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1.5 一元二次方程、不等式和其他不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实
根x1,x2
(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=- b
2a
没有实
数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x| x> x2,
或x< x1}
{x| x≠−b
2a}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{ x | x 1<
x < x 2}
⌀
⌀
3.分式不等式与整式不等式
(1) f ( x)
g( x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2) f ( x)
g( x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).
常用的结论
1.当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
2.当Δ<0 时,注意区分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R 还是⌀.
3.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>0 对任意实数x 恒成立⇔{
a=b=0,
c>0
或{
a>0,
Δ=b
2−4 ac<0.
(2)不等式ax2+bx+c<0 对任意实数x 恒成立⇔{
a=b=0,
c<0
或{
a<0,
Δ=b
2−4 ac<0.
考点一 一元二次不等式的解法（不含参）
考点二 其他不等式解法
考点三 一元二次不等式的解法（含参）
考点四 三个二次之间的关系
考点五 一元二次不等式恒成立问题
考点六 一元二次不等式有解问题
考点七 一元二次方程根的分布
考点八 一元二次不等式的应用
考点一 一元二次不等式的解法（不含参）
1．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南湘潭·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·浙江·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·重庆·模拟预测）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 其他不等式解法
5．（25-26 高三下·山东·阶段检测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．（−1, 5
2 ）
7．（25-26 高三下·湖南长沙·月考）不等式
的解集为_______.
8．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·上海徐汇·期中）分式不等式
的解集为______
10．（25-26 高二上·北京朝阳·月考）关于
的不等式
的解集为___________．
11．（2025 高三·全国·专题练习）求不等式
的解集．
12．（2026·吉林白山·模拟预测）设p：
，q：
，则p 是q 的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．（25-26 高三上·辽宁·期末）
的解集为_____
考点三 一元二次不等式的解法（含参）
14．（25-26 高三上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集：
(1)
；
(2)
；
(3)
15．（2025 高三·全国·专题练习）设
.
(1)若不等式
对于一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
.
16．（25-26 高三·全国·一轮复习）解关于
的不等式
.
17．（25-26 高三·湖北荆州·月考）求关于
的不等式
的解集.
18．（25-26 高三上·江苏扬州·月考）已知函数
.
(1)若不等式
的解集为
，求
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
.
19．（25-26 高三上·江西·开学考试）解关于x 的不等式：
考点四 三个二次之间的关系
20．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，则
（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集是
D．不等式
的解集为
21．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
.
(1)求a，b 的值并求解不等式
的解集；
(2)当
，
且满足
时，有
恒成立，求
的取值范围.
22．（25-26 高三上·安徽滁州·期中）若不等式
的解集为
，则
的
解集为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
23．（25-26 高三上·四川广元·阶段检测）（多选）已知不等式
的解集是
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．若关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围是
或
24．（25-26 高三上·江苏南通·期中）（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，则
（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
或
考点五 一元二次不等式恒成立问题
25．（25-26 高二下·宁夏银川·月考）若命题“
”为假命题，则实数
的取值范围是______．
26．（25-26 高一下·浙江衢州·期中）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2026·天津河东·二模）已知二次函数
，若对于任意
，都有
成立，则实数
的取值范围是________．
29．（2026 高三·全国·专题练习）不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（25-26 高三上·陕西渭南·期末）若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围是
________.
考点六 一元二次不等式有解问题
31．（25-26 高三上·黑龙江大庆·期末）若存在
，使不等式
成立，则a 的取值范围是
______．
32．（2025 高三上·贵州贵阳·专题练习）已知命题“
”为真命题，则
的取值范围为
__________.
33．（25-26 高三上·河南南阳·月考）已知函数
(1)当
时，解不等式
，
(2)若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围．
34．（25-26 高三上·天津河北·月考）已知命题
．若命题
为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（25-26 高三上·天津武清·期中）若命题“
，使得
”为真命题，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
考点七 一元二次方程根的分布
36．（25-26 高三上·湖南常德·月考）若关于
的不等式
恰有两个正整数解，则
的取值范围
是______.
37．（25-26 高三上·广东佛山·月考）已知函数
有两个不相等的正零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（25-26 高三上·安徽合肥·期中）已知关于x 的方程
有两个大于2 的相异实数根，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
39．（25-26 高三上·浙江·期中）关于
的方程
有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
40．（25-26 高三·全国·一轮复习）方程
有一正根和一负根的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八 一元二次不等式的应用
41．（25-26 高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15 元．若按最低售价销
售，则每天能卖出30 个；若一个削笔器的售价每提高1 元，则日销售量将减少2 个．为了使这批削笔器每天获得
400 元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元．
42．（25-26 高三上·湖北荆州·期中）2025 年5 月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全
国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在
天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆
满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400 平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多9 米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2 米，求整个绿化面积的最小值.
43．（25-26 高三上·安徽铜陵·阶段检测）美国国家海洋和大气管理局
最近发布的一则预测引发全球关注：
预计在
年
月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.
某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：
万元；
②生产所需材料成本：
万元，
(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量
为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产
万套产品，每万套售价为：
万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，
才能确保该套装每月的利润不低于
万元．
44．（25-26 高三上·安徽合肥·期末）2024 年8 月12 日，为期16 天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，
中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向
“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会
的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300 万元费用.假设购进该款产
品全部售出.若以80 元的单价出售，可售出15 万件，且每降价1 元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30
万件，则经销商按照每件30 元成本收费；若购进30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此
时利润
（万元）与销量
（万件）的关系为
.
(1)当购进产品数量为10 万件时，利润是多少？
(2)写出利润
万元关于购进产品数量
（万件）的函数解析式？（利润
销售收入-成本）
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
1．（25-26 高三下·重庆·阶段检测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·河北保定·一模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）不等式：
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026 高三·全国·专题练习）已知不存在
，使得不等式
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知方程
的根为
和
，则不等式
成立时
函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知
，则（ ）
A．
的解集为
B．
的解集为
C．当
时，
的最小值为1
D．
，
恒成立
7．（25-26 高三上·福建漳州·月考）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若实数
，
，满足
，则
；
B．若
，则函数
的最小值为
；
C．不等式
的解集为
；
D．当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是
．
8．（25-26 高三上·江苏镇江·月考）（多选）已知x 是实数，则使得
成立的一个充分不必要条件有
（ ）
A．
，或
，或
B．
，或
C．
，或
D．
，或
9．（25-26 高三上·福建龙岩·月考）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．已知
，则“
”是“
”的必要不充分条件
B．当
时，
的最小值为2
C．命题“
”的否定是“
”
D．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是
10．（25-26 高三上·重庆九龙坡·期中）（多选）若“
”是假命题，则
的值可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·青海西宁·二模）已知命题
，若
为真命题，则
的取值范围为______．
12．（25-26 高二上·云南昭通·期末）已知关于
的不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围
是________．
13．（2026·新疆·三模）不等式
的解集为__________.
14．（2026·贵州毕节·二模）不等式
的解集是______.
15．（25-26 高三上·天津东丽·月考）已知关于x 的不等式
的解集为
.
(1)求实数a，b 的值；
(2)若
，求关于x 的不等式
的解集.
16．（25-26 高三上·安徽合肥·月考）已知关于x 的不等式
.
(1)若不等式的解集为
，求k 和m 的值；
(2)若不等式的解集为
，求实数k 的取值范围．
17．（25-26 高三上·江苏淮安·月考）已知不等式
的解集为
或
．
(1)求
，
的值；
(2)关于
的不等式
的解集中恰有2 个整数，求实数的取值范围．
18．（25-26 高三上·河南·月考）已知二次函数
．
(1)若
的解集为
，分别求a，b 的值；
(2)解关于x 的不等式
．
