文档文本内容
绝密★启用前
2002 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
考生注意：
1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。
2. 本试卷共有22 道试题，满分150 分，考试时间120 分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案直
接写在试卷上。
一. 填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，
否则一律得零分。
1. 若
（i 为虚数单位），则
。
2. 已知向量
的夹角为
，且
= 。
3. 方程
的解x= 。
4. 若正四棱锥的底面边长为
,体积为
，则它的侧面与底面所成的二面角的大小
是 。
5. 在二项式
和
的展开式中，各项系数之和分别记为
、
，n 是正整数，
则
= 。
6. 已知圆
和圆外一点
，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的
正切值是 。
7. 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9 名增至
14 名，但只任取其中7 名裁判的评分作为有效分，若14 名裁判中有2 人受贿，则有效分中没
有受贿裁判的评分的概率是 （结果用数值表示）
8. 抛物线
的焦点坐标是 。
9.某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天。
工序
a
b
c
d
e
f
紧前工序
—
—
a、b
c
c
d、e
工时数（天）
2
3
2
5
4
1
10. 设函数
，若
是偶函数，则t 的一个可能值是 。
11. 若数列
中，
（n 是正整数），则数列的通项
。
12. 已知函数
（定义域为D，值域为A）有反函数
，则方程
有
解x=a，且
的充要条件是
满足 。
二. 选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，
其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，
不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13. 如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
14. 已知直线
、m，平面
、
，且
，给出下列四个命题。
（1）若
（2）
（3）若
，则
（3）若
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
15. 函数
的大致图象是（ ）
16. 一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（
）有一定的关系。图（1）表示某年12 个月中每
月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于
该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确是（ ）。
A. 气温最高时，用电量最多
A. 气温最低时，用电量最少
C. 当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加。
D. 当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加。
三. 解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17.（本题满分12分）
如图，在直三棱柱
中，
，
，D 是线
段
的中点，P 是侧棱
上的一点，若
，求
与底面
所成角的大小。
（结果用反三角函数值表示）
18. （本题满分12 分）
已知点
，动点C 到A、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹
与直线
交于D、E 两点，求线段DE 的长。
19. （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分。
已知函数
（1）当
时，求函数
的最大值与最小值。
（2）求实数a 的取值范围，使
在区间
上是单调函数。
20. （本题满分14 分）本题共有2个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分10 分。
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内
消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围
[200,400)
[400,500)
[500,700)
[700,900)
…
获得奖券的金额（元）
30
60
100
130
…
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400 元的
商品，则消费金额为320 元，获得的优惠额为：
（元），设购买商品得到
的优惠率
。试问：
（1）若购买一件标价为1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在
（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小
于
的优惠率？
21. （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题
满分6 分。
已知函数
的图象过点
和
。
（1）求函数f(x)的解析式。
（2）记
，n 是正整数，
是数列
的前n 项和，解关于n 的不等式
；
（3）对于（2）中的
与
，整数96 是否为数列
中的项？若是，则求出相应的项
数；若不是，则说明理由。
22. （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分8 分。
规定
，其中
，m 是正整数，且
，这是组合数
（n,m 是正整数，且
）的一种推广。
（1）求
的值。
（2）设x>0，当x 为何值时，
取得最小值？
（3）组合数的两个性质：
①
；②
是否都能推广到
（
，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给
出证明；若不能，则说明理由。
答案要点
说明：
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评
分标准的精神进行评分。
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，
当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容
和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，
如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一. （第1 题至12 题）
1.
2. 13
3. -1
4.
5.
6.
7.
8. （0，1） 9.11 10.
11.
12.
,且
的图象在直线
的下方，且与y 轴
的交点为
。
二. （第13 题至16 题）
13. D
14. B
15. C
16. C
三. （第17 题至第22 题）
17. [解法一]
如图,以
点为原点建立空间直角坐标系
由题意，有
设
，则
因为
因为
平面AOB
是OP 与底面AOB 所成的角
[解法二]取
中点E，连结DE、BE，则
平面
是BD 在平面
内的射影。
又因为
由三垂线定理的逆定理，得
在矩形
中，易得
得
（以下同解法一）
18. [解] 设点C（x,y），则
根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线
由
故点C 的轨迹方程是
由
，得
因为
，所以直线与双曲线有两个交点。
设
、
，
则
故
19. [解] （1）当
时
时，
的最小值为1
时，
的最大值为37。
（2）函数
图象的对称轴为
因为
在区间
上是单调函数。
故
的取值范围是
或
20. [解] （1）
（2）设商品的标价为x 元
则
，消费额：
由已知得（I）
或（II）
不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为
因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于
的优惠率。
21. [解] （1）由
，
得
故
（2）由题意
由
得
，即
故
（3）
，
，
，
当
时，
当
时，
因此，96 不是数列
中的项。
22. [解] （1）
（2）
因为
当且仅当
时，等号成立。
当
时，
取得最小值。
（3）性质（1）不能推广。
例如当
时，
有定义，但
无意义；
性质(2)能推广，它的推广形式是
，m 是正整数，事实上
当m=1 时，有
当
时，
[证明]（3）当
时，组合数
当
时，
当x<0 时，
