文档内容
§1.2 常用逻辑用语
考试要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性
质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确
对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒⇏ p
p是q的充要条件
⇏
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
⇏ ⇏
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”
表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ∀ x ∈ M ， p ( x ) ∃ x ∈ M ， p ( x )
否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x )
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；
(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．( √ )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．( √ )
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.( √ )
(4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．( × )
教材改编题
1．命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是( )
A．∃x∈R，ex－1≥x B．∀x∈R，ex－1≤x
C．∃x∈R，ex－10 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1
C．∃x∈R，2x<0 D．∃x∈R，tan x＝2
答案 BD
解析 当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；
当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；
因为2x>0，所以C选项错误；
因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确．
3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
答案 (3，＋∞)
解析 因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，
由图可知m>3.
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“>1”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a>b>0，得>1，反之不成立，
如a＝－2，b＝－1，满足>1，但是不满足a>b>0，
故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件．
(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a}的公比为q，前n项和为S.设甲：q>0，乙：{S}是递增数
n n n
列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
解析 当a<0，q>1时，a ＝aqn－1<0，此时数列{S}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．
1 n 1 n
当数列{S}单调递增时，有S －S ＝a ＝aqn>0，若a>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若
n n＋1 n n＋1 1 1
a<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
1
思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围
的推断问题．
跟踪训练1 (1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，
所以cos〈a，b〉＝1，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝0，
所以a与b共线，
当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，
所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件．
(2)(多选)已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必
要条件是( )
A．0<< B．a2>b2
C．ln a>ln b D．2a>2b答案 AC
解析 由题设知4m－1＝1，可得m＝，故f(x)＝，
所以，要使f(a)>f(b)，则>，即a>b≥0.
0<<⇔a>b>0，A符合题意；
ln a>ln b⇔a>b>0，C符合题意；
B，D选项中a，b均有可能为负数，B，D不符合题意．
题型二 充分、必要条件的应用
例2 在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈
∁R
A”是“x∈
∁R
B”的
必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－11，都有＝x
C．∀x∈R，ln(x－1)2≥0
D．∃x∈R，ln x≥x－1
答案 AD
解析 当x≥0时，0<≤1，故A项是真命题；
当n为偶数，且x<0时，＝－x ，故B项是假命题；
当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题；
当x＝1时，ln x≥x－1，故D项是真命题．
命题点3 含量词命题的应用
例5 若“∃x∈，sin x0，
解得a>3或a<－1，
故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
课时精练
1．(2023·上饶模拟)“x2>2 021”是“x2>2 022”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若x2>2 022，因为2 022>2 021，故x2>2 021，
故“x2>2 022”可以推出“x2>2 021”，
取x2＝2 021.5，则满足x2>2 021，但x2>2 022不成立，
所以“x2>2 021”不能推出“x2>2 022”，
所以“x2>2 021”是“x2>2 022”的必要不充分条件．
2．已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为( )
A．∀x∉Q，都有x∉N B．∃x∉Q，使得x∈N
C．∀x∈Q，都有x∈N D．∃x∈Q，使得x∈N
答案 C
解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以由p：∃x∈Q，使得x∉N，
得綈p：∀x∈Q，都有x∈N.
3．已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(
)
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
答案 B
解析 “∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，
故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.
4．(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是
“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足；
当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足．
故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件．
5．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≥5
C．a≤4 D．a≤5
答案 B
解析 因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，
所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，
所以a≥4，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
6．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．所有的素数都是奇数
B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0
C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件
D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”
答案 CD
解析 2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；
对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0，
所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题；
由α＝β⇒sin α＝sin β，但由sin α＝sin β不能得到α＝β，故“α＝β”是“sin α＝sin β”成
立的充分不必要条件，所以C是真命题；
根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是
“∀x∈R，x＋2>0”，所以D是真命题．
7．(多选)若“∃x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．3
答案 AB
解析 由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，
所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋，
当x∈(0,2)时，由基本不等式可得
2x＋≥2＝2，
当且仅当x＝时，等号成立，所以λ≤2.
8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：
“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这
两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体
积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V，V，被平行于这两个
1 2
平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S ，S ，则“S ，S 不总相等”是“V ，V 不相
1 2 1 2 1 2
等”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 命题：如果“S ，S 不总相等”，那么“V ，V 不相等”的等价命题是：如果“V ，
1 2 1 2 1
V 相等”，那么“S，S 总相等”．
2 1 2
根据祖暅原理，当两个截面的面积S，S 总相等时，这两个几何体的体积V，V 相等，所以
1 2 1 2
逆命题为真，故是必要条件；
当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，
故是不充分条件，所以“S，S 不总相等”是“V，V 不相等”的必要不充分条件．
1 2 1 2
9．命题“∀x∈，sin x4x”成立的一个充分条件是________．
答案 x<－1(答案不唯一)
解析 由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，
解得x<0，
使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．
11．已知命题“∃x∈{x|－2－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范
围是________．
答案
解析 设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，
若α是β的必要条件，则B⊆A，
当2m－1>－m，即m>时，此时A＝R，B⊆A成立；
当2m－1≤－m，即m≤时，若B⊆A，此时无解．
综上，m>.
13．(多选)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(
)
A．(－∞，－5) B．(－3，－1]
C．(3，＋∞) D．[0,3]
答案 AB
解析 ∵∃x∈M，x>3为假命题，
∴∀x∈M，x≤3为真命题，
可得M⊆(－∞，3]，
又∀x∈M，|x|>x为真命题，
可得M⊆(－∞，0)，
∴M⊆(－∞，0)．
14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：
“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人
中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，
另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
答案 乙
解析 四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说
的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、
丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、
丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知罪犯是乙．
15．(2022·九江模拟)已知数列{a}满足a ＝1，a ＝ka ＋k，则“数列{a}为等差数列”是
n 1 n＋1 n n
“k＝1”的( )A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当k＝1时，a ＝a＋1，则{a}为等差数列，必要性成立；
n＋1 n n
若{a}为等差数列，由a＝1，a＝2k，a＝2k2＋k，
n 1 2 3
有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或.
当k＝时，a ＝a＋，此时a＝1，充分性不成立．
n＋1 n n
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos
B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.
设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)，
则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x∈(0,1]，
∴f′(x)≥0，
∴f(x)在(0，π)上单调递增，
∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cos A>B＋cos B.
