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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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第
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讲
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3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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第
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讲
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5
前言
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于为同学们
提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分析问题和自主解决问
题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模块，收集各
地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教研基建，
为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，三轮审核
三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老师集中二
审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精校。只有
经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由专业设计
师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读性。由供应部门统一
调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在你的见证
下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育
资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天进步一点点，一起做
更好的自己！
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第
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7
练习册是根据最新中学课本，选取重难点模块，筛选各
地区诊断题目，精心编写而成。为课上讲义匹配的同步练习
册，基于每一讲的内容精心提炼出常见题型，每个题型下匹
配2-4道练习题，针对课上学习的内容强化训练，巩固复习。
使用步骤：
第一步，完成相应讲次课程，整理课堂笔记，梳理解题
方法；
第二步，有针对性的完成重点题型的练习题，巩固知识，
诊断学习效果；
第三步，参照答案，有错改错，定期复习，查漏补缺。
“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。” 愿
你在今后的学习道路上，披荆斩棘，每天进步一点点！
练习册使用说明
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目录
第1 讲
揭秘等腰（一）
1
模块一
垂直平分线
3
模块二
角平分线
6
模块三
综合提升
11
第2 讲
揭秘等腰（二）
23
模块一
等腰三角形
25
模块二
等边三角形
29
模块三
综合提升
31
第3 讲
倍长中线
45
模块一
初识倍长中线
47
模块二
倍长中线进阶
50
第4 讲
截长补短
63
模块一
初识截长补短
65
模块二
截长补短进阶
69
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第5 讲
一线三等角
81
模块一
三垂直模型
83
模块二
一线三等角模型
87
模块三
综合提升
89
第6 讲
类旋转模型
103
模块一
手拉手
105
模块二
脚拉脚
109
模块三
婆罗摩笈多定理
112
第7 讲
半角模型
123
模块一
直角中的半角模型
125
模块二
一般情况的半角模型
128
模块三
半角模型综合
131
第8 讲
“尴尬”的全等
143
模块一
边边角全等的判断
145
模块二
边边角不全等的改造
149
模块三
综合提升
153
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第1 讲
揭秘等腰
揭秘等腰（一）
模块一
垂直平分线
模块二
角平分线
模块三
综合提升
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
2
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应习题
垂直平分线
利用垂直平分线性质计算
例1
练习册1
外心存在性
例2
练习册2
中垂线性质与全等结合
例3、4
练习册3
角平分线
角分线性质的运用
例5、6
练习册4
内心存在性
例7
角分线性质与全等结合
例8、9
练习册5-8
综合提升
内角、外角平分线定理的应用
例10
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第
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讲
揭
秘
等
腰
（一）
3
模块一
模块一
垂直平分线
知识梳理
用直尺和圆规作线段𝐴𝐵的垂直平分线：
【注意】
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
4
典型例题1
（1）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 10,𝐵𝐶= 7,𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，交𝐴𝐵于点𝐷，交𝐴𝐶
于点𝐸，则△𝐵𝐸𝐶的周长为
．
（2）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑀、𝑁分别是𝐶𝐷、𝐵𝐶的中点，且𝐴𝑀⊥𝐶𝐷，𝐴𝑁⊥𝐵𝐶，已知
∠𝑀𝐴𝑁= 74∘，∠𝐷𝐵𝐶= 41∘，则∠𝐴𝐷𝐶度数为（ ）
A. 45∘
B. 47∘
C. 49∘
D. 51∘
典型例题2
证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
5
典型例题3
如图，已知𝐴𝐵= 𝐶𝐷，而𝐴𝐶、𝐵𝐷的垂直平分线相交于𝑂．求证：∠𝐴𝐵𝑂= ∠𝐶𝐷𝑂．
典型例题4
△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 22.5∘，边𝐴𝐵的垂直平分线交𝐵𝐶于𝐷，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，交𝐵𝐶边上的高
于𝐺．求证：𝐸𝐺= 𝐸𝐶．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
6
模块二
模块二
角平分线
知识梳理
用直尺和圆规作∠𝐴𝑂𝐵的角平分线：
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
7
典型例题5
（1）已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝑂、𝐶𝑂分别平分∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐴𝐶𝐷，𝑂𝑀⊥𝐴𝐶于点𝑀，且𝑂𝑀= 3，
则𝐴𝐵、𝐶𝐷之间的距离为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
（2）如图所示，在三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 100∘，∠𝐶的平分线交𝐴𝐵边于𝐸，在𝐴𝐶边上
取点𝐷，使得∠𝐶𝐵𝐷= 20∘，连接𝐷𝐸．求∠𝐶𝐸𝐷的度数．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
8
典型例题6
如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，若∠𝐷𝐴𝐵的平分线𝐴𝐸交𝐶𝐷于𝐸，连接𝐵𝐸，且
𝐵𝐸恰好平分∠𝐴𝐵𝐶，判断𝐴𝐵的长与𝐴𝐷+𝐵𝐶的大小关系并证明．
典型例题7
（1）证明：三角形三个角的角平分线交于一点．
（2）△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝑂，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，△𝐴𝐵𝐶的面积18，
𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 8，𝑂𝐷= 2，则𝐵𝐶的长是
．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
9
典型例题8
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐺⊥𝐵𝐶且平分𝐵𝐶于点𝐺，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶
交𝐴𝐶的延长线于点𝐹．
（1）求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐹．
（2）求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
（3）如果𝐴𝐵= 12，𝐴𝐶= 8，求𝐴𝐸的长．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
10
典型例题9
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，点𝑃为𝐴𝐶边上的一点，将线段𝐴𝑃绕点𝐴顺时针方向
旋转（点𝑃对应点𝑃′），当𝐴𝑃旋转至𝐴𝑃′⊥𝐴𝐵时，点𝐵、𝑃、𝑃′ 恰好在同一直线上，此时
作𝑃′𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸。
（1）求证：∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐴𝐵𝑃.
（2）求证：𝐴𝐸= 𝐶𝑃.
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
11
模块三
模块三
综合提升
知识梳理
【内角平分线定理】
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶的角平分线交对边𝐵𝐶于点𝐷，则有𝐴𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
𝐶𝐷．
【外角平分线定理】
如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐴𝐸的平分线𝐴𝐷交对边𝐵𝐶的延长线于点𝐷，则有𝐴𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
𝐶𝐷．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
12
典型例题10
（1）𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，求证：𝐴𝐵
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
𝐶𝐷；
（2）已知△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的外角平分线，
求证：1
𝐵𝐷+ 1
𝐵𝐸= 2
𝐵𝐶．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
13
随堂练习
随堂练习1
如图，已知△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且∠𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸，求证：点𝐸在𝐴𝐷的垂直平分线上．
随堂练习2
如图，已知𝐵𝐹是∠𝐷𝐵𝐶的平分线，𝐶𝐹是∠𝐸𝐶𝐵的平分线，求证：点𝐹在∠𝐵𝐴𝐶的平分
线上．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
14
随堂练习3
如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，𝐵𝐷的延长线垂直于过𝐶
点的直线于𝐸，直线𝐶𝐸交𝐵𝐴的延长线于𝐹．求证：𝐵𝐷= 2𝐶𝐸．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
15
数学探索
数学符号的起源
数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量却很多。现在常用
的有200 多个，初中数学书里就不下20 多种。它们都有一段有趣
的经历。
例如加号曾经有好几种，现在通用“+”。
“+”是由拉丁文“et”(“和”
的意思) 演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔尔塔利亚用意大利
文“più”(加的意思) 的第一个字母表示加，最后都变成了“+”。减号
是从拉丁文“minus”(“减”的意思) 演变来的，简写m，再省略掉字母，
就成了“-”了。也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多
少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原
线条勾销，这样就成了个“+”等等。
16 世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英
国牛津大学数学、修辞学教授雷科德觉得: 用两条平行而又相等的
直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从
1540 年开始使用起来。1591 年，法国数学家韦达在文中大量使用
这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了
“=”号，他还在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等。
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
16
数学探索
大于号“>”和小于号“<”，是1631 年英国著名代数学家哈里奥
特创用。至于“≯”
“≮”、
“≠”这三个符号的出现，是很久以后的事
了。大括号“﹛﹜”和中括号“[ ]”是代数创始人之一韦达创造的。
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1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
17
练习册
1
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸、𝐹𝐺分别为𝐴𝐵、𝐴𝐶的垂直平分线，𝐸、𝐺分别为垂足．如果
𝐵𝐶= 10cm，求△𝐷𝐴𝐹的周长．
2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝐸，∠𝐵= 70∘，
∠𝐹𝐴𝐸= 19∘，则∠𝐶=
度．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
18
3
证明：锐角三角形三条边的高线交于一点．
4
已知：∠𝑀𝑂𝑁= 40∘，𝑂𝐸平分∠𝑀𝑂𝑁，点𝐴、𝐵、𝐶分别是射线𝑂𝑀、𝑂𝐸、𝑂𝑁上的动
点(𝐴、𝐵、𝐶不与点𝑂重合)，连接𝐴𝐶交射线𝑂𝐸于点𝐷．设∠𝑂𝐴𝐶= 𝑥∘．
（1）如图1，若𝐴𝐵//𝑂𝑁，则
①∠𝐴𝐵𝑂的度数是
；
②当∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷时，𝑥=
；当∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐷𝐴时，𝑥=
．
（2）如图2，若𝐴𝐵⊥𝑂𝑀，则是否存在这样的𝑥的值，使得△𝐴𝐷𝐵中有两个相等的
角？若存在，求出𝑥的值；若不存在，说明理由．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
19
5
已知：如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴+∠𝐶= 180∘，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶．求证：𝐷𝐶= 𝐴𝐷．
6
在如图所示的三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐶= 90∘，点𝑀、𝑁分别是边𝐴𝐶和𝐵𝐶的
中点，点𝐷在射线𝐵𝑀上，且𝐵𝐷= 2𝐵𝑀，点𝐸在射线𝑁𝐴上，且𝑁𝐸= 2𝑁𝐴．求证
𝐵𝐷⊥𝐷𝐸．
7
如图，已知∠𝑀𝐶𝑁，𝐶𝑃是∠𝑀𝐶𝑁的平分线，𝐷𝑃平分∠𝑁𝐷𝐴，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝑀，求
证：∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝐶𝑃𝐷．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
20
8
阅读下列学习材料：
如图1 所示，𝑂𝑃平分∠𝑀𝑂𝑁，𝐴为𝑂𝑀上一点，𝐶为𝑂𝑃上一点，连接𝐴𝐶，在射线
𝑂𝑁上截取𝑂𝐵= 𝑂𝐴，连接𝐵𝐶(如图2)，易证：△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐶．
根据上面的学习材料，解答下列问题：
（1）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的外角平分线，𝑃是𝐴𝐷上异于点𝐴的
任意一点，试比较𝑃𝐵+𝑃𝐶与𝐴𝐵+𝐴𝐶的大小，并说明理由．
（2）如图所示，上题中𝐴𝐷是内角平分线，其他条件不变，求证：𝑃𝐶−𝑃𝐵< 𝐴𝐶−𝐴𝐵．
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第
1
讲
揭
秘
等
腰
（一）
21
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第2 讲
揭秘等腰
揭秘等腰（二）
模块一
等腰三角形
模块二
等边三角形
模块三
综合提升
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2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
24
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应习题
等腰三角形
性质与判定
例1、2
练习册1、2
三线合一进阶
例3
等腰判定探究
例4
练习册3
等边三角形
等边三角形判定
例5
练习册4、5
等边三角形的分割
例6
综合提升
例8-10
练习册6-8
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第
2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
25
模块一
模块一
等腰三角形
知识梳理
【等腰三角形的定义】
有两边相等的三角形叫做等腰三角形．
如图，△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶．此时，𝐴𝐵、𝐴𝐶是它的腰，𝐵𝐶是底边；∠𝐴是顶角，
∠𝐵和∠𝐶是底角．
【注意】
顶角是直角的三角形叫做等腰直角三角形．
【等腰三角形的性质】
1. 等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；
2. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即等腰三角形三线合
一；
3. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．
【等腰三角形的判定】
1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形；
2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形，即等角对等边；
3. 同一边上的中线、高线与该边所对角的平分线中有两条重合的三角形是等腰三角形.
（用时需证明）
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2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
26
典型例题1
（1）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm 和12cm 两部分，则等腰三角形
的底边长为（ ）
A. 2cm
B. 10cm
C. 6cm 或4cm
D. 2cm 或10cm
（2）已知𝐵𝐷是等腰△𝐴𝐵𝐶一腰上的高，且∠𝐴𝐵𝐷= 50∘，求△𝐴𝐵𝐶三个内角的度数．
典型例题2
（1）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，且满足𝐵𝐷= 𝐶𝐸，∠1 = ∠2，试说明
△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．
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第
2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
27
（2）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，现给出下列条件：①∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷；②∠𝐵𝐴𝐷
= ∠𝐶𝐴𝐷；③𝐵𝐷= 𝐶𝐷；④𝐴𝐵+𝐵𝐷= 𝐴𝐶+𝐶𝐷，若添加这些条件中的某一个就能推出
△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，这个条件可以是
(把所有正确答案的序号都填写在
横线上，多写或少写都不得分)
典型例题3
已知，Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶的角平分线交𝐴𝐶于𝐸，𝐴𝐷⊥𝐵𝐸于𝐷，
求证: 𝐴𝐷= 1
2𝐵𝐸.
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第
2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
28
典型例题4
如图1，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵．问：
（1）图1 中有几个等腰三角形？
（2）过𝐷点作𝐸𝐹//𝐵𝐶，交𝐴𝐵于点𝐸，交𝐴𝐶于点𝐹，如图2，图中又增加了几个等腰
三角形？
（3）如图3，若将题中的△𝐴𝐵𝐶改为不是等腰三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三
角形？线段𝐸𝐹与𝐵𝐸、𝐶𝐹有什么关系？
（4）如图4，若将题中的△𝐴𝐵𝐶改为不是等腰三角形，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷平分外角
∠𝐴𝐶𝐺．𝐷𝐸//𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝐸，交𝐴𝐶于点𝐹．图中有几个等腰三角形？线段𝐸𝐹
与𝐵𝐸、𝐶𝐹有什么关系？
（5）如图5，若将题中的△𝐴𝐵𝐶改为不是等腰三角形，𝐵𝐷、𝐶𝐷为△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝑀、
∠𝐵𝐶𝑁的角平分线，𝐷𝐸//𝐵𝐶交𝐴𝐵延长线于点𝐸，交𝐴𝐶延长线于点𝐹，线段𝐸𝐹
与𝐵𝐸、𝐶𝐹有什么关系？
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讲
揭
秘
等
腰
（二）
29
模块二
模块二
等边三角形
知识梳理
【等边三角形定义】
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形．
【等边三角形性质】
三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60∘．
【等边三角形判定】
1. 三条边都相等的三角形是等边三角形．
2. 三个角都相等的三角形是等边三角形．
3. 有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形．
【重要推论】
在直角三角形中，30∘所对直角边的长度是斜边的一半．
如图所示，𝐵𝐶= 1
2𝐴𝐶．
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第
2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
30
典型例题5
下列对三角形的描述：①有一个外角是120∘的等腰三角形是等边三角形；②有两个外
角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60∘，且是轴对称图形的三角形是等
边三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形．其中正确的
个数是（ ）
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
典型例题6
正三角形给人一种“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性．请你用四种不同的方法，将
正三角形分割成四个等腰三角形．(在图中画出分割线，并指出必要的度数)
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第
2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
31
模块三
模块三
综合提升
典型例题7
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，边𝐴𝐷绕点𝐴顺时针旋转角度𝑚(0∘< 𝑚< 360∘)，得到线段
𝐴𝑃，连接𝑃𝐵、𝑃𝐶．当△𝐵𝑃𝐶是等腰三角形时，𝑚的值为
．
典型例题8
如图，过等边△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上一点𝑃，作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，𝑄为𝐵𝐶延长线上一点，且
𝑃𝐴= 𝐶𝑄，连接𝑃𝑄交𝐴𝐶边于点𝐷．
（1）求证：𝑃𝐷= 𝐷𝑄．
（2）若△𝐴𝐵𝐶的边长为1，求𝐷𝐸的长．
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第
2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
32
典型例题9
如图所示，已知△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐸是𝐴𝐶延长线上任意一点，选择一点𝐷，使得
△𝐶𝐷𝐸是等边三角形，如果𝑀是线段𝐴𝐷的中点，𝑁是线段𝐵𝐸的中点．求证：△𝐶𝑀𝑁
是等边三角形．
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第
2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
33
典型例题10
阅读理解：如图①，△𝐴𝐵𝐶中，沿∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐵1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分
沿∠𝐵1𝐴1𝐶的平分线𝐴1𝐵2 折叠，剪掉重叠部分；⋯；将余下部分沿∠𝐵𝑛𝐴𝑛𝐶的平分线
𝐴𝑛𝐵𝑛+1 折叠，点𝐵𝑛与点𝐶重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称
∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的“好角”．
小丽展示了确定∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好角的两种情形．
情形一：如图②，沿等腰三角形𝐴𝐵𝐶顶角∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐵1 折叠，点𝐵与点𝐶重合．
情形二：如图③，沿△𝐴𝐵𝐶的∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐵1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿
∠𝐵1𝐴1𝐶的平分线𝐴1𝐵2 折叠，此时点𝐵1 与𝐶点重合．
探究发现：
（1）△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 2∠𝐶，经过两次折叠，问∠𝐵𝐴𝐶是不是△𝐴𝐵𝐶的好角
(填
“是”或“不是”)；
（2）小亮经过三次折叠发现了∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好角，请探究∠𝐵与∠𝐶(不妨设∠𝐵>
∠𝐶) 之间的等量关系．
根据以上内容猜想：若经过𝑛次折叠∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的好角，则∠𝐵与∠𝐶(不妨设
∠𝐵> ∠𝐶) 之间的等量关系为
；
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15∘、60∘、105∘，发现60∘和105∘的两个角都是
此三角形的好角．
请你完成：如果一个三角形的最小角是4∘，试求出三角形另外两个角的度数，使该三
角形的三个角均是此三角形的好角．
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2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
34
随堂练习
随堂练习1
等腰三角形的一个角是80∘，则它顶角的度数是（ ）
A. 80∘
B. 80∘或20∘
C. 80∘或50∘
D. 20∘
随堂练习2
若等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）
A. 10
B. 11
C. 13
D. 11 或13
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2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
35
随堂练习3
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐷= 𝐸𝐷= 𝐸𝐵．求∠𝐴的度数．
随堂练习4
如图，在第1 个△𝐴1𝐵𝐶中，∠𝐵= 30∘,𝐴1𝐵= 𝐶𝐵；在边𝐴1𝐵上任取一点𝐷，延长𝐶𝐴1 到
𝐴2，使𝐴1𝐴2 = 𝐴1𝐷，得到第2 个△𝐴1𝐴2𝐷；在边𝐴2𝐷上任取一点𝐸，延长𝐴1𝐴2 到𝐴3，
使𝐴2𝐴3 = 𝐴2𝐸，得到第3 个△𝐴2𝐴3𝐸，…，按此做法继续下去，则第𝑛个三角形的底角度
数是（ ）
A. (1
2)
𝑛
⋅75∘
B. (1
2)
𝑛−1
⋅65∘
C. (1
2)
𝑛−1
⋅75∘
D. (1
2)
𝑛
⋅85∘
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2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
36
数学探索
沈括轶事
北宋的一个夜晚，一家小酒店的老板正和伙计一起堆酒坛。因
为近来生意特别好，酒坛自然也就多。老板一边在心里乐，一边盘
算着如何发更大的财。他要把酒坛堆得整整齐齐，美观大方，吸引
更多的顾客光临酒店。
酒坛堆得非常漂亮，一层一层整整齐齐。酒店门口的招幌迎风
飘扬，使人不得不驻足逗留，忍不住想进店喝几盅。酒店老板得意
扬扬之际，想数数酒坛一共有多少只。可是，数坛子也并不轻松，老
板从前面绕到后面，又从后面绕到前面，刚刚擦干的汗水又冒出来
了，伙计们都笑了。
第二天，这堆酒坛果然吸引了不少顾客，老板望着酒坛，乐不
可支。这时，一位衣冠楚楚的青年书生走了过来，面对酒坛，若有所
思。老板心想：我昨天为了数清这堆酒坛，花了很大的功夫，这位青
年相貌不凡，我倒要考考他。
“年轻人，你知道这堆酒坛一共有多少个吗？”老板半开玩笑地
问道。
“这很容易，只要你告诉我这堆酒坛上面的那层一共几排，每
排多少个，一共有几层。根本不用数，我马上就知道这堆酒坛的数
目。”年轻人这么说话，显然有十足的把握。
“噢！”老板心想：这位年轻人真会说大话，不妨把他提的条件
告诉他，看看他的能耐到底有多大。于是老板爽快地说：
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2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
37
数学探索
“上面那层酒坛是四排，每排8 个，第二层是五排，每排9 个
……”
“好了，一共七层，”年轻人打断了老板的话，不加思索地报出
了答案，
“一共567 个酒坛。对吗？”
老板一下子惊得连张开的嘴巴也忘记合拢了。这么快！老板马
上把年轻人请进酒店，上茶，敬酒，招待得万分周到。老板真是打心
眼佩服这位青年，又是请教姓名，又是讨教数坛的方法。
这位青年就叫沈括。优越的家庭生活条件使他有机会读书，加
上他好奇心强，肯钻研，于是他就成了很有才学的人。沈括回答老
板说：
“我数这坛子的方法其实非常简单，因为中间那层共77 个，
共七层，只要再乘7，后加上常数28 就行了。”
沈括从小对筹算很感兴趣，读了许多数学名著。后来自己写成
了一本数学专著《隙积术》，专门研究高阶等差级数的求和问题。
沈括数坛的方法就是利用了高阶等差级数求和的方法，要比单纯
地数方便多了。数学上还可能碰到数字更大，项数更多的题目，用
这种方法便可一下子迎刃而解。
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2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
38
练习册
1 （1）等腰三角形的周长为24，一腰的中线将周长分成5 ∶3．求此三角形的底边长．
（2）已知一个等腰三角形的周长为𝐿，则它的腰长𝑥的取值范围是什么？底边长𝑦
的取值范围是什么？
2
如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= 50∘，求∠𝐵𝐷𝐶．
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第
2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
39
3
已知内角度数的两个三角形，如图1、图2 所示．请你判断，能否分别画一条直线把
它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割后两个等腰三角形顶角的度数．
4
如图是由9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是𝑎，
则六边形的周长是
．
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2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
40
5
如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，延长𝐵𝐶到点𝐷，又延长𝐵𝐴到点𝐸，使𝐴𝐸= 𝐵𝐷，连接
𝐶𝐸、𝐷𝐸，求证：△𝐶𝐷𝐸为等腰三角形．
6
已知：△𝐴𝐶𝐵和△𝐷𝐶𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90∘，连接𝐴𝐸，𝐵𝐷
交于点𝑂，𝐴𝐸与𝐷𝐶交于点𝑀，𝐵𝐷与𝐴𝐶交于点𝑁．
（1）如图1，求证：𝐴𝐸= 𝐵𝐷．
（2）如图2，若𝐴𝐶= 𝐷𝐶，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中四对
全等的直角三角形．
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第
2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
41
7
如图，已知∠𝑀𝑂𝑁= 30∘，点𝐴1、𝐴2、𝐴3 ⋯在射线𝑂𝑁上，点𝐵1、𝐵2、𝐵3 ⋯在射
线𝑂𝑀上，△𝐴1𝐵1𝐴2、△𝐴2𝐵2𝐴3、△𝐴3𝐵3𝐴4⋯均为等边三角形，若𝑂𝐴1 = 1，则
△𝐴2016𝐵2016𝐴2017 的边长为
．
8
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷是△𝐴𝐵𝐶内一点，且∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐴= 15∘，
求证：𝐵𝐷= 𝐵𝐴．
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2
讲
揭
秘
等
腰
（二）
42
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第3 讲
倍长
倍长中线
模块一
初识倍长中线
模块二
倍长中线进阶
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第
3
讲
倍
长
中
线
46
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应习题
初识倍长中线
辅助线应用
例1、2
练习册1-3
倍长类中线
例3
练习册4
倍长中线进阶
复杂的倍长中线问题
例4、5
练习册5、6
倍长中线的间接应用
例6、7
练习册7
坐标系中的倍长中线问题
例8
练习册8
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第
3
讲
倍
长
中
线
47
模块一
模块一
初识倍长中线
知识梳理
【倍长中线】
遇到与三角形的中线相关的问题时，我们常常可以延长中线，使延长的线段与中线长度
相等，从而构造出一对“8”字型的全等三角形，使问题得到解决．
典型例题1
（1）已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶> 𝐴𝐵，𝐴𝑀是中线．求证：1
2 (𝐴𝐶−𝐴𝐵) < 𝐴𝑀< 1
2 (𝐴𝐵+𝐴𝐶)．
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第
3
讲
倍
长
中
线
48
（2）如图: 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 5 ，𝐴𝐶= 3 ，则𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的取值范围是（ ）．
A. 2 < 𝐴𝐷< 8
B. 0 < 𝐴𝐷< 8
C. 1 < 𝐴𝐷< 4
D. 3 < 𝐴𝐷< 5
典型例题2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，𝐸为𝐴𝐶边上的一点，𝐵𝐸交𝐴𝐷于点𝐹，已
知𝐴𝐸= 𝐸𝐹．求证：𝐴𝐶= 𝐵𝐹．
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第
3
讲
倍
长
中
线
49
知识梳理
【倍长中线的推广】
当题目中出现了中点而没有出现中线时，依然可以利用倍长中线的思想，构造全等三角
形．
典型例题3
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐶= 7，𝑀是𝐵𝐶的中点，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，过𝑀作𝐹𝑀//𝐴𝐷交
𝐴𝐶于𝐹，求𝐹𝐶的长．
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第
3
讲
倍
长
中
线
50
模块二
模块二
倍长中线进阶
典型例题4
△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸共顶点𝐴，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，连接𝐵𝐸，𝑀为𝐵𝐸的中点，若∠𝐷𝐴𝐶
= ∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐴𝐸𝐵，求证：𝐷𝐶= 2𝐴𝑀．
典型例题5
已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶内一条射线，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐸，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于点𝐹，𝑀
是𝐵𝐶的中点，求证：𝐸𝑀= 𝐹𝑀．
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第
3
讲
倍
长
中
线
51
典型例题6
如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴+ ∠𝐶= 180∘，𝐸、𝐹分别在𝐵𝐶，𝐶𝐷上，且𝐴𝐵= 𝐵𝐸，
𝐴𝐷= 𝐷𝐹，𝑀为𝐸𝐹中点，求证：𝐷𝑀⊥𝐵𝑀.
典型例题7
如图，已知等腰Rt△𝐴𝐵𝐶和等腰Rt△𝐴𝐸𝐹，连接𝐵𝐹、𝐶𝐸，取𝐵𝐹的中点𝐺，连接𝐴𝐺，试
探究𝐴𝐺与𝐶𝐸的数量关系与位置关系并予以证明．
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第
3
讲
倍
长
中
线
52
典型例题8
如图，在平面直角坐标系中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，已知点𝐵的坐标为(𝑚,0)，𝑛为𝐴点
纵坐标，且𝑚，𝑛满足等式√𝑚+𝑛−13+|𝑚−𝑛+1| = 0，连接𝑂𝐴，作𝐴𝐷⊥𝐴𝑂，且𝐴𝐷= 𝐴𝑂，
连接𝐶𝐷，已知点𝐸(3,0)，线段𝐴𝐸与𝐶𝐷有何数量关系与位置关系？写出你的结论并加
以证明．
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第
3
讲
倍
长
中
线
53
随堂练习
随堂练习1
如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸是𝐴𝐷上一点，延长𝐵𝐸交𝐴𝐶于点𝐹，若𝐸𝐹= 𝐴𝐹，
𝐵𝐹= 9，𝐶𝐹= 6，则𝐸𝐹=
．
随堂练习2
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵< 𝐴𝐶，𝐴𝐷是中线．求证：∠𝐷𝐴𝐶< ∠𝐷𝐴𝐵．
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3
讲
倍
长
中
线
54
随堂练习3
如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐶𝐸是𝐴𝐵边上的中线，延长𝐴𝐵到𝐷，使𝐵𝐷= 𝐴𝐵．
求证：𝐶𝐷= 2𝐶𝐸．
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第
3
讲
倍
长
中
线
55
数学探索
勾股定理与无理数
公元前5 世纪，希腊的毕达哥拉斯学派，对几何贡献很大，最
著名的是毕达哥拉斯定理，即任何直角三角形的两直角边𝑎、𝑏和
斜边𝑐都构成𝑎2＋𝑏2＝𝑐2 的关系式。当时，由于直觉经验所限，
毕氏学派立下一个信条：
“宇宙间一切现象都能归结为整数或整数
比。”但是，此信条与毕氏定理直接相悖，譬如，直角边为1 的等腰
直角三角形，其斜边为𝑥，应有𝑥2＝1+1＝2，按毕氏信条，𝑥不是整
数，就是分数，但人们却找不出这样的整数和分数来，但毕氏学派
为了维护其尊严，竟矢口否认𝑥是一个数。
此时，毕氏有一个学生名叫希伯斯，他大胆断言，𝑥既不是整
数，也不是分数，而是人们还没有认识到的一个新数。
希伯斯这一发现，动摇了毕氏信条的思想基础，引起了数学史
上的“第一次危机”．毕氏为了维护其尊严，在学派内下令严密封锁
希伯斯的发现，谁要走漏风声，就把谁活埋。希伯斯得知消息后，连
夜逃走了。毕氏的门徒到处追捕他，后来，他在一艘海船上被捉住
了，暴徒们凶猛地把他扔进海中淹死了。
然而，真理是不可战胜的。人们终于正视希伯斯的发现，进一
步用反证法证明了，等腰直角三角形斜边与直角边的比，是不能用
两个整数的比去表示的，严格证明了√2 是一个无理数。新数引进
来了，数系发展了，人们克服了数学危机，数学又前进了。
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3
讲
倍
长
中
线
56
数学探索
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3
讲
倍
长
中
线
57
练习册
1
已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴
′𝐵
′𝐶
′ 中，𝐴𝐵= 𝐴
′𝐵
′，𝐴𝐶= 𝐴
′𝐶
′，𝐷、𝐷
′ 分别为𝐵𝐶、
𝐵
′𝐶
′ 的中点，且𝐴𝐷= 𝐴
′𝐷
′．求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴
′𝐵
′𝐶
′．
2
已知：如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷、𝐶𝐸分别是𝐴𝐵边上的高和中线，且∠1 = ∠2 = ∠3．
求△𝐴𝐵𝐶各内角的度数．
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3
讲
倍
长
中
线
58
3
如图，在△𝐴𝐵𝐶中𝐷、𝐸是𝐵𝐶的三等分点，求证：𝐴𝐵+𝐴𝐸> 2𝐴𝐷。
4
如图所示，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐸、𝐹分别在𝐵𝐷、𝐴𝐷上，𝐷𝐸= 𝐶𝐷，
𝐸𝐹= 𝐴𝐶．求证：𝐸𝐹//𝐴𝐵．
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第
3
讲
倍
长
中
线
59
5
已知：如图，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝑀为𝐶𝐷中点，𝐴𝑀平分∠𝐷𝐴𝐵，𝐴𝐷+𝐵𝐶= 𝐴𝐵，
求证：𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶．
6
如图所示，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，𝑀是𝐵𝐸的中点，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
求证：𝐴𝑀⊥𝐶𝐷．
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第
3
讲
倍
长
中
线
60
7
已知𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐴𝐷𝐶的平分线分别交𝐴𝐵于𝐸、交𝐴𝐶于𝐹．
求证：𝐵𝐸+𝐶𝐹> 𝐸𝐹．
8
如图，直线𝑃𝐴分别交𝑥轴于点𝐴，交𝑦轴于点𝑃，点𝐴关𝑦轴的对称点为点𝐵，点
𝐶在线段𝑃𝐵上，𝐴𝐶交𝑦轴于点𝑀，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交𝑦轴于点𝐷，𝑂𝐻//𝐶𝐷分别
交𝐴𝐶，𝑃𝐵于𝐺，𝐻，在𝐶点运动的过程中，求𝐴𝐺
𝐵𝐻的值．
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第
3
讲
倍
长
中
线
61
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第4 讲
截长
截长补短
模块一
初识截长补短
模块二
截长补短进阶
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4
讲
截
长
补
短
64
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应习题
初始截长补短
辅助线入门
例1、2
练习册1、2
复杂的截长补短
例3-5
练习册3-5
截长补短进阶
截长补短中的二次全等
例6、7
练习册6、7
坐标系中的截长补短问题
例8
练习册8
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第
4
讲
截
长
补
短
65
模块一
模块一
初识截长补短
知识梳理
【截长补短】
截长补短顾名思义，分为截长法与补短法两种，具体做法是在某条线段上截取一条线段
与特定线段相等，或将某条线段延长使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性
质加以说明．
【使用场景】
在题目的条件或结论中，见线段的和或差，可考虑截长补短．
例：题目条件或求证结论中含有“𝐴𝐵= 𝐶𝐷+𝐸𝐹”时，可考虑截长补短．
【辅助线描述】
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第
4
讲
截
长
补
短
66
典型例题1
（1）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 2∠𝐶，∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐷交𝐵𝐶于𝐷．用两种方法求证：
𝐴𝐵+𝐵𝐷= 𝐴𝐶．
（2）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 120∘，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，且𝐴𝐵+𝐵𝐷= 𝐶𝐷，则∠𝐶的大小是
（ ）．
A. 20∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 大于30∘
典型例题2
在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸为𝐵𝐶的中点，𝐹为𝐶𝐷上的点，且𝐴𝐹= 𝐵𝐶+𝐶𝐹．
求证：∠𝐵𝐴𝐹= 2∠𝐵𝐴𝐸．
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4
讲
截
长
补
短
67
典型例题3
已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐸、𝐹分别在𝐶𝐵、𝐶𝐷的延长线上，∠𝐸𝐴𝐹= 135∘，
求证：𝐵𝐸+𝐷𝐹= 𝐸𝐹．
典型例题4
如图，已知∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶= 9∘，𝐴𝐷⊥𝐴𝐸，且𝐴𝐵+𝐴𝐶= 𝐵𝐸，则∠𝐵=
∘．
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4
讲
截
长
补
短
68
典型例题5
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸是𝐵𝐶的中点，连接𝐷𝐸，过点𝐴作𝐴𝐺⊥𝐸𝐷交𝐷𝐸于点
𝐹，交𝐶𝐷于点𝐺．
（1）证明：△𝐴𝐷𝐺≌△𝐷𝐶𝐸．
（2）连接𝐵𝐹，证明：𝐴𝐵= 𝐹𝐵．
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4
讲
截
长
补
短
69
模块二
模块二
截长补短进阶
典型例题6
已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹为等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹，点𝐸在𝐴𝐵
上，点𝐹在射线𝐴𝐶上，若𝐴𝐷= 𝐴𝐵，求证：𝐴𝐹= 𝐴𝐸+𝐵𝐶．
典型例题7
如图，△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，如图，若点𝐸为𝐵𝐶的中点，𝐶𝑁⊥𝐴𝐸于𝐻交
𝐴𝐵于𝑁，连接𝐸𝑁，求证：𝐴𝐸= 𝐶𝑁+𝐸𝑁．
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第
4
讲
截
长
补
短
70
典型例题8
在平面直角坐标系中，点𝐴(−5,0)，𝐵(0,5)，点𝐶为𝑥轴正半轴上一动点，过点𝐴作
𝐴𝐷⊥𝐵𝐶交𝑦轴于点𝐸．
（1）如图①，若点𝐶的坐标为(3,0)，试求点𝐸的坐标．
（2）如图②，若点𝐶在𝑥轴正半轴上运动，且𝑂𝐶< 5，其它条件不变，连接𝐷𝑂，求证：
𝑂𝐷平分∠𝐴𝐷𝐶．
（3）若点𝐶在𝑥轴正半轴上运动，当∠𝑂𝐶𝐵= 2∠𝐷𝐴𝑂时，试探索线段𝐴𝐷、𝑂𝐶、𝐷𝐶的
数量关系，并证明．
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4
讲
截
长
补
短
71
随堂练习
随堂练习1
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，且∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶= 180∘，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，若𝐵𝐷= 8，
则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为（ ）．
A. 8
B. 64
C. 32
D. 4
随堂练习2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵> 90∘，𝐶𝐷为∠𝐴𝐶𝐵的平分线，在𝐴𝐶边上取点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐷𝐵，
且∠𝐴𝐸𝐷> 90∘．若∠𝐴= 𝛼，∠𝐴𝐶𝐵= 𝛽，则（ ）．
A. ∠𝐴𝐸𝐷= 180∘−𝛼−𝛽
B. ∠𝐴𝐸𝐷= 180∘−𝛼−1
2𝛽
C. ∠𝐴𝐸𝐷= 90∘−𝛼+𝛽
D. ∠𝐴𝐸𝐷= 90∘+𝛼+ 1
2𝛽
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第
4
讲
截
长
补
短
72
随堂练习3
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 100∘，∠𝐴𝐵𝐶= 40∘，𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，延长𝐵𝐷至𝐸，使
𝐷𝐸= 𝐴𝐷．求证：𝐵𝐶= 𝐴𝐵+𝐶𝐸．
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第
4
讲
截
长
补
短
73
数学探索
进位制
关于进位制，同学们比较熟悉的是十进位制和二进位制，实际
上古代各民族计数法中使用的进位制是五花八门的。1920 年前后，
有人调查了307 种原始计数方法。结果发现有146 种是十进制的。
对十进制的偏爱，最可能的原因在于人有十个手指。除十进制外，
五进制和二十进制在历史上都曾被广泛使用。另外，证据表明，3、
12、60 等进位制也曾在史前时期被不同民族使用过。在我们现代
生活如长度、重量、货币、时间等的计量中，还经常会使用或残存着
十进制之外的进位制。如角度的度量，时间的分秒等都是六十进位
制。英国等国家用一“打”表示12 个，用的是十二进位制。我们有
成语: 半斤八两，这是我国古代一斤为十六两，使用十六进位制的
印迹。
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第
4
讲
截
长
补
短
74
练习册
1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 108∘，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于𝐷点．
求证：𝐵𝐶= 𝐴𝐶+𝐶𝐷．
2
已知等腰△𝐴𝐵𝐶，∠𝐴= 100∘，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于𝐷，求证：𝐵𝐷+𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
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第
4
讲
截
长
补
短
75
3
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，过𝐶作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，并且𝐴𝐸=
1
2 (𝐴𝐵+𝐴𝐷)，那么，∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶的度数是
．
4
已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 60∘，∠𝐴𝐵𝐶= 80∘，∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐵𝐶、𝐶𝐴于𝑃、
𝑄．求证：𝐴𝐵+𝐵𝑃= 𝐴𝑄+𝐵𝑄．
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第
4
讲
截
长
补
短
76
5
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 60∘，𝐴𝐷、𝐶𝐸分别平分∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐴𝐶𝐵，
求证：𝐴𝐶= 𝐴𝐸+𝐶𝐷
6
如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐶𝐸是𝐴𝐵边上的中线，延长𝐴𝐵到𝐷，使𝐵𝐷=
𝐴𝐵，连接𝐶𝐷．求证：𝐶𝐸= 1
2𝐶𝐷．
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第
4
讲
截
长
补
短
77
7
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，并且𝐴𝐸= 1
2(𝐴𝐵+𝐴𝐷)，
求证：∠𝐵+∠𝐷= 180∘．
8
如图1，已知点𝐴(−4,0)．点𝐵(0,𝑛) 为𝑦轴负半轴上一动点，过点𝐵作𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，且
𝐵𝐶= 𝐴𝐵．
（1）直接写出点𝐶的坐标（用含𝑛的式子表示）
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第
4
讲
截
长
补
短
78
（2）如图2，点𝐶关于𝑦轴的对称点为𝐶′，连接𝐴𝐶′ 并延长，交𝑦轴于点𝐷，在点𝐵移
动过程中，𝑂𝐷的长是否发生变化？若改变，请说明理由，若不变，求出点𝐷的坐标．
（3）如图3，点𝐹(3,0) 在𝑥轴上，过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐵𝐹，且𝐵𝐺= 𝐵𝐹，连接𝐶𝐺交𝑦轴于
𝐻，若点𝐻恰好为𝐶𝐺的中点，求𝐵𝐻的长．
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第
4
讲
截
长
补
短
79
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第5 讲
线三
一线三等角
模块一
三垂直模型
模块二
一线三等角模型
模块三
综合提升
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第
5
讲
一
线
三
等
角
82
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应习题
三垂直型
三垂直入门
例1、2
练习册1
三垂直进阶
例3、4
练习册2
一线三等角型
一线三等角入门
例5
练习册3
一线三等角进阶
例6
练习册4、5
综合提升
三垂直型的构造
例7-9
练习册6
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第
5
讲
一
线
三
等
角
83
模块一
模块一
三垂直模型
知识梳理
【三垂直模型】
顾名思义，三垂直模型就是一类有三个直角的全等模型．
常见的三垂直模型如下：
对于𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐸𝐷⊥𝐵𝐷，𝐴𝐶⊥𝐸𝐶，𝐴𝐶= 𝐸𝐶，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸．
【其他形式的三垂直模型】
除上述模型以外，三垂直模型也会以如下形式进行考查：
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第
5
讲
一
线
三
等
角
84
典型例题1
（1）如图，𝐴𝐶= 𝐶𝐷，∠𝐵= ∠𝐸= 90∘，𝐴𝐶⊥𝐶𝐷，则不正确的结论是（ ）．
A. ∠𝐴与∠𝐷互为余角
B. ∠𝐴= ∠2
C. △𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐸𝐷
D. ∠1 = ∠2
（2）如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸中，若∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷= 90∘，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐸，则下列
结论中不正确的是( )
A. △𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸
B. 𝐶𝐸= 𝐴𝐶
C. 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷
D. 𝐸为𝐵𝐶中点
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第
5
讲
一
线
三
等
角
85
典型例题2
如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，三角形的顶点在相互平行的三条直线𝑙1、𝑙2、
𝑙3 上，且𝑙1、𝑙2 之间的距离为1，𝑙2、𝑙3 之间的距离为3，求𝐴𝐵的长度．
典型例题3
如图，𝐴𝐸⊥𝐴𝐵且𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷且𝐵𝐶= 𝐶𝐷，请按照图中所标注的数据，计算图中阴
影部分的面积是
．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
86
典型例题4
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，直线𝑀𝑁经过点𝐶，且𝐴𝐷⊥𝑀𝑁于点𝐷，𝐵𝐸⊥𝑀𝑁
于点𝐸．
（1）当直线𝑀𝑁绕点𝐶旋转到图1 的位置时，求证：𝐷𝐸= 𝐴𝐷+𝐵𝐸．
（2）当直线𝑀𝑁绕点𝐶旋转到图2 的位置时，请写出𝐷𝐸、𝐴𝐷、𝐵𝐸之间的等量关系并
加以证明．
（3）当直线𝑀𝑁绕点𝐶旋转到图3 的位置时，试问𝐷𝐸、𝐴𝐷、𝐵𝐸之间又有怎样的等量
关系？请直接写出结论．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
87
模块二
模块二
一线三等角模型
知识梳理
【一线三等角模型】
一线三等角模型是三垂直模型更一般的形式，当∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸时，我们称之为
一线三等角模型．
如下图所示：
当∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸，𝐴𝐶= 𝐸𝐶时，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸．
典型例题5
（1）如图，𝐷、𝐸、𝐹分别为△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶、𝐴𝐵、𝐵𝐶上的点，∠𝐴= ∠1 = ∠𝐶，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，下
面的结论一定成立的是（ ）．
A. 𝐴𝐸= 𝐹𝐶
B. 𝐴𝐸= 𝐷𝐸
C. 𝐴𝐸+𝐹𝐶= 𝐴𝐶
D. 𝐴𝐷+𝐹𝐶= 𝐴𝐵
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第
5
讲
一
线
三
等
角
88
（2）如图，△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐵= ∠𝐶,𝐵𝐷= 𝐶𝐸,𝐶𝐷= 𝐵𝐹,∠𝐴= 40∘, 则∠𝐸𝐷𝐹=( )
A. 80∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 70∘
典型例题6
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 1，𝐴𝐵= √2，点𝑃是𝐴𝐵边上的点（异于点𝐴，
𝐵），点𝑄是𝐵𝐶边上的点（异于点𝐵，𝐶），且∠𝐶𝑃𝑄= 45∘．当△𝐶𝑃𝑄是等腰三角形时，
𝐶𝑄的长为
．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
89
模块三
模块三
综合提升
典型例题7
感知：如图，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐵𝐶= 𝑚，将边𝐴𝐵绕点𝐵顺时针旋
转90∘得到线段𝐵𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐶𝐵交𝐶𝐵的延长线于点𝐸，连接𝐶𝐷．
（1）求证：△𝐴𝐶𝐵≌△𝐵𝐸𝐷．
（2）△𝐵𝐶𝐷的面积为
（用含𝑚的式子表示)．
（3）拓展：如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐵𝐶= 𝑚，将边𝐴𝐵绕点𝐵顺时针旋转90∘
得到线段𝐵𝐷，连接𝐶𝐷，用含𝑚的式子表示△𝐵𝐶𝐷的面积，并说明理由．
（4）应用：如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐶= 8，将边𝐴𝐵绕点𝐵顺时针旋转90∘得
到线段𝐵𝐷，连接𝐶𝐷，则△𝐵𝐶𝐷的面积为
；若𝐵𝐶= 𝑚，则△𝐵𝐶𝐷的面
积为
（用含𝑚的式子表示)．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
90
典型例题8
通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）【模型呈现】
如图1，∠𝐵𝐴𝐷= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，过点𝐵作𝐵𝐶⊥𝐴𝐶于点𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点
𝐸．由∠1+∠2 = ∠2+∠𝐷= 90∘，得∠1 = ∠𝐷．又∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 90∘，可以推理得
到△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸．进而得到𝐴𝐶=
，𝐵𝐶=
．我们把这个
数学模型称为“𝐾字”模型或“一线三等角”模型．
（2）【模型应用】
①如图2，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，连接𝐵𝐶，𝐷𝐸，且𝐵𝐶⊥𝐴𝐹于点
𝐹，𝐷𝐸与直线𝐴𝐹交于点𝐺．求证：点𝐺是𝐷𝐸的中点．
②如图3，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴的坐标为(2,4)，点𝐵为平面内任一点．
若△𝐴𝑂𝐵是以𝑂𝐴为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点𝐵的坐标．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
91
典型例题9
如图，已知𝐴(6,0)，𝑂𝐶∶𝑂𝐴= 1 ∶3，若𝑀(2,4)、点𝑃是𝑥轴上𝐴点右侧一动点，𝐴𝐻⊥𝑃𝑀
于点𝐻，在𝑃𝑀上取点𝐺，使𝐻𝐺= 𝐻𝐴，连接𝐶𝐺，当点𝑃在点𝐴右侧运动时，∠𝐶𝐺𝑀的
度数是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
92
随堂练习
随堂练习1
如图所示，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐵𝐶，垂足分别为𝐵、𝐶，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐸为𝐵𝐶的中点，且𝐴𝐸⊥𝐵𝐷于
𝐹，若𝐶𝐷= 4cm，则𝐴𝐵的长度为( )
A. 4cm
B. 8cm
C. 9cm
D. 10cm
随堂练习2
如图，𝑙1、𝑙2、𝑙3、𝑙4 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为
ℎ，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的四个顶点分别在这个四条直线上，且正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是25，则
ℎ=
．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
93
随堂练习3
如图，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐸𝐶= 120∘，且点𝐷、𝐶、𝐸在同一条直线上．求证：
𝐷𝐸= 𝐴𝐷+𝐵𝐸．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
94
数学探索
书的开本
在书和本子的背面，会看到：8 开、16 开、32 开等字样，你知道
这是什么意思吗?
一张整张的纸叫整开纸，把它对折裁开，就得到两张对开的纸。
对开纸也叫两开纸。如果把对开纸再对折裁开，就得到四张4 开
纸。继续对折裁开，可以得到8 开、16 开、32 开、64 开等各种大小
不同的纸。
研究一下用对折方法裁开的纸: 折一次得2 开纸，2 = 21；折两
次得4 开纸，4 = 22；折三次得8 开纸，8 = 23；折四次得16 开纸，
16 = 24；折五次得32 开纸，32 = 25；折六次得64 开纸，64 = 26。
容易看到，在写成幂的形式中，底数2 表示裁纸的方法，每次
都是把一张纸裁成两张。而指数表示折纸的次数，幂是裁出纸的张
数，也是张的开型。
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第
5
讲
一
线
三
等
角
95
练习册
1 （1）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸于𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于𝐷，
𝐴𝐷= 5cm，𝐷𝐸= 3cm，则𝐵𝐸的长为（ ）．
A. 4 cm
B. 3 cm
C. 2 cm
D. 1 cm
（2）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，三角形的顶点在相互平行的三条直
线𝑙1，𝑙2，𝑙3 上，且𝑙1，𝑙2 之间的距离为1，𝑙2，𝑙3 之间的距离为2，则𝐴𝐶的长是
．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
96
2
如图1，𝑂𝐴= 2，𝑂𝐵= 4，以𝐴点为顶点，𝐴𝐵为腰在第三象限作等腰直角△𝐴𝐵𝐶．
（1）求𝐶点的坐标．
（2）如图2，𝑂𝐴= 2，𝑃为𝑦轴负半轴上的一个动点，若以𝑃为直角顶点，𝑃𝐴为腰
作等腰直角△𝐴𝑃𝐷，过𝐷作𝐷𝐸⊥𝑥轴于𝐸点，求𝑂𝑃−𝐷𝐸的值．
（3）如图3，点𝐹坐标为(−4,−4)，点𝐺(0,𝑚) 在𝑦轴负半轴，点𝐻(𝑛,0) 在𝑥轴的
正半轴，且𝐹𝐻⊥𝐹𝐺，求𝑚+𝑛的值．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
97
3
已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是𝐵𝐶边上一动点，点𝐸、𝐹分别在𝐴𝐶、
𝐴𝐵上，且𝐶𝐷= 𝐵𝐹，𝐵𝐷= 𝐶𝐸，则∠𝐸𝐷𝐹与∠𝐴在数量上有什么关系？请证明你的
猜想．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
98
4
如图1，𝐴𝐵= 4cm，𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐶= 𝐵𝐷= 3cm．点𝑃在线段𝐴𝐵上以1cm/s 的
速度由点𝐴向点𝐵运动，同时，点𝑄在线段𝐵𝐷上由点𝐵向点𝐷运动．它们运动
的时间为𝑡(s)．
（1）若点𝑄的运动速度与点𝑃的运动速度相等，当𝑡= 1 时，△𝐴𝐶𝑃与△𝐵𝑃𝑄是
否全等，并判断此时线段𝑃𝐶和线段𝑃𝑄的位置关系，请分别说明理由．
（2）如图2，将图1 中的“𝐴𝐶⊥𝐴𝐵,𝐵𝐷⊥𝐴𝐵”改为“∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴= 60∘”，其他条件
不变．设点𝑄的运动速度为𝑥cm/s，是否存在实数𝑥，使得△𝐴𝐶𝑃与△𝐵𝑃𝑄全
等？若存在，求出相应的𝑥、𝑡的值；若不存在，请说明理由．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
99
5
已知在等边三角形𝐴𝐵𝐶的三边上，分别取点𝐷，𝐸，𝐹．
（1）如图1，若𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 𝐶𝐹，求证：△𝐷𝐸𝐵≌△𝐸𝐹𝐶．
（2）如图2，若𝐸𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，𝐹𝐸⊥𝐵𝐶于𝐸，且𝐴𝐵= 15，求𝐶𝐸的
长．
（3）如图3，若𝐴𝐷= 𝐶𝐹，𝐸𝐷= 𝐸𝐹，求证：△𝐷𝐸𝐹为等边三角形．
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第
5
讲
一
线
三
等
角
100
6
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，直线𝑀𝑁经过点𝐶，且𝐴𝐷⊥𝑀𝑁于点𝐷，
𝐵𝐸⊥𝑀𝑁于点𝐸．
（1）当直线𝑀𝑁绕点𝐶旋转到图1 所示位置时，求证：𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐵𝐸．
（2）当直线𝑀𝑁绕点𝐶旋转到图2、图3 所示位置时，补全图形，并探索线段𝐷𝐸、
𝐴𝐷、𝐵𝐸之间的数量关系（直接写出答案）．
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5
讲
一
线
三
等
角
101
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第6 讲
类旋转
类旋转模型
模块一
手拉手
模块二
脚拉脚
模块三
婆罗摩笈多定理
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第
6
讲
类
旋
转
模
型
104
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应习题
手拉手型
等边三角形手拉手
例1、2
练习册1
等腰直角三角形手拉手
例3
练习册2、3
脚拉脚型
顶角互补的等腰三角形
例4
练习册4
顶角为直角的等腰三角形
例5、6
练习册5
婆罗摩笈多定理
定理的证明
例7
练习册6
定理的应用
例8
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第
6
讲
类
旋
转
模
型
105
模块一
模块一
手拉手
知识梳理
【手拉手模型】
如图，△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐷都是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，且∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝛼．
可得到结论：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶；𝐵𝐷= 𝐸𝐶；∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 𝛼.
【手拉手常见变形】
1. 等边三角形
可得到结论：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶；𝐵𝐷= 𝐸𝐶；∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 60∘.
2. 等腰直角三角形
可得到结论：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶；𝐵𝐷= 𝐸𝐶；∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 90∘.
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6
讲
类
旋
转
模
型
106
典型例题1
如图，已知△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，连接𝐵𝐹，𝐶𝐸交于点𝑂，连接𝑂𝐴．
（1）求证：△𝐶𝐴𝐸≌△𝐵𝐴𝐹．
（2）求∠𝐶𝑂𝐹的度数．
（3）求证：𝑂𝐴平分∠𝐶𝑂𝐹．
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6
讲
类
旋
转
模
型
107
典型例题2
如图，分别以△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶向外作两个等边三角形△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐶𝐸，连接𝐵𝐸，𝐶𝐷
交于点𝐹，连接𝐴𝐹．
（1）求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐵．
（2）求证：𝐴𝐹+𝐵𝐹+𝐶𝐹= 𝐶𝐷．
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6
讲
类
旋
转
模
型
108
典型例题3
如图，已知等腰直角三角形𝐵𝐴𝐶和等腰直角三角形𝐸𝐴𝐹，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，直线𝐵𝐸、
𝐶𝐹交于𝐻，求∠𝐴𝐻𝐹的度数．
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类
旋
转
模
型
109
模块二
模块二
脚拉脚
知识梳理
【脚拉脚模型】
如图，等腰△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 𝛼，等腰△𝐷𝐶𝐸，𝐷𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐷= 180∘−𝛼，这就是“脚
拉脚”模型.
连接底角顶点，得线段𝐵𝐸，记𝐵𝐸中点为𝐹，有结论：𝐴𝐹⊥𝐷𝐹
知识模型
等腰+ 顶角互补
典型例题4
∠𝐵𝐴𝐶= 60∘，∠𝐶𝐷𝐸= 120∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐶= 𝐷𝐸，连接𝐵𝐸，𝑃为𝐵𝐸的中点．
（1）如图1，若𝐴、𝐶、𝐷三点共线，求∠𝑃𝐴𝐶的度数．
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6
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类
旋
转
模
型
110
（2）如图2，若𝐴、𝐶、𝐷三点不共线，求证：𝐴𝑃⊥𝐷𝑃．
（3）如图3，若点𝐶在线段𝐵𝐸上，𝐴𝐵= 1，𝐶𝐷= 2，请直接写出𝑃𝐷的长度．
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6
讲
类
旋
转
模
型
111
知识模型
双等腰直角三角形
典型例题5
如图，等腰Rt△𝐴𝐵𝐶和等腰Rt△𝐶𝐷𝐸共底角顶点𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 90∘，点𝑀为𝐵𝐸
的中点，连接𝑀𝐴、𝑀𝐷，求证：𝑀𝐴⊥𝑀𝐷且𝑀𝐴= 𝑀𝐷．
典型例题6
如图，等腰Rt△𝐴𝐵𝐶和等腰Rt△𝐶𝐷𝐸共底角顶点𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 90∘，点𝑀为𝐵𝐸
的中点，连接𝑀𝐴、𝑀𝐷，求证：𝑀𝐴⊥𝑀𝐷且𝑀𝐴= 𝑀𝐷．
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6
讲
类
旋
转
模
型
112
模块三
模块三
婆罗摩笈多定理
知识梳理
【婆罗摩笈多模型】
已知等腰𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐵和等腰𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐷
𝑀为𝐵𝐶中点⇔𝑀𝑁⊥𝐴𝐷
典型例题7
如图，𝐴𝑀为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐸⊥𝐴𝐵,𝐴𝐹⊥𝐴𝐶, 且𝐴𝐸= 𝐴𝐵,𝐴𝐹= 𝐴𝐶,𝑀𝐴的延长线交𝐸𝐹
于点𝑃，试证明：𝐴𝑃⊥𝐸𝐹．
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6
讲
类
旋
转
模
型
113
典型例题8
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐷𝐸𝐹𝐺，𝐹𝐻𝐼𝐽都是正方形，𝑃为𝐴𝐽中点，求证：𝑃𝐸⊥𝐶𝐻且
𝑃𝐸= 1
2𝐶𝐻．
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6
讲
类
旋
转
模
型
114
随堂练习
随堂练习1
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷、四边形𝐷𝐸𝐹𝐺都是正方形，连接𝐴𝐸、𝐶𝐺，则证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐺
的依据是（ ）．
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
随堂练习2
如图，已知𝐴𝐹= 𝐴𝐵，∠𝐹𝐴𝐵= 60∘，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐸𝐴𝐶= 60∘，𝐶𝐹和𝐵𝐸交于𝑂点，则下列
结论：①𝐶𝐹= 𝐵𝐸；②∠𝐴𝑀𝑂= ∠𝐴𝑁𝑂；③𝑂𝐴平分∠𝐹𝑂𝐸；④∠𝐶𝑂𝐵= 120∘，其中正确的有
( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
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第
6
讲
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旋
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模
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115
随堂练习3
已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐶𝐺𝐸𝐹，且𝐷点在𝐶𝐹边上，𝑀为𝐴𝐸中点，连接𝑀𝐷、𝑀𝐹．
（1）如图1，请直接给出线段𝑀𝐷、𝑀𝐹的数量及位置关系是
．
（2）如图2，把正方形𝐶𝐺𝐸𝐹绕点𝐶顺时针旋转，则(1) 中的结论是否成立？若成立，请
证明；若不成立，请给出你的结论并证明．
（3）若将正方形𝐶𝐺𝐸𝐹绕点𝐶顺时针旋转30∘时，𝐶𝐹边恰好平分线段𝐴𝐸，请直接写
出𝐶𝐺
𝐶𝐵的值．
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第
6
讲
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旋
转
模
型
116
数学探索
为什么下水道的盖子是圆形的
如果留意一下，会发现街上下水道的盖子几乎都是圆的，可是，
为什么要做成圆的呢? 做成其他形状的，比如正方形不好吗?
微软公司在招员工时要进行面试，这个问题最早是微软公司
招聘员工时的测试题，并且很可能是微软最有名的面试问题。但是
由于曝光率太高，微软公司在面试中已经停止使用这一问题了。
对这个问题的最好回答是：正方形的盖子容易掉到洞里去。为
什么正方形的盖子容易掉下去呢? 是因为正方形的对角线是其边
长的√2 倍。如果把一个正方形盖子立起来，稍微一转，它就会很
容易掉到下水道里去。与此不同，圆的直径都是相等的，所以圆形
盖不会掉入圆形洞里。
简单说，其他形状的盖子会有一个角度让井盖掉下去，但如果
井盖做成圆形的，只要直径大于井口一点，那么无论从哪个角度都
不会掉下去!
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第
6
讲
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模
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117
练习册
1
如图，已知线段𝐵𝐸上有一点𝐶，以𝐵𝐶、𝐶𝐸为边分别作正三角形𝐴𝐵𝐶和正三角形
𝐶𝐸𝐹，连接𝐴𝐸、𝐵𝐹交于𝑂，𝐴𝐸、𝐶𝐹交于𝑁，𝐴𝐶、𝐵𝐹交于𝑀，求证：
（1）△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐹．
（2）△𝐶𝑀𝑁是等边三角形．
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第
6
讲
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转
模
型
118
2
如图，等腰Rt△𝐴𝐵𝐶和等腰Rt△𝐴𝐷𝐸共顶点𝐴，连接𝐵𝐷、𝐶𝐸，𝑀、𝑁分别为𝐵𝐷、
𝐶𝐸的中点，连接𝐴𝑁、𝐴𝑀，求证：△𝐴𝑀𝑁为等腰直角三角形．
3
在等腰Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐷𝐶= 90∘，求∠𝐴𝐷𝐶的度数．
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第
6
讲
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模
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119
4
如图，等腰Rt△𝐴𝐵𝐶和等腰Rt△𝐶𝐷𝐸共底角顶点𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 90∘，点𝑀
为𝐵𝐸的中点，作𝑀𝐻⊥𝐴𝐷，垂足为𝐻，求证：𝐴𝐷= 2𝐻𝑀．
5
如图，已知在△𝐴𝐵𝐶外作等腰△𝐴𝐵𝐷和等腰△𝐴𝐶𝐸，且∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90∘，𝐴𝑀
为△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的中线，连接𝐷𝐸，说明：𝐷𝐸= 2𝐴𝑀．
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第
6
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120
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第7 讲
半角
半角模型
模块一
直角中的半角模型
模块二
一般情况的半角模型
模块三
半角模型综合
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第
7
讲
半
角
模
型
124
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应习题
直角中的半角型
90°中的45°
例1-3
练习册1
其他半角型
与60°有关的半角
例4
练习册2、3
一般角中的半角
例5
练习册4
综合提升
例6-8
练习册5、6
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第
7
讲
半
角
模
型
125
模块一
模块一
直角中的半角模型
知识梳理
【半角模型】
当图形中90∘角里含有45∘角，120∘角里含有60∘角或是直接已知𝛼= 1
2𝛽（两个角有公
共顶点）时，我们常称之为半角模型．
此类题目的做法通常为截长补短法．
【常见半角模型——90∘角里含有45∘角】
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷边上一点𝐸，𝐷𝐶边上一点𝐹，若∠𝐸𝐵𝐹= 45∘，则
𝐴𝐸+𝐹𝐶= 𝐸𝐹．
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第
7
讲
半
角
模
型
126
典型例题1
如图，点𝐸、𝐹分别在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐵𝐶、𝐶𝐷上，∠𝐸𝐴𝐹= 45∘，连接𝐸𝐹，求证：𝐸𝐹=
𝐵𝐸+𝐷𝐹．
典型例题2
如图，已知，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝑀𝐴𝑁= 45∘，当∠𝑀𝐴𝑁绕点𝐴顺时针旋转的过程中，它
的两边分别交𝐶𝐵，𝐷𝐶于点𝑀，𝑁，过𝐴作𝐴𝐻⊥𝑀𝑁于点𝐻，则∠𝑀𝐴𝑁在旋转的过程中，
𝐴𝐻的长度如何变化（ ）．
A. 越来越大
B. 越来越小
C. 先变小，后变大
D. 始终不变
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第
7
讲
半
角
模
型
127
典型例题3
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1，𝑃、𝑄分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，连接𝑃𝑄．若△𝐶𝑃𝑄的
周长是2，求∠𝑃𝐴𝑄的度数．
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第
7
讲
半
角
模
型
128
模块二
模块二
一般情况的半角模型
典型例题4
在等边△𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵、𝐴𝐶所在直线上分别有两点𝑀、𝑁，𝐷为△𝐴𝐵𝐶外一点，且
∠𝑀𝐷𝑁= 60∘，∠𝐵𝐷𝐶= 120∘，𝐵𝐷= 𝐷𝐶．探究：当𝑀、𝑁分别在直线𝐴𝐵、𝐴𝐶上移动时，𝐵𝑀、
𝑁𝐶、𝑀𝑁之间的数量关系及△𝐴𝑀𝑁的周长𝑄与等边△𝐴𝐵𝐶的周长𝐿的关系．
（1）如图1，△𝐴𝐵𝐶是周长为9 的等边三角形，则△𝐴𝑀𝑁的周长𝑄=
．
（2）如图2，当点𝑀、𝑁分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，且𝐷𝑀= 𝐷𝑁时，𝐵𝑀、𝑁𝐶、𝑀𝑁之间的数量
关系是
；此时𝑄
𝐿=
．
（3）点𝑀、𝑁在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，且当𝐷𝑀≠𝐷𝑁时，猜想第(2) 问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明．
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第
7
讲
半
角
模
型
129
典型例题5
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵= ∠𝐷= 90∘，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，且
∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷．
（1）求证：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+𝐹𝐷．
（2）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180∘，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的
点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，结论𝐸𝐹= 𝐵𝐸+𝐹𝐷是否成立？
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第
7
讲
半
角
模
型
130
（3）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+∠𝐴𝐷𝐶= 180∘，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷延
长线上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，结论𝐸𝐹= 𝐵𝐸+𝐹𝐷是否成立？若成立，请证明；若
不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
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第
7
讲
半
角
模
型
131
模块三
模块三
半角模型综合
典型例题6
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸、𝐹是𝐴𝐵、𝐵𝐶边上两点，且𝐸𝐹= 𝐴𝐸+𝐹𝐶，𝐷𝐺⊥𝐸𝐹于𝐺，求
证：𝐷𝐺= 𝐷𝐴．
典型例题7
已知，如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵+∠𝐷= 180∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐸、𝐹分别是线段𝐵𝐶、𝐶𝐷上
的点，且𝐵𝐸+𝐹𝐷= 𝐸𝐹．求证：∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷．
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7
讲
半
角
模
型
132
典型例题8
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 4，∠𝐵𝐴𝐶= 120∘，以𝐴为一个顶点的等边三角形𝐴𝐷𝐸绕点𝐴
在∠𝐵𝐴𝐶内旋转，𝐴𝐷、𝐴𝐸所在的直线与𝐵𝐶边分别交于点𝐹、𝐺．若点𝐵关于直线𝐴𝐷
的对称点为𝐵′，当△𝐹𝐺𝐵′ 是以点𝐺为直角顶点的直角三角形时，𝐵𝐹的长为
．
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7
讲
半
角
模
型
133
随堂练习
随堂练习1
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，∠𝐸𝐴𝐹= 45∘，△𝐸𝐶𝐹的周长为
4，则正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
随堂练习2
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 1，𝐸,𝐹分别是边𝐵𝐶,𝐶𝐷上的点，连接𝐸𝐹、𝐴𝐸、𝐴𝐹，过𝐴
作𝐴𝐻⊥𝐸𝐹于点𝐻．若𝐸𝐹= 𝐵𝐸+𝐷𝐹，那么下列结论：
①𝐴𝐸平分∠𝐵𝐸𝐹；②𝐹𝐻= 𝐹𝐷；③∠𝐸𝐴𝐹= 45∘；④𝑆△𝐸𝐴𝐹= 𝑆△𝐴𝐵𝐸+𝑆△𝐴𝐷𝐹；⑤△𝐶𝐸𝐹的
周长为2．其中正确结论的个数是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
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第
7
讲
半
角
模
型
134
随堂练习3
如图，已知△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，△𝐵𝐶𝐷是顶角∠𝐵𝐷𝐶= 120∘的等腰三角形，以𝐷为顶
点作一个60∘角，它的两边分别交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐴𝐶于点𝑁，连接𝑀𝑁，求证：𝑀𝑁= 𝐵𝑀
+𝐶𝑁．
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7
讲
半
角
模
型
135
数学探索
无需语言的证明
在数学的一些场景下，有时一幅图片胜过千言万语.
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7
讲
半
角
模
型
136
练习册
1
在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷（四边相等，四个内角都等于90∘）中，𝐸、𝐹分别为𝐷𝐶、𝐵𝐶上的点．
若△𝐶𝐸𝐹的周长等于正方形的周长的一半，则：①∠𝐸𝐴𝐹= 45∘；②𝐹𝐴平分∠𝐸𝐹𝐵；
③𝐸𝐴平分∠𝐷𝐸𝐹，其中正确的是（ ）．
A. ①
B. ①②
C. ①②③
D. ②③
2
如图，△𝐴𝐵𝐶是边长为3 的等边三角形，△𝐵𝐷𝐶是等腰三角形，且∠𝐵𝐷𝐶= 120∘．
以𝐷为顶点作一个60∘角，使其两边分别交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐴𝐶于点𝑁，连接𝑀𝑁，
则△𝐴𝑀𝑁的周长为
．
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第
7
讲
半
角
模
型
137
3
在等边三角形𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵、𝐴𝐶所在直线上分别有两点𝑀、𝑁，𝑃为△𝐴𝐵𝐶外
一点，且∠𝑀𝑃𝑁= 60∘，∠𝐵𝑃𝐶= 120∘，𝐵𝑃= 𝐶𝑃．探究：当点𝑀、𝑁分别在直线𝐴𝐵、
𝐴𝐶上移动时，𝐵𝑀，𝑁𝐶，𝑀𝑁之间的数量关系．
（1）如图①，当点𝑀、𝑁在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，且𝑃𝑀= 𝑃𝑁时，试说明：𝑀𝑁= 𝐵𝑀+𝐶𝑁．
（2）如图②，当点𝑀、𝑁在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，且𝑃𝑀≠𝑃𝑁时，𝑀𝑁= 𝐵𝑀+𝐶𝑁还成立
吗？
答：
（请在空格内填“一定成立”
“不一定成立”或“一定不成立”）．
（3）如图③，当点𝑀、𝑁分别在边𝐴𝐵、𝐶𝐴的延长线上时，请直接写出𝐵𝑀，𝑁𝐶，
𝑀𝑁之间的数量关系．
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7
讲
半
角
模
型
138
4
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐷= 120∘，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐵，𝐴𝐷上的点，
∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐴= 60∘．
（1）求证：𝐸𝐹= 𝐵𝐸+𝐷𝐹．
（2）求证：点𝐶在∠𝐵𝐴𝐷的平分线上．
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7
讲
半
角
模
型
139
5
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵+∠𝐴𝐷𝐶= 180∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷延
长线上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，求证：𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐹𝐷．
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7
讲
半
角
模
型
140
6 （1）问题背景：
如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 120∘，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90∘，𝐸，𝐹
分别是𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 60∘，探究图中线段𝐵𝐸，𝐸𝐹，𝐹𝐷之间的数
量关系．
小明同学探究此问题的方法是延长𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，先证明
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，再证明△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，可得出结论，他的结论应是
．
（2）探索延伸：
如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+∠𝐷= 180∘，𝐸，𝐹分别是𝐵𝐶，𝐶𝐷上
的点，∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，上述结论是否依然成立？并说明理由．
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第
7
讲
半
角
模
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141
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第8 讲
尴尬
“尴尬”的全等
模块一
边边角全等的判断
模块二
边边角不全等的改造
模块三
综合提升
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第
8
讲
﹃
尴
尬
﹄
的
全
等
144
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应习题
边边角全等的判断
全等判定再认识
例1、2
练习册1
SSA 全等的证明
例3
练习册2
边边角不全等的改造
改造方式的运用
例4-6
练习册3-5
综合提升
不全等的改造进阶
例7
SSA 的应用
例8
练习册6
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第
8
讲
﹃
尴
尬
﹄
的
全
等
145
模块一
模块一
边边角全等的判断
典型例题1
（1）判断（正确打“√”，错误打“×”）：
如图，已知∠1 = ∠2，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，则△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷．
（ ）
（2）判断（正确打“√”，错误打“×”）：
如图，点𝐷、𝐸分别在线段𝐴𝐵、𝐴𝐶上，𝐶𝐷与𝐵𝐸相交于𝑂点，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸=
𝐶𝐷，则△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷．
（ ）
（3）判断（正确打“√”，错误打“×”）：
如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶中，已知𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐸𝐶，∠𝐴= ∠𝐷，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶．
（ ）
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第
8
讲
﹃
尴
尬
﹄
的
全
等
146
典型例题2
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”
“ASA”
“AAS”
“SSS”）和直角三角形全等的判
定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的
情形进行研究．
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐵𝐶=
𝐸𝐹，∠𝐵= ∠𝐸，然后，对∠𝐵进行分类，可以分为“∠𝐵是直角、钝角、锐角”三种情况进行探
究．
【深入探究】
（1）第一种情况：当∠𝐵为直角时，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
如图①，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，∠𝐵= ∠𝐸= 90∘，根据
，
可以知道Rt△𝐴𝐵𝐶≌Rt△𝐷𝐸𝐹．
（2）第二种情况：当∠𝐵为钝角时，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
如图②，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，∠𝐵= ∠𝐸，且∠𝐵，∠𝐸都是钝
角，求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
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第
8
讲
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﹄
的
全
等
147
（3）第三种情况：当∠𝐵为锐角时，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹不一定全等．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，∠𝐵= ∠𝐸，且∠𝐵，∠𝐸都是锐角，请你利
用图③，在图③中用尺规作出△𝐷𝐸𝐹，使△𝐷𝐸𝐹和△𝐴𝐵𝐶不全等．
（不写作法，保
留作图痕迹，标出相应的字母）．
（4）∠𝐵与∠𝐴满足什么关系，就可以使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹？请直接写出结论：在△𝐴𝐵𝐶和
△𝐷𝐸𝐹中，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，∠𝐵= ∠𝐸，且∠𝐵、∠𝐸都是锐角，若
，则
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
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8
讲
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﹄
的
全
等
148
知识梳理
【边边角全等的证明】
我们知道“边边角”是不能判定两个三角形全等的。但在解题中，如果两个三角形刚好满
足“边边角”，我们可以作垂线证明两次全等从而绕过“边边角”实现目标，证明全等．
如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，∠𝐵= ∠𝐸，此时两个三角形满足“边边角”，
我们可以过𝐴、𝐷作对边的高来绕过“边边角”．
过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐵𝐶于点𝑀，过点𝐷作𝐷𝑁⊥𝐸𝐹于𝑁，证△𝐴𝐵𝑀≌△𝐷𝐸𝑁(AAS)，得到
𝐴𝑀= 𝐷𝑁，再证△𝐴𝐶𝑀≌△𝐷𝐹𝑁(HL)，从而绕过“边边角”．
口诀：全等遇到“边边角”，第三边上去作高
典型例题3
已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝑀、𝑁分别是𝐵𝐶、𝐴𝐵上一点，𝐵𝑀= 𝐵𝑁，𝑀𝐸交外角∠𝐷𝐶𝐹
的平分线于𝐸．𝑀𝐴= 𝑀𝐸，求证：𝐸𝑀⊥𝐴𝑀．
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第
8
讲
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的
全
等
149
模块二
模块二
边边角不全等的改造
知识梳理
【“边边角”不全等的两个三角形】
“边边角”不全等时包含：两组相等的边、一组相等的角、一组互补的角．
如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，∠𝐵= ∠𝐸，∠𝐶+∠𝐹= 180∘．
【“边边角”不全等的改造方法】
当两个三角形满足“边边角”的条件但不全等时，我们可以通过改造其中一个或两个三角
形来解题．
1. 截或补等腰三角形
满足“边边角”但不全等的两个三角形实际上刚好差了一个等腰三角形，因此截或补一
个等腰三角形可以让改造后的两个三角形全等．
如图，在𝐵𝐶上取点𝑀，使得𝐵𝑀= 𝐸𝐹，可得△𝐴𝐵𝑀≌△𝐷𝐸𝐹，△𝐴𝑀𝐶是等腰三角形．
或延长𝐸𝐹到𝑁，使得𝐸𝑁= 𝐵𝐶，可得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝑁，△𝐷𝐹𝑁是等腰三角形．
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第
8
讲
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﹄
的
全
等
150
2. 作垂改直角三角形
HL 作为“边边角”的特例，是可以判定两个直角三角形全等的，因此只要将两个三角形
都改造成直角三角形即可．
如图，过𝐴作𝐴𝑀⊥𝐵𝐶于点𝑀，过𝐷作𝐷𝑁⊥𝐸𝐹交𝐸𝐹延长线于点𝑁，可得△𝐴𝐵𝑀
≌△𝐷𝐸𝑁，△𝐴𝐶𝑀≌△𝐷𝐹𝑁．
3. 拼大等腰三角形
利用“边边角”中互补的两个角，可以将两个三角形拼成一个大等腰三角形．
如图，延长𝐵𝐶到点𝐺使得𝐶𝐺= 𝐸𝐹，连接𝐴𝐺，可得△𝐴𝐺𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，△𝐴𝐵𝐺是等腰
三角形．
总结：一大一小“边边角”，三种改造要记牢
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8
讲
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全
等
151
典型例题4
如图，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐷𝐴+∠𝐷𝐴𝐶= 180∘．求证：∠𝐵= ∠𝐶．
典型例题5
在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐵，𝐸、𝐹分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶上的点，且𝐷𝐸= 𝐴𝐹．
求证：∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐵．
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8
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等
152
典型例题6
在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，点𝐸在𝐵𝐶上，𝐵𝐷= 𝐵𝐶．
（1）如图1 所示，若∠𝐴= ∠𝐶𝐸𝐷= 45∘．
①∠𝐴𝐶𝐷与∠𝐶𝐷𝐸的数量关系是 ．
②在图中找到与𝐷𝐸相等的线段，并证明．
（2）如图2 所示，将题中条件“点𝐷在𝐴𝐵上”改为“点𝐷在𝐴𝐵的延长线上”，其他条件
不变，若𝐷𝐸= 𝐴𝐶，猜想∠𝐴与∠𝐶𝐸𝐷的数量关系，并证明你的猜想．
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等
153
模块三
模块三
综合提升
典型例题7
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸分别在边𝐴𝐶、𝐴𝐵上，𝐵𝐷、𝐶𝐸交
于点𝐹，𝐶𝐸= 𝐵𝐸，且∠𝐵𝐸𝐶+∠𝐵𝐷𝐶= 180∘．求证：𝐴𝐶= 𝐵𝐹．
小明经探究发现，过点𝐶作𝐶𝐺= 𝐶𝐸，交𝐴𝐵于点𝐺（如图2），从而可证△𝐵𝐸𝐹≌△𝐶𝐺𝐴，
使问题得到解决．
（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程．
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
如图3，等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷、𝐹在直线𝐵𝐶上，𝐷𝐸= 𝐵𝐹，连接𝐴𝐷，过点𝐸作
𝐸𝐺//𝐴𝐶交𝐹𝐺于点𝐺，∠𝐷𝐹𝐺+∠𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶．请在图中找出一条和线段𝐴𝐷相等
的线段，并证明．
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8
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尴
尬
﹄
的
全
等
154
典型例题8
如图，𝐷为△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的中点，∠𝐵= 3∠𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= 45∘，求证：∠𝐵𝐴𝐶= 90∘．
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随堂练习
随堂练习1
程老师制作了如图1 所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．
操作学具时，点𝑄在轨道槽𝐴𝑀上运动，点𝑃既能在以𝐴为圆心、以8 为半径的半圆轨
道槽上运动，也能在轨道槽𝑄𝑁上运动．图2 是操作学具时，所对应某个位置的图形的示
意图．
有以下结论：
①∠𝑃𝐴𝑄= 30∘，𝑃𝑄= 6 时，可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄
②∠𝑃𝐴𝑄= 30∘，𝑃𝑄= 9 时，可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄
③∠𝑃𝐴𝑄= 90∘，𝑃𝑄= 10 时，可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄
④∠𝑃𝐴𝑄= 150∘，𝑃𝑄= 12 时，可得到形状唯一确定的△𝑃𝐴𝑄
其中所有正确结论的序号是（ ）．
A. ②③
B. ③④
C. ②③④
D. ①②③④
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随堂练习2
在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐵．𝐸，𝐹分别是𝐴𝐵，𝐵𝐶上的点，且𝐷𝐸= 𝐴𝐹．若
∠𝐴𝐹𝐵= 46∘，则∠𝐴𝐸𝐷=
∘．
随堂练习3
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为𝐴𝐵上一点，𝐴𝐷= 𝐴𝐶，点𝐸为𝐴𝐶上一点，∠𝐵+∠𝐴𝐸𝐷= 180∘．
求证：𝐵𝐶= 𝐷𝐸．
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随堂练习4
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60∘，𝐵𝐷，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的两条角平分线，且𝐵𝐷，𝐶𝐸交于点𝐹．
如图，若∠𝐴𝐵𝐶= 40∘，求证：𝐵𝐹= 𝐶𝐴．
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数学探索
有趣的礼物
母亲节快到了，小马准备送给妈妈一个特别的礼物. 妈妈下班
前，小马把家门密码修改了，告诉妈妈猜对就可以得到礼物. 妈妈
随后开始了尝试.
第一次输入731，小马说：
“只有一个号码正确且位置正确”
第二次输入742，小马说：
“只有一个号码正确但位置不正确”
第三次输入157，小马说：
“只有两个号码正确但位置都不正
确”
第四次，妈妈打开了大门，拿到了母亲节礼物。你知道密码了
吗？
密码是521.
由第一次和第二次输入的信息可知密码中没有数字7，有
1,2,3,4 中的一个，从第三次输入得到信息可知密码有数字1 和
5，所以1 的位置也正确，在第三位。5 正确但位置不对，所以在第
一位。中间位只能是2 或4，但位置不对，所以只能是2，所以密码
是521.
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练习册
1
根据下列条件，能画出唯一△𝐴𝐵𝐶的有（ ）个．
①∠𝐴= 30∘，∠𝐵= 60∘，∠𝐶= 90∘；
②𝐴𝐵= 1，𝐵𝐶= 2，𝐴𝐶= 3；
③𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，∠𝐴= 120∘；
④𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，∠𝐴= 90∘；
⑤𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，∠𝐵= 120∘；
⑥𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 3，∠𝐴= 30∘．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2
题目：如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，那么𝐵𝐶= 𝐶𝐷吗？请说
明理由．
小明的作法如下：
如图，连接𝐴𝐶，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，𝐴𝐶= 𝐴𝐶．
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐷．
（1）小明错误的原因是
．
（2）请正确解答这道题目．
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3
如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐷是𝐵𝐶边上一动点，点𝐸，𝐹分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶边上，
连接𝐴𝐷，𝐷𝐸，𝐷𝐹，且∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹= 60∘．证明：𝐴𝐸= 𝐴𝐹．
4
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐶，𝐴𝐵上，𝐵𝐷，𝐶𝐸交于点𝑃，且∠𝑃𝐵𝐶=
∠𝑃𝐶𝐵= 1
2∠𝐴．
（1）探究∠𝐴𝐸𝑃与∠𝐴𝐷𝑃的数量关系，并证明．
（2）求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐷．
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161
5
如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐷是𝐵𝐶边上一点，且满足∠𝐴𝐷𝐸= 60∘，𝐷𝐸交等边三
角形𝐴𝐵𝐶的外角平分线𝐶𝐸所在直线于点𝐸，试探究𝐴𝐷与𝐷𝐸的数量关系．
（1）小明发现，如图1，当点𝐷是边𝐵𝐶的中点时，过点𝐷作𝐷𝐹//𝐴𝐶，交𝐴𝐵于点
𝐹，通过构造全等三角形，能够使问题得到解决，请直接写出𝐴𝐷与𝐷𝐸的数量
关系：
．
（2）如图2，当点𝐷是线段𝐵𝐶上(除点𝐵，𝐶外) 任意一点时(其他条件不变)，试
猜想𝐴𝐷与𝐷𝐸之间的数量关系，并说明理由．
（3）当点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上，且满足𝐶𝐷= 𝐵𝐶时(其他条件不变)，请画出
图形，并直接写出△𝐴𝐵𝐶与△𝐵𝐷𝐸的面积之比．
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162
6
如图，𝐸，𝐹分别为菱形𝐴𝐵𝐶𝐷边𝐴𝐵、𝐵𝐶上的点，且△𝐷𝐸𝐹为等边三角形，已知
𝐵𝐸≠𝐵𝐹，则∠𝐴=
∘．
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