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2025 年内蒙古自治区初中学业水平考试
数学
注意事项：
1．本试卷共6页，满分100分．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利 元记作 元，则亏损 元应记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2. 下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
3. 不等式组 解集在数轴上表示正确的是（ ）
的
A. B.
C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ，以原点 为位
似中心，在第三象限画 与 位似，若 与 的相似比为 ，则点 的对应
点 的坐标为（ ）
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A. B. C. D.
5. 如图， 是一个矩形草坪，对角线 ， 相交于点 ， 是 边的中点，连接 ，且
， ，则该草坪的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，直线 ，点 ， 分别在直线 ， 上，连接 ，以点 为圆心，适当长为半径
画弧．交射线 于点 ，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧
（两弧半径相等），两弧在 的内部相交于点 ，画射线 交 于点 ，若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
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7. 在闭合电路中，通过定值电阻的电流 （单位：A）是它两端的电压 （单位： ）的正比例函数，
其图象如图所示，当该电阻两端的电压为 时，通过它的电流为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. 当 时， D. 当 时，
二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分）
的
9. 在单词 （班级）中随机选择一个字母，则选中字母“ ” 概率是________．
10. 冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿
根大串和 根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________．
11. 如图，因地形原因，湖泊两端 ， 的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无
人机上升并飞行至距湖面 的点 处．从 点测得 点的俯角为 ，测得 点的俯角为 （ ， ，
三点在同一竖直平面内），则湖泊两端 ， 的距离为________ （结果保留根号）．
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12. 如图，在菱形 中， ，对角线 的长为 ， 是 的中点， 是 上一点，
连接 ．若 ，则 的长为________．
三、解答题（共6小题，共64分）
.
13 计算：
（1） ；
（2） ．
14. 每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结
果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
A B C D E
分组
人数（频数） 2 8 14 12 4
请根据所给信息，解答下列问题：
的
（1）这40名学生视力 中位数落在哪个组内?
（2）该校八年级共有500名学生．
①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在 范围内的人数；
②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在 范围内的人数为263人．如果你是该
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校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在 范围内的人数变化情况，并为学校提
一条保护学生视力的合理化建议．
15. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的
苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手
平均 秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25
个．
（1）求 的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械
手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个?
16. 如图， 是 的直径，半径 ，垂足为 ， ， 是 延长线上一点，连接 ，
交 于点 ，连接 ， ．过点 作 的切线，切点为 ，交 的延长线于点 ．
（1）求 的长；
（2）求 的度数；
（3）求 的值．
17. 问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
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外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线 ，中间的矩形 和下方的抛物线 组
成．抛物线 的高度为 ，矩形 的边 ， ，抛物线 的高度为 ．在装
置内部安装矩形电子显示屏 ，点 ， 在抛物线 上，点 ， 在抛物线 上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形 的顶点 为原点，以 边所在的直线为 轴，以 边所在的直线为 轴．
建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出 ， ， 三点的坐标；
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（2）直接写出抛物线 和 的顶点坐标，并分别求出抛物线 和 的函数表达式；
（3）为满足矩形电子显示屏 的空间要求，需要 边的长为 ，求此时 边的长．
18. 如图， 是一个平行四边形纸片， 是一条对角线， ， ．
（1）如图1，将平行四边形纸片 沿 折叠，点 的对应点落在点 处， 交 于点 ．
①试猜想 与 数的量关系，并说明理由；
②求 的面积；
（2）如图2，点 ， 分别在平行四边形纸片 的 ， 边上，连接 ，且 ，将
平行四边形纸片 沿 折叠，使点 的对应点 落在 边上，求 的长．
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