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2023 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题
2+i
z =
1 设 1+i2 +i5 ，则z=（ ）
.
A. 1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i
2. 设集合U =R，集合M = x x<1 ，N = x -1< x<2 ，则 x x³2 =（ ）
A. ð U M U N B. N U ð U M
C . ð U M I N D. M Èð U N
3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）
A. 24 B. 26 C. 28 D. 30
xex
4. 已知 f(x)= 是偶函数，则a =（ ）
eax -1
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
5. 设O为平面坐标系的坐标原点，在区域
x,y1£
x2 + y2 £4
内随机取一点，记该点为A，则直线
π
OA的倾斜角不大于 的概率为（ ）
4
1 1 1
1
A. B. C. D.
8 6 4 2
æπ 2πö π 2π
6. 已知函数 f(x)=sin(wx+j)在区间ç , ÷单调递增，直线x= 和x= 为函数y = f x 的图像
è6 3 ø 6 3
æ 5πö
的两条对称轴，则 f ç - ÷ =（ ）
è 12ø
3 1 1 3
A. - B. - C. D.
2 2 2 2
第1页 | 共5页7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有
（ ）
A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种
8. 已知圆锥PO的底面半径为 3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，ÐAOB=120°，若
V
PAB的面
9 3
积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
4
A. p B. 6p C. 3p D. 3 6p
9. 已知 ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，
V
则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
1 2 3 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
10. 已知等差数列 a 的公差为 2p ，集合S = cosa nÎN* ，若S =a,b ，则ab=（ ）
n 3 n
1
1
A. －1 B. - C. 0 D.
2 2
y2
11. 设A，B为双曲线x2- =1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
9
A.
1,1
B.
(-1,2)
C.
1,3
D.
-1,-4
12. 已知 e O的半径为1，直线PA与 e O相切于点A，直线PB与 e O交于B，C两点，D为BC的中
uuur uuur
点，若 PO = 2，则PA×PD的最大值为（ ）
1+ 2 1+2 2
A. B.
2 2
C. 1+ 2 D. 2+ 2
二、填空题
13. 已知点A 1, 5 在抛物线C：y2 =2px上，则A到C的准线的距离为______.
ìx-3y£-1
ï
14. 若x，y满足约束条件í x+2y£9 ，则z =2x- y的最大值为______.
ï
3x+ y³7
î
15. 已知 a 为等比数列，a a a =a a ，a a =-8，则a =______.
n 2 4 5 3 6 9 10 7
16. 设aÎ0,1 ，若函数 f x=ax +1+ax 在 0,+¥ 上单调递增，则a的取值范围是______.
三、解答题
第2页 | 共5页17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质
相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的
伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x ，y （i =1,2,×××10），试验结果如下
i i
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率x 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
i
伸缩率y 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
i
记z
i
= x
i
- y
i
(i =1,2,
L
,10)，记z
1
，z
2
，…，z
10
的样本平均数为z，样本方差为s2，
（1）求z，s2；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
s2
z ³2 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，
10
否则不认为有显著提高）.
18. 在 ABC中，已知ÐBAC =120°，AB=2，AC =1.
V
（1）求sinÐABC ；
（2）若D为BC上一点，且ÐBAD=90°，求△ADC的面积.
19. 如图，在三棱锥P-ABC 中，AB^BC ，AB=2，BC =2 2，PB= PC = 6，BP，AP，BC
的中点分别为D，E，O，AD= 5DO，点F在AC上，BF ^ AO.
（1）证明：EF //平面ADO；
（2）证明：平面ADO^平面BEF；
（3）求二面角D-AO-C的正弦值.
y2 x2 5
20. 已知椭圆C： + =1a >b>0的离心率为 ，点A-2,0 在C上.
a2 b2 3
第3页 | 共5页（1）求C的方程；
（2）过点
-2,3
的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段
MN的中点为定点.
æ1 ö
21. 已知函数 f(x)= ç +a ÷ ln(1+x).
è x ø
（1）当a=-1时，求曲线y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
æ1ö
（2）是否存在a，b，使得曲线y = f ç ÷关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明
è xø
理由.
（3）若 f x 在 0,+¥ 存在极值，求a的取值范围.
四、选做题
【选修 4-4】（10分）
22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
1
æπ πö ìx=2cosa p
为r=2sinq ç £q£ ÷ ，曲线C ：í （a为参数，
