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北京亦庄实验中学 2022-2023 学年初二年级笃行区第 6 学段教与学质
量诊断（2022．12）
数学Ⅱ S 试题
一、选择题（共8个小题，每小题3分）
1. 某种病毒近似于球体，它的半径约为 米，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法
不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】由科学记数法可知： ．
故选D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为由原数
左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算依次判断即可．
【详解】解：A、 ，计算错误，不符合题意；
B、 ，计算错误，不符合题意；
C、 ，计算错误，不符合题意；
D、 ，计算正确，符合题意；故选：D．
【点睛】题目主要考查完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
3. 如图1，将边长为 的正方形纸片，剪去一个边长为 的小正方形纸片，再沿着图1中的虚线剪开，把
剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用代数式分别表示各个部分的面积，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．
【详解】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2，
图2是由（1）（2）两部分拼成的底为a+b，高为a-b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键．
4. 若把分式 中的 和 都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍 B. 不变
C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
【答案】C
【解析】
【分析】x，y都扩大2倍就是分别变成原来的2倍，变成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，分析
得到的式子与原来的式子的关系即可．【详解】解：把 和 都扩大为原来的2倍，即用2x和2y代替式子中的x和y，
可得： ，
∴分式的值缩小成原来的 ．
故选：C
【点睛】本题考查了分式 的基本性质，解本题的关键在抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把
字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
5. 若 ，则 的值为（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式展开 ，再通过比较系数建立方程组，解方程组可得 、
的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴可得： ，
解得： ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用、有理数的乘方，熟练掌握多项式乘多项式
的运算法则是解本题的关键．
6. 如图所示，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在边 上， ，若，则 的长为（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先过点P作 于点D，利用直角三角形中 所对边等于斜边的一半得出 的长，
再利用等腰三角形的性质求出 的长．
【详解】解：过点P作 于点D，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形中 所对边等于斜边的一半及等腰三角形的性质，根据此性质得出
的长是解题关键．
7. 某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数
量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多10元．设甲种水杯的单价为 元，则列出方程正确的是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为 元，根据700元购买甲种水杯的数量和
用500元购买乙种水杯的数量相同列方程即可得解．
【详解】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为 元
根据题意列出方程得： ．
故选B．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是
解题关键．
8. 在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：
对于多项式 ，因式分解的结果是 ，若取 ， 时，则各个因式的
值是： ， ， ，于是就可以把“ ”作为一个六位数的密码．
对于多项式 ，取 ， 时，用上述方法生成的密码可以是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．
【详解】解：
，
当 ， 时， ， ， ，
∴上述方法生成的密码可以是 ．
故选：D
【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅
读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．
二、填空题（共8个小题，每小题3分）
9. 使分式 有意义的条件为______．
【答案】
【解析】
【分析】要使分式有意义，则分母不为零即可．
【详解】∵要使分式有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题关键．
10. 已知： ，则 _________．
【答案】29
【解析】【分析】利用完全平方公式变形求解，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴
=
= ；
故答案为：29．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的特征进行计算．
11. 若 是一个完全平方式，那么常数 应为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项，即可确定m的值．
【详解】解： 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方式，解本题的关键是根据平方项确定出二倍项系数．
12. 若 与 的乘积中不含 的二次项，则实数 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x的二次项系数为0，求解即可．
【详解】解：，
∵ 与 的乘积中不含 的二次项，
∴ ，
解得： ，
∴实数 的值为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘积，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是解本题
的关键．
13. 关于 的分式方程 有增根 ，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先把分式方程化为整式方程，把增根代入化为整式方程的方程，解出即可求出k的值．
【详解】解：
方程两边同乘以 ，可得： ，
∵关于 的分式方程 有增根 ，
∴把 代入 ，
可得： ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．
的
14. 如图，在 中， ， ，斜边 垂直平分线交 于点 ，交 于点， ，则 ______cm．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，根据垂直平分线的性质，得出 ，再根据等边对等角，得出
，再根据三角形的外角的性质，得出 ，再根据直角三角
形 所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案.
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、含30度角的直角三角形，
根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解本题的关键．
15. 如图，大正方形的边长均为 ，图（1）中白色小正方形的边长为 ，图（2）中白色长方形的宽为 ，设 ，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
的
【分析】分别表示出图（1）和图（2）中 阴影部分的面积，再进行分析即可．
【详解】解：图（1）的阴影部分的面积为： ，
图（2）的阴影部分的面积为： ，
∴
＝ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是表示出相应的阴影部分的面积．16. 如图，在 中， ，边 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ， ，点 是
边 的中点，点 是 上任意一点，连接 ， ， ，若 ， ，当
周长取到最小值时， ， 之间的数量关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】 与 交于点 ，则此时 周长取到最小值，则根据等腰三角形的性质以及三角形外
角的性质可得结果．
【详解】解：∵边 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ， ，
∴ 关于 对称，
与 交于点 ，则此时 周长取到最小值，如图所示：
∵ ，点 是边 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ 垂直平分 ，点 是 上的点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质
等知识点，读懂题意，分析出 周长取到最小值时点 所在的位置，画出图形，根据以上性质进行
解答．
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据积的乘方和同底数幂的乘法法则计算，然后合并即可；（2）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可；
（3）首先计算括号里面的减法，然后把除法转化为乘法，再约分即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
，当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、分式的化简
求值，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则．
18. 解分式方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．
【小问1详解】
解：
方程两边同乘以 ，可得： ，
去括号，可得： ，
移项、合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ；
【小问2详解】解：
方程两边同乘以 ，可得： ，
去括号，可得： ，
移项、合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解本题的关键．
19. 因式分解：
（1） ；
（2） ；
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式进行因式分解，然后再由完全平方公式因式分解即可；
（3）直接利用十字相乘法因式分解即可．
【小问1详解】
解：【小问2详解】
【小问3详解】
【点睛】题目主要考查利用提公因式法及完全平方公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题
关键．
20. 如图， 中， ， 是 上一点， ，过点 作 的垂线交 于
点 ，求证： 垂直平分 ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据HL证明 ，得出 ，然后根据等腰三角形底边上
的高与顶角的平分线重合即可证明．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定定理，正确理解题意是解题的
关键．
21. 定义：对任意一个两位数 ，如果 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两
位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位
数与原两位数的和与11的商记为 ．
例如： ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为 ，和
与11的商为 ，所以 ．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：
①下列两位数：30，32，33中，“迥异数”为______；
②计算： ______．
（2）如果一个“迥异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，请求出“迥异数” ．
（3）如果一个“迥异数” ，满足 ，则 ______．（请写出满足条件的一个 的值即
可．）【答案】（1）① ；②
（2）
（3） （答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）①由“迥异数”的定义求解即可；②根据“迥异数”的定义，代入数据并运算，即可求得
的值；
（2）根据“迥异数”的定义，代入得出 的值为 ，可求得 ，再把 代入，计算即
可得出b的值；
（3）设这个“迥异数” 的个位为 ，十位为 ，则 ，且 ， 均为大于1小于10的正整数，可
以代入求得 的值为 ，再根据 ，可求得关于 和 的不等式，解出后，再对 、
进行讨论就可以求得c的值．
【小问1详解】
解：①根据“迥异数”的定义，可得：在两位数：30，32，33中，“迥异数”为 ；
故答案为：
②∵ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数 ，新两位数与原两位数的和为 ，和
与11的商为 ，
∴ ；
故答案为：
【小问2详解】
解：∵一个“迥异数” 的十位数字是 ，个位数字是 ，
∴ ，
将这个数的个位和十位调换后为： ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴这个“迥异数” ；
【小问3详解】
解：设这个“迥异数” 的个位为 ，十位为 ，则 ，且 ， 均为大于1小于10的正整数．
则 ，调换个位和十位后为： ，
故 ，
∵ ，
∴ ．
整理得： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
又∵ 为正整数，
∴ 或 或 ，当 时，可得： ， 或 或 ，此时 或 或 ；
当 时，可得： ， 或 ，此时 或 ；
当 时，可得： ， ，此时 ；
故所有满足条件的c有： 或 或 或 或 或 ．
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用，还考查了列代数式、解一元一次方程和解不等式的知识，最
后一问需要讨论不等式的整数解，是本题的难点．
22. 已知：等边 ，过点 作 的平行线 ．点 为线段 上一个动点（不与点A， 重合），将
射线 绕点 顺时针旋转60°交直线 于点 ．如图1，依题意补全图形．
（1）求证： ；
（2）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；根据等边三角形的性质、平行线的性质及旋转的性质得出
，进而可得结论；（2）在 上取一点P使得 ，连接 ，证明 是等边三角形，再证明 ，
即可得出结果．
【小问1详解】
证明：补全图形如图所示，
证明：设 交 于点E，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵将射线 绕点Q顺时针旋转 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：在 上取一点P使得 ，连接 ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和
性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23. 对于平面直角坐标系 中的线段 及点 ，给出如下定义：
的
若点 满足 ，则称点 为线段 “中垂点”；当 时，称点 为线段
的“完美中垂点”．
（1）如图1， ，下列各点中，线段 的中垂点是______．， ，
（2）如图2，点A为 轴上一点，若 为线段 的“完美中垂点”， 写出线段 的
两个“完美中垂点”是______和______．
（3）如图3，若点A为 轴正半轴上一点，点 为线段 的“完美中垂点”，点 在 轴负半轴上，
在线段 上方画出线段 的“完美中垂点” ，直接写出 _______．（用含 的式子表示）．并
求出 ．【答案】（1）
（2） ， ；
（3）
【解析】
【分析】（1）由“中垂点”定义即可求解；
（2）画出图形，根据等边三角形的性质求解即可；
（3）分别以 为圆心，以 的长为半径画弧，二者的交点即为M；证明 根据全
等三角形的性质即可得解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴线段 的垂直平分线为直线 ，
∵Q是线段 的中垂点，
∴点Q在线段 的垂直平分线上，即点Q在直线 上，
∴点Q的横坐标为2，
∴只有 是线段 的中垂点，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵Q为线段 的“完美中垂点”，
∴ ，即 为线段 的一个“完美中垂点”，
设线段 的另外一个“完美中垂点”为L，如下图所示，∴ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ；
【小问3详解】
的
解：如图，分别以A、P为圆心，以 长为半径画弧，二者的交点在线段 上方即为M；
∵M是 的“完美中垂点”，点Q为线段 的“完美中垂点”
∴ ，
∴ 和 都为等边三角形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ．
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形，全等三角形
的性质和判定．本题属于新定义的类型题，能结合定义画出对应图形是解题关键．
