文档内容
§1.2 常用逻辑用语
考试要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性
质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确
对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒⇏ p
p是q的充要条件
⇏
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
⇏ ⇏
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”
表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ∀ x ∈ M ， p ( x ) ∃ x ∈ M ， p ( x )
否定 ∃x∈M，乛p(x) ∀ x ∈ M ，乛p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A⊆B；
②若p是q的充分不必要条件，则AB；
③若p是q的必要不充分条件，则BA；
④若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．( √ )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．( √ )
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.( √ )
(4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．( × )
教材改编题
1．“a>b”是“ac2>bc2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，
所以a>b ac2>bc2，
当ac2>bc⇏ 2时，c2≠0，则a>b，
所以ac2>bc2⇒a>b，
即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．
2．使－20
答案 B
3．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________．
答案 存在一个等边三角形，它不是等腰三角形
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)已知p：x<1，q：log x<0，则p是q的( )
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由x<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，
由log x<0知00，乙：{S}是递增数
n n n
列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
解析 当a<0，q>1时，a ＝aqn－1<0，此时数列{S}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．
1 n 1 n
当数列{S}单调递增时，有S －S ＝a ＝aqn>0，若a>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若
n n＋1 n n＋1 1 1
a<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
1
教师备选
1．在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，
则∠B＝90°，
即△ABC为直角三角形，
若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，
所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，
综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．
2．(2022·宁波模拟)设a，b∈R，p：log (a－1)＋log (b－1)>0，q：＋<1，则p是q的( )
2 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由题意得，p：log (a－1)＋log (b－1)
2 2
＝log (a－1)(b－1)>0＝log 1，
2 2
所以(a－1)(b－1)>1，即a＋b1，b>1，则ab>0，
所以＋<1，
所以p是q的充分条件；
因为＋<1，
所以<1，
若ab>0，则a＋bab，
所以p是q的非必要条件，
所以p是q的充分不必要条件．
思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围
的推断问题．
跟踪训练1 (1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.
当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，
所以a＋b>4，ab>4 a>2，b>2，
故“a>2，b>2”是“ ⇏a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．
(2)(2022·太原模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为a⊥b，所以a·b＝0，
则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，
所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；
反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，
所以非零向量a，b垂直，
“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．
题型二 充分、必要条件的应用
例2 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B
的必要条件，求m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.
则
∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
延伸探究 本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条
件”，求m的取值范围．
解 ∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，
∴AB，
则或
解得m≥9，
故m的取值范围是[9，＋∞)．
教师备选
(2022·泰安模拟)已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值
范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 A
解析 因为q：|x＋2a|<3，
所以q：－2a－30)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q
的充分条件，则a的取值范围是________．
答案
解析 由2－m>m－1>0，得1
答案 AC
解析 当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；
y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，
当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x
解析 因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，
所以命题“∀x∈R，使得ax2－x＋2>0”是真命题，
当a＝0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2－x＋2>0”是假命题，不符合题意；
当a≠0时，得
解得a>.
教师备选
1．(2022·西安模拟)下列命题中假命题是( )
A．∀x∈R，2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，tan x＝2
答案 B
解析 ∵指数函数y＝2x的值域为(0，＋∞)，
∴∀x∈R，均可得到2x－1>0成立，故A项为真命题；
∵当x∈N*时，x－1∈N，
可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，
∴∃x∈N*，使(x－1)2>0不成立，故B项为假命题；
∵当x＝1时，lg 1＝0<1，
∴∃x∈R，使得lg x<1成立，故C项为真命题；
∵正切函数y＝tan x的值域为R，
∴存在锐角x，使得tan x＝2成立，故D项为真命题．
综上所述，只有B项是假命题．
2．若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是( )
A．－4≤m≤－3 B．m<－4
C．m≥－4 D．－4≤m≤0答案 D
解析 若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，
则命题“∃x∈[1,4]，x2－4x－m＝0”是真命题，
则m＝x2－4x，
设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，
因为函数y＝x2－4x在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，
所以当x＝2时，y ＝－4；
min
当x＝4时，y ＝0，
max
故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0.
思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到
一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题．
跟踪训练3 (1)命题“∀x>0，xsin x<2x－1”的否定是( )
A．∀x>0，xsin x≥2x－1
B．∃x>0，xsin x≥2x－1
C．∀x≤0，xsin x<2x－1
D．∃x≤0，xsin x≥2x－1
答案 B
解析 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x>0，xsin x<2x－1”的否定
是：∃x>0，xsin x≥2x－1.
(2)(2022·重庆模拟)下列命题为真命题的是( )
A．∀x∈R，x2－|x|＋1≤0
B．∀x∈R，－1≤≤1
C．∃x∈R，(ln x)2≤0
D．∃x∈R，sin x＝3
答案 C
解析 对于A，因为x2－|x|＋1＝2＋>0恒成立，
所以∀x∈R，x2－|x|＋1≤0是假命题；
对于B，当x＝时，＝2，
所以∀x∈R，－1≤≤1是假命题；
对于C，当x＝1时，ln x＝0，
所以∃x∈R，(ln x)2≤0是真命题；
对于D，因为－1≤sin x≤1，所以∃x∈R，sin x＝3是假命题．(3)若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”为真命题，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 依题意，Δ＝m2＋4m>0，
∴m>0或m<－4.
课时精练
1．命题 p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．有些三角形可能是等腰三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
答案 C
解析 命题p：“∃x∈A，使 P(x) 成立”，
綈p为“对∀x∈A，有 P(x) 不成立”．
故命题p：“有些三角形是等腰三角形”，
则綈p是“所有三角形不是等腰三角形”．
2．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”
的必要不充分条件．
3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足
x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
4．(2022·沈阳模拟)在空间中，设m，n是两条直线，α，β表示两个平面，如果 m⊂α，
α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当m⊥n时，∵m⊂α，α∥β，
则n与β可能平行，∴充分性不成立；
当n⊥β时，∵α∥β，∴n⊥α，
∵m⊂α，∴m⊥n，∴必要性成立，
∴“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分条件．
5．若命题“∃x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(－∞，4)
C．[4，＋∞) D．(－∞，4]
答案 D
解析 若命题“∃x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命题，
则有“∀x∈(0，＋∞)，使得ax≤x2＋4成立”是真命题．
即a≤x＋，则a≤ ，
min
又x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，故a≤4.
6．(2022·南京模拟)已知集合M＝[－1,1]，那么“a≥－”是“∃x∈M,4x－2x＋1－a≤0”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
答案 A
解析 ∵∃x∈M,4x－2x＋1－a≤0，
∴a≥(4x－2x＋1) ，x∈[－1,1]，
min
设t＝2x，
则f(t)＝t2－2t＝(t－1)2－1，t∈，
∴f(t) ＝f(1)＝－1，∴a≥－1，
min
∵[－1，＋∞)，
∴“a≥－”是“∃x∈M,4x－2x＋1－a≤0”的充分不必要条件．7．(多选)(2022·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有( )
A．∀x∈R，3x>0
B．∀x∈R，x2＋x＋1≤0
C．∀x∈R，sin x<2x
D．∃x∈R，cos x>x2＋x＋1
答案 AD
解析 ∀x∈R,3x>0恒成立，A是真命题；
∵x2＋x＋1＝2＋>0，
∴B是假命题；
由sin＝1> ，知C是假命题；
取x＝－，cos>cos＝，
但x2＋x＋1＝<，则D是真命题．
8．(多选)(2022·临沂模拟)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是( )
A．xc2>yc2 B.<<0
C．|x|>|y| D．ln x>ln y
答案 ABD
解析 对于A选项，若xc2>yc2 ，则c2≠0，则x>y，
反之x>y，当c＝0时得不出xc2>yc2，
所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件，故A正确；
对于B选项，由<<0可得yy；
但x>y不能推出<<0(因为x，y的正负不确定)，
所以“<<0”是“x>y”的充分不必要条件，
故B正确；
对于C选项，由|x|>|y|可得x2>y2，
则(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；
由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，
所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D选项，若ln x>ln y，则x>y，反之x>y得不出ln x>ln y，
所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件，
故D正确．
9．若命题p：∀x∈(0，＋∞)，>x＋1，则命题p的否定为________．
答案 ∃x∈(0，＋∞)，≤x＋110．(2022·衡阳模拟)使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．
答案 x<－1(答案不唯一)
解析 由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，
解得x<0，
使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．
11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．
答案 a∈[1，＋∞)
解析 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，
∴a2≥1.
又a>0，∴a≥1.
12．已知命题p：“∀x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝
0”，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围为____________________．
答案 {a|a≤－2或a＝1}
解析 由题意可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得∀x∈[1，＋∞)，x2≥a恒成立，
(x2) ＝1，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，
min
所以实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
13．(2022·苏州中学月考)在△ABC中，“A>B”是“cos AB，
所以0B，故必要性成立，所以在△ABC中，“A>B”是“cos A0，
则函数f(x)＝x2－sin x在上单调递增，
∀x∈，f(x)>f ＝，
所以原命题为真命题的充要条件为a≤，
而1<<2，则满足A选项、C选项的a均有a≤，a≤时a<1和a<都不一定成立，
所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.
16．f(x)＝－x2－6x－3，记max{p，q}表示p，q二者中较大的一个，函数g(x)＝max，若m<
－2，且∀x∈[m，－2]，∃x∈[0，＋∞)，使f(x)＝g(x)成立，则m的最小值为________．
1 2 1 2
答案 －5
解析 y＝x－2为减函数，
y＝log (x＋3)为增函数，
2
观察尝试可知当且仅当x＝1时，
x－2＝log (x＋3)．
2
由题意得，g(x)＝
∴在[0，＋∞)上，g(x) ＝g(1)＝2，g(x)的值域为[2，＋∞)，
min
f(x)＝－(x＋3)2＋6≤6.
“∀x∈[m，－2]，∃x∈[0，＋∞)，使f(x)＝g(x)成立”等价于f(x)在[m，－2]上的函数值
1 2 1 2
域是g(x)在[0，＋∞)上的值域的子集，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，如图所示，令f(x)＝－x2－6x－3＝2，解得x＝－5或x＝－1，
则m的最小值为－5.
