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第
0
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2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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第
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内
容
3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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0
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5
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于
为同学们提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分
析问题和自主解决问题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”
向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模
块，收集各地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教
研基建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，
三轮审核三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老
师集中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精
校。只有经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由
专业设计师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读
性。由供应部门统一调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在
你的见证下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致
力于教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天
进步一点点，一起做更好的自己！
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目录
第1 讲
二次根式1
1
模块一
概念与性质
3
模块二
根式运算技巧
6
模块三
分母有理化
9
【习题课】二次根式1
15
第2 讲
二次根式2
19
模块一
根式比较大小
21
模块二
多重根式的化简
24
模块三
根式裂项
27
【习题课】二次根式2
31
第3 讲
根式综合提升
35
模块一
根式方程
37
模块二
共轭根式
39
模块三
根式恒等变形
42
【习题课】根式综合提升
46
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第4 讲
期中真题精选
49
模块一
客观题压轴真题精选
50
模块二
几何压轴真题精选
52
模块三
代数压轴真题精选
55
【习题课】期中真题精选
60
第5 讲
直角三角形与勾股定理1
65
模块一
勾股定理的证明与计算
67
模块二
运用勾股定理的几何证明
72
【习题课】直角三角形与勾股定理1
78
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第1 讲
二次根
二次根式1
模块一
概念与性质
模块二
根式运算技巧
模块三
分母有理化
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第
1
讲
二
次
根
式
1
2
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
根式的概念
与性质
根式的概念
★★★
例1
根式非负性
★★★
例2
随堂练习1
★★★★
例3
最简二次根式
★★★★
例4
根式运算
技巧
根式四则运算
★★★★
例5
随堂练习2
根式的巧算
★★★★
例6
随堂练习3
★★★★★
例7
分母有理化
分母有理化计算
★★★
例8
随堂练习4
含参的分母有理
化问题
★★★★
例9
★★★★★
例10
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第
1
讲
二
次
根
式
1
3
模块一
模块一
概念与性质
知识梳理
【根式中的相关概念】
1. 形如√𝑎(𝑎⩾0) 的代数式叫做二次根式．
2. 𝑛次根式：形如𝑛√𝑎的代数式叫做𝑛次根式，其中若𝑛为偶数，则必须满足𝑎⩾0．
3. 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
①被开方数不含分母；
②被开方数中不含有能开方的因数或因式．
【注意】
最简二次根式分母不能含有根号
4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根
式叫做同类二次根式．
5. 设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑚是有理数，且√𝑚是无理数，则当且仅当𝑎= 𝑐，𝑏= 𝑑时，
𝑎+𝑏√𝑚= 𝑐+𝑑√𝑚．
【二次根式的性质】
1. 双重非负性：√𝑎⩾0，𝑎⩾0
2. (√𝑎)2 = 𝑎(𝑎⩾0)；
3. √𝑎2 = |𝑎| =
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝑎(𝑎> 0)
0(𝑎= 0)
−𝑎(𝑎< 0)
．
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第
1
讲
二
次
根
式
1
4
【二次根式的运算法则】
对于二次根式的加减运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
1. 𝑎√𝑚±𝑏√𝑚= (𝑎±𝑏)√𝑚
2. √𝑎⋅√𝑏= √𝑎𝑏（𝑎⩾0，𝑏⩾0）
3. √𝑎
√𝑏
= √𝑎
𝑏（𝑎⩾0，𝑏> 0）
4. (√𝑎)𝑚= √𝑎𝑚（𝑎⩾0）
5. 若𝑎> 𝑏> 0，则√𝑎> √𝑏．
典型例题1
（1）在二次根式√1
2、√4𝑎、√𝑎2 +1、1
√3
中，是最简二次根式的是
．
（2）若最简二次根式√3𝑎−5 和√𝑎+7 是同类二次根式，则𝑎=
．
典型例题2
（1）𝑥是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
①√𝑥−1；②√1−𝑥；③
1
√𝑥−1
；④
1
√𝑥−1．
（2）已知𝑥，𝑦为实数，𝑦= √𝑥2 −9−√9−𝑥2 +1
𝑥−3
，求5𝑥+6𝑦．
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讲
二
次
根
式
1
5
典型例题3
已知√3𝑥+5𝑦−2−𝑚+√2𝑥+3𝑦−𝑚= √𝑥−199+𝑦⋅√199−𝑥−𝑦，则𝑚=
。
典型例题4
求方程√𝑥+√𝑦= √1998 的整数解．
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二
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根
式
1
6
模块二
模块二
根式运算技巧
典型例题5
（1）计算：9√3+7√12−5√48+2√1
3．
（2）计算：9
4
√48÷(3
8√31
5)．
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第
1
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二
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根
式
1
7
典型例题6
计算：
（1）(√2+√3)
2
（2）(√2+√3)(√2−√3)
（3）(√2+√3)
5
(√2−√3)
6
（4）(2√3−√11)
16
(2√3+√11)
17
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讲
二
次
根
式
1
8
典型例题7
（1）计算：1
1−
4√3
+
1
1+
4√3
+
2
1+√3
；
（2）计算：3√15−√10−2√6+3√3−√2+18
√5+2√3+1
．
（3）计算：√10+√14−√15−√21
√10+√14+√15+√21
．
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第
1
讲
二
次
根
式
1
9
模块三
模块三
分母有理化
知识梳理
【分母有理化】
1. 定义：二次根式中分母原为无理数，将该分母化为有理数的过程叫做分母有理化，即将
分母中的根号化去.
2. 方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
【例】
1
√𝑎=
√𝑎
√𝑎×√𝑎= √𝑎
𝑎；
1
√𝑎+√𝑏
=
√𝑎−√𝑏
(√𝑎+√𝑏)(√𝑎−√𝑏)
= √𝑎−√𝑏
𝑎−𝑏
典型例题8
（1）化简：√2
√6+2
；
（2）化简：
√6
√7−√3−2
．
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1
讲
二
次
根
式
1
10
典型例题9
化简：
（1）
1
√𝑎−√𝑏
；
（2）𝑎−𝑏
√𝑎+√𝑏
；
（3）√𝑎+2−√𝑎−2
√𝑎+2+√𝑎−2
；
（4）𝑏−√𝑎2 +𝑏2
𝑏+√𝑎2 +𝑏2
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二
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根
式
1
11
典型例题10
计算：𝑥−4
√𝑥−3+1
−
𝑥−7
√𝑥−3−2
．
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讲
二
次
根
式
1
12
随堂练习
随堂练习1
已知实数𝑚满足|2012−𝑚|+√𝑚−2013 = 𝑚，那么𝑚−20122 的值是
．
随堂练习2
如果𝑎= −1+√2，那么−1+
1
2+
1
2+𝑎
的值．
随堂练习3
化简：
√3+√7
3−√6−√14+√21
．
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第
1
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二
次
根
式
1
13
随堂练习4
（1）化简：
√2
√2+√3−√5
；
（2）计算：
2√2
√3+√2+1
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第
1
讲
二
次
根
式
1
14
思维游戏
思维游戏——风吹蜡烛
停电了，小马点着了5 根蜡烛，但外面有一阵风吹来，有2 根
被风吹灭了。过了一会儿，又有1 根被风吹灭了。为了防止蜡烛再
被吹灭，小马赶紧关上了窗户，之后，蜡烛就再没被吹灭过。
你知道最后还能剩下几根蜡烛吗？
燃着的蜡烛最终将燃尽。所以，最后只能剩下3 根被风吹灭的
蜡烛。
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二
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根
式
1
15
“三精”习题课
第 讲
1
二次根式1
进阶拓展1
频率：较高
计算：√2005×2006×2007×2008+1−20062．
进阶拓展2
频率：中
计算：√1+ 1
12 + 1
22 +√1+ 1
22 + 1
32 +√1+ 1
32 + 1
42 +⋯+√1+
1
20102 +
1
20112．
睛
点
法
方
由根号的运算性质，遇到较复杂的根式时可以将分子与分母分别考虑，更有利于根
式的化简。
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1
讲
二
次
根
式
1
16
进阶拓展3
频率：较高
求满足等式𝑥√𝑦+𝑦√𝑥−√2003𝑥−√2003𝑦+√2003𝑥𝑦= 2003 的正整数对(𝑥，𝑦)．
进阶拓展4
频率：较高
若
1
2√1+1×√2
+
1
3√2+2√3
+
1
4√3+3√4
+⋯+
1
(𝑘+1)√𝑘+𝑘√𝑘+1
= 2
3，求𝑘的值．
睛
点
法
方
有许多难度较大的题目将根式作为运算背景，与其他知识进行结合，如：因式分解、
裂项等。需要对各类知识都熟悉、掌握才能对问题做到迎刃而解。
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第2 讲
二次根
二次根式2
模块一
根式比较大小
模块二
多重根式的化简
模块三
根式裂项
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第
2
讲
二
次
根
式
2
20
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
根式比较
大小
直接法
★★
例1
有理化法
★★★
例2
随堂练习1
综合应用
★★★★
例3、4
随堂练习2
多重根式
的化简
配方法化简双重根式
★★★★
例5
随堂练习3
多重根式的化简
★★★★★
例6
多重根式化简应用
★★★★★
例7、8
根式裂项
根式相关的裂项求和
★★★★
例9
随堂练习4
根式裂项的复杂运算
★★★★★
例10
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第
2
讲
二
次
根
式
2
21
模块一
模块一
根式比较大小
知识梳理
【实数比较大小的常用方法】
1. 直接法：被开方数直接进行比较，被开方数越大这个数就越大；
2. 平方法：如果一个数的平方越大，那么这个数的绝对值越大；
3. 作差法：把要比较大小的两数相减，根据所得的差来看两数的大小；
4. 作商法：把要比较大小的两数相除，将除得的商与1 进行比较；
5. 倒数法：根据原数倒数的大小来确定原数值的大小；
6. 分母有理化法：将原二次根式分母有理化后再比较大小；
7. 分子有理化法：将原二次根式分子有理化后再比较大小.
典型例题1
（1）比较大小：√11
𝜋．
（2）比较大小：2+√6
√3+√7．
（3）比较大小：−√5−√2 与−2−√3．
（4）比较下列二次根式的大小：√𝑎+4
√𝑎+5 与√𝑎+5
√𝑎+6．
（5）正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足𝑎+𝑏+𝑐+𝑑= 1，设𝑝= √3𝑎+1+√3𝑏+1+√3𝑐+1+√3𝑑+1，试
比较𝑝与5 的大小关系．
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第
2
讲
二
次
根
式
2
22
知识模型
有理化法
典型例题2
（1）试比较√6+1
√6−1
与√7+√2
√7−√2
的大小．
（2）已知𝑐> 1，𝑥= √𝑐−√𝑐−1，𝑦= √𝑐+1−√𝑐，𝑧= √𝑐+2−√𝑐+1，比较𝑥，𝑦，𝑧的大小．
（3）比较下列各式的大小(填“>”
“<”或“=”)2√3−√11
3√2
3√2−√17
2√3
．
典型例题3
（1）比较下列二次根式的大小：
2
√14−√10
与6
√3
．
（2）比较大小：√5−√3 与√4−√2．
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第
2
讲
二
次
根
式
2
23
典型例题4
（1）已知𝑎> 𝑏> 𝑐> 0，𝑝1 = √(𝑎+𝑏)2 +𝑐2，𝑝2 = √(𝑎+𝑐)2 +𝑏2，𝑝3 = √(𝑏+𝑐)2 +𝑎2，比较
𝑝1，𝑝2，𝑝3 的大小．
（2）已知√𝑎+ 1
√𝑏𝑐
< √𝑏+ 1
√𝑎𝑐< √𝑐+ 1
√𝑎𝑏
，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系是( )
A. 𝑎> 𝑏> 𝑐
B. 𝑎< 𝑏< 𝑐
C. 𝑏> 𝑐> 𝑎
D. 𝑐< 𝑎< 𝑏
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2
讲
二
次
根
式
2
24
模块二
模块二
多重根式的化简
知识梳理
【复合二重根式的化简】
1. 复合二次根式的定义
像√3−√2 这样在二次根式中套叠着二次根式的式子叫复合二次根式．
2. 配方法化简复合二次根式
将√𝑥−√𝑦先转化为√𝑚−2√𝑛的形式，再令𝑚= 𝑎+𝑏，𝑛= 𝑎𝑏，则
√𝑚−2√𝑛= √[(√𝑎)2 +(√𝑏)
2
]−2√𝑎√𝑏= √(√𝑎−√𝑏)
2
= |√𝑎−√𝑏|．
典型例题5
（1）化简√4−2√3．
（2）化简：√5+2√6．
（3）化简：√3+√5．
（4）化简：√6+√35+√6−√35．
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第
2
讲
二
次
根
式
2
25
典型例题6
（1）化简：√10+8√3+2√2．
（2）化简：2√3+√5−√13+√48．
典型例题7
设𝑎是√3+√5 −√3−√5 的小数部分，𝑏是√6+3√3 −√6−3√3 的小数部分，求代数式
1
𝑎−1
𝑏的值．
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二
次
根
式
2
26
典型例题8
求满足下列等式的实数𝑥的一切值：√5+𝑥−4√𝑥+1+√10+𝑥−6√𝑥+1 = 1．
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第
2
讲
二
次
根
式
2
27
模块三
模块三
根式裂项
典型例题9
（1）计算：1
1+√2
+
1
√2+√3
+
1
√3+√4
+⋯+
1
√2003+√2004
．
（2）计算：
1
2√1+1√2
+
1
3√2+2√3
+⋯+
1
2025√2024+2024√2025
．
典型例题10
设𝑆1 = 1 + 1
12 + 1
22，𝑆2 = 1 + 1
22 + 1
32，𝑆3 = 1 + 1
32 + 1
42，⋯，𝑆𝑛= 1 + 1
𝑛2 +
1
(𝑛+1)2．设
𝑆= √𝑆1 +√𝑆2 +⋯+√𝑆𝑛，则𝑆=
（用含𝑛的代数式表示，其中𝑛为正整数）．
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第
2
讲
二
次
根
式
2
28
随堂练习
随堂练习1
设𝑎= 3√5−5√2，𝑏= 2√11−7，则𝑎与𝑏的大小关系为（ ）．
A. 𝑎> 𝑏
B. 𝑎< 𝑏
C. 𝑎= 𝑏
D. 不能确定
随堂练习2
已知𝑎= √2016−√2015，𝑏= √2017−√2016，𝑐= √2018−√2017．则𝑎、𝑏、𝑐三者的大小关
系是
．
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2
讲
二
次
根
式
2
29
随堂练习3
化简：√14+6√5−√14−6√5．
随堂练习4
计算：(2√5+1)(
1
1+√2
+
1
√2+√3
+
1
√3+√4
+⋯+
1
√99+√100
)．
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2
讲
二
次
根
式
2
30
思维游戏
思维游戏——过桥洞
一辆载满货物的汽车要通过一个立交桥的桥洞，但是汽车顶
部比桥洞要高1 厘米，怎么也过不去。
你能想办法解决这个难题吗？
只要给汽车轮胎放气，让汽车的高度降低1 厘米，就可以安全
地通过桥洞了。(温馨提示: 此方法仅适用于这个思维游戏，现实生
活中可不要模仿哦∼)
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讲
二
次
根
式
2
31
“三精”习题课
第 讲
2
二次根式2
进阶拓展1
频率：较高
化简：√2(6−2√3−2√5+√15)．
进阶拓展2
频率：中
化简：√𝑥+√2𝑥−1−√𝑥−√2𝑥−1(𝑥> 1)．
睛
点
法
方
多重根式化简的重点为对根号内的内容进行合理变形，需要灵活掌握整式恒等变形
与完全平方公式的相关知识。
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第
2
讲
二
次
根
式
2
32
进阶拓展3
频率：较高
定义𝑓(𝑥) =
1
3√𝑥2 +2𝑥+1+
3√𝑥2 −1+
3√𝑥2 −2𝑥+1
，求𝑓(1)+𝑓(3)+𝑓(5)+⋯+𝑓(999) 的值．
睛
点
法
方
见到对同一个形式的式子大量累加时，多考虑裂项解题；结合分母形式考虑使用哪
一种乘法公式进行变形，需要灵活掌握相关的几个公式。
进阶拓展4
频率：高
已知√𝑥+√𝑦−1+√𝑧−2 = 1
2 (𝑥+𝑦+𝑧)，求𝑥、𝑦、𝑧的值．
睛
点
法
方
当看到一个整式与其对应根式一起出现时，可以将其反向思考当成一个式子与其平
方项进行考虑。
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第3 讲
根式综
根式综合提升
模块一
根式方程
模块二
共轭根式
模块三
根式恒等变形
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第
3
讲
根
式
综
合
提
升
36
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
根式方程
无理方程概念
★★
例1
直接平方法解方程
★★★★
例2
随堂练习1
★★★★★
例3
共轭根式
有理化法解方程
★★★
例4
随堂练习2
★★★★
例5
化简求值
★★★★
例6
★★★★★
例7
根式恒等
变形
恒等变形综合应用
★★★★
例8
随堂练习3
★★★★★
例9、10
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第
3
讲
根
式
综
合
提
升
37
模块一
模块一
根式方程
知识梳理
【无理方程的定义和解法】
1. 无理方程的定义
方程中含有根式，且被开方式是含有未知数的代数式，这样的方程叫无理方程．无理方
程也叫根式方程．
2. 平方法解简单无理方程的一般步骤
典型例题1
已知下列关于𝑥的方程：
①𝑥2 + √5𝑥+ 1 = 0；②𝑥2 + 5√5𝑥+ 1 = 0；③√𝑎−1 + 2𝑥= 7；④√𝑥−1 −7 = 0；⑤√𝑥+ 1
𝑥= 2；
⑥
1
𝑥+3 −
𝑥
√2−𝑥
= √3．
其中，是无理方程的有( )
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
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3
讲
根
式
综
合
提
升
38
典型例题2
（1）解方程：√2𝑥−1 = 1.
（2）解方程：√𝑥+1+√2𝑥−5 = 1．
（3）解方程：√𝑥2 +7 = −√2𝑥+1．
典型例题3
（1）求方程𝑥2 +10𝑥+31 = 2√𝑥2 +10𝑥+34 的解．
（2）求方程√𝑥+2√𝑥−1+√𝑥−2√𝑥−1 = 𝑥−1 的解．
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第
3
讲
根
式
综
合
提
升
39
模块二
模块二
共轭根式
知识梳理
【共轭根式的定义】
形如𝑎+√𝑏与𝑎−√𝑏的两个式子互为共轭根式
共轭根式的和、差与积形式更为简单.
(𝑎+√𝑏)+(𝑎−√𝑏) = 2𝑎
(𝑎+√𝑏)−(𝑎−√𝑏) = 2√𝑏
(𝑎+√𝑏)(𝑎−√𝑏) = 𝑎2 −𝑏
典型例题4
解根式方程：√𝑥2 +𝑥+19+√𝑥2 +𝑥+3 = 8．
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第
3
讲
根
式
综
合
提
升
40
典型例题5
解方程：√7𝑥2 +9𝑥+13+√7𝑥2 −5𝑥+13 = 7𝑥．
典型例题6
化简：√8+2√10+2√5+√8−2√10+2√5．
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3
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根
式
综
合
提
升
41
典型例题7
若8𝑎⩾1，求
3√𝑎+ 𝑎+1
3
√8𝑎−1
3
+
3√𝑎−𝑎+1
3
√8𝑎−1
3
的值．
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第
3
讲
根
式
综
合
提
升
42
模块三
模块三
根式恒等变形
典型例题8
已知𝑥= √5+√2，求𝑥6 −2√2𝑥5 −3𝑥4 −𝑥3 +2√5𝑥2 −4𝑥+√5 的值．
典型例题9
若𝑎、𝑏、𝑐为两两不等的有理数，求证：√(𝑎−𝑏)−2 +(𝑏−𝑐)−2 +(𝑐−𝑎)−2 是有理数．
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3
讲
根
式
综
合
提
升
43
典型例题10
设2012𝑥3 = 2013𝑦3 = 2014𝑧3，𝑥，𝑦，𝑧是正数，且有
3√2012𝑥2 +2013𝑦2 +2014𝑧2 =
3√2012+
3√2013+
3√2014，求1
𝑥+ 1
𝑦+ 1
𝑧的值．
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3
讲
根
式
综
合
提
升
44
随堂练习
随堂练习1
解方程：𝑥−√𝑥−5−7 = 0，则𝑥=( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
随堂练习2
已知√𝑎+17+√𝑎+1 = 8，求𝑎的值．
随堂练习3
求比(2+√3)
4
大的最小整数．
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3
讲
根
式
综
合
提
升
45
思维游戏
思维游戏——山涧
有一个山涧4 米宽，下面是万丈深渊。山涧上没有桥，来往的
人都是带着木板搭桥通过。一次，一个人带了3.9 米长的木板，另
一人带了3.1 米长的木板。两个人的木板都太短了，搭不了桥。
他们应该用什么方法才能够过山涧呢？
一个人可以把木板向山涧的另一端伸出一部分，并站在木板
的另一端压住。另一人可以把木板搭在自己的一方与对方的木板
之间，就可以从容通过了。然后他可以压住木板，让对方通过。
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第
3
讲
根
式
综
合
提
升
46
“三精”习题课
第 讲
3
根式综合提升
进阶拓展1
频率：高
解方程：√2𝑥2 −7𝑥+1−√2𝑥2 −9𝑥+4 = 1．
进阶拓展2
频率：较高
已知正数𝑎，𝑏，且满足𝑎√1−𝑏2 +𝑏√1−𝑎2 = 1，求证：𝑎2 +𝑏2 = 1．
睛
点
法
方
考虑利用共轭根式将方程变形，然后利用两个方程式再进行化简、求解。
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3
讲
根
式
综
合
提
升
47
进阶拓展3
频率：较高
解方程：√2𝑥2 −1+√𝑥2 −3𝑥−2 = √2𝑥2 +2𝑥+3+√𝑥2 −𝑥+2．
睛
点
法
方
观察式子特点：可将四项分为两组，根号内的部分做差相同，可以考虑将分子有理化
再进一步分析。
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第4 讲
期中真
期中真题精选
模块一
客观题压轴真题精选
模块二
几何压轴真题精选
模块三
代数压轴真题精选
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4
讲
期
中
真
题
精
选
50
模块一
模块一
客观题压轴真题精选
典型例题1
关于𝑥的不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
1
2 (2
3𝑥−1) ⩽1
𝑥+ 1
3𝑎> 2
恰有4 个整数解，且一次函数𝑦= 𝑎𝑥−(𝑎−5) 的图
象不经过第二象限，则满足条件的所有整数𝑎的和为（ ）．
A. 15
B. 11
C. 9
D. 6
典型例题2
在平面直角坐标系中，已知𝐴(1,2)、𝐵(7,10)，𝐶为一次函数𝑦= 1
7𝑥+ 9 的图象上一动点，
若以𝐴、𝐵、𝐶三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则𝐶点坐标为
．
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4
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期
中
真
题
精
选
51
典型例题3
如图，𝐷为△𝐵𝐴𝐶的外角平分线上一点，过𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延
长线于𝐹，并且满足∠𝐹𝐷𝐵= ∠𝐸𝐷𝐶，则下列结论：①△𝐶𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐹；②𝐶𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐸；
③∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶；④∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐶𝐵𝐷，其中正确的结论有（ ）．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
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4
讲
期
中
真
题
精
选
52
模块二
模块二
几何压轴真题精选
典型例题4
如图，△𝐴𝐵𝐶是边长为6 的等边三角形，𝑃是𝐴𝐶边上一动点，由𝐴向𝐶运动（与𝐴、𝐶
不重合），𝑄是𝐶𝐵延长线上一点，与点𝑃同时以相同的速度由𝐵向𝐶𝐵延长线方向运
动（𝑄不与𝐵重合），过𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，连接𝑃𝑄交𝐴𝐵于𝐷．
（1）若设𝐴𝑃= 𝑥，则𝑃𝐶=
，𝑄𝐶=
．
（用含𝑥的代数式表示）
（2）当∠𝐵𝑄𝐷= 30∘时，求𝐴𝑃的长．
（3）在运动过程中线段𝐸𝐷的长是否发生变化？如果不变，求出线段𝐸𝐷的长；如果变化
请说明理由．
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4
讲
期
中
真
题
精
选
53
典型例题5
如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵，∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝑂交𝐵𝐶于点𝐷，点𝐻为𝐴𝑂上
一动点，过点𝐻作直线𝑙⊥𝐴𝑂于𝐻，分别交直线𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐵𝐶于点𝑁、𝐸、𝑀．
（1）当直线𝑙经过点𝐶时（如图2），证明：𝐵𝑁= 𝐶𝐷．
（2）当𝑀是𝐵𝐶中点时，写出𝐶𝐸和𝐶𝐷之间的等量关系，并加以证明．
（3）请直接写出𝐵𝑁、𝐶𝐸、𝐶𝐷之间的等量关系．
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第
4
讲
期
中
真
题
精
选
54
典型例题6
已知∠𝐴𝑂𝐵= 30∘，𝑃为射线𝑂𝐵上一点，𝑀为射线𝑂𝐴上一动点，连接𝑃𝑀，满足∠𝑂𝑀𝑃
为钝角，将线段𝑃𝑀绕点𝑃顺时针旋转150∘，得到线段𝑃𝑁，连接𝑂𝑁．
（1）依题意补全图1．
（2）求证：∠𝑂𝑀𝑃= ∠𝑂𝑃𝑁．
（3）在射线𝑀𝐴上取点𝐷，点𝑀关于点𝐷的对称点为𝐸，连接𝐸𝑃，当∠𝑃𝐷𝑂= ∘时，
使得对于任意的点𝑀，总有𝑂𝑁= 𝐸𝑃，并证明．
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4
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期
中
真
题
精
选
55
模块三
模块三
代数压轴真题精选
典型例题7
已知：𝑎= √5+1
2
，𝑏= √5−1
2
．
（1）求𝑎+𝑏和𝑎𝑏的值．
（2）求𝑎2 +𝑏2 和𝑎4 +𝑏4 的值．
（3）求𝑎8 的整数部分．
典型例题8
巴蜀学子李金珉在2020 年第61 届国际数学奥林匹克竞赛中以唯一满分勇夺金牌，全校
同学深受鼓舞，校园里掀起了一股热爱数学、研究数学的浪潮．某学习小组讨论了这样一
道数学题：若一个多位数各个数位上的数字之和为12 的倍数，则称其为“榜样数”，例如：
879，因为8+7+9 = 24，则879 为“榜样数”；又如：678492，因为6+7+8+4+9+2 = 36，
则678492 也是“榜样数”．
（1）95
“榜样数”；56382
“榜样数”（横线上填“是”或“不是”)．
（2）最大的三位“榜样数”是
，最小的四位“榜样数”为
．
（3）若一个四位正整数是“榜样数”，且满足十位数字是千位数字的2 倍，个位数字比百
位数字小3，且百位数字和十位数字之和是千位数字与个位数字之和的3 倍，求出
满足条件的四位数．
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第
4
讲
期
中
真
题
精
选
56
典型例题9
如图，一次函数𝑦= 1
2𝑥+2 的图象与𝑥，𝑦轴分别交于𝐴，𝐵两点，点𝐶与点𝐴关于𝑦轴对
称．动点𝑃，𝑄分别在线段𝐴𝐶，𝐴𝐵上（点𝑃与点𝐴，𝐶不重合），且满足∠𝐵𝑃𝑄= ∠𝐵𝐴𝑂．
（1）点𝐴的坐标为
，点𝐵的坐标为
，线段𝐵𝐶的长度=
．
（2）当点𝑃在什么位置时，△𝐴𝑃𝑄≌△𝐶𝐵𝑃，说明理由．
（3）当△𝑃𝑄𝐵为等腰三角形时，求点𝑃的坐标．
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第
4
讲
期
中
真
题
精
选
57
随堂练习
随堂练习1
如果𝑥𝑛= 𝑦，那么我们规定(𝑥,𝑦) = 𝑛．例如：因为32 = 9，所以(3,9) = 2．
根据上述规定，(2,8) =
，若(𝑚,16) = 𝑝，(𝑚,5) = 𝑞，(𝑚,𝑡) = 𝑟，且满足𝑝+𝑞= 𝑟，
则𝑡=
．
随堂练习2
已知：如图，在Rt△𝐴𝑂𝐵中，∠𝐴𝑂𝐵= 90∘，𝐴𝑂= 3，𝐵𝑂= 4，点𝐶、𝐷分别是直线𝐵𝑂、𝐴𝑂上
一个动点．
（1）若△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，用直尺和圆规作出点𝐶（不写作法，保留作图痕迹），直接
写出𝑂𝐶的长．
（2）若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，求𝐴𝐷的长．
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4
讲
期
中
真
题
精
选
58
随堂练习3
在平面直角坐标系中，𝑂𝐴= 𝐴𝐵= 10，点𝐴(6,8) 在正比例函数的图象上，点𝐵的坐标为
(12,0)，连接𝐴𝐵．
（1）求该正比例函数的解析式．
（2）若点𝑄在直线𝐴𝑂上运动，且△𝑂𝐵𝑄的面积为6，求点𝑄的坐标．
（3）若点𝑄在线段𝐴𝑂上由点𝐴向点𝑂运动，点𝑃在线段𝐵𝑂上以每秒2 个单位的速
度由𝐵向𝑂运动，点𝐶是线段𝐴𝐵的中点，两点同时运动，同时停止，设运动时间为
𝑡秒，连接𝑃𝑄，在运动过程中，△𝑂𝑃𝑄与△𝐵𝑃𝐶是否会全等？如果全等，请求点𝑄
运动的速度，如果不全等，请说明理由．
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期
中
真
题
精
选
59
思维游戏
思维游戏——两个乒乓球
小雪一直吵着要明明陪她一起打乒乓球。明明被吵得实在受
不了，于是想了一个妙计：
“小雪，这袋子里放了两个乒乓球，一个
黄色的，另一个是白色的。现在，要你伸手进去拿乒乓球。如果你
拿到黄色的，我就陪你玩，但如果拿到白色的，你就要放弃了，而且
不能再吵我！”
小雪的眼睛顿时亮了起来，但此时却瞥见转过身的明明放了
两个白色乒乓球进去。
那么，不论她拿到哪一个都会是白色的。
请问，小雪是不是玩不成乒乓球了？
当然不是。小雪从袋子里拿出一个乒乓球之后，立刻藏在身
后。明明肯定要求小雪把它亮出来，而此时小雪就说：
“我亮不亮出
来没有关系，只要看看袋子里面留下的是什么颜色的乒乓球，就知
道我拿的是什么颜色的乒乓球了。”明明当然会无话可说。
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第
4
讲
期
中
真
题
精
选
60
“三精”习题课
第 讲
4
期中真题精选
进阶拓展1
频率：高
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知点𝐴(1,0)，点𝐶是𝑦轴上的动点，线段𝐶𝐴绕着点
𝐶逆时针旋转90∘至线段𝐶𝐵，连接𝐵𝑂，则𝐵𝑂的最小值是
．
睛
点
法
方
利用等腰直角三角形构造弦图后判断B 点轨迹，再求线段最小值。
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第
4
讲
期
中
真
题
精
选
61
进阶拓展2
频率：高
如图1，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐷𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐶𝐷𝐸= 90∘．
（1）连接𝐴𝐷、𝐴𝐸，如图2，若𝐴𝐷= 𝐴𝐶，求∠𝐴𝐸𝐷的度数．
（2）若𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 2，将图1 中的△𝐷𝐶𝐸绕点𝐶逆时针旋转一周，连接𝐴𝐷、𝐵𝐷，若
△𝐴𝐶𝐷为直角三角形，求𝐵𝐷2．
（3）将图1 中的△𝐷𝐶𝐸绕点𝐶逆时针旋转到图3 的位置，连接𝐵𝐸，交△𝐴𝐵𝐶顶角的
平分线𝐴𝑃于点𝑀，交𝐴𝐶于点𝑁，连接𝐶𝑀．求证：𝐵𝑀2 +𝐸𝑀2 = 2𝐴𝐶2．
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第
4
讲
期
中
真
题
精
选
62
进阶拓展3
频率：高
如图①，长方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边𝑂𝐴在𝑥轴上，边𝑂𝐶在𝑦轴上，𝑂𝐴= 9，𝑂𝐶= 8．
（1）连接𝑂𝐵，则𝑂𝐵将长方形面积分成相等的两部分，则直线𝑂𝐵的函数关系式为
．
（2）如图②，点𝐷在边𝑂𝐴上，点𝐸在边𝐵𝐶上，且𝑂𝐷= 𝐵𝐸，连接𝐷𝐸，此时线段𝐷𝐸
将该长方形的面积分成相等的两部分，请说明等分的理由．
（3）如图③，点𝐷在边𝑂𝐴上，且𝑂𝐷= 1．将∠𝑂𝐴𝐵沿𝐷𝐹折叠，折痕交长方形𝑂𝐴𝐵𝐶
的边于点𝐹，点𝐴落在点𝐴′ 处，若直线𝐷𝐴′ 将该长方形面积分成1 ∶2 两部分，求
直线𝐷𝐹的函数关系式．
睛
点
法
方
在动态问题中要将分类讨论的可能性放在最优先级位置进行考虑，先判断是否有多
种情况需要分别分析，否则在做题中会更易忽略导致题目考虑不全面。
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第5 讲
直角三角形与
直角三角形与勾股
定理1
模块一
勾股定理的证明与计算
模块二
运用勾股定理的几何证明
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
66
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
勾股定理
的证明与
计算
多种方法证明勾股定理
★★★★
例1
勾股定理的应用
★★★
例2
随堂练习1、2
★★★★
例3、4
运用勾股
定理的几
何证明
几何证明基础
★★★
例5
随堂练习3
★★★★
例6
几何证明进阶
★★★★★
例7、8
随堂练习4
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
67
模块一
模块一
勾股定理的证明与计算
知识梳理
【勾股定理】
如果直角三角形的两条直角边长分别为𝑎、𝑏，斜边长为𝑐，那么𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2．
【注意】
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做
弦．
【勾股定理的证明方法】
1. 传说中的毕达哥拉斯的证法
∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=4× 1
2𝑎𝑏+𝑎2 +𝑏2=4× 1
2𝑎𝑏+𝑐2
∴𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
68
2. 将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形
∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=(𝑎+𝑏)2 = 𝑐2 +4× 1
2𝑎𝑏
∴𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2
3. 赵爽弦图．将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形
∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑐2=(𝑎−𝑏)2 +4× 1
2𝑎𝑏
∴𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2
4.“总统”证法．将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形
∵𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷= (𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)
2
= 2× 1
2𝑎𝑏+ 1
2𝑐2
∴𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
69
典型例题1
已知Rt△𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，以𝐴𝐶、𝐵𝐶、𝐴𝐵为边分别作正方形𝐴𝐶𝐸𝐷、正方形𝐵𝑁𝑀𝐶、
正方形𝐴𝐵𝐻𝐹，求证：𝑆正方形𝐴𝐶𝐸𝐷+𝑆正方形𝐵𝑁𝑀𝐶= 𝑆正方形𝐴𝐵𝐻𝐹，即𝐴𝐶2 +𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2．
典型例题2
（1）直角三角形中，两条边长分别为3 和4，另一条边长为
．
（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形
𝑀的边长为3√2cm，则正方形𝐴、𝐵、𝐶、𝐷的面积之和为
cm2．
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
70
典型例题3
（1）已知△𝐴𝐵𝐶是直角边长为1 的等腰直角三角形，以Rt△𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐶为直角边，
画第二个等腰Rt△𝐴𝐶𝐷，再以Rt△𝐴𝐶𝐷的斜边𝐴𝐷为直角边，画第三个等腰
Rt△𝐴𝐷𝐸，⋯，依此类推，第𝑛个等腰直角三角形的斜边长是
．
（2）如图，已知𝐴1𝐴2 = 1，∠𝑂𝐴1𝐴2 = 90∘，∠𝐴1𝑂𝐴2 = 30∘，以斜边𝑂𝐴2 为直角边作直角
三角形，使得∠𝐴2𝑂𝐴3 = 30∘，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含
30∘角的直角三角形，则Rt△𝐴2014𝑂𝐴2015 的面积为
．
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
71
典型例题4
（1）我国古代有这样一道数学问题：
“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠
绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱
体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点𝐴处缠绕
而上，绕五周后其末端恰好到达点𝐵处，则问题中葛藤的最短长度是
尺．
（2）如图，已知锐角三角形𝐴𝐵𝐶的三边长分别为5、7、8，求该三角形的面积．
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
72
模块二
模块二
运用勾股定理的几何证明
典型例题5
如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，求证：𝐴𝐵2 +𝐶𝐷2 = 𝐵𝐶2 +𝐴𝐷2．
典型例题6
如图，已知等腰△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝑃为线段𝐵𝐶上一点，
（1）求证：𝑃𝐵⋅𝑃𝐶= 𝐴𝐶2 −𝐴𝑃2．
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
73
（2）若𝑃是𝐵𝐶延长线上一点，探求𝑃𝐵⋅𝑃𝐶，𝐴𝐶，𝐴𝑃之间的关系．
典型例题7
射影定理：如图，已知Rt△𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷．
求证：𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷⋅𝐴𝐵，𝐵𝐶2 = 𝐵𝐷⋅𝐵𝐴，𝐶𝐷2 = 𝐴𝐷⋅𝐵𝐷．
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
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典型例题8
海伦—秦九韶公式：已知△𝐴𝐵𝐶三个顶点的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐．求证：三角形的面积为
𝑆= √𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)，其中𝑝为△𝐴𝐵𝐶的半周长，𝑝= 𝑎+𝑏+𝑐
2
．
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
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随堂练习
随堂练习1
若一个三角形的三边之比为5 ∶12 ∶13，且周长为60cm，则它的面积为
cm2．
随堂练习2
如图，梯子𝐴𝐵斜靠在墙面上，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝑎，当梯子的顶端𝐴沿𝐴𝐶方向下滑𝑥
米时，梯子下端的𝐵沿𝐶𝐵方向滑动𝑦米，则𝑥与𝑦的大小关系是( )
A. 𝑥= 𝑦
B. 𝑥> 𝑦
C. 𝑥< 𝑦
D. 不确定
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
1
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随堂练习3
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为9，将正方形折叠，使𝐷点落在𝐵𝐶边上的点𝐸处，折痕为
𝐺𝐻．若𝐵𝐸∶𝐸𝐶= 2 ∶1，则线段𝐶𝐻的长是
．
随堂练习4
如图，已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿着直线𝐵𝐷折叠，使点𝐶落在𝐶′ 处，𝐵𝐶′ 交𝐴𝐷于点𝐸，𝐴𝐷= 8，
𝐴𝐵= 4，求𝐷𝐸的长．
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第
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讲
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角
三
角
形
与
勾
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定
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1
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思维游戏
思维游戏——今天星期几
暑假的日子很快乐，因为不上课，所以都不记得今天是星期几
了。两个孩子想弄明白到底是星期几，因为星期六有好看的动画
片。吉米说：
“当后天变成昨天的时候，那么‘今天’距离星期天的日
子，将和前天变成明天时的那个‘今天’距离星期天的日子相同。”
（这里指距离最近的星期天）
看上去都是比较混乱的逻辑，那么今天到底星期几？他们还能
不能看上动画片？
今天是星期天，当然也就看不成星期六的动画片了。
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
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1
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“三精”习题课
第 讲
5
直角三角形与勾股定理1
进阶拓展1
频率：高
小华将一条直角边长为1 的一个等腰直角三角形纸片(如图1)，沿它的对称轴折叠1 次后
得到一个等腰直角三角形(如图2)，再将图2 的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得
到一个等腰直角三角形(如图3)，则图3 中的等腰直角三角形的一条腰长为
；
同上操作，若小华连续将图1 的等腰直角三角形折叠𝑛次后所得到的等腰直角三角形
(如图𝑛+1) 的一条腰长为
．
进阶拓展2
频率：高
如图，∠𝑀𝑂𝑁= 30∘，点𝐵1 在𝑂𝑀边上，𝑂𝐵1 = 2√3，过点𝐵1 作𝐴1𝐵1⊥𝑂𝑀交𝑂𝑁于点
𝐴1，以𝐴1𝐵1 为边在外侧作等边三角形𝐴1𝐵1𝐶1，再过点𝐶1 作𝐴2𝐵2⊥𝑂𝑀，分别交𝑂𝑀、
𝑂𝑁于点𝐵2、𝐴2，再以𝐴2𝐵2 为边在外侧作等边三角形𝐴2𝐵2𝐶2…… 按此规律进行下去，
则第3 个等边三角形𝐴3𝐵3𝐶3 的周长为
，第𝑛个等边三角形𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛的周长
为
．(用含𝑛的代数式表示)
睛
点
法
方
用到勾股定理与特殊三角形的规律探究问题，考虑特殊三角形边的数量关系后更易
求解。
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第
5
讲
直
角
三
角
形
与
勾
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定
理
1
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进阶拓展3
频率：较高
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐸为𝐴𝐶的中点，𝐷为𝐵𝐶的中点，求证：𝐴𝐷2+𝐵𝐸2 = 5
4𝐴𝐵2．
睛
点
法
方
原图在引入两条直角边中线后新产生了两个直角三角形，可利用勾股定理表达出多
个边的数量关系，从而更易进行证明。
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