文档内容
§1.1 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理
解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，
就称集合A为集合B的子集，记作 A ⊆ B (或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 x ∉ A ，就称集合A是集合B的真子集，
记作 A B (或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且 B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
集合语言 图形语言 记法
运算
并集 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } A ∪ B
交集 { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } A ∩ B
补集 { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } ∁U A
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ )
教材改编题
1．(多选)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是( )
A．2∉A B．8⊆A
C．{4}∈A D．{0}⊆A
答案 AD
2．已知集合M＝{＋1，－2}，N＝{b,2}，若M＝N，则a＋b＝________.
答案 －1
解析 ∵M＝N，∴
解得∴a＋b＝－1.
3．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}，则 A∩B＝____________，
A∪(∁U B)＝____________.
答案 {x|2≤x≤3} {x|－2m＋1，解得m>2；
②当B≠ ∅时，
解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
延伸探究 在本例(2)中，若把B⊆A改为BA，则实数m的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 ①当B＝∅时，2m－1>m＋1，∴m>2；
②当B≠ ∅时，
或
解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
教师备选
已知M，N均为R的子集，若N∪(∁R M)＝N，则( )
A．M⊆N B．N⊆M
C．M⊆∁R N D． ∁R N⊆M
答案 D
解析 由题意知，∁R M⊆N，其Venn图如图所示，∴只有∁R N⊆M正确．
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否
则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，则满足AC⊆B的集
合C的个数为( )
A．4 B．6
C．7 D．8
答案 C
解析 ∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，
且AC⊆B，
∴集合 C 的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，
{1,2,3,4,5}，共7个．
(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________．
答案 0，±1
解析 ∵M＝{－1,1}，且M∩N＝N，
∴N⊆M.
若N＝∅，则a＝0；
若N≠ ∅，则N＝，
∴＝1或＝－1，
∴a＝±1
综上有a＝±1或a＝0.
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则
S∩T等于( )
A．∅ B．S C．T D．Z
答案 C
解析 方法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s
＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T.
方法二 S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以
T∩S＝T.
(2)(2022·济南模拟)集合A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|1＜x＜5}，则集合(∁R A)∪B等于( )
A．[－1,5) B．(－1,5)
C．(1,4] D．(1,4)
答案 B
解析 因为集合A＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，
又B＝{x|1＜x＜5}，
所以∁R A＝(－1,4)，
则集合(∁R A)∪B＝(－1,5)．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log x<1}，且A∩B有2个子集，则实
2
数a的取值范围为( )
A．(－∞，0]
B．(0,1)∪(1,2]
C．[2，＋∞)
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
答案 D
解析 由题意得，
B＝{x|log x<1}＝{x|0
B．a≤－或a≥
C．a<－或a>2
D．a≤－或a≥2
答案 B
解析 A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝，
①B＝∅，2a≥a＋3⇒a≥3，符合题意；
②B≠ ∅，或
解得a≤－或≤a<3.
∴a的取值范围是a≤－或a≥.
教师备选
(2022·铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁R B)≠
∅
，
则实数a的取值范围是( )
A．1≤a≤2 B．12
答案 D
解析 A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，
所以∁R B＝{x|a－13，
解得a<1或a>2，
所以实数a的取值范围是a<1或a>2.
思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；
如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3 (1)(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|03}
解析 ∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，
∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}．
∴A*B＝{x|－3≤x＜0或x>3}．
思维升华 解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
跟踪训练4 若集合A，A 满足A∪A＝A，则称(A，A)为集合A的一种分拆，并规定：当
1 2 1 2 1 2
且仅当A ＝A 时，(A ，A)与(A ，A)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集
1 2 1 2 2 1
合A的不同分拆种数是________．
答案 27
解析 不妨令A＝{1,2,3}，∵A∪A＝A，
1 2
当A＝∅时，A＝{1,2,3}，
1 2
当A＝{1}时，A 可为{2,3}，{1,2,3}共2种，
1 2
同理A＝{2}，{3}时，A 各有2种，
1 2
当A＝{1,2}时，A 可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，
1 2
同理A＝{1,3}，{2,3}时，A 各有4种，
1 2
当A＝{1,2,3}时，A 可为A 的子集，共8种，
1 2 1
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．
课时精练
1．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则
∁U
(M∪N)
等于( )
A．{5} B．{1,2}
C．{3,4} D．{1,2,3,4}
答案 A
解析 方法一 (先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．
又全集U＝{1,2,3,4,5}，
所以∁U (M∪N)＝{5}．
方法二 (先转化再求解)因为∁U (M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3,4,5}，∁U N＝{1,2,5}，所
以∁U (M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．
2．已知集合U＝R，集合A＝{x|>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于( )
A．R B．(1,2]
C．(1,2) D．[2，＋∞)
答案 C
解析 A＝{x|>2}＝(1，＋∞)，
B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，
∴ ∁U B＝(－∞，2)，∴A∩(∁U B)＝(1,2)．
3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为(
)
A．2 B．3 C．8 D．9
答案 B
解析 由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3.
4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a ，a ，a}的所有非空真子集的元素之和等于 9，则a ＋
1 2 3 1
a＋a 等于( )
2 3
A．1 B．2
C．3 D．6
答案 C
解析 集合A＝{a ，a ，a}的所有非空真子集为{a}，{a}，{a}，{a ，a}，{a ，a}，
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
{a，a}，
2 3
则所有非空真子集的元素之和为
a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＝3(a＋a＋a)＝9，
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
所以a＋a＋a＝3.
1 2 3
5．(2022·浙江名校联考)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数
a的取值范围是( )
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
答案 D
解析 集合A＝{x|－2≤x≤2}，
B＝，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图．
可知－≥2，即a≤－4.
6．(多选)已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则下列说法正确的是(
)
A．P∪Q＝R
B．P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}
C．P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}
D．P∩Q的真子集有3个
答案 BD
解析 联立
解得或∴P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}，
故B正确，C错误；
又P，Q为点集，∴A错误；
又P∩Q有两个元素，∴P∩Q有3个真子集，
∴D正确．
7．(多选)(2022·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|log
2
x<3}，A＝{1,2,3}，
∁U
(A∩B)＝
{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为( )
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
答案 BD
解析 由log x<3得0a，解得a>1，
因为集合U＝{x|00)时，∉A，
所以除法不满足条件，D错误．
16．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五
分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不
赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有
___________人．
答案 18
解析 赞成A的人数为40×＝24，
赞成B的人数为24＋3＝27，
设对A，B都赞成的学生有x人，
则x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，
解得x＝18.
