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1.3 等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法{
a−b>0⇔a>b,
a−b=0⇔a=b,
a−b<0⇔a<b.
(2)作商法{
a
b >1(a∈R ,b>0)⇔a>b(a∈R ,
b>0),
a
b =1⇔a=b(a,b≠0),
a
b <1(a∈R ,b>0)⇔a<b(a∈R ,
b>0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔b<a;
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;
(3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方性:a>b>0⇒
n√a>
n√b(n∈N,n≥2).
常用的结论
1.真分数的性质
若a>b>0,m>0,则b
a<b+m
a+m;
b
a>b−m
a−m(b-m>0).
2.倒数性质
(1)ab>0,a>b⇔1
a<1
b;
(2)a>b>0,d>c>0⇒a
c >b
d .
考点一 作商与作差法比较两个数(式)的大小
考点二 不等式的基本性质
考点三 不等式的性质证明不等式
考点四 利用不等式求值或取值范围
考点一 作商与作差法比较两个数(式)的大小
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）设
，
，且
，则
和
的大小关系是_________．
2．（25-26 高三上·广东·期中）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小关系无法确定
3．（2026·云南保山·二模）（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，则
D．若
且
，则
4．（25-26 高三上·广东深圳·月考）（多选）已知
，则下列不等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·青海西宁·二模）已知
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 不等式的基本性质
6．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
7．（25-26 高三上·吉林长春·期中）（多选）已知
，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·江西·二模）（多选）已知
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
10．（2026·贵州黔西南·二模）（多选）已知实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 不等式的性质证明不等式
11．（25-26 高三·全国·一轮复习）（1）设
，
为实数，比较
与
的值的大小．
（2）已知
，
，
，求证：
.
12．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知
，
.
(1)求证：
；
(2)求证：
.
13．（25-26 高三上·吉林长春·月考）已知
.
(1)求
的最小值；
(2)证明：
.
14．（25-26 高三上·贵州贵阳·月考）已知
（
）克糖水中含有
（
）克糖，向杯中再添加
（
）
克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”.
(1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
(2)已知
，
，是三角形的三边，求证：
.
15．（2026 高三·全国·专题练习）若
，求证：
．
考点四 利用不等式求值或取值范围
16．（25-26 高三上·河南商丘·月考）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（25-26 高三·全国·二轮复习）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（25-26 高三上·陕西渭南·月考）已知实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，求
的取值范围．
20．（25-26 高三上·广东汕头·期末）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2026·湖南长沙·二模）已知
，且
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d 满足：
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数
，
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·陕西·阶段检测）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·全国·期末）已知实数
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·山东东营·二模）（多选）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
7．（2026·山西吕梁·二模）（多选）若
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知实数x，y 满足
，则下列说法正确的有
（ ）
A．x 的取值范围为
B．y 的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
9．（25-26 高三·全国·一轮复习）设
，则
的取值范围是________；
的取值范围是
________；
的取值范围是________；
的取值范围是________．
10．（2026 高三·全国·专题练习）对于实数
，给出下列命题：
①若
，则
；②若
，则
；
③若
，则
；④若
，则
其中正确命题的序号是________．
11．（25-26 高三上·四川南充·月考）（1）已知
，求
的取值范围；
（2）若
，求证：
.
12．（25-26 高三·贵州贵阳·月考）已知实数
，
，满足
.
(1)若
，求证：
；
(2)若
，
，
，求的最小值.
13．（25-26 高三上·河北保定·月考）实数
满足
．
(1)求
的取值范围：
(2)求
的取值范围．
14．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知实数
满足
．
(1)求
和
的取值范围；
(2)证明：
．
15．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知
，
，求
的取值范围.
