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辽宁省抚顺市、葫芦岛市2023年中考数学试卷
一、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共30分，在每一个小题给出的四个选中，只有
一个是正确的)
1．（2023·武汉）实数3的相反数是（ ）
1 1
A．3 B． C．− D．−3
3 3
2．（2023·抚顺）下列图形中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·抚顺）下列运算正确的是（ ）
A．x3÷x3=x B．x2 ⋅2x4=2x6 C．x+3x2=4x3 D．(x3 ) 2=x5
4．（2023·抚顺）下图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体、这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·抚顺）某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄岁 13 14 15 16 17 18
人数/人 5 8 11 20 9 7
1 / 29则这些学生年龄的众数是（ ）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
6．（2023·抚顺）在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别、随
机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（ ）
1 3 3 7
A． B． C． D．
3 7 10 10
7．（2023·抚顺）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=122°，则∠2的度数为（
）
A．48° B．58° C．68° D．78°
8．（2023·抚顺）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：
把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时
间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程
为（ ）
900 900 900 900
A． ×2= B． = ×2
x+1 x−3 x+1 x−3
900 900 900 900
C． = ×2 D． ×2=
x−1 x+3 x−1 x+3
9．（2023·抚顺）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=30°，BC=3√2，按以下步骤作图：①分
1
别以点A和点B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF交AB于点
2
M，交AC于点N．连接BN．则AN的长为（ ）
A．2+√3 B．3+√3 C．2√3 D．3√3
10．（2023·抚顺）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，
2 / 29∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM
交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运
动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间
函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2023·抚顺）若√a−2有意义，则实数a的取值范围是 ．
12．（2021·温州）分解因式： 2m2−18= .
13．（2023·抚顺）若关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
．
14．（2023·抚顺）某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动
员10次测试成绩（单位：m）的平均数是x =6.01，x =6.01，方差是s2 =0.01，s2 =0.02，那
甲 乙 甲 乙
么应选 去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
15．（2023·抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交
AD的延长线于点E，若AC=4，CE=5，则CD的长为 ．
3 / 2916．（2023·抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，将线段AO绕点A逆时针旋转
k
120°，得到线段AB，连接OB，点B恰好落在反比例函数y= （x>0）的图象上，则k的值是
x
．
17．（2023·抚顺）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交
DA的延长线于点B，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为
．
18．（2023·抚顺）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，
连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC
的距离是 ．
三、解答题（共8题，共96分）
2m−6 2m+2 m
19．（2023·抚顺）先化简，再求值： ÷ − ，其中m=2．
m2−9 m+3 m+1
4 / 2920．（2023·抚顺）为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小
组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．地方戏曲组．为了了解学生
最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择
且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机
抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C和D小组的概率．
21．（2023·抚顺）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，
收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲
种驱蚊手环多少个？
22．（2023·抚顺）小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部
的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40米（图中点
A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离AC（结果保留根号）；
5 / 29（2）求大厦的高度CD（结果取整数）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73）
23．（2023·抚顺）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的
销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中100≤x≤160，且x为整数）．
当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多
少元？
24．（2023·抚顺）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过
点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若∠CAB=30°，AB=8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求A´G
的长．
25．（2023·抚顺）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，
在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF．交
DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
（2）如图2．当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出
证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC=6，CE=2时，请直接写出AM的长．
6 / 298
26．（2023·抚顺）如图，抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于点A和点B(3.0)，与y轴交于点
3
C(0，4)，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线
l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M．当BQ=BM时，请直接写出点Q的坐标．
7 / 29答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数3的相反数是-3.
故答案为：D
【分析】求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；
C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图
形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、x3÷x3=1，故A不符合题意；
B、x2·2x4=2x6，故B符合题意；
C、x+3x2不能合并，故C不符合题意；
D、（x3）2=x6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对A作出判断；利用单项式乘以单项式的法
则进行计算，可对B作出判断；只有同类项才能合并，可对C作出判断；利用幂的乘方，底数不变，
指数相乘，可对D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，有三列两行，第一行中间一个，第二行有三个小正方形故A、B、
D不符合题意；C符合题意；
故答案为：C.
【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察几何体，可得答案.
8 / 295．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由表中数据可知，16出现了20次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是16岁.
故答案为：D.
【分析】利用众数就是一组数据中出现次数最多的数，据此可求解.
6．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，
6 3
∴ 随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为 = .
14+6 10
故答案为：C.
【分析】根据题意可知一共有20种结果数，随机从袋子中摸出一个球，摸到白球的情况有6种，然
后利用概率公式进行计算.
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵BA∥CD，
∴∠1=∠3=122°，
∵∠2=180°-∠3，
∴∠2=180°-122°=58°.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可求出∠3的度数，再利用邻补角的定义求出∠2的度数.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
9 / 29【解析】【解答】解：设规定的时间为x天，根据题意得
900 900
×2=
x+1 x−3
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：慢马送的时间=规定的时间+1；快马送的时间=规定的时间-3；再根据
快马的速度是慢马的2倍 ，列方程即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；解直角三角形；等腰直角三角形；作图-线段垂
直平分线
【解析】【解答】解：过点C作CG⊥BN于点G，
∴∠BGC=90°，
由作图可知EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
∴∠A=∠ABN=30°，
∵AB=AC，
1
∴∠ABC=∠ACB= （180°-30°）=75°，
2
∴∠CBG=∠ABC-∠ABN=75°-30°=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
√2 √2
∴CG=BG= BC= ×3√2=3，
2 2
∵∠CNG=∠A+∠ABN=30°+30°=60°，
∴∠GCN=90°-60°=30°，
√3
∴NG=CGtan30°=3× =√3，
3
∴AN=BN=NG+BG=3+√3.
10 / 29故答案为：B.
【分析】过点C作CG⊥BN于点G，由作图可知EF垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质可证
得AN=BN，利用等边对等角可证得∠A=∠ABN=30°，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理
求出∠ABC的度数，再根据∠CBG=∠ABC-∠ABN，代入计算去除∠CBG的度数，可证得△BCG是
等腰直角三角形，利用解直角三角形求出BG的长；然后证明∠GCN=30°，利用解直角三角形求出
NG的长，即可求出AN的长.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵∠MAN=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，AD⊥BC，CD=BD=3，
当矩形EFGH全部在△ABC中时，此时0＜x≤3，图1到图2，
∵EG∥AC，
∴∠NAD=∠AGE=∠CAD=30°，
∴AE=EG=x，
在Rt△AEF中，
√3
EF=AEsin∠CAB= x，
2
√3
∴s=EF·EG= x2；
2
11 / 291
图3，AE+AF=AC，即x+ x=6
2
解之：x=4，由图2到图3，此时3＜x≤4；
如图4，易证△EQB是等边三角形，
∴EQ=EB=BQ=6-x，
∴GQ=x-（6-x）=2x-6，
√3 1 3√3
∴S=S -S = x2- ×√3(2x-6) 2=- x2+12√3x-18√3；
矩形EFGH △PQG 2 2 2
图6，x=6，由图3变到图6，此时4＜x≤6；
如图5，由题意可知△EKB是等边三角形，
12 / 291 √3
∴EK=EB=BK=6-x，FC=AC-AF=6- x，EF= x，
2 2
∴S=S = 1( 6-x+6- 1 x ) · √3 x=- 3√3 x2+3√3x；
梯形EFCK 2 2 2 8
√3
{ x2(0＜x≤3)
2
3√3
综上所述，s与x的函数解析式为S= - x2+12√3x-18√3（3＜x≤4）
2
3√3
- x2+3√3x（4＜x≤6）
8
三段函数都是二次函数，第1段是开口向上，第2、3段是开口向下的抛物线，
故B、C、D不符合题意，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABC是等边三角形，利用等边
三角形的性质可得到∠CAD=∠BAD=30°，AD⊥BC，CD=BD=3，分情况讨论：当矩形EFGH全部在
△ABC中时，此时0＜x≤3，图1到图2，可得到AE=EG=x，利用解直角三角形表示出EF的长，利
用矩形的面积公式可得到s与x的函数解析式；由图3可知AE+AF=AC，可得到关于x的方程，解
方程求出x的值，由图2到图3，此时3＜x≤4；如图4，易证△EQB是等边三角形，可表示出EQ、
GQ的长再根据S=S -S ，可得到S与x的函数解析式；图6，x=6，由图3变到图6，此时4
矩形EFGH △PQG
＜x≤6；如图5，由题意可知△EKB是等边三角形，可表示出EK，FC，EF的长，根据S=S ，
梯形EFCK
13 / 29利用梯形的面积公式可得到S与x的函数解析式；综上所述可得到S与x的函数解析式，由此可得到
三段函数都是二次函数，第1段是开口向上，第2、3段是开口向下的抛物线，观察各选项可得答案.
11．【答案】a≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得a-2≥0，
解之：a≥2.
故答案为：a≥2.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于a的不等式，然后求出不等
式的解集.
12．【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 2m2−18
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
13．【答案】k<9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0即36-4k＞0，
解之：k＞9
故答案为：k＞9.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，由此可得
到关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
14．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵0.01=0.01，0.01＜0.02，
∴两人的平均水平相同，S 2＜S 2，
甲 乙
∴甲的成绩稳定，应该选甲去参加比赛.
故答案为：甲.
【分析】利用已知可知两人的平均数相同，再比较两人成绩的方差大小，根据方差越小，成绩越稳
定，据此可求解.
14 / 293
15．【答案】
2
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵CE∥AB，
∴∠BAD=∠E，
在△ABD和△ECD中
{
∠BAD=∠E
∠ADB=∠EDC
BD=CD
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB=CE=5，
在Rt△ABC中，
BC=√AB2-AC2=√52-42=3，
1 3
∴CD= BC= .
2 2
3
故答案为： .
2
【分析】利用线段中点可证得BD=CD，利用平行线的性质可得到∠BAD=∠E，利用AAS证明
△ABD≌△ECD，利用全等三角形的性质可得到AB的长；再利用勾股定理求出BC的长，继而可求出
CD的长.
16．【答案】3√3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C，
15 / 29∴∠BCA=90°， ∵点A（0，2）， ∴OA=2， ∵ 将线段AO绕点A逆时针旋转120°，得到线段AB，
∴AO=AB，∠OAB=120°，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
在Rt△ABC中，
1
AC= AB=1，BC=CAtan∠CAB=tan60°=√3，
2
∴CO=OA+CA=1+2=3，
∴点B(3，√3)，
∵点B在反比例函数图象上，
∴k=3√3
故答案为：3√3.
【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用点A的坐标可求出OA的长，利用旋转的性质可求出AB的
长，同时求出∠CAB=60°，利用解直角三角形求出AC，BC的长，即可得到点B的坐标；然后将点
B的坐标代入函数解析式求出k的值.
5
17．【答案】
2
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴AC=BE=2OA，
∴△OAF∽△EBF，
AO OF 1
∴ = =
BE EF 2
16 / 29∴
S
△AOF =
(AO) 2
=
1
，
S BE 4
△BFE
∴S =4S ，
△BEF △AOF
S EF
∴ △AFE = =2，
S OF
△AOF
∴S =2S ，
△AEF △AOF
同理可证S =2S ，
△BEF △OBF
S =S ，
△OBC △AOB
设S =x，则S =4x，S =2x，S =2x，
△AOF △BEF △AEF △OBF
∴S =S =3x，
△OBC △AOB
S =S +S =3x+2x=5x，
四边形BCOF △BOC △BOF
5x 5
∴四边形BCOF的面积与△AEF的面积之比为 = .
2x 2
5
故答案为： .
2
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，OA=OC，利用有两组对边分别平行的四边形是平
行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出AC=BE=2OA，同时
可证得△OAF∽△EBF，利用相似三角形的性质，可求出OF与EF的比值，同时可证得
S =4S ，S =2S ，S =2S ，S =S ，设S =x，可表示出△BEF，△AEF，
△BEF △AOF △AEF △AOF △BEF △OBF △OBC △AOB △AOF
△OBF，△OBC的面积，再根据S =S +S ，可表示出四边形BCOF的面积，然后求出四
四边形BCOF △BOC △BOF
边形BCOF的面积与△AEF的面积之比.
16
18．【答案】
5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B′作B′H⊥BC于点H，
17 / 29∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，AD∥BC，
∵点B关于直线AE的对称点为点B′，
∴AB=AB′，BE=B′E，∠AEB=∠AEB′，∠ABE=∠AB′E=90°，
当DF⊥AB′时，BF有最大值，
∴∠AB′F=∠AB′E=90°，
∴点E与点F重合，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=∠AEB′，
∴AD=DE=10，
∴CE=√DE2-CD2=√100-64=6，
∴BE=B′E=4，
∵B′H⊥BC，DC⊥BC，
∴B′H∥CD，
∴△EB′H∽△EDC，
EB′ B′H 4 B'H
∴ = 即 =
DE CD 10 8
16
解之：HB′=
5
16
故答案为： .
5
【分析】过点B′作B′H⊥BC于点H，利用矩形的性质可证得∠ABE=90°，AD∥BC，利用轴对称的性
质可得到AB=AB′，BE=B′E，∠AEB=∠AEB′，∠ABE=∠AB′E=90°，当DF⊥AB′时，BF有最大值，
18 / 29此时点E与点F重合，利用平行线的性质可推出∠DAE=∠AEB=∠AEB′，可得到DE的长，利用勾股
定理求出CE的长及EB′的长；再证明△EB′H∽△EDC，利用相似三角形的对应边成比例可求出HB′的
长.
2m−6 2m+2 m
19．【答案】解： ÷ −
m2−9 m+3 m+1
2(m−3) 2(m+1) m
= ÷ −
(m+3)(m−3) m+3 m+1
2(m−3) m+3 m
= ⋅ −
(m+3)(m−3) 2(m+1) m+1
1 m
= −
m+1 m+1
1−m
= ，
m+1
当m=2时，
1−2 1
原式= =− ．
2+1 3
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将分母能分解因式的先分解因式，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，
再利用分式减法法则进行计算，然后将m的值代入化简后的代数式进行计算.
20．【答案】（1）100
10
（2）解：D组所对应的扇形圆心角的度数为∶360°× =36°，
100
选择B组的人数为∶100−15−35−10=40（人），
补全条形统计图如下∶
（3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下∶
19 / 29共有12种等可能出现的结果，其中2个小组恰好是C和D小组的有2种，
所以选中的2个小组恰好是C和D小组的概率为212=16．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） 本次调查的学生共有35÷35％=100人.
故答案为：100.
【分析】（1）利用两统计图可知本次调查的学生人数=C组的人数÷C组的人数所占的百分比，列式
计算.
（2）D组所对应的扇形圆心角的度数=360°×D组的人数所占的百分比，列式计算；再求出B组的人
数，然后补全条形统计图.
（3）根据题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，根据树状图可得到所有等可能的结果数及选
中的2个小组中恰好是C、D小组的情况数，然后利用概率公式进行计算.
21．【答案】（1）解：设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，
{3x+ y=128 {x=36
根据题意得， ，解得： ，
x+2y=76 y=20
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环(100−m)个，
根据题意得：36m+20(100−m)≤2500，
125
解得m≤ ，
4
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31.
答：最多可购买甲种驱蚊手环31个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3× 每个甲种驱蚊手环的售价+1× 每个乙种驱蚊手环的
售价=128；1× 每个甲种驱蚊手环的售价+2× 每个乙种驱蚊手环的售价=76；据此设未知数，列方程
组，求解即可.
（2）此题的等量关系为：购买甲种驱蚊手环的数量+购买乙种驱蚊手环的数量=100；购买甲种驱蚊
20 / 29手环的数量×其售价+购买乙种驱蚊手环的数量×其售价≤2500；设未知数，列不等式，然后求出不等
式的最大整数解.
22．【答案】（1）解：如图，作BE⊥CD于点E，则BE∥AC，
由题意知∠BCA=∠EBC=30°，∠BAC=90°，BA=40，
AB 40
故AC= = =40√3，
tan∠BCA tan30°
即两楼之间的距离AC为40√3米；
（2）解：由题意知∠BAC=∠ECA=∠BEC=90°，
∴四边形ABEC是矩形，
∴BE=AC=40√3，CE=AB=40，
∵Rt△BED中，∠DBE=37°，
∴DE=BE⋅tan∠DBE=40√3×tan37°≈40×1.73×0.75=51.9，
∴CD=DE+CE=51.9+40=91.9≈92，
即大厦的高度CD为92米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥DC于点E，在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）利用已知易证四边形ABEC是矩形，利用矩形的性质可得到BE，CE的长；再在Rt△BED中，
利用解直角三角形求出DE的长；然后根据CD=DE+CE，代入计算求出CD的长.
23．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
{120k+b=80
由已知得 ，
140k+b=40
{k=−2
解得 ，
b=320
因此y与x之间的函数关系式为y=−2x+320（其中100≤x≤160，且x为整数）；
（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W，
由题意得W =(−2x+320)(x−100)=−2(x−130) 2+1800，
21 / 29∵−2<0，
∴W关于x的二次函数图象开口向上，
∵100≤x≤160，且x为整数，
∴当x=130时，W取最大值，最大值为1800，
即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，再将x，y的两组对应值分别代入函
数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到函数解析式.
（2）利用总利润W=每一件的利润×销售量，可得到W与x的函数解析式，将其函数解析式转化为
顶点式，利用二次函数的性质可求出结果.
24．【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE平分∠ACB交⊙O于点E，
1
∴∠ACE= ∠ACB=45°，
2
∴∠AOE=2∠ACE=90°，
∴OE⊥AB，
∵EF∥AB，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：如图，连接OG，OC，
22 / 29∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=180°−∠COB=120°，
∵∠ACE=45°，EG⊥AC，
∴∠MEC=45°，
∴∠GOC=2∠MEC=90°，
∴∠AOG=∠AOC−∠GOC=30°，
∵AB=8，AB是⊙O的直径，
∴OA=OG=4，
30π×4 2π
∴A´G= = ．
180 3
2π
即A´G的长为 ．
3
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OE，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用角平分
线的定义可求出∠ACE=45°，然后利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠AOE的度
数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接OG、OC，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，利用有一个角是60°的等腰三角形
是等边三角形，可证得△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠COB的度数，利用邻
补角的定义求出∠AOC的度数，同时可求出∠MEC的度数；利用圆周角定理可证得∠GOC=90°，由
此可求出∠AOG=30°，然后利用弧长公式求出弧AG的长.
25．【答案】（1）解∶∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
1
∴∠BAC=60°，∠BAE= ∠BAC，
2
23 / 29∴∠BAE=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAD=∠DAE−∠BAE=60°−30°=30°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴DM=EM；
（2）解：如图l，DM=EM仍然成立，理由如下∶连接BD、DF，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=180°−∠ACB=120°，BD=CE，
∴∠DBE=∠ABD−∠ABC=120°−60°=60°，
∴∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，
∴BD∥EF，
∵CE=EF，
∴BD=EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM=EM；
（3）解：如图2，当点E在BC的延长线上时，作AG⟂BC于G，
24 / 29∵∠ACB=60°，
1 √3
∴CG=AC⋅cos60°= AC=3，AG=AC⋅sin60°= AC=3√3，
2 2
∴EG=CG+CE=3+2=5，
∴AE=√AC2+EC2=√ (3√3) 2+52=2√13．
由（2）知∶DM=EM，
∴AM⊥DE，
∴∠AME=90°，
∴∠AED=60°，
√3
∴AM=AE⋅sin60°=2√13× =√39，
2
如图3，当点E在BC上时，作AG⊥BC于G，
由上知∶AG=3√3，CG=3，
∴EG=CG−CE=3−2=1，
∴AE=√AG2+EG2=√ (3√3) 2+12=2√7，
√3
∴AM=2√7× =√21，
2
综上所述∶AM=√39或√21．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的
25 / 29判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠BAC=∠DAE=60°，同时可求出∠BAE=30°，
AD=AE，再根据∠BAD=∠DAE-∠BAE，代入计算求出∠BAD的度数，可证得∠DAE=∠BAE，利用
等角对等边可证得AM与EM的数量关系.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，
AD=AE，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到
∠ABD=120°，同时可证得BD=CE；再证明∠DBE+∠BEF=180°，可推出BD∥EF，利用一组对边平
行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，
可证得AM与EM的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BE于点G，连接BD，利用解直角三
角形可求出CG的长，根据EG=CG+CE，代入计算求出EG的长，利用勾股定理求出AE的长；由
（2）可知DM=EM，由AM⊥DE，可得到∠AME=90°，∠AED=60°，利用解直角三角形求出AM的
长；当点E在BC上时，过点A作AG⊥BC于点G，同理可求出AG，CG，EG的长，利用勾股定理
求出AE的长，利用解直角三角形求出AM的长，综上所述可得到符合题意的AM的长.
8
26．【答案】（1）解：将B(3.0)，C(0，4)代入y=ax2+ x+c，
3
{ 32 ⋅a+ 8 ×3+c=0
可得 3 ，
c=4
{ 4
a=−
解得 3，
c=4
4 8
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+4；
3 3
（2）解：∵B(3.0)，C(0，4)，
∴OB=3，OC=4，
4
∴tan∠OBC= ，
3
3 5
∴BE= EF，BF= EF，
4 4
∴△BEF的周长=BE+BF+EF=3EF，
∵△BEF的周长是线段PF长度的2倍，
∴2PF=3EF，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
26 / 29{3k+b=0
将B(3.0)，C(0，4)代入可得 ，
b=4
{ 4
k=−
解得 3，
b=4
4
∴直线BC的解析式为y=− x+4，
3
4 8 4
设P(t，− t2+ t+4)，则F(t，− t+4)，E(t，0)，
3 3 3
4 4 8 4 4
∴EF=− t+4，PF=− t2+ t+4−(− t+4)=− t2+4t，
3 3 3 3 3
4 4
∴3×(− t+4)=2×(− t2+4t)，
3 3
3
解得t = ，t =3（舍），
1 2 2
4 8 4 3 2 8 3
∴− t2+ t+4=− ×( ) + ×( )+4=5，
3 3 3 2 3 2
3
∴P( ，5)；
2
4 8 4 16
（3）解：∵y=− x2+ x+4=− (x−1) 2+ ，
3 3 3 3
16
∴当x=1时，y取最大值 ，
3
16
∴P(1， )，
3
4
∵直线BC的解析式为y=− x+4，
3
4 8
∴当x=1时，y=− ×1+4= ，
3 3
8
∴F(1， )，
3
设Q(0，n)，过点M作MN⊥x轴于点N，
27 / 29由题意知∠QBM=90°，
∴∠QBO+∠MBN=90°，
∵∠QBO+∠OQB=90°，
∴∠OQB=∠MBN，
又∵∠QOB=∠BNM=90°，BQ=BM，
∴△BQO△≌MBN(AAS)，
∴OQ=NB，BO=MN，
∴M(3+n，3)，
设直线QM的解析式为y=k′x+n，
则k′ (3+n)+n=3，
3−n
解得k′=
，
3+n
3−n
∴直线QM的解析式为y= x+n，
3+n
8 3−n 8
将点F(1， )代入，得 +n= ，
3 3+n 3
1 √46 1 √46
解得n= + 或n= − ，
2 3 2 3
1 √46 1 √46
∴Q(0， + )或(0， − )．
2 3 2 3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-
动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a、c的方程组，解方程
组求出a、c的值，可得到二次函数解析式.
28 / 29（2）利用点B，C的坐标可得到OB、OC的长，利用解直角三角形可表示出BE与EF，BF与EF
之间的数量关系，同时可表示出△BEF的周长与EF的数量关系，再根据△BEF的周长是线段PF的
2倍，可证得2PF=3EF；利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用两函数解析式设
4 8 4
P(t，− t2+ t+4)，则F(t，− t+4)，E(t，0)，可表示出EF、PF的长，据此可得到关于t
3 3 3
的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标.
（3）将二次函数解析式转化为顶点式，可得到点P的坐标，利用直线BC的函数解析式，由x=1求
出对应的y的值，可得到点F的坐标，设点Q（0，n），过点M作MN⊥x轴于点N，利用余角的性
质可证得∠OQB=∠MBN，利用AAS证明△BQO≌△MBN，利用全等三角形的性质可推出OQ=BN，
BO=MN，可表示出点M的坐标，设直线QM的解析式为y=k′x+n，将点M的坐标代入可得到关于k′
的方程，可表示出k′，可得到直线QM的函数解析式，将点F的坐标代入，可得到关于n的方程，解
方程求出n的值，可得到点Q的坐标.
29 / 29
