安徽合肥市第十一中学等校 2026 届高三第二学期 4 月质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合𝐴 ={𝑥∣𝑥2−5𝑥 +4>0},𝐵 ={𝑥 ∈ 𝑍∣ 𝑥<3}，则𝐴 ∩𝐵 =( )
A. {2,3} B. {0,2,3} C. {5,6,7,8} D. {0,5,6,7,8}
|−|
2.若 𝑧 =|𝑧−2𝑖|，则𝑧的虚部为( )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
3.函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥−2𝑐𝑜𝑠2𝑥的最小正周期是( )
𝜋 𝜋
A. B. C. 𝜋 D. 2𝜋
4 2
𝜋
4.记▵𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，已知𝑎 +𝑏 =5,𝑐 = 13,𝐶 = ，则𝑎𝑏的值为( )
3
A. 4 B. 2 3 C. 33 D. 3
5.26078被7除所得的余数为( )
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1
6.若tan 𝛼 + 𝜋 6 + tan 𝛼+𝜋 =4，则cos 2𝛼− 𝜋 6 =( )
6
1 1 1 1
A. B. − C. D. −
2 4 4 2
7.已知随机变量𝑋的所有可能取值为0，1，2，且𝑃(𝑋 =0)=0.3,𝐸(𝑋)=1.2，则𝐷(𝑋)=( )
A. 0.48 B. 0.54 C. 0.76 D. 0.92
𝑥2 𝑦2
8.设椭圆𝐶： + =1(𝑎 >𝑏 >0)的左、右焦点分别为𝐹 ,𝐹 ,𝑂为坐标原点，过𝐹 的直线与𝐶交于𝐴,𝐵两
𝑎2 𝑏2 1 2 2
点，若|𝐴𝐵|=𝑎,𝑆 =3𝑆 ，则𝐶的离心率为( )
▵𝐴𝐵𝐹 ▵𝐴𝑂𝐹
1 1
3 5 3 2
A. B. C. D.
2 3 5 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数𝑓(𝑥)=ln(sin𝑥)，则( )
1
A. 𝑓(𝑥)是奇函数 B. 𝑓(𝑥)是周期函数 C. 𝑓(𝑥)≥ D. 𝑓(𝑥)≤0
𝑒
10.已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝 >0)的焦点𝐹到其准线的距离为2，过点𝑀(𝑚,0)(𝑚 >0)的直线交𝐶于𝐴，𝐵两
点，设𝑂为坐标原点，则( )
第1页，共9页A. 𝑝 =2
B. 若𝐹为△𝐴𝑂𝐵的重心，则|𝐴𝐵| =2 6
C. 若∠𝐴𝑂𝐵 =90∘，则𝑚 =2
1 1
D. 若 + 为定值，则𝑚 =2
|𝑀𝐴|2 |𝑀𝐵|2
𝑓(𝑥𝑦) 1
11.已知函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)，对∀𝑥，𝑦 ∈ (0,+∞)都有𝑓(𝑥𝑦 +1)= ，𝑓(2) = ，记𝑎
𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)+1 2 𝑛
= 𝑓(𝑛)，𝑛 ∈𝑁∗，则下列说法正确的是( )
A. 数列{𝑎 }是等差数列
𝑛
1 1 1
B. 当𝑛 ≥2时， − >
𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 2 𝑛
1 1 1 1 1
C. 当𝑛 ≥2时，( − )( − )<
𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 2
D. 𝑎3+𝑎3+⋯+𝑎3 > 32
1 2 16 17
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知𝑓(𝑥)= ln𝑥 ，则曲线𝑦 =𝑓(𝑥)在点 1 ,𝑓 1 处的切线方程为 ．
𝑥 𝑒 𝑒
13.已知非零向量𝑎,𝑏满足𝑎⊥公3𝑎+众2𝑏 ,𝑏号⊥ 4𝑎：+𝑏高，则c考os⟨ 𝑎,试𝑏 ⟩= 卷 君．
14.如图，点𝑃,𝐴,𝐵,𝐶均在球𝑂的表面上，𝑃𝐴 =𝑃𝐶 =𝐵𝐶 =1,𝐴𝐵 =2，𝑃𝐵 = 2，平面𝑃𝐴𝐶 ⊥平面𝐴𝐵𝐶，则
球𝑂的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{𝑎 }是等差数列，且𝑎 =10,𝑆 =117．
𝑛 4 3
(1)求数列{𝑎 }的通项公式；
𝑛
(2)设𝑏 =2𝑛，数列{𝑏 }的前𝑛项和为𝑇 ，证明： 𝑇 𝑛< 2 ．
𝑛 𝑛 𝑛 8𝑛 7
16.(本小题15分)
第2页，共9页已知双曲线𝐶： 𝑥2 − 𝑦2 =1(𝑎 >0,𝑏 >0)的左、右焦点分别为𝐹 ,𝐹 ，离心率为2 3 ，且点 2, 3 在双曲线𝐶
𝑎2 𝑏2 1 2 3 3
上．
(1)求双曲线𝐶的方程；
(2)若双曲线上存在一点𝐴，满足𝐴𝐹 ⋅𝐴𝐹 =3，求点𝐴到双曲线的两条渐近线的距离之和．
1 2
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，△𝑃𝐵𝐷是正三角形，𝐴𝐵 =𝐴𝐶 =2，𝑃𝐶 =2 3，𝐸为𝑃𝐷
的中点．
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(1)证明：平面𝑃𝐴𝐶 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷;
(2)求二面角𝐵−𝐶𝐸−𝐷的正弦值．
18.(本小题17分)
某区域中的物种𝑁拥有𝐴、𝐵两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种𝑁的个体，该个体为𝐴种的概率为
𝑝(0 <𝑝 <1)，为了估计该区域中物种𝑁的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体
中𝐴种的数目为𝑋，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第𝑖次捕获时𝐴
种的数目为𝑥.统计结果如下表：
𝑖
𝑖 1 2 3 4 5 6
𝑥 3 3 2 3 1 3
𝑖
(1)求𝑋的分布列；
(2)设函数𝑓(𝑝) =∑6 ln𝑃(𝑋 =𝑥)，已知该区域中𝐵种的个体数为180.(将使𝑓(𝑝)取得最大值的𝑝值作为𝑝的
𝑖=1 𝑖
估计值)
(𝑖)求𝑝的估计值；
(𝑖𝑖)据(𝑖)估计该区域中物种𝑁的个体总数．
第3页，共9页19.(本小题17分)
已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2(𝑎−1)𝑥−2𝑥ln𝑥．
(1)当𝑎 =1,𝑥 ∈(1,+∞)时，证明：𝑓(𝑥)>1；
(2)若𝑓(𝑥)存在两个极值点𝑥 ,𝑥 (𝑥 <𝑥 )，记𝐴(𝑥 ,𝑓(𝑥 )),𝐵(𝑥 ,𝑓(𝑥 ))．
1 2 1 2 1 1 2 2
(𝑖)求𝑎的取值范围；
(𝑖𝑖)若𝑥 −3𝑥 ≤0，求直线𝐴𝐵斜率的最小值．
2 1
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第4页，共9页参考答案
1.𝐷
2.𝐴
3.𝐶
4.𝐴
5.𝐴
6.𝐴
7.𝐶
8.𝐵
9.𝐵𝐷
10.𝐴𝐵𝐷
11.𝐵𝐶𝐷
12.2𝑒2𝑥−𝑦−3𝑒 =0
13.−
6
4
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14.5 5𝜋
6
15.解：(1)设等差数列{𝑎 }的首项为𝑎 ，公差为𝑑，已知𝑎 =10,𝑆 =117，
𝑛 1 4 3
29
𝑎 1 +3𝑑 =10 𝑑 =−
3(3−1)
⇒ 10
2
7,
3𝑎 + 𝑑 =117
1 2 𝑎 =
1 2
∴𝑎 =𝑎 +(𝑛−1)𝑑 = 107 +(𝑛−1)⋅ − 29 = 136−29𝑛 ．
𝑛 1 2 2 2
(2)已知𝑏 =2𝑛，则{𝑏 }是首项𝑏 =2，公比𝑞 =2的等比数列，
𝑛 𝑛 1
∴𝑇 = 𝑏 1 𝑞𝑛−1 = 2(2𝑛−1) =2𝑛+1−2，
𝑛 𝑞−1 2−1
∴
𝑇
𝑛=
2𝑛+1−2
=
2𝑛+1
−
2
=
2
−
2
，
8𝑛 (23)𝑛 23𝑛 23𝑛 22𝑛 23𝑛
令𝑓(𝑛)= 2 − 2 ,𝑛 ∈𝑁∗，
22𝑛 23𝑛
𝑓(𝑛 +1)−𝑓(𝑛)= 2 − 2 − 2 + 2 = 7 − 3 = 1 7 −3 ，
22(𝑛+1) 23(𝑛+1) 22𝑛 23𝑛 4×8𝑛 2×4𝑛 2×4𝑛 2×2𝑛
1 7
当𝑛 ≥1时， >0， −3<0，
2×4𝑛 2×2𝑛
∴ 𝑓(𝑛 +1)−𝑓(𝑛)<0，函数单调递减，
第5页，共9页2 2 1 1 1 2
∴ 𝑓(𝑛)≤𝑓(1)= − = − = < ，
22×1 23×1 2 4 4 7
𝑇 2
∴ 𝑛< ，命题得证．
8𝑛 7
16.解：(1)因为双曲线𝐶的离心率为2 3 ，且点 2, 3 在双曲线𝐶上，
3 3
𝑐 2 3
=
𝑎 3 𝑎2=3
所以 22 3 2 ⇒ 𝑏2=1,
− 3 =1 𝑐2=4
𝑎2 𝑏2
𝑐2=𝑎2+𝑏2
所以双曲线𝐶的方程为
𝑥2
−𝑦2=1
3
(2)由(1)可知𝑎 = 3,𝑏 =1,𝑐 =2，
1
所以双曲线的渐近线方程为𝑦 =± 𝑥，即𝑥− 3𝑦 =0和𝑥 + 3𝑦 =0，
3
双曲线的左右焦点坐标分别为𝐹 (−2,0),𝐹 (2,0)，
1 2
设𝐴(𝑥 ,𝑦 )，
𝑥2
0−𝑦2=1
0 0 3 0
因为𝐴𝐹 ⋅𝐴𝐹 =3，
1 2
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所以(−2−𝑥 ,−𝑦 )⋅(2−𝑥 ,−𝑦 )=3⇒(−2−𝑥 )(2−𝑥 )+(−𝑦 )2=3，
0 0 0 0 0 0 0
即𝑥2
0
+𝑦2
0
=7，于是有 𝑥 𝑥2
0
2 0
−
+
𝑦
𝑦
2
2 0
=
=
1
7 ⇒ 𝑥
𝑦
2 0
2
=
=
6
1
,
3 0 0
由双曲线的对称性，不妨取𝐴( 6,1)，
所以点𝐴到双曲线的两条渐近线的距离之和为
| 6− 3|
+
| 6+ 3|
= 6− 3 + 6+ 3 = 6．
12+ − 3 2 12+ 3 2 2 2
17.解：(1)如图，记𝐴𝐶 ∩𝐵𝐷 =𝑂，连接𝑂𝑃．
因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，所以𝑂𝐵 =𝑂𝐷，𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷，
因为△𝑃𝐵𝐷是正三角形，所以𝑃𝐵 =𝑃𝐷，所以𝑂𝑃 ⊥ 𝐵𝐷，
因为𝐴𝐶，𝑂𝑃 ⊂平面𝑃𝐴𝐶，𝐴𝐶 ∩𝑂𝑃 =𝑂，
故BD⊥平面𝑃𝐴𝐶，又𝐵𝐷 ⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，
因此平面𝑃𝐴𝐶 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷;
(2)由已知得𝑂𝑃 =3，𝑂𝐶 =1，𝐴𝐶 =2．
22+(2 3)2−𝑃𝐴2 12+(2 3)2−32
且cos∠𝑃𝐶𝐴 = = ，解得𝑃𝐴 =2 2．
2×2×2 3 2×1×2 3
第6页，共9页因此𝑃𝐴2+𝐴𝐶2=𝑃𝐶2，即𝑃𝐴 ⊥ 𝐴𝐶．
且𝑃𝐴 ⊥ 𝐵𝐷，𝐴𝐶 ∩𝐵𝐷 =𝑂，所以𝑃𝐴 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷．
以𝐴为坐标原点，𝐴𝐷的方向为𝑦轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧．
则𝐵( 3,−1,0)，𝐶( 3,1,0)，𝐷(0,2,0)，𝑃(0,0,2 2)，𝐸(0,1, 2).
所以𝐵𝐶=(0,2,0)，𝐶𝐸=(− 3,0, 2)，𝐶𝐷=(− 3,1,0)．
设平面𝐵𝐶𝐸的法向量𝑛 =(𝑥,𝑦,𝑧)，平面𝐶𝐷𝐸的法向量𝑛 =(𝑝,𝑞,𝑟)，
1 2
𝑛 ⋅𝐵𝐶=0 2𝑦 =0
则 1 ，即 ，可取𝑛 =( 2,0, 3).
𝑛 ⋅𝐶𝐸=0 − 3𝑥 + 2𝑧 =0 1
1
𝑛 ⋅𝐶𝐷=0 − 3𝑝 +𝑞 =0
2 , 即 ，可取𝑛 =( 2, 6, 3).
𝑛 ⋅𝐶𝐸=0 − 3𝑝 + 2𝑟 =0 2
2
所以cos<𝑛 ，𝑛 >= 𝑛 1 ⋅𝑛 2 = 55．
1 2 |𝑛 1 ||𝑛 2 | 11
因此二面角𝐵−𝐶𝐸−𝐷的正弦值为 1−( 55 )2= 66．
11 11
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18.解：(1)依题意，𝑋的所有可取值为0,1,2,3，𝑋 ∼𝐵(3,𝑝)，
𝑃(𝑋 =0)=𝐶0(1−𝑝)3=(1−𝑝)3,𝑃(𝑋 =1)=𝐶1𝑝(1−𝑝)2=3𝑝(1−𝑝)2，
3 3
𝑃(𝑋 =2)=𝐶2𝑝2(1−𝑝) =3𝑝2(1−𝑝),𝑃(𝑋 =3)=𝐶3𝑝3=𝑝3，
3 3
所以𝑋的分布列为：
𝑋 0 1 2 3
𝑃 (1−𝑝)3 3𝑝(1−𝑝)2 3𝑝2(1−𝑝) 𝑝3
(2)(𝑖)由统计表，得𝑓(𝑝) =∑6 ln𝑃(𝑋 =𝑥)=ln𝑃(𝑋 =1)+ln𝑃(𝑋 =2)+4ln𝑃(𝑋 =3)
𝑖=1 𝑖
=ln[3𝑝(1−𝑝)2]+ln[3𝑝2(1−𝑝)] +4ln𝑝3=2ln3+15ln𝑝 +3ln(1−𝑝),0 <𝑝 <1，
15 3 15−18𝑝 5 5
求导得𝑓′(𝑝) = − = ，当0<𝑝 < 时，𝑓′(𝑝) >0；当 <𝑝 <1时，𝑓′(𝑝) <0，
𝑝 1−𝑝 𝑝(1−𝑝) 6 6
5 5 5
因此函数𝑓(𝑝)在(0, )上单调递增，在( ,1)上单调递减，当𝑝 = 时，𝑓(𝑝)取得最大值，
6 6 6
5
所以𝑝 = ．
6
第7页，共9页(𝑖𝑖)设该区域中物种𝑁的个体总数𝑛，由该区域中𝐵种个体数为180，
得该区域中𝐴种的数目为𝑛−180，
5
由(𝑖)得从该区域中随机捕获1个个体，该个体为𝐴种概率的估计值 ，
6
𝑛−180 5
因此 = ，解得𝑛 =1080，所以估计该区域中物种𝑁的个体总数为1080．
𝑛 6
19.解：(1)当𝑎 =1时，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥ln𝑥，要证𝑓(𝑥)>1，即证𝑥2−2𝑥ln𝑥−1 >0，
令𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥ln𝑥−1，则𝑔′(𝑥)=2(𝑥−ln𝑥−1)，
1
令ℎ(𝑥)=𝑥−ln𝑥−1，则ℎ′(𝑥)=1− ，
𝑥
1
∵ 𝑥 ∈(1,+∞)，∴ ℎ′(𝑥)=1− >0，故ℎ(𝑥)在(1,+∞)上单调递增，ℎ(𝑥)>ℎ(1)=0，
𝑥
∴ ℎ(𝑥)>0，即𝑔′(𝑥)>0，故𝑔(𝑥)在(1,+∞)上单调递增，𝑔(𝑥)>𝑔(1)=0，
∴ 𝑓(𝑥)>1，得证．
(2)(𝑖)求导得𝑓′(𝑥)=2(𝑥−𝑎−ln𝑥)，𝑓(𝑥)存在两个极值点𝑥 ,𝑥 (𝑥 <𝑥 )等价于𝑓′(𝑥)=0在(0,+∞)上有两个
1 2 1 2
不同的根，
公众号：高考试卷君
∴ 𝑥−ln𝑥 =𝑎在(0,+∞)上有两个不同的根，
1 𝑥−1
令𝜑(𝑥)=𝑥−ln𝑥，则𝜑′(𝑥)=1− = ，
𝑥 𝑥
当𝑥 ∈(0,1)时，𝜑′(𝑥)<0，𝜑(𝑥)单调递减；当𝑥 ∈(1,+∞)时，𝜑′(𝑥)>0，𝜑(𝑥)单调递增，
故𝜑(𝑥)的最小值为𝜑(1)=1−ln1=1，且当𝑥→0+时，𝜑(𝑥)→ +∞；当𝑥→ +∞时，𝜑(𝑥)→ +∞，
因此要使𝑥−ln𝑥 =𝑎在(0,+∞)上有两个不同的根，需要𝑎 >1，
故𝑎的取值范围为(1,+∞)．
𝑥
(𝑖𝑖)由题得𝑥 −ln𝑥 =𝑎,𝑥 −ln𝑥 =𝑎，𝑥 −𝑥 =ln𝑥 −ln𝑥 =ln 2，
1 1 2 2 2 1 2 1 𝑥
1
把𝑥 −ln𝑥 =𝑎代入𝑓(𝑥 )=𝑥2−2(𝑎−1)𝑥 −2𝑥 ln𝑥 ，得𝑓(𝑥 )=2𝑥 −𝑥2，同理得𝑓(𝑥 )=2𝑥 −𝑥2，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
∴直线𝐴𝐵斜率为𝑘 =
𝑓(𝑥 2)−𝑓(𝑥 1)
=
2𝑥
2
−𝑥2
2
− 2𝑥
1
−𝑥2
1 =2−(𝑥 +𝑥 )，
𝑥 2 −𝑥 1 𝑥 2 −𝑥 1 2 1
𝑥
设 2=𝑡(𝑡 >1)，即𝑥 =𝑡𝑥 ，又𝑥 −3𝑥 ≤0，
𝑥 2 1 2 1
1
∴𝑥 (𝑡−3)≤0，解得𝑡 ≤3，即𝑡 ∈(1,3],
1
ln𝑡 𝑡ln𝑡
则𝑡𝑥 −𝑥 =ln𝑡，即𝑥 = ,𝑥 = ，
1 1 1 𝑡−1 2 𝑡−1
𝑡ln𝑡 ln𝑡 𝑡ln𝑡+ln𝑡 (𝑡+1)ln𝑡
∴𝑥 +𝑥 = + = = ，
2 1 𝑡−1 𝑡−1 𝑡−1 𝑡−1
第8页，共9页(𝑡+1)ln𝑡 𝑡−1−2ln𝑡
令𝑚(𝑡)= ，则𝑚′(𝑡)= 𝑡 ，
𝑡−1 (𝑡−1)2
令𝑛(𝑡)=𝑡−
1
−2ln𝑡，则𝑛′(𝑡)=1+
1
−
2
=
(𝑡−1)2
>0，故𝑛(𝑡)在(1,3]上单调递增，
𝑡 𝑡2 𝑡 𝑡2
∴ 𝑛(𝑡)>𝑛(1)=0，即𝑚′(𝑡)>0，故𝑚(𝑡)在(1,3]上单调递增，
4ln3
∴ 𝑚(𝑡)的最大值为𝑚(3)= =2ln3，
2
要使直线𝐴𝐵斜率𝑘 =2−(𝑥 +𝑥 )取最小值，即求𝑚(𝑡)的最大值，
2 1
故直线𝐴𝐵斜率的最小值为2−2ln3．
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