文档文本内容
1.2 常用逻辑用语
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇏ p
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇏q 且q⇏ p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中的任意一个x,有p(x)成立
存在M 中的元素x,p(x)成立
简记
∀
x ∈
M
, p ( x )
∃x∈M,p(x)
否定
∃x∈M, ¬p(x)
∀
x ∈
M
, ¬p ( x )
考点一 充分、必要条件的判定
考点二 充分、必要条件的应用
考点三 含量词命题的否定及真假判断
考点四 含量词命题的应用
考点一 充分、必要条件的判定
1．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m 和平面
，若
，则“l 与m 不相交”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断.
【详解】当直线l 与平面
相交，且交点不在直线m 上时，满足“l 与m 不相交”，
但“
”不成立，故充分性不成立；
若
，则与
无交点，所以“l 与m 不相交”，故必要性成立；
所以“l 与m 不相交”是“
”的必要非充分条件.
2．（2026·山东枣庄·三模）已知向量
与
均为非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中
的条件是
为
非零向量.
【详解】若
，因为向量
与
均为非零向量，则存在非零实数
，使得
，
所以
，
因为
与
均为非零向量
的倍数，
所以
与
共线，即
，充分性成立.
若
，当
时，
，所以
；
当
时，存在实数
，使得
，所以
，
假设
，则
，
，与
为非零向量矛盾，所以假设不成立，
，
所以
，因为
为非零向量，所以
共线，即
，所以必要性成立.
综上，“
”是“
”的充要条件.
3．（2026·河南开封·模拟预测）“
”是“函数
为奇函数”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求函数定义域后分析函数为奇函数的条件，最后根据充分、必要条件判断即可
【详解】由
，解得
,即函数
的定义域为
，关于原点对称，
令
，因为
，所以
为奇函数.
此时
，则
，
若
为奇函数，则
，即
，
因为
不恒为0，所以
对所有
成立，展开得
，即
.
若
，则
,
,则
为奇函数.
故“
”是“函数
为奇函数”的充要条件.
4．（2026·天津东丽·二模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分性与必要性定义，结合函数
的定义域与单调性判断即可得.
【详解】若
，此时
、
无意义，故充分性不成立；
若
，由函数
在定义域内单调递增，故
，即必要性成立；
故“
”是“
”的必要不充分条件.
考点二 充分、必要条件的应用
5．（2026·福建泉州·模拟预测）“函数
在区间
内存在最小值”的充分不必要条件可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用导数求出
的单调性和极值点，结合题意，分析可得a 的范围，根据充分、必要条件的定义，结
合选项，分析即可得答案.
【详解】由题意
，令
，解得
或
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以
的极小值为
，
因为
区间
内存在最小值，所以极小值点0 在区间
内，
则
，解得
，
令
，解得
，或
，
所以
，解得
，
综上，函数
在区间
内存在最小值时
，
要满足“函数
在区间
内存在最小值”的充分不必要条件，
即所求为
的真子集，
分析选项可得，只有
符合题意.
6．（23-24 高三上·河南南阳·期中）已知
，
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值
范围是________．
【答案】
【分析】先求出
，
对应的集合，由题设可得
，
，进而得到
是
的
真子集，根据包含关系求解即可.
【详解】由
，则
，
由
，则
，即
，
因为
是
的必要不充分条件，所以
，
，
则
是
的真子集，
则
，等号不能同时成立，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
7．（25-26 高三上·山东德州·月考）已知
，
，若
是
的必要不充分条件，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
是
的必要不充分条件，可得
是
的真子集，再分
，
和
三种情况讨论，求出
集合
，根据集合的包含关系即可得解.
【详解】由
，得
或
，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
是
的真子集，
当
时，
，符合题意；
当
时，
，
因为
是
的真子集，所以
，解得
；
当
时，
，
因为
是
的真子集，所以
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：C.
8．（25-26 高三上·河南南阳·开学考试）已知集合
，
．
(1)若
且
，求实数
的取值范围；
(2)设
，
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据元素与集合的关系可得关于
的不等式，故可求其范围；
（2）根据条件关系的集合的包含关系，从而可得关于
的不等式，故可求其范围.
【详解】（1）因为
且
，故
，故
.
（2）
，
因为
是
的必要不充分条件，故
为
的真子集，
而
，故
且
即
.
9．（25-26 高三上·广东江门·期中）若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可.
【详解】依题意知：
，
，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
⫋
，所以
，解得
.
故选：C
10．（25-26 高三上·山西·月考）已知集合
，
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)设
，
，若
是
成立的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
的取值范围为
；
(2)
的取值范围是
.
【分析】（1）化简集合
，由
推出
，对集合
是否为
分类讨论，求解即得；
（2）由必要不充分条件可得
是
的真子集，列出不等式组，求解即得.
【详解】（1）不等式
可化为
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
，
所以不等式
的解集为
，
所以
，
由
，可得
，
因为
，
当
时，
，解得
，满足题意；
当
时，则
，解得
，
综上，
，故实数
的取值范围为
.
（2）由题意可得，
是
的必要不充分条件，故
是
的真子集，
又
，
，
则
，解得
，故实数
的取值范围是
．
考点三 含量词命题的否定及真假判断
11．（2026·吉林·三模）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定定义写出.
【详解】命题“
，
”为全称量词命题，
其否定为：
，
.
12．（2026·湖南长沙·一模）已知命题:
，
，则该命题的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据命题的否定判断即可.
【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：
.
13．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题
，则命题
的真假以及否定分别为（ ）
A．真，
B．真，
C．假，
D．假，
【答案】B
【分析】根据命题的真假判断即可.
【详解】
，故命题
为真．
又
，
．
14．（25-26 高三上·广东广州·月考）已知命题
，
；命题
，
，则（ ）
A．p 真q 真
B．p 真q 假
C．p 假q 真
D．p 假q 假
【答案】C
【分析】分别判断命题
和命题
的真假即可.
【详解】
，
，所以命题
为假命题；
，都有
，命题
为真命题.
故选：C
15．（25-26 高三上·辽宁·月考）设命题
，则
的真假性与否定形式分别为（ ）
A．假命题，
B．真命题，
C．假命题，
D．真命题，
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用导数判断单调性就可判断命题的真假性；命题的否定将存在量词改成全称量词，并
否定结论即可得到.
【详解】由题意得，设
，
，则
，
当
时，
，
，
，
在
上单调递增，
又
，当
时，
，即
，
，
不存在
，使得
，故命题
为假命题，
根据命题的否定形式，将存在量词
改成全称量词
，并否定结论即可.
故选：
.
考点四 含量词命题的应用
16．（2026 高三上·福建厦门·专题练习）若命题p：“
，
”是假命题，命题q：
，
是真命题，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据命题真假判断方程解求
的范围，再结合不等式求
的范围，最终取交集即可.
【详解】因为命题p：“
，
”是假命题，
所以命题p 的否定“
，
”是真命题，
则方程
无解，即
，解得
；
又因为命题q：
，
是真命题，所以
，
对任意
恒成立，故
应小于等于
在
的最小值，
当
时
最小值为
，即
综上所述，实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
17．（25-26 高三上·辽宁·期末）已知命题
，
为假命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据命题的否定及不等式恒成立问题即可求解.
【详解】由题意可转换为
，
，
当
时，
，符合题意；
当
时，由恒成立知
，得
，
综上：
的取值范围是
.
故选：C.
18．（25-26 高三上·云南昆明·月考）已知命题
为真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分
和
两种情况讨论，结合一元二次不等式的解集可求得实数
的取值范围.
【详解】因为命题
为真命题，
所以不等式
的解集为
，
若
，则不等式可化为
，满足题意；
若
，则根据一元二次不等式解集的形式可知：
，
解得
，综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：D.
19．（2026·福建·一模）若实数
使得命题：“
，使得
，均有
”是假命题，
则
的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于
的方程，利用判别式得到关于
的不
等式，最后分
和
两种情况分析，确定
的取值范围.
【详解】由题意可知，原命题的否命题：“
，使得
”是真命题．
所以对任意实数，方程
都有实数解
．
故而
对任意固定的实数都有解．
即关于
的不等式
对任意固定的实数都有解．
对不等式
分情况讨论：
.
①若
,即
.当
时,不等式为
,对任意显然有解.
当
时,关于
的二次函数
开口向上,
其值域包含正数,故对任意,总存在
使得
.所以
符合题意.
.
②若
,即
.关于
的二次函数
开口向下,
其最大值为
.
要使不等式
对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负,
即
对任意恒成立,这显然是不可能的.故
不符合题意.
因此，
的取值范围是
．
故答案为：
20．（25-26 高三上·河南商丘·月考）已知命题p：“
，
”为假命题，记实数t 的所有取
值组成集合A．
(1)求集合A；
(2)设集合
，若
是
的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
或
．
(2)
【分析】（1）
为假命题时，既可转化为关于
的一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）若
是
的必要不充分条件可得
，然后分
为空集和非空集两种情况讨论即可.
【详解】（1）由题意可知
为假命题时，关于x 的方程
无解，
则
，即
，解得
或
，故集合
或
．
（2）因为
是
的必要不充分条件，所以
，
易知
，所以
或
，
解得
或
，
故实数m 的取值范围为
．
1．（2026·重庆·模拟预测）已知
：
，
：
，若
是
的既不充分又不必要条件，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解
，得
，
因为
是
的既不充分又不必要条件，所以
和
互不包含，
所以
，所以
的取值范围是
.
2．（2026·天津北辰·二模）已知m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，若
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用充分条件与必要条件定义，结合直线与平面的位置关系判断即可得.
【详解】由
，
，若
，则
与
可能平行也可能相交；
由
，
，若
，则
与
可能平行、可能异面也可能相交；
故“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
3．（2026·四川达州·二模）已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】当
时，向量
，
，则
，即
,故充分性成立；
当
时，满足
,即
，解得：
或
,所以必要性不成立；
所以“
”是“
”的充分不必要条件
4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“
，
”的否定为
，
.
5．（25-26 高三上·陕西西安·期中）命题
，
的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】命题
，
的否定是
：
，
.
6．（25-26 高三上·辽宁·月考）设命题
，
，则
的真假性与否定形式分别为（ ）
A．假命题，
，
B．真命题，
，
C．假命题，
，
D．真命题，
，
【答案】C
【分析】根据指数函数和余弦函数的值域，先判断命题的真假，再写出其否定形式即可.
【详解】易得
时，
，故
为假命题，
由存在量词命题的否定为全称量词命题可得
，
.
故选：C.
7．（23-24 高三上·江苏南京·阶段检测）若
，使得
成立是假命题，则实数
可能取值是
（ ）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】A
【分析】由题意得到
，
成立是真命题，转化为
在
上恒成立，由基本不
等式得到
，从而得到
，从而求出答案．
【详解】由题意得：
，
成立是真命题，
故
在
上恒成立，
由基本不等式得：
，当且仅当
，
即
时，等号成立，
故
，
故选：A．
8．（25-26 高三上·河北邯郸·阶段检测）已知
，
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意，
是
的子集，利用子集思想求解即可.
【详解】
是
的必要不充分条件，则
是
的子集，
又因为
，
或
，所以
.
故选：C.
9．（2026·山东泰安·模拟预测）若
，下列选项中，使
成立的充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解不等式
，得
，
则不等式
的解集为
，
记使不等式
成立的充分不必要条件为集合
，
则集合
为集合
的真子集，
所以集合
.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）若
，则
成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论
【详解】A 选项，若
，则
，
若
，则
，若
，则
，所以
，充分性成立，
若
，不妨设
，但不满足
，必要性不成立，A 正确；
B 选项，若
，不妨设
，此时
，充分性不成立，B 错误；
C 选项，若
，则
，充分性成立，
当
时，
无意义，必要性不成立，C 正确；
D 选项，若
，则
，当
时，
，
故
为
成立的充分必要条件，D 错误.
11．（25-26 高三上·新疆哈密·期中）（多选）若“
”是“
”的充分不必要
条件，则实数
可以是（ ）
A．-7
B．-3
C．3
D．7
【答案】ACD
【分析】解一元二次不等式，结合充分不必要的定义列式求解即可.
【详解】
，即
，解得
，
，即
，
解得
或
，
因为“
”是“
”的充分不必要条件，
所以
是
的真子集，
所以
或
，即
或
.
故选：
.
12．（25-26 高三上·陕西西安·月考）（多选）已知集合
，
，若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的可能取值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】由题意可得根据题意推出
是A 的真子集，分
，
讨论，即可求得实数
的可能取值范围，从
而得结论．
【详解】由题意集合
，
，
因为“
”是“
”的必要不充分条件，故
是A 的真子集，
当
时，则
，即
时，符合题意，
当
时，则
，所以
，
综上，实数
的范围为
，结合选项可知AB 符合题意.
故选：AB．
13．（25-26 高三上·广东梅州·月考）已知“
”是“
”的充分不必要条件，则实数
的取值
范围为______．
【答案】
．
【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可.
【详解】由题可得：
，
，
因为“
”是“
”的充分不必要条件，则集合
是集合
的真子集；
所以
，解得：
，
检验：
时，
，满足条件；
时，
，满足条件；
所以综上，实数
的取值范围为：
；
故答案为：
14．（25-26 高三上·福建龙岩·月考）已知命题
，使得
为假命题，则实数
的取值范围是
__________.
【答案】
【分析】利用命题的否定为真命题，分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，即可求得实数
的取值范围.
【详解】因为命题
，使得
为假命题，
所以命题
，使得
为真命题，
即
恒成立，即
.
令
，则
.
若
，则
.
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
所以当
时，
取得极小值，即最小值，最小值为
.
所以实数
的取值范围是：
.
故答案是：
.
15．（25-26 高三上·内蒙古包头·阶段检测）（1）若“
，使得
”是假命题，求实数m 的取值
范围；
（2）设集合
，若
，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）先求出真命题，然后根据二次函数的性质求解即可；
（2）分
和
两种情况讨论，分别求出对应的
的范围，然后取并集即可.
【详解】（1）因为“
，使得
”是假命题，
所以其否定为“
，使得
”是真命题，
所以
，解得
，
（2）若
，当
时，有
，解得
;
当
时，如图，
或
有
或
，
解得
或
，
综上可得，
或
.
16．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）设命题
，不等式
恒成立;命题
.
(1)若
为真命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
、
有且只有一个是真命题，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
或
.
【分析】（1）对
进行分类讨论，由此列不等式来求得
的取值范围.
（2）根据
真
假或
假
真，列不等式来求得
的取值范围.
【详解】（1）对于命题
，不等式
恒成立，
当
时，
恒成立.
当
时，则需
，解得
.
综上所述，
的取值范围是
.
（2）由
得
，
所以
，解得
.
若
真
假，则“
”且“
或
”，则
.
若
假
真，则“
或
”且“
”，则
.
综上所述，
的取值范围是
或
.
