文档文本内容
§1.3 等式性质与不等式性质
考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么 ；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔ ；
性质2 传递性：a>b，b>c⇒ ；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ；
性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒ ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔<.
2．若a>b>0，m>0⇒<；
若b>a>0，m>0⇒>.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．( )
(2)若>1，则b>a.( )
(3)若x>y，则x2>y2.( )
(4)若>，则b<a.( )
教材改编题
1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是( )A．ac2>bc2 B．a>b
C．a＋c>b＋c D.>
2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
3．若1<a<2,2<b<3，则的取值范围是________．
题型一 数(式)的大小比较
例1 (1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(
)
A．M<N B．M>N
C．M≤N D．M≥N
(2)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．不能确定
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思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1 (1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关
系为( )
A．M>N B．M＝N
C．M<N D．不确定
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
题型二 不等式的性质
例2 (1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是( )
A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)
C.> D．(a－c)3>(b－c)3
(2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是( )
A．ad>bc B.＋<0
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
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思维升华 判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
跟踪训练2 (1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等
号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不
等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a<b
C．若a<b<c<0，则<
D．若a>b，则a2>b2
(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是( )
A.< B．|a|＋b>0
C．a－>b－ D．ln a2>ln b2
题型三 不等式性质的综合应用
例3 (1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是
________．
延伸探究 若将本例(1)中条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．
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(2)已知3<a<8,4<b<9，则的取值范围是________．
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思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求
得整体范围．
跟踪训练3 (1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是( )
A．[－7,4] B．[－6,9] C．[6,9] D．[－2,8]
(2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．
