文档内容
第1讲 相等关系与不等关系
最新考纲 考向预测
以考查不等式的性质为重点，同时
1．通过具体情境，感受生活中大 命题
考查不等关系，常与函数、数列、
量的不等关系，了解不等式(组)
趋势 解析几何、实际问题等相结合进行
的实际背景．
综合命题.
2．理解不等式的概念，掌握不等
核心
式的性质． 逻辑推理
素养
1．实数大小与运算性质之间的关系
a－b>0⇔ a > b ；a－b＝0⇔ a ＝ b ；a－b<0⇔ a < b ．
2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则 b ＝ a ．
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则 a ＝ c ．
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝ b ＋ c ．
(4)可乘性：若a＝b，则 ac ＝ bc ；若a＝b，c＝d，则 ac ＝ bd ．
3．不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a>c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c>b＋c；
a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；
a>b，c<0⇒acbn(n∈N，n≥1)．
(6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<；
(2)a<0b>0，d>c>0⇒>.
2．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)；
(2)>；<(b－m>0)．
常见误区
1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等
号方向改变；
2．求范围乱用不等式的加法原理致错．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )(5)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(6)若ab>0，则a>b⇔<.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
3．(易错题)若a>b>0，c0 B.－<0
C.> D.<
解析：选D.因为cac，
又因为cd>0，所以>，即>.
4．已知1q D．p≥q
解析：选B.(作差法)p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，
所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故pb>0，m>0，则( )
A.＝
B.>
C.<
D.与的大小关系不确定
解析：选C.－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，
所以<0.
即－<0.
所以<.
3．若a＝，b＝，比较a与b的大小．
解：因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log 9＞1，
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所以a＞b.
比较两个数(式)大小的方法
[注意] (1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质
求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同
时取到，会导致范围扩大．不等式的性质
(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若＞1，则a＞b
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
【解析】 (1)A中，只有b＞0时正确，故A错误；
B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；
C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以＞，故C正确；
D中，当a＜0，b＜0时，＜不成立，故D错误．
综上所述，故选C.
(2)当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题；⇒a2>ab，⇒ab>b2，所以
a2>ab>b2，所以B命题是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<<，因为c<0，所以>，所以C
命题是真命题；>⇒－>0⇒>0，因为a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命题是真命
题，故选BCD.
【答案】 (1)C (2)BCD
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判
断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联
系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同
时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．
1．(2020·石家庄质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2<－ab B．|a|<|b|
C.> D.>
解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，
所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一
定成立，故选C.
优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C.
2．已知a0，b的符号不确定，对于
b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．
不等式性质的应用
已知－1b>c，则a＋b>c”说法不正确的一
组整数a，b，c的值依次为________．
解析：因为a>b>c，所以a>c，b>c，则a＋b>2c.2c与c的大小关系不确定，当c
＝0时，2c＝c；当c>0时，2c>c；当c<0时，2cc不一定正确．
答案：－1，－2，－3(答案不唯一)
[A级 基础练]
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)
C．f(x)0⇒f(x)>g(x)．
2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
解析：选A.因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
3．若a，b∈R，且a>|b|，则( )
A．a<－b B．a>b
C．a2
解析：选B.由a>|b|可知，当b≥0时，a>b；当b<0时，a>－b，则a>0>b.综上可
知，当a>|b|时，a>b恒成立，故选B.
4．已知a，b，c满足cac B．c(b－a)<0
C．cb20
解析：选A.由c0.
由b>c，得ab>ac一定成立．
5．已知a，b，c，d为实数，则“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为c>d，所以c－d>0.
又a>b，所以两边同时乘(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.
若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，
也可能ab且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．
6．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有( )
A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c>d，则b－c>a－d
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>0，则ac>bc
解析：选AD.因为a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不
正确；因为a>b，c>0，所以ac>bc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.
7．(多选)下列命题中，不正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<<0，则|a|＋b<0
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：选ABD.取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，
ac>bc⇒a－a>0，故－b>|a|，即|a|＋
b<0，故C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．
8．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A．a－c
C.> D．ac2－c.因为－＝>0，所以>.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D
不成立．故选ABC.
9．若a 0，
1 2 1 2
即a b ＋a b >a b ＋a b .
1 1 2 2 1 2 2 1
答案：a b ＋a b >a b ＋a b
1 1 2 2 1 2 2 1
10．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，所以－4<－|β|≤0.所以－3<α－|β|<3.
答案：(－3，3)
11．设a>b，有下列不等式：①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的
有________．(填序号)
解析：对于①，>0，故①成立；对于②，a>0，b<0时不成立；
对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；
对于④，|c|≥0，故④成立．
答案：①④
12．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展
影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．若ab≠0且a
B．若0b>0，则>
D．若c不成立，故A项错误．对于B项，若0b>0，则
a(b＋1)－b(a＋1)＝a－b>0，所以a(b＋1)>b(a＋1)，所以>，故C项正确．对于D项
若c0，c<0.而b可能为0，因此cb2n≥2，所以mn≥4；
结合定义及pq≤2，可得或即qb2；②2a>2b－1；③>－.能够使以上三个不
等式同时成立的一个条件是________．(答案不唯一，写出一个即可)
解析：使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②显然成
立，对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，
因为a>b>0，所以2(－)>0，
所以()2－(－)2>0，即>－.
答案：a>b>0(答案不唯一)
