文档文本内容
2021年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名.考生号.考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷
类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑
：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写
再写
再写
再写
再写
再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 设集合
2
4
A
x
x
，
2,3,4,5
B
，则A
B
（ ）
A.
2
B.
2,3
C.
3,4
D.
2,3,4
2. 已知
2
i
z
，则
i
z z
（ ）
A. 6
2i
B. 4
2i
C. 6
2i
D. 4
2i
3. 已知圆锥的底面半径为
2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 2
B. 2 2
C. 4
D. 4 2
4. 下列区间中，函数
7sin
6
f
x
x
单调递增的区间是（ ）
A.
0, 2
B.
,
2
π π
C.
3
, 2
D.
3 ,2
2
5. 已知
1F ，
2
F 是椭圆C ：
2
2
1
9
4
x
y
的两个焦点，点M 在C 上，则
1
2
MF
MF
的最大值为（ ）
A. 13
B. 12
C. 9
D. 6
6. 若tan
2
，则
sin
1 sin 2
sin
cos
（ ）
A
.
6
5
B.
2
5
C.
2
5
D.
6
5
7. 若过点
,a b 可以作曲线
ex
y
的两条切线，则（ ）
A. eb
a
B. ea
b
C. 0
eb
a
D. 0
ea
b
8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事
件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的
数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据
1x ，
2x ，…，
nx ，由这组数据得到新样本数据
1y ，
2y ，…，
ny ，其中
i
i
y
x
c
(
1,2,
, ),
i
n c
为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据
的
样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
10. 已知O 为坐标原点，点
1 cos ,sin
P
，
2 cos
, sin
P
，
3 cos
,sin
P
，
1,0
A
，则（ ）
A.
1
2
OP
OP
B.
1
2
AP
AP
C.
3
1
2
OA OP
OP OP
D.
1
2
3
OA OP
OP OP
11. 已知点P 在圆
2
2
5
5
16
x
y
上，点
4,0
A
、
0,2
B
，则（ ）
A. 点P 到直线AB 的距离小于10
B. 点P 到直线AB 的距离大于2
C. 当
PBA
最小时，
3 2
PB
D. 当
PBA
最大时，
3 2
PB
12. 在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
AB
AA
，点P 满足
1
BP
BC
BB
，其中
0,1
，
0,1
，则（ ）
A. 当
1
时，
1
AB P
△
的周长为定值
B. 当
1
时，三棱锥
1
P
A BC
的体积为定值
C. 当
1
2
时，有且仅有一个点P ，使得
1A P
BP
D. 当
1
2
时，有且仅有一个点P ，使得
1A B 平面
1
AB P
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数
3
2
2
x
x
x
a
f x
是偶函数，则a ______.
14. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：
2
2
y
px
(
0
p
)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q
为x 轴上一点，且PQ
OP
，若
6
FQ
，则C 的准线方程为______.
15. 函数
2
1
2ln
f x
x
x
的最小值为______.
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
20dm 12dm
的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm
，20dm 6dm
两种规格的图形，它们的面
积之和
2
1
240dm
S
，对折2次共可以得到5dm 12dm
，10dm 6dm
，20dm 3dm
三种规格的图形，
它们的面积之和
2
2
180dm
S
，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对
折n 次，那么
1
n
k
k
S
______
2
dm .
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出
写出
写出
写出
写出
写出文字说明.证明过程或演算步骤.
17. 已知数列
na
满足
1
1
a
，
1
1,
,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
为奇数
为偶数
（1）记
2
n
n
b
a
，写出
1b ，
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
（2）求
na
的前20项和.
18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并
从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一
个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B
类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回
答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；
（2）为使累计得分
的
期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19. 记ABC
是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知
2
b
ac
，点D 在边AC 上，
sin
sin
BD
ABC
a
C
.
（1）证明：BD
b
；
（2）若
2
AD
DC
，求cos
ABC
.
20. 如图，在三棱锥A
BCD
中，平面ABD 平面BCD ，AB
AD
，O 为BD 的中点.
（1）证明：OA
CD
；
（2）若OCD
是边长为1
的
等边三角形，点E 在棱AD 上，
2
DE
EA
，且二面角E
BC
D
的大小为
45，求三棱锥A
BCD
的体积.
21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
17,0
F
、
2
1
2
17,0
2
F
MF
MF
，点M 的轨迹为C .
（1）求C 的方程；
（2）设点T 在直线
1
2
x
上，过T
的
两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q两点，且
TA TB
TP TQ
，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
22. 已知函数
1 ln
f x
x
x
.
（1）讨论
f x 的单调性；
（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln
ln
b
a
a
b
a
b
，证明：
1
1
2
e
a
b
.
