （２分） ３．如图，直线 ｌ，ｌ，射线 ｌ交于点 Ｏ，若∠１＝３０°，∠２＝１１５°，则∠３的度数为 （Ｃ） Ａ．ＭｇＳＯ 的溶解度随温度的升高先增大后减小 ②答案一：选择甲同学的解法． １ ２ ３ ４ ｘ（ｘ－１） ｘ（ｘ＋１） ｘ２－１ Ａ．６５° Ｂ．７５° Ｃ．８５° Ｄ．９５° Ｂ．ｔ ２ ℃时，ＫＣｌ，ＭｇＳＯ ４ 的溶解度相等 原式＝［ ＋ ］· （ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ－１）（ｘ＋１） ｘ Ｃ．ｔ℃时，三种物质的溶解度大小为 ＭｇＣｌ＞ＫＣｌ＞ＭｇＳＯ １ ２ ４ ２ｘ２ （ｘ＋１）（ｘ－１） Ｄ．ｔ℃时，将１２０ｇＭｇＣｌ放到１００ｇ水中充分溶解，得到的是饱和溶液 ２ ２ ＝ · （ｘ＋１）（ｘ－１） ｘ 二、填空题（每小题３分，共１５分） ＝２ｘ． （５分） ｘ ｙ １１． !*+ 012./ 已知 ｘ＋ａ＜ｙ＋ａ， ＞ ，写出符合题意的 ａ的一个值： －１（答案不唯一，满足 答案二：选择乙同学的解法． ａ ａ ｘ ｘ２－１ ｘ ｘ２－１ ａ＜０即可） ． 原式＝ · ＋ · ｘ＋１ ｘ ｘ－１ ｘ １２．某款八宝粥配料表中，３００ｇ原材料中有５０ｇ大米，某工厂自制这款八宝粥原材料供应各大超市．已知该 （第３题） （第６题） （第８题） ＝ｘ－１＋ｘ＋１ 厂某月需加工９０ｔ八宝粥原材料，则这月需要准备 １５ ｔ大米． ４．下列计算正确的是 （Ｄ） ＝２ｘ． （５分） １３．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝１２０°，ＡＢ＝ＢＣ＝２槡３，点 Ｏ是 ＡＣ的中点，Ｄ，Ｅ分别在 ＡＢ，ＢＣ上，且∠ＤＯＥ＝３０°． Ａ．ａ３·ａ３＝ａ９ Ｂ．（ａ＋３ｂ）２＝ａ２＋９ｂ２ １７．（９分）２０２４年１０月，教育部办公厅印发了《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》，明 ９ Ｃ．２ａ２＋４ａ２＝６ａ４ Ｄ．２ａ４÷ａ２＝２ａ２ 设 ＣＥ＝ｘ，ＡＤ＝ｙ，则 ｙ与 ｘ的函数关系式为 ｙ＝ ． 确提出规范汉字书写能力是中小学生必备的基本技能．某校响应号召，在全校学生中组织了一次汉 ｘ ５．飞秒也叫毫微微秒，简称ｆｓ，是标衡时间长短的一种计量单位．已知１飞秒＝１０－３皮秒，１皮秒＝１０－３纳 字听写大赛，并在七、八年级学生中各随机抽取了部分学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩满分 １４．如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点 Ａ行驶至终点 Ｂ，过 秒，１纳秒＝１０－３微秒，１微秒＝１０－３毫秒，１毫秒＝１０－３秒，则１５０飞秒用科学记数法表示为 （Ｂ） 点 Ａ，Ｂ的两条切线相交于点 Ｃ，机动车在从点 Ａ到点 Ｂ行驶过程中转角为 α．若这段圆弧的半径 ＯＡ＝ 为１００分，分为五组，Ａ：ｘ＜６０；Ｂ：６０≤ｘ＜７０；Ｃ：７０≤ｘ＜８０；Ｄ：８０≤ｘ＜９０；Ｅ：９０≤ｘ≤１００），下面给出部 Ａ．１５０×１０－１５秒 Ｂ．１．５×１０－１３秒 Ｃ．０．１５×１０－１２秒 Ｄ．１．５×１０－１２秒 分信息． ４槡３－２π ６．如图，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ的顶点均为格点（网格线的交点），将△ＡＢＣ绕某点顺时针旋转， ２ｍ，α＝６０°，则图中危险区（阴影部分）的面积为 ． 数据整理： ３ 七年级被抽取的学生成绩统计图 得到△ＤＥＦ（点 Ｄ，Ｅ，Ｆ均为格点），则旋转中心的坐标为 （Ａ） Ａ．（１，０） Ｂ．（２，０） Ｃ．（１，－１） Ｄ．（２，－１） ７．已知关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－２ｘ＋ａ－１＝０没有实数根，则一次函数 ｙ＝－ｘ＋ａ的图象一定不经过 （Ｃ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 图（１） 图（２） 图（３） ８． !"# $%&’() 《天工开物》是我国古代一部综合性的科学技术著作．如图是选自《天 （第１４题） （第１５题） 工开物》的四幅图片，它们除正面外完全相同．把这四张图片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回 洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的图片中至少有一张是“穴取铜铅”的概率为 （Ｃ） １５． !34 56789:;<=>? 新定义：以矩形的一条对角线的两个端点和另一条对角线所在直线 １ ３ ７ １ 上的两点为顶点的平行四边形，被称为这个矩形的“随影平行四边形”．如图（１）、图（２），ＢＭＤＮ，ＢＰＤＱ均是 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４ ８ １６ ２ 矩形ＡＢＣＤ的“随影平行四边形”．如图（３），在ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＡＣ，∠ＡＢＤ＝３０°，ＡＢ＝ 槡３．若ＡＢＣＤ是某个矩 其中，成绩在８０≤ｘ＜９０这一组的是（单位：分）：８０ ８０ ８０ ８５ ８５ ８５ ８５ 河南中考４５套汇编·数学 １９— １ 河南中考４５套汇编·数学 １９— ２ 河南中考４５套汇编·数学 １９— ３ 书书书八年级被抽取的学生成绩： ∴正方形ＡＢＣＤ的边长为４－１＝３， ②你认为哪个方案较好？请说明理由． ３５ ４５ ５５ ６０ ６５ ７５ ７５ ８０ ８０ ８５ ８５ ８５ ８５ ９０ ９０ ９５ ９５ １００ １００ １００ ∴Ｃ（４，４）， （２）根据你的判断，选择合适的数据计算出旗杆的高度 ＣＤ．（结果精确到０．１ｍ．参考数据：ｓｉｎ３３°≈ 数据分析：李老师对这两个年级的学生成绩分析如下． ４＋１４＋１ ５ ５ ０．５４，ｃｏｓ３３°≈０．８４，ｔａｎ３３°≈０．６５） ∴正方形ＡＢＣＤ的中心的坐标为（ ， ），即（ ， ）． （２分） ２ ２ ２ ２ 平均数／分 中位数／分 众数／分 优秀率 （１）①３３．０ （２分） ５ ５ ②答案不唯一，言之有理即可．如： 七年级 ７９ ａ ８５ ２５％ 由题意知反比例函数的图象经过点（ ， ）， ２ ２ 方案一较好，理由：旗杆底部不能直接到达，方案一不需要测量ＢＣ之间的距离，误差小． 八年级 ７９ ８５ ｂ ｃ ５ ５ ２５ ∴ｋ＝ × ＝ ． （４分） 或方案二较好，理由：进行多次测量求平均值，减小误差． （４分） 根据以上信息，回答下列问题． ２ ２ ４ （２）选择方案一： （１）填空：七、八年级各抽取了 ２０ 名学生的成绩，ａ＝ ８０ ，ｂ＝ ８５ ，ｃ＝ ３５％ ． ２５ ２５ ②对于ｙ＝ ，当ｙ＝４时，ｘ＝ ， 设ＣＤ＝ｘ，在Ｒｔ△ＤＢＣ中，∠ＤＢＣ＝４５°， （２）请你评价两个年级中哪个年级的成绩更好，并说明理由． ４ｘ １６ ∴ＢＣ＝ＣＤ＝ｘ． （５分） （３）请你对该校学生汉字听写水平作出合理的评价，并提出改进措施． ２５ ９ ∴ＤＥ＝ －１＝ ， 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，∠Ａ＝３３°， １６ １６ （１）２０ ８０ ８５ ３５％ （４分） ＤＣ ｘ ｘ １ １ ９ ２７ ∴ｔａｎ３３°＝ ＝ ，∴ＡＣ≈ ． （６分） （２）八年级的成绩更好．理由：虽然两个年级学生成绩的平均数和众数均相同，但是八年级学生成绩的中位 ∴Ｓ ＝ ＤＥ·ＢＣ＝ × ×３＝ ． （７分） ＡＣ ＡＣ ０．６５ △ＢＤＥ ２ ２ １６ ３２ 数和优秀率均高于七年级，故八年级的成绩更好． （６分） ｘ （２）６≤ｋ＜９ （９分） ∵ＡＣ－ＢＣ＝ＡＢ，∴ －ｘ＝７．００， （３）七、八年级的汉字听写成绩的平均数均没有达到８０分，还需进一步提高．措施：①通过科普，让学生了解 ０．６５ 解法提示：如图，正方形ＡＢＣＤ内（不含边界）共有四个整点，分别为Ｇ（２，２），Ｈ（２，３），Ｍ（３，２），Ｎ（３，３）． 汉字的创造、使用、演变、发展，感知汉字形、音、义之间的联系，逐步建立汉字与生活中事物、行为的联系，感 解得ｘ＝１３．０． （８分） 悟汉字的文化内涵；②设置书法兴趣小组，引导学生学会欣赏优秀书法作品，培养审美情趣． 答：旗杆的高度约为１３．０ｍ． （９分） （答案不唯一，合理即可） （９分） 选择方案二： １８．（９分）如图，已知△ＡＢＣ及其外接圆⊙Ｏ． 如图，过点Ｅ作ＥＧ⊥ＤＣ于点Ｇ，则四边形ＥＦＣＧ是矩形， （１）请用无刻度的直尺和圆规在⊙Ｏ上作点Ｐ，使ＰＡ＝ＰＢ，∠ＡＰＢ＝∠ＡＣＢ．（保留作图 ∴ＥＧ＝ＦＣ＝１７．４６，ＧＣ＝ＥＦ＝１．５２． （５分） 痕迹，不写作法） 在Ｒｔ△ＤＥＧ中，∠ＤＥＧ＝３３．０°， 当反比例函数的图象过点Ｈ（２，３）时，ｋ＝６，易知此时反比例函数图象也过点Ｍ． （２）过点 Ｐ作 ＰＤ⊥ＡＣ于点 Ｄ，求证：ＡＤ＝ＢＣ＋ＣＤ． ＤＧ 当反比例函数的图象过点Ｎ（３，３）时，ｋ＝９． ∴ｔａｎ３３．０°＝ ， （１）如图（１），点Ｐ即为所求作的点． （４分） ＥＧ 分析可知，若在反比例函数图象的上方，且在正方形 ＡＢＣＤ内（不含边界）只有 １个整点，则 ｋ的取值范围为 ６≤ ∴ＤＧ＝ＥＧｔａｎ３３．０°≈１７．４６×０．６５≈１１．３５， （７分） ｋ＜９． ∴ＣＤ＝ＤＧ＋ＧＣ＝１１．３５＋１．５２≈１２．９（ｍ）． ２０．（９分） !34 */CDEF 在学完锐角三角函数后，“数学实践小组”利用自制 的测角仪、卷尺，测量所在校园内旗杆（如图）的高度． 课题 测量校园内旗杆的高度 测量 自制测角仪和卷尺 工具 图（１） 图（２） 方案一：两次测角法 方案二：一次测角法 答：旗杆的高度约为１２．９ｍ． （９分） （２）证明：由（１）得ＰＡ＝ＰＢ． ①在旗杆前平地上的点 Ａ处，用测角仪 ①在旗杆前平地上的点 Ｆ处，用测角仪测 ２１．（９分）如图是某地毯制造厂生产的甲、乙两款地毯，以下是该厂两名员工的对话： 如图（２），在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＢＣ，连接ＰＣ，ＰＥ． 测量旗杆顶端Ｄ的仰角α； 量观察者（竖直站立）看旗杆顶端 Ｄ的仰 ∵∠ＰＡＥ＝∠ＰＢＣ，∴△ＰＡＥ≌△ＰＢＣ， 小刘：“这两款地毯看着差不多，甲款的出厂单价比乙款的出厂单价贵２０元呢！” 方 ②在点Ａ和旗杆底端 Ｃ之间选择一点 角θ； ∴ＰＥ＝ＰＣ． 小李：“前几天Ａ专卖店用３０００元买走一批甲款地毯，Ｂ专卖店用２４００元买走一批乙款地毯，两家店购买的 案 Ｂ，在点Ｂ处用测角仪测量旗杆顶端 Ｄ ②测量观察者眼睛到地面的竖直高度ＥＦ； 又∵ＰＤ⊥ＡＣ，∴ＤＥ＝ＤＣ， 两款地毯数量竟然相同！” 的仰角β； ③测量点Ｆ到旗杆底端Ｃ的水平距离ＦＣ； ∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＤＥ＝ＢＣ＋ＣＤ． （９分） ③测量Ａ，Ｂ两点间的距离； ④在点Ｆ处重复上述操作，记录测量数据； （１）求甲、乙两款地毯的出厂单价． １９．（９分） !34 @AB/ 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＤ的顶点 ④计算旗杆的高度ＣＤ． ⑤计算旗杆的高度ＣＤ． （２）贾老板计划从该厂购进甲、乙两款地毯共 ２００张，其中甲款地毯的数量不 ｋ 测 ２ Ａ，Ｂ的坐标分别为（１，１），（４，１），反比例函数的表达式为 ｙ＝ （ｘ＞０）． 少于乙款地毯的 ，设他计划购进甲款地毯 ｘ张． ｘ 量 ３ （１）若反比例函数的图象经过正方形 ＡＢＣＤ的中心， 示 ①甲款地毯最少购进多少张？ 意 甲 乙 ①求 ｋ的值； ②贾老板在购进这批地毯之前，进行了如下研究：将甲款地毯的售价定为 ａ 图 ②若反比例函数图象与 ＣＤ交于点 Ｅ，连接 ＢＤ，ＢＥ，求△ＢＤＥ的面积． （１６０≤ａ≤２００）元／张，乙款地毯的售价定为 １６０元／张．若售完这批地毯的总利润为 ｗ元，则当 ａ 测 α β ＡＢ θ ＥＦ ＦＣ ｋ 在什么范围内时，甲款地毯数量越多，ｗ越大？ （２）若在反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）图象的上方，且在正方形ＡＢＣＤ内（不含边界）只有１个整点（横、纵 量 第一次 ３２．７° １．５１ｍ １７．４７ｍ ｘ （１）设乙款地毯的出厂单价为ｍ元，则甲款地毯的出厂单价为（ｍ＋２０）元． 数 ３３° ４５° ７．００ｍ 第二次 ３３．３° １．５３ｍ １７．４５ｍ 坐标均为整数的点），则 ｋ的取值范围是 ６≤ｋ＜９ ． ３０００ ２４００ 据 平均值 ａ° １．５２ｍ １７．４６ｍ 根据题意，得 ＝ ， （１）①∵点Ａ，Ｂ的坐标分别为（１，１），（４，１）， ｍ＋２０ ｍ （１）①填空：ａ＝ ３３．０ ． 河南中考４５套汇编·数学 １９— ４ 河南中考４５套汇编·数学 １９— ５ 河南中考４５套汇编·数学 １９— ６解得ｍ＝８０， ∴∠ＥＢＣ＝９０°－２α． 经检验，ｍ＝８０是原分式方程的根，且符合题意． ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ． ｍ＋２０＝１００． 又∵ＢＥ＝ＡＢ，∴ＢＥ＝ＢＣ， 答：甲、乙两款地毯的出厂单价分别为１００元、８０元． （４分） １８０°－∠ＥＢＣ ∴∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ＝ ＝４５°＋α． ２ ２ （２）①根据题意，得ｘ≥ （２００－ｘ），解得ｘ≥８０． ３ 又∵∠ＢＥＣ＝∠ＢＦＣ＋∠ＥＢＦ＝∠ＢＦＣ＋α， 答：甲款地毯最少购进８０张． （６分） ∴∠ＢＦＣ＝４５°． ②由题意，得ｗ＝（ａ－１００）ｘ＋（１６０－８０）（２００－ｘ）＝（ａ－１８０）ｘ＋１６０００，且ｗ随ｘ的增大而增大， 由折叠的性质可得∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝４５°， （５分） ∴ａ－１８０＞０，解得ａ＞１８０． 当点Ｐ的坐标为（２ｍ－６，０）时， {２ｍ－６＜０， 解得ｍ＜３， ∴∠ＡＦＣ＝∠ＡＦＢ＋∠ＢＦＣ＝９０°． 又∵１６０≤ａ≤２００，∴１８０＜ａ≤２００． ６－ｍ＞０， ∵点Ｏ为ＡＣ的中点， 答：当１８０＜ａ≤２００时，甲款地毯数量越多，ｗ越大． （９分） ∴ｍ＞６或２≤ｍ＜３． １ ２２．（１０分）已知，点 Ａ（ｍ，４）（ｍ≠０）在抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４（ａ≠０）上． ｍ ∴ＯＦ＝ ２ ＡＣ!"#$%&’&()*+,-./0)*,123． 当ａ＞０时，抛物线开口向上，且当ｘ≥ 时，ｙ随ｘ的增大而增大． ２  （１）若 ｍ＝４，且抛物线经过点 Ｂ（１，２），求抛物线的表达式． 又ＡＣ＝ 槡２ＡＢ＝４槡２， 又∵在０≤ｘ≤１时，ｙ随ｘ的增大而增大，且ｍ≠０， （２）若点 Ｃ（６－ｍ，０）也在该抛物线上． １ ｍ ∴ＯＦ＝ ＡＣ＝２槡２． （８分） ①当函数的最小值为０时，求 ｍ的值； ∴ ＜０，即ｍ＜０． ２ ２ （１）当 ②若 ｍ＝ 在 ４时 ０≤ ，点 ｘ≤ Ａ １ （４ 时 ，４ ， ） ｙ ． 随 ｘ的增大而增大，直接写出 ｍ的取值范围． 又∵抛物线与ｙ轴交于点（０，４）， （３） ４槡 ３ ３ 或４槡３． （１０分） {６－ｍ＜０， 将（４，４），（１，２）分别代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４， ∴抛物线与ｘ轴的两个交点均在ｘ轴负半轴上，即 解法提示：分两种情况讨论． ２ｍ－６＜０，  ２ ①当△ＡＯＦ为等边三角形时，如图（１），∠ＦＡＣ＝６０°， ａ＝ ， {ｍ＞６， {１６ａ＋４ｂ＋４＝４，  ３ 解得 故无解， ∴∠ＦＡＤ＝∠ＦＡＣ－∠ＤＡＣ＝１５°， 得 解得 ｍ＜３， ａ＋ｂ＋４＝２， ｂ＝－ ８ ， ∴此种情况不存在． ∴∠ＡＰＢ＝∠ＦＡＤ＋∠ＡＦＢ＝６０°，  ３ ２ ８ 综上所述，ｍ的取值范围为ｍ＞６或２≤ｍ＜３． ∴ＡＰ＝ ＡＢ ＝ ４槡３ ． ∴抛物线的表达式为ｙ＝ ｘ２－ ｘ＋４． （４分） ２３．（１０分）综合与实践 ｔａｎ６０° ３ ３ ３ 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学 （２）①∵抛物线经过点Ｃ（６－ｍ，０），且函数的最小值为０， ∴点Ｃ为抛物线的顶点，且抛物线开口向上， 们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝６－ｍ． 在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｐ在射线 ＡＤ上，将正方形纸片 ＡＢＣＤ沿 ＢＰ所在直线折叠，使点 Ａ落在点 Ｅ处，连 对于ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４，令ｘ＝０，得ｙ＝４， 接 ＣＥ，直线 ＣＥ交 ＢＰ所在直线于点 Ｆ，连接 ＡＦ． ∴该抛物线经过点（０，４）． 【观察猜想】 ∵点（ｍ，４）和（０，４）在该抛物线上， （１）如图（１），当∠ＡＢＰ＝２２．５°时，∠ＡＦＢ＝ ４５ °． ｍ 【类比探究】 ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝ ， ２ （２）如图（２），正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ４，∠ＡＢＰ＝α（０°＜α＜９０°），连接 ＡＣ，取 ＡＣ的中点 Ｏ，连接 ＯＦ，求 图（１） 图（２） ｍ ∴ ＝６－ｍ，解得ｍ＝４． （７分） ∠ＡＦＢ的度数及线段 ＯＦ的长度． ②当△ＣＯＦ为等边三角形时，如图（２），∠ＦＣＡ＝６０°，记ＡＦ与ＣＤ交于点Ｇ， ２ ∴∠ＦＣＤ＝∠ＦＣＡ－∠ＤＣＡ＝１５°． 【拓展应用】 ②ｍ＞６或２≤ｍ＜３． （１０分） ∵∠ＡＤＧ＝∠ＣＦＧ，∠ＡＧＤ＝∠ＣＧＦ， （３）在（２）的条件下，当△ＡＦＣ被线段 ＯＦ分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段 ＡＰ ｍ 解法提示：由点（ｍ，４）和（０，４）在抛物线上可知，抛物线的对称轴为直线ｘ＝ ， ∴∠ＦＡＤ＝∠ＦＣＤ＝１５°， 的长度． ２ ∴∠ＡＰＢ＝∠ＡＦＢ－∠ＦＡＤ＝３０°， ∴点（６－ｍ，０）关于对称轴的对称点的坐标为（２ｍ－６，０）， ＡＢ ∴抛物线与ｘ轴的两交点坐标分别为（６－ｍ，０），（２ｍ－６，０）． ∴ＡＰ＝ ＝４槡３． ｔａｎ３０° ｍ 当ａ＜０时，抛物线开口向下，且当ｘ≤ 时，ｙ随ｘ的增大而增大． ４槡３ ２ 综上可知，线段ＡＰ的长度为 或４槡３． ３ 又∵在０≤ｘ≤１时，ｙ随ｘ的增大而增大， ｍ ∴ ≥１，即ｍ≥２． ２ 画出简图如图所示，可知此时抛物线与 ｘ轴的一个交点在 ｘ轴负半轴上，另一个交点在 ｘ轴正半轴上，将负 图（１） 图（２） 备用图 半轴上的交点记为Ｐ． {６－ｍ＜０， （１）４５ （２分） 当点Ｐ的坐标为（６－ｍ，０）时， 解得ｍ＞６； ２ｍ－６＞０， （２）由折叠可知∠ＥＢＦ＝∠ＡＢＦ＝α，ＡＢ＝ＥＢ， 河南中考４５套汇编·数学 １９— ７ 河南中考４５套汇编·数学 １９— ８ 河南中考４５套汇编·数学 １９— ９９．如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为１０，分别以 ＡＤ，ＡＢ为直径画半圆，过点 Ａ的直线分别交两半圆于点 Ｅ，Ｆ．已 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） #$ ２０２６年河南省中考命题信息原创卷（二） 知 ＡＦ∶ＡＥ＝４∶３，则阴影部分的面积为 （Ｂ） 槡３ ２槡３ １６．（１０分）（１）计算：槡２４＋（１－ ）０－ ． （２）化简：（２ｘ＋３）（２ｘ－３）－４ｘ（ｘ－２）． ２５ ２５ ２５ ２５ Ａ． π－８槡７ Ｂ． π－２４ Ｃ． π－１０槡７ Ｄ． π－３０ 槡２ 槡２ ２ ２ ２ ２ ■ @ABC@AD!"# E （１）原式＝２槡６＋１－ 槡６ （３分） ＝ 槡６＋１． （５分） 数 学 （２）原式＝４ｘ２－９－４ｘ２＋８ｘ （４分） ＝８ｘ－９． （５分） （满分１２０分，考试时间１００分钟） １７．（９分）为提升学生体质健康水平，某校开展了丰富多彩的课外社团活动．在八年级组织的课外体育 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 社团中，甲、乙两位同学参加了立定跳远社团的选拔，这两位同学的 １０次跳远成绩的折线统计图如 １．某自然风景区有山有水，以水平面为基准，测得水深 ２００ｍ，记为－２００ｍ．以水平面为基准，测得山高 图（１） 图（２） 图所示（规定：立定跳远的测试成绩满分为１０分，其中成绩是８分及以上的为优秀）． ５００ｍ，则应记为 （Ｃ） （第９题） （第１０题） Ａ．＋２００ｍ Ｂ．－２００ｍ Ｃ．＋５００ｍ Ｄ．－５００ｍ １０． !*+ ,-&./ 小宁利用如图（１）所示的电路（电源电压不变，Ｒ为定值电阻）进行了如下实 ２．记者２０２５年４月１０日从中国科学院获悉：我国科学家利用嫦娥六号月球样品，首次测得月球背面月幔 ０ 验：在开关 Ｓ闭合的情况下，改变电阻箱 Ｒ 的阻值，读取电流表示数．根据实验数据，小宁绘制了如图 的水含量小于２微克／克，表明月球背面月幔很“干”．已知１微克＝０．００００００００１千克，则２微克用科学 １ （２）所示的电流表示数 Ｉ随 Ｒ变化的曲线． 记数法可表示为 （Ｃ） １ Ａ．２×１０－８千克 Ｂ．０．２×１０－８千克 Ｃ．２×１０－９千克 Ｄ．２×１０－１０千克 信息框 １．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． ３．有一条对边互相平行的纸带按如图所示的方式折叠，则∠α的度数为 （Ｄ） ２．电流表的电阻忽略不计． Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° 下列说法正确的是 （Ｃ） Ａ．电流 Ｉ随电阻 Ｒ的增大而增大 Ｂ．电流Ｉ与电阻Ｒ成反比例函数关系 １ １ 分析甲、乙的成绩，得到如下数据： Ｃ．电阻 Ｒ两端的电压随 Ｒ的增大而减小 Ｄ．当电阻 Ｒ为０时，电路中的电流最小 ０ １ １ 二、填空题（每小题３分，共１５分） 平均数／分 中位数／分 方差 优秀率 １１．写出一个比槡７大的整数 ：３（答案不唯一） ． 甲 ７ ｂ ５．４ ｃ％ {ｘ＋１＜５， 乙 ａ ７ ２．８ ４０％ １２．不等式组 的整数解之和是 ５ ． ２ｘ－１≥２ 根据以上信息，回答下列问题． １３．《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科 （１）填空：ａ＝ ７ ，ｂ＝ ７．５ ，ｃ＝ ５０ ． （第３题） （第４题） （第６题） （第８题） 书．某校举行数学文化节，要求每班从如图所示的《孙子算经》《九章算术》《周髀算经》这三本著作中随 （２）这１０次测试成绩中，发挥较稳定的是 乙 同学（填“甲”或“乙”）． ４．如图所示的图形中，能折成棱柱的有 （Ｃ） １ Ａ．５个 Ｂ．４个 Ｃ．３个 Ｄ．２个 机抽取一本研究学习，则八（一）班和八（二）班抽取的是同一本著作的概率为 ． （３）请你从这两位同学中选出一位，对其跳远成绩作出评价，并提出合理化建议． ３ ５．一元二次方程 ｘ（ｘ＋１）＝ｘ＋１的根的情况是 （Ａ） （１）７ ７．５ ５０ （６分） （２）乙 （７分） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 （３）选甲同学． Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 评价：甲同学的成绩波动较大，但优秀率较高，有潜力取得高分． （８分） ６．九（１）班策划了以“乐玩数学·悦享成长”为主题的数学活动．班主任为了解全班 ６０名同学对“玩转 建议：甲同学需要提高成绩的稳定性，减少失误． （９分） 数独”“巧解鲁班锁”“复原魔方”“七巧板拼图”“竞速华容道”这五项活动的喜爱情况，对全班同学进 选乙同学． 行了问卷调查（每名学生只能选其中一项），统计结果如图所示，下列说法正确的是 （Ｄ） （第１３题） （第１４题） （第１５题） 评价：乙同学的成绩相对稳定，但优秀率较低． （８分） Ａ．本次采用的是抽样调查 Ｂ．喜爱“竞速华容道”的同学最多 建议：乙同学可以在保持稳定性的基础上，尝试突破自己的极限． （９分） Ｃ．喜爱“玩转数独”的同学有５名 Ｄ．“七巧板拼图”对应扇形圆心角的度数为１２６° １４． !34 FGHIJKL 【知识铺垫】当已知某个角的正切值时，我们可以尝试利用相同的小正方 （答案合理即可） １６２５３６ １ ７．观察代数式９， ， ， ，…，根据这些式子的变化规律，可得第 ｎ个式子为 （Ｂ） 形组成的网格画出相同度数的角．例如：当 ｔａｎ∠１＝ 时，可以在正方形网格中画出∠ＡＢＣ，使∠ＡＢＣ＝ １８．（９分）冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择．图 ｘｘ２ ｘ３ ２ （１）是某滑雪赛道，图（２）是其侧面简化示意图．ＣＤ是滑 （ｎ＋１）２ （ｎ＋２）２ （ｎ＋２）２ （ｎ＋３）２ ∠１，如图所示． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 雪赛道的高度，斜坡 ＡＢ的坡比 ｉ＝３∶４，坡面长 ７．５米．小 ｘｎ ｘｎ－１ ｘｎ＋１ ｘｎ ３ １ 【知识迁移】已知 ｔａｎα＝ ，ｔａｎβ＝ ，则 α－β＝ ４５ °． 华从 Ａ处测得 Ｃ处的仰角为 ２２°，从 Ｂ处测得 Ｃ处的仰 ８．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＞ＢＣ，将△ＡＣＤ沿直线 ＡＣ平移，得到△ＥＧＦ，连接 ＡＦ，ＢＧ，若添加一个条件可 ２ ５ 角为４５°，已知 ＡＮ⊥ＤＮ，求滑雪赛道的高度 ＣＤ．（结果精 使四边形 ＡＦＧＢ是菱形，则这个条件可以是 （Ａ） １５．如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ（２，０），Ｂ（４，２），点 Ｍ是第一象限内的动点．若以点 Ａ，Ｂ，Ｍ为顶点的三 确到 １米．参考数据：ｓｉｎ２２°≈０．３７，ｃｏｓ２２°≈０．９３， 图（１） 图（２） Ａ．∠ＡＧＦ＝∠ＡＧＢ Ｂ ．ＡＦ＝ＢＧ Ｃ．ＢＦ＝ＡＧ Ｄ．∠ＡＦＧ＝９０° 角形与△ＯＡＢ全等，则满足条件的点 Ｍ的坐标是 （６，２）或（４，４） ． 河南中考４５套汇编·数学 ２０— １ 河南中考４５套汇编·数学 ２０— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２０— ３ｔａｎ２２°≈０．４０） ∴点Ｂ到ＣＤ的距离为４－２＝２． （６分） ∴∠４＝６０°!"#$89:;*(,<&=>3， （７分）  ＡＮ ３ ｋ 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，∠ＥＣＤ＝３０°，ＤＥ＝６， ∵斜坡ＡＢ的坡比ｉ＝３∶４，∴ ＝ ． ∵点Ｂ在反比例函数ｙ＝１ 的图象上， ＢＮ ４ ｘ 槡２ 设ＡＮ＝３ｘ，ＢＮ＝４ｘ，则ＡＢ＝５ｘ＝７．５，∴ｘ＝１．５， ４ ∴ＣＤ＝２ＤＥ＝１２，∴ＣＧ＝ ２ ＣＤ＝６槡２， ∴ｋ＝２×２＝４，∴ｙ＝ ， ∴ＡＮ＝４．５，ＢＮ＝６． （２分） １ ｘ 槡３ 设ＣＤ＝ａ． ∴Ｄ（４，１）， （７分） ∴ＦＧ＝ ＣＧ＝２槡６． （９分） ３ 在Ｒｔ△ＢＣＤ中，∠ＣＢＤ＝４５°，∴ＢＤ＝ＣＤ＝ａ，∴ＤＮ＝ａ＋６． （４分） ∴ＣＤ＝３－１＝２， ２１．（９分） !"# TUVWXY 我国是全球重要合金生产大国，生产合金种类齐全，被广泛应 如图，过点Ａ作ＡＭ⊥ＣＤ于点Ｍ，则四边形ＡＭＤＮ是矩形， １ ∴Ｓ ＝ ×２×２＝２． （９分） 用于航空航天、汽车制造和半导体等领域．某工厂利用 Ａ，Ｂ两种原料铝合金熔炼制造新型铝合金 △ＢＣＤ ２ （不计损耗）．已知Ｂ种原料铝合金每千克含硅量是Ａ种原料铝合金每千克含硅量的１．５倍，用Ａ，Ｂ ２０．（９分）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦 ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｐ，且点 Ｐ是 ＯＢ的中点，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＣＢ，交 ＣＢ的延 两种原料铝合金各５００千克，熔炼制造出的 Ｃ型铝合金中含硅量为７５００克． 长线于点 Ｅ，点 Ｆ是劣弧 ＡＣ上一点，连接 ＤＦ． （１）求每千克 Ａ，Ｂ两种原料铝合金中分别含硅多少克． （１）求证：ＤＥ与⊙Ｏ相切． （２）该工厂现需熔炼制造一种抗拉强度更高的 Ｄ型铝合金，研究人员发现，当每 １０００千克 Ｄ型铝 （２）请用无刻度的直尺和圆规作出∠ＤＣＧ＝∠ＣＤＦ，且射线 ＣＧ交 ＤＦ于点 Ｇ（保留 ∴ＤＭ＝ＡＮ＝４．５，ＡＭ＝ＤＮ＝ａ＋６，∴ＣＭ＝ａ－４．５． （６分） 合金中含硅量不低于 ７８００克时，其抗拉强度可以达到要求．已知 Ａ种原料铝合金的购价为 作图痕迹，不写作法）． 在Ｒｔ△ＣＡＭ中，∠ＣＡＭ＝２２°， ２０元／千克，Ｂ种原料铝合金的购价为２５元／千克．若要熔炼制造出抗拉强度达标的 Ｄ型铝合金 ∴ＣＭ＝ＡＭｔａｎ∠ＣＡＭ，即ａ－４．５≈０．４（ａ＋６）， （３）在（２）的条件下，若∠ＣＤＦ＝４５°，ＤＥ＝６，求 ＦＧ的长． １０００千克，则需要的原料总成本至少为多少元？ 解得ａ＝１１．５≈１２． （８分） （１）证明：如图（１），连接ＯＤ． （１）设每千克Ａ种原料铝合金中含硅ｘ克，每千克Ｂ种原料铝合金中含硅ｙ克， （１分） 答：滑雪赛道的高度ＣＤ约为１２米． （９分） {ｙ＝１．５ｘ， １ ｋ ｋ 由题意，得 （２分） １９．（９分）如图，过点Ａ（０，１）的直线ｙ＝ ｘ＋ｂ与反比例函数ｙ＝１ 的图象交于点Ｂ，与反比例函数ｙ＝２ 的图 ５００ｘ＋５００ｙ＝７５００， ２ ｘ ｘ {ｘ＝６， 象交于点Ｃ（４，ｍ）． 解得 ｙ＝９． （１）求 ｂ，ｋ的值． ２ 答：每千克Ａ种原料铝合金中含硅６克，每千克Ｂ种原料铝合金中含硅９克． （３分） ｋ （２）过点Ｃ作ＣＤ∥ｙ轴，交反比例函数ｙ＝１ 的图象于点Ｄ，连接ＢＤ．若Ｂ是ＡＣ 图（１） （２）设需要ａ千克Ｂ种原料铝合金，则需要（１０００－ａ）千克Ａ种原料铝合金， ｘ ∵点Ｐ是ＯＢ的中点，ＣＤ⊥ＯＢ， 根据题意，得９ａ＋６（１０００－ａ）≥７８００， 的中点，求△ＢＣＤ的面积． ∴ＯＰ＝ＢＰ，ＣＰ＝ＤＰ（"#$4567），∠ＣＰＢ＝∠ＤＰＯ， 解得ａ≥６００． （５分）  １ （１）将Ａ（０，１）代入ｙ＝ ｘ＋ｂ， ∴△ＣＰＢ≌△ＤＰＯ（ＳＡＳ），∴∠ＢＣＰ＝∠ＯＤＰ， 设需要的原料总成本为ｗ元， ２ ∴ＣＥ∥ＯＤ． 由题意，得ｗ＝２０（１０００－ａ）＋２５ａ＝５ａ＋２００００． （６分） 得ｂ＝１． （２分） 又∵ＣＥ⊥ＤＥ，∴ＯＤ⊥ＤＥ． ∵５＞０，∴ｗ随ａ的增大而增大， １ 将Ｃ（４，ｍ）代入ｙ＝ ｘ＋１， 又∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴当ａ＝６００时，ｗ最小，ｗ ＝５×６００＋２００００＝２３０００． 最小 ２ ∴ＤＥ与⊙Ｏ相切． （３分） 答：需要的原料总成本至少为２３０００元． （９分） 得ｍ＝３，∴Ｃ（４，３）． （３分） （２）作图如图（２）所示． （５分） ２２．（１０分）已知抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点是 Ａ（２，－１），且抛物线过点 Ｂ（０，３）． ｋ 将Ｃ（４，３）代入ｙ＝２ ，得ｋ＝１２． （４分） （１）求抛物线的表达式． ｘ ２ （２）将抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ向右平移 ｍ个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当－１＜ｘ＜３ （２）如图，过点Ｂ作ＢＦ∥ｙ轴，交ｘ轴于点Ｆ，延长ＣＤ交ｘ轴于点Ｇ， 时，ｙ随 ｘ的增大而减小；当４＜ｘ＜５时，ｙ随 ｘ的增大而增大．求 ｍ的取值范围． （３）点 Ｐ是抛物线上任意一点，其横坐标为 ｎ，设抛物线上点 Ｐ左侧的部分为图象 Ｇ（含点 Ｐ）．若图 象 Ｇ的最低点的纵坐标为３－ｎ，直接写出 ｎ的值． 图（２） 图（３） （１）∵抛物线的顶点为Ａ（２，－１）， （３）如图（３），连接ＣＦ，ＢＤ，ＯＤ． ∴抛物线的表达式可转化为ｙ＝ａ（ｘ－２）２－１． ∵∠ＤＣＧ＝∠ＣＤＦ＝４５°，∴∠ＣＧＤ＝９０°． ∵抛物线过点Ｂ（０，３），∴ａ（０－２）２－１＝３， 则Ｇ（４，０），ＢＦ∥ＣＧ． ∵点Ｐ是ＯＢ的中点，ＣＤ⊥ＯＢ， 解得ａ＝１， 又∵Ｂ是ＡＣ的中点， ∴ＣＤ是ＯＢ的垂直平分线， ∴抛物线的表达式为ｙ＝（ｘ－２）２－１，即ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３． （３分） ∴Ｆ是ＯＧ的中点，∴Ｆ（２，０）， ∴ＯＤ＝ＢＤ．又∵ＯＢ＝ＯＤ，∴ＯＢ＝ＯＤ＝ＢＤ， （２）将抛物线向右平移ｍ个单位长度后，新抛物线的对称轴是直线ｘ＝２＋ｍ． １ ∴△ＯＢＤ是等边三角形，∴∠ＢＯＤ＝６０°， ∵当－１＜ｘ＜３时，ｙ随ｘ的增大而减小， ∴ｘ＝２，∴ｙ＝ ×２＋１＝２， Ｂ Ｂ ２ １ ∴２＋ｍ≥３，解得ｍ≥１． ∴∠２＝∠１＝ ∠ＢＯＤ＝３０°，∴∠３＝１２０°， ∴Ｂ（２，２）， （５分） ２ ∵当４＜ｘ＜５时，ｙ随ｘ的增大而增大， 河南中考４５套汇编·数学 ２０— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ２０— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ２０— ６∴２＋ｍ≤４，解得ｍ≤２． １ ∴ＣＭ＝ 综上可知，１≤ｍ≤２． （８分） ２ （３）ｎ的值为０或４． （１０分） 又∵Ｏ为 解法提示：当点Ｐ在对称轴左侧，即 ｎ＜２时，点 Ｐ即为图象 Ｇ的最低点，∴３－ｎ＝ｎ２－４ｎ＋３，解得 ｎ＝０，ｎ＝３ ∴ＯＭ为△ １ ２ （舍去）．当点Ｐ在对称轴上或在对称轴右侧，即ｎ≥２时，抛物线的顶点即为图象Ｇ的最低点，∴３－ｎ＝－１，解 １ ∴ＯＭ＝ ２ 得ｎ＝４．综上可知，ｎ的值为０或４． ∴∠ＡＭＯ＝ ２３．（１０分）综合与实践 如图（１），已知△ＡＢＣ与△ＢＤＥ均为等腰直角三角形（ＢＤ＜ＢＣ），∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＢ＝９０°，Ｏ为 ＡＤ的中点，连 同理可得 接 ＯＣ，ＯＥ． ∴ＣＭ＝ＯＮ， 【特例感知】 ∴△ＯＣＭ （１）如图（２），当Ｄ，Ｅ分别在ＢＣ，ＡＢ上时，ＯＣ与ＯＥ的数量关系与位置关系为 ＯＣ＝ＯＥ，ＯＣ⊥ＯＥ ． ∴ＯＣ＝ＯＥ， 【深入探究】 ∵ＯＮ∥ＡＢ， （２）将△ＢＤＥ绕点 Ｂ旋转，在旋转过程中，（１）中的结论都成立吗？若成立，请仅就图（１）中的情形 ∴∠ＥＯＮ＋ 给予证明；若不成立，请说明理由． ∴ＯＣ⊥ＯＥ． 【拓展应用】 （３）在（２）的条件下，当点 Ｅ落在直线 ＡＤ上时，直线 ＡＤ与直线 ＢＣ相交于点 Ｐ，若 ＡＣ＝１３，ＤＥ＝７， ∵ＯＡ＝ＯＤ， ＣＰ ∴△ＡＯＦ 请直接写出 的值． ＢＰ ∴∠ＯＡＦ＝ ∴ＡＦ∥ＤＥ． ∵ＤＥ＝ＢＥ， ∵∠ＤＥＢ＝ ∴ＢＥ⊥ＡＦ． 延长ＢＥ交 ∴∠ＨＡＢ＋ 图（１） 图（２） 备用图 易知∠ＣＡＢ （１）ＯＣ＝ＯＥ，ＯＣ⊥ＯＥ （２分） ∴∠２＋∠ 解法提示：∵∠ＤＥＢ＝９０°， ∴∠２＝∠１． ∴∠ＤＥＡ＝９０°． 又∵ＡＣ＝ ∵Ｏ是ＡＤ的中点，∠ＡＣＤ＝９０°， ∴ＣＦ＝ＣＥ， ∴ＯＣ＝ＯＡ＝ＯＤ＝ＯＥ!?@$%&’&()*+,-./0)*,123，  又∵∠ＡＣＢ ∴∠ＯＡＣ＝∠ ∴∠ＦＣＥ＝ ∵ ∴△ＣＥＦ ∴∠ＣＡＢ＝４５°． ∵ＯＥ＝ＯＦ， ∵∠ＣＯＤ＝∠ ∴ＯＣ＝ＯＥ， ∴∠ＣＯＥ＝２（ ∴ＯＣ⊥ＯＥ． （２）成立． （３分） 方法一：如图（１ ＣＰ （３） ． ＢＰ ７ ７ 解法提示：∵点Ｅ落在直线ＡＤ上，∴可分两种情况讨论． ①如图（３），若点Ｅ在线段ＡＤ上， ∵△ＡＢＣ为等腰直角三角形，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｍ为ＡＢ的中点， 由（２），得ＯＣ＝ＯＥ，ＯＣ⊥ＯＥ， 河南中考４５套汇编·数学 ２０— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ２０— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ２０— ９９．如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为对角线 ＢＤ上一点，过点 Ｅ的直线 ＭＮ分别交边 ＡＢ，ＢＣ于点 Ｆ，Ｇ，交射线 ＤＡ，ＤＣ （２）去分母，得２（１－ｘ）＝ｘ－（２ｘ－６）， （１分） #! 于点 Ｍ，Ｎ．若 ＭＦ＝３，ＥＦ＝２，则 ＥＧ·ＥＮ的值为 （Ｄ） 去括号，得２－２ｘ＝ｘ－２ｘ＋６， （２分） ２０２６年河南省中考命题信息原创卷（三） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０ 移项、合并同类项，得－ｘ＝４， （３分） 系数化为１，得ｘ＝－４． （４分） 检验，当ｘ＝－４时，２ｘ－６≠０． 数 学 ∴ｘ＝－４是原分式方程的解． （５分） １７．（９分）每年的５月２５日是全国大、中学生心理健康日．为提升学生心理健康意识，某校通过选拔心 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 理健康宣传员开展专项教育活动．已知共有 ２０名学生报名参加，参选者需完成自我评估、心理面 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 谈、心理健康评定三项测试，每项测试均由 ７位心理学老师评分（满分 １００分），取每项 ７个评分的 （第９题） （第１０题） １．点 Ａ，Ｂ在数轴上的位置如图所示，则 ＡＢ的长为 （Ｄ） 平均数作为该项的测试成绩，再将自我评估、心理面谈、心理健康评定的成绩按 ２∶４∶４的比例计算每 Ａ．２０２４ Ｂ．２０２５ Ｃ．２０２６ Ｄ．２０２７ １０． Z!RS [\]^_‘9abcdRefWgU 如图，直线 ｌ是东西方向的海岸线，北侧是海 个人的总评成绩，小明和小红的三项测试成绩和总评成绩如下表（不完整）． 面，南侧是陆地．信号塔Ｏ位于码头Ａ南偏西４５°方向上，位于码头Ｂ南偏东３７°方向上．已知信号塔的信 测试成绩／分 号覆盖面是以ＯＡ为半径的圆形，Ｏ，Ｂ之间的距离为６．２５ｋｍ，则海面上被信号覆盖区域（阴影部分）的面积 学生 总评成绩／分 约为（结果精确到１ｋｍ２．参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５，π≈３） （Ｂ） 自我评估 心理面谈 心理健康评定 Ａ．６ｋｍ２ Ｂ．１３ｋｍ２ Ｃ．２５ｋｍ２ Ｄ．４９ｋｍ２ 小明 ８３ ８５ ８０ ８２．６ 二、填空题（每小题３分，共１５分） 小红 ８６ ８４ １１．某函数的图象关于原点对称，且自变量 ｘ＞０时，函数 ｙ随 ｘ的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函 （第１题） （第３题） （第５题） （第６题） 已知在心理健康评定测试中，７位心理学老师给小红的评分为：６７，７２，６８，６９，７４，６９，７１． １ ２．２０２５年《政府工作报告》中指出，“推动房地产市场止跌回稳，下调住房贷款利率和首付比例，居民存 数表达式 ：答案不唯一，如 ｙ＝ｘ，ｙ＝－ ． （１）小红的心理健康评定得分这组数据的众数是 ６９ ，平均数是 ７０ ． ｘ 量房贷利息年支出减少约１５００亿元，降低交易环节税费水平，扎实推进保交房工作．”其中 １５００亿 （２）求小红的总评成绩． １２．如图，第１个图形中有４个五角星，第２个图形中有７个五角星，第３个图形中有１０个五角星……以此规 用科学记数法可表示为 （Ａ） （３）已知报名的２０名学生的总评成绩的中位数是 ７９．５分．学校准备依据总评成绩排名，选取前 １１ 律，可知第 ｎ个图形中有 （３ｎ＋１） 个五角星． Ａ．１．５×１０１１ Ｂ．１．５×１０３ Ｃ．１５×１０１０ Ｄ．１５００×１０８ 名作为心理健康宣传员，请判断小明和小红能否入选，并说明理由． ３．爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在如图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线 （１）６９ ７０ （４分） ８６×２＋８４×４＋７０×４ 四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面上没有字？ （Ｂ） （２）小红的总评成绩为 ＝７８．８（分）． （６分） ２＋４＋４ Ａ．数 Ｂ．学 Ｃ．很 Ｄ．好 （３）小明能入选，小红不一定能入选． （７分） ４．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是 （Ｂ） 理由：因为这２０名学生的总评成绩的中位数是７９．５分，所以总评成绩不低于７９．５分的有１０名学生，而小明 Ａ．调查“天鹅之城”三门峡黄河岸边浅滩湿地的水质情况 的总评成绩为８２．６分，小红的总评成绩为７８．８分，所以小明排在前１０名，小红不一定为第１１名，故小明能 Ｂ．对欲搭乘郑州８号地铁线的乘客进行安检 入选，小红不一定能入选． （９分） Ｃ．对黄河下游“地上悬河”的含沙量进行调查 图（１） 图（２） １８．（９分）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°． Ｄ．对郑州市民国庆节外出旅游的交通方式进行调查 （第１２题） （第１４题） （１）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ５．如图是某戏曲演员在平面镜前化妆的情景，她通过平面镜看见头饰上珍珠 Ａ的像为 Ａ′．已知∠Ａ′＝ １ １ １３． Z!RS hi%fjk 当ｘ＝１时，代数式 ａｘ３－３ｂｘ＋２的值是８，则当ｘ＝－１时，代数式 ａｘ３－３ｂｘ＋ ①在ＡＣ的延长线上作出点Ｄ，使得∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＣ； ２２°，则∠１的度数为 （Ｃ） ２ ２ ②作 ＢＣ边的垂直平分线，分别与 ＡＢ，ＢＤ交于点 Ｅ，Ｆ，连接 ＣＥ，ＣＦ． Ａ．２２° Ｂ．４０° Ｃ．４４° Ｄ．４５° ２的值是 －４ ． （２）①求证：四边形 ＢＥＣＦ是菱形； ６．某不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式组是 （Ｃ） １４． Z!RS FlB/_mnopcqprsU 图（１）是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时 ②若 ＡＢ＝６，ＡＣ＝３，求 ＣＤ的长． { １ { １ { １ { １ 给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 ＥＦＧＨ拼成的一个大正方形 ＡＢＣＤ． （１）作图如图所示．（作法不唯一，正确即可） （４分） － ｘ≥－１， － ｘ≥－１， － ｘ≤－１， － ｘ≤－１， Ａ． ２ Ｂ． ２ Ｃ． ２ Ｄ． ２ 若Ｒｔ△ＡＢＥ的边ＡＢ的长度不变，ＡＥ，ＢＥ的长度变化，设ＡＥ＝ｘ，正方形ＥＦＧＨ的面积为ｙ，Ｒｔ△ＡＢＥ的面积 １ －ｘ＋５＜－２ －ｘ＋５＞－２ －ｘ＋５＞－２ －ｘ＋５＜－２ 为ｙ，图（２）是ｙ与ｘ、ｙ与ｘ之间的函数关系的图象，则ｍ的值为 槡６－ 槡２ ． ２ １ ２ ７．若关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－２ｘ＋ｋ＝５有两个不相等的实数根，则 ｋ的值可以是 （Ａ） １５．在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，Ｅ为 ＡＢ上一点，且 ＡＥ＝１，Ｆ为 ＢＣ上一点，且 ＢＦ＝１．连接 ＤＥ，ＥＦ，ＤＦ．若△ＤＥＦ Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ 是直角三角形，则 ＢＣ的长为 ２或７ ． ８．斗兽棋是一种传统棋类，双方各有八枚棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） 较小的．在一次对局中，甲手中还剩有的棋子为狮、虎、狼、猫，乙手中还剩有的棋子为象、豹、狗、鼠，若双 １－ｘ ｘ １６．（１０分）（１）分解因式：－２ｘ２＋３２ｘ－１２８． （２）解分式方程： ＝ －１． 方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则甲获胜的概率为 （Ｄ） ｘ－３ ２ｘ－６ １ １ ７ ９ （１）原式＝－２（ｘ２－１６ｘ＋６４） （２分） （２）①证明：∵直线ＥＦ垂直平分线段ＢＣ，∴ＥＢ＝ＥＣ， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４ ２ １６ １６ ＝－２（ｘ－８）２． （５分） ∴∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ． 河南中考４５套汇编·数学 ２１— １ 河南中考４５套汇编·数学 ２１— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２１— ３由作图可知∠ＥＢＣ＝∠ＦＢＣ，∴∠ＦＢＣ＝∠ＥＣＢ， （３）当小球到挡板 ＡＣ的距离大于到挡板 ＢＤ的距离时，请直接写出对应的 ｘ的取值范围． {ａ＝－０．１， 解得 ∴ＢＦ∥ＥＣ． ｂ＝１．２， 同理可得ＢＥ∥ＣＦ，∴四边形ＢＥＣＦ是平行四边形． ∴ｙ＝－０．１ｘ２＋１．２ｘ． １ 又ＥＢ＝ＥＣ，∴四边形ＢＥＣＦ是菱形． （６分） 当６＜ｘ≤８时，ｙ＝３．６． １ ②设ＢＥ＝ｘ，则ＥＣ＝ｘ，ＡＥ＝６－ｘ． {－０．１ｘ２＋１．２ｘ（０≤ｘ≤６）， 综上可知，ｙ＝ （５分） 在Ｒｔ△ＡＥＣ中，ＡＥ２＋ＡＣ２＝ＥＣ２，即（６－ｘ）２＋３２＝ｘ２， １ ３．６（６＜ｘ≤８）． １５ １５ （２）不正确． （６分） 解得ｘ＝ ，∴ＣＦ＝ＣＥ＝ ． （７分） ４ ４ 易知ｙ与ｘ之间的函数关系为一次函数，且其图象经过点（０，０），（１，０．２）， 图（１） 图（２） ２ ∵ＣＦ∥ＡＢ，∴△ＣＦＤ∽△ＡＢＤ， 设ｙ＝ｋｘ， （１）２４ １２０ １０ （３分） ２ １５ 将（１，０．２）代入，得ｋ＝０．２， （２）设直线ＥＦ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ． ＣＦ ＣＤ ４ ＣＤ 故ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝０．２ｘ． （７分） ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ＣＤ＝５． （９分） 将（１２，１２０），（２４，０）分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ， ２ ２ ＡＢ ＡＤ ６ ３＋ＣＤ 设开园第ｘ个小时时，文化园内的人数为ｗ千人， {１２ｋ＋ｂ＝１２０， {ｋ＝－１０， 得 解得 当０≤ｘ≤６时，ｗ＝ｙ－ｙ＝－０．１ｘ２＋１．２ｘ－０．２ｘ＝－０．１ｘ２＋ｘ＝－０．１（ｘ－５）２＋２．５， １９．（９分） Z!RS tuvefprWwx 已知反比例函数Ｃ：ｙ＝ ２４ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝２４０， １ ２ １ 当ｘ＝５时，ｗ的值最大，即园内的人数到达顶峰． ｋ ∴ｙ＝－１０ｘ＋２４０． （７分） （ｘ＜０）的图象如图所示，将其绕原点 Ｏ顺时针旋转 ４５°得到曲线 Ｃ， 当６＜ｘ≤８时，入园人数不再增加，离开的人数增加，所以园内人数越来越少， ｘ ２ （３）６＜ｘ＜１８． （９分） 故１５：００时，园内的人数到达顶峰． （９分） 曲线 Ｃ 交 ｙ轴于点 Ａ，且 ＯＡ＝ ６． 解法提示：易知直线ＯＥ的函数表达式为ｙ＝１０ｘ． ２ ２２．（１０分）如图（１）是水平地面上的弧形建筑，ＭＡＮ （１）求 ｋ的值； 令ｙ＝６０，即１０ｘ＝６０，解得ｘ＝６． （２）点 Ｎ是曲线 Ｃ 上的一点，点 Ｍ在直线 ｙ＝－ｘ上，若 ＭＮ＝ＯＮ，求 令－１０ｘ＋２４０＝６０，解得ｘ＝１８． ２ △ＭＯＮ的面积． 分析可知，当６＜ｘ＜１８时，小球到挡板ＡＣ的距离大于到挡板ＢＤ的距离． （１）设点Ａ对应旋转前反比例函数Ｃ图象上的点Ｂ， ２１．（９分）十一长假的第二天，某风景文化园１０：００开园迎接游客进入，１６：００禁止游客进入，１８：００闭园（闭 １ 园后半个小时内，所有游客均需出园）．经该园工作人员统计，这天开园第 ｘ个小时累计进入文化园和累 连接ＯＢ，则ＯＢ＝ＯＡ＝ 槡６，∠ＡＯＢ＝４５°． 计离开文化园的游客数量如下表所示． 槡２ 过点Ｂ作ＢＣ⊥ｙ轴于点Ｃ，则ＢＣ＝ＯＣ＝ ＯＢ＝ 槡３， ２ 时刻 １０：００ １１：００ １２：００ １３：００ １４：００ １５：００ １６：００ １７：００ １８：００ ∴Ｂ（－ 槡３，槡３）， （３分） 开园第ｘ个小时 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ∴ｋ＝－ 槡３× 槡３＝－３． （４分） 累计进入文化园 （２）如图，将△ＭＯＮ绕点Ｏ逆时针旋转４５°，则点Ｍ的对应点 Ｍ′落在 ｘ轴上，点 Ｎ的对应点 Ｎ′落在曲线 Ｃ ０ １．１ ２ ２．７ ３．２ ３．５ ３．６ ３．６ ３．６ １ 游客人数ｙ／千人 １ 上，Ｍ′Ｎ′＝ＭＮ＝ＯＮ＝ＯＮ′，Ｓ ＝Ｓ ． （６分） △Ｍ′ＯＮ′ △ＭＯＮ 累计离开文化园 过点Ｎ′作Ｎ′Ｅ⊥ｘ轴于点Ｅ，则Ｍ′Ｅ＝ＯＥ!?@$/B’&(C’.D1E3． ０ ０．２ ０．４ ０．６ ０．８ １ １．２ １．４ １．６  游客人数ｙ／千人 １ ３ ２ 易知Ｓ ＝ ×｜－３｜＝ !?@$FGHIJ-｜ｋ｜,KLMN3， （８分） △ＥＯＮ′ ２ ２ 以 ｘ的值为横坐标，ｙ或 ｙ的值为纵坐标，根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出各 １ ２  ３ 点，ｙ与 ｘ的函数关系，ｙ与 ｘ的函数关系均是我们所学过的函数关系． ∴Ｓ ＝Ｓ ＝２Ｓ ＝２× ＝３． （９分） １ ２ △ＭＯＮ △Ｍ′ＯＮ′ △ＥＯＮ′ ２ （１）用平滑的曲线画出它们的图象，并求出当０≤ｘ≤８时，ｙ与 ｘ之间的函数关 １ 系式． （２）工作人员小刘说：“１６：００时，文化园内的人数到达了顶峰．”他的说法正确 吗？若正确，请说明理由；若不正确，通过计算说明几点时，文化园内的人数 到达了顶峰． （１）如图所示． （２分） ２０．（９分）如图（１），光滑桌面 ＡＢ的长为１２０ｃｍ，两端竖直放置挡板 ＡＣ和 ＢＤ，小球 Ｐ（看作一点）从挡 板 ＡＣ出发，匀速向挡板 ＢＤ运动，撞击挡板 ＢＤ后反弹，以原速返回挡板 ＡＣ，运动过程中小球 Ｐ和 挡板 ＡＣ的距离 ｙ（ｃｍ）与时间 ｘ（ｓ）的关系图象如图（２）所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞 当０≤ｘ≤６时，易知ｙ与ｘ之间的函数关系为二次函数，且其图象经过点（０，０），（１，１．１），（２，２）， １ 击和反弹时间忽略不计） 设ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ， １ （１）图（２）中 ｍ＝ ２４ ，ｎ＝ １２０ ，小球的速度为 １０ ｃｍ／ｓ． {ａ＋ｂ＝１．１， 将（１，１．１），（２，２）分别代入，得 （２）求图（２）中直线 ＥＦ的函数表达式． ４ａ＋２ｂ＝２， 河南中考４５套汇编·数学 ２１— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ２１— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ２１— ６ ) 是弧形框架，ＡＣ，ＢＤ是垂直于地面的支架，且分别 与 ＭＡＮ ) 相切于点 Ａ，Ｂ．已知 ＡＣ＝１．６ｍ，ＣＤ＝６４ｍ． （１）求 ＭＡＮ ) 所在圆的直径． （２）若在点 Ａ处观察点 Ｎ的俯角为 α，求 α的度数． （３）如图（２），小明站在弧形建筑左侧的点 Ｅ处，测得该弧形建筑的最大仰角∠ＧＦＰ＝２３．５°．已知小 明的身高 ＦＥ＝１．６ｍ，请直接写出 ＥＭ的长．（结果精确到 ０．１ｍ．参考数据：ｓｉｎ２３．５°≈０．４０， ｃｏｓ２３．５°≈０．９２，ｔａｎ２３．５°≈０．４３，槡３≈１．７３） 图（１） 图（２） （１）如图（１），设ＭＡＮ ) 所在圆的圆心为Ｏ，连接ＯＡ，ＯＢ． ∵ＡＣ，ＢＤ分别与ＭＡＮ ) 相切于点Ａ，Ｂ， ∴ＯＡ⊥ＡＣ，ＯＢ⊥ＢＤ． ∵ＡＣ，ＢＤ是垂直于地面的支架， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＤＣ＝９０°，ＡＣ∥ＢＤ， ∴点Ａ，Ｏ，Ｂ共线，∴四边形ＡＣＤＢ是矩形， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝６．４ｍ，即ＭＡＮ ) 所在圆的直径为６．４ｍ． （４分） 图（１）（２）如图（１），过点Ｎ作ＮＱ⊥ＡＢ于点Ｑ，则ＮＱ＝ＡＣ＝１６ｍ． １ 连接ＡＮ，ＯＮ，则∠ＢＡＮ＝α，ＯＮ＝ ＡＢ＝３．２ｍ， ２ ＮＱ １．６ １ ∴ｓｉｎ∠ＮＯＱ＝ ＝ ＝ ，∴∠ＮＯＱ＝３０°， ＯＮ ３．２ ２ １ ∴α＝∠ＢＡＮ＝ ∠ＮＯＱ＝１５°． （８分） ２ （３）ＥＭ的长约为５．２ｍ． （１０分） 解法提示：如图（２），连接ＯＧ，ＯＦ，过点Ｍ作ＭＨ⊥ＦＯ于点Ｈ，连接ＯＭ． 图（２） 易知四边形ＦＥＭＨ是矩形，∠ＧＦＯ＝∠ＧＦＰ＝２３．５°， ∴ＦＨ＝ＥＭ． 易知ＦＧ与ＭＡＮ 河南中考４５套汇编·数学 ２１— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ２１— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ２１— ９ ) 相切于点Ｇ，∴ＯＧ⊥ＦＧ， ＯＧ ３．２ ３．２ ∴ＯＦ＝ ＝ ≈ ＝８（ｍ）． ｓｉｎ∠ＧＦＯ ｓｉｎ２３．５° ０．４０ 同（２）中思路可知，∠ＭＯＨ＝３０°，ＭＨ＝１．６ｍ， ∴ＯＨ＝ 槡３ＭＨ≈１．７３×１．６＝２．７６８（ｍ）， ∴ＥＭ＝ＦＨ＝ＦＯ－ＯＨ＝８－２．７６８≈５．２（ｍ）． 故ＥＭ的长约为５．２ｍ． ２３．（１０分） Z!RS yzW{|CDEF 综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探 究课程，同学们分三个小组进行探究活动．           勤学小组的探究：我们将如图（１）所示的平行四边形纸片 ＡＢＣＤ 沿过点 Ｂ的直线折叠，折痕交 ＡＤ于点 Ｅ，点 Ａ的对应点为 Ｆ，延 长 ＥＦ交 ＢＣ于点 Ｇ． 图（１） （１）任务１：初步探究． 求证：ＧＢ＝ＧＥ．                     创新小组的探究：我们将如图（２）所示的平行四边形纸片 ＡＢＣＤ 沿过点 Ｂ的直线折叠，折痕交 ＡＤ于点 Ｅ，点 Ａ的对应点恰好落 在 ＢＤ的中点 Ｏ处． 图（２） （２）任务２：猜想与验证． 猜想 ＡＥ，ＤＥ之间的数量关系，并加以证明．  由折叠可得，ＥＦ＝ＡＥ＝ＡＰ＋ＥＰ＝５． 开拓小组的探究：我们将如图（３）所示的平行四边形 同（１）可得ＮＥ＝ＮＢ． 纸片 ＡＢＣＤ（ＡＢ＝６，∠Ａ＝６０°）沿过点 Ｂ的直线折叠， 过点Ｅ作ＥＫ⊥ＢＣ于点Ｋ，则ＢＫ＝ＰＥ＝２，ＥＫ＝ＰＢ＝３槡３． 折痕交ＡＤ于点Ｅ，点Ａ的对应点为Ｆ，直线ＢＦ与直线 设ＮＥ＝ＮＢ＝ａ，则ＫＮ＝ａ－２． ＡＤ交于点 Ｍ，直线 ＥＦ与直线 ＢＣ交于点 Ｎ． 由勾股定理，得ＥＫ２＋ＫＮ２＝ＥＮ２， 图（３） ∴（３槡３）２＋（ａ－２）２＝ａ２， （３）任务３：求两线段的比值． ３１ ３１ 解得ａ＝ ，∴ＮＥ＝ＮＢ＝ ， ４ ４ ＥＭ 过点 Ｂ作 ＢＰ⊥ＡＤ于点 Ｐ，若 ＥＰ＝２，请直接写出 的值． ３１ １１ ＢＮ ∴ＦＮ＝ＮＥ－ＥＦ＝ＮＥ－ＡＥ＝ －５＝ ． ４ ４ ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴△ＦＥＭ∽△ＦＮＢ!TUOP$CＸEP3，  ＥＭ ＦＥ ５ ２０ ∴ ＝ ＝ ＝ ． ＢＮ ＦＮ １１ １１ ４ 备用图 ②当点Ｅ在点Ｐ左侧，且ＥＰ＝２时，如图（３）， （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＥＢ＝∠ＥＢＣ． 由折叠可得∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ，∴∠ＥＢＣ＝∠ＦＥＢ， ∴ＧＢ＝ＧＥ!OP$C&QR.E＋CQS.E＝C/B’&(E3． （３分）  （２）ＤＥ＝２ＡＥ． （４分） 图（３） 证明：如图（１），延长ＥＯ交ＢＣ于点Ｈ， 由折叠可得，ＢＦ＝ＡＢ＝６，∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ，ＥＦ＝ＡＥ＝３－２＝１． 又∵∠ＡＥＮ＝∠ＦＥＭ，∴∠ＮＥＢ＝∠ＭＥＢ． 同（１）可得ＮＥ＝ＮＢ． 过点Ｂ作ＢＱ⊥ＮＦ于点Ｑ， 槡３ １ ∵∠Ｆ＝∠Ａ＝６０°，∴ＢＱ＝ ＢＦ＝３槡３，ＦＱ＝ ＢＦ＝３． 图（１） ２ ２ 同（１）可得ＨＢ＝ＨＥ． 设ＮＢ＝ＮＥ＝ｂ，则ＮＱ＝ｂ＋１－３＝ｂ－２． ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠１＝∠２． 由勾股定理，得ＮＱ２＋ＢＱ２＝ＮＢ２， 又∠３＝∠４，ＯＤ＝ＯＢ， ∴（ｂ－２）２＋（３槡３）２＝ｂ２， ∴△ＥＯＤ≌△ＨＯＢ（ＡＡＳ），∴ＯＥ＝ＯＨ，ＤＥ＝ＢＨ， ３１ ３５ 解得ｂ＝ ，∴ＦＮ＝ｂ＋１＝ ． ∴ＥＤ＝ＨＥ＝２ＯＥ． ４ ４ 由折叠可知，ＡＥ＝ＯＥ， ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴△ＦＥＭ∽△ＦＮＢ， ∴ＤＥ＝２ＡＥ． （８分） ＥＭ ＦＥ ４ ∴ ＝ ＝ ． ＢＮ ＦＮ ３５ ＥＭ ２０ ４ （３） 的值为 或 ． （１０分） ＥＭ ２０ ４ ＢＮ １１ ３５ 综上可知， 的值为 或 ． ＢＮ １１ ３５ 解法提示：在Ｒｔ△ＡＢＰ中，∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝６，∴ＡＰ＝３，ＢＰ＝３槡３． 根据点Ｅ在点Ｐ的左、右侧，分两种情况讨论． ①当点Ｅ在点Ｐ右侧，且ＥＰ＝２时，如图（２）， 图（２）## ２０２６年河南省中考命题信息原创卷（四） 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．下列是无理数的是 （Ａ） １ Ａ．槡２ Ｂ．０ Ｃ． Ｄ．－１ ２０２６ ２．某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能为 （Ｄ） ３．有“中国天眼”之称的５００米口径球面射电望远镜（ＦＡＳＴ），可以“听见”百亿光年之外的声音．已知 １光年≈９．４６×１０１２ 千米，则１百亿光年（用科学记数法表示）约为 （Ｃ） Ａ．９．４６×１０１４ 千米 Ｂ．９．４６×１０２０ 千米 Ｃ．９．４６×１０２２ 千米 Ｄ．９．４６×１０２３ 千米 ４．下列各式计算正确的是 （Ｃ） Ａ．槡４＝±２ Ｂ．槡（－２）２＝－２ Ｃ．槡 ３－８＝－２ Ｄ．（－ 槡２）２＝－２ ５．如图，新乡市、郑州市连线与新乡市、开封市连线的夹角为 ５６°，新乡市在郑州 市的北偏东２４°方向上，则开封市在新乡市的 （Ａ） Ａ．南偏东３２°方向上 Ｂ．南偏东２４°方向上 Ｃ．北偏西３２°方向上 Ｄ．北偏西２４°方向上 ６．４月２３日是世界读书日．某校举办了“名著阅读月”活动，为了解学生的阅读情况，该校随机抽取了 １００名学生进行调查，发现该月阅读两本以上名著的学生有 ２０名，估计该校 ７００名学生中该月阅读 两本以上名著的有 （Ｃ） Ａ．１００名 Ｂ．１２０名 Ｃ．１４０名 Ｄ．１５０名 ７．下列计算结果等于 ａ１０的是 （Ｂ） Ａ．ａ＋ａ＋…＋ａ 河南中考４５套汇编·数学 ２２— １ 河南中考４５套汇编·数学 ２２— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２２— ３      Ｂ．ａ·ａ·…·ａ １０个ａ        Ｃ．ａ２０÷ａ２ Ｄ．ａ２＋ａ２＋…＋ａ２ １０个ａ        １０． Z!RS }~(cid:127)/_(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)B/ 如图，已知 Ａ，Ｂ，Ｃ为⊙Ｏ上的三点，且 ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝４，∠Ａ＝３０°．Ｐ是 ＡＢ ５个ａ２ ８．一个不透明的盒子中装有四个分别标着 “Ｈ（氢）”“Ｏ（氧）”“Ｃ（碳）”“Ｃａ（钙）”四种元素符号的小 球，这些小球除元素符号外其他完全相同．现从盒子中随机摸出一个小球，记下小球上标记的元素符 号后放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸到的小球上的元素符号可以组成“ＣＯ”的概率是 （Ｂ） １ １ １ １ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １６ ８ ４ ２ ９．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，Ｄ是ＢＣ的中点，将△ＡＢＤ沿ＡＤ折叠，得 到△ＡＥＤ，连接ＣＥ，则ＣＥ的长度为 （Ｄ） １５ ８ １４ Ａ．２ Ｂ． Ｃ． Ｄ． ７ ３ ５ ) 上一动点（不与点Ａ，Ｂ重合），连接ＣＰ交弦ＡＢ于点Ｄ． 当△ＢＣＤ为等腰三角形时，ＢＰ ) １ ∴原不等式组的解集为－２≤ｘ＜ ． （５分） ３ ｙ ｙ ｙ（ｘ＋ｙ） ｙ（ｘ－ｙ） （２） － ＝ － ｘ－ｙｘ＋ｙ （ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ） 的长为 （Ｃ） ｘｙ＋ｙ２－ｘｙ＋ｙ２ ４π ７π ４π ７π ２π ７π ＝ （３分） Ａ． Ｂ． Ｃ． 或 Ｄ． 或 （ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ） ３ ３ ３ ３ ３ ６ ２ｙ２ 二、填空题（每小题３分，共１５分） ＝ ， （４分） ｘ２－ｙ２ １１．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是 槡５－１ ，著名的雕塑断 ∴＝２ｙ２． （５分） ２ １７．（９分）如今，各类人工智能产品已被广泛应用于工作与学习中，为人们提供了高效的辅助支持．某区 槡５－１ １ 组织全区七、八年级数学教师用 ＤｅｅｐＳｅｅｋ与 Ｋｉｍｉ结合制作教学课件比赛，比赛结束后，该区从七、八 臂的维纳斯便是如此．比较大小： ＞ （填“＞”或“＜”）． ２ ２ 年级数学教师的比赛成绩中各随机抽取了２０名教师的成绩（满分１００分，成绩用ｘ表示，单位：分），将 １２．写出一个关于ｘ的一元二次方程，使它有两个相等的实数根 ：ｘ２＋４ｘ＋４＝０（答案不唯一，符合条件即可） ． 成绩分成五组（Ａ．５０≤ｘ＜６０；Ｂ．６０≤ｘ＜７０；Ｃ．７０≤ｘ＜８０；Ｄ．８０≤ｘ＜９０；Ｅ．９０≤ｘ≤１００），并对成绩进行 ｋ ６ 整理、描述和分析，部分信息如下： １３．如图，在△ＡＢＣ中，点 Ａ，Ｂ分别在反比例函数 ｙ＝ 和 ｙ＝ 的图象上，ＡＢ∥ｘ轴，点 Ｃ在 ｙ轴上，Ｓ ∶ ｘ ｘ △ＡＤＣ 七年级２０名数学教师课件的成绩： Ｓ ＝２∶３，则 ｋ＝ －４ ． △ＢＣＤ ８９ ７７ ５８ ７７ ８９ ６８ ８８ ６９ ７９ ８４ ７７ ７８ ８２ ８７ ６６ ９６ ９４ ８３ ６７ ９２ 七年级２０名数学教师 八年级２０名数学教师课 课件成绩的扇形统计图 件成绩的条形统计图 （第１３题） （第１４题） （第１５题） １４．如图，在平面直角坐标系中，Ｐ（２，０），正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的顶点 Ａ，Ｄ的坐标分别为（１，０），（－１，０），点 Ｍ 其中八年级数学教师课件成绩在 Ｄ组的数据为：８０，８２，８３，８４，８６，８７，８８，８９． 是正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的边上一动点，连接 ＰＭ，将 ＰＭ绕点 Ｐ顺时针旋转 ９０°，得到 ＰＮ，连接 ＭＮ．点 Ｍ从 抽取的七、八年级数学教师课件成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： １ 点 Ａ出发，按照顺时针的方向（即 Ａ—Ｂ—Ｃ—Ｄ—Ｅ—Ｆ—Ａ…）以每秒 个单位长度的速度运动，则第 年级 平均数 中位数 众数 方差 ２ 七年级 ８０ ８０．５ ｂ １０２．３ 槡３ 八年级 ８０ ｃ ７９ ９５．７ ２０２５秒时点 Ｎ的坐标为 （２＋ ，２） ． ２ 根据以上信息，回答下列问题： １５．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，Ｅ，Ｍ分别为ＡＤ，ＢＣ的中点，Ｐ为ＢＣ边上一动点（不与点Ｃ重合），连接ＤＰ，过 （１）填空：ａ＝ ２０ ，α＝ １２６ °，ｂ＝ ７７ ，ｃ＝８２．５； １ １ 点Ｐ作ＰＦ⊥ＰＤ，且ＰＦ＝ ＰＤ，连接ＥＦ，ＦＭ，则ｔａｎ∠ＦＭＢ的值为 ，线段ＥＦ长度的最小值为 ２槡５ ． （２）若抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为 ８２分，则 甲 教师的成绩在本年级的排名 ２ ２ 更靠前；（填“甲”或“乙”） 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） （３）根据上述数据，你认为哪个年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更 {３ｘ＋５＜６， 好，请说明理由（写出一条即可）． １６．（１０分）（１）解不等式组： １ ３－ ｘ≤４． （１）２０ １２６ ７７ ８２．５ （４分） ２ （２）甲 （６分） （３）八年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好． （７分） ｙ  ｙ （２）若计算 ＋ 的结果是 ，求“”代表的单项式． 理由：因为七、八年级数学教师课件成绩的平均数一样，八年级数学教师课件成绩的中位数和众数均比七年 ｘ＋ｙｘ２－ｙ２ ｘ－ｙ 级的高，且八年级数学教师课件成绩的方差比七年级的小，成绩较稳定，所以八年级的数学教师在人工智能 {３ｘ＋５＜６， ① 辅助制作教学课件方面掌握的情况更好．（答案不唯一，写出一条合理理由即可） （９分） （１） １ ３－ ｘ≤４． ② １８．（９分）某家电专卖店销售 Ａ，Ｂ两种型号的环保空调，已知其中两单的销售情况如下表： ２ Ａ型空调数量／台 Ｂ型空调数量／台 总销售额／元 １ 解不等式①，得ｘ＜ ； （２分） ３ １ ２ １４０００ 解不等式②，得ｘ≥－２． （４分） ２ ３ ２４０００（１）求两种型号的空调的销售单价各是多少． 根据反比例函数的图象与性质可得ｘ≥６． ∴∠２＝３０°． （２分） （２）为了响应国家家电以旧换新政策，更多让利于老百姓，专卖店决定推出“以旧换新”和打折促销 由题意可知ｘ≤５０，故ｘ的取值范围是６≤ｘ≤５０． （９分） ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＢ＝９０°， 两种优惠政策．小李计划购买 Ａ，Ｂ型空调各一台，其中一台用家中旧空调以旧换新购买．可采 ２０．（９分）图（１）是小明同学自制的测量工具，其中 ＯＮ⊥ＭＮ，ＯＮ，ＭＮ上都有相同单位的刻度，Ｇ可以在 ＭＮ １ ∴ＡＤ＝ ＡＢ＝ＯＥ． （３分） 取如下两种方案． 上滑动，ＯＮ＝１８．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度 ＰＱ．如图（２），小明站在自动扶梯的底部 Ａ ２ 方案一：旧空调可以抵消 Ａ型空调的售价的１０００元，Ｂ型空调优惠 ａ％； 处，让测量工具的 ＯＮ平行于地面ＡＱ，ＯＮ的延长线交ＰＱ于点Ｆ，滑动ＯＧ使Ｏ，Ｇ，Ｐ在同一条直线上，此 ∵∠ＡＤＢ＝９０°，ＯＰ⊥ＢＤ， 方案二：旧空调可以抵消 Ｂ型空调的售价的８００元，Ａ型空调优惠１０％． 时 ＮＧ＝６．他乘坐扶梯到达顶部 Ｂ处，让测量工具的 Ｏ′Ｎ′平行于地面，Ｏ′Ｎ′的延长线交 ＰＱ于点 Ｅ，滑动 ∴ＯＥ∥ＡＤ，∴四边形ＯＡＤＥ是平行四边形． （４分） 若方案一优惠额不小于方案二，求 ａ的最小值． Ｏ′Ｇ′，使 Ｏ′，Ｇ′，Ｐ在同一条直线上，此时 Ｎ′Ｇ′＝３．小明的身高 ＡＣ＝ＢＤ＝１．７ｍ，自动扶梯的高 ＢＭ为 又∵ＯＡ＝ＯＥ，∴ＯＡＤＥ是菱形． （５分） （１）设Ａ型空调的销售单价是ｘ元，Ｂ型空调的销售单价是ｙ元． ４．５ｍ，水平宽 ＡＭ为１９．５ｍ．试根据以上数据计算出建筑物的高度 ＰＱ．（结果精确到１ｍ） {ｘ＋２ｙ＝１４０００， 由题意，得 （３分） ２ｘ＋３ｙ＝２４０００， {ｘ＝６０００， 解得 ｙ＝４０００， ∴Ａ型空调的销售单价是６０００元，Ｂ型空调的销售单价是４０００元． （５分） 图（１） （２）由题意，得１０００＋４０００×ａ％≥８００＋６０００×１０％， （７分） 图（１） 图（２） （２）如图（２），连接ＢＥ，ＡＥ，则∠ＢＡＥ＝∠ＢＤＥ． （６分） 解得ａ≥１０． 设ＰＱ＝ｘｍ． 设 ＢＤ，ＯＰ交于点 Ｑ，∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＥＢ＝９０°， ∴ａ的最小值是１０． （９分） 由题意可知ＦＱ＝ＣＡ＝１．７ｍ，ＥＱ＝ＤＭ＝１．７＋４．５＝６．２（ｍ）， ４ １９．（９分） Z!RS (cid:128)(cid:129)tuvefW[\(cid:134)N/ “杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠 ∴ＡＥ＝ＡＢｃｏｓ∠ＢＡＥ＝ＡＢｃｏｓ∠ＢＤＥ＝２０× ＝１６， ∴ＰＦ＝（ｘ－１．７）ｍ，ＰＥ＝（ｘ－６．２）ｍ． （２分） ５ 久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘 等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长 １００ｃｍ的质地均匀的木杆，用细绳绑 由题意可知ＧＮ∥ＰＱ，Ｇ′Ｎ′∥ＰＱ， ∴ＢＥ＝ 槡ＡＢ２－ＡＥ２＝ 槡２０２－１６２＝１２． （７分） ∴△ＣＧＮ∽△ＣＰＦ，△ＤＧ′Ｎ′∽△ＤＰＥ， 在木杆的中点Ｏ处并将其吊起来，在中点Ｏ的左侧挂一个物体，在中点Ｏ的右侧挂一个弹簧秤向下 ∵ＢＤ⊥ＯＰ，ＤＱ＝ＢＱ， ＰＦ ＧＮＰＥ Ｇ′Ｎ′ ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ＤＥ＝ＢＥ＝１２， 拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点 Ｏ的距离保持不变时，弹簧秤 ＣＦ ＮＣＤＥ ＤＮ′ 的示数 ｙ（Ｎ）是关于 ｘ（ｃｍ）（弹簧秤与中点 Ｏ的距离）的反比例函数．已知当 ｘ＝２０时，ｙ＝３０． ｘ－１．７ ６ｘ－６．２ ３ ∴ＤＱ＝ＤＥｃｏｓ∠ＢＤＥ＝１２× ４ ＝ ４８ ， （１）求 ｙ关于 ｘ的函数表达式； ∴ ＣＦ ＝ １８ ， ＤＥ ＝ １８ ， ５ ５ （２）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数 ｙ的最小值； ∴ＣＦ＝３（ｘ－１．７）（ｍ），ＤＥ＝６（ｘ－６．２）（ｍ）． （５分） ９６ ∴ＢＤ＝２ＤＱ＝ ． （９分） （３）若弹簧秤的最大量程是１００Ｎ，求 ｘ的取值范围． 又ＤＥ－ＣＦ＝ＡＭ， ５ ∴６（ｘ－６．２）－３（ｘ－１．７）＝１９．５， （７分） 解得ｘ＝１７．２， ∴ＰＱ＝１７．２ｍ≈１７ｍ． 答：建筑物的高度ＰＱ约为１７ｍ． （９分） ２１．（９分） Z!RS (cid:135)cFAB/WgU 如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，射线 ＢＣ与⊙Ｏ相切于点 Ｂ，点 Ｐ 为射线 ＢＣ上一动点，连接 ＯＰ，过点 Ｂ作 ＢＤ⊥ＯＰ，交⊙Ｏ于点 Ｄ，连接 ＤＥ． 图（２） （１）当 ＢＤ＝ＢＰ时，如图（１），连接 ＡＤ，求证：四边形 ＯＡＤＥ是菱形． ｋ ２２．（１０分） Z!RS (cid:136)(cid:137)(cid:138)c(cid:139)(cid:138)WgU(cid:134)N 小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚， （１）由题意设ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ ， ４ ｘ （２）当 ｃｏｓ∠ＢＤＥ＝ 时，如图（２）．若 ＡＢ＝２０，求 ＢＤ的长． 在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理 ５ ｋ 如下，请仔细阅读，并完成相应的任务． 将ｘ＝２０，ｙ＝３０代入，得３０＝ ， ２０ ∴ｋ＝２０×３０＝６００， 如图（１），曲线 ＡＢ为遮阳棚，ＡＣ为支架，ＣＯ为落地窗 户（Ａ，Ｃ，Ｏ三点共线），ＡＣ＝０．５ｍ，ＣＯ＝２ｍ，ＡＢ⊥ＡＯ， ６００ ∴ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ ． （３分） 遮阳棚的跨度ＡＢ＝２ｍ．已知曲线 ＡＢ所在的抛物线与 ｘ 素材一 １ ６００ 抛物线ｙ＝ ｘ２的形状相同，以点 Ｏ为坐标原点，ＣＯ所 （２）由（１）可知，ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ ． ４ ｘ ∵ｘ＞０，ｋ＝６００＞０， 图（１） 图（２） 在直线为ｙ轴建立平面直角坐标系． 图（１） ∴ｙ随ｘ的增大而减小． （１）证明：如图（１），设ＯＰ，ＢＤ交于点Ｑ， ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，ｘ的值最大，最大值为５０， ∵ＯＰ⊥ＢＤ，∴ＤＱ＝ＢＱ!"#$45673．  ６００ ∵ＢＤ＝ＢＰ， ∴当ｘ＝５０时，ｙ的值最小，最小值为 ＝１２， 如图（２），为加固遮阳棚，要安装支撑架 ＢＣ和 ＧＦ，其中 ５０ １ ＢＱ １ 素材二 ∴ＢＱ＝ ＢＰ，∴ｃｏｓ∠１＝ ＝ ， 点Ｇ在ＢＣ上，点Ｆ在曲线ＡＢ上，且ＧＦ∥ＡＣ． ∴弹簧秤的示数ｙ的最小值为１２． （６分） ２ ＢＰ ２ ６００ ∴∠１＝６０°． （１分） （３）将ｙ＝１００代入ｙ＝ ，得ｘ＝６． 图（２） ｘ ∵ＢＣ是⊙Ｏ的切线，∴ＡＢ⊥ＢＣ， 河南中考４５套汇编·数学 ２２— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ２２— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ２２— ６任务１：求素材一中曲线 ＡＢ所在抛物线的函数表达式． 成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（３）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需 又∵∠ＡＢＣ＝６０°，∴△ＡＢＣ是等边三角形， 任务２：小华的爸爸找来一根长 ０．６ｍ的木棍作为支撑架 ＧＦ，是否符合素材二中的要求？若符合， 要说明作图理由） ∴ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ＝６０°， 请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由． 【类比迁移】 ∴∠ＡＣＭ＝１８０°－∠ＡＣＢ＝１２０°＝∠ＡＢＧ， １ ５ （３）在（１）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下 ∴△ＡＢＧ≌△ＡＣＭ（ＳＡＳ）， 任务１：根据题意，可知曲线ＡＢ所在抛物线过点（０， ＋２），即（０， ）． ２ ２ 问题： ∴∠ＢＡＧ＝∠ＣＡＭ，ＡＧ＝ＡＭ， １ 如图（４），在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＣ是其对角线，点 Ｍ为射线 ＢＣ（点 Ｃ右侧）上的一个动点， ∴∠ＣＡＭ＋∠ＧＡＣ＝∠ＢＡＧ＋∠ＧＡＣ＝∠ＢＡＣ＝６０°， 由曲线ＡＢ所在的抛物线与抛物线ｙ＝ ｘ２的形状相同，且曲线 ＡＢ所在的抛物线开口向下，可设曲线 ＡＢ所 ４ ∴△ＡＭＧ是等边三角形，∴ＡＭ＝ＭＧ＝２ＭＮ． （８分） 将点 Ｃ绕点 Ｍ逆时针旋转１２０°得到点 Ｃ′，连接 Ｃ′Ｍ，Ｃ′Ｂ，点 Ｎ是 Ｃ′Ｂ的中点，连接 ＭＮ，ＡＭ． １ 在抛物线的函数表达式为ｙ＝－ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ， （１分） ①证明：ＡＭ＝２ＭＮ； ４ １ ５ ５ ②连接 ＣＮ．若 ＡＢ＝４，ＣＮ＝ ＣＭ，请直接写出 ＣＮ的长． 将（０， ）代入，得ｃ＝ ． （２分） ２ ２ ２ ｂ １ ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ＝１，∴ｂ＝ ， （３分） １ ２ ２×（－ ） ４ １ １ ５ ∴曲线ＡＢ所在抛物线的函数表达式为ｙ＝－ ｘ２＋ ｘ＋ ． （４分） ４ ２ ２ 图（２） 任务２：不符合． （５分） ②ＣＮ的长为２或１． （１０分） ５ ５ １ １ 理由：∵Ａ（０， ），ＡＢ＝２，∴Ｂ（２， ）． 解法提示：由题意知，ＣＮ＝ ＣＭ＝ Ｃ′Ｍ．分两种情况讨论． ２ ２ ２ ２ 图（１） 图（２） 图（３） 图（４） 设直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ， Ⅰ．当ＣＮ是△ＢＭＣ′的中位线时，如图（３），此时Ｃ′Ｍ＝ＣＭ＝ＢＣ＝ＡＢ＝４，∴ＣＮ＝２． ５ （１）证明：∵点Ｅ是ＡＣ的中点，∴ＡＥ＝ＥＣ． 将Ｃ（０，２），Ｂ（２， ）分别代入， ２ 又∵∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＦ，ＤＥ＝ＥＦ， {ｎ＝２， { １ ∴△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（ＳＡＳ）， ｍ＝ ， 得 ５解得 ４ ∴ＡＤ＝ＣＦ，∠ＤＡＥ＝∠ＦＣＥ，∴ＡＤ∥ＣＦ． ２ｍ＋ｎ＝ ， ２ ｎ＝２， ∵点Ｄ是ＡＢ的中点，∴ＢＤ＝ＡＤ， １ ∴ＢＤ＝ＣＦ，∴四边形ＤＢＣＦ是平行四边形， ∴直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝ ｘ＋２． （６分） ４ ∴ＤＦ∥ＢＣ，ＤＦ＝ＢＣ， 设点Ｆ的横坐标为ｅ（０＜ｅ＜２），则Ｆ（ｅ，－ １ ｅ２＋ １ ｅ＋ ５ ），Ｇ（ｅ， １ ｅ＋２）， ∴ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝ １ ＢＣ． （３分） 图（３） ４ ２ ２ ４ ２ Ⅱ．当ＣＮ不是△ＢＭＣ′的中位线时，如图（４），取ＢＭ的中点Ｈ，连接ＨＮ， １ １ ５ １ １ １ １ １ １ ９ （２）作图如图（１）所示．（答案不唯一） （５分） ∴ＧＦ＝－ ｅ２＋ ｅ＋ －（ ｅ＋２）＝－ ｅ２＋ ｅ＋ ＝－ （ｅ－ ）２＋ ， ４ ２ ２ ４ ４ ４ ２ ４ ２ １６ １ ９ ∴当ｅ＝ 时，ＧＦ最大，最大值为 ． （８分） ２ １６ ９ ∵ ＝０．５６２５＜０．６， １６ ∴小华的爸爸找来的０．６ｍ长的木棍作为支撑架ＧＦ，不符合素材二中的要求． （１０分） 图（４） １ ２３．（１０分） Z!RS (cid:140)#(cid:141)i 【课本回顾】 ∴ＨＮ＝ Ｃ′Ｍ，ＨＮ∥Ｃ′Ｍ， ２ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 图（１） ∴ＨＮ＝ＣＮ，∠ＮＨＭ＝１８０°－∠ＢＭＣ′＝６０°， 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 说明：点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点分别是边ＡＤ，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的中点． ∴△ＨＮＣ是等边三角形，∴ＣＮ＝ＨＣ． 【定理证明】 （３）①证明：如图（２），延长ＭＮ至点Ｇ，使ＧＮ＝ＭＮ，连接ＢＧ，ＡＧ． 设ＣＮ＝ＨＣ＝ａ，则ＣＭ＝２ａ，∴ＢＨ＝ＨＭ＝３ａ， 已知：如图（１），ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线． ∵点Ｎ是Ｃ′Ｂ的中点，∴ＢＮ＝Ｃ′Ｎ． ∴ＢＣ＝４ａ＝４，解得ａ＝１，∴ＣＮ＝１． １ 求证：ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝ ＢＣ． 又∵∠ＢＮＧ＝∠Ｃ′ＮＭ，∴△ＢＮＧ≌△Ｃ′ＮＭ（ＳＡＳ）， 综上所述，ＣＮ的长为２或１． ２ ∴ＢＧ＝Ｃ′Ｍ，∠ＧＢＮ＝∠Ｃ′，∴ＢＧ∥Ｃ′Ｍ． （１）证明：如图（２），延长ＤＥ到点Ｆ，使得ＥＦ＝ＤＥ，连接ＣＦ……请你根据已经添加的辅助线，写出完 由旋转的性质可知，ＭＣ′＝ＭＣ，∠Ｃ′ＭＣ＝１２０°， 整的证明过程．（不再添加新的辅助线） ∴ＢＧ＝ＣＭ，∠ＧＢＭ＝１８０°－∠Ｃ′ＭＣ＝６０°， 【定理应用】 ∴∠ＡＢＧ＝∠ＡＢＣ＋∠ＧＢＭ＝１２０°． （２）如图（３），已知四边形 ＡＢＣＤ纸片，ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＣ，对角线 ＢＤ⊥ＡＣ．现要将其剪成四块，使得剪 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ＢＣ． 河南中考４５套汇编·数学 ２２— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ２２— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ２２— ９９．（２０２５山西）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，分别以点 Ｂ，Ｃ为圆心、ＢＣ的长 １４．（２０２５连云港改编）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＣＡＢ＝３０°，ＡＤ平分∠ＣＡＢ，ＢＥ⊥ＡＤ，Ｅ为垂 !" ２０２５年全国中考真题改编河南模式试卷（一） 为半径画弧，与 ＢＡ，ＣＡ的延长线分别交于点 Ｄ，Ｅ．若 ＢＣ＝４，则图中阴影部分的面积 ＡＤ 足，则 的值为 ２槡３ ． ＢＥ 为 （Ｄ） １ Ａ．２π－４ Ｂ．４π－４ １５． !)* +,-./0123（原创）定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的 的钝角三角 数 学 ２ Ｃ．８π－８ Ｄ．４π－８ （满分１２０分，考试时间１００分钟） 形叫做“半钝三角形”．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ 槡３＋１，ＡＣ＝２槡３＋２，Ｅ为对角线ＡＣ的中点，Ｆ是射线ＣＤ １０． !"# $%&’( （原创）如图（１）所示是一款家用烟雾报警器及其简化原理图，电路中电源电 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 上一动点．若△ＣＥＦ是“半钝三角形”，且∠ＥＣＦ不是其最小的内角，则ＣＦ的长为 １或２槡３＋４ ． 压 Ｕ不变，为６Ｖ，Ｒ为定值电阻，且 Ｒ＝１０Ω，Ｒ 为光敏电阻．数学兴趣小组研究发现，光敏电阻的阻值 ０ ０ １ １．（２０２５安徽）在－２，０，２，５这四个数中，最小的数是 （Ａ） 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） Ｒ（Ω）与烟雾浓度 Ｃ（％）的函数关系图象如图（２）所示．已知当烟雾浓度大于或等于某一值，电路中电流 Ａ．－２ Ｂ．０ Ｃ．２ Ｄ．５ １ １ １６．（１０分）（２０２５新疆）（１）计算：（－２）２＋｜－１｜－４＋（－ ）０； （２）化简：ａ（１－ａ）＋（ａ＋１）（ａ－１）． Ｕ ２．（２０２５安徽）“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为 （Ａ） 大于或等于０．２Ａ时，烟雾报警器报警．则下列结论错误的是（参考公式：Ｉ＝ ） （Ｃ） ２ Ｒ＋Ｒ ０ １ （１）原式＝４＋１－２＋１ （４分） ＝４． （５分） （２）原式＝ａ－ａ２＋ａ２－１ （４分） ｘ ２ｙ ３．（２０２５新疆）计算： － ＝ （Ａ） ＝ａ－１． （５分） ｘ－２ｙｘ－２ｙ １７．（９分）（２０２５甘肃）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近 １０次的选拔赛中，他 １ ｘ－２ｙ Ａ．１ Ｂ．ｘ－２ｙ Ｃ． Ｄ． 们的射击成绩（单位：环）信息如下： ｘ－２ｙ －４ｙ 信息一：甲、乙队员的射击成绩 ４．（２０２５重庆）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是 （Ｄ） 图（１） 图（２） 甲：１０，８，８，１０，６，８，６，９，１０，８ Ａ．调查某种柑橘的甜度情况 Ｂ．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 Ｃ．调查某市垃圾分类的情况 Ｄ．调查全班观看某部电影的情况 Ａ．当烟雾浓度 Ｃ＝１０％时，Ｒ＝１０Ω 乙：８，９，１０，９，６，７，７，９，１０，８ １ ５．（２０２５山西）如图，小谊将两根长度不等的木条 ＡＣ，ＢＤ的中点连在一起，记中点为 Ｏ，即 ＡＯ＝ＣＯ， Ｂ．电路中的电流 Ｉ随烟雾浓度 Ｃ的增大而增大 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 ＢＯ＝ＤＯ．测得 Ｃ，Ｄ两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上 Ａ，Ｂ两点之间的距 Ｃ．当报警器刚好开始报警时，烟雾浓度 Ｃ为７．５％ 队员 平均数 中位数 众数 方差 离．图中△ＡＯＢ与△ＣＯＤ全等的依据是 （Ｂ） Ｄ．若更换不同的定值电阻 Ｒ，使烟雾浓度 Ｃ为１０％时开始报警，应使替换后的定值电阻 Ｒ＝２０Ω 甲 ８．３ ８ ｎ ２．０１ Ａ．ＳＳＳ Ｂ．ＳＡＳ Ｃ．ＡＳＡ Ｄ．ＨＬ 乙 ８．３ ｍ ９ １．６１ 二、填空题（每小题３分，共１５分） １１．写出一个次数为５，系数为－２的单项式 ：－２ｘ２ｙ３（答案不唯一） ． 根据以上信息，回答下列问题： （１）写出表中 ｍ，ｎ的值：ｍ＝ ８．５ ，ｎ＝ ８ ． {ｘ≥－２， １２．（２０２５浙江）不等式组 的解集是 －２≤ｘ＜４ ． （２） 乙 队员在射击选拔赛中发挥得更稳定（填“甲”或“乙”）． ２ｘ－３＜５ （３）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请 图（１） 图（２） １３． !"# $%&’( （２０２５安徽）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为 ２０ｇ和 （第５题） （第６题） （第８题） 说明理由（写出一条合理的理由即可）． ７０ｇ的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为１０ｇ，２０ｇ，３０ｇ，４０ｇ的四件物品中，随机选取两件放置 ６．（２０２５甘肃）如图（１），三根木条 ａ，ｂ，ｃ相交成∠１＝８０°，∠２＝１１０°，固定木条 ｂ，ｃ，将木条 ａ绕点 Ａ顺 （１）８．５ ８ （４分） １ 时针转动至如图（２）所示，使木条 ａ与木条 ｂ平行，则可将木条 ａ旋转 （Ａ） 在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 ． （２）乙 （６分） ３ Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．６０° Ｄ．８０° （３）小瑜说的不对． （７分） ７．（２０２５甘肃）关于 ｘ的一元二次方程３ｘ２－６ｘ＋ｍ＝０有两个实数根，则 ｍ的取值范围是 （Ｂ） 理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相等，乙成绩的中位数和众数比甲高，故推荐乙队员参加比赛；甲、乙两人 Ａ．ｍ＜３ Ｂ．ｍ≤３ Ｃ．ｍ＞３ Ｄ．ｍ≥３ 射击成绩的平均数相等，乙成绩的方差小于甲的方差，发挥更稳定，故推荐乙队员参加比赛．（答案不唯一，写 ８．如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条制作了正方形木框 ＡＢＣＤ，并置于平面 出一条理由，且合理即可） （９分） 直角坐标系中，其中点 Ａ与原点 Ｏ重合，点 Ｂ，Ｄ分别在 ｘ轴、ｙ轴上．张老师利用四边形的不稳定性， １８．（９分）（２０２５山西）如图，在平面直角坐标系中，直线ＡＢ分别与ｘ轴，ｙ轴交于点Ａ，Ｂ，与反比例函数 将正方形木框压扁，得到四边形 ＡＢＣ′Ｄ′．若 Ｂ（１０，０），ＡＣ′＝８槡５，则点 Ｃ′的坐标为 （Ｄ） ｋ ｙ＝ （ｘ＞０）的图象交于点 Ｃ．已知点 Ａ的坐标为（－２，０），点 Ｃ的坐标为（１，６），点 Ｄ在反比例函数 Ａ．（１８，６） Ｂ．（１８，８） Ｃ．（１６，６） Ｄ．（１６，８） （第１３题） （第１４题） （第１５题） ｘ 河南中考４５套汇编·数学 ２３— １ 河南中考４５套汇编·数学 ２３— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２３— ３ 书书书ｋ ＡＢ ＡＭ ＡＢ ２Ｒ ＡＣ·ＡＢ ∴ｘ·ｔａｎ３７°＝（２６－ｘ）·ｔａｎ８．５°， （６分） ｙ＝ （ｘ＞０）的图象上，纵坐标为２． 所以 ＝ ，即 ＝ ，所以Ｒ＝ ． （９分） ｘ ＡＤ ＡＣ ＡＤ ＡＣ ２ＡＤ １３ １３ 解得ｘ≈ ，∴ＢＣ＝２６－２× ≈１７（米）． （１）求反比例函数的表达式，并直接写出点 Ｂ的坐标； ２０．（９分）（２０２５山西）项目学习 ３ ３ （２）连接 ＢＤ，ＯＤ，请求出四边形 ＡＢＤＯ的面积． 项目背景：如图（１），“源池泉涌”为某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外 答：内栏墙围成泉池的直径ＢＣ的长约为１７米． （９分） ２１．（９分）（２０２５烟台）２０２５年６月５日是第５４个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购 ｋ 栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外 （１）∵反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点Ｃ（１，６）， ｘ 买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买 １盏甲种路灯和 ２ 栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项 ｋ 目学习活动，形成了如下活动报告． 图（１） 盏乙种路灯共需２２０元，购买３盏甲种路灯比购买４盏乙种路灯的费用少１４０元． ∴６＝ ，∴ｋ＝６． （２分） １ （１）求甲、乙两种路灯的单价； 项目主题 景物的测量与计算 ６ ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （３分） １ ｘ 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 （２）该社区计划购买甲、乙两种路灯共 ４０盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 ，请通过 ３ 点Ｂ的坐标为（０，４）． （５分） 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 计算设计一种购买方案，使所需费用最少． ６ 图（２）为该景点俯视图的示意图，点Ａ，Ｄ是正八边形中一组平行边的中点，ＢＣ为圆的直径， （２）∵点Ｄ在反比例函数ｙ＝ 的图象上，纵坐标为２， （１）设甲、乙两种路灯的单价分别为ｘ元，ｙ元， ｘ 图中点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一条直线上． {ｘ＋２ｙ＝２２０， ６ 根据题意，得 ∴点Ｄ的横坐标为 ＝３， 图（３）为测量方案示意图，直径 ＢＣ所在水平直线与外栏墙分别交于点 Ｅ，Ｆ，外栏墙 ＡＥ与 ３ｘ＋１４０＝４ｙ， ２ ＤＦ均与水平地面垂直，且ＡＥ＝ＤＦ．ＢＥ，ＣＦ均表示步道的宽，ＢＥ＝ＣＦ．图中各点都在同一竖 {ｘ＝６０， １ １ １ １ ∴Ｓ ＝Ｓ ＋Ｓ ＝ ＢＯ·ＡＯ＋ ＢＯ·ｘ＝ ×４×２＋ ×４×３＝１０． （９分） 直平面内． 解得 四边形ＡＢＤＯ △ＡＯＢ △ＤＢＯ ２ ２ Ｄ ２ ２ ｙ＝８０． 方案 １９．（９分）（２０２５连云港改编）已知 ＡＤ是△ＡＢＣ的高，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆． 答：甲、乙两种路灯的单价分别为６０元、８０元． （４分） 说明 （２）设购买甲种路灯ｍ盏，则购买乙种路灯（４０－ｍ）盏， （１）请你在图（１）中用无刻度的直尺和圆规，作△ＡＢＣ的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）． 活动过程 １ ＡＣ·ＡＢ 根据题意，得ｍ≤ （４０－ｍ）， （２）如图（２），若⊙Ｏ的半径为 Ｒ，求证：Ｒ＝ ． ３ ２ＡＤ 解得ｍ≤１０． （６分） 俯视图的示意图 测量方案示意图 设所需费用为ｗ元， 图（２） 图（３） 根据题意，得ｗ＝６０ｍ＋８０（４０－ｍ）＝－２０ｍ＋３２００． 数据 在点Ａ处测得点Ｂ和点Ｃ的俯角分别为∠ＤＡＢ＝３７°，∠ＤＡＣ＝８．５°，ＡＤ＝２６米．图中墙的厚 ∵－２０＜０，ｍ≤１０， 测量 度均忽略不计． ∴当ｍ＝１０时，ｗ取得最小值，此时４０－ｍ＝４０－１０＝３０． 计算 … 答：购买甲种路灯１０盏，购买乙种路灯３０盏，可使所需费用最少． （９分） 图（１） 图（２） 交流展示 … ２２．（１０分）（２０２５浙江）已知抛物线 ｙ＝ｘ２－ａｘ＋５（ａ为常数）经过点（１，０）． （１）尺规作图如图（１）所示． （４分） 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径 ＢＣ的长（结果精确到 １米．参考数据：ｓｉｎ８．５°≈０．１５， （１）求 ａ的值． ｃｏｓ８．５°≈０．９９，ｔａｎ８．５°≈０．１５，ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５）． （２）过点 Ａ（０，ｔ）与 ｘ轴平行的直线交抛物线于 Ｂ，Ｃ两点，且点 Ｂ为线段 ＡＣ的中点，求 ｔ的值． 由题意得，∠ＡＥＦ＝９０°，四边形ＡＥＦＤ为矩形， （３）设 ｍ＜３＜ｎ，抛物线的一段 ｙ＝ｘ２－ａｘ＋５（ｍ≤ｘ≤ｎ）夹在两条均与 ｘ轴平行的直线 ｌ １ ，ｌ ２ 之间．若直 ∴ＥＦ＝ＡＤ＝２６，ＡＤ∥ＥＦ， 线 ｌ，ｌ之间的距离为１６，求 ｎ－ｍ的最大值． １ ２ ∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＢ＝３７°，∠ＡＣＥ＝∠ＤＡＣ＝８．５°． （２分） （１）把（１，０）代入ｙ＝ｘ２－ａｘ＋５， 设ＢＥ＝ＣＦ＝ｘ米，则ＣＥ＝（２６－ｘ）米，ＢＣ＝（２６－２ｘ）米． 得１－ａ＋５＝０，解得ａ＝６． （３分） ＡＥ （２）由（１）知二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５． 图（１） 图（２） 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∠ＡＥＢ＝９０°，ｔａｎ∠ＡＢＥ＝ ， ＢＥ 抛物线的对称轴为直线ｘ＝３． （２）证明：如图（２），连接ＡＯ并延长，交⊙Ｏ于点Ｍ，连接ＢＭ， ∴ＡＥ＝ＢＥ·ｔａｎ∠ＡＢＥ＝ｘ·ｔａｎ３７°． （４分） 因为点Ａ的坐标为（０，ｔ），且点Ｂ为线段ＡＣ的中点， 所以∠ＡＢＭ＝９０°，ＡＭ＝２Ｒ． ＡＥ 设点Ｂ（ｓ，ｔ），则点Ｃ（２ｓ，ｔ）． 在Ｒｔ△ＡＣＥ中，∠ＡＥＣ＝９０°，ｔａｎ∠ＡＣＥ＝ ， 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°＝∠ＡＢＭ． ＣＥ ｓ＋２ｓ 如图（１），由对称性可得 ＝３，解得ｓ＝２， 又因为∠ＡＣＢ＝∠ＡＭＢ，所以Ｒｔ△ＡＢＭ∽Ｒｔ△ＡＤＣ， ∴ＡＥ＝ＣＥ·ｔａｎ∠ＡＣＥ＝（２６－ｘ）·ｔａｎ８．５°， ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２３— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ２３— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ２３— ６ 书书书当ｓ＝２时，ｔ＝２２－６×２＋５＝－ （３）如图（２），因为ｙ＝ｘ２－６ 所以抛物线的顶点坐标为（ 因为抛物线的一段ｙ＝ｘ２－ 因为直线ｌ，ｌ １ ２ 所以要使ｎ－ｍ最大，则ｌ １ 此时ｌ为直线ｙ＝１２． ２ 当ｙ＝１２时，（ｘ－３）２－４＝１２， 解得ｘ＝－１，ｘ＝７， １ ２ 所以ｎ－ｍ的最大值为７－（－１）＝８． （１０分） ２３．（１０分）（２０２５山西）综合与探究 １６５ 问题情境：如图（１），在△ＡＢＣ纸片中，ＡＢ＞ＢＣ，点 Ｄ在边 ＡＢ上，ＡＤ＞ＢＤ．沿过点 Ｄ的直线折叠该纸 ② ５或 ． ３７ 片，使 ＤＢ的对应线段 ＤＢ′与 ＢＣ平行，且折痕与边 ＢＣ交于点 Ｅ，得到△ＤＢ′Ｅ，然后展平． 解法提示：∵∠Ｃ＝ 猜想证明： ∴ＡＣ＝槡ＡＢ２－ＢＣ２ （１）判断四边形 ＢＤＢ′Ｅ的形状，并说明理由． ３ 拓展延伸： ∴ｔａｎＡ＝ ，ｓｉｎＡ＝ ４ （２）如图（２），继续沿过点Ｄ的直线折叠该纸片，使点Ａ的对应点Ａ′落在射线ＤＢ′上，且折痕与边ＡＣ 设ＡＣ与ＤＡ′ 交于点 Ｆ，然后展平．连接 Ａ′Ｅ交边 ＡＣ于点 Ｇ，连接 Ａ′Ｆ． ①若 ＡＤ＝２ＢＤ，判断 ＤＥ与 Ａ′Ｅ的位置关系，并说明理由； 由折叠可知Ａ′Ｆ＝ ②若∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１５，ＢＣ＝９，当△Ａ′ＦＧ是以 Ａ′Ｆ为腰的等腰三角形时，请直接写出 Ａ′Ｆ的长． ∴可设ＦＭ＝３ｍ， ∴ＡＭ＝ＡＦ＋ＦＭ＝８ ∴ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝１５ 在菱形ＢＤＢ′Ｅ中， ∵ＤＢ′∥ＢＥ，∴△ 图（１） 图（２） 备用图  ＥＣ ＣＧ （１）四边形ＢＤＢ′Ｅ是菱形． （１分） △Ａ′ＦＧ是以Ａ′Ｆ为腰的等腰三角形，可分Ａ′Ｆ＝ＧＦ和Ａ′Ｆ＝Ａ′Ｇ两种情况讨论． 理由如下：由折叠可知，Ｂ′Ｄ＝ＢＤ，Ｂ′Ｅ＝ＢＥ， ａ．当Ａ′Ｆ＝ＧＦ时，如图（２），ＭＧ＝ＦＧ－ＦＭ＝Ａ′Ｆ－ＦＭ＝２ｍ，∴ＣＧ＝ＡＣ－ＡＭ－ＭＧ＝１２－１０ｍ． ∠Ｂ′ＤＥ＝∠ＢＤＥ． ４ｍ ２ｍ 此时 ＝ ，∴ｍ＝１，∴Ａ′Ｆ＝５ｍ＝５． ∵ＤＢ′∥ＢＣ，∴∠Ｂ′ＤＥ＝∠ＢＥＤ， １０ｍ－６ １２－１０ｍ 河南中考４５套汇编·数学 ２３— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ２３— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ２３— ９!# ２０２５年全国中考真题改编河南模式试卷（二） 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．（２０２５广西）５的相反数是 （Ａ） Ａ．－５ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．５ ２．如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面上的字是 （Ｃ） Ａ．感 Ｂ．悟 Ｃ．数 Ｄ．学 （第２题） （第６题） （第８题） （第９题） ３．（２０２５浙江改编）国家税务总局发布的数据显示，２０２４年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政 策减税降费及退税达２６２９３亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将“２６２９３亿” 用科学记数法表示为 （Ｂ） Ａ．２６．２９３×１０１１ Ｂ．２．６２９３×１０１２ Ｃ．０．２６２９３×１０１３ Ｄ．２．６２９３×１０１３ ４．（２０２５江西）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的 学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是 （Ｄ） Ａ．随机抽取城区三分之一的学校 Ｂ．随机抽取乡村三分之一的学校 Ｃ．调查全体学校 Ｄ．随机抽取三分之一的学校 ５．（２０２５安徽）下列计算正确的是 （Ｂ） Ａ．槡（－ａ）２＝－ａ Ｂ．槡 ３ （－ａ）３＝－ａ Ｃ．ａ３·（－ａ）２＝ａ６ Ｄ．（－ａ２）３＝ａ６ ６．（２０２５福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中 点 Ａ，Ｅ，Ｃ，Ｆ在同一条直线上，∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ＝９０°，∠Ｂ＝４５°，∠ＤＥＦ＝６０°．当 ＡＤ∥ＢＣ时，∠ＡＤＥ的 大小为 （Ｂ） Ａ．５° Ｂ．１５° Ｃ．２５° Ｄ．３５° ７．（２０２５新疆）若关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－２ｘ＋ａ＝０无实数根，则实数 ａ的取值范围是 （Ｂ） Ａ．ａ＜１ Ｂ．ａ＞１ Ｃ．ａ≤１ Ｄ．ａ≥１ ８．（２０２５陕西）如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为４，点 Ｅ为 ＡＢ的中点，点 Ｆ在 ＡＤ上，ＥＦ⊥ＥＣ，则△ＣＥＦ的 面积为 （Ｃ） Ａ．１０ Ｂ．８ Ｃ．５ Ｄ．４ ９．（原创）如图，半圆 Ｏ的半径为４，ＡＢ是直径，点 Ｃ在半圆 Ｏ上，连接 ＢＣ，Ｄ为 ＢＣ 河南中考４５套汇编·数学 ２４— １ 河南中考４５套汇编·数学 ２４— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２４— ３ ) １０．（２０２５甘肃）如图（１），在等腰直角三角形ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ为边ＡＢ的中点．动点Ｐ从点Ａ出发， １ ｘ－１ （ｘ－１）２ （２）原式＝ ＋ ÷ ｘ－１ｘ＋２（ｘ＋２）（ｘ－２） 沿边 ＡＣ→ＣＢ方向匀速运动，运动到点 Ｂ时停止．设点 Ｐ的运动路程为 ｘ，△ＡＰＤ的面积为 ｙ，ｙ与 ｘ的函 １ ｘ－１（ｘ＋２）（ｘ－２） 数图象如图（２）所示，当点 Ｐ运动到 ＣＢ的中点时，ＰＤ的长为 （Ａ） ＝ ＋ × （３分） ｘ－１ｘ＋２ （ｘ－１）２ １ ｘ－２ ＝ ＋ ｘ－１ｘ－１ ＝１． （５分） １７．（９分）（２０２５江西）某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的 图（１） 图（２） 口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩 Ａ．２ Ｂ．２．５ Ｃ．２槡２ Ｄ．４ 咖啡３０毫升和牛奶１５０毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案 Ａ：１０毫升；方案 Ｂ：３０毫 二、填空题（每小题３分，共１５分） 升；方案 Ｃ：５０毫升），并从３００位品尝嘉宾中随机抽取 １０位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评 １１．（２０２５福建）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重 分（以１至１０的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 增加１．５ｋｇ记作＋１．５，那么体重减少１ｋｇ应记作 －１ ． 数据处理 １２．（２０２５陕西）生活中常按图（１）的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图 根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． （２），第１个图案用了３个矩形，第２个图案用了５个矩形，第３个图案用了７个矩形……则第１０个图案 三个方案整体口感评分折线图 需要用的矩形的个数为 ２１ ． … 图（１） 图（２） １３．（２０２５河北）平行四边形的一组邻边长分别为 ３，４，一条对角线长为 ｎ．若 ｎ为整数，则 ｎ的值可以为 图（１） ２（答案不唯一，２，３，４，５，６均可） ．（写出一个即可） １４．（２０２５烟台）如图，正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的边长为 ４，中心为点 Ｏ，以点 Ｏ为圆心，ＡＢ长为半径作圆心角为 １６π １２０°的扇形，则图中阴影部分的面积为 －８槡３ ． ３ 数据应用 图（２） （１）在表１中，ｍ＝ ２．４ ，ｎ＝ ５ ． 请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎． （第１４题） （第１５题） （２）结合图（１），估计３００位嘉宾在三个方案中最喜爱方案 Ｃ的人数． １５．（原创）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，点 Ｍ是射线 ＢＡ上一动点，作直线 ＭＤ．作△ＢＣＭ关于直线 （３）补全图（２），并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． ＭＣ的对称图形，得到△Ｂ′ＣＭ．当点 Ｂ的对应点 Ｂ′恰好落在直线 ＭＤ上时，ＢＭ的值为 ２或８ ． （１）２．４ ５ （２分） 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） 方案Ｂ最受欢迎． 的中点，延长 ＡＢ交 １ ｘ－１（ｘ－１）２ １６．（１０分）（１）（２０２５湖北）计算：｜－６｜－ 槡２× 槡８＋２２． （２）（２０２５甘肃）化简： ＋ ÷ ． 理由：方案Ｂ整体口感评分的平均数最大或中位数最大． （３分） ⊙Ｏ的切线 ＤＥ于点 Ｅ．若 ＢＣ＝６，则 ＤＥ的长度为 （Ｄ） ｘ－１ｘ＋２ ｘ２－４ （２）１０位评分嘉宾中，有３人对方案Ｃ的评分最高，即１０人中有３人最喜爱方案Ｃ，所以３００位嘉宾中，最喜 ２４槡７ １２槡７ （１）原式＝６－４＋４ （３分） ３ Ａ．２槡７ Ｂ．３槡７ Ｃ． Ｄ． 爱方案Ｃ的人数为３００× ＝９０（人）． （６分） ７ ７ ＝６． （５分） １０（３）补全图（２ （７分） １９．（９分）（２０２５新疆）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ是对角线． （１）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 ＢＤ的垂直平分线，垂足为点 Ｏ，与边 ＡＤ，ＢＣ分别交于点 Ｅ，Ｆ（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图 痕迹用黑色签字笔描黑）； （２）在（１）的条件下，连接 ＢＥ，ＤＦ，求证：四边形 ＢＦＤＥ为菱形． （１）如图（１），直线ＥＦ即为所求． （４分） （２）证明：如图（２）．∵直线ＥＦ是线段ＢＤ的垂直平分线， ∴ＢＥ＝ＤＥ，ＢＦ＝ＤＦ，ＯＢ＝ＯＤ． 设ＢＥ＝ｘ海里． １ ∵ＡＤ∥ＢＣ， 依题意，得∠ＥＢＣ＝５３°，∠ＥＢＤ＝４５°，ＣＤ＝１０× ＝５（海里）， ２ 分析二：随着糖浆的加入量增加，甜度增加，饮品整体口感在一定程度上变好但是糖浆的加入量过多，又会使 ∴∠ＥＤＯ＝∠ＦＢＯ． ∴∠Ｃ＝９０°－∠ＥＢＣ＝３７°，ＥＤ＝ＢＥ＝ｘ海里， 得饮品整体口感变差． 又∵∠ＤＯＥ＝∠ＢＯＦ，ＯＤ＝ＯＢ， ∴ＥＣ＝ＥＤ＋ＣＤ＝（ｘ＋５）（海里）． （２分） 分析三：糖浆的加入量使得甜度和整体口感达到平衡时，饮品口味最受欢迎． （９分） ∴△ＯＤＥ≌△ＯＢＦ（ＡＳＡ）， （７分） ＢＥ （说明：分析合理即可给分） ∴ＤＥ＝ＢＦ， 在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ｔａｎＣ＝ ，∠Ｃ＝３７°， ＥＣ ｋ ∴ＢＥ＝ＤＥ＝ＢＦ＝ＤＦ， １８．（９分）（原创）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，一次函数 ｙ＝ａｘ＋３的图象与反比例函数 ｙ＝ 的图 ｘ １ ２ ｘ ∴四边形ＢＦＤＥ为菱形． （９分） ∴ ≈０．７５，解得ｘ≈１５． ｘ＋５ 象交于点Ａ，Ｂ，与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ｃ（－４，０），Ｄ，点Ｅ在第一象限，点Ｆ是ｘ轴正半轴上一点，菱 故渔船在航行过程中到灯塔Ｂ的最短距离约为１５海里． （４分） ＤＧ ３ 形 ＣＤＥＦ的边 ＤＥ与反比例函数的图象交于点 Ｇ，且 ＝ ． （２）在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∠ＡＢＥ＝１４°，ＢＥ＝１５海里， ＥＧ ２ ∴ＡＥ＝ＢＥｔａｎ１４°≈１５×０．２５＝３．７５（海里）， （１）求 ａ的值和反比例函数的表达式； ∴ＡＣ＝ＡＥ＋ＤＥ＋ＣＤ＝３．７５＋１５＋５＝２３．７５（海里）， （２）若 ｙ＞ｙ，请直接写出自变量 ｘ的取值范围； １ ２ ２３．７５÷１０＝２．３７５（小时）＝１４２．５（分钟）， （７分） ｋ 图（１） 图（２） （３）若点Ｐ是反比例函数ｙ＝ 图象上一点，且Ｓ ＝Ｓ ，求点Ｐ的 从１４：３０经过１４２．５分钟是１６：５２：３０，能在１７：３０之前到达， ２ ｘ △ＥＯＦ △ＰＣＯ ２０．（９分）（２０２５烟台）【综合与实践】 ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头Ａ． （９分） 坐标． 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业 ２１．（９分） !"# $%&’()*+, （２０２５连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸 （１）∵点Ｃ（－４，０）在一次函数ｙ＝ａｘ＋３的图象上， １ 情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． ３ ∴－４ａ＋３＝０，解得ａ＝ ． （２分） 如图（１），一艘渔船自东向西以每小时１０海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： ４ （１）现用２００张正方形硬纸片和４００张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ ３ 如图（２），码头Ａ在灯塔Ｂ北偏西１４°方向． （２）如果需要制作１００个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需 对于ｙ＝ ｘ＋３，当ｘ＝０时，ｙ＝３，∴Ｄ（０，３）， １ ４ １ 位置信息 １４：３０时，渔船航行至灯塔Ｂ北偏东５３°方向的Ｃ处． 要多少张正方形硬纸片？ ∴ＣＤ＝槡ＯＣ２＋ＯＤ２＝５． １５：００时，渔船航行至灯塔Ｂ东北方向的Ｄ处． ∵四边形ＣＤＥＦ是菱形， 天气预警 受暖湿气流影响，今天１７：３０到夜间，码头Ａ附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． ∴ＤＥ＝ＣＤ＝５，ＤＥ∥ｘ轴． ＤＧ ３ 请根据以上信息，解答下列问题： 又∵ ＝ ， ＥＧ ２ （１）求渔船在航行过程中到灯塔 Ｂ的最短距离； ∴Ｇ（３，３），∴ｋ＝３×３＝９， （１）设恰好能制作甲种纸盒ｘ个，乙种纸盒ｙ个． （２）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头 Ａ（参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０， ９ ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ ． （４分） ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５，ｓｉｎ１４°≈０．２４，ｃｏｓ１４°≈０．９７，ｔａｎ１４°≈０．２５）． {ｘ＋２ｙ＝２００， {ｘ＝４０， ２ ｘ 根据题意，得 解这个方程组，得 ４ｘ＋３ｙ＝４００， ｙ＝８０． （２）－６＜ｘ＜０或ｘ＞２． （６分） 答：恰好能制作甲种纸盒４０个，乙种纸盒８０个． （４分） （３）由（１）知ＣＦ＝５，ＣＯ＝４，∴ＯＦ＝１， （２）设制作乙种纸盒ｍ个，需要ｗ张正方形硬纸片． １ ３ ∴Ｓ ＝ ＯＦ·ＯＤ＝ ， 则ｗ＝２ｍ＋（１００－ｍ）＝１００＋ｍ． （５分） △ＥＯＦ ２ ２ 由ｋ＝１＞０，知ｗ随ｍ的增大而增大， １ ３ ∴Ｓ ＝ ＣＯ·｜ｙ｜＝２｜ｙ｜＝Ｓ ＝ ， △ＰＣＯ ２ Ｐ Ｐ △ＥＯＦ ２ 所以当ｍ最小时，ｍ有最小值． １ １００ ３ ∴ｙ＝± ， 根据题意，得ｍ≥ （１００－ｍ），解得ｍ≥ ，其中最小整数解为３４． （８分） Ｐ ４ ２ ３ ３ ３ 图（１） 图（２） 即当ｍ＝３４时，ｗ＝１００＋３４＝１３４． ∴Ｐ（１２， ）或（－１２，－ ）． （９分） ４ ４ （１）如图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ于点Ｅ． 答：至少需要１３４张正方形硬纸片． （９分） 河南中考４５套汇编·数学 ２４— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ２４— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ２４— ６（３）６ｃｍ． （１０分） ∴ＰＮ＝ＭＮ． ２２．（１０分） !"# -./0123456 （２０２５山西）综合与实践 解法提示：点Ｂ到起跳点的水平距离为８０ｃｍ，点Ｃ到起跳点的水平距离为８０＋４０＝１２０（ｃｍ）． ∵∠ＰＣＮ＝９０°，∴ＰＣ２＋ＣＮ２＝ＰＮ２， 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我 ３ ∴ＢＭ２＋ＣＮ２＝ＭＮ２， 国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出 对于ｙ＝－ （ｘ－８０）２＋６０，当ｘ＝８０时，ｙ＝６０， ３２０ ∴点Ｍ，Ｎ是线段ＢＣ的勾股分割点． （８分） 了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青 当ｘ＝１２０时，ｙ＝４５． 蛙腾空阶段的运动路线相吻合． （３）ＣＤ的长为１４槡２－１４或１４＋１４槡２． （１０分） ６０－５７＝３，４５＜４８． 解法提示：分两种情况讨论． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平 ∵４８＋３－４５＝６（ｃｍ），∴抛物线需向上平移６ｃｍ，故平台的高度为６ｃｍ． ①当点Ｐ在劣弧ＡＢ上时，如图（２），连接ＰＣ，ＰＤ，在⊙Ｏ上取一点Ｋ，连接ＫＡ，ＫＢ． 地面上，其运动路线的最高点距地面６０ｃｍ，起跳点与落地点的距离为１６０ｃｍ． ２３．（１０分） !78 9:;<=>? （原创）【新知引入】定义：如图（１），点 Ｍ，Ｎ把线段 ＡＢ分割成 数学建模：如图（１），将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 Ｎ，对称轴为直线 ｌ，仿青 ＡＭ，ＭＮ和ＢＮ，若以ＡＭ，ＭＮ，ＢＮ为边的三角形是一个直角三角形，则称点Ｍ，Ｎ是线段ＡＢ的勾股分割点． 蛙机器人在水平地面上的起跳点为Ｏ，落地点为Ｍ．以Ｏ为原点，ＯＭ所在直线为ｘ轴，过点Ｏ与ＯＭ （１）已知点 Ｍ，Ｎ是线段 ＡＢ的勾股分割点，若 ＡＭ＝３，ＭＮ＝５，则 ＢＮ＝ ４或槡３４ ． 所在水平地面垂直的直线为 ｙ轴，建立平面直角坐标系． 【探究证明】 （１）请直接写出顶点 Ｎ的坐标，并求该抛物线的函数表达式． （２）如图（２），在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｍ，Ｎ在线段ＢＣ上，且∠ＭＡＮ＝４５°．求证：点Ｍ，Ｎ是线段 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． ＢＣ的勾股分割点． （２）如图（１），若仿青蛙机器人从点 Ｏ正上方的点 Ｐ处起跳，落地点为 Ｑ，点 Ｐ的坐标为（０，７５），点 图（２） 【拓展应用】 Ｑ在 ｘ轴的正半轴上．求起跳点 Ｐ与落地点 Ｑ的水平距离 ＯＱ的长． （３）如图（３），在⊙Ｏ中，圆心角∠ＡＯＢ＝９０°，Ｐ是⊙Ｏ上一动点，连接 ＡＢ，ＰＡ，ＰＢ，分别作 ＰＡ，ＰＢ的垂直 ∵∠ＡＯＢ＝９０°，∴∠  Ａ  Ｋ  Ｂ＝  ４  ５°!,-$./012+， （３）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 ∴∠ＡＰＢ＝１８０°－∠ＡＫＢ＝１３５°!,-$.34567809:+． 平分线，分别交直线 ＡＢ于点 Ｃ，Ｄ，已知 ＡＢ＝１４，当△ＡＢＰ是以 ＡＢ为底边的等腰三角形时，请直接写  ３ｃｍ，才能安全通过．如图（２），水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ＡＢＣＤ，其中∠ＡＢＣ＝ ∵ＰＡ，ＰＢ的垂直平分线分别交ＡＢ于点Ｃ，Ｄ， 出线段 ＣＤ的长． ∠ＢＣＤ＝９０°，ＡＢ＝５７ｃｍ，ＢＣ＝４０ｃｍ，ＣＤ＝４８ｃｍ．仿青蛙机器人从距离 ＡＢ左侧 ８０ｃｍ处的地面 ∴ＡＣ＝ＰＣ，ＰＤ＝ＢＤ!,-$;<=>?@;AB"C;?@;AB"C;0&)*W(+，∴ ＝ ＝ ． （７分）  ＮＥ ＯＤ ２ ∴∠ＤＣＥ＝∠ＡＤＣ－∠Ｅ＝７０°－４０°＝３０°． （４分） 结合函数图象可知，当ｙ＜ｙ时，１２＜ｘ＜２４． １ ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２５— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ２５— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ２５— ６２２．（１０分） !78 4RST6UVLJ 已知抛物线 Ｃ １ ：ｙ＝－ｘ２＋２ｂｘ＋２（ｂ≥０）． 解得ｂ＝ １ ，ｂ＝－ ７ （舍去）． １ ２ ２ ２ （１）小明发现当 ｂ取不同的值时，抛物线 Ｃ 的顶点在抛物线 Ｃ 的一部 １ ２ １ 分上运动，请直接写出抛物线 Ｃ 的表达式，并在如图所示的平面直 当ｂ＝ 时，ｘ２－４ｘ＋４＝０，解得ｘ＝ｘ＝２，符合题意． （８分） ２ ２ １ ２ 角坐标系中画出抛物线 Ｃ． ２ ２ 当抛物线Ｃ经过点Ｂ时，由①，得ｂ＝ ． ２ １ ３ （２）已知点 Ａ（ ，４），Ｂ（３，－３）． ３ ２ 当抛物线Ｃ经过点Ａ时，将Ａ（ ，４）代入ｙ＝－ｘ２＋２ｂｘ＋２， ①当抛物线 Ｃ经过点 Ｂ时，求 ｂ的值，并通过计算判断此时点 Ａ在 １ ３ １ 抛物线 Ｃ 的上方还是下方． １ ４ ４ １１ 得４＝－ ＋ ｂ＋２，解得ｂ＝ ． （９分） ②若抛物线Ｃ与线段ＡＢ只有一个交点，求ｂ的取值范围． ９ ３ ６ １ （１）抛物线Ｃ的表达式为ｙ＝ｘ２＋２． （１分） １ ２ １１ ２ 结合图象分析可知，若抛物线Ｃ与线段ＡＢ只有一个交点，则ｂ的取值范围是ｂ＝ 或 ＜ｂ≤ ． （１０分） １ ２ ３ ６ 抛物线Ｃ如图（１）所示． （３分） ２ ． 图（１） 图（２） ． ２ ２３．（１０分） !"# W9XYZU[\ （２０２５陕西改编）问题探究 （２）①将Ｂ（３，－３）代入ｙ＝－ｘ２＋２ｂｘ＋２，得－３＝－９＋６ｂ＋２，解得ｂ＝ ， （４分） ３ （７分） （１）如图（１），在△ＡＢＣ中，请画出一个ＢＤＥＦ，使得点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ上． ４ ∴抛物线Ｃ的表达式为ｙ＝－ｘ２＋ ｘ＋２． （２）如图（２），在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，Ｐ为矩形 ＡＢＣＤ内一点，且满足 Ｓ ＝９，求△ＢＰＣ周长的 １ ３ △ＢＰＣ 最小值． ４ ２ ２２ 对于ｙ＝－ｘ２＋ ｘ＋２，当ｘ＝ 时，ｙ＝ ． （５分） ３ ３ ９ 问题解决 ２２ （３）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址 ∵ ＜４， ９ 修建一条笔直的步道及一个观景台．如图（３）所示，△ＡＢＣ区域为草地，线段 ＢＣ为花海边沿，点 Ａ为 ∴当抛物线Ｃ经过点Ｂ时，点Ａ在抛物线Ｃ的上方． （６分） １ １ 游客服务中心，线段 ＰＱ为步道，点Ｐ和点Ｑ为步道口，点Ｏ为观景台．按照设计要求，点Ｐ，Ｑ分别在 ②设直线ＡＢ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｃ． 边 ＡＢ，ＡＣ上，且满足 ＢＰ∶ＡＱ＝２∶３，Ｏ为 ＰＱ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠ＢＯＣ ２ 将Ａ（ ，４），Ｂ（３，－３）分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｃ， 最大． ３ 已知 ＡＢ＝１２０ｍ，ＡＣ＝ＢＣ＝１８０ｍ，请你帮助公园管理部门确定观景台 Ｏ的位置（在图中画出符合条 {２ ｋ＋ｃ＝４， {ｋ＝－３， 得 ３ 解得 件的点）． ），此时 ｃ＝６， （１０分） ３ｋ＋ｃ＝－３， ∴直线ＡＢ的表达式为ｙ＝－３ｘ＋６． （７分） 由题意知抛物线Ｃ开口向下，且其顶点在抛物线Ｃ位于ｙ轴及ｙ轴右侧的部分上运动． １ ２ 当抛物线Ｃ与直线ＡＢ只有一个交点时，如图（２）． １ 令－ｘ２＋２ｂｘ＋２＝－３ｘ＋６，整理，得ｘ２－（２ｂ＋３）ｘ＋４＝０， 图（１） 图（２） 图（３） 备用图 ∴Δ＝［－（２ｂ＋３）］２－４×１×４＝０，∴４ｂ２＋１２ｂ－７＝０， （１）ＢＤＥＦ如图（１）所示． （２分） 河南中考４５套汇编·数学 ２５— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ２５— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ２５— ９８．（２０２５浙江）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３５°，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线，以点Ｃ为圆心，ＣＤ长为半径作弧，与 !" ２０２５年全国中考真题改编河南模式试卷（四） ＡＢ的另一个交点为点 Ｅ．若 ＡＢ＝２，则 ＤＥ 数 学 （满分１２０分，考试时间１００分钟） 一、选择题（每小题３分，共３０分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） １．（２０２５连云港）－５的绝对值是 （Ａ） １ Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ． Ｄ．槡５ ５ ２．（２０２５福建）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种 文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图 形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是 （Ｄ） ３．（原创）如图，点 Ｂ在点 Ａ的北偏西５０°方向，则点 Ａ在点 Ｂ的 （Ｂ） Ａ．南偏东４０°方向 Ｂ．南偏东５０°方向 Ｃ．南偏西４０°方向 Ｄ．南偏西５０°方向 （第３题） （第８题） ４． !"# $%&’ （原创）《孙子算经》中记载：“八八六十四，自相乘，得……”将其大意用数式 表示为（８×８）×（８×８），下列表示其结果不正确的是 （Ｂ） Ａ．８４ Ｂ．２７ Ｃ．２１２ Ｄ．４６ ５．（原创）下列计算正确的是 （Ｄ） Ａ．槡（－７）２＝－７ Ｂ．｜１－ 槡２｜＝１－ 槡２ ２ｍ ２ ｍ ｍ２ ｎ２ Ｃ． － ＝－２ Ｄ． ÷ ＝ ｍ－１ｍ－１ ５ｎｎ３ ５ｍ ６．（２０２５重庆）某景区２０２２年接待游客２５万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 ２０２４年接待游客 达到３６万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 （Ｂ） Ａ．１０％ Ｂ．２０％ Ｃ．２２％ Ｄ．４４％ ７．（２０２５福建）在分别写有－１，１，２的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为 相反数的概率是 （Ｂ） １ １ １ ２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４ ３ ２ ３ 河南中考４５套汇编·数学 ２６— １ 河南中考４５套汇编·数学 ２６— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２６— ３ 书书书 ) １４．（２０２５福建改编）已知点 Ａ（－２，ｙ），Ｂ（１，ｙ）在抛物线 ｙ＝３ｘ２＋ｂｘ＋１上，若３＜ｂ＜４，则 １，ｙ，ｙ的大小 １ ２ １ ２ 关系为 １＜ｙ＜ｙ ．（用“＜”连接） 的长为 （Ｂ） １ ２ １５．（原创）如图，菱形 ＡＢＣＤ中，点 Ｐ为对角线 ＢＤ上一动点，作△ＡＤＰ关于 ＡＰ的对称图形，得到 １ ２ １１ ７ Ａ． π Ｂ． π Ｃ． π Ｄ． π ９ ９ ３６ １８ △ＡＱＰ，点 Ｄ的对应点为点 Ｑ，射线 ＰＱ与菱形 ＡＢＣＤ的边交于点 Ｍ．若 ＡＢ＝５，ＢＤ＝６，则当点 Ｐ为 ６８ ３４ ９． !"# (%)*+ （原创）容积式压缩机是依靠压缩腔的内部容积缩小来提高气体或蒸气压力的 ＢＤ的三等分点时，ＰＭ的长为 或 ．（温馨提示：３８２＝１４４４） ２１ ２１ 压缩机，是压缩机的一类，主要应用于工业生产领域．在某容器中压缩一定质量气体的过程中，气体的密度 三、解答题（本大题共８个小题，共７５分） ｍ ρ（单位：ｋｇ／ｍ３）与气体的体积Ｖ（单位：ｍ３）是反比例函数关系（即ρ＝ ，其中ｍ是气体的质量），图象如图所 {２ｘ＋３≥－５， Ｖ １ １６．（１０分）（１）（２０２５江西）计算：｜－３｜＋（ ）０－（－１）． （２）（２０２５甘肃）解不等式组： ｘ＋４ 示，则下列结论中错误的是 （Ｄ） ２ ｘ－２＜ ． ３ Ａ．该容器中的气体质量为１２ｋｇ Ｂ．该容器内气体的密度ρ随着气体的体积Ｖ的增大而减小 （１）原式＝３＋１＋１ （３分） Ｃ．当 Ｖ＝８ｍ３时，ρ＝１．５ｋｇ／ｍ３ Ｄ．当 ρ≤５ｋｇ／ｍ３时，Ｖ≥２．５ｍ３ ＝５． （５分） {２ｘ＋３≥－５，① （２） ｘ＋４ ｘ－２＜ ．② ３ 解不等式①，得ｘ≥－４， （２分） （第９题） （第１０题） 解不等式②，得ｘ＜５， （４分） １０．（２０２５安徽）在如图所示的ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｇ分别为边 ＡＤ，ＢＣ的中点，点 Ｆ，Ｈ分别在边 ＡＢ，ＣＤ上移动 ∴不等式组的解集为－４≤ｘ＜５． （５分） （不与端点重合），且满足 ＡＦ＝ＣＨ，则下列为定值的是 （Ｃ） １７．（９分）（２０２５重庆改编）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取 ２０名学生 Ａ．四边形 ＥＦＧＨ的周长 Ｂ．∠ＥＦＧ的大小 的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于 ６０分，用 ｘ表示，共分 Ｃ．四边形 ＥＦＧＨ的面积 Ｄ．线段 ＦＨ的长 四组：Ａ．９０≤ｘ＜１００；Ｂ．８０≤ｘ＜９０；Ｃ．７０≤ｘ＜８０；Ｄ．６０≤ｘ＜７０），下面给出了部分信息： 二、填空题（每小题３分，共１５分） 七年级２０名学生竞赛成绩在 Ｂ组中的数据是８３，８４，８４，８４，８５，８７，８８． １１．若△ＡＢＣ的周长为２０，ＡＢ＝ＡＣ，则 ＢＣ边的长可能是 ５（答案不唯一，０＜ＢＣ＜１０即可） （写出一个即可）． 八年级２０名学生竞赛成绩是６２，６３，６５，７１，７２，７２，７５，７８，８１，８２，８４，８６，８６，８６，８９，９６，９７，９８，９８，９９． １２．（原创）某市绿化部门对某条街道的５块绿化带进行新品种月季花种苗的试种，每块绿化带试种 １００棵． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 各绿化带新品种月季花种苗的成活数量如下表： 年级 七年级 八年级 绿化带 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 平均数 ８２ ８２ 成活数量／棵 ８５ ９０ ８３ ９２ ９０ 中位数 ａ ８３ 若该绿化部门购进１万棵新品种月季花种苗并全部种植，则约有 ８８００ 棵能够成活． 众数 ８４ ｂ １３．（２０２５广西改编）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ＡＢＣＤＥＦＧ的所有线段均与 ｘ轴平行或垂直， 根据以上信息，解答下列问题： ｋ ３ 且满足 ＢＣ＝ＤＥ＝ＦＧ＝１，点 Ａ，Ｃ，Ｅ，Ｇ均在双曲线 ｙ＝ 的一支上．若点 Ａ的坐标为（４， ），则第三级阶梯 ｘ ２ （１）上述图表中 ａ＝ ８４ ，ｂ＝ ８６ ，ｍ＝ ３０ ． 的高 ＥＦ＝ ３ ． （２）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由 （写出一条理由即可）． （１）８４ ８６ ３０ （６分） 解法提示：七年级２０名学生竞赛成绩在Ｄ组中的数据有２０×１０％＝２（个），在Ｃ组中的数据有２０×２５％＝５（个）． ∵七年级竞赛成绩的数据从小到大排列后的第１０和１１个数据是８４，８４，∴ａ＝８４． ∵八年级２０名学生竞赛成绩的数据中出现次数最多的是８６，∴ｂ＝８６． （第１３题） （第１５题） ∵七年级２０名学生竞赛成绩在Ｂ组中的数据共７个，７ 如图，分别过点Ｄ，Ｅ作ＡＣ的垂线，垂足分别为Ｇ，Ｈ，则四边形ＤＥＨＧ是矩形． 设ＯＡ＝ＯＦ＝ｘ，则ＯＥ＝ｘ－４． ∴ｍ％＝１－１０％－２５％－ ＝３０％，∴ｍ＝３０． ２０ 由题意可得∠ＤＢＧ＝β＝７２．５°． ∵在Ｒｔ△ＡＯＥ中，ＯＡ２＝ＡＥ２＋ＯＥ２， （２）答案一：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好． （７分） 在Ｒｔ△ＢＤＧ中，ＤＧ＝ＢＤｓｉｎ７２．５°≈２２×０．９５＝２０．９（ｍ），ＢＧ＝ＢＤｃｏｓ７２．５°≈２２×０．３０＝６．６（ｍ）， ∴ｘ２＝６２＋（ｘ－４）２!/0$123456-.789:&;<*，  理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛成绩的平均数都是８２，但七年级竞赛成绩的中位数８４大于八年 ∴ＥＨ＝ＤＧ＝２０．９ｍ． （５分） １３ １３ 解得ｘ＝ ，∴⊙Ｏ的半径为 ． （９分） ２ ２ 级竞赛成绩的中位数８３，所以该校七年级学生航天知识竞赛成绩较好． （９分） 在Ｒｔ△ＡＥＨ中，∠ＡＥＨ＝４５°，∴ＡＨ＝ＥＨ＝２０．９ｍ． ２１．（９分）（原创）洛阳龙门石窟景区内某文创商店准备售卖 Ａ，Ｂ两种文创产品．如图是店里的一张进 答案二：该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好． （７分） ∵ＨＧ＝ＤＥ＝１．７ｍ， 货单（墨迹覆盖了部分数据）： 理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛成绩的平均数都是８２，但八年级竞赛成绩的众数８６大于七年级 ∴ＡＢ＝ＡＧ－ＢＧ＝ＡＨ＋ＨＧ－ＢＧ≈２０．９＋１．７－６．６＝１６（ｍ）． 竞赛成绩的众数８４，所以该校八年级学生航天知识竞赛成绩较好． （９分） 进货单 答：信号杆ＡＢ的高约为１６ｍ （９分） １８．（９分）（２０２５烟台）如图，ＢＤ是矩形 ＡＢＣＤ的对角线，请按以下要求解决问题： 序号 规格 单位 数量 单价 金额 １ Ａ款 件 ４０００ （１）利用尺规作△ＢＥＤ，使△ＢＥＤ与△ＢＣＤ关于直线 ＢＤ成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； ２ Ｂ款 件 ３２５０ （２）在（１）的条件下，若 ＢＥ交 ＡＤ于点 Ｆ，ＡＢ＝１，ＢＣ＝２，求 ＡＦ的长． 店员说：“这次进货，Ｂ款文创产品的单价比 Ａ款文创产品的单价少 １５元，Ａ，Ｂ两款文创产品的数 量相同．” 请你解决下列问题． ２０．（９分）（２０２５湖北）如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，∠ＢＡＣ＝４５°．过点 Ｏ作 ＤＦ⊥ＡＢ，垂足为 Ｅ，交 ＡＣ于点 （１）求 Ａ，Ｂ两款文创产品的进货单价各是多少元． Ｄ，交⊙Ｏ于点 Ｆ．过点 Ｆ作⊙Ｏ的切线，交 ＣＡ的延长线于点 Ｇ． （２）已知 Ａ款文创产品每件的售价为 １００元，Ｂ款文创产品每件的售价为 ８０元．根据市场需求，该 （１）求证：ＦＤ＝ＦＧ； （１）如图，△ＢＥＤ即为所求作的三角形． （４分） 商店计划再用不超过７４００元的总费用购进这两款文创产品共１００件进行销售．问：怎样进货才 （２）若 ＡＢ＝１２，ＦＧ＝１０，求⊙Ｏ的半径． 能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ （１）设Ａ款文创产品的进货单价是ｘ元，则Ｂ款文创产品的进货单价是（ｘ－１５）元， ４０００ ３２５０ 根据题意，得 ＝ ， （２分） ｘ ｘ－１５ 解得ｘ＝８０， （２）∵△ＢＥＤ与△ＢＣＤ关于直线ＢＤ成轴对称， 经检验，ｘ＝８０是原方程的根，且符合题意， ∴∠ＥＢＤ＝∠ＣＢＤ． ∴ｘ－１５＝６５． （１）∵ＤＦ⊥ＡＢ，∠ＢＡＣ＝４５°，∴∠ＡＤＥ＝４５°． ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， 答：Ａ款文创产品的进货单价是８０元，Ｂ款文创产品的进货单价是６５元． （４分） ∴ＡＤ＝ＢＣ＝２，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ａ＝９０°， ∵ＧＦ与⊙Ｏ相切于点Ｆ， （２）设销售完这批货后获得的利润为ｗ元，购进Ａ款文创产品ａ件，则购进Ｂ款文创产品（１００－ａ）件． ∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ，∴∠ＥＢＤ＝∠ＡＤＢ， ∴ＤＦ⊥ＧＦ!"#$%&’()*，即∠ＤＦＧ＝９０°， （２分）  根据题意，得８０ａ＋６５（１００－ａ）≤７４００， ∴ＢＦ＝ＤＦ． （７分） ∴∠Ｇ＝∠ＦＤＧ＝４５°，∴ＦＤ＝ＦＧ． （４分） 解得ａ≤６０． （５分） 设ＡＦ＝ｘ，则ＢＦ＝ＤＦ＝２－ｘ． １ （２）∵ＤＦ⊥ＡＢ，∴ＡＥ＝ＢＥ＝ ＡＢ＝６（"#$+,-.*． （５分） 根据题意，得ｗ＝（１００－８０）ａ＋（８０－６５）（１００－ａ）＝５ａ＋１５００， （６分） ２ 在Ｒｔ△ＡＢＦ中，由勾股定理，得ＡＢ２＋ＡＦ２＝ＢＦ２，  ∵５＞０，∴ｗ随ａ的增大而增大， （７分） 由（１）知，∠ＡＤＥ＝∠ＢＡＣ＝４５°， 即１２＋ｘ２＝（２－ｘ）２， ∴当ａ＝６０时，ｗ最大，ｗ的最大值为５×６０＋１５００＝１８００，此时１００－ａ＝４０． ∴ＥＤ＝ＥＡ＝６． ３ ３ 解得ｘ＝ ，即ＡＦ＝ ． （９分） 答：购进Ａ款文创产品６０件，Ｂ款文创产品４０件时，销售完这批货后获得的利润最大，最大利润是１８００元． ４ ４ 由（１）得ＦＤ＝ＦＧ＝１０，∴ＥＦ＝ＤＦ－ＤＥ＝４． （９分） １９．（９分）（２０２５陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着 如图，连接ＯＡ． ２２．（１０分）（２０２５新疆）天山胜利隧道预计于２０２５年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道， 工具前往测量，测量示意图如图所示，他们在坡面 ＦＢ上的点 Ｄ处安装测角仪 能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部 ＤＥ，测得信号杆顶端 Ａ的仰角 α为 ４５°，ＤＥ与坡面的夹角 β为 ７２．５°，又测得点 分．若隧道底部宽１２米，高８米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． Ｄ与信号杆底端 Ｂ之间的距离 ＤＢ为 ２２ｍ．已知 ＤＥ＝１．７ｍ，点 Ａ，Ｂ，Ｃ在同一 （１）求抛物线的函数解析式． 条直线上，ＡＢ，ＤＥ均与水平线 ＦＣ垂直．试求信号杆 ＡＢ的高．（参考数据： （２）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 ０．５米，当两辆车 ｓｉｎ７２．５°≈０．９５，ｃｏｓ７２．５°≈０．３０，ｔａｎ７２．５°≈３．１７） 在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔 ２米（中心线宽度不计）．若宽 ３ 河南中考４５套汇编·数学 ２６— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ２６— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ２６— ６米、高３５米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． ∴∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝槡ＡＣ２＋ＢＣ２＝槡１２＋２２＝ 槡５． ∴可  设  ＧＦ  ＝  ５ａ  ，Ｇ  Ｂ  ＝  ６ａ!"#$(cid:129)(cid:130);<(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:134)PJyz(cid:135)T;?@ABCDEFGHI Ａ．硝酸钾和氯化铵的溶解度 Ｓ（ｇ）与温度 Ｔ（℃）分别满足二次函数和一次函数关系 Ｂ．硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度始终不一样 １．某化学兴趣小组对某小苏打样品中各成分的含量做了测定：将一定质量的小苏 Ｃ．ｔ℃时，将２０ｇ氯化铵加到１００ｇ水中可得到饱和溶液 打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生的气体的质量与加入 Ｄ．当０℃＜Ｔ＜６０℃时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大 稀盐酸的质量之间的关系如图所示．下列说法正确的是 （Ｄ） ５．潜水运动是一种集水下观光、水下摄影、水下探索为一体的新兴运动形式．为保障安全，潜水时会携 Ａ．加入２．２ｇ稀盐酸时，产生５０ｇ气体 带如图（１）所示的水压表和深度表，图（２）是一款深度表的简化电路图，定值电阻 Ｒ的阻值为 １０Ω， ０ Ｂ．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 压敏电阻Ｒ的阻值随水的深度ｈ变化的图象如图（３）所示，Ｒ允许通过的最大电流为０．３Ａ．电路中 １ １ Ｃ．加入１００ｇ稀盐酸时，不会产生气体 的总电流 Ｉ随 Ｒ＋Ｒ 的变化而变化的图象如图（４）所示，则下列说法不正确的是 （Ｄ） ０ １ Ｄ．加入１５０ｇ稀盐酸时，产生４．４ｇ气体 ２． !>? @ABCD 金属铝因其较大的比热容常被用作散热片材料，如计算机的中央处理器（ＣＰＵ），工 （第６题） （第７题） 作时发热显著，常采用铝合金散热片与风扇组合冷却，以有效散发计算机运行过程中产生的热量．物理研 !" # :;" 究表明，物质的比热容会随温度的变化而变化，如图（１）为金属铝的比热容随温度变化的函数图象，如图 ７．如图，在平面直角坐标系中，点 Ｂ在 ｘ轴上，点 Ａ在第二象限，ＯＡ＝ＯＢ＝１，∠ＡＯＢ＝１２０°．将△ＡＯＢ绕 （２）为信息窗，下列判断正确的是 （Ｃ） 点 Ｏ顺时针旋转并扩大，每次旋转１２０°，扩大后的面积为原来的４倍．例如：将△ＡＯＢ旋转并扩大后， 信息窗 得到△ＡＯＢ，且 Ｓ ＝４Ｓ ；将△ＡＯＢ 再旋转并扩大后，得到△ＡＯＢ，且 Ｓ ＝４Ｓ …… １ １ △Ａ １ ＯＢ １ △ＡＯＢ １ １ ２ ２ △Ａ ２ ＯＢ ２ △Ａ １ ＯＢ １ 物体吸收（放出）的热量的计算 图（１） 图（２） 图（３） 图（４） 以此类推，则△ＡＯＢ 的顶点 Ａ 的坐标是 （２６１，０） ． Ａ．电源电压 Ｕ＝６Ｖ，恒定不变 ６１ ６１ ６１ 公式：Ｑ＝ｃｍΔｔ，其中ｃ为比热容， Ｂ．随着下潜深度的增大，压敏电阻的阻值逐渐减小 !" $ <=" ｍ为物质的质量，Δｔ为变化的 Ｃ．当潜水运动员下潜到水下１０ｍ深处时，电路中的电流为０．１５Ａ 温度． ８． !89 :;!<= 在平面直角坐标系中，定义一种“Ｔ”变换：对于平面内任意一点 Ｐ（ｘ，ｙ）， Ｄ．在电路安全的情况下，深度表能测量的最大深度为７０ｍ 先将点 Ｐ绕原点顺时针旋转９０°得到点Ｐ，再将点Ｐ关于ｘ轴对称得到点Ｐ，此时称点Ｐ为点Ｐ经 图（１） 图（２） !" " >?JKLMNOPQRSTUV １ １ ２ ２ 过“Ｔ”变换后的对应点．如点 Ａ（１，２）经过“Ｔ”变换后的对应点 Ａ′的坐标为（２，１），则点 Ｂ（－１，槡３）经 Ａ．铝的比热容随温度的升高而减小 ６．如图（１），在等腰三角形 ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝６，Ｍ是 ＡＢ的中点，Ｎ是 ＢＣ的中点．点 Ｐ从点 Ａ出发，沿 Ｂ．铝的比热容在１００～１１０℃范围内比在１６０～１７０℃范围内随温度变化得慢 ＡＮ运动至点Ｎ，连接ＰＭ，ＰＢ．设点Ｐ运动的距离为ｘ，ＰＭ＝ｙ，ＰＭ＋ＰＢ＝ｙ．在点Ｐ运动过程中，ｙ与ｘ的函 过２０２７次“Ｔ”变换后的对应点 Ｂ′的坐标为 （Ｂ） １ ２ １ Ｃ．一定质量的铝吸收相同的热量，１００℃的铝比１６０℃的铝的温度变化大 ３３ Ａ．（－１，槡３） Ｂ．（槡３，－１） Ｃ．（１，槡３） Ｄ．（槡３，１） Ｄ．一定质量的铝从１００℃升高至１１０℃吸收的热量比从１６０℃升高至１７０℃吸收的热量多 数关系图象如图（２）所示，ｙ ２ 与ｘ的函数关系图象如图（３）所示．若图（２）中最低点Ｄ的纵坐标为 ２ ，则图 ４ （３）中最低点 Ｅ的纵坐标 ａ的值为 （Ａ） ９．如图，直线 ｙ＝－ ｘ＋８与 ｘ轴、ｙ轴分别交于 Ａ，Ｂ两点，一动点从点 Ｐ（０，６）出发，沿平行于 ＯＡ的直线 ３． !>? @ABCD 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水 ３ 里，如图（１），在此过程中拉力 Ｆ （Ｎ）与石块下降的高度 ｘ（ｃｍ）之间的关系如图（２）所示（温馨提示：当 运动，到达 ＡＢ上的点 Ｐ处，再沿平行于 ＯＢ的直线运动，到达 ＯＡ上的点 Ｐ 处，再沿平行于 ＡＢ的直 拉力 １ ２ 石块位于水面上方时，Ｆ ＝Ｇ ，当石块入水后，Ｆ ＝Ｇ －Ｆ ）．以下说法正确的是 （Ｄ） 线运动，到达ＯＢ上的点Ｐ处，再沿平行于ＯＡ的直线运动，到达ＡＢ上的点Ｐ处……如此运动下去， 拉力 重力 拉力 重力 浮力 ３ ４ Ａ．当石块下降３ｃｍ时，石块在水里 则点 Ｐ 的纵坐标为 ２ ． ２０２６ ３ ２５ Ｂ．当６≤ｘ≤１０时，Ｆ （Ｎ）与 ｘ（ｃｍ）之间的函数关系式为 Ｆ ＝ ｘ＋ 拉力 拉力 ８ ４ Ｃ．石块下降８ｃｍ时，石块所受浮力是１Ｎ 图（１） 图（２） 图（３） ２２ Ａ．３７ Ｂ．６ Ｃ．２３ Ｄ．３ Ｄ．当弹簧测力计的示数为３Ｎ时，石块下底面距离水底 ｃｍ ３ ７．如图（１），四边形 ＡＢＣＤ是矩形，将射线 ＡＣ绕点 Ａ顺时针旋转 α（０°≤α≤１８０°）得到射线 ＡＰ，点 Ｍ是 点 Ｂ关于直线 ＡＰ的对称点．设线段 ＣＭ的长为 ｙ，ｙ与旋转角 α的函数关系的图象如图（２）所示，已 知图象的最低点 Ｑ的坐标是（３０°，２），则图（２）中 ｍ的值是 ２槡３ ，最高点 Ｈ的坐标是 （１２０°，６） ． （第９题） （第１０题） １ １０．如图，在平面直角坐标系中，对抛物线ｙ＝－ （ｘ＋ａ）（ｘ－ａ）（－ａ≤ｘ≤ａ）进行如下变换：将抛物线向右平 ２ 移２个单位长度后，沿 ｘ轴作轴对称变换，得到一个新抛物线，然后将得到的新抛物线再向右平移 ２ 图（１） 图（２） 个单位长度后，沿 ｘ轴作轴对称变换……将这样的变换无限进行下去，得到一条首尾相接的曲线． 图（１） 图（２） 图（１） 图（２） １ （第３题） （第４题） 垂直于 ｘ轴的直线 ｌ从点（－ａ，０）出发，沿 ｘ轴正方向平移，每秒平移 个单位长度，则第 １１０秒结束 （第７题） （第８题） ２ ４． !>? @ABCD 天气瓶是生活中常见的装饰品，它的结晶状态会随温度发生改变．制作天气瓶 ８．如图（１），正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是边ＡＢ上一动点，连接ＥＤ，将线段ＥＤ绕点Ｅ顺时针旋转９０°得到线段 １ 用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵．这两种物质在水中的溶解度 Ｓ（ｇ）与温度 Ｔ（℃）的函数图象如图所 ＥＦ，连接 ＤＦ，ＣＦ．设 ＡＥ＝ｘ，ＤＦ＋ＣＦ＝ｙ（当点 Ｅ与点 Ａ重合时，ｘ＝０），如图（２）是 ｙ与 ｘ的函数关系的 时，直线 ｌ与该曲线的交点的纵坐标为 － ． ２ 示．下列说法正确的是 （Ｄ） 图象，则 ＤＦ＋ＣＦ的最小值是 ４槡５ ． 河南中考４５套汇编·数学 ２８— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ２９— １ 河南中考４５套汇编·数学 ２９— ２（２）在（１）的条件下，连接 ＡＥ，ＣＦ．给△ＡＣＢ添加一个条件，使四边形 ＡＥＣＦ是矩形，你添加的条件是 ＡＢ＝ !" ＡＣ（答案不唯一） ． 题型四 尺规作图实践操作 （１）如图所示，点Ｆ即为所求作的点． １．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＤ是 ＢＣ边上的高． （１）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，过点Ｂ作ＡＣ的垂线，分别交ＡＣ，ＡＤ于点Ｅ， Ｆ．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （２）在（１）的条件下，求证：ＦＤ＝ＣＤ． 证明：设ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，则ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ． （１）作图如图所示． 又ＢＥ＝ＥＣ，∴ＯＥ∥ＡＢ， ∴ＡＦ＝ＦＤ，即点Ｆ是ＡＤ的中点． （２）ＡＢ＝ＡＣ（答案不唯一） ４．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，点 Ｄ是 ＡＣ的中点，点 Ｅ在 ＡＣ上，且 ＡＥ＝ＡＢ． 连接 ＢＤ，ＢＥ． （２）证明：∵∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＤ⊥ＢＣ，∴ＡＤ＝ＢＤ． （１）请用无刻度的直尺和圆规作∠ＢＡＣ的平分线，分别交 ＢＤ，ＢＥ于点 Ｇ，Ｆ（保留作图痕 由作图可知，ＢＥ⊥ＡＣ，∴∠ＣＡＤ＋∠ＡＦＥ＝９０°． 迹，不写作法）； 又∵∠ＦＢＤ＋∠ＢＦＤ＝９０°，∠ＡＦＥ＝∠ＢＦＤ， （２）在（１）的条件下证明 ＡＢ＝ＧＤ＋ＢＤ． ∴∠ＣＡＤ＝∠ＦＢＤ． （１）作图如图所示． 又∵∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＦ＝９０°， ∴△ＡＣＤ≌△ＢＦＤ，∴ＦＤ＝ＣＤ． ２．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝３∠Ｃ，Ｄ为 ＢＣ上一点，且 ＡＤ＝ＡＢ． （１）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 ＣＤ的垂直平分线 ｌ； （２）在（１）的条件下，设直线 ｌ与 ＡＣ的交点为 Ｅ，求证：ＡＢ＝ＣＥ． （１）垂直平分线ｌ如图所示． （２）证明：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ，点Ｄ是ＡＣ的中点， （２）证明：如图，连接ＤＥ． ∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＤ＝ＤＣ＝ＢＤ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＥ＝９０°． ∵直线ｌ垂直平分ＣＤ，∴ＣＥ＝ＤＥ， ∵ＡＢ＝ＡＥ，ＡＦ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＡＦＥ＝９０°， ∴∠Ｃ＝∠ＣＤＥ，∴∠ＡＥＤ＝２∠Ｃ． ∴∠ＧＡＤ＋∠ＡＥＦ＝９０°＝∠ＥＢＤ＋∠ＢＥＤ， ∵ＡＤ＝ＡＢ，∴∠ＡＤＢ＝∠Ｂ＝３∠Ｃ． ∴∠ＧＡＤ＝∠ＥＢＤ， 又∵∠ＡＤＢ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＤ， ∴△ＡＤＧ≌△ＢＤＥ，∴ＤＧ＝ＤＥ， ∴∠ＣＡＤ＝２∠Ｃ＝∠ＡＥＤ， ∴ＡＢ＝ＡＥ＝ＤＥ＋ＡＤ＝ＧＤ＋ＢＤ． ∴ＡＤ＝ＤＥ，∴ＡＢ＝ＣＥ． ５．如图，⊙Ｏ与 ＡＢ相切于点 Ａ，且经过 ＯＢ的中点 Ｃ． （１）利用无刻度的直尺和圆规过点 Ｂ作出⊙Ｏ的另外一条切线，切点为 Ｄ．（保留作 图痕迹，不写作法） （２）若 ＯＢ＝４，求 ＡＤ ３． !"# $%&’()* 如图，在ＡＢＣＤ中，点 Ｅ为 ＢＣ的中点，ＡＣ是其 对角线． （１）请仅用无刻度的直尺作图：作出 ＡＤ的中点 Ｆ（保留作图痕迹，不写作法），并 证明点 Ｆ是 ＡＤ的中点． 河南中考４５套汇编·数学 ３０— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３０— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３０— ３ 书书书 ) （２）如图（２），连接ＯＡ． ∵ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ａ，∴∠ＯＡＢ＝９０°． １ ∵点Ｃ为ＯＢ的中点，∴ＯＡ＝ＯＣ＝ ＯＢ＝２， ２ ∴∠ＡＢＯ＝３０°，∴∠ＡＯＣ＝６０°． 连接ＯＤ，∵ＢＤ与⊙Ｏ相切于点Ｄ， ∴ＯＤ⊥ＢＤ． 在Ｒｔ△ＯＡＢ和Ｒｔ△ＯＤＢ中，ＯＡ＝ＯＤ，ＯＢ＝ＯＢ， ∴Ｒｔ△ＯＡＢ≌Ｒｔ△ＯＤＢ， ∴∠ＢＯＤ＝∠ＢＯＡ＝６０°，∴∠ＡＯＤ＝１２０°， ∴ｌ ＡＤ 的长． （１）如图（１）、图（２），直线ＢＤ即为所求作的切线（作出其中一种即可）． 图（１） 图（２） ) １２０×π×２ ４π ＝ ＝ ． １８０ ３ ６．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＣ＝８，ＢＣ＝１０． （１）请用无刻度的直尺和圆规作出⊙Ｏ，使得圆心在直角边 ＡＣ上，且⊙Ｏ与 边 ＡＢ，ＢＣ都相切（保留作图痕迹，不写作法）； （２）求（１）中所作⊙Ｏ的半径． （１）如图，则⊙Ｏ即为所求． （２）∵∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＣ＝８，ＢＣ＝１０， ∴ＡＢ＝槡ＢＣ２－ＡＣ２＝６． 设⊙Ｏ与ＢＣ相切于点Ｄ，连接ＯＤ，则ＯＤ⊥ＢＣ． 方法一：在 Ｒｔ△ＡＯＢ中，由勾股定理得，ＡＢ＝槡ＯＢ２－ＯＡ２， 在 Ｒｔ△ＢＯＤ中，由勾股定理得，ＢＤ＝槡ＯＢ２－ＯＤ２， ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴ＢＤ＝ＡＢ＝６， ∴ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝１０－６＝４． 设⊙Ｏ的半径为 ｘ，则 ＯＤ＝ＯＡ＝ｘ，ＯＣ＝８－ｘ． 在 Ｒｔ△ＣＯＤ中，由勾股定理得，ＯＣ２＝ＯＤ２＋ＣＤ２， 即（８－ｘ）２＝ｘ２＋４２， 解得 ｘ＝３． ∴⊙Ｏ的半径为３． １ １ １ 方法二：∵Ｓ ＝ ＡＢ·ＡＣ＝ ＯＡ·ＡＢ＋ ＯＤ·ＢＣ!"#$%&’()， △ＡＢＣ ２ ２ ２  ∴６×８＝ＯＡ×６＋ＯＤ×１０． ∵ＯＡ＝ＯＤ， ∴ＯＡ＝３，即⊙Ｏ的半径为３．７．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以 ＡＣ为直径的⊙Ｏ分别交 ＡＢ，ＢＣ于点 Ｄ，Ｅ，ＣＧ ｋ ３ ８．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ＡＢＣ的斜边 ＡＢ在 ｘ轴上，顶点 Ｃ在反比例函数 ｙ＝ （ｘ＜０） ∴－ ＝－ｘ，∴ｘ＝±槡３， ｘ ｘ 是⊙Ｏ的切线，过点 Ｂ作 ＢＦ⊥ＣＧ于点 Ｆ． （１）只利用无刻度的直尺作⊙Ｏ的一条直径，使其与 ＡＢ平行（保留作图痕 的图象上，点 Ａ，Ｂ的坐标分别为（－４，０），（２，０）． ∴Ｄ（－ 槡３，－ 槡３）， （１）求反比例函数的表达式． ∴ｙ≠ｙ，故点Ｄ不能够与点Ｅ重合． 迹，不写作法）； Ｄ Ｅ ｋ ９．如图，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＜ＡＤ． （２）求证：ＢＤ＝ＢＦ． （２）将直线 ＡＣ向右平移，使直线 ＡＣ与反比例函数 ｙ＝ （ｘ＜０）的图象只有一个公 ｘ （１）求作正方形 ＥＦＧＨ，使得点 Ｅ，Ｇ分别落在边 ＡＤ，ＢＣ上，点 Ｆ，Ｈ落在 ＢＤ上； （１）如图（１）所示，ＥＨ即为所求!*+$,- ＡＥ./0!１).1 ＡＥ2ＢＣ.34%  共点 Ｄ． （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 567896:;<=>?@.ABＢＥ＝ＥＣ.C;ＡＯ＝ＯＣ.ADＯＥEＡＢ)． ①利用无刻度的直尺和圆规，作出点 Ｄ（不写作法，保留作图痕迹）； （２）若 ＡＢ＝２，ＡＤ＝４，求（１）中所作的正方形的边长． ②设 ＢＣ交 ｙ轴于点 Ｅ，小明认为继续平移 ＡＣ，点 Ｄ能够与点 Ｅ重合，请你判断小明的说法是否正确， （１）如图（１），四边形ＥＦＧＨ就是所求作的正方形． 并说明理由． （１）在等腰直角三角形ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，过点Ｃ作ＣＦ⊥ｘ轴，如图（１），则ＣＦ＝ＡＦ＝ＢＦ． 图（１） 图（２） （２）连接ＥＧ交ＢＤ于点Ｏ，如图（２）． 图（１） ∵四边形ＥＦＧＨ是正方形，∴ＯＥ＝ＯＧ． （２）证明：如图（２），连接ＣＤ， 图（１） ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∵点Ａ，Ｂ的坐标分别为（－４，０），（２，０）， ∴∠Ａ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ． ∴ＡＦ＝ＢＦ＝３，ＣＦ＝３， ＯＤ ＯＥ ∴ ＝ ＝１，∴ＯＢ＝ＯＤ． ＯＢ ＯＧ ∴Ｃ（－１，３），∴ｋ＝（－１）×３＝－３， 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＢ＝２，ＡＤ＝４， ３ ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ ． ｘ ∴ＢＤ＝槡ＡＢ２＋ＡＤ２＝２槡５， （２）①如图（２），点Ｄ即为所求． １ ∴ＯＤ＝ ＢＤ＝ 槡５． ２ ∵四边形ＥＦＧＨ是正方形，∴ＥＧ⊥ＦＨ， 图（２） ∴∠ＤＯＥ＝∠ＤＡＢ＝９０°． ∵ＡＣ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＤＣ＝９０°， 又∵∠ＯＤＥ＝∠ＡＤＢ，∴△ＥＯＤ∽△ＢＡＤ， ∴∠ＢＤＣ＝９０°． ＯＥ ＯＤ ＯＥ 槡５ 槡５ ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ＯＥ＝ ． ∵ＣＧ是⊙Ｏ的切线，ＡＣ是⊙Ｏ的直径， 图（２） ＡＢ ＡＤ ２ ４ ２ ∴ＡＣ⊥ＣＧ． ②小明的说法不正确． 在Ｒｔ△ＥＯＨ中，ＯＥ＝ＯＨ， 又ＢＦ⊥ＣＧ，∴ＡＣ∥ＢＦ， 理由：由Ｂ（２，０），Ｃ（－１，３）可知直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋２． 槡１０ ∴ＥＨ＝ 槡２ＯＥ＝ ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＦＢＣ． 令ｘ＝０，则ｙ＝２，∴Ｅ（０，２）． ２ ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＢ， 方法一：对于ｙ＝－ ３ ，当ｙ＝２时，ｘ＝－ ３ ． 即正方形ＥＦＧＨ的边长为 槡１０ ． ｘ ２ ２ ∴∠ＤＢＣ＝∠ＦＢＣ． 由轴对称可知，点Ｄ到ｘ轴、ｙ轴的距离相等，故平移过程中，点Ｄ不能够与点Ｅ重合． 又ＢＣ＝ＢＣ，∠ＢＤＣ＝∠ＢＦＣ＝９０°， ３ 方法二：易知反比例函数ｙ＝－ 的图象与直线ｙ＝－ｘ相交于点Ｄ， ∴△ＢＤＣ≌△ＢＦＣ，∴ＢＤ＝ＢＦ． ｘ 河南中考４５套汇编·数学 ３０— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ３０— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ３０— ６②当点 Ｅ在点（０，４）下方时，若 ＣＤ≥ＯＢ，结合函数图象，写出 ｎ的取值范围： ０＜ｎ≤ 槡５ ． ∴直线ＦＧ的表达式为ｙ＝ 槡５． !# 当直线ＣＤ在ｘ轴与直线ＦＧ之间时（可与直线ＦＧ重合，不与ｘ轴重合），ＣＤ≥ＯＢ， 题型五 反比例函数综合题 ∴ｎ的取值范围为０＜ｎ≤槡５． !" ! #$%&’()*&’+, ｋ １．如图，一次函数 ｙ＝ｘ＋４的图象交 ｘ轴于点 Ａ，交反比例函数 ｙ＝ （ｋ≠０，ｘ＜０）的图象于点 Ｂ（－１，ａ）． ｘ 将一次函数 ｙ＝ｘ＋４的图象向下平移 ｍ（ｍ＞０）个单位长度，所得的图象交 ｘ轴于 备用图 点 Ｃ． １ ｋ （１）∵直线ｙ＝－ ｘ＋４经过点Ａ（－２，ｍ）， （１）求反比例函数 ｙ＝ 的表达式； ２ ｘ 图（２） ∴ｍ＝１＋４＝５，∴Ａ（－２，５）． （２）当△ＡＢＣ的面积为３时，求 ｍ的值． １０ １０ １０ ｋ 方法二：将ｙ＝ｎ代入ｙ＝－ ，得ｘ＝－ ，∴Ｃ（－ ，ｎ）． ｋ ∵反比例函数ｙ＝ （ｘ＜０）的图象经过点Ａ（－２，５）， ｘ ｎ ｎ （１）∵ｙ＝ｘ＋４的图象与ｙ＝ （ｋ≠０，ｘ＜０）的图象交于点Ｂ（－１，ａ）， ｘ ｘ １ ∴ｋ＝－２×５＝－１０． 将ｙ＝ｎ代入ｙ＝－ ｘ＋４，得ｘ＝８－２ｎ，∴Ｄ（８－２ｎ，ｎ）． ∴ａ＝－１＋４＝３，∴Ｂ（－１，３）， ２ １０ ∴ｋ＝－１×３＝－３， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ （ｘ＜０）． １０ ｘ ∴ＣＤ＝８－２ｎ－（－ ）． ３ ｎ ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ ． （２）①当ｎ＝３时，点Ｅ的坐标为（０，３），如图（１）， ｘ １０ 当ＣＤ＝ＯＢ时，８－２ｎ－（－ ）＝８，∴ｎ＝ 槡５（负值已舍去）． （２）如图，过点Ｂ作ＢＤ⊥ｘ轴，垂足为Ｄ， ｎ ∵Ｂ（－１，３），∴ＢＤ＝３． 分析可知，当ＣＤ≥ＯＢ时，ｎ的取值范围为０＜ｎ≤槡５． １ 又∵Ｓ ＝ ＡＣ·ＢＤ＝３， !" " #$%&’(-./0+, △ＡＢＣ ２ １ ３．如图，在平面直角坐标系中，ＡＢＣＤ在第一象限内，对角线交于点 Ｅ，ＢＣ∥ｘ轴，且 ＢＣ＝４，点 Ｂ的坐 即 ＡＣ×３＝３，∴ＡＣ＝２． ２ ５ ｋ 标为（４，１），点 Ｅ的坐标为（５， ）．已知反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点 Ｃ． ∵一次函数ｙ＝ｘ＋４的图象与ｘ轴交于点Ａ， ２ ｘ ∴Ａ（－４，０）． （１）求 ｋ的值． 图（１） 将一次函数ｙ＝ｘ＋４的图象向下平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度，得到直线ｙ＝ｘ＋４－ｍ， ｋ １０ １０ １０ （２）请先描出反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）图象上不同于点 Ｃ的三个整点（横、纵坐标都是整数的点），再 令ｙ＝０，得ｘ＝ｍ－４，∴Ｃ（ｍ－４，０）， 将ｙ＝３代入ｙ＝－ ，得ｘ＝－ ，∴Ｃ（－ ，３）． ｘ ｘ ３ ３ ∴ＡＣ＝ｍ－４－（－４），即２＝ｍ－４－（－４）， 画出其图象． １ ∴ｍ＝２． 将ｙ＝３代入ｙ＝－ ｘ＋４，得ｘ＝２，∴Ｄ（２，３）． ２ ｋ ８ （３）将ＡＢＣＤ向下平移，使点 Ｄ落在反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象上，则平移的距离为 ． １０ １６ ｘ ３ ∴ＣＤ＝２－（－ ）＝ ． ３ ３ ②０＜ｎ≤槡５ １ １ 解法提示：对于ｙ＝－ ｘ＋４，当ｙ＝０时，－ ｘ＋４＝０， ２ ２ 解得ｘ＝８，则Ｂ（８，０），∴ＯＢ＝８． １ ｋ ２．如图，在平面直角坐标系中，直线ｙ＝－ ｘ＋４与反比例函数ｙ＝ （ｘ＜０）的图象交于点 Ａ（－２，ｍ），与 ｘ轴 １０ ２ ｘ 方法一：如图（２），过点Ｏ作ＯＦ∥ＡＢ，交反比例函数ｙ＝－ （ｘ＜０）的图象于点 Ｆ，过点 Ｆ作 ＦＧ∥ｘ轴，交 ＡＢ于点 Ｇ， ｘ 交于点Ｂ． 则四边形ＯＢＧＦ是平行四边形，∴ＦＧ＝ＯＢ． （１）求反比例函数的表达式． １ ｋ 易知直线ＯＦ的表达式为ｙ＝－ ｘ． （２）在 ｙ轴正半轴上有一动点 Ｅ（０，ｎ），过点 Ｅ作平行于 ｘ轴的直线，交反比例函数 ｙ＝ （ｘ＜０）的图 ２ ｘ １ １０ （１）∵ＢＣ∥ｘ轴，Ｂ（４，１），ＢＣ＝４， １ 令－ ２ ｘ＝－ ｘ ，∴ｘ＝－２槡５（正值已舍去）， ∴Ｃ（８，１）． 象于点 Ｃ，交直线 ｙ＝－ ｘ＋４于点 Ｄ． ２ １ １ ｋ ∴ｙ＝－ ｘ＝－ ×（－２槡５）＝ 槡５， ∵反比例函数ｙ＝ （ｘ＞０）的图象经过点Ｃ， ①当 ｎ＝３时，求线段 ＣＤ的长； ２ ２ ｘ 河南中考４５套汇编·数学 ３１— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３１— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３１— ３ｋ ②ｘ＞６． 如图（２），连接ＡＣ交ＯＢ于点Ｐ，则ＰＯ＝ＰＢ，ＰＡ＝ＰＣ， ∴１＝ ，∴ｋ＝８． Ｐ ８ 解法提示：当点Ｐ与点Ｄ重合时，Ｓ △ＰＯＡ ＝６＝Ｓ △ＡＣＦ ． ∴ｘ Ａ ＋ｘ Ｃ ＝２ｘ Ｐ ＝ｘ Ｏ ＋ｘ Ｂ ，∴－ 槡３＋３槡３＝０＋ａ， （２）如图所示． 分析可知，当点Ｐ位于点Ｄ右边的反比例函数图象上时，Ｓ ＜６＝Ｓ ， △ＰＯＡ △ＡＣＦ ∴ａ＝２槡３． ∴ｘ＞６． Ｐ ｋ ６． +,-./0123在平面直角坐标系中，反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞ ５． !"# $%&’()* 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ＡＢＣＯ的顶点 Ｏ为坐标原点，顶点 Ａ，Ｃ在 ｘ ｋ ０）的图象经过矩形 ＯＡＢＣ的顶点 Ｂ，分别以 ＡＣ，ＯＣ，ＯＡ为直径画半圆，围 反比例函数ｙ＝ 的图象上，且点Ａ的纵坐标为３ ３，点Ｃ的纵坐标为－３，点Ｂ的坐标为（ａ，ａ）． ｘ 成如图所示的两个月牙形（阴影部分），这两个月牙形也叫“希波克拉底 ｋ １ 月牙”． （１）利用无刻度的直尺，在反比例函数 ｙ＝ 的图象上作出点 Ｄ，使 Ｓ ＝ Ｓ ． ······ ｘ △ＯＢＤ ２ 菱形ＯＡＢＣ （１）求“希波克拉底月牙”的面积（用含 ｋ的代数式表示）． （不用写作法，保留作图痕迹） （２）已知点 Ｂ的横坐标为 １．将线段 ＢＡ绕点 Ｂ逆时针旋转 ６０°得到线段 （２）求 ｋ的值． ｋ ＢＤ，若点 Ｄ恰好落在反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象上，求 ｋ的值． （３）直接写出 ａ的值． ｘ ８ （３） （１）如图（１），点Ｄ即为所求．（答案不唯一） ｋ ３ （１）由｜ｋ｜的几何意义，可知Ｓ ＝ｋ，∴Ｓ ＝ ． 矩形ＯＡＢＣ △ＡＯＣ ２ 解法提示：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 由勾股定理，得ＯＣ２＋ＯＡ２＝ＡＣ２． ∴Ｅ为ＢＤ的中点． １ １ １ ５ π（ ＯＣ）２ π（ ＯＡ）２ π（ ＡＣ）２ 又∵Ｂ（４，１），Ｅ（５， ），∴Ｄ（６，４）． ２ πＯＣ２ ２ πＯＡ２ ２ πＡＣ２ ２ ∵Ｓ ＝ ＝ ，Ｓ ＝ ＝ ，Ｓ ＝ ＝ ， 以ＯＣ为直径的半圆 ２ ８ 以ＯＡ为直径的半圆 ２ ８ 以ＡＣ为直径的半圆 ２ ８ ８ ８ ４ 当ｘ＝６时，ｙ＝ ＝ ＝ ， πＯＣ２ πＯＡ２ πＡＣ２ ｋ π ｋ ｋ ｘ ６ ３ ∴Ｓ ＝ ＋ －（ － ）＝ （ＯＣ２＋ＯＡ２－ＡＣ２）＋ ＝ ． “希波克拉底月牙” ８ ８ ８ ２ ８ ２ ２ ４ 图（１） ∴平移后点Ｄ落在点（６， ）处， ｋ ３ （２）将ｘ＝１代入ｙ＝ ，得ｙ＝ｋ， ｋ ｘ ４ ８ 解法提示：根据反比例函数ｙ＝ 的图象、直线ＡＤ均是关于点Ｏ的中心对称图形， ∴平移的距离为４－ ＝ ． ｘ ∴Ｂ（１，ｋ），∴ＡＢ＝ｋ． ３ ３ ∴点Ｄ，Ａ关于点Ｏ对称，∴ＯＤ＝ＯＡ． 如图，连接ＡＤ， ｋ ４．如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，四边形 ＯＡＢＣ是矩形，反比例函数 ｙ＝ （ｘ＞０）的图象分别与 ＡＢ，ＢＣ １ ∵ＢＡ＝ＢＤ，∠ＡＢＤ＝６０°，∴△ＡＢＤ是等边三角形． ｘ 又∵ＯＡ∥ＢＣ，∴Ｓ ＝Ｓ ＝ Ｓ ． △ＯＢＤ △ＯＡＢ ２ 菱形ＯＡＢＣ １ ｋ 槡３ 槡３ｋ 交于点 Ｄ，Ｅ（３，４），且 Ｅ为 ＢＣ的中点． 过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，则ＡＥ＝ ＡＢ＝ ，ＤＥ＝ ＡＢ＝ ， （２）如图（２），过点Ｃ作ＣＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，过点Ａ作ＡＦ⊥ｙ轴于点Ｆ，则ＣＥ＝ 槡３． ２ ２ ２ ２ （１）求反比例函数的表达式和点 Ｄ的坐标． ∵四边形ＯＡＢＣ是菱形， 槡３ｋｋ ｋ 槡３ｋ （２）连接 ＤＥ，点 Ｆ为 ＤＥ上任一点，连接 ＡＣ，ＣＦ，ＡＦ． ∴Ｄ（１＋ ， ），∴ （１＋ ）＝ｋ． ∴∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＢ，ＯＡ＝ＯＣ． ２ ２ ２ ２ ①求△ＡＣＦ的面积； ∵Ｂ（ａ，ａ），∴点Ｂ在∠ＦＯＥ的平分线上， １ 槡３ｋ ２槡３ ②点 Ｐ为反比例函数图象上一点，连接 ＰＯ，ＰＡ，若 Ｓ ＜Ｓ ，请直接写出 ∵ｋ≠０，∴ （１＋ ）＝１，解得ｋ＝ ． △ＰＯＡ △ＡＣＦ ∴∠ＦＯＢ＝∠ＥＯＢ，∴∠ＡＯＦ＝∠ＣＯＥ． ２ ２ ３ 点 Ｐ的横坐标 ｘ的取值范围． Ｐ 又∵∠ＡＦＯ＝∠ＣＥＯ，∴△ＯＡＦ≌△ＯＣＥ， ｋ （１）将Ｅ（３，４）代入ｙ＝ ｘ ，得ｋ＝１２， ∴ＡＦ＝ＣＥ＝ 槡３，∴Ａ（－ 槡３，３槡３）． ｋ ∴反比例函数的表达式为ｙ＝ １２ ． 将Ａ（－ 槡３，３槡３）代入ｙ＝ ，得ｋ＝－９． ｘ ｘ ∵四边形ＯＡＢＣ是矩形，且Ｅ为ＢＣ的中点， ∴Ｂ（６，４）． １２ 将ｘ＝６代入ｙ＝ ，得ｙ＝２， ｘ ∴点Ｄ的坐标为（６，２）． （２）①∵Ｂ（６，４），∴Ａ（６，０）． 又∵Ｄ（６，２），∴点Ｄ为ＡＢ的中点， 图（２） ∴ＤＥ∥ＡＣ， １ （３）ａ的值为２槡３． ∴Ｓ ＝Ｓ ＝ ×ＣＥ×ＡＢ＝６． △ＡＣＦ △ＡＣＥ ２ 解法提示：易得Ｃ（３槡３，－ 槡３）． 河南中考４５套汇编·数学 ３１— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ３１— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ３１— ６（２）∵ＡＢ＝８，ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＣ＝８． ４．如图，点 Ｃ在以 ＡＢ为直径的半圆 Ｏ上，连接 ＡＣ，ＢＣ，过点 Ｃ作半圆 Ｏ的切线，交 ＡＢ的延长线于点 !$ 设⊙Ｏ的半径为ｒ，则ＡＯ＝８－ｒ，ＯＤ＝ｒ． 题型六 圆的相关证明与计算 Ｄ，在 ＡＣ ３ ＯＤ ｒ ３ ∵∠ＡＤＯ＝９０°，ｓｉｎＡ＝ ，∴ ＝ ＝ ， ５ ＡＯ ８－ｒ ５ !" ! (123456(78 ∴ｒ＝３，∴ＯＦ＝ＯＤ＝３，ＡＯ＝５， １．如图，四边形 ＡＢＣＤ的顶点都在半圆 Ｏ上，ＡＢ是半圆 Ｏ的直径，连接 ＯＣ， ∴ＡＤ＝４，ＤＦ＝３槡２． ∠ＤＡＢ＋２∠ＡＢＣ＝１８０°． ∵ＥＦ∥ＡＢ，∴△ＯＦＧ∽△ＡＤＧ（"#9：Ｘ=FGH）， （１）求证：ＯＣ∥ＡＤ； ＦＧ ＯＦ ３ ４ １２槡２ ∴ ＝ ＝ ，∴ＤＧ＝ ＤＦ＝ ． ＤＧ ＡＤ ４ ７ ７ （２）若 ＡＤ＝２，ＢＣ＝２槡３，求 ＡＢ的长． ３．如图，四边形 ＡＢＣＯ的顶点 Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上，∠ＢＡＯ＝∠ＢＣＯ，直径 ＢＥ与弦 ＡＣ相交于点 Ｆ，点 Ｄ是 ＥＢ延 （１）证明：由圆心角和圆周角的关系知，∠ＡＯＣ＝２∠ＡＢＣ． １ 由条件知，∠ＤＡＢ＋∠ＡＯＣ＝１８０°，故ＯＣ∥ＡＤ． 长线上的一点，∠ＢＣＤ＝ ∠ＡＯＢ． ２ （２）如图，连接ＢＤ，交ＯＣ于点Ｅ．由题意知，∠ＡＤＢ＝９０°，Ｏ是ＡＢ的中点． （１）求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线； （２）若四边形 ＡＢＣＯ是平行四边形，ＥＦ＝３，求 ＣＤ的长． １ （１）证明：如图，连接ＡＥ，可得∠Ｅ＝ ∠ＡＯＢ（I4：JK7LM）． ２  １ 又因为ＯＣ∥ＡＤ，所以ＯＣ⊥ＢＤ，且ＯＥ是△ＡＢＤ的中位线，从而ＯＥ＝ ＡＤ＝１． ２ 设半圆的半径为ｒ，则ＣＥ＝ｒ－１． 由勾股定理知，ＯＢ２－ＯＥ２＝ＢＥ２＝ＢＣ２－ＣＥ２， １ 即ｒ２－１＝１２－（ｒ－１）２，解得ｒ＝３，ｒ＝－２（舍去）， ∵∠ＢＣＤ＝ ∠ＡＯＢ，∴∠ＢＣＤ＝∠Ｅ． １ ２ ２ 故ＡＢ＝２ｒ＝６． ∵ＯＡ＝ＯＥ，∴∠ＯＡＥ＝∠Ｅ（I4：%NO%7），  ２．如图，点 Ｏ在△ＡＢＣ的边 ＡＣ上，以 ＯＣ为半径的⊙Ｏ与 ＡＢ相切于点 Ｄ，与 ∴∠ＯＡＥ＝∠ＢＣＤ． ＢＣ相交于点 Ｅ，ＥＦ为⊙Ｏ的直径，ＦＤ与 ＡＣ相交于点 Ｇ，∠Ｆ＝４５°． ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径， （１）求证：ＡＢ＝ＡＣ； ∴∠ＢＡＥ＝９０°（I4：PQRO>JK7SP7），  ３ 即∠ＢＡＯ＋∠ＯＡＥ＝９０°． （２）若 ｓｉｎＡ＝ ，ＡＢ＝８，求 ＤＧ的长． ５ ∵∠ＢＡＯ＝∠ＢＣＯ， （１）证明：如图，连接ＯＤ． ∴∠ＢＣＯ＋∠ＢＣＤ＝９０°，即ＯＣ⊥ＤＣ． 又∵ＯＣ为⊙Ｏ的半径，∴ＣＤ是⊙Ｏ的切线． １ （２）∵四边形ＡＢＣＯ是平行四边形，∴ＯＦ＝ ＯＢ． ２ 又∵ＯＦ＋ＯＥ＝ＥＦ＝３，ＯＢ＝ＯＥ， １ ∴ ＯＢ＋ＯＢ＝３，∴ＯＢ＝２． ∵⊙Ｏ与ＡＢ相切于点Ｄ，∴ＯＤ⊥ＡＢ． ２ ∵∠Ｆ＝４５°， ∵ＯＡ＝ＯＣ， ∴∠ＤＯＥ＝２∠Ｆ＝９０°，即ＥＦ⊥ＯＤ， ∴ＡＢＣＯ是菱形（I4：VWXN8SY8），  ∴ＡＢ∥ＥＦ，∴∠ＯＥＣ＝∠Ｂ． ∴ＢＣ＝ＯＣ＝ＯＢ＝２， ∵ＯＥ＝ＯＣ，∴∠Ｃ＝∠ＯＥＣ， ∴△ＢＯＣ为等边三角形，∠ＢＯＣ＝６０°， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ，∴ＡＢ＝ＡＣ． ∴在Ｒｔ△ＯＤＣ中，ＣＤ＝ＯＣ·ｔａｎ∠ＤＯＣ＝２×ｔａｎ６０°＝２槡３． 河南中考４５套汇编·数学 ３２— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３２— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３２— ３ ) 上取点 Ｅ，使 ＥＣ ) ＝ＢＣ ) ，连接 ＢＥ，交 ＡＣ于点 Ｆ． （１）求证：ＢＥ∥ＣＤ； ２ （２）若 ｓｉｎＤ＝ ，ＢＤ＝１，求半圆 Ｏ的半径及 ＥＦ的长． ３ （１）证明：如图，连接ＯＣ，则ＯＡ＝ＯＣ， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ（I4：%NO%7）．  ∵ＣＤ是半圆Ｏ的切线，∴ＯＣ⊥ＣＤ， ∴∠ＢＣＤ＋∠ＯＣＢ＝９０°． ∵ＡＢ是直径， ∴∠ＡＣＢ＝９０°（I4：PQRO>JK7SP7），  ∴∠ＯＣＡ＋∠ＯＣＢ＝９０°， ∴∠ＯＣＡ＝∠ＢＣＤ，∴∠ＣＡＢ＝∠ＢＣＤ． ∵ＥＣ ) ＝ＢＣ ) ， ∴∠ＣＢＥ＝∠ＣＡＢ（I4：Z[\%[RO>JK7G%），  ∴∠ＣＢＥ＝∠ＢＣＤ，∴ＢＥ∥ＣＤ． （２）如图，设半圆Ｏ的半径为ｒ，则ＯＣ＝ＯＢ＝ｒ， ∴ＯＤ＝ｒ＋１． ＯＣ ｒ ２ ∵ＯＣ⊥ＣＤ，∴ｓｉｎＤ＝ ＝ ＝ ， ＯＤ ｒ＋１ ３ ∴ｒ＝２，∴ＡＢ＝２ｒ＝４． 连接ＡＥ，则∠ＡＥＢ＝９０°． ∵ＢＥ∥ＣＤ，∴∠ＡＢＥ＝∠Ｄ， ＡＥ ＡＥ ２ ∴ｓｉｎ∠ＡＢＥ＝ｓｉｎＤ＝ ＝ ＝ ， ＡＢ ４ ３ ８ ４槡５ ∴ＡＥ＝ ，∴ＢＥ＝槡ＡＢ２－ＡＥ２＝ ． ３ ３ ∵ＥＣ ) ＝ＢＣ ) ，∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＦ， ∴点Ｆ到ＡＥ，ＡＢ的距离相等，都等于ＥＦ的长， １ ＡＥ·ＥＦ Ｓ ２ ＥＦ ∴ △ＡＥＦ＝ ＝ ， Ｓ １ ＢＦ △ＡＢＦ ＡＢ·ＥＦ ２ ＥＦ ＡＥ ２ ＥＦ ２ ∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， ＢＦ ＡＢ ３ ＢＥ ５ ２ ８槡５ ∴ＥＦ＝ ＢＥ＝ ． ５ １５５．下面是小强在数学课上设计的“过圆外一点作圆的切线”的作法，请仔细阅读，并完成相应的问题． （１）求 ＡＭ的长． （２）已知乘坐该摩天轮升到高度不低于７７ｍ处时，可俯瞰整个城市，求摩天轮旋转一周的过程中，乘客在 已知：如图（１），Ｐ为⊙Ｏ外一点． 座舱（座舱大小忽略不计）内能俯瞰整个城市的时长． 求作：经过点Ｐ的切线． 小强的作法： （１）如图（２），连接ＯＰ，作线段ＯＰ的垂直平分线ＭＮ，交ＯＰ 于点Ｃ； 图（１） （２）以点Ｃ为圆心、ＣＯ长为半径作圆，交⊙Ｏ于Ａ，Ｂ两点； 图（１） 图（２） ∵点Ｅ是ＡＢ与⊙Ｏ的切点， （３）作直线ＰＡ，ＰＢ． ∴ＯＥ⊥ＡＢ!I4$J>_:‘Pab_">cQ)．  直线ＰＡ，ＰＢ即为所求作的切线． 又ＡＥ＝ＢＥ，∴ＯＥ垂直平分ＡＢ， 老师认为小强的作法正确，并提出了下列问题： 图（１） 图（２） ∴ＯＢ＝ＯＡ!I4$:d‘PVe:f>"g:dhi>jkG%)，  （１）连接ＯＡ，ＯＢ，可证∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＰ＝９０°，其依据是 直径所对的圆周角是直角 ． （１）∵Ｍ为半径ＯＮ的中点，⊙Ｏ的直径为１００ｍ， ∴∠ＯＢＡ＝∠Ａ＝３０°， ∴ＭＮ＝ＯＭ＝２５ｍ． ∴∠ＥＯＢ＝９０°－∠ＯＢＡ＝６０°，∠ＢＯＣ＝∠ＯＢＡ＋∠Ａ＝６０°， （２）如图（３），连接 ＡＢ，Ｄ是 ＡＢ上一点，Ｅ，Ｆ分别在 ＰＢ，ＰＡ上，且 ＢＤ＝ＡＦ． ∵ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ｎ，∴ＯＮ⊥ＡＢ． ∴∠ＥＯＢ＝∠ＢＯＣ． ①若∠ＥＤＦ＝∠ＰＡＢ，试判断 ＡＤ与 ＢＥ的数量关系，并说明理由； 又ＭＡ＝ＭＢ，∴ＡＮ＝ＮＢ＝６０ｍ， 又ＯＣ＝ＯＥ，ＯＢ＝ＯＢ，∴△ＣＯＢ≌△ＥＯＢ， ②若四边形 ＤＥＰＦ为菱形，且 ＰＡ＝６，则⊙Ｏ的半径为 ２槡３ ． ∴ＡＭ＝槡ＭＮ２＋ＡＮ２＝槡２５２＋６０２＝槡５２×５２＋５２×１２２＝５×１３＝６５（ｍ）． ∴∠ＯＣＢ＝∠ＯＥＢ＝９０°． （１）直径所对的圆周角是直角 图（３） 故ＡＭ的长为６５ｍ． 又点Ｃ在⊙Ｏ上， （２）①ＡＤ＝ＢＥ． （２）如图，设座舱在点Ｐ，Ｑ处时，到地面的距离为７７ｍ，连接ＯＰ，ＯＱ， ∴ＢＣ是⊙Ｏ的切线． 理由：如图（１），连接ＯＡ，ＯＢ，则∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＰ＝９０°，ＯＡ＝ＯＢ． 则ＯＰ＝５０ｍ，点Ｐ，Ｑ关于直线ＯＮ对称． （２）如图（２），设ＯＥ交ＤＦ于点Ｍ． 又∵ＯＰ＝ＯＰ， 过点Ｐ作ＰＣ⊥ＮＯ，交ＮＯ的延长线于点Ｃ， ∴Ｒｔ△ＯＡＰ≌Ｒｔ△ＯＢＰ（ＨＬ）， 则ＣＮ＝７７－２＝７５（ｍ），∴ＯＣ＝７５－５０＝２５（ｍ）， ∴ＡＰ＝ＢＰ，∴∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ． ＯＣ ２５ １ ∵∠ＥＤＦ＝∠ＰＡＢ， ∴ｃｏｓ∠ＣＯＰ＝ ＝ ＝ ， 图（１） ＯＰ ５０ ２ ∴∠ＡＤＦ＋∠ＡＦＤ＝∠ＡＤＦ＋∠ＢＤＥ， ∴∠ＣＯＰ＝６０°，∴∠ＰＯＱ＝１２０°． 图（２） ∴∠ＡＦＤ＝∠ＢＤＥ． ２４ 又∵ＡＦ＝ＢＤ，∠ＦＡＤ＝∠ＤＢＥ， ∵该摩天轮匀速旋转一周用时２４ｍｉｎ， ×１２０°＝８（ｍｉｎ）， ∵∠ＥＯＢ＝∠ＣＯＢ＝６０°，∴∠ＡＯＥ＝６０°＝∠ＥＯＢ． ３６０° ∴△ＡＦＤ≌△ＢＤＥ（ＡＳＡ）!"#$9<:6%7=]%^F)， １ ３槡３  ∴旋转１２０°用时８ｍｉｎ． 又ＯＤ＝ＯＦ，∴ＯＭ⊥ＤＦ，ＤＭ＝ＦＭ＝ ＤＦ＝ ， ２ ２ ∴ＡＤ＝ＢＥ． 故摩天轮旋转一周的过程中，乘客在座舱内能俯瞰整个城市的时长为８ｍｉｎ． ②２槡３ ７． !45 6789 日晷仪，亦简称日晷，是一种通过观测日影来记录时间的古老仪器（如图（１）），在 ３槡３ ＭＦ ２ 解法提示：当四边形ＤＥＰＦ为菱形时，如图（２），此时∠ＡＰＤ＝∠ＢＰＤ． ∴ＯＦ＝ ＝ ＝３． 我国古代被广泛使用．小明为了探究日晷的奥秘，在不同时间段对日晷进行了仔细观察．如图（２），日晷的 由①知ＡＰ＝ＢＰ， ｓｉｎ６０° 槡３ 平面是以点 Ｏ为圆心的圆，线段 ＡＢ为日晷的底座，点 Ｅ为日晷与底座的接触点（即 ＡＢ与⊙Ｏ的切点）， ２ ∴ＡＤ＝ＢＤ，且ＰＤ⊥ＡＢ（I4$%567896:;<=）．  ＯＣ为某一时刻晷针的影长（点 Ｃ恰好落在⊙Ｏ上），并且此时点 Ｃ，Ｏ，Ａ恰好在一条直线上．连接 ＯＡ交 设当点Ｃ第一次移动至与ＡＢ的距离为０．６ｄｍ时，点Ｃ在点Ｃ′处． 又∵ＢＤ＝ＡＦ，ＤＦ∥ＢＰ， ⊙Ｏ于点 Ｄ，连接 ＯＢ交⊙Ｏ于点 Ｆ，连接 ＤＦ，ＢＣ．已知 ＡＥ＝ＢＥ，ＤＦ＝３槡３ｄｍ，∠Ａ＝３０°． 过点Ｃ′分别作Ｃ′Ｈ⊥ＡＢ于点Ｈ，Ｃ′Ｎ⊥ＯＥ于点Ｎ，则四边形Ｃ′ＮＥＨ是矩形， ∴ＡＦ＝ＡＤ，ＡＦ＝ＰＦ， 图（２） （１）求证：ＢＣ是⊙Ｏ的切线． ∴ＮＥ＝Ｃ′Ｈ＝０．６，∴ＯＮ＝ＯＥ－ＮＥ＝ＯＦ－ＮＥ＝２．４， １ ∴ＡＤ＝ ＡＰ，∴∠ＡＰＤ＝３０°． （２）随着时间的推移，点 Ｃ从图（２）所示的位置开始在圆周上顺时针方向缓缓移动，当点 Ｃ第一次移动至 ＯＮ ２ ∴ｃｏｓ∠ＮＯＣ′＝ ＝０．８， ＯＣ′ 与 ＡＢ的距离为０．６ｄｍ时，求出点 Ｃ在这段时间内所经过的路径长． 槡３ ∴∠ＮＯＣ′≈３７°，∴∠ＣＯＣ′＝１２０°－３７°＝８３°， 连接ＯＡ，则∠ＯＡＰ＝９０°，∴ＯＡ＝ＡＰｔａｎ３０°＝６× ＝２槡３． （参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５） ３ ８３×π×３ ８３π ∴点Ｃ在这段时间内所经过的路径长度约为 ＝ （ｄｍ）． !" " 9:;<=>?@41AB １８０ ６０ ８． !45 :;<=>?@AB 船在航行过程中，船长常常通过测定角度 ６．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱．乘客乘坐摩天 来确定是否会遇到暗礁．如图，海岸线上有灯塔 Ａ和灯塔 Ｂ，暗礁分布在经过 轮慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某大型摩天轮如图（１）所示，该摩天轮的直径为 １００ｍ， Ａ，Ｂ两点的一个圆形区域内，优弧 ＡＢ上任一点 Ｃ都是有触礁危险的临界点， 匀速旋转一周用时２４ｍｉｎ．把摩天轮抽象为⊙Ｏ，如图（２），摩天轮依靠钢架 ＯＭ和等腰三角形钢架 图（１） 图（２） ∠ＡＣＢ就是“危险角”．已知∠ＡＣＢ＝４８°． ＭＡＢ支撑，其中 ＭＡ＝ＭＢ，ＡＢ＝１２０ｍ，ＡＢ平行于水平地面，且距离地面高度为 ２ｍ，ＡＢ与⊙Ｏ相切于 （１）若要确保船（点 Ｐ）不触礁，则船与两个灯塔的夹角∠Ｐ应满足什么条件？ 点 Ｎ，Ｍ为半径 ＯＮ的中点． （１）证明：如图（１），连接ＯＥ． 河南中考４５套汇编·数学 ３２— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ３２— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ３２— ６（２）如果灯塔 Ａ，Ｂ之间的距离为 ２０海里，∠Ｐ＝４５°，∠ＰＡＢ＝６０°，求船 Ｐ到海岸线的距离．（参考数 据：槡３≈１．７３．结果保留一位小数） （１）要确保船不触礁，则点Ｐ在圆形区域外． 如图（１），设ＡＰ与圆Ｏ的交点为Ｄ，连接ＢＤ， 则∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＝４８°． （１）如图，∵ＧＡ恰好与⊙Ｏ相切于点Ａ， ∵∠ＡＤＢ＝∠Ｐ＋∠ＤＢＰ， ∴∠ＯＡＧ＝９０°!*+$_:>?@)，  ∴∠Ｐ＜∠ＡＤＢ＝４８°， ∴∠ＯＧＡ＋∠ＡＯＧ＝９０°． ∴０°＜∠Ｐ＜４８°． 又∵∠ＯＧＡ＋∠ＡＧＣ＝９０°，∴∠ＡＯＧ＝∠ＡＧＣ＝４０°． ４０°÷（３６０°÷１８）＝２（ｍｉｎ）． 答：摩天轮至少旋转了２ｍｉｎ． （２）如图，延长ＧＯ，交⊙Ｏ于点Ｄ，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＯＤ于点Ｅ． ∵１０×（３６０°÷１８）＝２００°， ∴∠ＢＯＤ＝４０°＋２００°－１８０°＝６０°， １ １ ∴ＯＥ＝ＯＢ·ｃｏｓ６０°＝ ×５０× ＝１２．５． ２ ２ 过点Ａ作ＡＦ⊥ＯＧ于点Ｆ，则ＯＦ＝ＯＡ·ｃｏｓ∠ＡＯＧ≈２５×０．７７＝１９．２５， ∴ＯＥ＋ＯＦ＝１２．５＋１９．２５≈３１．８（ｍ）． 图（１） 答：吊舱从点Ａ到点Ｂ处升高了约３１．８ｍ． （２）如图（２），过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＰ于点Ｅ． !" # CDAB 图（２） １０． !"# CD*EFGHI 如图（１）、图（２），正方形ＡＢＣＤ的边长为５．扇形ＯＥＦ所在圆的圆心Ｏ 在Ｒｔ△ＡＥＢ中，∠ＢＡＰ＝６０°， 在对角线 ＢＤ上，且不与点 Ｄ重合，半径 ＯＥ＝２，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＤ，ＣＤ上，ＤＥ＝ＤＦ（ＤＥ≥２），扇形 ＯＥＦ ∴ＢＥ＝ＡＢ·ｓｉｎ６０°＝１０槡３，ＡＥ＝ＡＢ·ｃｏｓ６０°＝１０． 的弧交线段 ＯＢ于点 Ｍ，记为ＥＭＦ 在Ｒｔ△ＰＥＢ中，∠ＢＰＥ＝４５°，∴ＰＥ＝ＢＥ＝１０槡３， ∴ＡＰ＝１０槡３＋１０． 设点Ｐ到ＡＢ的距离为ｈ，则ＡＰ×ＢＥ＝ＡＢｈ， （１０槡３＋１０）×１０槡３ ∴ｈ＝ ＝１５＋５槡３≈２３．７（海里）． ２０ 答：船Ｐ到海岸线的距离约为２３．７海里． ９．如图，某游乐场有一个直径为５０ｍ的圆形摩天轮（轮廓看作⊙Ｏ），摩天轮逆时针匀速旋转，且旋转一周 需要１８ｍｉｎ．小明乘坐吊舱从摩天轮上最低点Ｐ处出发，小明的妈妈站在点Ｐ正下方的Ｇ处（身高忽略 不计）． （１）当小明乘坐的吊舱到达点 Ａ处时，小明的妈妈看向吊舱的视线 ＧＡ恰好与⊙Ｏ相切于点 Ａ，测得 此时的仰角为４０°，求摩天轮至少旋转了几分钟． （２）在（１）的基础上，摩天轮又旋转了 １０ｍｉｎ后，小明乘坐的吊舱到达点 Ｂ的位置，求吊舱从点 Ａ到 点Ｂ处升高了多少米．（结果精确到０．１ｍ．参考数据：ｓｉｎ４０°≈０．６４，ｃｏｓ４０°≈０．７７，ｔａｎ４０°≈０．８４， 槡３≈１．７３） 河南中考４５套汇编·数学 ３２— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ３２— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ３２— ９ ) ． （１）如图（１），当 ＡＥ＝３时，求∠ＥＭＦ的度数； （２）如图（２），当四边形 ＯＥＭＦ为菱形时，求 ＤＥ的长； （３）当∠ＥＯＦ＝１５０°时，求ＥＭＦ ) １ ∴∠ＥＭＦ＝ ∠ＥＯＦ＝４５°!I4$JK7LM)． ２  （２）∵四边形ＯＥＭＦ为菱形，∴ＥＭ＝ＯＥ． 又∵ＯＥ＝ＯＭ，∴ＥＭ＝ＯＥ＝ＯＭ， ∴△ＯＥＭ是等边三角形，∴∠ＥＯＭ＝６０°． 如图（１），过点Ｅ作ＥＧ⊥ＤＭ于点Ｇ． 图（１） 在Ｒｔ△ＥＯＧ中，ＥＧ＝ＯＥ·ｓｉｎ６０°＝ 槡３． ＥＧ 在Ｒｔ△ＤＥＧ中，ＤＥ＝ ＝ 槡６． ｓｉｎ４５° （３）当ＥＭＦ 的长． 图（１） 图（２） （１）∵ＡＤ＝５，ＡＥ＝３，∴ＤＦ＝ＤＥ＝５－３＝２． 又∵ＯＥ＝ＯＦ＝２，∴ＤＥ＝ＤＦ＝ＯＥ＝ＯＦ， ∴四边形ＤＥＯＦ是菱形． ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＡＤＣ＝９０°，∴∠ＥＯＦ＝９０°， ) 是劣弧时，如图（２），ＥＭＦ ) １５０π×２ ５π 的长为 ＝ ． １８０ ３ 图（２） 图（３） 当ＥＭＦ ) 是优弧时，如图（３）． ∵∠ＥＯＦ＝１５０°， ∴ＥＭＦ ) 所对的圆心角为３６０°－１５０°＝２１０°， ∴ＥＭＦ ) ２１０π×２ ７π 的长为 ＝ ． １８０ ３ 综上所述，ＥＭＦ ) ５π ７π 的长为 或 ． ３ ３（１）设１０月份Ａ款汉服的销量为ｘ套，Ｂ款汉服的销量为ｙ套． !" " )*&’EEFGIJ"AB !! 题型七 一次函数、反比例函数的实际应用 {ｘ＋ｙ＝６００， 由题意，得 ４．寒假期间，小文和小林到一科技体验店购买航模，已知该店有两种优惠活动可以选择，且两种活动只 １５０ｘ＋２００ｙ＝１１００００， 能参加其中一种． !" ! )*&’EEFGH7"AB {ｘ＝２００， 解得 活动①：线上付费可享受九折优惠． ｙ＝４００． １．某饭店有 Ａ，Ｂ两种午餐套餐，套餐中肉类、蔬菜类、主食含量如下表（不完整）： 答：１０月份Ａ款汉服的销量为２００套，Ｂ款汉服的销量为４００套． 活动②：科技体验店推出８５元抵１００元的代金券，付费时可抵扣１００元． 套餐 肉类／ｇ 蔬菜类／ｇ 主食／ｇ （２）设该汉服店购进Ａ款汉服ａ套，则购进Ｂ款汉服（２４００－ａ）套． （１）若小文选中的航模的价格为 ａ（２００＜ａ＜３００）元，参加活动①需付费 ｙ元，参加活动②需付费 １ Ａ ５０ ｘ １５０ １ ｙ元． 由题意，得ａ≤ （２４００－ａ），解得ａ≤８００． ２ Ｂ ８０ １８０ ２ ①请写出 ｙ，ｙ关于 ｘ的函数表达式． １ ２ 设总利润为Ｗ元， 调查发现：６份 Ａ套餐中蔬菜类的总含量和 ５份 Ｂ套餐中蔬菜类的总含量相同，每份 Ａ套餐中蔬菜 ②通过计算，小文发现参加两种方案所需费用相差７元，求 ａ的值． 则Ｗ＝（１５０－１００）ａ＋（２００－１６０）（２４００－ａ）＝１０ａ＋９６０００． 类的含量比每份 Ｂ套餐中蔬菜类的含量少５０ｇ． （２）小林也选中了一个航模，价格为 ｂ（ｂ＜４００）元，发现参加活动①更划算，求 ｂ的取值范围． ∵１０＞０，∴Ｗ随ａ的增大而增大， （１）①将表格补充完整；（用含 ｘ的代数式表示） （１）①ｙ＝０．９ａ， １ ∴当ａ＝８００时，Ｗ取最大值，且最大值为１０×８００＋９６０００＝１０４０００， ②求 ｘ的值． ｙ＝ａ－２×（１００－８５）＝ａ－３０，即ｙ＝ａ－３０． ２ ２ 此时２４００－ａ＝２４００－８００＝１６００． （２）小刚在该饭店预订了一周（７天）的午餐套餐．为了平衡饮食，小刚计划这周的午餐中，蔬菜的总 ②方法一：令０．９ａ－７＝ａ－３０，解得 ａ＝２３０． 答：该汉服店购进Ａ款汉服８００套，Ｂ款汉服１６００套，获利最大，最大利润为１０４０００元． 含量需不少于２ｋｇ，则小刚应怎样选择这两种套餐，才能使这周的午餐中肉类的总含量最少？ 令０．９ａ＋７＝ａ－３０，解得 ａ＝３７０（不合题意，舍去）． ３．某校准备在某体育用品店购买一批甲、乙两种体育器材，已知购买 １件甲种器材和 １件乙种器材共需 ２１０ ６ｘ （１）①（ｘ＋５０）（填 也对） 故 ａ的值为２３０． ５ 元，甲种器材的单价比乙种器材单价的２倍少６０元． 方法二：显然当２００＜ａ＜３００时，参加活动①购买优惠的价格不超过 ３０元，参加活动②购买优惠的价 ②根据题意，得６ｘ＝５（ｘ＋５０）， 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 格为３０元，故参加活动①购买所需费用高， 解得ｘ＝２５０． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． ∴０．９ａ－７＝ａ－３０， （２）由（１）可知，ｘ＝２５０，ｘ＋５０＝３００． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折． 设小刚这周ｍ天选择Ａ套餐，则（７－ｍ）天选择Ｂ套餐， 解得 ａ＝２３０，即 ａ的值为２３０． （１）求甲、乙两种器材的单价分别是多少元． 根据题意，得２５０ｍ＋３００（７－ｍ）≥２０００， （２）显然当０＜ｂ＜１００时，参加活动①购买需０．９ｂ元，参加活动②购买需 ｂ元，０．９ｂ＜ｂ，符合题意． （２）经核算，学校准备购买甲、乙两种器材共５０件，且甲种器材不超过３５件．设按方案一、方案二购买的费 解得ｍ≤２． 当１００≤ｂ＜２００时，令０．９ｂ＜ｂ－（１００－８５），得 ｂ＞１５０， 用分别为 ｙ元、ｙ元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． １ ２ 设这周的午餐中肉类的总含量为ｗｇ， ∴１５０＜ｂ＜２００． （１）设甲、乙两种器材的单价分别为ｘ元、ｙ元， 则ｗ＝５０ｍ＋８０（７－ｍ）＝－３０ｍ＋５６０． 当２００≤ｂ＜３００时，参加活动①购买优惠的价格不超过３０元，参加活动②购买优惠的价格为３０元，故参加活 {ｘ＋ｙ＝２１０， ∵－３０＜０， 根据题意，得 动②划算． ｘ＝２ｙ－６０， ∴ｗ随ｍ的增大而减小， 同理，当３００≤ｂ＜４００时，参加活动②划算． {ｘ＝１２０， ∴当ｍ＝２时，ｗ取得最小值，此时７－ｍ＝７－２＝５． 解得 ∴０＜ｂ＜１００或１５０＜ｂ＜２００． ｙ＝９０． 答：小刚应２天选择Ａ套餐，５天选择Ｂ套餐，才能使这周的午餐中肉类的总含量最少． ５．某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研 答：甲、乙两种器材的单价分别是１２０元、９０元． ２．在某景区的汉服店中，Ａ，Ｂ两款汉服备受游客青睐，已知 Ａ，Ｂ两款汉服的售价分别为 １５０元／套和 发现，这款笔记本各商店定价统一，花费３００元购买这款笔记本的数量比花费１００元购买这款笔记本 （２）设购买甲种器材ｍ件，则购买乙种器材（５０－ｍ）件． ２００元／套，这两款汉服１０月份的总销量为６００套，销售总额为１１００００元． 按方案一购买需要的费用为ｙ＝１２０×０．９×ｍ＋９０×０．６×（５０－ｍ）＝（５４ｍ＋２７００）（元）． 的数量多２０本． （１）求１０月份 Ａ，Ｂ两款汉服的销量分别为多少套． １ 按方案二购买需要的费用为ｙ＝１２０ｍ×０．８＋９０×０．８×（５０－ｍ）＝（２４ｍ＋３６００）（元）． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动， （２）随着游客的增多，店铺的汉服供不应求，该汉服店计划购进 Ａ，Ｂ两款汉服共 ２４００套，且 Ａ款汉 ２ 当ｙ＜ｙ，即５４ｍ＋２７００＜２４ｍ＋３６００时，０＜ｍ＜３０，此时选择方案一花费较少； 如下： １ １ ２ 服的数量不超过 Ｂ款汉服数量的 ．已知 Ａ款汉服的进价为 １００元／套，Ｂ款汉服的进价为 １６０ ２ 当ｙ＝ｙ，即５４ｍ＋２７００＝２４ｍ＋３６００时，ｍ＝３０，此时两种方案花费一样； 甲商店：购买数量超过３０本，超过部分打九折出售； １ ２ 元／套，请你设计一种进货方案，使得这批汉服全部售出后该汉服店获利最大，并求出最大利润． 当ｙ＞ｙ，即５４ｍ＋２７００＞２４ｍ＋３６００时，３０＜ｍ≤３５，此时选择方案二花费较少． 乙商店：购买数量超过５０本，超过部分打八折出售． １ ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３３— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３３— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３３— ３设该校购买 ｘ（ｘ＞０）本笔记本，在甲商店购买所花费用为 ｙ元，在乙商 （２）某款服装单价的定价为 ａ元（３００＜ａ＜６００），若小芳计划购买１件，发现在两个平台上优惠后价格一样， ∴直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝４ｘ＋２０， １ 店购买所花费用为 ｙ元．其函数图象如图所示． 求 ａ的值． 当ｘ＝０时，ｙ＝２０， ２ （１）求这款笔记本的单价． （３）小华要购买原总价超过６００元且不超过９００元的该品牌服装，那他在哪个平台上购买更划算？请你帮 ∴楼顶距离地面的高度为２０ｍ． （２）求图中点 Ｍ的坐标，并简要说明点 Ｍ表示的实际意义． 他设计购买方案． （２）由题图知ａ＝４０÷５＝８， ｔ＝１７－８８÷８＝６． （３）根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． （１）Ａ ５＋６＝１１， （１）设这款笔记本的单价为ｘ元， （２）平台Ａ的优惠价为（０．９ａ－６０）元，平台Ｂ的优惠价为［３００×０．９＋０．６（ａ－３００）］元， ∴Ｆ（１１，４０）． ３００１００ 由题意可得０．９ａ－６０＝３００×０．９＋０．６（ａ－３００）， 根据题意，得 － ＝２０， ｘ ｘ 设直线ＦＣ的函数表达式为ｙ＝ｋ′ｘ＋ｂ′． 解得ａ＝５００， 解得ｘ＝１０， 将Ｆ（１１，４０），Ｃ（１７，８８）分别代入ｙ＝ｋ′ｘ＋ｂ′， 故ａ的值为５００． 经检验，ｘ＝１０是原方程的根且符合题意!lm"：neopqrst3)． {１１ｋ′＋ｂ′＝４０， {ｋ′＝８，  （３）设原总价为ｘ元，平台Ａ的优惠价为ｙ元，平台Ｂ的优惠价为ｙ元， １ ２ 得 解得 答：这款笔记本的单价为１０元． １７ｋ′＋ｂ′＝８８， ｂ′＝－４８， 当６００＜ｘ＜９００时，ｙ＝０．９ｘ－６０×２＝０．９ｘ－１２０，ｙ＝３００×０．９＋３００×０．６＋０．５（ｘ－６００）＝０．５ｘ＋１５０． １ ２ （２）当ｘ＞３０时，ｙ＝１０×３０＋１０×０．９（ｘ－３０）＝９ｘ＋３０， ∴直线ＦＣ的函数表达式为ｙ＝８ｘ－４８． １ 若ｙ＞ｙ，０．９ｘ－１２０＞０．５ｘ＋１５０，解得ｘ＞６７５． １ ２ ∴当ｘ＞３０时，ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝９ｘ＋３０． （３）ｘ的值为１，９或１３． １ １ 若ｙ＝ｙ，０．９ｘ－１２０＝０．５ｘ＋１５０，解得ｘ＝６７５． １ ２ 当ｘ＞５０时，ｙ＝１０×５０＋１０×０．８（ｘ－５０）＝８ｘ＋１００， 解法提示：当０＜ｘ＜５时，由４ｘ＋２０－８ｘ＝１６，解得ｘ＝１； ２ 若ｙ＜ｙ，０．９ｘ－１２０＜０．５ｘ＋１５０，解得ｘ＜６７５． １ ２ ∴当ｘ＞５０时，ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝８ｘ＋１００． 当５＜ｘ＜１１时，由４ｘ＋２０－４０＝１６，解得ｘ＝９； ２ ２ 当ｘ＝９００时，ｙ＝０．９×９００－６０×３＝６３０，ｙ＝３００×０．９＋３００×０．６＋０．５×３００＝６００，∴ｙ＞ｙ． １ ２ １ ２ 由图象可知，点Ｍ是函数ｙ＝９ｘ＋３０（ｘ＞３０）和ｙ＝８ｘ＋１００（ｘ＞５０）图象的交点， 当１１＜ｘ＜１７时，由４ｘ＋２０－（８ｘ－４８）＝１６，解得ｘ＝１３． １ ２ 综上可知，当６００＜ｘ＜６７５时，在平台Ａ上购买；当６７５＜ｘ≤９００时，在平台Ｂ上购买，当ｘ＝６７５时，在两个平台上购买 故令９ｘ＋３０＝８ｘ＋１００，解得ｘ＝７０， 综上可知，符合题意的ｘ的值为１，９或１３． 价格一样． 此时ｙ＝ｙ＝６６０， ８．在某一时刻的太阳光下，竖直站在水平地面上的小明和小亮如图所示，其中小明的身高 ＤＥ＝１．６ｍ， １ ２ !" $ )*&’EECDAB ∴点Ｍ的坐标为（７０，６６０）． 影子为 ＥＢ，小亮的身高 ＭＮ＝１．８ｍ，影子为 ＮＨ．以距离小明 ８ｍ的点 Ｏ处为原点，以水平地面为 ｘ 点Ｍ表示的实际意义：当学校购买７０本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为６６０元． ７．甲、乙两架无人机进行表演训练，甲以 ａｍ／ｓ的速度从地面匀速垂直起飞，同时乙从一栋楼的楼顶匀速垂 轴，建立平面直角坐标系．已知小明、小亮两人的距离 ＥＮ＝３ｍ，光线 ＡＢ所在直线的表达式为 ｙ＝ （３）当０＜ｘ≤３０或ｘ＝７０时，在甲、乙两家商店购买均可； 直起飞，５ｓ时甲、乙到达同一高度，此时甲停止上升，并在该高度上进行表演，表演用时 ｔｓ，之后甲按其原 ｋｘ＋８． 当３０＜ｘ＜７０时，应在甲商店购买； 速度继续上升；当甲、乙第二次到达同一高度时进行联合表演．已知甲、乙距离地面的高度 ｙ（ｍ）与飞行时 （１）求 ｋ的值及小明的影长 ＥＢ． 当ｘ＞７０时，应在乙商店购买． 间 ｘ（ｓ）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （２）求 ＢＨ的长． !" # )*&’EEKLMNAB （１）求楼顶距离地面的高度． （３）随着光线倾斜度的变化，ＢＨ的长度是否跟着发生变化？若变化，请举例说明；若不变，求出 ＢＨ （２）求 ａ，ｔ的值及直线 ＦＣ的函数表达式． 的长． ６．国庆节期间，某品牌服装在两个平台做促销活动． （３）直接写出甲、乙两架无人机表演训练中，距离地面的高度差为１６ｍ时，ｘ的值． 平台 Ａ：①顾客所购服装的原总价打九折；②原总价每满３００元即送６０元现金券，折后可用券抵扣． 例如，某人购物原总价为６２０元，则他实际付款为６２０×０．９－２×６０＝４３８（元）． 平台 Ｂ： 原总价 优惠标准 不超过３００元的部分 九折优惠 超过３００元但不超过６００元的部分 六折优惠 （１）设直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ． 超过６００元的部分 五折优惠 将Ｂ（５，４０），Ｃ（１７，８８）分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 例如，某人购物原总价为７００元，则他实际付款为３００×０．９＋３００×０．６＋１００×０．５＝５００（元）． {５ｋ＋ｂ＝４０， {ｋ＝４， （１）由题意可知，Ｅ（８，０），Ｄ（８，１．６）． 得 解得 （１）若小李要买一件４００元的该品牌服装，则他应选择平台 Ａ （填“Ａ”或“Ｂ”）购买． １７ｋ＋ｂ＝８８， ｂ＝２０， 将Ｄ（８，１．６）代入ｙ＝ｋｘ＋８， 河南中考４５套汇编·数学 ３３— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ３３— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ３３— ６得１．６＝８ｋ＋８，解得ｋ＝－０．８， ∴ｙ＝－０．８ｘ＋８． 令ｙ＝０，得０＝－０．８ｘ＋８，解得ｘ＝１０， ∴Ｂ（１０，０）， ∴ＥＢ＝１０－８＝２（ｍ）． （２）由题意可知，Ｎ（１１，０），Ｍ（１１，１．８）． ∵太阳光线是平行光线， （１）当０≤ｘ＜３时，设硫化物的质量浓度ｙ与时间ｘ的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， ∴ＭＨ∥ＤＢ， ｋ （１）由题意得，当１０≤ｔ≤３０时，设Ｒ和ｔ之间的函数关系式为Ｒ＝ ， {１０＝ｂ， ｔ 把（０，１０），（３，４）分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ∴可设直线ＭＨ的表达式为ｙ＝－０．８ｘ＋ｈ， ４＝３ｋ＋ｂ， ｋ 将Ｍ（１１，１．８）代入ｙ＝－０．８ｘ＋ｈ， 把（１０，６）代入Ｒ＝ 中，解得ｋ＝６０， {ｋ＝－２， ｔ 解得 得１．８＝－０．８×１１＋ｈ， ｂ＝１０． ６０ 解得ｈ＝１０．６， ∴Ｒ与ｔ之间的函数关系式为Ｒ＝ ． 故当０≤ｘ＜３时，硫化物的质量浓度ｙ与时间ｘ的函数关系式为ｙ＝－２ｘ＋１０． ｔ ∴ｙ＝－０．８ｘ＋１０．６． ｋ 画出图象如图所示． （２）当ｘ≥３时，设硫化物的质量浓度ｙ与时间ｘ的函数关系式为ｙ＝ （ｋ≠０）， ｘ 令ｙ＝０，得０＝－０．８ｘ＋１０．６， ｋ ｋ 把（３，４）代入ｙ＝ ，得４＝ ， 解得ｘ＝１３．２５， ｘ ３ ∴Ｈ（１３．２５，０）， 解得ｋ＝１２． ∴ＢＨ＝ＯＨ－ＯＢ＝１３．２５－１０＝３．２５（ｍ）． １２ 故当ｘ≥３时，硫化物的质量浓度ｙ与时间ｘ的函数关系式为 ｙ＝ ． ｘ （３）变化． （３）能． 举例说明：当光线与地面的夹角为４５°时，ＥＢ＝ＤＥ＝１．６ｍ，ＮＨ＝ＭＮ＝１．８ｍ， １２ 理由：当ｘ＝１５时，ｙ＝ ＝０．８． ∴ＢＨ＝ＥＮ＋ＮＨ－ＥＢ＝３＋１．８－１．６＝３．２（ｍ）． １５ 而在题图所示的情形下，ＢＨ＝３．２５ｍ， ∵０．８＜１， （２）如图所示． ∴该企业所排污水中硫化物的质量浓度能在１５天以内不超过最高允许的１．０ｍｇ／Ｌ． 故ＢＨ的长度是变化的． （３）由图可知，当１０≤ｔ≤４５时，发热材料的电阻不超过６ｋΩ． !" % #$%&’4:;OP １０．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的质量浓度超标，即硫化物的质量浓度 超过最高允许的１．０ｍｇ／Ｌ．环保局要求该企业立即整改，在１５天以内（含１５天）排污达标．整改过程中， ９．家用电灭蚊器的发热部分使用了 ＰＴＣ发热材料，电阻 Ｒ（单位：ｋΩ）随温度 ｔ（单位：℃）（在一定范围 所排污水中硫化物的质量浓度 ｙ（ｍｇ／Ｌ）与时间 ｘ（天）的变化规律如图所示，其中线段 ＡＢ表示前 ３天的 内）的变化而变化，通电后发热材料温度从１０℃上升到３０℃的过程中，电阻与温度有如下关系： 变化规律，且第３天时硫化物的质量浓度降为 ４ｍｇ／Ｌ．从第 ３天起所排污水中硫化物的质量浓度 ｙ与时 ｔ／℃ １０ １５ ２０ ３０ 间 ｘ满足如下表格中的关系： Ｒ／ｋΩ ６ ４ ３ ２ 时间ｘ／天 ３ ４ ５ ６ ８ … （１）根据表中的数据，在下图中描出实数对（ｔ，Ｒ）的对应点，猜测并确定 Ｒ与 ｔ之间的函数关系式并 硫化物的质量浓度ｙ／（ｍｇ／Ｌ） ４ ３ ２．４ ２ １．５ … 画出其图象． （１）整改过程中，当０≤ｘ＜３时，求硫化物的质量浓度 ｙ与时间 ｘ的函数关系式． ４ （２）当 ｔ≥３０时，Ｒ与 ｔ之间的函数关系式为 Ｒ＝ ｔ－６，请在图中画出该函数图象． １５ （２）整改过程中，当 ｘ≥３时，求硫化物的质量浓度 ｙ与时间 ｘ的函数关系式． （３）根据以上信息，家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内发热材料的电阻不超过６ｋΩ？ （３）该企业所排污水中硫化物的质量浓度能否在１５天以内不超过最高允许的１．０ｍｇ／Ｌ？为什么？ 河南中考４５套汇编·数学 ３３— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ３３— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ３３— ９６．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＣ＝２ＡＢ＝８，Ｄ为平面内一动点，且 ＡＤ＝２，Ｅ为 ＣＤ的中点，则 ＢＥ的最大 !" !# 题型八 “隐形圆”问题 值为 ２槡５＋１ ，最小值为 ２槡５－１ ． 题型九 最值问题 ７．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝４，Ｄ为平面内一点，且 ＢＤ＝２，Ｐ为线段 ＡＤ的中点，连接 ＣＰ，则 !" ! #$%&’()*+,-./01 ＣＰ的最大值为 １＋２槡２ ，最小值为 ２槡２－１ ． !" ! 7289:4;.<=>?@AB3"C １．如图，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ是以点 Ａ为直角顶点的等腰直角三角形，把△ＡＤＥ以点 Ａ为中心顺时针旋转， １．如图，ＥＦＧＨ的四个顶点分别在矩形ＡＢＣＤ的四条边上．若ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，则ＥＦＧＨ周长的最小值为 （Ａ） １ 点 Ｍ为直线 ＢＤ，ＣＥ的交点．若 ＡＢ＝ 槡３，ＡＤ＝１，则当线段 ＭＢ最短时，△ＭＢＣ的面积为 ． ２ Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．２５＋４ Ｄ．３１０＋２ （第７题） （第８题） ８．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，∠ＡＢＣ＝１２０°，点 Ｍ，Ｎ分别在 ＡＢ，ＡＤ上，且 ＡＭ＝ＤＮ，连接 ＤＭ，ＢＮ交于点 Ｅ，则∠ＢＥＤ的度数为 １２０ °．连接 ＡＥ，则 ＡＥ的最小值为 ２槡３ ． !" # 24./3" （第１题） （第２题） ９．如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，半径为２的⊙Ｏ与 ｘ轴的正半轴交于点 Ａ，点 Ｂ是⊙Ｏ上一动点，点 Ｃ为 ２．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，点 Ｅ，Ｆ分别是射线 ＢＣ，ＣＤ上的动点，且 ＢＥ＝ＣＦ，连接 ＡＥ，ＢＦ交于 （第１题） （第２题） （第３题） （第４题） ３ 弦 ＡＢ的中点，直线ｙ＝ ｘ－３与 ｘ轴、ｙ轴分别交于点 Ｄ，Ｅ，则△ＣＤＥ面积的最小值为 ２ ． １２ ４ ２．如图，两座城市 Ａ和 Ｂ在平面直角坐标系中的坐标分别为（３，６），（１，２），铁路所在的直线为 ｙ＝ｘ，计 点 Ｐ，连接 ＤＰ，则点 Ｃ到 ＤＰ的距离的最小值为 ． ５ ９ ９ 划在铁路上修建一个站点 Ｐ，使站点 Ｐ到两城市的距离和最小，则站点 Ｐ的坐标为 （ ， ） ． ３．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝３，ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，将线段 ＢＡ绕点 Ｂ顺时针旋转 α ４ ４ （０°＜α＜９０°）得到线段ＢＥ，连接ＣＥ并延长，交ＡＤ于点Ｆ，连接ＢＦ，ＤＥ，则ＤＥ的最小值为 １ ，ＢＦ的 ３． !"# $%&’()*+,-./01 如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＡＤ＝６，点 Ｐ为平面内 一点，且 ＢＰ＝２，点 Ｑ为 ＣＤ上一个动点，则 ＡＱ＋ＰＱ的最小值为 １１ ． 最大值为 ２槡５ ． ４．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＢＣ＝６，Ｅ，Ｆ是∠ＡＢＣ的平分线 ＢＰ上的两个动点，且 （第９题） （第１０题） ＥＦ＝３，连接 ＣＦ，ＣＥ，则△ＣＥＦ周长的最小值为 ３槡５＋３ ． １０．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，Ｄ为平面内一点，且 ＣＤ＝４．连接 ＡＤ，ＢＤ，过点 Ａ作 ＡＥ⊥ＢＤ ５．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＢＣＡ＝７５°，ＢＣ＝４，Ｄ，Ｅ分别为边 ＡＣ，ＡＢ上的动点，且 ＣＤ＝ＡＥ，连接 ＢＤ，ＣＥ． 于点Ｅ，则△ＡＢＤ面积的最小值为 ４ ，ＢＥ的最小值为 ４槡３－３ ． !" $ )*+,-5601 （１）ＡＢ的长为 ２＋２槡３ ； ＡＤ 槡６＋３槡２ （第３题） （第４题） １１．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ＯＡＢＣ的顶点 Ａ（６，０），Ｃ（０，８），动点 Ｐ从点 Ａ出发，以每秒 １个单位长 （２）当 ＢＤ＋ＣＥ的值最小时， 的值为 ． ＣＤ ６ ４．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝６，线段 ＢＦ绕点 Ｂ在平面内旋转，过点 Ｃ作ＣＥ⊥ＡＦ于点 Ｅ．若 度的速度沿 ＡＢ向点 Ｂ运动，同时动点 Ｑ从点 Ｃ出发，以相同的速度沿 ＣＯ向点 Ｏ运动．过点 Ｂ作 ＢＤ⊥ ＰＱ于点 Ｄ． ＢＦ＝４，则ＡＥ的最大值为 ４槡３＋３ ，最小值为 ４槡３－３ ． （１）当 ＱＤ＝３ＤＰ时，点 Ｐ的坐标为 （６，３） ． !" " 2,./3" （２）当 ＢＤ的值最大时，点 Ｄ的坐标为 （３，４） ． ５．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，Ｍ，Ｎ分别是 ＢＣ，ＣＤ边上的动点，且 ＢＭ∶ＣＮ＝３∶２，ＡＭ，ＢＮ相交 图（１） 图（２） 于点 Ｐ，连接 ＰＣ，则 ＰＣ的最小值为 ２ ． （第５题） （第６题） !" " D4;.<=>EFG3"C ６． !"# 23$45678) 如图（１），在四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ＝ＢＤ，我们把对角线相等 （第１１题） （第１２题） 的四边形称为“对等四边形”．如图（２），在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｐ为 ＢＣ边上一动点，Ｍ，Ｎ分别为 ＡＢ， １２．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝４，ＢＣ的长度不定，点 Ｄ，Ｅ分别是边 ＢＣ，ＡＢ上的点，且 ＢＤ＝２槡３， ＡＣ边上的动点．已知ＡＢ＝１０，ＢＣ＝１２，若四边形ＡＭＰＮ为“对等四边形”，则ＭＮ的最小值为（ Ｂ ） （第５题） （第６题） ＢＥ＝３．过点 Ｄ作 ＤＦ⊥ＡＣ于点 Ｆ，连接 ＥＦ，则 ＥＦ的最大值为 ２＋ 槡７ ． Ａ．１０ Ｂ．８ Ｃ．６ Ｄ．５ 河南中考４５套汇编·数学 ３４— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３４— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３５— １ 书书书７．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝９，ＡＢ＝６，动点 Ｐ从点 Ｄ出发，以每秒１个单位长度的速度沿 ＤＡ向点 Ａ运 ７．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ＝８，ＢＤ＝６，将△ＢＣＯ沿射线 ＣＡ向右上方平移 ａ个单位长度（ａ＞０，点 Ｃ′不 !$ 动，将ＰＣ绕点Ｐ顺时针旋转６０°，得到ＰＥ，连接ＥＣ，ＥＢ．当ＢＥ的值最小时，点Ｐ运动的时间为 （Ｃ） ２５ 题型十 多解题 与点 Ａ重合）得到△Ｂ′Ｃ′Ｏ′，连接 ＢＢ′，ＢＣ′，则当△ＢＢ′Ｃ′是等腰三角形时，ａ的值为 或５ ． ９ ８ Ａ．２秒 Ｂ．２槡３秒 Ｃ． 秒 Ｄ．３槡３秒 ２ !" " 2Y^+(_‘F]01 !" ! UVWX+YUVZ[+(+\F]01 ８．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝２２，点 Ｄ是 ＡＣ的中点，连接 ＢＤ，将△ＢＣＤ绕点 Ｂ旋转，得 １． !"# 23$9:;<=8)４５°是一个很巧妙的角度，应用于数学、物理等各个领域，其一半为 到△ＢＥＦ．连接 ＣＦ，当 ＣＦ∥ＡＢ时，ＣＦ＝ 槡６＋２或槡６－２． ２２．５°．若一个三角形的一个内角为 ２２．５°，则称这样的三角形为“半完美三角形”．如图，在△ＡＢＣ中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝４，ＢＣ的长度不定，点 Ｄ，Ｅ分别为 ＡＢ，ＢＣ的中点，点 Ｐ为 ＤＥ上一点，且∠ＡＰＢ＝９０°．若 △ＢＰＥ是“半完美三角形”，则 ＢＣ的长为 ４或４＋４槡２ ． （第７题） （第８题） （第９题） （第１０题） １ ８．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，∠Ａ＝３０°，点 Ｄ为 ＡＣ边上一动点，则 ＡＤ＋ＤＢ的最小值为 ２槡３ ． ２ （第８题） （第９题） （第１０题） ９．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ｃ＝３０°，ＡＢ＝３，Ｄ是边 ＡＣ上一动点．连接 ＢＤ，以 ＢＤ为直角边按如 ９．一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＢＥ＝ＡＣ＝３．将 图所示的方向作 Ｒｔ△ＤＢＥ，使得∠ＤＢＥ＝９０°，且ＢＥ∶ＢＤ＝１∶槡３．Ｆ是边ＢＣ上的一点，且ＢＦ＝ 槡３，连接 三角板 ＡＢＣ固定不动，将小三角板 ＤＢＥ绕点 Ｂ顺时针在平面内旋转，当点 Ｃ，Ｅ，Ｄ在同一条直线上 ＥＦ，则 ＢＥ的最小值为 ３ ，ＥＦ的最小值为 ３ ． 时，点 Ｄ到直线 ＢＣ的距离为 槡６＋１或槡６－１ ． ２ １０．如图，在等边三角形 ＡＢＣ中，Ｄ为 ＡＣ的中点，Ｅ为直线 ＢＤ上一动点，以 ＡＥ为边在 ＡＥ的左侧作等 （第１题） （第２题） １０．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝４，点 Ｅ是 ＣＢ延长线上一点，且 ＢＥ＝２，点 Ｆ为线段 ＡＥ上一动点，连 边三角形 ＡＦＥ，连接 ＢＦ，ＣＦ．已知 ＡＢ＝４，则当∠ＦＢＣ＝４５°时，ＤＥ的长为４－２槡３或４＋２槡３． ２． !"# 23$>?678) 若一个四边形满足有一组对边平行且有一组对角互余，则称这样的四 ４槡１０ １１．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝２ＢＣ＝４，Ｄ是 ＡＣ的中点，将△ＤＣＢ绕点 Ｃ旋转得到△ＥＣＦ，连 接 ＢＦ，将线段ＢＦ绕点Ｂ顺时针旋转９０°得到线段ＢＧ，连接ＤＧ，ＦＧ，则ＦＧ的最小值是 ，此时 边形为“平余四边形”．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝１，在直线 ＡＣ左侧找到一点 Ｄ，使四 ５ 接 ＡＥ．当∠ＡＥＦ＝９０°时，ＡＥ的长为 槡１４＋ 槡２或槡１４－ 槡２ ． ＤＧ的长为 ４ ． 边形 ＡＢＣＤ为“平余四边形”，则 ＢＤ的长为 槡５７ 或槡７ ． ３ !" # 7289HI(.J/01 ３． !"# 23$@A<=8) 若一个三角形三边长之比为 ３∶４∶５，则称这个三角形为“勾股三角 １１．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝３槡２，ＡＣ＝２，以 ＢＣ为边作 Ｒｔ△ＢＣＤ，ＢＣ＝ＢＤ，点 Ｄ与点 Ａ在 ＢＣ的两侧，则 形”．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，点 Ｅ在边 ＡＤ上，将△ＡＢＥ沿 ＢＥ折叠，得到△ＦＢＥ，过点 Ｆ作 ＦＧ⊥ ＡＤ的最大值为 （Ｄ） ５槡５ ５槡１０ Ａ．２＋３槡２ Ｂ．６＋２槡２ Ｃ．５ Ｄ．８ ＢＣ于点 Ｇ．若△ＦＢＧ是“勾股三角形”，则 ＢＥ的长为 ２ 或 ３ ． （第１１题） （第１２题） １２．如图，矩形 ＡＢＣＤ的边 ＡＤ长为４，将△ＡＤＣ沿对角线 ＡＣ翻折得到△ＡＤ′Ｃ，ＣＤ′与 ＡＢ交于点 Ｅ，再以 ＣＤ′为折痕，将△ＢＣＥ进行翻折，得到△Ｂ′ＣＥ．若两次折叠后，点 Ｂ′恰好落在△ＡＤＣ的边上，则 ＡＢ的 长为 ４槡２＋４或４槡３ ． !" # 5601 １３．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝２，点 Ｃ在线段 ＡＢ上运动，过点 Ｃ的弦 ＤＥ⊥ＡＢ，将 ＤＢＥ ４．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３＋３槡２，Ｄ为边 ＢＣ上一点，将△ＡＣＤ沿直线 ＡＤ翻折得到△ＡＥＤ，连接 ＢＥ． （第１１题） （第１２题） （第１３题） （第１４题） 若△ＢＤＥ是以 ＢＤ为直角边的等腰直角三角形，则 ＣＤ的长为 ３＋３槡２或３ ． １２．如图，在平面直角坐标系中，边长为４的菱形ＡＢＣＤ的顶点 Ａ，Ｂ分别在 ｙ轴的正半轴和 ｘ轴的正半轴 ５．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ的长度不定，点Ｏ为ＢＤ的中点，点Ｅ为ＢＣ上一点，且 上，且∠ＡＢＣ＝６０°，当点Ｂ在ｘ轴的正半轴上运动时，点 Ａ随之在 ｙ轴的正半轴上运动，菱形 ＡＢＣＤ的 ＣＦ 形状保持不变，则在运动过程中，点 Ｄ到点 Ｏ的距离的最大值是 （Ｂ） ∠ＢＤＥ＝３０°，ＤＥ与 ＯＣ交于点 Ｆ．当△ＯＤＦ是直角三角形时， 的值为 槡３－１或１ ． ＯＦ Ａ．２槡３＋２ Ｂ．２槡７＋２ Ｃ．２槡３＋１ Ｄ．２槡７＋１ !" $ KLMNOPQRST./01 ６．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ 槡１５，ＡＤ＝４，点 Ｅ是 ＡＤ的中点．将线段 ＡＥ绕着点 Ａ旋转得到线段 ＡＥ′，连接 １３．如图，△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝４，点 Ｄ在 ＡＢ边上，且 ＤＥ经过点 Ｃ，ＤＦ交 ＡＣ于 ＤＥ′，ＢＥ′．在旋转过程中，当△ＡＤＥ′是等腰三角形时，ＢＥ′的值为 ２或槡３４ ． 点 Ｇ，则 ＣＧ的最小值为 （Ｃ） １ ２ 槡３ ２槡３ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２ ３ ２ ３ １４．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝２，点Ｐ是ＡＢ上一动点（不与点Ａ，Ｂ重合），连接ＤＰ，将△ＤＡＰ沿 ＤＰ折叠得△ＤＡ′Ｐ，点 Ｍ在 ＢＣ上，将△ＰＢＭ沿 ＰＭ折叠，使点 Ｂ的对应点 Ｂ′恰好落在射线 ＰＡ′上， ２５ 连接 ＤＭ，则 ＤＭ的最小值为 ． ８ （第６题） （第７题） 河南中考４５套汇编·数学 ３５— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３６— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３６— ２ ) 沿 ＤＥ翻折交 直线 ＡＢ于点 Ｆ，当 ＤＥ的长为正整数时，线段 ＦＢ的长为 ２－ 槡３，２或２＋ 槡３ ． １４．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，∠Ｂ＝６０°．点 Ｐ从点 Ａ出发，以 １ｃｍ／ｓ的速度沿 ＡＤ运 ３ 动，同时点 Ｑ从点 Ｃ出发，以３ｃｍ／ｓ的速度沿 ＣＢ运动．在点 Ｐ，Ｑ运动过程中，当 ＡＰ为 或 ３ ｃｍ ２ 时，线段 ＰＱ＝ＣＤ．∴抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２过定点（０，－２）． ∴当ｘ＝－１时，ｙ取得最小值，最小值为１， !" 又∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２过定点（２，－２）， ∴点Ｃ的坐标为（－１，１）． 题型十一 二次函数的图象与性质 ０＋２ （３）当ｋ＞０时，ｍ≥２；当ｋ＜０时，ｍ≤－１． ∴抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２的对称轴为直线ｘ＝ ＝１． ２ 解法提示：易知抛物线的对称轴是直线ｘ＝２． !" ! #$%&’(&)*+, （２）由（１）可知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２＝ａｘ２－２ａｘ－２． 分两种情况讨论． １．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，已知抛物线 ｙ＝ａｘ２－２ａ２ｘ（ａ≠０）． ∵ａ＜０，∴抛物线ｙ＝ａｘ２－２ａｘ－２开口向下， ①若ｋ＞０，则当ｘ＜２时，ｙ随ｘ的增大而减小，当ｘ＞２时，ｙ随ｘ的增大而增大． （１）当 ａ＝１时，求抛物线的顶点坐标； ∴当ｘ＜１时，ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ＞１时，ｙ随ｘ的增大而减小；当ｘ＝１时，ｙ取得最大值． ∵当ｍ≤ｘ＜ｘ≤ｍ＋３时，总有ｙ＜ｙ， １ ２ １ ２ （２）已知 Ｍ（ｘ，ｙ）和 Ｎ（ｘ，ｙ）是抛物线上的两点，若对于 ｘ＝３ａ，３≤ｘ≤４，都有 ｙ＜ｙ，求 ａ的取值 对ｍ的取值分以下几种情况讨论： ∴ｍ≥２． １ １ ２ ２ １ ２ １ ２ 范围． ①当ｍ＋２＜１时，ｍ＜－１， ②若ｋ＜０，则当ｘ＜２时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ＞２时，ｙ随ｘ的增大而减小． （１）把ａ＝１代入ｙ＝ａｘ２－２ａ２ｘ，得ｙ＝ｘ２－２ｘ＝（ｘ－１）２－１， 此时ｙ在ｘ＝ｍ＋２时取得最大值， ∵当ｍ≤ｘ＜ｘ≤ｍ＋３时，总有ｙ＜ｙ， １ ２ １ ２ ∴抛物线的顶点坐标为（１，－１）． ∴ａ（ｍ＋２）２－２ａ（ｍ＋２）－２＝ａ－２， ∴ｍ＋３≤２，解得ｍ≤－１． －２ａ２ 整理，得ｍ２＋２ｍ－１＝０， 综上所述，当ｋ＞０时，ｍ≥２，当ｋ＜０时，ｍ≤－１． （２）抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ＝ａ， ２ａ 解得ｍ＝－１＋ 槡２（舍去），ｍ＝－１－ 槡２． ４．如图，抛物线 ｙ＝ｘ２－ｂｘ－ｃ与 ｘ轴交于点 Ａ（－１，０），Ｂ（点 Ａ在点 Ｂ左侧），且顶点为 Ｐ． １ ２ ∴点Ｍ（３ａ，ｙ １ ）关于对称轴的对称点为（－ａ，ｙ １ ）． ②当ｍ≤１≤ｍ＋２时，－１≤ｍ≤１， （１）求点 Ｐ的坐标（用含 ｂ的式子表示）． 分两种情况讨论． 此时ｙ在ｘ＝１时取得最大值， （２）已知矩形 ＯＣＤＥ的顶点 Ｃ，Ｅ分别在 ｘ轴，ｙ轴上，点 Ｄ的坐标为（３，－２）． ①当ａ＞０时，如图（１）． ∴ａ－２ａ－２＝ａ－２， ①当ＡＰ的中点落在直线ＤＥ上时，求点Ｐ的坐标； ∵ｙ＜ｙ， １ ２ 解得ａ＝０，不符合题意． ②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值 ｙ随 ｘ的增大而增大时，请直 ∴点Ｎ在点Ｍ右侧，即３ａ＜３， ③当ｍ＞１时，ｙ在ｘ＝ｍ时取得最大值， 接写出 ｂ的取值范围． 解得ａ＜１，∴０＜ａ＜１． ∴ａｍ２－２ａｍ－２＝ａ－２， （１）将Ａ（－１，０）代入ｙ＝ｘ２－ｂｘ－ｃ，得１＋ｂ－ｃ＝０， 整理，得ｍ２－２ｍ－１＝０， ∴ｃ＝ｂ＋１， 解得ｍ ３ ＝１＋ 槡２，ｍ ４ ＝１－ 槡２（舍去）． ｂ ｂ２ ∴ｙ＝ｘ２－ｂｘ－ｂ－１＝（ｘ－ ）２－ －ｂ－１， ２ ４ 综上所述，ｍ的值为－１－ 槡２或１＋ 槡２． ３．已知抛物线 ｙ＝ｋｘ２－４ｋｘ＋６， ｂ ｂ２ ∴Ｐ（ ，－ －ｂ－１）． ２ ４ （１）若该抛物线经过点 Ａ（３，０），求该抛物线的表达式； ｂ ｂ２ （２）若该抛物线开口向下，当－１≤ｘ≤４时，抛物线的最高点为 Ｂ，最低点为 Ｃ，点 Ｂ的纵坐标为 １０，求点 Ｃ （２）①∵Ａ（－１，０），Ｐ（ ，－ －ｂ－１）， 图（１） 图（２） ２ ４ 的坐标； ②当ａ＜０时，如图（２）． ｂ２ ｂ １ ∴ＡＰ中点的纵坐标为－ － － ． （３）已知点 Ｄ（ｘ，ｙ），Ｅ（ｘ，ｙ）在该抛物线上，且当 ｍ≤ｘ＜ｘ≤ｍ＋３时，总有 ｙ＜ｙ，直接写出 ｍ的取值 ８ ２ ２ ∵ｙ＜ｙ， １ １ ２ ２ １ ２ １ ２ １ ２ 范围． ∴－ａ＞４，解得ａ＜－４． ∵ＡＰ的中点在直线ＤＥ上， 综上可知，ａ的取值范围为０＜ａ＜１或ａ＜－４． （１）∵该抛物线经过点Ａ（３，０）， ｂ２ ｂ １ ∴－ － － ＝－２， ２．已知抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２（ａ＜０）过定点（２，－２）． ∴９ｋ－４ｋ×３＋６＝０，解得ｋ＝２， ８ ２ ２ ∴该抛物线的表达式为ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋６． 解得ｂ＝－６（舍去），ｂ＝２， （１）求抛物线的对称轴； １ ２ （２）当 ｍ≤ｘ≤ｍ＋２时，ｙ有最大值 ａ－２，求 ｍ的值． （２）∵ｙ＝ｋｘ２－４ｋｘ＋６＝ｋ（ｘ－２）２＋６－４ｋ， ∴点Ｐ的坐标为（１，－４）． ∴该抛物线的顶点坐标为（２，６－４ｋ），对称轴是直线ｘ＝２． （１）方法一：将（２，－２）代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２， ５ ②－１＜ｂ≤０或１≤ｂ＜ ． 又∵该抛物线开口向下， ２ 得４ａ＋２ｂ－２＝－２， ∴ｋ＜０，抛物线的最高点Ｂ的坐标为（２，６－４ｋ）， 解法提示：当抛物线过点（０，０）时，－ｂ－１＝０，解得ｂ＝－１． ∴４ａ＋２ｂ＝０，∴ｂ＝－２ａ， ｂ －２ａ ∴６－４ｋ＝１０，解得ｋ＝－１， ｂ ∴抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２的对称轴为直线 ｘ＝－ ＝－ ＝１． 当点Ｐ在ｙ轴上时， ＝０，即ｂ＝０． ２ａ ２ａ ∴该抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２＋４ｘ＋６． ２ 方法二：对于ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２，当ｘ＝０时，ｙ＝－２， ∵２－（－１）＝３，４－２＝２，３＞２， 当抛物线过点Ｅ（０，－２）时，如图（１），－ｂ－１＝－２，解得ｂ＝１． 河南中考４５套汇编·数学 ３７— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３７— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３７— ３ 书书书【理解应用】 （１）①画出该抛物线如图所示． （２）已知抛物线 ｙ＝ａｘ２＋（１－３ａ）ｘ＋１（ａ≠０）与 ｙ轴交于点 Ａ． ①求该抛物线的“永恒点”的坐标． ②已知 Ｂ（２，１）．若该抛物线与线段 ＡＢ有两个公共点，求 ａ的取值范围． （１）（－１，－３） 备用图 解法提示：ｙ＝ｍｘ＋ｍ－３＝ｍ（ｘ＋１）－３， 图（１） 图（２） 当ｘ＝－１时，ｙ的值恒为－３， ５ 当抛物线过点Ｄ（３，－２）时，如图（２），－２＝９－３ｂ－ｂ－１，解得ｂ＝ ． 故该直线的“永恒点”的坐标为（－１，－３）． ２ （２）①ｙ＝ａｘ２＋（１－３ａ）ｘ＋１＝ａｘ２＋ｘ－３ａｘ＋１＝ａｘ（ｘ－３）＋ｘ＋１， ②∵对于ｙ＝ｋｘ＋４ｋ，当ｘ＝－４时，ｙ＝０， ５ 分析可知，ｂ的取值范围为－１＜ｂ≤０或１≤ｂ＜ ２ ． 当ｘ＝３时，ｙ的值恒为４， ∴直线ｌ过点（－４，０）． 故该抛物线不同于点Ａ的“永恒点”的坐标为（３，４）． 令ｘ２＋２ｘ－３＝ｋｘ＋４ｋ， !" ! #$%&’%() ②设Ｃ（３，４），∵抛物线恒过点Ａ（０，１），Ｃ（３，４）， 整理，得ｘ２＋（２－ｋ）ｘ－３－４ｋ＝０， ５．平面直角坐标系中，线段 ＡＢ的端点坐标为 Ａ（２，５），Ｂ（－１，２）． ∴易知当ａ＜０时，抛物线与线段ＡＢ有且只有一个公共点Ａ，不符合题意． 当Δ＝（２－ｋ）２－４（－３－４ｋ）＝０时， （１）求线段 ＡＢ的表达式； 当ａ＞０，且抛物线经过点Ｂ（２，１）时，如图（１）， 獉獉 解得ｋ １ ＝－６＋２槡５，ｋ ２ ＝－６－２槡５． （２）若抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过 Ａ，Ｂ两点，求抛物线的表达式； 则１＝２ａ（２－３）＋２＋１，解得ａ＝１． 结合图象分析可知，当ｋ≤－６－２槡５或ｋ≥－６＋２槡５时，直线ｌ与该抛物线有公共点． （３）若抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋３与线段 ＡＢ有两个公共点，求 ｍ的取值范围． 当ａ＞０，且抛物线的顶点为Ａ时，如图（２）， （２）不存在． １－３ａ １ （１）设线段ＡＢ所在直线的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 则－ ＝０，∴１－３ａ＝０，∴ａ＝ ． 理由：∵ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋ｃ＝（ｘ＋１）２＋ｃ－１， ２ａ ３ ∵Ａ（２，５），Ｂ（－１，２）， ∴该抛物线的顶点坐标为（－１，ｃ－１）． １ {２＝－ｋ＋ｂ， {ｋ＝１， 经分析可知，若抛物线与线段ＡＢ有两个公共点，则ａ的取值范围为 ＜ａ≤１． ３ 当－１≤ｃ＜０时，－２≤ｃ－１＜－１， ∴ 解得 ５＝２ｋ＋ｂ， ｂ＝３， ∴此时区域Ｗ内只有１个整点． ∴线段ＡＢ的表达式为ｙ＝ｘ＋３（－１≤ｘ≤２）． 当－２≤ｃ＜－１时，－３≤ｃ－１＜－２， （２）∵抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过Ａ（２，５），Ｂ（－１，２）两点， ∴此时区域Ｗ内有４个整点． {５＝４＋２ｂ＋ｃ， {ｂ＝０， ∴ 解得 当ｃ＜－２时，区域Ｗ内整点的个数一定不低于４个， ２＝１－ｂ＋ｃ， ｃ＝１， ∴区域Ｗ内不存在有３个整点的情况． ∴抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２＋１． ８．已知抛物线 Ｌ：ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２（ｘ≤０）的顶点为 Ａ，与 ｙ轴交于点 Ｂ． １ （３）令ｘ２＋ｍｘ＋３＝ｘ＋３， 图（１） 图（２） （１）点 Ａ的坐标为 （－１，１） ，点 Ｂ的坐标为 （０，２） ． 整理，得ｘ２＋（ｍ－１）ｘ＝０． ７．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋ｃ（ｃ＜０）． （２）如图，将抛物线 Ｌ：ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２（ｘ≤０）绕点 Ｂ旋转１８０°后，得到抛物线 Ｌ，Ｌ与 ｘ轴交于点 Ｄ． ∵抛物线ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋３与线段ＡＢ有两个公共点， （１）当 ｃ＝－３时， １ ２ ２ ①求抛物线 Ｌ的表达式及点 Ｄ的坐标； ∴方程ｘ２＋（ｍ－１）ｘ＝０有两个不同的实数解， ①在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该抛物线； ２ ②记抛物线 Ｌ，Ｌ组合得到的新图象为 Ｗ，若图象 Ｗ与直线 ｙ＝－ｘ＋ｂ有三个交点，直接写出 ｂ的 即Δ＝（ｍ－１）２＞０，∴ｍ≠１． ②若直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋４ｋ与该抛物线有公共点，求 ｋ的取值范围． １ ２ 取值范围． ｍ ｍ （２）规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．该抛物线与 ｘ轴围成的区域记为区域 Ｗ（不含边界），区域 Ｗ 对于ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋３，１＞０，抛物线开口向上，对称轴为直线ｘ＝－ ，∴－１≤－ ≤２，∴－４≤ｍ≤２． ２ ２ 内是否存在有３个整点的情况？若存在，直接写出这３个整点的坐标；若不存在，请说明理由． 当ｘ＝２时，ｙ＝４＋２ｍ＋３≥５，解得ｍ≥－１． 当ｘ＝－１时，ｙ＝１－ｍ＋３≥２，解得ｍ≤２． ∴－１≤ｍ≤２且ｍ≠１． ６． !"# $%&’()*定义：若某函数图象恒过点（ｐ，ｑ）（ｐ≠０），则我们称点（ｐ，ｑ）为该函数 图象的“永恒点”． （１）（－１，１） （０，２） 【初步认识】 解法提示：∵ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＝（ｘ＋１）２＋１，∴Ａ（－１，１）． （１）直线 ｙ＝ｍｘ＋ｍ－３（ｍ为常数，且 ｍ≠０）的“永恒点”的坐标为 （－１，－３） ． 当ｘ＝０时，ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＝２，∴Ｂ（０，２）． 河南中考４５套汇编·数学 ３７— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ３７— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ３７— ６ 书书书（２）①设抛物线Ｌ的顶点为Ｃ，则点Ｃ与点Ａ关于点Ｂ对称， ９ ３ ３ ２ 所以ａ＜０，且－ ａ－２＝１－ ａ２， ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ ， ４ ４ ２ ∴ｘ＝２ｘ－ｘ＝０－（－１）＝１，ｙ＝２ｙ－ｙ＝４－１＝３!"#$%&’"()*+,． Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ａ 解得ａ＝－１或ａ＝４（舍去）， ｂ ３ ∴点Ｃ的坐标为（１，３）． ∴－ ＝－ ，∴ｂ＝－３， －２ ２ 所以该二次函数的表达式为ｙ＝－ｘ２＋３ｘ－２． ∴抛物线Ｌ的表达式为ｙ＝－（ｘ－１）２＋３（ｘ≥０）． ２ ∴抛物线的表达式为ｙ＝－ｘ２－３ｘ＋４． （ⅱ）证明：因为点 Ｍ（ｘ，ｍ）在函数 ｙ＝－ｘ２＋３ｘ－２的图象上， 令－（ｘ－１）２＋３＝０，解得ｘ １ ＝１＋ 槡３，ｘ ２ ＝１－ 槡３（不合题意，舍去）， １ （２）①令ｙ＝０，得－ｘ２－３ｘ＋４＝０， 所以 ｍ＝－ｘ２＋３ｘ－２． ∴点Ｄ的坐标为（１＋ 槡３，０）． １ １ 解得ｘ＝１，ｘ＝－４， １ ２ ３ １ １７ 由（ⅰ）知，点 Ｍ（ｘ，ｍ），Ｎ（ｘ，ｍ）关于直线 ｘ＝ 对称，不妨设 ｘ＜ｘ， ∴Ａ（－４，０）． ②－ ＜ｂ＜ ． １ ２ ２ １ ２ ４ ４ 设直线ＡＣ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， １ １ ３ ３ 解法提示：当直线ｙ＝－ｘ＋ｂ与抛物线Ｌ １ 只有一个交点时，令ｘ２＋２ｘ＋２＝－ｘ＋ｂ， 则 ｘ ２ － ２ ＝ ２ －ｘ １ ，即 ｘ １ ＋ｘ ２ ＝３， {－４ｋ １ ＋ｂ １ ＝０， 把点Ａ，Ｃ的坐标分别代入，得 即ｘ２＋３ｘ＋２－ｂ＝０， ｂ＝４， （ｘ－１）２ ｘ－２ （ｘ－１）２（ｘ－２）－ｍ（ｘ－２） １ １ 所以 １ －２ ＝ １ １ ２ ∴Δ＝９－４（２－ｂ）＝０，解得ｂ＝－ ． ｍ ｘ－２ ｍ（ｘ－２） {ｋ １ ＝１， ４ １ １ 解得 当直线ｙ＝－ｘ＋ｂ与抛物线Ｌ ２ 只有一个交点时，令－（ｘ－１）２＋３＝－ｘ＋ｂ，即ｘ２－３ｘ＋ｂ－２＝０， ＝ （ｘ １ －１）（ｘ １ －２）（ｘ １ －１）－ｍ（ｘ ２ －２） ｂ １ ＝４， ｍ（ｘ－２） ∴ｙ＝ｘ＋４． １７ １ ∴Δ＝９－４（ｂ－２）＝０，解得ｂ＝ ． ４ （ｘ２－３ｘ＋２）（ｘ－１）－ｍ（ｘ－２） 过点Ｐ作ＰＦ∥ｙ轴，交ＡＣ于点Ｆ， ＝ １ １ １ ２ １ １７ ｍ（ｘ－２） ∵ＯＡ＝ＯＣ＝４，∠ＡＯＣ＝９０°， １ ∴若图象Ｗ与直线ｙ＝－ｘ＋ｂ有三个交点，则ｂ的取值范围为－ ＜ｂ＜ ． ４ ４ －ｍ（ｘ－１）－ｍ（ｘ－２） ∴∠ＡＣＯ＝４５°，∴∠ＰＦＥ＝４５°，∴ＰＦ＝ 槡２ＰＥ，∴ｄ＝ＰＦ． ＝ １ ２ !" # 12+, ｍ（ｘ－２） 易知Ｐ（ｍ，－ｍ２－３ｍ＋４），则Ｆ（ｍ，ｍ＋４）． １ －ｍ（ｘ＋ｘ－３） 分两种情况讨论． ＝ １ ２ ９． !+, -./0 在平面直角坐标系中，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２的图象过点Ａ（１，ｔ），Ｂ（２，ｔ）． ｍ（ｘ－２） 当点Ｐ在直线ＡＣ的上方，即－４＜ｍ＜０时， １ ｂ ＝０， ｄ＝ＰＦ＝－ｍ２－３ｍ＋４－（ｍ＋４）＝－ｍ２－４ｍ． （１）求 的值． ａ （ｘ－１）２ ｘ－２ 当点Ｐ在直线ＡＣ的下方，即０＜ｍ＜１时， 所以 １ ＝２ ． （２）已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２的最大值为１－ ３ ａ２． ｍ ｘ １ －２ ｄ＝ＰＦ＝ｍ＋４－（－ｍ２－３ｍ＋４）＝ｍ２＋４ｍ． ４ ３ {－ｍ２－４ｍ（－４＜ｍ＜０）， １０．如图，已知抛物线 ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点，与 ｙ轴交于点 Ｃ（０，４），其对称轴为直线 ｘ＝－ ． ∴ｄ＝ （ⅰ）求该二次函数的表达式； ２ ｍ２＋４ｍ（０＜ｍ＜１）． （ｘ－１）２ ｘ－２ （ⅱ）若 Ｍ（ｘ，ｍ），Ｎ（ｘ，ｍ）为该二次函数图象上的不同两点，且 ｍ≠０，求证： １ ＝２ ． （１）求抛物线的表达式． ② ０＜ｄ＜４． １ ２ ｍ ｘ－２ １ （２）作直线ＡＣ，动点Ｐ在ｘ轴上方的抛物线上（不与点Ｃ重合），过点Ｐ作ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ．设点Ｐ的横坐 解法提示：当－４＜ｍ＜０时，ｄ＝－ｍ２－４ｍ＝－（ｍ＋２）２＋４， ｂ （１）二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２的图象的对称轴为直线ｘ＝－ ． 标为 ｍ，ｄ＝ ２ＥＰ． 故当ｍ＝－２时，ｄ取最大值，最大值为４． ２ａ ①求 ｄ关于 ｍ的函数表达式，并写出 ｍ的取值范围． 当０＜ｍ＜１时，ｄ＝ｍ２＋４ｍ＝（ｍ＋２）２－４，ｄ随ｍ的增大而增大，此时０＜ｄ＜５． ｂ ｂ 因为点Ａ（１，ｔ），Ｂ（２，ｔ）在该函数的图象上，所以２－（－ ）＝－ －１（"#：-./01"2()34，51"6- ②已知对于 ｄ的不同取值，点 Ｐ的个数情况不一．当对于每个 ｄ的取值，均有三个点 Ｐ与其对应时， 画出①中ｄ与ｍ的函数关系的图象，如图所示． ２ａ ２ａ  由图象可知，当０＜ｄ＜４时，对于每个ｄ的取值，均有三个ｍ的值与其对应，故均有三个点Ｐ与其对应． 请直接写出 ｄ的取值范围． ./789:;<34）， ｂ 所以 ＝－３． ａ （２）（ⅰ）由（１）可得，ｂ＝－３ａ， 所以该函数的表达式为ｙ＝ａｘ２－３ａｘ－２， ３ ９ 所以函数图象的顶点坐标为（ ，－ ａ－２）． ２ ４ ３ 因为函数的最大值为１－ ａ２， ４ （１）∵抛物线与ｙ轴交于点Ｃ（０，４），∴ｃ＝４． 河南中考４５套汇编·数学 ３７— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ３７— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ３７— ９故当火箭离地面的高度为９ｍ时，飞行时间为１ｓ或９ｓ． 则顶点Ｂ到ＭＮ的距离与顶点Ｆ到ＥＧ的距离相等，为２ｍ． !# （２）ｈ＝－ｔ２＋１０ｔ＝－（ｔ－５）２＋２５， 又曲线ＡＢＣ所在抛物线与曲线ＥＦＧ所在抛物线的开口方向和大小相同， 题型十二 二次函数的实际应用 ∵－１＜０， ∴ＥＧ＝ＭＮ． ∴当ｔ＝５时，ｈ取最大值，最大值为２５． １ !" ! 3456789:;<=>+, 对于ｙ＝－ （ｘ－６）２＋４， 故火箭飞行５ｓ时，离地面的高度最大，最大高度为２５ｍ． １２ １ （３）对于ｈ＝－ｔ２＋１０ｔ， １ １．将一个物体从地面竖直向上抛（不计空气阻力），有这样的关系式：ｈ＝ｖｔ－ ｇｔ２，其中 ｈ（ｍ）是物体距 当ｙ＝２时，－ （ｘ－６）２＋４＝２，解得ｘ＝６±２槡６． ０ ２ 令ｈ＝１６，则－ｔ２＋１０ｔ＝１６， １２ 离地面的高度，ｖ（ｍ／ｓ）是初速度，ｇ是重力加速度（ｇ取１０ｍ／ｓ２），ｔ（ｓ）是抛出后所经历的时间．圆圆 解得ｔ＝２，ｔ＝８， ∵（６＋２槡６）－（６－２槡６）＝４槡６， ０ １ ２ 用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以１０ｍ／ｓ的初速度从地面竖直向上抛． ８－２＝６（ｓ）， ∴ＥＧ＝ＭＮ＝４槡６（ｍ）． ∴两次发射相隔的时间为６ｓ． （１）当小球的高度为１．８ｍ时，求时间 ｔ的值． ４． !12 6789: 如图（１）是一个斜口陶瓷碗，碗体内部纵截面的轮廓曲线呈抛物线形，碗 !" " ?3@A+, （２）小球的高度能达到５．４ｍ吗？请作出判断，并说明理由． 口宽 ＡＢ为１２ｃｍ，当碗口 ＡＢ平行于桌面时，如图（２），此时曲线 ＡＢ所在抛物线的顶点 Ｏ到碗口 ＡＢ （３）若方方在圆圆抛出小球之后将另一个完全相同的小球以相同的初速度从地面竖直向上抛，这两 １ ３． !12 345 如图，１号隧道的截面示意图是由抛物线的一部分（曲线 ＡＢＣ）和矩形 ＯＡＣＤ组成 的距离 ＯＨ为 ４ｃｍ，碗底 ＣＤ与桌面的夹角为 α，且 ｔａｎα＝ ． 个小球在某一时刻的高度均为４．２ｍ，求圆圆与方方抛球的时间差． ３ 的，２号隧道的截面示意图是由抛物线的一部分（曲线 ＥＦＧ）组成的，两条抛物线的开口方向和大小相同． １ （１）以点 Ｏ为坐标原点，ＯＨ所在直线为 ｙ轴建立平面直角坐标系，求曲线 ＡＢ所在抛物线的表达式． （１）把ｖ＝１０，ｇ＝１０代入ｈ＝ｖｔ－ ｇｔ２，得ｈ＝－５ｔ２＋１０ｔ． 已知 ＯＡ＝１ｍ，ＯＤ＝１２ｍ，１号隧道截面的最高点 Ｂ到地面 ＯＤ的距离为 ４ｍ，点 Ｏ，Ｄ，Ｅ，Ｇ在同一水平线 ０ ０ ２ （２）当碗底 ＣＤ水平放置在桌面上时，如图（３），将碗中盛满水，求水的最大深度． 上．以点 Ｏ为原点，ＯＤ所在直线为 ｘ轴，建立平面直角坐标系 ｘＯｙ． 当ｈ＝１．８时，１．８＝－５ｔ２＋１０ｔ， （１）求曲线 ＡＢＣ所在抛物线的函数表达式（不写自变量 ｘ的取值范围）． 解得ｔ＝０．２，ｔ＝１．８． １ ２ （２）已知曲线 ＡＢＣ所在抛物线经过点 Ｅ． 答：小球的高度为１．８ｍ时，所用时间为０．２ｓ或１．８ｓ． ①求点 Ｅ的横坐标； （２）小球的高度不能达到５．４ｍ． 理由：把ｈ＝５．４代入ｈ＝－５ｔ２＋１０ｔ，得５．４＝－５ｔ２＋１０ｔ， ②若２号隧道截面的最高点 Ｆ到地面 ＯＧ的距离为２ｍ，求 ＥＧ的长度． 整理得５ｔ２－１０ｔ＋５．４＝０． （１）建立平面直角坐标系如图所示． ∵Δ＝（－１０）２－４×５×５．４＝－８＜０， ∴该方程无实数根， 故小球的高度不能达到５．４ｍ． （１）由题意知Ａ（０，１），Ｃ（１２，１），顶点Ｂ的纵坐标为４， （３）由题意可得４．２＝－５ｔ２＋１０ｔ， ∴Ｂ（６，４）， 由题意可知ＡＢ＝１２，Ｈ为ＡＢ的中点， 解得ｔ １ ＝０．６，ｔ ２ ＝１．４， ∴可设曲线ＡＢＣ所在抛物线的函数表达式为ｙ＝ａ（ｘ－６）２＋４． １ ∴ＨＢ＝ ＡＢ＝６，∴Ｂ（６，４）． ｔ－ｔ＝１．４－０．６＝０．８． １ ２ ２ １ 将Ａ（０，１）代入，得１＝ａ（０－６）２＋４，解得ａ＝－ ， 答：圆圆与方方抛球的时间差为０．８ｓ． １２ 可设抛物线的表达式为ｙ＝ａｘ２， ２．“嫦娥六号”完成了世界首次月球背面采样返回的壮举，彰显了我国在科技自主创新道路上的坚定步 ∴曲线ＡＢＣ所在抛物线的函数表达式为ｙ＝－ １ （ｘ－６）２＋４． 将（６，４）代入，可得３６ａ＝４， １２ 伐与非凡成就．受此启发，某科学小组自行设计了一款火箭模型，并模拟了火箭的发射（竖直发射）过 １ ∴ａ＝ ． １ 程，进一步探究发现，火箭的飞行高度 ｈ（ｍ）与飞行时间 ｔ（ｓ）满足二次函数关系．在一次模拟发射过 （２）①由（１）知ｙ＝－ （ｘ－６）２＋４， ９ １２ １ 程中，ｈ（ｍ）与 ｔ（ｓ）之间的函数关系式为 ｈ＝－ｔ２＋１０ｔ． １ 故抛物线的表达式为ｙ＝ ｘ２． 令ｙ＝０，则－ （ｘ－６）２＋４＝０， ９ （１）当火箭离地面的高度为９ｍ时，飞行时间为 １或９ ｓ． １２ １ （２）火箭飞行多少秒时，离地面的高度最大？最大高度为多少米？ 解得ｘ １ ＝６＋４槡３，ｘ ２ ＝６－４槡３（不合题意，舍去）， （２）如图，过点Ｂ作ＣＤ的平行线，交抛物线于另一点Ｅ，易得直线ＢＥ的表达式为ｙ＝ ３ ｘ＋２． （３）若在火箭发射一段时间后，再将另一个完全相同的火箭以相同的速度从地面竖直发射，这两个火 ∴点Ｅ的横坐标为６＋４槡３． 设点Ｆ为点Ｂ，Ｅ之间抛物线上一点，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，交ＢＥ于点Ｍ，过点Ｆ作ＦＩ⊥ＢＥ于点Ｉ． ②如图，过点Ｆ作ｘ轴的平行线交曲线ＡＢＣ于点Ｍ，Ｎ， 箭在某一时刻离地面的高度均为１６ｍ，求两次发射相隔的时间． １ 易得∠ＩＦＭ＝∠ＡＢＥ，∴ｔａｎ∠ＩＦＭ＝ ， ３ （１）１或９ 解法提示：对于ｈ＝－ｔ２＋１０ｔ， ３槡１０ ∴ｃｏｓ∠ＩＦＭ＝ ， １０ 令ｈ＝９，则－ｔ２＋１０ｔ＝９，解得ｔ＝１，ｔ＝９， １ ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３８— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３８— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３８— ３∴ＦＩ＝ＦＭｃｏｓ∠ＩＦＭ＝ ３槡１０ ＦＭ!=>"１$?@/ABC,． 解得ｂ＝－ １ ， ６．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 Ｌ １ ，左、右门洞 Ｌ ２ ，Ｌ ３ 均呈抛物线型，水平横梁 １０ ４５ ＡＣ＝１６ｍ，Ｌ的最高点 Ｂ到 ＡＣ的距离 ＢＯ＝４ｍ，Ｌ，Ｌ关于 ＢＯ所在直线对称．ＭＮ，ＭＰ，ＮＱ为框架，  １ ２ ３ １ １ １ 设点Ｆ的横坐标为ｍ，则Ｆ（ｍ， ９ ｍ２），Ｍ（ｍ， ３ ｍ＋２）， ∴ｙ＝－ ４５ （ｘ＋３）（ｘ－１５）． 点 Ｍ，Ｎ在Ｌ １ 上，点Ｐ，Ｑ分别在Ｌ ２ ，Ｌ ３ 上，ＭＮ∥ＡＣ，ＭＰ⊥ＡＣ，ＮＱ⊥ＡＣ．以Ｏ为原点，以ＡＣ所在直线为 ｘ轴，以 ＢＯ所在直线为 ｙ轴，建立平面直角坐标系． １ １ １ １ １ ９ ∴ＦＭ＝ ３ ｍ＋２－ ９ ｍ２＝－ ９ ｍ２＋ ３ ｍ＋２!=>"２$DEFGH:+IJKLＦＭ:B,， 当ｘ＝６时，ｙ＝－ ４５ ×９×（－９）＝ ５ ， （１）求抛物线 Ｌ １ 的函数表达式；  １ ∴木球飞行的最大高度为 ９ 米． （２）已知抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝－ ３ （ｘ－４）２，ＮＱ＝ ５ ｍ，求ＭＮ ３ ３ ９ ９ ３槡１０ ２７槡１０ ５ ３ １６ ２ 故当ｍ＝－ ＝ 时，ＦＭ取最大值，最大值为 ，此时ＦＩ＝ × ＝ ． １ ２ ４ ４ １０ ４０ 的长． ２×（－ ） ９ （１）∵ＢＯ＝４ｍ， 故水的最大深度为 ２７槡１０ ｃｍ． ∴抛物线Ｌ的顶点Ｂ的坐标为（０，４）， １ ４０ 图（１） 由此可设抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝ａｘ２＋４． １ ５． !;< =>?@ 如图，ＰＱ是一个可以在水平地面上左右移动的机械杆，ＰＱ⊥水平地面 ＱＭ， （２）如图（１），过点Ａ作ＡＣ⊥ＱＭ于点Ｃ，则∠ＡＭＣ＝１４．５°， 由题可知ＡＣ＝１６ｍ，结合二次函数的对称性得Ａ（－８，０），Ｃ（８，０），将（８，０）代入ｙ＝ａｘ２＋４， 在点 Ｐ处有一个抛射装置，抛出的木球的运动路径是抛物线的一部分．斜坡 ＭＮ与地面的夹角是 ∴ＡＣ＝ＭＡｓｉｎ１４．５°≈４×０．２５＝１（米），ＭＣ＝ＭＡｃｏｓ１４．５°≈４×０．９７＝３．８８（米）． １ 得０＝６４ａ＋４，解得ａ＝－ ， １４５°，ＭＱ＝１５米，斜坡上有个球洞 Ａ，ＭＡ＝４米．某次投射，木球恰好落在点 Ｍ处，木球运动到与 ＰＱ １６ １ ９ 由（１）知，点Ｐ关于抛物线ｙ＝－ （ｘ－６）２＋ 的对称轴对称的点的坐标为（１２，１）， 的水平距离为 ６米处时达到最高位置．已知 ＰＱ＝１米．请建立适当的平面直角坐标系，解决下列 ４５ ５ １ 故抛物线Ｌ的函数表达式为ｙ＝－ ｘ２＋４． １ １６ 问题． ∴ｍ＝１５－１２＋３．８８≈７!MK$NO-./PQRST"!１２，１,U"ＡVW,．  １ ３ （１）求出木球飞行的最大高度； 答案二： （２）设Ｎ（ｎ，－ ｎ２＋４），则由ＮＱ⊥ＡＣ，可知Ｑ（ｎ，－ （ｎ－４）２）． １６ １６ （１）以直线ＱＭ为ｘ轴，抛物线的最高点所在的垂直于 ＱＭ的直线为 ｙ轴，建立如图（２）所示的平面直角坐标系，设 （２）若把 ＰＱ向右平移 ｍ米，木球恰好能落入球洞 Ａ，求 ｍ的值．（结果精确到 １米．ｓｉｎ１４．５°≈０．２５， ５ １ ３ ５ 原点为Ｏ，单位长度为１米， ∵ＮＱ＝ ｍ，∴－ ｎ２＋４－［－ （ｎ－４）２］＝ ， ｃｏｓ１４．５°≈０．９７，ｔａｎ１４．５°≈０．２６） ２ １６ １６ ２ 则ＯＱ＝６，ＯＭ＝ＱＭ－ＯＱ＝９， 整理得，ｎ２－１２ｎ＋３６＝０，即（ｎ－６）２＝０， ∴Ｐ（－６，１），Ｍ（９，０）． ∴ｎ＝ｎ＝６， １ ２ 设抛物线的表达式为ｙ＝ｃｘ２＋ｈ， 答案一： ∴ＭＮ＝２×６＝１２（ｍ）． 将Ｐ（－６，１），Ｍ（９，０）分别代入， （１）以点Ｑ为原点，直线ＱＭ为ｘ轴，建立如图（１）所示的平面直角坐标系，设单位长度为１米， !" # BC+, ∴Ｐ（０，１），Ｍ（１５，０）．  １ ｃ＝－ ， {３６ｃ＋ｈ＝１，   ４５ ７．纺织服装是我国重要的民生产业、支柱产业．中原大地自古流传着黄帝妻子嫘祖养蚕缫丝的故事，中 方法一：∵木球运动到与ＰＱ的水平距离为６米处时达到最高位置， 得 解得 ８１ｃ＋ｈ＝０， ９ ∴可设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－６）２＋ｋ，  ｈ＝ ， 国最早的丝绸也发现于此．某公司在线上生产某种服装，已知当销售价格为ｘ元／件时，每天的销量为  ５ 将Ｐ（０，１），Ｍ（１５，０）分别代入， （－３０ｘ＋９００）件，这种服装的成本为每件１４元，设每天的销售利润为 ｚ元． １ ９ ∴ｙ＝－ ｘ２＋ ．  １ ４５ ５ （１）求 ｚ关于 ｘ的函数表达式． ａ＝－ ， 得 {３６ａ＋ｋ＝１， 解得   ４５ ∴木球飞行的最大高度为 ９ 米． （２）该公司入驻一线上平台销售，每天的销量增长为原来的 ３倍，但销售时每销售一件衣服需付平台 ８１ａ＋ｋ＝０， ９  ｋ＝ ， ５ ２元作为佣金，求每天最大销售利润较之前增长了多少．  ５ （２）如图（２），过点Ａ作ＡＣ⊥ＱＭ于点Ｃ，则∠ＡＭＣ＝１４．５°， （１）由题意可知，ｚ＝（ｘ－１４）（－３０ｘ＋９００）＝－３０ｘ２＋１３２０ｘ－１２６００． １ ９ ∴ｙ＝－ （ｘ－６）２＋ ， ∴ＡＣ＝ＭＡｓｉｎ１４．５°≈４×０．２５＝１（米），ＭＣ＝ＭＡｃｏｓ１４．５°≈４×０．９７＝３．８８（米）． 故ｚ关于ｘ的函数表达式为ｚ＝－３０ｘ２＋１３２０ｘ－１２６００． ４５ ５ ９ 由（１）知，点Ｐ关于抛物线ｙ＝－ １ ｘ２＋ ９ 的对称轴对称的点的坐标为（６，１）， （２）ｚ＝－３０ｘ２＋１３２０ｘ－１２６００＝－３０（ｘ－２２）２＋１９２０， ∴木球飞行的最大高度为 米． ４５ ５ ５ 故当ｘ＝２２时，有最大销售利润，为１９２０元． ∴ｍ＝９－６＋３．８８≈７!MK$NO-./PQRST"!６，１,U"ＡVW,． 方法二：∵木球运动到与ＰＱ的水平距离为６米处时达到最高位置，  设入驻平台后，每天的利润为ｗ元， ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝６， 则ｗ＝３（ｘ－１４－２）（－３０ｘ＋９００）＝－９０（ｘ－２３）２＋４４１０， ∴点Ｍ（１５，０）关于直线ｘ＝６的对称点的坐标为（－３，０）． 故当ｘ＝２３时，有最大销售利润，为４４１０元． 设抛物线的表达式为ｙ＝ｂ（ｘ＋３）（ｘ－１５）， ４４１０－１９２０＝２４９０（元）． 将Ｐ（０，１）代入，得１＝－４５ｂ， 图（２） 答：每天最大销售利润较之前增长了２４９０元． 河南中考４５套汇编·数学 ３８— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ３８— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ３８— ６８．某超市购进一种品牌的糕点，每盒进价是 ５０元，规定每盒的售价不低于 ６０元．试销后发现，当每盒 解得ｂ＝２， （３）已知每个门的价格为２５０元，与现有墙平行方向的墙建筑费用为 ３００元／米，与现有墙垂直方向 售价定为６０元时，日销售量为６００盒，每盒售价每提高 １元，日销售量就减少 １０盒．设每盒售价为 ｘ ∴ｙ＝－０．１５ｘ２＋２ｘ． 的墙建筑费用为２００元／米．若该养殖户建饲养室的预算不超过 ６０００元，请你帮他设计出面积 ２ 元，日销售量为 ｙ盒． （２）设王大伯明年饲养Ａ，Ｂ这两种白鹅获得的总利润为 ｗ万元，Ａ种白鹅的投资金额为 ｍ万元，则 Ｂ种白鹅的投 最大的修建方案，并求出最大面积． （１）当每盒的售价为 ９０ 元时，日销售量为３００盒． 资金额为（１０－ｍ）万元， 由题意，得ｗ＝ｙ＋ｙ＝０．０５ｍ２－０．１５（１０－ｍ）２＋２（１０－ｍ）＝－０．１ｍ２＋ｍ＋５＝－０．１（ｍ－５）２＋７．５． （２）当每盒售价定为多少元时，日销售利润 ｗ（元）最大，最大日销售利润是多少？ １ ２ ∵－０．１＜０，∴当ｍ＝５时，ｗ取得最大值，最大值为７．５． （３）小明说：“当日销售利润不低于１００００元时，每盒售价 ｘ的范围是 ８０≤ｘ≤１１０．”请判断小明的说 答：当Ａ，Ｂ两种白鹅的投资金额均为５万元时，可使得总利润最大，最大总利润为７．５万元． 法是否正确，并说明理由． （１）Ｓ＝ｘ（２３＋２－３ｘ）＝２５ｘ－３ｘ２（３≤ｘ＜８）． （１）９０ !" $ DE+, 解法提示：ＢＣ＝２３＋２－３ｘ＝２５－３ｘ． 解法提示：设当每盒的售价为ａ元时，日销售量为３００盒， １０．如图，某校劳动实践基地用总长为 ８０ｍ的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 ４２ｍ．栅栏在 由题意，知１＜２５－３ｘ≤１６，解得３≤ｘ＜８． 根据题意列方程得６００－１０（ａ－６０）＝３００，解得ａ＝９０． 安装过程中不重叠、无损耗．设矩形实验田与墙垂直的一边长为 ｘ（单位：ｍ），与墙平行的一边长为 ｙ（单 （２）能． （２）由题意知ｙ＝６００－１０（ｘ－６０）＝－１０ｘ＋１２００，６０≤ｘ＜１２０， 位：ｍ），面积为 Ｓ（单位：ｍ２）． ７ ∴ｗ＝（ｘ－５０）（－１０ｘ＋１２００）＝－１０ｘ２＋１７００ｘ－６００００＝－１０（ｘ－８５）２＋１２２５０． 令２５ｘ－３ｘ２＝４２，解得ｘ＝６，ｘ＝ ． １ ２ ３ （１）直接写出 ｙ与 ｘ，Ｓ与 ｘ之间的函数解析式（不要求写 ｘ的取值范围）． ∵－１０＜０， ∵３≤ｘ＜８，∴ｘ＝６． （２）矩形实验田的面积 Ｓ能达到７５０ｍ２吗？如果能，求 ｘ的值；如果不能，请说明理由． ∴当ｘ＝８５时，ｗ取最大值，最大值为１２２５０． （３）由题意，得３００（２５－３ｘ－１）＋２００（３ｘ－１）＋２×２５０≤６０００， （３）当 ｘ的值是多少时，矩形实验田的面积 Ｓ最大？最大面积是多少？ 答：当每盒售价定为８５元时，日销售利润ｗ最大，最大日销售利润是１２２５０元． 解得ｘ≥５． （３）不正确． 又∵３≤ｘ＜８，∴５≤ｘ＜８． 理由：ｗ＝１００００时，－１０（ｘ－８５）２＋１２２５０＝１００００， ２５ ６２５ ∵Ｓ＝２５ｘ－３ｘ２＝－３（ｘ－ ）２＋ ，－３＜０， 解得ｘ＝７０，ｘ＝１００． ６ １２ １ ２ 结合二次函数ｗ＝－１０（ｘ－８５）２＋１２２５０的图象可知， ２５ （１）ｙ＝８０－２ｘ，Ｓ＝－２ｘ２＋８０ｘ． ∴当ｘ＞ 时，Ｓ随ｘ的增大而减小， 当７０≤ｘ≤１００时，ｗ不低于１００００元， ６ 解法提示：由题意，得ｘ＋ｙ＋ｘ＝８０， ∴小明的说法不正确． ∴当ｘ＝５时，Ｓ取最大值，最大值为２５×５－３×５２＝５０． ∴ｙ＝８０－２ｘ， 答：当ＡＢ的长为５米时，面积最大，最大面积是５０米２． ９． !"# 3=ABCDEFG 某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年 ∴Ｓ＝ｙ·ｘ＝（８０－２ｘ）ｘ＝－２ｘ２＋８０ｘ． 的饲养经验，他们发现：饲养Ａ种白鹅获得的利润 ｙ（万元）与投资金额 ｘ（万元）的函数关系式为 ｙ＝ １ １ （２）矩形实验田的面积Ｓ能达到７５０ｍ２． ａｘ２，饲养Ｂ种白鹅获得的利润ｙ ２ （万元）与投资金额 ｘ（万元）的函数关系式为 ｙ ２ ＝－３ａｘ２＋ｂｘ．画出两函 令Ｓ＝７５０，则－２ｘ２＋８０ｘ＝７５０， 数的图象如图所示． 整理，得ｘ２－４０ｘ＋３７５＝０， （１）求函数 ｙ，ｙ的表达式． 解得ｘ＝１５，ｘ＝２５． １ ２ １ ２ （２）王大伯计划明年投资１０万元饲养 Ａ，Ｂ这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润 ∵墙长为４２ｍ!XY"$XZ[\B]^_‘,，  最大？最大总利润是多少？ ∴０＜ｙ≤４２，∴０＜８０－２ｘ≤４２， 解得１９≤ｘ＜４０，∴ｘ＝２５． （３）Ｓ＝－２ｘ２＋８０ｘ＝－２（ｘ－２０）２＋８００． ∵－２＜０，１９≤ｘ＜４０， ∴当ｘ＝２０时，Ｓ取得最大值，此时Ｓ＝８００， 即当ｘ＝２０时，Ｓ最大，最大面积是８００ｍ２． １１．某养殖户计划借助一面长为１６米的墙，修建两间矩形饲养室．设计示意图如图所示，两间饲养室中间用 （１）将（１０，５）代入ｙ＝ａｘ２， １ 得５＝１００ａ，解得ａ＝０．０５， 一道墙 ＥＦ隔开（ＥＦ⊥ＡＤ），开两个门，且门宽均为 １米．计划的建筑材料可建围墙的总长为 ２３米，设 ∴－３ａ＝－０．１５，ｙ＝０．０５ｘ２． ＡＢ＝ｘ米，矩形 ＡＢＣＤ的面积为 Ｓ米２． １ 将（１０，５）代入ｙ＝－０．１５ｘ２＋ｂｘ， （１）求 Ｓ关于 ｘ的函数表达式，并直接写出 ｘ的取值范围． ２ 得５＝－０．１５×１００＋１０ｂ， （２）矩形 ＡＢＣＤ的面积能达到４２米２吗？如果能，求出 ｘ的值；如果不能，请说明理由． 河南中考４５套汇编·数学 ３８— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ３８— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ３８— ９２． !+, -./0120345 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助学生们用整体的、 ＥＦ 槡２ !" ∴ ＝ＡＤ，∴ＥＦ＝ ＡＤ． 联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“圆”主题下设计的问题，请你解答． ｓｉｎ∠ＥＡＦ ２ 题型十三 类比拓展几何探究题 （１）发现规律 ６槡５ ②ＥＦ的最小值为 ． 如图（１），锐角三角形 ＡＢＣ内接于半径为 Ｒ的⊙Ｏ，△ＡＢＣ的边、角之间满足怎样的关系呢？ ５ １．已知点 Ｏ是线段 ＡＢ的中点，直线 ｌ与线段ＡＢ交于点Ｐ（点Ｐ与点Ａ，Ｂ不重合），分别过点Ａ、点Ｂ作 王老师提示：如图（２），连接 ＢＯ并延长，交⊙Ｏ于点 Ｄ，连接 ＣＤ， 槡２ 解法提示：由①知，ＥＦ＝ ＡＤ，ＡＤ的值最小时，ＥＦ的值最小，即当 ＡＤ⊥ＢＣ时，ＥＦ的值最小!45$6.78 直线 ｌ的垂线，垂足分别为点 Ｃ、点 Ｄ． ∴∠Ｄ＝∠Ａ，（ 同弧所对的圆周角相等 ）（填依据） ２  （１）【猜想验证】如图（１），当点 Ｐ与点 Ｏ重合时，线段 ＯＣ和 ＯＤ的数量关系是 ＯＣ＝ＯＤ ； ∠ＢＣＤ＝９０°，（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填依据） 93，如图（２）所示，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ， （２）【探究证明】如图（２），当点Ｐ是线段ＡＢ上的任意一点时，判断ＯＣ和ＯＤ的数量关系，并说明理由； ∴ｓｉｎＤ＝ ＢＣ ＝ ＢＣ ， 则ＡＨ＝ＨＣ＝ 槡２ ＡＣ＝３，∴ＢＨ＝ＡＢ－ＡＨ＝４－３＝１， （３）【拓展延伸】若∠ＯＣＤ＝３０°，｜ＡＣ－ＢＤ｜＝２，当△ＰＯＣ为等腰三角形时，请直接写出线段 ＯＰ的长． ＢＤ ２Ｒ ２ ∴ ＢＣ ＝２Ｒ． ∴ＢＣ＝槡ＢＨ２＋ＣＨ２＝槡１２＋３２＝ 槡１０． ｓｉｎＡ ＣＨ ＡＤ ３ ＡＤ ∵ｓｉｎＢ＝ ＝ ，∴ ＝ ， 同理： ＡＣ ＝２Ｒ， ＡＢ ＝２Ｒ， ＢＣ ＡＢ 槡１０ ４ ｓｉｎ∠ＡＢＣ ｓｉｎ∠ＡＣＢ ６槡１０ 槡２ ６槡１０ ６槡５ ∴ＡＤ＝ ，∴ＥＦ＝ × ＝ ． ＢＣ ＡＣ ＡＢ ５ ２ ５ ５ ∴ ＝ ＝ ＝２Ｒ． ｓｉｎＡ ｓｉｎ∠ＡＢＣ ｓｉｎ∠ＡＣＢ １ 图（１） 图（２） （３）ＡＢ＋ ＡＣ的最大值为１２槡２． （２）解决问题 ５ （１）ＯＣ＝ＯＤ （２）ＯＣ＝ＯＤ． 如图（３），△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，Ｄ是边ＢＣ上一动点（不与点Ｂ，Ｃ重合），ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于 解法提示：如图（３），延长ＢＡ到点Ｄ，使ＡＤ＝ １ ＡＣ，连接ＣＤ，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ． 点 Ｆ，连接 ＥＦ． ５ 理由：如图（１），延长ＣＯ交ＢＤ于点Ｅ． ∵ＡＣ⊥ＣＤ，ＢＤ⊥ＣＤ， ①请写出 ＡＤ，ＥＦ之间的数量关系，并说明理由． ∵ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ ＣＥ ＝ ４ ， ＡＣ ５ ∴ＡＣ∥ＢＤ， ②若 ＡＣ＝３槡２，ＡＢ＝４，请直接写出 ＥＦ的最小值． ∴可设ＣＥ＝４ｋ，ＡＣ＝５ｋ， ∴∠Ａ＝∠Ｂ． （３）拓展应用 ∴ＡＤ＝ｋ，ＡＥ＝３ｋ，∴ＥＤ＝４ｋ＝ＣＥ， ∵点Ｏ为ＡＢ的中点， ４ １ 如图（４），△ＡＢＣ中，ＢＣ＝１２，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ （Ａ为动点），请直接写出 ＡＢ＋ ＡＣ的最大值．（辅助线作法 ∴∠Ｄ＝４５°， ∴ＡＯ＝ＢＯ． ５ ５ 图（１） ＢＣ １２ 又∵∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＥ， １ ∴△ＢＤＣ外接圆的直径为 ＝ ＝１２槡２． ｓｉｎＤ ｓｉｎ４５° ∴△ＡＯＣ≌△ＢＯＥ（ＡＳＡ）， 提示：可在 ＢＡ的延长线上截取 ＡＤ＝ ＡＣ，连接 ＣＤ） ５ ∵ＢＤ是△ＢＤＣ外接圆的一条弦， 图（３） ∴ＯＣ＝ＯＥ，即点Ｏ为ＣＥ的中点． ∴ＤＯ是Ｒｔ△ＣＤＥ斜边上的中线， ∴Ｂ  Ｄ  ≤  １２槡  ２!"#$%:;<-8=,>3， １ ∴ＯＣ＝ＯＤ． ∴ＢＤ的最大值为１２槡２，即ＡＢ＋ ＡＣ的最大值为１２槡２． ５ ２槡３ （３） 或槡６－ 槡２． ３．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点向不经过该顶点的对角线引垂线，与平行 ３ 四边形的一条边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形可称为“垂中平行四边形”，该对角线 解法提示：易知当点Ｐ在点Ｏ左侧时，ＡＣ＜ＢＤ；当点Ｐ在点Ｏ右侧时，ＡＣ＞ＢＤ． 可称为“垂中对角线”，垂足为“垂中点”． 如图（２）、图（３），延长ＣＯ交直线ＢＤ于点Ｅ． 图（１） 图（２） 图（３） 图（４） 【猜想判断】 同（２）可得△ＡＯＣ≌△ＢＯＥ，∴ＡＣ＝ＢＥ， （１）同弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角 （１）①菱形 不可能 （填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ∴ＤＥ＝｜ＡＣ－ＢＤ｜＝２． 槡２ ＡＥ １ ∵△ＰＯＣ是等腰三角形，∴分ＰＯ＝ＰＣ，ＯＰ＝ＯＣ，ＣＯ＝ＣＰ三种情况讨论． （２）①ＥＦ＝ ２ ＡＤ． ②如图（１），ＡＢＣＤ是“垂中平行四边形”，其中 ＡＣ是“垂中对角线”，则 的值为 ． ＡＣ ３ ∵ＯＣ＝ＯＤ，∴ＯＰ＝ＯＣ这种情况不存在． 理由如下： 【迁移应用】 当ＰＯ＝ＰＣ时，∠ＰＯＣ＝∠ＰＣＯ＝３０°，∴∠ＤＰＯ＝６０°，如图（２）所示． 如图（１），设点Ｏ是ＡＤ的中点，连接ＯＥ，ＯＦ． 图（２） （２）如图（２），在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＞４．若该矩形是“垂中平行四边形”，且 ＡＣ是其“垂中对角 ∵∠ＤＥＯ＝９０°－３０°＝６０°，ＯＤ＝ＯＥ， 线”，求 ＡＤ的长． ∴△ＯＤＥ是等边三角形，∠ＤＯＰ＝９０°，∠ＰＤＯ＝３０°， （３）如图（３），在△ＡＢＣ中，ＢＤ⊥ＡＣ于点 Ｄ，ＡＤ＝２ＣＤ＝６，ＡＢ＝１０．若 ＡＢ是某个“垂中平行四边形”的 槡３ ２槡３ ∴ＯＤ＝ＤＥ＝２，∴ＯＰ＝ ＯＤ＝ ． 边，点 Ｄ是该“垂中平行四边形”的“垂中点”，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长．（任意 ３ ３ 写出两个即可） １ 当ＣＯ＝ＣＰ时，∠ＰＯＣ＝∠ＯＰＣ＝ ×（１８０°－３０°）＝７５°，∴∠ＯＰＤ＝１０５°，∠ＤＯＰ＝４５°，如图（３）所示，同理可得 ２ ＯＤ＝ＤＥ＝２． 图（１） 图（２） 过点Ｐ作ＰＦ⊥ＯＤ于点Ｆ，则ＤＦ＝ 槡３ＰＦ，ＯＦ＝ＰＦ，∴槡３ＰＦ＋ＰＦ＝２，∴ＰＦ＝ 槡３－１， ∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ， ∴ＯＰ＝ 槡２ＰＦ＝ 槡６－ 槡２． ∴∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＤ＝９０°， 综上所述，ＯＰ的长为 ２槡３ 或槡６－ 槡２． 图（３） ∴Ｏ  Ｅ  ＝Ｏ  Ａ  ＝Ｏ  Ｄ  ＝Ｏ  Ｆ!"#$%&’&()*+,-./0)*,123， 图（１） 图（２） 图（３） ３ ∴点Ａ，Ｅ，Ｄ，Ｆ在以点Ｏ为圆心，ＯＡ为半径的圆上， 河南中考４５套汇编·数学 ３９— １ 河南中考４５套汇编·数学 ３９— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ３９— ３（１）①不可能 ４．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．比如，如图 （３）ＢＤ２的值为８０或４８＋２４槡２． １ （１），在四边形 ＡＢＣＤ中，若∠ＢＡＤ＋∠ＢＣＤ＝９０°，则四边形 ＡＢＣＤ是对余四边形，ＡＣ是其对余线． 解法提示：当ＣＤ＝ＣＡ＝４时，如图（３）， ② ３ （１）理解操作 则∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ＝４５°， （２）如图（１），过点Ｂ作ＢＮ⊥ＡＣ，交ＡＤ于点Ｎ，则点Ｎ为ＡＤ的中点，则∠１＋∠２＝９０°． 如图（２），在△ＡＢＣ中，ＢＡ＝ＢＣ，∠Ｂ＝１２０°，点 Ｄ为 ＡＢ的中点．利用无刻度的直尺和圆规，在 ＡＣ上确 ∴∠ＡＣＤ＝９０°，∴ＡＤ＝ 槡２ＡＣ＝４槡２， 又∵∠１＋∠３＝９０°， 定一点 Ｅ，使四边形 ＢＣＥＤ是对余四边形． ∴ＢＤ２＝ＣＤ２＋２ＡＤ２＝４２＋２×（４槡２）２＝８０． ∴∠２＝∠３，∴ｔａｎ∠２＝ｔａｎ∠３， （２）理解应用 １ 如图（３），在对余四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°． ＡＤ ＡＮ ＡＢ ２ ４ ①求∠ＡＤＣ的度数． ∴ ＝ ，即 ＝ ， ＡＢ ＢＣ ４ ＡＤ ②判断 ＢＤ，ＡＤ，ＣＤ之间的数量关系，并加以证明． ∴ＡＤ２＝３２，∴ＡＤ＝４槡２． （３）拓展延伸 １ 在（２）的条件下，若△ＡＣＤ是等腰三角形，ＡＢ＝４，直接写出 ＢＤ２ 的值．（温馨提示： ＝ 图（３） 图（４） 槡ａ－ 槡ｂ 当ＤＡ＝ＤＣ时，如图（４），过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ于点Ｅ， 槡ａ＋ 槡ｂ ＝ 槡ａ＋ 槡ｂ ，其中ａ≠ｂ，ａ，ｂ为正数） 则ＥＤ＝ＥＣ． （槡ａ－ 槡ｂ）（槡ａ＋ 槡ｂ） ａ－ｂ 设ＥＤ＝ＥＣ＝ｘ，则ＡＤ＝ＣＤ＝ 槡２ｘ， ∴ＡＥ＝ 槡２ｘ－ｘ＝（槡２－１）ｘ． 图（１） 在Ｒｔ△ＡＥＣ中，由勾股定理，得ＡＥ２＋ＣＥ２＝ＡＣ２， （３）这个“垂中平行四边形”的周长为２槡７３＋２０，４槡１３＋２０或４槡７３＋２０．（任写两个即可） ∴（槡２－１）２ｘ２＋ｘ２＝１６， １ 解法提示：①延长ＢＤ到点Ｐ，使ＤＰ＝ ＢＤ． ８ ８（２＋ 槡２） ２ ∴ｘ２＝ ＝ ＝８＋４槡２， 若ＡＣ是该“垂中平行四边形”的“垂中对角线”，补全图形如图（２）所示， 图（１） 图（２） 图（３） 备用图（１） 备用图（２） ２－ 槡２ （２－ 槡２）（２＋ 槡２） ∴ＢＤ２＝ＣＤ２＋２ＡＤ２＝（槡２ｘ）２＋２×（槡２ｘ）２＝６ｘ２＝４８＋２４槡２． （１）如图（１）所示，点Ｅ即为所求作的点． 综上可知，ＢＤ２的值为８０或４８＋２４槡２． ５．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，等边三角形 ＯＡＢ的顶点 Ａ在 ｘ轴正半轴上，顶点 Ｂ在第四象限．Ｐ是 ｙ轴 上一动点，连接 ＡＰ，将线段 ＡＰ绕点 Ａ逆时针旋转６０°，得到线段 ＡＣ，连接 ＢＣ． （１）如图（１），当点Ｐ的坐标为（０，－３）时，ＢＣ的长是 ３ ，∠ＯＢＣ＝ １５０ °． 图（２） ＰＢ （２）如图（２），点 Ｐ在 ｙ轴负半轴上，且 ＯＡ＝ＯＰ，连接 ＰＢ，求 的值． 易得ＣＤ＝３，ＢＤ＝８，∴ＢＣ＝ 槡７３，∴四边形ＡＢＣＱ的周长为２槡７３＋２０． 图（１） ＡＣ 若ＢＰ是该“垂中平行四边形”的“垂中对角线”，补全图形如图（３）所示， （２）①∵四边形ＡＢＣＤ是对余四边形，∠ＢＡＤ＞９０°， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝９０°． （３）若点 Ａ的坐标为（６槡３，０），点 Ｐ在 ｙ轴正半轴上，Ｏ，Ｐ，Ｃ三点不共线，且△ＯＰＣ的面积为 ９槡３ ，请 ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°， ４ ∴∠ＡＢＣ＝４５°，∴∠ＡＤＣ＝４５°． 直接写出点 Ｐ的坐标． ②ＣＤ２＋２ＡＤ２＝ＢＤ２． 证明：如图（２），将ＡＤ绕点Ａ逆时针旋转９０°，得到ＡＭ，连接ＤＭ，ＣＭ， 图（３） 则ＤＭ＝ 槡２ＡＤ，∠ＡＤＭ＝４５°，∴∠ＭＤＣ＝９０°． 易得ＤＰ＝４，∴ＡＰ＝２槡１３，∴四边形ＡＢＯＰ的周长为４槡１３＋２０． ∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＭ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＭ． 又∵ＡＤ＝ＡＭ，ＡＢ＝ＡＣ， ②延长ＢＤ到点Ｈ，使ＤＨ＝２ＢＤ． ∴△ＢＡＤ≌△ＣＡＭ， 若ＢＨ是该“垂中平行四边形”的“垂中对角线”，补全图形如图（４）所示， ∴ＢＤ＝ＣＭ． 在Ｒｔ△ＣＤＭ中，由勾股定理，得ＣＤ２＋ＤＭ２＝ＣＭ２， ∴ＣＤ２＋（槡２ＡＤ）２＝ＢＤ２，∴ＣＤ２＋２ＡＤ２＝ＢＤ２． 图（１） 图（２） 备用图 （１）３ １５０ 解法提示：易证△ＯＡＰ≌△ＢＡＣ，∴ＢＣ＝ＯＰ＝３，∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＰ＝９０°．易知∠ＡＢＯ＝６０°，∴∠ＯＢＣ＝６０°＋９０°＝１５０°． （２）∵△ＯＡＢ是等边三角形， ∴ＯＡ＝ＡＢ，∠ＯＡＢ＝６０°． 由旋转可知，ＡＰ＝ＡＣ，∠ＰＡＣ＝６０°＝∠ＯＡＢ， ∴∠ＰＡＣ－∠ＰＡＢ＝∠ＯＡＢ－∠ＰＡＢ，即∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＰ， 图（４） ∴△ＯＡＰ≌△ＢＡＣ， 易得ＭＢ＝２ＢＣ＝２槡７３， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＰ＝９０°． ∴四边形ＡＢＭＨ的周长为４槡７３＋２０． ∵∠ＡＯＢ＝６０°，∠ＡＯＰ＝９０°，∴∠ＰＯＢ＝３０°． 综上可知，这个“垂中平行四边形”的周长为２槡７３＋２０，４槡１３＋２０或４槡７３＋２０．（任写两个即可） 图（２） 又ＯＰ＝ＯＡ＝ＯＢ，∴∠ＯＢＰ＝∠ＯＰＢ＝７５°． 河南中考４５套汇编·数学 ３９— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ３９— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ３９— ６∵ＯＡ＝ＯＰ，∠ＡＯＰ＝９０°，∴∠ＯＡＰ＝∠ＯＰＡ＝４５°， 解得ｘ＝３＋３槡２，ｘ＝３－３槡２（不符合题意，舍去）， （３）７或－７． １ ２ ∴∠ＡＰＢ＝７５°－４５°＝３０°，∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＰ＝４５°， 解法提示：当四边形ＡＥＣＦ为平行四边形时，ＣＦ∥ＡＥ． ∴点Ｐ的坐标为（０，３＋３槡２）． ∴△ＡＢＣ是等腰直角三角形． 又∵ＡＥ⊥ＢＦ，∴ＣＦ⊥ＢＦ， 综上可知，点Ｐ的坐标为（０，３）或（０，３＋３槡２）． 如图（１），延长ＰＢ交ＡＣ于点Ｄ． １２５ ６．综合与实践 ∴ＢＦ·ＦＣ＝ＢＣ·ＡＢ＝ ×５!MK$4{|},，ＢＦ２＋ＦＣ２＝ＢＣ２， １２ 某校数学兴趣小组在学完特殊四边形后，对正方形和菱形的对角线进行了类比研究，发现它们有共同特  １２５２ １２５ 征：对角线互相平分且垂直．下面将这一特征继续拓展研究． ∴（ＢＦ＋ＦＣ）２＝ＢＦ２＋ＦＣ２＋２ＢＦ·ＦＣ＝ＢＣ２＋２ＢＦ·ＦＣ＝（ ）＋２× ×５， １２ １２ （１）探究具有“对角线互相垂直，且垂足为其中一条对角线的中点”的四边形的性质． １２５２ １２５ 如图（１），在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ于点 Ｏ，且 ＢＯ＝ＤＯ． （ＢＦ－ＦＣ）２＝ＢＦ２＋ＦＣ２－２ＢＦ·ＦＣ＝ＢＣ２－２ＢＦ·ＦＣ＝（ ）－２× ×５， １２ １２ 根据以上信息，组员小明提出以下结论： １７５ ２５ ①ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤ；②∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ；③ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２＋ＣＢ２； ∴ＢＦ＋ＦＣ＝ （负值已舍），ＢＦ－ＦＣ＝± !"#$~tfdＡＥＣＦ(cid:127)R(cid:128)tfd(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)ＢＦ＞ＦＣ(cid:133)ＢＦ＜ＦＣ,． １２ １２ １  分两种情况讨论： ④Ｓ ＝ ＡＣ×ＢＤ；⑤ＢＤ垂直平分 ＡＣ．其中正确的结论有 ①②③④ （填序号）． 图（１） 四边形ＡＢＣＤ ２ ①当四边形ＡＥＣＦ为平行四边形，且ＢＦ＞ＦＣ时，如图（２）， ∵∠ＰＡＤ＝６０°，∠ＡＰＤ＝３０°，∴∠ＡＤＰ＝９０°， （２）组员小颖提出，我们可以继续研究对角线互相垂直的四边形的性质． ∴ＰＤ＝ 槡３ＡＤ，ＢＤ＝ＡＤ＝ＣＤ， ①如图（２），在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ于点 Ｏ，请写出边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＡＤ之间的数量关系，并说明理 由．如下是成员小华的解题过程，请补充完整． ∴ＰＢ＝ＰＤ－ＢＤ＝（槡３－１）ＡＤ，ＡＣ＝２ＡＤ， 解：四条边的数量关系： ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２＋ＣＢ２ ． ＰＢ （槡３－１）ＡＤ 槡３－１ ∴ ＝ ＝ ． 理由：在 Ｒｔ△ＡＢＯ中，∠ＡＯＢ＝９０°， ＡＣ ２ＡＤ ２ 图（２） 所以 ＡＢ２＝ＡＯ２＋ＢＯ２ ．（依据：勾股定理） （３）点Ｐ的坐标为（０，３）或（０，３＋３槡２）． 同理可得ＢＣ２＝ＢＯ２＋ＣＯ２，ＤＣ２＝ＤＯ２＋ＣＯ２，ＤＡ２＝ＤＯ２＋ＡＯ２， 此时ＢＦ－ＦＣ＝ ２５ ． 解法提示：由（２）可知∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＰ＝９０°!=>",， １２  所以得证． ＯＰ＝ＢＣ．  １７５  ２５ ②基于上述研究成果，创新拓展小组成员小刚进一步发现，在矩形中同样存在经典的性质． ＢＦ＋ＦＣ＝ ， ＢＦ＝ ， 设直线ＢＣ与ｙ轴交于点Ｍ，ＯＰ＝ＢＣ＝ｘ．  １２  ３ 过点Ｃ作ＣＥ⊥ｙ轴于点Ｅ． 在矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ｐ为其边上一点（如图（３））或内部一点（如图（４）），则均有 ＡＰ２＋ＣＰ２＝ＢＰ２＋ＤＰ２． 联立 ２５ 解得 ２５ 请仅就图（４）的情形，证明上述结论的正确性． ＢＦ－ＦＣ＝ ， ＦＣ＝ ． ∵∠ＭＯＢ＝３０°，∠ＯＢＭ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＯ＝９０°－６０°＝３０°，  １２  ４ ＯＢ （３）如图（５），在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＢＣ边上一点，ＢＦ⊥ＡＥ于点 Ｇ，交 ＡＤ于点 Ｆ，连接 ＧＣ，ＧＤ．若 ＡＤ＝ ２５ ∴ＯＭ＝ＢＭ＝ ＝６． １２５ 在Ｒｔ△ＡＢＦ中，ＡＢ＝５，ＢＦ＝ ， 槡３ ，ＡＢ＝５，当四边形 ＡＥＣＦ为平行四边形时，请直接写出 ＧＤ２－ＧＣ２的值． ３ １２ 分以下两种情况讨论． ２０ ∴ＡＦ＝槡ＢＦ２－ＡＢ２＝ ． ①当点Ｃ在ｙ轴右侧时，如图（２）， ３ 此时ＭＣ＝６－ｘ，∠ＢＭＥ＝６０°， ２５ ２０ ∵ＡＧ⊥ＢＦ，∴ＡＧ·ＢＦ＝ＡＢ·ＡＦ，即ＡＧ× ＝５× ， 槡３ ３ ３ ∴ＣＥ＝ （６－ｘ）， ２ ∴ＡＧ＝４，∴ＢＧ＝槡ＡＢ２－ＡＧ２＝３． １ １ 槡３ 槡３ ９槡３ ∵ＧＡ２＋ＧＣ２＝ＧＢ２＋ＧＤ２， ∴Ｓ ＝ ＯＰ·ＣＥ＝ ·ｘ· （６－ｘ）＝ ｘ（６－ｘ）＝ ， △ＯＰＣ ２ ２ ２ ４ ４ ∴ＧＤ２－ＧＣ２＝ＧＡ２－ＧＢ２＝１６－９＝７， 解得ｘ＝ｘ＝３， 图（１） 图（２） 图（３） 图（４） 图（５） ②当四边形ＡＥＣＦ为平行四边形，且ＢＦ＜ＦＣ时，如图（３）， １ ２ ∴点Ｐ的坐标为（０，３）． （１）①②③④ （２）①ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２＋ＣＢ２ ＡＢ２＝ＡＯ２＋ＢＯ２ ②证明：如图（１），过点Ｐ作ＭＮ⊥ＢＣ于点Ｍ，交ＡＤ于点Ｎ，过点Ｐ作ＨＫ⊥ＡＢ于点Ｈ，交ＣＤ于点Ｋ，连接ＮＨ，ＭＨ， ＭＫ，ＮＫ． 图（３） ２５ 此时ＢＦ－ＦＣ＝－ ． １２  １７５  ２５ ＢＦ＋ＦＣ＝ ， ＢＦ＝ ， 图（１）  １２  ４ 图（２） 图（３） ∵∠ＮＡＨ＝∠ＡＨＰ＝∠ＨＰＮ＝９０°， 联立 ２５ 解得 ２５ ②当点Ｃ在ｙ轴左侧时，如图（３）， ＢＦ－ＦＣ＝－ ， ＦＣ＝ ． ∴四边形ＡＨＰＮ为矩形（ij$rcsboab:tfdoud），  １２  ３ 此时ＭＣ＝ｘ－６，∠ＣＭＥ＝６０°，  ∴ＡＰ＝ＨＮ． 同理可得ＡＧ＝３，ＢＧ＝４， ∴ＣＥ＝ 槡３ （ｘ－６）， 同理可得ＮＫ＝ＰＤ，ＰＣ＝ＭＫ，ＰＢ＝ＨＭ． 此时，ＧＤ２－ＧＣ２＝ＧＡ２－ＧＢ２＝９－１６＝－７． ２ 在四边形ＨＮＫＭ中，对角线ＨＫ⊥ＭＮ， 综上可知，当四边形ＡＥＣＦ为平行四边形时，ＧＤ２－ＧＣ２的值为７或－７． １ １ 槡３ 槡３ ９槡３ ∴ＨＮ２＋ＭＫ２＝ＨＭ２＋ＮＫ２!MK$vjw’xyzL,， ∴Ｓ ＝ ＯＰ·ＣＥ＝ ·ｘ· （ｘ－６）＝ ｘ（ｘ－６）＝ ，  △ＯＰＣ ２ ２ ２ ４ ４ ∴ＡＰ２＋ＣＰ２＝ＢＰ２＋ＤＰ２． 河南中考４５套汇编·数学 ３９— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ３９— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ３９— ９（１）如图（１），点Ｄ即为所求． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ %& 全国中考新考法趋势卷 Ａ （Ａ，Ａ） （Ｂ，Ａ） （Ｃ，Ａ） （Ｄ，Ａ） （Ｅ，Ａ） Ｂ （Ａ，Ｂ） （Ｂ，Ｂ） （Ｃ，Ｂ） （Ｄ，Ｂ） （Ｅ，Ｂ） Ｃ （Ａ，Ｃ） （Ｂ，Ｃ） （Ｃ，Ｃ） （Ｄ，Ｃ） （Ｅ，Ｃ） FG ! HI,"JK+, Ｄ （Ａ，Ｄ） （Ｂ，Ｄ） （Ｃ，Ｄ） （Ｄ，Ｄ） （Ｅ，Ｄ） １．（２０２５甘肃）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成 ３个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜 Ｅ （Ａ，Ｅ） （Ｂ，Ｅ） （Ｃ，Ｅ） （Ｄ，Ｅ） （Ｅ，Ｅ） 图（１） 色，转盘指针固定．转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线 ２０ ４ 由表格可知，共有２５种等可能的结果，其中两个小组研究方向不同的结果有２０种，故所求概率为 ＝ ． （２）方法一：如图（２），点 Ｐ即为所求． ２５ ５ 上，则重新转动转盘． FG " BLMNAOPQR １ （１）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 ； ３ ３．（２０２５安徽）如图，在由边长为１个单位长度的小正方形组成的网格中建立 （２）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用 平面直角坐标系 ｘＯｙ，△ＡＢＣ的顶点和点 Ａ均为格点（网格线的交点）．已 １ 画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 图（２） 知点 Ａ和 Ａ的坐标分别为（－１，－３）和（２，６）． １ １ 方法二：如图（３），点 Ｐ即为所求． （１） （１）在所给的网格图中描出边 ＡＢ的中点 Ｄ，并写出点 Ｄ的坐标； ３ （２）以点 Ｏ为位似中心，将△ＡＢＣ放大得到△ＡＢＣ，使得点 Ａ的对应点为 （２）列表： １ １ １ Ａ，请在所给的网格图中画出△ＡＢＣ． １ １ １ １ 红 白 蓝 （１）如图所示，点Ｄ即为边ＡＢ的中点， 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 点Ｄ的坐标为（－２，－１）． 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） 图（３） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） FG # STRA9UVWX’(YZ ∵共有９种等可能的结果，其中颜色不同的结果有６种， ５．（２０２５烟台）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ是角平分线．点 Ｅ从点 Ａ出发，沿 ＡＢ方向向 ６ ２ ∴Ｐ（颜色不同）＝ ＝ ． ９ ３ 点 Ｂ运动，连接 ＣＥ，点 Ｆ在 ＢＣ上，且∠ＣＥＦ＝４５°．设 ＡＥ＝ｘ，ＦＤ＝ｙ，若 ｙ关于 ｘ的函数图象过点（０， ２．（２０２５陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学” ２－ 槡２），则该图象上最低点的坐标为 （Ｂ） “艺术”“科技”（分别记作 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五 １ ３ 槡２ ３ １ 槡２ Ａ．（ ， － 槡２） Ｂ．（ ， － 槡２） Ｃ．（ ，３－２槡２） Ｄ．（ ，３－２槡２） 张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． ２ ２ ２ ２ ２ ２ （２）如图所示，△ＡＢＣ即为所求作的三角形． １ １ １ 作法提示：连接ＡＡ，根据网格可知ＯＡ＝２ＯＡ，即将△ＡＢＣ放大了２倍，据此描出点Ｂ，Ｃ，再连线即可． １ １ １ １ ４．（２０２５江西）如图，在６×５的正方形网格中，点 Ａ，Ｂ，Ｃ均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作 獉獉獉獉獉獉獉 １ 图．（保留作图痕迹） （１）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 ； ５ （１）在图（１）中作出 ＢＣ的中点； （第５题） （第６题） （２）各小组分别从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背 （２）在图（２）中作出△ＡＢＣ的重心． ６．（２０２５苏州）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝２，∠Ｃ＝６０°，Ｄ是线段 ＢＣ上一点（不与端点 Ｂ，Ｃ重合）， 面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代 连接 ＡＤ，以 ＡＤ为边，在 ＡＤ的右侧作等边三角形 ＡＤＥ，线段 ＤＥ与线段 ＡＣ交于点 Ｆ，则线段 ＣＦ长度 表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求这两个小组研究方向不同的概率． ３ 的最大值为 ． ４ １ （１） ５ ７．（２０２５连云港）一块直角三角形木板，它的一条直角边 ＢＣ长２ｍ，面积为１５ｍ２． （２）根据题意列表如下： 图（１） 图（２） （１）甲、乙两人分别按图（１）、图（２）用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； 河南中考４５套汇编·数学 ４０— １ 河南中考４５套汇编·数学 ４０— ２ 河南中考４５套汇编·数学 ４０— ３（２）丙、丁两人分别按图（３）、图（４）用它设计一个长方形桌面．请分别求出图（３）、图（４）中长方形的 !" ! #$%&’ ９．（２０２５扬州）材料的疏水性 面积 ｙ（ｍ２）与 ＤＥ的长 ｘ（ｍ）之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不 ８．（２０２５山西）阅读与思考 易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 性质． 双关联线段 【概念理解】 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是６０°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的 双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 过球心的纵截面如图（１）所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点 Ｍ或点 Ｎ）所作的气－液界线的 例如，图（１）、图（２）、图（３）中的线段ＡＢ与ＣＤ所在直线形成的夹角中有一个角是６０°，若 ＡＢ＝ＣＤ，则各图中的 切线与固－液界线的夹角，图（１）中的∠ＰＭＮ就是水滴的一个接触角． 图（１） 图（２） 图（３） 图（４） 线段ＣＤ都是相应线段ＡＢ的双关联线段． （１）请用无刻度的直尺和圆规作出图（２）中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角．（保 由ＢＣ＝２ｍ，面积为１．５ｍ２，得ＡＣ＝１．５ｍ，ＡＢ＝２．５ｍ． 留作图痕迹，写出必要的文字说明） （１）设正方形的边长为ｘｍ， （２）材料的疏水性随着接触角的变大而 变强 ．（填“变强”“不变”或“变弱”） 由题图（１）知，Ｒｔ△ＡＤＥ∽Ｒｔ△ＡＣＢ， 【实践探索】 ＤＥ ＡＤ ｘ １．５－ｘ ６ 得 ＝ ，即 ＝ ，解得ｘ＝ ． ＣＢ ＡＣ ２ １．５ ７ 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度 ＢＣ和底面圆的半径 ＡＣ（ＢＣ⊥ＡＣ），求出∠ＢＡＣ的度数， 图（１） 图（２） 图（３） 图（４） 图（５） 由题图（２）知，Ｒｔ△ＤＥＣ∽Ｒｔ△ＡＢＣ， 进而求出接触角∠ＣＡＤ的度数（如图（３））． 【问题解决】 ＤＣ ＡＣ ３ ＤＣ ３ 问题１：如图（４），在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＜ＡＤ，若对角线ＡＣ与ＢＤ互为双关联线段，则∠ＡＣＢ＝ °． （３）请探索图（３）中接触角∠ＣＡＤ与∠ＢＡＣ之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 得 ＝ ＝ ，即 ＝ ， ＤＥ ＡＢ ５ ＤＥ ５ 问题２：如图（５），在等边三角形ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在边ＢＣ，ＣＡ的延长线上，且ＡＥ＝ＣＤ，连接ＡＤ，ＢＥ． 【创新思考】 ３ ３ ３ 求证：线段ＡＤ是线段ＢＥ的双关联线段． 所以ＤＣ＝ ｘ，ＡＤ＝ＡＣ－ＤＣ＝ － ｘ， （４）材料的疏水性除了用接触角以及图（３）中与△ＡＢＣ相关的量描述外，还可以用什么量来描述？请 ５ ２ ５ 证明：如图（５），延长ＤＡ交ＢＥ于点Ｆ．∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°． 你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． ＤＧ ＢＣ ｘ ４ ∵∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＥ＝１８０°，∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝１８０°，∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＣＤ（依据）． 由Ｒｔ△ＡＤＧ∽Ｒｔ△ＡＢＣ，得 ＝ ，得 ＝ ， ＤＡ ＡＢ ３ ３ ５ 又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴△ＡＢＥ≌△ＣＡＤ，∴ＢＥ＝ＡＤ，∠Ｅ＝∠Ｄ． － ｘ ２ ５ …… ３０ 解得ｘ＝ ． 任务： ３７ （１）问题１中的∠ＡＣＢ＝ ３０ °， ６ ３０ 因为 ＞ ，所以题图（１）中正方形面积较大． 问题２中的依据是 等角的补角相等 ． 图（１） 图（２） 图（３） ７ ３７ （２）补全问题２的证明过程． （１）如图（１），∠ＰＭＮ为所作的一个接触角． （２）在题图（３）中，由Ｒｔ△ＡＤＥ∽Ｒｔ△ＡＣＢ， （３）如图（６），点 Ｃ在线段 ＡＢ上，请在图（６）中作线段 ＡＢ的双关联线段 ＣＤ（要求：① 图（６） ＡＤ ＡＣ ３ ３ ６－３ｘ 得 ＝ ＝ ，则ＡＤ＝ ｘ，ＤＣ＝ＡＣ－ＡＤ＝ ， 尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． ＤＥ ＣＢ ４ ４ ４ （１）３０ 等角的补角相等 ６－３ｘ ３ ３ ３ 所以ｙ＝ＤＥ·ＤＣ＝ｘ× ＝ ｘ（２－ｘ）＝－ （ｘ－１）２＋ ． ４ ４ ４ ４ （２）∵∠ＡＦＢ是△ＡＥＦ的外角，∴∠ＡＦＢ＝∠ＥＡＦ＋∠Ｅ． ∵∠ＡＣＢ是△ＡＣＤ的外角，∴∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤ＋∠Ｄ． ３ 图（１） 当ｘ＝１时，长方形的面积有最大值，为 ｍ２． ∵∠ＥＡＦ＝∠ＣＡＤ，∠Ｅ＝∠Ｄ，∴∠ＡＦＢ＝∠ＡＣＢ＝６０°． ４ 作ＭＮ的垂直平分线；在圆弧上取一点 Ｈ，连接 ＨＮ，作 ＨＮ的垂直平分线，两线交于点 Ｏ；作射线 ＯＭ，过点 Ｍ 即线段ＡＤ与线段ＢＥ所在直线形成的夹角中有一个角是６０°． ＤＥ ＡＢ ５ 在题图（４）中，由Ｒｔ△ＤＥＣ∽Ｒｔ△ＡＢＣ，得 ＝ ＝ ， ∵ＡＤ＝ＢＥ，∴线段ＡＤ是线段ＢＥ的双关联线段． 作射线ＯＭ的垂线ＭＰ，则∠ＰＭＮ即为所求作的接触角． ＤＣ ＡＣ ３ （２）变强 （３）答案不唯一，例如： ３ ３ ３ 所以ＤＣ＝ ｘ，ＤＡ＝ＡＣ－ＤＣ＝ － ｘ， （３）∠ＣＡＤ＝２∠ＢＡＣ． ５ ２ ５ 理由：如图（２），连接ＡＯ，则∠ＤＡＯ＝９０°，ＡＯ＝ＢＯ， ＤＧ ＢＣ ４ ４ ４ ３ ３ 由Ｒｔ△ＡＤＧ∽Ｒｔ△ＡＢＣ，得 ＝ ＝ ，则ＤＧ＝ ＤＡ＝ （ － ｘ）， ＤＡ ＢＡ ５ ５ ５ ２ ５ ４ ３ ３ １２ ５ ３ 所以ｙ＝ＤＥ·ＤＧ＝ｘ× （ － ｘ）＝－ （ｘ－ ）２＋ ， ５ ２ ５ ２５ ４ ４ ５ ３ 当ｘ＝ 时，长方形的面积有最大值，为 ｍ２． ４ ４ 如图，线段ＣＤ即为所求． 图（２） 河南中考４５套汇编·数学 ４０— ４ 河南中考４５套汇编·数学 ４０— ５ 河南中考４５套汇编·数学 ４０— ６ 书书书∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ． 方法二：由二次函数ｙ＝ｘ２－２ｂｘ＋ｃ，可得对称轴为直线ｘ＝ｂ． 如图（１），过点Ｂ作ＢＭ⊥ＡＣ于点Ｍ． 设∠ＯＢＡ＝α，则∠ＯＡＢ＝α，∠ＢＡＣ＝９０°－α， ∵抛物线ｙ＝ｘ２－２ｂｘ＋ｃ的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴∠ＤＡＢ＝∠ＤＡＯ－∠ＯＡＢ＝９０°－α， ∴顶点坐标为（ｂ，ｂ）， ∴∠ＤＡＢ＝∠ＢＡＣ， ∴ｂ２－２ｂ·ｂ＋ｃ＝ｂ，即ｃ＝ｂ２＋ｂ． ∴∠ＣＡＤ＝２∠ＢＡＣ． （４）根据题意，得ｙ＝（ｘ－６）（１２－ｘ）＝－ｘ２＋１８ｘ－７２， 即ｙ＝－ｘ２＋１８ｘ－７２． （４）设经过球心的纵截面的弧长为ｌ，弧所对的圆心角为ｎ°，半径为ｒ， 图（１） 令－ｘ２＋１８ｘ－７２＝ｘ，即ｘ２－１７ｘ＋７２＝０， ｎπｒ 则ｌ＝ ， １ １ １８０ 解得ｘ＝８，ｘ＝９， ∵Ｓ ＝ ＡＢ·ＢＣ＝ ＡＣ·ＢＭ， １ ２ △ＡＢＣ ２ ２ ｌ π ｌ ∴该函数是“不动点函数”． ∴ ＝ ｎ，∴可以根据 的大小进行判断． ＡＢ·ＢＣ １２ ｒ １８０ ｒ 不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为８元或９元时，销售总利润与销售单价相等． ∴ＢＭ＝ ＝ （"#：(cid:134)D{|}(cid:135)(cid:136)）， ＡＣ ５ ｌ FG & STRA9WXRabZ,  若 的值越大，则ｎ值越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强． １ １ １２ ６ ｒ ∴Ｓ＝ ＡＥ·ＢＭ＝ ｘ· ＝ ｘ． １ ２ ２ ５ ５ １１．（２０２５重庆）如图（１），Ｏ为矩形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ的中点，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４．Ｅ，Ｆ是 ＡＣ上的点（点 Ｅ，Ｆ均 （答案不唯一） ６ 不与点 Ａ，Ｃ重合），且 ＡＥ＝ＣＦ，连接 ＢＥ，ＤＦ．用 ｘ表示线段 ＡＥ的长度，点 Ｅ与点 Ｆ的距离为 ｙ．矩形 ＡＢ 同理可得Ｓ＝ ｘ． FG % WX^_‘+, １ ２ ５ Ｓ ＣＤ的面积为 Ｓ，△ＡＢＥ的面积为 Ｓ，△ＣＤＦ的面积为 Ｓ，ｙ＝ ． 又∵Ｓ＝ＡＢ·ＢＣ＝３×４＝１２， １０．（２０２５江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量 ｘ＝ｍ时，其对应的函数值 ｙ＝ｍ，那么我们 １ ２ ２ Ｓ＋Ｓ ０ ０ １ ２ Ｓ １２ ５ ５ 称该函数为“不动点函数”，点（ｍ，ｍ）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数 ｙ＝ｘ２中，当 ｘ＝１ （１）请直接写出 ｙ １ ，ｙ ２ 分别关于 ｘ的函数表达式，并写出自变量 ｘ的取值范围； ∴ｙ ２ ＝ Ｓ＋Ｓ ＝ ６ ６ ＝ ｘ ，∴ｙ ２ ＝ ｘ （０＜ｘ＜５）． １ ２ ｘ＋ ｘ 时，ｙ＝１，则我们称函数 ｙ＝ｘ２为“不动点函数”，点（１，１）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣 （２）在给定的平面直角坐标系（如图（２））中画出函数 ｙ，ｙ的图象，并分别写出函数 ｙ，ｙ的一条性质； ５ ５ １ ２ １ ２ （３）结合函数图象，请直接写出ｙ＜ｙ时ｘ的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过０．２）． （２）函数ｙ，ｙ的图象如图（２）所示． 小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． １ ２ １ ２ 探究１ （１）对一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）进行探究后，得出下列结论： ①ｙ＝ｘ＋２是“不动点函数”，且只有一个不动点； １ ②ｙ＝－３ｘ＋２是“不动点函数”，且不动点是（ ，０）； ２ ③ｙ＝ｘ是“不动点函数”，且有无数个不动点． 图（１） 图（２） 图（２） 以上结论中，你认为正确的是 ③ （填写正确结论的序号）．  ５ ５ ５ （２）若一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）是“不动点函数”，请直接写出 ｋ，ｂ应满足的条件． ５－２ｘ（０＜ｘ≤ ）， 函数ｙ的性质：①当０＜ｘ≤ 时，ｙ随ｘ的增大而减小；当 ＜ｘ＜５时，ｙ随ｘ的增大而增大．   ２ １ ２ １ ２ １ 探究２ （１）ｙ １ ＝   ５ ②函数ｙ的图象关于直线ｘ＝２．５对称． ２ｘ－５（ ＜ｘ＜５）． １ （３）对二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．  ２ ③在自变量的取值范围内，当ｘ＝２．５时，ｙ取得最小值０．（函数ｙ的性质写出一条即可） １ １ 若抛物线 ｙ＝ｘ２－２ｂｘ＋ｃ的顶点为该函数图象上的一个不动点，求 ｂ，ｃ满足的关系式． ５ ｙ＝ （０＜ｘ＜５）． 函数ｙ的性质：当０＜ｘ＜５时，ｙ随ｘ的增大而减小． ２ ｘ ２ ２ 探究３ （３）０＜ｘ＜３．３（填０＜ｘ＜３．１或０＜ｘ＜３．２或０＜ｘ＜３．４均对）． ５ （４）某种商品每件的进价为６元，在某段时间内，若以每件 ｘ元出售，可卖出（１２－ｘ）件，获得利润 ｙ 解法提示：∵Ｏ为矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ的中点，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，∴∠ＡＢＣ＝９０°，∴ＡＣ＝槡ＡＢ２＋ＢＣ２＝５，∴ＡＯ＝ＣＯ＝ ． ２ 元．请写出 ｙ关于 ｘ的函数解析式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是 ５ 当０＜ｘ≤ 时，ｙ＝ＥＦ＝ＡＣ－ＡＥ－ＣＦ＝５－ｘ－ｘ＝５－２ｘ； “不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． ２ １ ５ （１）③ 当 ＜ｘ＜５时，ｙ＝ＥＦ＝ＡＥ＋ＣＦ－ＡＣ＝ｘ＋ｘ－５＝２ｘ－５， ２ １ （２）当ｋ＝１时，ｂ＝０；当ｋ≠１且ｋ≠０时，ｂ为任意实数．  ５ （３）方法一：由二次函数ｙ＝ｘ２－２ｂｘ＋ｃ，可得顶点坐标为（ｂ，ｃ－ｂ２）．   ５－２ｘ（０＜ｘ≤ ２ ）， ∵抛物线ｙ＝ｘ２－２ｂｘ＋ｃ的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴ｙ １ ＝  ５  ２ｘ－５（ ＜ｘ＜５）． ∴ｂ＝ｃ－ｂ２，即ｃ＝ｂ２＋ｂ．  ２ 河南中考４５套汇编·数学 ４０— ７ 河南中考４５套汇编·数学 ４０— ８ 河南中考４５套汇编·数学 ４０— ９