第26讲：导数同构_2027年高考数学一轮复习讲义_2027年高考一轮复习讲义-原卷版

第26讲 导数同构
知识梳理
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
函数表达式 图像 函数表达式 图像
y=lnx-x
y=lnx+x 函数极值点
1,-1 
y=xlnx
函数极值点
1 1
 ,-
e e

lnx
y=
x
函数极值点
1
e,
e

x
y=
lnx
函数极值点
e,e 
y=ex+x
过定点
0,1 
y=ex-x
函数极值点
0,1 
y=xex
函数极值点
1
-1,-
e

ex x
y= y=
x ex
函数极值点 函数极值点
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195 10431,e 
1
1,
e

方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
(1)在方程中的应用：如果方程 fa  =0和fb  =0呈现同构特征，则a,b可视为方程
fx  =0的两个根
(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个
函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：fx  =x⋅ex，fx  =ex±x；寻找“亲戚函
数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、x、参数；④复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数
范围．
(3)在解析几何中的应用：如果Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  满足的方程为同构式，则A,B为方程
所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程
(4) 在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 a n ,n  与
a n-1 ,n-1  的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：ex≥x+1(x=0);ex≥ex(x=1)
1 x
4、常见的对数放缩：1- ≤lnx≤x-1(x=1);lnx≤ (x=e)
x e
π
5、常见三角函数的放缩：x∈0,
2
 ,sinx<x<tanx
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
(1) 当a>0且a≠1, x>0时，有alogax=x
(2) 当 a>0且a≠1时，有log ax=x
a
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论(其中x>0)
(3)xex=ex+lnx;x+lnx=lnxex

ex ex
(4) =ex-lnx:x-lnx=ln
x x
(5)x2ex=ex+2lnx;x+2lnx=lnx2ex

ex ex
(6) =ex-2lnx, =ex-2lnx
x2 x2
x
再结合常用的切线不等式lnx≤x-1，lnx≤ ,ex≥x+1,ex≥ex 等，可以得到更多的结
e
论，这里仅以第(3)条为例进行引申：
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196 1043(7)xex=ex+lnx≥x+lnx+1；x+lnx=lnxex

≤xex-1
(8)xex=ex+lnx≥e(x+lnx)；x+lnx=lnxex 
xex
≤ =xex-1
e
7、同构式问题中通常构造亲戚函数xex与xlnx，常见模型有：
lnx 1
①ax>log x⇒exlna> ⇒xlna⋅exlna>xlnx=lnx⋅elnx⇒xlna>lnx⇒a>ee；
a lna
lnx 1
②eλx> ⇒λeλx>lnx⇒λx⋅eλx>xlnx⇒λx⋅eλx>lnx⋅elnx⇒λx>lnx⇒λ> ；
λ e
③eax+ax>lnx+1  +x+1=elnx+1  +lnx+1  ⇒ax>lnx+1 
8、乘法同构、加法同构
(1)乘法同构，即乘x同构，如lna⋅exlna>lnx⇔xlna⋅exlna>lnx⋅elnx；
(2)加法同构，即加x同构，如ax>log x⇔ax+x>log x+x=alogax+log x，
a a a
(3)两种构法的区别：
①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数xex与xlnx易实现，但构造的函数xex与xlnx均不
是单调函数；
②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求
参数范围；
必考题型全归纳
1 题型一：不等式同构
1
1007 (2024·四川达州·高二校考阶段练习)已知a,b,c∈ ,+∞
e

ln5 ln3
，且 =-5lna， =
a b
ln2
-3lnb， =-2lnc，则 ( )
c
A.b<c<a B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c
ln2
1008 (2024·湖北黄石·高二校考期中)已知a,b,c∈(1,+∞)．且a2-2lna-1= ，b2-
2
1 lnπ
2lnb-1= ，c2-2lnc-1= ，则 ( )
e π
A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b
1009 (2024·陕西榆林·高二校考期末)已知a，b，c∈(0,1)，且a-5=lna-ln5，b-4=lnb-
ln4，c-3=lnc-ln3，则a，b，c的大小关系是 ( )
A.b<c<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<b<a
1010 (2024·河南·高二校联考期中)已知a=0.5ln2，b=0.4ln5-ln2 
8
，c= ln3-ln2
9
 ，则
a，b，c的大小顺序是 ( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b
1011 (2024·全国·高三专题练习)已知0<x<y<π，且eysinx=exsiny，其中e为自然对数的
底数，则下列选项中一定成立的是 ( )
A.cosx+cosy<0 B.cosx+cosy>0
C.cosx>siny D.sinx>siny
1012 (2024·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习)已知函数f(x)的导数f(x)满足
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197 1043f(x)+(x+1)f(x)>0对x∈R恒成立，且实数x，y满足(x+1)f(x)-(y+1)f(y)>0，
则下列关系式恒成立的是 ( )
1 1
A. < B.ex<ey
x3+1 y3+1
x y
C. < D.x-y>sinx-siny
ex ey
2 题型二：同构变形
1013 (2024·全国·高三专题练习)对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函
数．
(1)log x-k⋅2kx≥0；
2
1
(2)e2λx- ln x≥0；
λ
m
(3)x2lnx-mex ≥0；
(4)aeax+1 
1
≥2x+
x
 lnx；
(5)alnx-1  +2x-1  ≥ax+2ex；
(6)x+alnx+e-x≥xa(x>1)；
(7)e-x-2x-lnx=0；
(8)x2ex+lnx=0．
3 题型三：零点同构
x-1
1014 (2024·全国·高三专题练习)设x,y∈R，满足
 5+2x+sinx-1  =3
y-1  5+2y+siny-1 

 ，则x+y=
=1
( )
A.0 B.2 C.4 D.6
1015 (2024·全国·高二专题练习)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式
子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a的方
程aea-2=e4和关于b的方程b(lnb-2)=e3λ-1 a,b∈R+  可化为同构方程，则ab的值为
( )
A.e8 B.e C.ln6 D.1
1016 (2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习)已知函数fx 
ax
= 和gx
ex
 =
lnx
有相同的最大值b.
ax
(1)求a,b；
(2)证明：存在直线y=m，其与两条曲线y=fx  和y=gx  共有三个不同的交点，并且
从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
1017 (2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相
同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若
关于a的方程aea=e6和关于b的方程b(lnb-2)=e3λ-1(a,b∈R)可化为同构方程.
(1)求ab的值；
1
(2)已知函数f(x)=xlnx+ λ
3
 .若斜率为k的直线与曲线y=f'(x)相交于A(x,y)，B
1 1
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198 10431
(x ,y )(x <x )两点，求证：.x < <x
2 2 1 2 1 k 2
1018 (2024·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末)设函数fx  的定义域为D，若函数
fx  满足条件：存在a,b  ⊆D，使fx  在a,b  上的值域为ma,mb  (其中m∈0,1  )，则
称fx  为区间a,b  上的“m倍缩函数”.
(1)证明：函数fx 
1 1
=x3为区间 - ,
 2 2

1
上的“ 倍缩函数”；
4
(2)若存在a,b  ⊆R，使函数fx  =log 22x+t  为a,b 
1
上的“ 倍缩函数”，求实数t的
2
取值范围；
(3)给定常数k>0，以及关于x的函数fx 
k
=1-
x
 ，是否存在实数a,b(a<b)，使fx 
为区间a,b  上的“1倍缩函数”.若存在，请求出a,b的值；若不存在，请说明理由.
1019 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =lnx+1  -x+1．
(1)求函数fx  的单调区间；
(2)设函数gx  =aex-x+lna，若函数Fx  =fx  -gx  有两个零点，求实数a的取值
范围．
1020 (2024·全国·统考高考真题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小
值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从
左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
1021 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =axl-lnx  和gx 
blnx
= 有相同的最大
x
值，并且ab=e.
(1)求a,b；
(2)证明：存在直线y=k，其与两条曲线y=fx  和y=gx  共有三个不同的交点，且从
左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
1022 (2024·江苏常州·高三统考阶段练习)已知函数fx 
x
= 和gx
emx

lnmx
=

有相同的
x
最大值.
(1)求实数m的值；
(2)证明：存在直线y=n，其与两曲线y=fx  和y=gx  共有三个不同的交点，并且从
左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
4 题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
1023 (2024·全国·高三专题练习)完成下列各问
(1)已知函数fx  =xex-ax+lnx  ，若fx  ≥0恒成立，则实数a的取值范围是
；
(2)已知函数fx  =xex-ax+lnx+1  ，若fx  ≥0恒成立，则正数a的取值范围是
；
(3)已知函数fx  =xex+e-ax+lnx+1  ，若fx  ≥0恒成立，则正数a的取值范围是
；
(4)已知不等式xex-ax+1  ≥lnx对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是
；
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199 1043(5)已知函数fx  =xbex-alnx-x-1(x>1)，其中b>0，若fx  ≥0恒成立，则实数a
与b的大小关系是 ；
(6)已知函数fx  =aex-lnx-1，若fx  ≥0恒成立，则实数a的取值范围是 ；
(7)已知函数fx  =ae2x-ln2x-1，若fx  ≥0恒成立，则实数a的取值范围是 ；
(8)已知不等式ex-1≥kx+lnx，对∀x∈0，+∞  恒成立，则k的最大值为 ；
(9)若不等式ax+xe-ax-lnx-1≥0对x>0恒成立，则实数a的取值范围是 ；
1024 (2024·全国·高三专题练习)已知fx  =x2023.设实数m>0，若对任意的正实数x，不等
式femx 
lnx
≥f
m
 恒成立，则m的最小值为 .
1
1025 (2024·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测)已知不等式x+mlnx+ ≥xm对
ex
x∈1,+∞  恒成立，则实数m的最小值为 .
lnx
1026 设实数λ>0，若对任意的x∈(0,+∞)，不等式eλx- ≥0恒成立，则λ的最小值为
λ
( )
1 1 2 e
A. B. C. D.
e 2e e 3
a
1027 设实数a>0，若对任意的x∈[e，+∞)，不等式aex-x2lnx≤0恒成立，则a的最大值
为 ( )
1 2 e
A. B. C. D.e
e e 2
1028 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
a
=xln +aex，gx
x
 =-x2+x，当x∈
0,+∞  时，fx  ≥gx  恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
 1 A.  ,+∞
e2
 1 B.   ,+∞
 e
 C. 1,+∞  D. e,+∞ 
1029 (2024·云南·校联考模拟预测)已知函数fx  =lnx+2  -x+2，gx  =aex-x+lna.
(1)求函数fx  的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答(注意：若选两个分别作答则按选①给分).
①若fx  ≤gx  恒成立，求实数a的取值范围；
②若关于x的方程fx  =gx  有两个实根，求实数a的取值范围.
5 题型五：利用同构求最值
1030 (2024·全国·高二专题练习)“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成x=lnex，
x=elnx x>0  的变形技巧.已知函数fx  =x⋅ex，gx 
lnx
=- x ，若fx 1  =gx 2  =t>
x
0，则 1 的最大值为 ( )
x et
2
1 1
A. B. C.1 D.e
e2 e
1031 (2024·全国·高二期末)已知函数f(x)=x+ln(x-1),g(x)=xlnx，若fx 1  =1+2lnt,
gx 2  =t2，则x 1 x 2 -x 2  lnt2的最小值为 ( )
1 1 1 2
A.- B.- C. D.
e 2e e2 e
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200 10431032 (2024·江西·临川一中校联考模拟预测)已知函数fx  =x+lnx-1  ，gx  =xlnx，若
fx 1  =1+2lnt，gx 2  =t2，则 xx -x ⋅lnt的最小值为 ( ) 1 2 2
1 1 1 2
A. B.- C.- D.
e2 e 2e e
1033 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x+ln(x-1),g(x)=xlnx，若fx 1  =1+
2lnt,gx 2 
lnt
=t2，则 的最大值为 ( ) xx -x
1 2 2
1 1 1
A. B. C.e2 D.e
2e e
ln2b b
1034 (2024·全国·高三专题练习)已知大于1的正数a，b满足 <
e2a a

n
，则正整数n的最
大值为 ( )
A.7 B.8 C.5 D.11
ex-2
1035 (2024·安徽淮南·统考一模)已知两个实数M、N满足M≤xex-lnx-x-1，N≤
x
+lnx-x在x∈0,+∞  上均恒成立，记M、N的最大值分别为a、b，那么
A.a=b+2 B.a=b+1 C.a=b D.a=b-1
6 题型六：利用同构证明不等式
1036 已知函数f(x)=axlnx-x+1，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)当p>q>1时，证明qlnp+lnq<plnq+lnp．
2a
1037 已知函数f(x)=lnx+ -2(a∈R)．
x+1
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=2时，求证：f(x)>0在(1,+∞)上恒成立；
x2
(3)求证：当x>0时，ln(x+1)> ．
ex-1
1
1038 已知函数f(x)=e2x- ．
x
(1)讨论函数f(x)的零点的个数；
1
(2)证明：xe2x-lnx-2x- >0．
x+1
1039 已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R)．
(1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx-2恒成立，求实数b的
取值范围；
ln(x+1)
(3)当x>y>e-1时，求证：ex-y> ．
ln(y+1)
1040 已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1，函数g(x)=ax-1-blnx(a，b∈R，ab≠0)．
(1)讨论g(x)的单调性；
(2)证明：当x≥0时，f(x)≤3x+1．
(3)证明：当x>-1时，f(x)<(x2+2x+2)esinx．
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