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2025 年山东省初中学生学业水平考试
数学试题
适用地区：青岛、枣庄、日照、临沂、聊城、菏泽
本试卷共8页。满分120分。考试时长120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案
写在答题卡上。答案写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共10 小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求．
1.如图，数轴上表示-2的点是 ( )
M N P Q
-3 -2 -1 0 1 2 3
A. M B. N C. P D. Q
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
3.我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是
( )
正面
A. B.
C. D.
4.好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统
计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为 ( )
A. 9×107⁸ B. 0.9×108 C. 9×108⁸ D. 0.9×109
第1页 / 共6页5.已知a≠0，则下列运算正确的是 ( )
A. -2a+3a=5a B. -2a3 2=4a6 C. a2-a=a D. a6÷a2=a3
6.某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋
壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若
抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
9 6 3 3
7.明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6
只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、
夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为 ( )
x+3y=36 x+3y=36 3x+y=36 3x+y=36
A. B. C. D.
8x+6y=108 6x+8y=108 8x+6y=108 6x+8y=108
8.在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐
家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组
成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是 ( )
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
9.如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．
k
若函数 y= x>0)的图象经过点B，则满足 y≥2的x的取值范围为 ( )
x
y
B
C
O A x
A. 0<x≤2 B. x≥2 C. 0<x≤4 D. x≥4
10.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之
间存在一定关系．在低光照强度范围( (200≤ x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在
中高光照强度范围( (x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据
图象，下列结论正确的是 ( )
y
0.6
0.3
O 200 1000 3000 x
A. 当x≥1000时，y随x的增大而减小 B. 当x=2000时，y有最大值
C. 当y≥0.6时，x≥1000 D. 当y=0.4时，x=600
第2页 / 共6页二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
1
11.写出使分式 有意义的x的一个值 ．
2x-3
12.在平面直角坐标系中，将点 P(3，4)向下平移2 个单位长度，得到的对应点 P'的坐标是
．
13.若关于x的一元二次方程 x2+4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
．
1
14.取直线y=-x上一点A(x ，y )，①过点 A 作x轴的垂线，交 y= 于点A(x ，y )；②过
1 1 1 x 2 2
点 A 作y轴的垂线，交y=-x于点A (x ，y )；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点
2 3 3 3
A₁的坐标为(1，-1)，则点A 的坐标是 ．
2025
y
2
1
y=
1 x A
-2 -1 O 1 2 x Q
P
-1
-2 y=-x
B
第14题图 第15题图
15.如图，在 Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=6，BC=8．点P为边AC上异于A的一点，
以PA，PB为邻边作▱PAOB，则线段PQ的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.(8分)
1
(1)计算：∣- ∣× 9+π0；
3
(2)先化简，再求值： x2-1
1
+1
x+1
，其中x=2．
17.(8分)
在 Rt△ABC中， ∠ABC=90°，∠ACB=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点 D．如图1．
(1)求∠ADC 的度数；
1
(2)已知AB=3，分别以C，D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，
2
N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长．
A A
M
B D C B D C
N
图1 图2 F
第3页 / 共6页18.(8分)
山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际
情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y(米)与注水时间x(小时)之间的关系式；
(2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间
可供发电4.2万千瓦时？
19.(10分)
在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行
了检测，并对一天(24小时)内每小时的pH值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，
7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，
7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．
【整理数据】
7.00≤ x<7.30 7.30≤ x<7.60 7.60≤ x<7.90 7.90≤ x<8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
乙基地水体pH值数据的频数分布直方图
频数
9
9
8
7
6
5
4
4
3
2 2
2
1
0
7.00 7.30 7.60 7.90 8.20 8.50 pH值
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)填空：b= ，c= ；
(3)请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
(4)已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5~1，分别判断
并说明该日两基地的pH值是否符合要求．
第4页 / 共6页20.(10分)
如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是
∠BAD的平分线．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45°，求CB的长．
A
O D C B
21.(9分)
【问题情境】
2025 年5月29 日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴
趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于l的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，
以检测该部件中l的长度是否符合要求．
l
图1： 图2：
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱)．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如
图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出 CC的长度y．
y
D D
O
l
C B A A C
图3 图4
【问题解决】
已知 ∠CAD=∠CAD=60°，/的长度要求是1.9cm~2.1cm．
(1)求∠BAO的度数；
(2)已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得 y=7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件
l的长度是否符合要求．(参考数据： 3≈1.73)
【结果反思】
(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体
吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
第5页 / 共6页22.(11分)
已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)，其中a，b 为两个不相等的实数．
(1)当a=0、b=3时，求此函数图象的对称轴；
(2)当b=2a时，若该函数在0≤x≤1时，x的增大而减小；在 3≤x≤4时，y随x的增大而
增大，求a的取值范围；
(3)若点A(a，y)，B(a+b，y )，C(b，y )均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y
1 2 3 1
y +my +y =0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由
1 2 3
23.(11分)
【图形感知】
如图1，在四边形ABCD中，已知．∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2，AB=4．
(1)求CD的长；
A D A D
E
F
B C B D C
图1
A
图2
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．在线段CD上取一点E，连接BE．将四
边形ABED 沿BE翻折得到四边形 ABED，其中A'，D'分别是A，D的对应点．
(2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D'恰好落在边 BC 上，延长 AD交CD于点F，如图2．判断四边形 DBAF的形
状，并说明理由；
②乙：点A'恰好落在边BC上，如图3．求DE的长；
(3)如图4，连接 DD交BE于点 P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存
在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
A D A D
E
E
D
P
D
B A C B C
图3 A 图4
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