§1.6 一元二次方程、不等式
课标要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二
次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式Δ＝b2
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
－4ac
二次函数
的图象
有两个不相等的实数 有两个相等的实数根
方程的根 没有实数根
根x，x(x<x) x＝x＝－
1 2 1 2 1 2
不等式
{ x | x < x 或 x > x} R
1 2
的解集
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f ( x ) g ( x )>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) f ( x ) g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0 .
⇔
3．简单的
⇔
绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ( － ∞ ，－ a ) ∪ ( a ，＋ ∞ ) ，|x|<a(a>0)的解集为 ( － a ， a ) ．
常用结论
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x，x)，则a<0.( √ )
1 2
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( × )
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( × )
2．(必修第一册 P55T5 改编)已知 A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则 A∪B＝
__________.
答案 R
解析 已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B
＝R.
3．(必修第一册P58T6改编)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为
__________．
答案 (－3,0]
解析 当k＝0时，满足题意；
当k≠0时，
解得－3<k<0，
所以－3<k≤0.
4．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则a＋b＝________.
答案 －1
解析 由题意知，方程x2－ax－b＝0的解为x＝2或x＝3，
由根与系数的关系，得解得
所以a＋b＝5－6＝－1.
题型一 求解一元二次不等式
命题点1 不含参的不等式
例1 (多选)下列选项中，正确的是( )
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
答案 ABD
解析 因为方程x2＋x－2＝0的解为x ＝1，x ＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<
1 2
－2或x>1}，故A正确；
因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|
－3≤x<2}，故B正确；由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是
“<0”的充分不必要条件，故D正确．
命题点2 含参的不等式
例2 已知函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3.
(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|－1<x<3}，求a，b的值；
(2)若b＝－a，求不等式f(x)≤1的解集．
解 (1)由题意得，－1和3是方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两个根，且a<0，
则解得
(2)当b＝－a时，不等式f(x)≤1，
即ax2－(a＋2)x＋2≤0，即(ax－2)(x－1)≤0.
①当a＝0时，－2x＋2≤0，解得x≥1；
②当a<0时，不等式可化为(x－1)≥0，
解得x≤或x≥1；
③当a>0时，不等式可化为(x－1)≤0，
若1<，即0<a<2，解得1≤x≤；
若1＝，即a＝2，解得x＝1；
若1>，即a>2，解得≤x≤1.
综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥1}；
当a<0时，解集为；
当0<a<2时，解集为；
当a＝2时，解集为{x|x＝1}；
当a>2时，解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1.
(1)若a＝－2，解不等式f(x)>0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0.
解 (1)当a＝－2时，由f(x)＝－2x2＋x＋1>0，
即(2x＋1)(x－1)<0，
解得－<x<1，故当a＝－2时，不等式f(x)>0的解集为.
(2)由f(x)<0，可得(ax－1)(x－1)<0，
所以(ax－1)(x－1)＝0的两根为x＝1，x＝.
1 2
当0<a<1时，>1，解得1<x<；
当a＝1时，原不等式即为(x－1)2<0，该不等式的解集为∅；
当a>1时，<1，解得<x<1.
综上所述，当0<a<1时，原不等式的解集为；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a>1时，原不等式的解集为.
题型二 三个二次之间的关系
例3 (1)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则
下列说法正确的是( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5}
C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为
D．a＋b＋c>0
答案 AC
解析 由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a>0，故A正确；
因为－4,5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
所以解得
所以 bx＋c>0，即－ax－20a>0，解得x<－20，故B错误；
不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，即20x2－x－1>0，
即(5x＋1)(4x－1)>0，
解得x<－或x>，故C正确；
因为1∉{x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故D错误．
(2)若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是________．
答案 (3,4]
解析 设方程x2－4x＋a＝0的两根为x，x，
1 2
则x>1，x>1，
1 2
所以Δ＝(－4)2－4a≥0，x＋x>2，(x－1)(x－1)>0，
1 2 1 2
由Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4；
由x＋x>2，得4>2显然成立；
1 2
由(x－1)(x－1)>0，
1 2
得xx－(x＋x)＋1>0，
1 2 1 2即a－4＋1>0，解得a>3，
综上可得，3<a≤4，
所以实数a的取值范围是(3,4]．
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个
方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号．
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系．
(3)区间端点处函数值的符号．
典例 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数
m的取值范围；
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围．
解 (1)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)
内，画出示意图，
得即
解得－<m<－.
故实数m的取值范围为.
(2)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图，
得即
解得－<m<1－.
故实数m的取值范围为.
思维升华 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系
数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
跟踪训练2 (1)(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x ，x)(x<x)，
1 2 1 2
则下列结论正确的是( )A．x＋x＝2 B．xx<－3
1 2 1 2
C．－1<x<x<3 D．x－x>4
1 2 2 1
答案 ABD
解析 由题意得，a<0，且x ，x 是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a
1 2
＝0的两根，
所以x＋x＝－＝2，故A正确；
1 2
xx＝＝－3<－3，故B正确；
1 2
x－x＝＝＝2>4，故D正确；
2 1
由x－x>4，可得－1<x<x<3是错误的，故C错误．
2 1 1 2
(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解
析式为f(x)＝________.
答案 x2－4x(答案不唯一)
解析 因为f(x)<0恰有3个整数解，
所以设三个整数解分别为1,2,3，
则f(x)<0的解集可以为(0,4)，
故x＝0，x＝4是ax2＋bx＋c＝0的两个根，
1 2
故0＋4＝－，0×4＝，
所以c＝0，b＝－4a，
令a＝1，则b＝－4，
故f(x)＝x2－4x.(答案不唯一)
题型三 一元二次不等式恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围；
(3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围．
解 (1)不等式f(x)<1，
即mx2－(m－1)x＋m－2<0，
当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意；
当m≠0时，
有
解得m<，
综上所述，m的取值范围为.
(2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，
即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立，因为x2－x＋1＝2＋>0，
则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立，
由x∈，
得＝＝＝≤＝1，
当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，
所以 ＝1，
max
所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)．
(3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，
即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0,2)恒成立，
令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，
因为x2－x＋1＝2＋>0，
所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0,2)上单调递增，
则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，
所以x的取值范围为[3，＋∞)．
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－，
则f(x) ＝f ＝a－，
min
f(x)>0在x∈R上恒成立，即f(x) ＝a－>0，故a>.
min
故实数a的取值范围是.
(2)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－，
f(x)在[－1,2]上的最大值为f(x) ＝f(－1)＝2＋a－＝4＋a，
max
故f(x)在x∈(－1,2)上满足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4.
故实数a的取值范围是(－∞，－4]．
课时精练一、单项选择题
1．(2023·湖州模拟)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B等于( )
A．{x|－1<x≤3} B．{x|x≤3或x>4}
C．{x|－2≤x≤4} D．{x|－2≤x≤－1}
答案 A
解析 因为不等式x2－x－6≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，
又不等式≤0的解集为{x|－1<x≤4}，
所以A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－1<x≤4}，
所以A∩B＝{x|－1<x≤3}．
2．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2}
C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2}
答案 B
解析 当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；
当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2.
综上，－1<a≤2，故a的取值范围为{a|－1<a≤2}．
3．若存在x∈[0,1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为( )
A．0 B．1 C．－3 D．3
答案 A
解析 由题意得，当x∈[0,1]时，m≤(x2－4x) .
max
令f(x)＝x2－4x，x∈[0,1]，
由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4可知，当x＝0时，f(x) ＝f(0)＝0，
max
所以m≤0，故m的最大值为0.
4．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小
于1，则m的值可能为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案 B
解析 令f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3，
则f(1)＝m＋2－2m－4＋3m＋3＝2m＋1，
由题可知，m≠－2，且(m＋2)f(1)<0，
即(m＋2)(2m＋1)<0，解得－2<m<－.
5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则不等式bx2＋ax
－c≤0的解集是( )
A．[－1,2] B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．[－2,1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 A
解析 由题意可知，ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是－1和2，且a<0，
则解得
bx2＋ax－c≤0可化为－ax2＋ax＋2a≤0，即x2－x－2≤0，
解得－1≤x≤2，
所以不等式的解集是[－1,2]．
6．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有2个整数解，则实数a的取值范围为(
)
A．(－1,0]∪[2,3) B．[－2，－1)∪(3,4]
C．(－2，－1)∪(3,4) D．[－1,0)∪(2,3]
答案 B
解析 不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a＝1时，不等式无解；
当a<1时，不等式的解为a<x<1，若解集中恰有2个整数解，则－2≤a<－1；
当a>1时，不等式的解为1<x<a，若解集中恰有2个整数解，则3<a≤4.
综上，a的取值范围是[－2，－1)∪(3,4]．
二、多项选择题
7．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为( )
A．∅ B．(－1，a)
C．(a，－1) D．(a，＋∞)
答案 ABC
解析 根据题意，易知a≠0.
当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋
∞)．
当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅；
若－1<a<0，则不等式的解集为(－1，a)；
若a<－1，则不等式的解集为(a，－1)．
8．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0
B．c<0
C．a＋b>0
D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3<x<－1}
答案 BC
解析 由题意得，a<0，和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
由根与系数的关系可得解得a＝3c，b＝－4c，则c<0，
故A错误，B正确；a＋b＝－c>0，故C正确；
不等式cx2＋bx＋a>0可化为cx2－4cx＋3c>0，
即x2－4x＋3<0，解得1<x<3，
故不等式解集为{x|1<x<3}，故D错误．
三、填空题
9．不等式≥2的解集为________．
答案
解析 因为≥2，
则－2＝≥0，
等价于(1－2x)(x＋2)≥0(x≠－2)，
解得－2<x≤，
即不等式≥2的解集为.
10．甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3,2)，乙
写错了常数c，得到的解集为(－3,4)．那么原不等式的解集为________．
答案 (－2,3)
解析 依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，
因此不等式x2＋bx＋c<0，即x2－x－6<0，
解得－2<x<3，
所以原不等式的解集为(－2,3)．
11．已知对任意x∈[－1,1]，使得不等式x2－x＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是______．
答案
解析 因为对任意x∈[－1,1]，不等式x2－x＋≥m恒成立．
所以 ≥m，x∈[－1,1]，
min
设y＝x2－x＋，x∈[－1,1]，
因为y＝x2－x＋＝2＋，
所以当x＝时，函数y＝x2－x＋，x∈[－1,1]取最小值，最小值为，
所以m≤，
故实数m的取值范围是.
12．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数
解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为________．
答案 [－1,0)∪(8,9]
解析 不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，
则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0.设x2－kx＋2k＝0的两根为x，x，
1 2
令x<x，则x＋x＝k，xx＝2k.
1 2 1 2 1 2
由题意得x－x＝＝≤3，
2 1
解得－1≤k≤9，又k>8或k<0，
所以－1≤k<0或8<k≤9，
所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．
四、解答题
13．已知函数f(x)＝ax2＋3x－2，且f(x)>0的解集为{x|b<x<2}(b<2)．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意得，a<0，且b,2为方程ax2＋3x－2＝0的两根，
所以解得
(2)由(1)可得，不等式f(x)≥2＋m可化为－x2＋3x－2≥2＋m，
所以m≤－x2＋3x－4.
因为对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立，
所以对于任意的x∈[－1,2]，不等式m≤－x2＋3x－4恒成立，
即m≤(－x2＋3x－4) ，x∈[－1,2]，
min
因为y＝－x2＋3x－4＝－2－，x∈[－1,2]，
所以当x＝－1时，y＝－x2＋3x－4取最小值，最小值为－8，
所以m≤－8，
故实数m的取值范围为(－∞，－8]．
14．已知函数f(x)＝mx2＋mx＋3，m∈R.
(1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式f(x)>(3m－1)x＋5.
解 (1)依题意，mx2＋mx＋3>0在实数集R上恒成立．
①当m＝0时，3>0，成立；
②当m≠0时，要使原不等式恒成立，
则解得0<m<12.
综上，0≤m<12，
故实数m的取值范围是{m|0≤m<12}．
(2)不等式f(x)>(3m－1)x＋5，
等价于mx2＋(1－2m)x－2>0，
即(x－2)(mx＋1)>0.
①当m>0时，解得x>2或x<－；②当m＝0时，不等式整理为x－2>0，解得x>2；
③当m<0时，方程(x－2)(mx＋1)＝0的两根为x＝－，x＝2.
1 2
(ⅰ)当－>2，即－<m<0时，解得2<x<－；
(ⅱ)当－＝2，即m＝－时，原不等式的解集为∅；
(ⅲ)当－<2，即m<－时，解得－<x<2，
综上所述，当m<－时，原不等式的解集为；
当m＝－时，原不等式的解集为∅；
当－<m<0时，原不等式的解集为；
当m＝0时，原不等式的解集为{x|x>2}；
当m>0时，原不等式的解集为.
15．关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.∪
答案 A
解析 不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，
即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，
即a≥ ，
max
当x＝0时，a≥0，
当x≠0时，a≥＝，
因为≤＝，当且仅当|x|＝，即|x|＝，即x＝±时，等号成立，
所以a≥，综上所述，a∈.
16．若对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成立，
则实数x的取值范围是__________．
答案 (－4,2－2)
解析 因为对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R，
使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成立，
设t(y)＝|y－1|＋|y－3|，
则x2＋(3－m)x－6<t(y) ，
min
又因为t(y)＝|y－1|＋|y－3|≥|(y－1)－(y－3)|＝2，所以t(y) ＝2.
min
所以x2＋(3－m)x－6<2，即x2＋(3－m)x－8<0，
设g(m)＝x2＋(3－m)x－8＝－mx＋x2＋3x－8，
对于任意m∈[－1,1]，g(m)＝－mx＋x2＋3x－8<0，应用一次函数性质可知
即得
解得
则实数x的取值范围是(－4,2－2)．
