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专题 1.2 常用逻辑用语
一、单项选择题
1、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)命题“对任意 ，都有 ”的否定是( )
A．对任意 ，都有 B．对任意 ，都有
C．存在 ，使得 D．存在 ，使得
【答案】D
【解析】命题“对任意 ，都有 ”的否定是存在 ，使得 .
故选：D.
2、(2020年高考天津)设 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故选A．
3、(2020届山东实验中学高三上期中)命题:“ ”的否定为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题“ ”是全称命题，则命题的否定是特称命题
即 ，
故选： ．4、(2020·云南省玉溪第一中学高二期末(理))“ ”是“ ”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
时， 成立，故是充分的，又当 时，即 ， ，故是必要
的的，因此是充要条件．故选A．
5、(2019年高考天津理数)设 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 可得 ，由 可得 ，
易知由 推不出 ，
由 能推出 ，
故 是 的必要而不充分条件，
即“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选B.
6、(2020届山东省泰安市高三上期末)“ ”是“ ， ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】必要性：设 ，当 时， ，所以 ，即 ；
当 时， ，所以 ，即 .故 或 .
充分性：取 ，当 时， 成立.
答案选A7、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 解得 ，所以由“ ”能推出“ ”，反之，不能推出；
因此“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
8、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)已知 ，则“ ”是“直线 和直线
垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线 和直线 垂直，
则 ，解得 或 ，
所以，由“ ”可以推出“直线 和直线 垂直”，
由 “直线 和直线 垂直”不能推出“ ”，
故“ ”是“直线 和直线 垂直”的充分不必要条件，
故选：A.
9、(2020年高考浙江)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相
交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】依题意， 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而
，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选B.
10、(2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初)已知等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“
”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等比数列 公比为 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选:C.
11、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)设 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C
【解析】
由 得， ，所以是充分条件；
由 可得 ，所以是必要条件，
故“ ”是“ ”的充要条件．答案选C．
12、(2020年高考北京)已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或
，
亦即存在 使得 ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选C．
二、 多选题
13、(2020届山东省济宁市高三上期末)下列命题中的真命题是( )A． B．C． D．
【答案】ACD
【解析】A. ，根据指数函数值域知 正确；
B. ，取 ，计算知 ， 错误；
C. ，取 ，计算 ，故 正确；
D. ， 的值域为 ，故 正确；
故选：
14、(2019秋•宁阳县校级期中)若 是 的充分不必要条件，则实数 的值可以是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】：由 ，解得 ．
又 是 的充分不必要条件，
， ， ，则 ．
实数 的值可以是2，3，4．
故选： ．
15、(2019·山东高三月考)下列判断正确的是( )
A．若随机变量 服从正态分布 ， ，则 ；
B．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件；
C．若随机变量 服从二项分布： ,则 ；
D． 是 的充分不必要条件.【答案】ABCD
【解析】A．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P(ξ＞4)
＝1﹣0.79＝0.21，P(ξ≤﹣2)＝P(ξ＞4)＝0.21，故A正确；
B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．
若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．
∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对；
C．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B(4， )，则Eξ＝4×0.25＝1，故C对；
D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D对；
故选：ABCD．
16、(2019秋•泰安期末)下列选项中， 是 的必要不充分条件的是
A． ； ：方程 的曲线是椭圆
B． ； ：对 ， 不等式 恒成立
C．设 是首项为正数的等比数列， ：公比小于0； ：对任意的正整数 ，
D．已知空间向量 ，1， ， ，0， ， ； ：向量 与 的夹角是
【答案】
【解析】： ，若方程 的曲线是椭圆，
则 ，即 且 ，
即“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的必要不充分条件；
， ， 不等式 恒成立等价于 恒成立，等价于 ；
“ ”是“对 ， 不等式 恒成立”必要不充分条件；
是首项为正数的等比数列，公比为 ，当 ， 时，满足 ，但此时 ，则 不成立，即充分性不成
立，
反之若 ，则
， ，即 ，
则 ，即 成立，即必要性成立，
则“ ”是“对任意的正整数 ， ”的必要不充分条件．
：空间向量 ，1， ， ，0， ，
则 ，
， ，
解得 ，
故“ ”是“向量 与 的夹角是 ”的充分不必要条件．
故选： ．
17、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)下列判断正确的是( )
A．若随机变量 服从正态分布 ， ，则 ；
B．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件；
C．若随机变量 服从二项分布： ,则 ；
D． 是 的充分不必要条件.
【答案】ABCD
【解析】A．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P(ξ＞4)
＝1﹣0.79＝0.21，P(ξ≤﹣2)＝P(ξ＞4)＝0.21，故A正确；
B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．
∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对；
C．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B(4， )，则Eξ＝4×0.25＝1，故C对；
D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D对；
故选：ABCD．
三、填空题
18、(2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟)命题“ ”的否定是______．
【答案】 ，
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 ，
则该命题的否定是： ，
故答案为： ， ．
19、.(2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟)“ ”是“ ”的
__________条件.(填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)
【答案】充分不必要
【解析】由 ,所以 或
,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
20、(2020届山东实验中学高三上期中)设命题 ，命题 ，若
是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_____________．【答案】
【解析】
由题意得， ，解得 ，所以 ，由 ，解得
，即 ，要使得 是 的充分不必要条件，则 ，解得 ，所
以实数 的取值范围是 ．
21、(2020届山东省潍坊市高三上期中)“ ， ” 为假命题，则实数 的最大值为
__________．
【答案】
【解析】由“ ， ”为假命题，可知，“ ， ”为真命题，
恒成立，
由二次函数的性质可知， ，
则实数 ，即 的最大值为 ．
故答案为： .
22、(2018年高考北京理数)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2］都成立，则f(x)在［0，2］上是增函
数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】 (答案不唯一)
【解析】对于 ，其图象的对称轴为 ，则f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2］都成立，
但f(x)在［0，2］上不是单调函数.
四、解答题
23、(江苏金沙中学期中)已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，求实数a的取
值范围．
【解析】 ∵函数f(x)＝a2x－2a＋1，命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，
∴原命题的否定是：
“ x∈(0，1)，使f(x)＝0”是真命题，
∴∃f(1)f(0)＜0，于是有(a2－2a＋1)(－2a＋1)＜0，即(a－1)2(2a－1)>0，
解得a>，且a≠1，∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
24、(南京一中月考)若命题：“存在实数x使不等式x2＋a|x|＋1＜0成立”是假命题，求实数a的取值范围．
【解析】 ∵命题：“存在实数x，使不等式x2＋a|x|＋1＜0成立”是假命题，∴命题：“对一切实数x，
使不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立”是真命题．
(方法1)当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立；当x≠0时，不等式可以转化为－a≤，即－a≤对一切不为
0的实数x恒成立，
∴－a≤ .
min
∵|x|＋≥2＝2，当且仅当|x|＝⇒x＝±1时取等号，∴ ＝2.
min
∴－a≤2，即a≥－2.故得实数a的取值范围是[－2，＋∞)．
(方法2)由x2＋a|x|＋1≥0，得|x|2＋a|x|＋1≥0，令t＝|x|≥0，则问题转化为对一切t≥0，不等式t2＋at＋1≥0.令
f(t)＝t2＋at＋1(t≥0)，则问题等价于f(t) ≥0.
min
而f(t)＝t2＋at＋1＝(t＋)2＋1－(t≥0)．
当－≤0，即a≥0时，f(t)在[0，＋∞)上单调递增，f(t)＝t2＋at＋1≥f(0)＝1>0成立；
当－>0，即a＜0时，当且仅当t＝－时，f(t)在[0，＋∞)上取得最小值f(t) ＝1－.
min
此时，应有 ⇒－2≤a＜0.综上，实数a的取值范围是[－2，＋∞)．
25、(2020·山东省青岛二中高一期末)已知 ,
,若 是 的必要不充分条件,求实数 的取值范围.【解析】解出 ，
因为 是 的必要不充分条件，所以B是A的真子集.
所以
故答案为：
26、已知函数f(x)＝3x2＋2x－a2－2a，g(x)＝x－，若对任意x∈[－1,1]，总存在x∈[0,2]，使得f(x)＝g(x)
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成立，求实数a的取值范围．
【解析】 f(x)＝3x2＋2x－a(a＋2)，则f′(x)＝6x＋2，由f′(x)＝0得x＝－.
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0，
所以[f(x)] ＝f＝－a2－2a－.
min
又由题意可知，f(x)的值域是的子集，
解得实数a的取值范围是[－2,0]．
27、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)非空集合 ，集合
(Ⅰ)当 时，求 ；
(Ⅱ)命题 ： ，命题 ： ，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】(I) ；(Ⅱ)
【解析】
(I)当 时， ；
；故 .
(Ⅱ) .
.
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ 是 的必要条件，∴ .
①当 时， ，
，不符合题意；
②当 时， ，
，要使 ，
需要
∴ .
③当 时， ，
，要使 ，
需要
∴ .综上所述，实数 的范围是 .
